蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第18章 委托—代理理论)
蒋殿春《高级微观经济学》 第18章 委托—代理理论跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．(),x ϕθ是θ类的代理人的成本函数。
在18.1.1节中我们说，如果()()12,,x x ϕθϕθ>，且()()12,,x x x x ϕθϕθ>成立，则这两类代理人的无差异曲线只相交一次，请证明这一点。
证明：两类代理人的无差异曲线满足方程：()111,u y x ϕθ=- ()222,u y x ϕθ=-它们的差为：()()212112,,u u u y y x x ϕθϕθ∆=-=-+-对函数求导得到：()()12d ,,0d x x ux x xϕθϕθ∆=-> 从而得到u ∆是严格单调函数，所以最多和x 轴相交一次，即最多存在一个x ，使得21u u =。
另一方面，当0x =时，()11,0x a ϕθ==，()22,0x a ϕθ==。
此时委托人的利润函数变为v y =-，根据利润最大化原则，支付的工资为120y y ==。
所以，当0x =时，两效用函数都为0，无差异曲线相交。
2．参看图18-5中显示的两个分布密度函数：如果代理人的行动是a *，可能的产量将落在区间()(),a a αβ**⎡⎤⎣⎦内；另一个行动a '对应的产量区间是()(),a a αβ''⎡⎤⎣⎦。
（1）证明：只要委托人对生产()(),x a a αα*⎡⎤'∈⎣⎦的代理人处予足够大的惩罚，就能保 证代理人选择a *；（2）是否也存在适当的惩罚机制，保证代理人选择行动a '？ 解：（1）考虑一个简单的两段支付函数：12y y y ⎧=⎨⎩()()()(),,x a a x a a αααα**⎡⎤'∈⎣⎦⎡⎤'∉⎣⎦其中，1y 和2y 都是常数，12y y <。
在此支付结构下，代理人选择行动a '所获的期望效用为：()()()(){}()112,1,u E a F a a u y F y a u y a αα**⎡⎤⎡⎤'''=+--⎣⎦⎣⎦而选择行动a *所获的期望效用为：()()2u E a u y a **=-要阻止代理人选择行动a '，只需：()()(){}()()1122,1,F a a u y F y a u y a u y a αα***⎡⎤⎡⎤''+--<-⎣⎦⎣⎦由于(),0F a a α*⎡⎤'>⎣⎦，所以： ()()()12,a a u y u y F a a α**'-<-⎡⎤'⎣⎦由于效用函数是严格单增的，只要210y y ->足够大，上式便成立。
（2）与（1）相反，只要210y y -<，则保证代理人选择行动a '。
3．如果1θ和2θ两类代理人所占的比例分别是γ和1γ-，γ值的变化会如何影响委托人的最优契约？解：在条件12θθ<条件下，由最优契约条件（18.14）和（18.15），得到：()()()1112111,1,,1a a a x x x x x x γϕθϕθϕθγ-⎡⎤=+-<⎣⎦()22,1ax x ϕθ=当γ趋近于1时，()11,a x x ϕθ趋向于1。
这表明y 越大，委托人向低效率代理人提供的契约也就越趋近于最优契约。
同时，委托人向高效率代理人提供的契约不随γ的变化而改变。
4．如果18.1节模型中包含三种不同的代理人，利用微分方法或者几何方法说明，最优激励契约中效率较低的两类代理人的产量低于帕累托有效水平，但最有效率的一类代理人生产帕累托有效产量。
解：模型18.1的假设条件下，假设1θ、2θ和3θ三类代理人所占的比例分别是1γ、2γ与121γγ--，则委托人的期望利润为：()()()()()11122212331E v x y x y x y γγγγ=-+-+---设各代理人的保留收益为0u =，他们面临的参与约束与自选择约束条件为：代理人 参与约束自选择约束1()()111221,,y x y x ϕθϕθ-≥-()111,0y x ϕθ-≥（束紧）()()111331,,y x y x ϕθϕθ-≥-2()222,0y x ϕθ-≥()()222112,,y x y x ϕθϕθ->-（束紧） ()()222332,,y x y x ϕθϕθ->-3()333,0y x ϕθ-≥()()333113,,y