固体物理第三章晶格振动PPT课件
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固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
第三章晶格振动与晶体的热学性质PPT课件
4ed
0
e
2
1
CV 1254NkBTD3T3
德拜 T3 定律 ：CV 与 T3 成比例
注意：T3 定律一般只适用于大约
1 T 30 D
的范围
这表明，Debye模型可以很好地解释在很低 温度下晶格热容CV∝ T3的实验结果。
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
的色散关系，称为晶格振动的振动谱。 (q )
利用波与格波的相互作用，以实验的方法直接
测定 (q)
一、格波振动使中子流的非弹性散射 二、（可见光）光子与晶格的非弹性散射 三、X光的非弹性散射
只讨论单声子过程
因而，光散射只能和长波声子，即接近布里渊区 心的声子发生相互作用。
用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一 部分长波声子的振动谱，而不能测定整个晶格振 动谱，这是光可见散射法的最根本缺点。
<<1
(1)★ 声学波
2m m M M 11m 4 m M M 2si2n aq 1/2
2m m M M 11m 4 mM M2sin2aq1/2
简化
m4mMM2sin2aq1 1m 4 m M 2 M si2a n 1 q /2 11 2m 4 m M 2 M si2a nq
32
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
《固体物理基础教学课件》第3章
原子n离开平衡位置位移μn 原子n和原子n+1间相对位移
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
固体物理 第三章 晶格振动ppt课件
质量加权坐标下：
3N
独立的谐振子 声子
qk b ikq i 0
i 1
k 1 , 2 , , 3 N
q A si n( k kl lt l)
l 1
3 N
简正坐标下：
0 Q Q t ) l l sin( l 1
l 1 , 2 , , 3 N
第n个原子受到的合力为（仅考虑最近邻作用）
f f f ( x x 2 x ) n n , n 1 n , n 1 n 1 n 1 n
第n个原子的牛顿运动方程：
mx β( x x 2 x ) n n 1 n 1 n
每一个原子对应一个方程，n个原子对应n个联立的线性齐次方程组 试解：
固体物理 第三 章 晶格振动
3.1晶体中原子的微振动 声子 晶体振动势能Uqi 按 q i 的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数 2 U 1 U 高阶项 U U ( ) q ( ) q q 0 0 i 0 i j q 2 q q i ij i i j 其中 U0 0 平衡位置处的势能为零势能点 U q 0 平衡位置处势能为极小值 i 0 2U 略去高阶项（简谐近似） bij q q i j 0
则原子间相互作用力
0
2
du du d u f ( x ) 2 x x dx dx dx x x 0
0
2
作用力常数
近似1：原子间作用力简化为弹性力。 近似2：只考虑最近邻原子间作用力
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 一维无限长单原子链
a 1 n2a n
3.1晶体中原子的微振动 声子
3N
独立的谐振子 声子
qk b ikq i 0
i 1
k 1 , 2 , , 3 N
q A si n( k kl lt l)
l 1
3 N
简正坐标下：
0 Q Q t ) l l sin( l 1
l 1 , 2 , , 3 N
第n个原子受到的合力为（仅考虑最近邻作用）
f f f ( x x 2 x ) n n , n 1 n , n 1 n 1 n 1 n
第n个原子的牛顿运动方程：
mx β( x x 2 x ) n n 1 n 1 n
每一个原子对应一个方程，n个原子对应n个联立的线性齐次方程组 试解：
固体物理 第三 章 晶格振动
3.1晶体中原子的微振动 声子 晶体振动势能Uqi 按 q i 的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数 2 U 1 U 高阶项 U U ( ) q ( ) q q 0 0 i 0 i j q 2 q q i ij i i j 其中 U0 0 平衡位置处的势能为零势能点 U q 0 平衡位置处势能为极小值 i 0 2U 略去高阶项（简谐近似） bij q q i j 0
则原子间相互作用力
0
2
du du d u f ( x ) 2 x x dx dx dx x x 0
0
2
作用力常数
近似1：原子间作用力简化为弹性力。 近似2：只考虑最近邻原子间作用力
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 一维无限长单原子链
a 1 n2a n
3.1晶体中原子的微振动 声子
固体物理基础第3章 晶格振动理论
14
第3章 晶格振动理论
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
2
第3章 晶格振动理论 μn+2，…表示，第n个原子的实际位移为Xn=na+μn，如图 3.1(b)所示。尽管晶格中任一原子都会受到其他(n-1)个原子 的作用，但是这种作用会随着原子间距的增加而快速减小， 这是比较容易理解的，因此，为了使问题进一步简化，可以 进行近邻作用近似，即假定晶格中任一原子只受到其最近邻 原子的作用。这样的话，由于晶格中相邻原子间的相互作用 (化学键)都相同，就可以把一维单原子链想象成N个原子由 完全相同的弹簧连接的情况，如图3.1(c)所示，于是对于第n 个原子，只受到前后两个原子的作用fn-1，fn+1，它们与原子 的相对位移成正比，并且具有相同的弹性系数(或者叫回复 力系数)β。
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
这是由2N个方程组成的联立方程组。同样，该方程组 应该具有下列形式的格波解，只是由于P原子和Q原子质量 的不同，其格波解的振幅不同：