x y x ϕθϕθ-≥-()()333223,,y x y x ϕθϕθ-≥-（束紧） 在三个束紧的约束等式下，委托人的期望利润最大化问题变为：()()()()1112221233max 1x y x y x y γγγγ-+-+---⎡⎤⎣⎦..st ()111,y x ϕθ=()()()2112233,,,y x x x ϕθϕθϕθ=+-()()()()()31122123323,,,,,y x x x x x ϕθϕθϕθϕθϕθ=+-+-一阶必要条件是：()()()111121111,1,,a a a x x x x x x γϕθϕθϕθγ-⎡⎤=+-⎣⎦ ()()()1222232221,1,,aa ax x x x x x γγϕθϕθϕθγ--⎡⎤=+-⎣⎦()333,1ax ϕθ=由于0x θϕ<，且123θθθ<<，故而有：()()1211,,a a x x x x ϕθϕθ<，()()2322,,a ax x x x ϕθϕθ<因此，由一阶必要条件易知：()()1111,1,a x x x x ϕθϕθ*<= ()()2222,1,a x x x x ϕθϕθ*<= ()()333333,1,1a x x ϕθϕθ*===由于0x θϕ=，故有11a x x *<，22a x x *<，33a x x *=，即在最优激励契约中低效率的两类代理人产量低于帕累托有效水平，而效率最高的代理人生产帕累托有效水平的产量。
5．考虑一个以边际成本c 生产x 商品的独占厂商，市场上有两种可能的消费者。
两类消费者的效用函数分别是()()1,U x q v x q =+，()()2,2U x q v x q =+其中q 是消费者在其他所有商品上的消费，0v '>，0v ''<。
假设厂商是风险中立的，它无法识别具体消费者的特定类型。
利用18.1节的模型，推导厂商的最优定价策略，确认“顶端不扭曲”原理。
解：厂商的期望利润为：()()()()11221E p c x p c x πγγ=-+--消费者的参与约束与自选择约束条件分别为：类型 参与约束自选择约束1 ()1110v x p x -≥（束紧）()()111222v x p x v x p x -≥-2()22220v x p x -≥()()22211122v x p x v x p x -≥-（束紧）假设厂商认为市场上两类消费者的比例分别为γ和1γ-，厂商的期望利润最大化问题为：()()()()(){}112112max 122v x cx v x v x v x cx γγ-+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦一阶必要条件为：()121a c v x γ'=-，()22ac v x '= 由于01γ<<，因此()()12a av x v x ''>；又因为0v ''<，故12a a x x <，即低端市场1上的产品供应水平低于最优水平，而在高端市场2上，厂商的供应水平与最优水平一致。
6．政府决定干涉一个独占市场。
假设这个市场上唯一的一个厂商的成本函数可能是1x θ或者2x θ，12θθ<；独占厂商清楚自己的确切成本，但政府不知道，它猜测厂商成本是1x θ的概率是γ()01γ<<；社会从该厂商的消费中获得的总效用是()U x ，从而市场需求（反）函数是()p U x '=。
假设政府可以强制市场价格定在某一特定水平，从而控制厂商的产量；同时，作为对厂商的补偿，政府向厂商发放补贴0T ≥。
在这种政策下，厂商的利润是()i U x x x T θ'-+如果这个利润小于零，厂商将停产。
政府的目标是使下列函数最大化：()i U x x T θ--推导政府的最优干涉政策。
解：政府可考虑一个两可的干预补贴方案：[]11,p T 或[]22,p T ，根据市场需求条件，这等价于(),i i U x T '⎡⎤⎣⎦。
政府需要确定恰当的i x 和i T 。
在上述政策下，企业的参与约束及自选择约束分别为：类型 参与约束自选择约束1111110p x x T θ-+≥11111221220p x x T p x x T θθ-+≥≥-+（束紧）2222220p x x T θ-+≥（束紧）22222112110p x x T p x x T θθ-+≥≥-+因此，政府面临的问题是：()()()11112222max 1U x x T U x x T γθγθ--+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦..st ()()1122112220U x x U x x x x T θθ''--+-=()222220U x x x T θ'-+=一阶必要条件是：()()()111111110LU x U x U x x x γθλθ∂''''=--+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ ()()()()()()221222222222210LU x U x U x x U x U x x x γθλθλθ∂'''''''=-----+-+-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∂ 110LT γλ∂=--=∂ ()12210LT γλλ∂=--+-=∂ 解得1λγ=-，21λ=，从而有：()()111112U x U x x θ***'''=- ()()1222212U x U x x θθγγ***++'''=- ()()()()1111212111212T U x x x p x x θθθθθθ*******⎡⎤'=-+-=-+-⎣⎦ ()()2222222T U x x p x θθ*****⎡⎤'=-=-⎣⎦ 上述政策的经济含义：信息对称情况下的帕累托最优干预产量为()12,p p x x ，满足条件()p i i U x θ'=。
蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解（第3章成本最小化）
蒋殿春《⾼级微观经济学》课后习题详解（第3章成本最⼩化）蒋殿春《⾼级微观经济学》第3章成本最⼩化跨考⽹独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这⾥查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少⾛弯路，躲开⼀些陷阱。
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1．某⼚商具有Leontief ⽣产函数：{}1122min ,y x x ββ=，120ββ>、。
（1）求条件要素需求函数和成本函数；（2）画出成本函数曲线。
解：（1）在Leontief ⽣产函数中，产量仅是11x β／和12/x β中较⼩的⼀个值，所以，⽆论是利润最⼤化或者是成本最⼩化问题，⼚商的最优投⼊必然满⾜1122=x x ββ。
在此约束下，⽣产函数可以简单地写为11y x β=（当然也可以写为22y x β=）。
从⽽，对于预先给定的产量0y ≥，条件要素需求是：11 x y β=，22x y β=成本函数：()()1122c y w w y ββ=+。
（2）⼚商的成本函数如图3-1所⽰。
图3-12．某⼚商具有线性⽣产函数：12y ax bx =+，,0a b >。
（1）求条件要素需求函数和成本函数；（2）画出成本函数曲线。
解：（1）成本最⼩化问题是：11220min X w x w x ≥+..s t 12ax bx y +=①若12w w a b <，条件要素为()()12, ,0x x y a **=，成本函数是()1c y w y a =；②若12w w a b >，条件要素为()()120, ,x x y **③若12w w a b =，最优解可取线段12ax bx y +=上任⼀点，在此不妨取()()12, ,0x x y a **=，所得的成本函数形式上与①中⼀致，取另⼀端点可得②中的成本函数形式。
蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第13章 独占市场)
蒋殿春《高级微观经济学》第13章 独占市场跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．如果一个独占厂商面对的反需求函数是10p y =-，其边际成本是常数12，求厂商的利润最大化产量。
解：根据MR MC =，有：1020.5y -=由此解出利润最大化产出为 4.75y *=。