第3章 晶格振动理论
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
2
第3章 晶格振动理论 μn+2，…表示，第n个原子的实际位移为Xn=na+μn，如图 3.1(b)所示。尽管晶格中任一原子都会受到其他(n-1)个原子 的作用，但是这种作用会随着原子间距的增加而快速减小， 这是比较容易理解的，因此，为了使问题进一步简化，可以 进行近邻作用近似，即假定晶格中任一原子只受到其最近邻 原子的作用。这样的话，由于晶格中相邻原子间的相互作用 (化学键)都相同，就可以把一维单原子链想象成N个原子由 完全相同的弹簧连接的情况，如图3.1(c)所示，于是对于第n 个原子，只受到前后两个原子的作用fn-1，fn+1，它们与原子 的相对位移成正比，并且具有相同的弹性系数(或者叫回复 力系数)β。
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
这是由2N个方程组成的联立方程组。同样，该方程组 应该具有下列形式的格波解，只是由于P原子和Q原子质量 的不同，其格波解的振幅不同：
《固体物理-徐智谋》第三章 晶格振动与晶体热力学性质.ppt
2
2
2
2
(共N个值)
所以波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分离的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
4. 长波极限: q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
因为 V p q
所以 v p a
m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
(2 2cos aq) 4 sin2 aq
2
2 sin aq
m2
2.色散关系
当
q
a
,
max
2
;
m
当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
原子都以同一频率，同一振幅A振动，相邻原子间的位相
差为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相
关系，即原子的振动形成了波，这种波称为格波。
将试探解代入振 动方程得振动频率:
2 sin aq
m2
色散关系 (晶格振动谱) 如何推
导呢？
..
m xn 2xn xn1 xn1
给出试探解: xn Aei t naq
(2)振动方程和解
平衡时，第k个原子与第n个原子相距 n k a r0
u(r)为两个原子间的互作用势能，平衡时为 u(r0 ) ，
t时刻为 u(r) u(r0 r)
固体物理--第三章 晶格振动ppt课件
5
2a
2
q2 q1 a
5
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n
n
Aeit N naq Aeitnaq
eiNaq 1 ei2h 1
q 2 h
Na
h =整数
6
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 2
Na
q的分布密度：
q Na L
子数不守恒。
11
§3.2 一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
一、运动方程及其解
a Mm
{
n-1 n n n+1
只考虑近邻原子间的弹性相互作用
{ 运动方程：
M n n n1 2n
m n n n1 2 n
试 解：
it naq
Ae n
{ Bei
q 0
光波： ＝c0q， c0为光速
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远 红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
18
2. 声学波（acoustic branch）
n n
M
m
2m
cos
1 2
aqei
12aq
M 2 m2 2Mm cosaq
2 2
L＝Na ——晶体链的长度
简约区中波数q的取值总数 q 2 Na 2
a 2 a
＝N＝晶体链的原胞数
晶格振动格波的总数=N·1 =晶体链的自由度数
7
四、格波的简谐性、声子概念
晶体链的动能：
(完整版)固体物理课件ppt完全版
布拉伐格子 + 基元 = 晶体结构
③ 格矢量：若在布拉伐格子中取格点为原点，它至其
他格点的矢量 Rl 称为格矢量。可表示为
Rl
l1a1
l2a2
l3a3
，
a1,
a2 ,
a3为
一组基矢
注意事项：
1）一个布拉伐格子基矢的取法不是唯一的
2
4x
·
1
3
二维布拉伐格子几种可能的基矢和原胞取法 2）不同的基矢一般形成不同的布拉伐格子
2·堆积方式：AB AB AB……，上、下两个底面为A
层，中间的三个原子为 B 层
3·原胞：
a, 1
a 2
在密排面内，互成1200角，a3
沿垂直
密排面的方向构成的菱形柱体 → 原胞
B A
六角密排晶格的堆积方式
A
a
B c
六角密排晶格结构的典型单元
a3
a1
a2
六角密排晶格结构的原胞
4·注意: A 层中的原子≠ B 层中的原子 → 复式晶格
bγ a
b a
b a
b a
简六体心底正简单三面心正单方底心单心交 立斜交斜 方 简单立方体心正交面立方简四体心四方简单正交简单菱方简单单斜单方
二 、原胞
所有晶格的共同特点 — 具有周期性（平移对称性）
描
用原胞和基矢来描述
述
方
位置坐标描述
式
1、 定义：
原胞：一个晶格最小的周期性单元，也称为固体物理 学原胞
a1, a2 , a3 为晶格基矢
复式晶格：
l1, l2 , l3 为一组整数
每个原子的位置坐标：r l1a1 l2a2 l3a3
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由 2()12 sin(1qa)
m
2
1
得
波格传播的速度是波长的函数，波长不同的
波格传播速度不同。通常称 与q的关系称为色
散关系。
12
格波的波矢量q 的取值范围？对于指数函数
unA exp[i(tnqa)]
如果 qa 改变 2 值，结果并没有什么不同，因为