2．市场反需求函数是100p y =，某独占厂商以两个工厂的生产来供给这个市场，成本函数分别是21112c y y =+和2222c y =。
求厂商在两个工厂的最佳产量。
解：根据两个工厂的成本函数，可得：1122c y '=+，224c y '= 当10y =，212y ≤时，()02c '=，而工厂2的边际成本不超过2，故当1y ≤时厂商将只使用工厂2，此时10y =，2y y =。
当12y >时，厂商要同时在两个工厂生产，产量分配依据边际成本相等原则，即12224y y +=，从而得到1221y y =-。
由于12y y y +=，所以有：1213y y -=，213y y += 根据需求函数，只要厂商的产量0y >，厂商总有收益100R py =≡，这是与产量无关的一个常数。
厂商要实现利润最大化，只需成本最小即可，而厂商的产量越小其成本也越小，但产量又不能为零，所以厂商只要选取一个非常小但又不为零的产量0ε>，按一开始的分析，让工厂2生产这个产量，闲置工厂1。
3．假设市场需求函数是()100a p y a -=>，独占厂商的成本函数()2c y y =。
在什么条件下厂商的产量为正？解：厂商的利润最大化问题为：()2max 10a y y y -⋅-一阶条件是：()10120a a y y ---=解得，())1151a y a +*=-⎡⎤⎣⎦。
高级微观习题练习-参考答案
生产要素的需求与产品的需求具有相同的特点。
错在一个竞争力度很大的劳动市场中，实行最低工资法往往会造成失业。
对解决负的外部性问题各种手段的本质是社会成本的个人化。
对医生和病人的关系具有委托－代理的性质。
错严格监督可以杜绝公共物品的搭便车现象。
错逆向选择都是由事先的信息不对称性引起的。
错在不同的经济制度下，资源配置问题的解决方法是不同的。
对当某种商品的价格上升时，其互补商品的需求将上升。
错消费者剩余是消费者的主观感受。
对同样商品的效用因人、因地、因时的不同而不同。
对平均固定成本在所有产量上都是不变的。
错完全竞争市场上，整个行业的需求曲线是一条与横轴平行的线。
错短期边际成本曲线和短期平均成本曲线一定相交于平均成本曲线的最低点。
对对一个完全竞争厂商来说，其边际收益与市场价格是相同的。
对对于一种要素，全体厂商的总需求曲线一定比个别厂商的需求曲线更平坦。
对严格监督可以杜绝公共物品的搭便车现象。
错逆向选择都是由事先的信息不对称性引起的。
错“劣币驱逐良币”属于道德风险问题。
（错）寻租活动是腐败的经济学原因。
（对）X商品的价格下降导致Y商品的需求数量上升，说明两种商品是替代品。
（错）如果一种商品的用途较广泛，会使该种商品的价格弹性变小。
（错）两种商品的价格不同，但对消费者来说，花在这两种商品上的最后一元钱的边际效用有可能相同。
（对）当其他生产要素不变时，一种生产要素的投入越多，,则产量越高。
（错）规模报酬递减规律意味着长期平均成本曲线是U型的。
（错）稀缺性仅仅是市场经济中存在的问题。
错汽车的价格下降会使汽油的需求曲线向左下方移动。
错卖者提高价格肯定能增加总收益。
错吉芬商品是一种低档品，但低档品不一定是吉芬商品。
对如果边际产量递减，那么平均产量一定也是递减的。
错只有在完全竞争市场上，平均收益等于边际收益，其他市场上都不存在这种情况。
( 对 ) 厂商对生产要素的需求取决于生产要素的边际收益产量。
（对）只要垄断现象消失，经济租也会消失。
蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第18章 委托—代理理论)
蒋殿春《高级微观经济学》 第18章委托—代理理论跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．(),x ϕθ是θ类的代理人的成本函数。
在节中我们说，如果()()12,,x x ϕθϕθ>，且()()12,,x x x x ϕθϕθ>成立，则这两类代理人的无差异曲线只相交一次，请证明这一点。
证明：两类代理人的无差异曲线满足方程：()111,u y x ϕθ=- ()222,u y x ϕθ=-它们的差为：()()212112,,u u u y y x x ϕθϕθ∆=-=-+-对函数求导得到：()()12d ,,0d x x ux x xϕθϕθ∆=-> 从而得到u ∆是严格单调函数，所以最多和x 轴相交一次，即最多存在一个x ，使得21u u =。