A e x p { i [ t n ( q a 2 π ) ] } A e x p [ i ( t n q a ) }
eiqNa1 q2l,l为 整 数
2
Na
Na
q
o 14
这说明q只能取一系列不连续的值，在q空间，一个q值
与一个点对应，这些点在空间均匀分布，相邻q点的
“距离”为 大小为 2
a
2 Na
，而q的取值在第一布里渊区，它的
,所以允许的q的总数为
2 a N 2 Na
重要结论：上式说明晶格振动的波矢数目等于晶格
3、试探解
u2n Aei(qnat)
unBBeiq(nab)t Bei(qnat) 18
把u2n、u2n+1代入以上两个运动方程
关于A、B的
两个方程
A、B非零解，系数行列式为0
12M2
第 n 个原子的运动方程
Mdd2tu2n (un1un12un)
每个原子对应一个方程，如果原子链有 N 个原子则有 N 个方程，上式实际上就是 N 个联 立的齐次方程组
8
3、玻恩-卡门条件（周期性边界条件）：
设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体 相联结，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。
所以 qa 可以取在 – 与 之间，已涵盖该指数函
数的所有独立值
πqaπ 或
π q π aa
此即一维单原子链的第一布里渊区 13
3、波矢q的个数，模式数
由于晶体的体积是很有限的，因而格波波矢的取值不 能是任意的，必然受到边界条件的限制，设晶体包含
N个原子，由边界条件的周期性有： unN un
带入位移的表达式可得到
原胞数目，由色散关系式知给定一个q总有一个
与之对应。给定一组 ，q 就表示原子的一种振动形
式，我们称之为振动模式。
15
3.2 一维双原子链晶格的振动
一、一维双原子链晶格的振动
16
❖第 2n号原子,由虎克定律 2n-1
2n 2n+1
2n+2
2n
F2n-1
F2n+1
2
1
2
F2n1 1 u2n1u2n
3
3.1 一维晶格的振动 一、一维简单格子
a
n2 n 1 n n 1 n2
u n 1 aun1un
设晶格常量为 a ，原子 n 偏离平衡位置的位移为 un，只考虑最近邻的相互作用，晶格振动时相邻两原子 在t时刻的距离
run1aun
4
1、一维简单格子的互作用力
晶格作小幅度振动，即 |d |<<a ，则相邻两原子
N+1
12
n
N N+2 N+n
Nn
n
9
上述方程具有波动形式的解 un Aeinaq-t
其中A为振幅， 是圆频率，q是波矢。
➢ 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动
➢ 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相
q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。
即 2 m ( e i q a e i q a 2 ) 2 ( c o s q a 1 )
2 2(1cosqa)
m
由上式可以看出频率是波矢q的周期函数，周期
为 2 a ，正好为一维链的倒格矢，即格波频率具有
倒格子周期性,式中q换成-q时，频率也不变，频率 具有反演对称性。
11
设波包的传播速度为v，则 v q
ra
该近似称为简谐近似，在该近似下，原子间的相互作用力
是弹性恢复力，式中 是弹性恢复力常数
6
第 n 个原子的所受作用力为
F n u U n(unun 1)(un 1un)fn,n 1fn,n 1 (un 1un 12un)
f n,n1
f n,n1
u n1
aun1un
7
2、一维单原子链的运动方程与解
F U rr a d d U rr a d d 2 r U 2r a(r a ) 1 2 d d 3 r U 3r a(r a )2 为相邻原子间的作用力
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忽略高阶项，只保留到2阶项，则
FddU r radd2rU 2 ra(ra)
令 = 2U r 2
,
则 F （ r a ) （ u n 1 u n )
格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振
动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波
的形式在整个晶体中传播，称为格波。
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把该解代入运动方程
( i) 2 m u e x p [ i ( t n q a ) ] u e x p [ i ( t n q a ) ] ( e i q a e i q a 2 )
F2n1 2 u2n u2n1
2n号原子的运动方程
d 2
m d t2u 2 n1u2 n 1 u2 n2u 2 n u 2 n 1 17
同理，2n+1号原子的运动方程为
F 2n
F2n+2
m d d t2 2u 2 n 1 2u 2 n 2 u 2 n 11u 2 n 1 u 2 n
第三章 晶格振动与晶体热学性质
❖材料的热学性能?
材料的热学性能主要有热容、热膨胀、热传导、热 稳定性等。
❖有什么用？
为选材、用材、改善材料热学性能、探索新材料和 新工艺等打下物理理论基础。
❖材料的热学性能和材料中什么东西有 联系？
原子振动，电子运动
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整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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2
晶格振动与格波
实际晶体中的原子并非完全固定不动， 原子是不断运动的，具有动能，但是通常情 况下原子又不能远离格点，被束缚在格点附 近做周期性振动
由于晶体具有周期性结构，原子振动相 互关联，在晶体中形成格波。
的相互作用能可以展开为
U ( r ) U ( a ) d d U rr a r a 2 1 !d d 2 r U 2r a ( r a ) 2 3 1 ！ d d 3 r U 3r a ( r a ) 3
其中 U(a) 为相邻两原子在间距等于晶格常量时的相互 作用能，一般可取为0，而