另一方面，当0x =时，()11,0x a ϕθ==，()22,0x a ϕθ==。
此时委托人的利润函数变为v y =-，根据利润最大化原则，支付的工资为120y y ==。
所以，当0x =时，两效用函数都为0，无差异曲线相交。
2．参看图18-5中显示的两个分布密度函数：如果代理人的行动是a *，可能的产量将落在区间()(),a a αβ**⎡⎤⎣⎦内；另一个行动a '对应的产量区间是()(),a a αβ''⎡⎤⎣⎦。
（1）证明：只要委托人对生产()(),x a a αα*⎡⎤'∈⎣⎦的代理人处予足够大的惩罚，就能保证代理人选择a *；（2）是否也存在适当的惩罚机制，保证代理人选择行动a '？ 解：（1）考虑一个简单的两段支付函数：12y y y ⎧=⎨⎩()()()(),,x a a x a a αααα**⎡⎤'∈⎣⎦⎡⎤'∉⎣⎦其中，1y 和2y 都是常数，12y y <。
蒋殿春高级微观经济学课后习题详解
蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解目录第1章生产技术第2章利润最大化第3章成本最小化第4章消费者行为第5章消费者理论专题第6章进一步的消费模型第7章完全竞争市场第8章一般均衡第9章不确定性和个体行为第10章不确定性下的交换第11章完全信息博弈第12章不完全信息博弈第13章独占市场第14章静态寡占模型第15章多阶段寡占竞争第16章拍卖第17章市场失效第18章委托—代理理论第19章逆向选择、道德危险和信号本书是蒋殿春《高级微观经济学》教材的学习辅导书，对蒋殿春《高级微观经济学》教材每章的课后习题进行了详细的分析和解答，并对个别知识点进行了扩展。
课后习题答案久经修改，质量上乘，特别适合应试作答和复习参考。
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第1章生产技术1两种产品和唯一需要的要素投入是劳动。
一单位产品需要的劳动投入量是8，一单位产品需要的劳动投入量是1。
假设可投入的劳动量总共为48。
（1）写出生产可能集的代数表达式；（2）写出生产（隐）函数；（3）在平面上标示生产边界。
解：（1）由题意可知，总量为48，劳动是两种产品唯一需要的要素投入，所以有：因此，生产可能集的代数表达式为。
（2）一单位产品需要的劳动投入量是8，一单位产品需要的劳动投入量是1，所以生产（隐）函数为。
（3）由（1）可得，生产可能集为，如图1-1所示。
图1-12试画出Leontief生产函数的等产量线。
解：由Leontief生产函数表达式可知，当时，，由此可得到其等产量线如图1-2所示。
图1-23对Cobb-Douglas生产函数（1）证明，。
（2）求技术替代率。
（3）当或变化时，如何随之变化？（4）画出等产量曲线。
解：（1）已知生产函数，即，所以有：即得证。
（2）在（1）中已经证明，，因此，技术替代率为：在Cobb-Douglas生产函数中，整理得。
（3）由（2）可知，，技术替代率与无关，不随的变化而变化；而变化时，技术替代率随之等比例变化。
蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第9章不确定性和个体行为)
蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解（第9章不确定性和个体行为）Borntowin经济学考研交流群<<1．以某代表收入（财富）水平，拥有下列效用函数的个体对待风险的态度是怎样的？uln某ua某b某2a,b0u某2u某12u1006某u1e某解：个体为风险厌恶（爱好）的充分必要条件是其期望效用函数为凹（凸）函数。
由此可以判断他们对待风险的态度分别为厌恶、厌恶、爱好、厌恶、中立和厌恶。
2．在9.1节中我们证明，如果u某是一个期望效用函数，那么其仿射变换v某Au某B也是期望效用函数。
证明：对任何彩票Lp;某,y，以函数u某和v某计算得到的风险升水相等。
证明：根据定义，按效用函数u计算的风险升水r满足等式：urpu某1puy根据v某Au某B，所以有：vrpv某1pvy而这意味着r同时是以效用函数v计算的风险升水。
因此，对任何彩票Lp;某,y，以函数u某和v某计算得到的风险升水相等。
3．有三个人的效用函数分别是；u2某12和u3某2u1c（c为正的常数）有三种可选的彩票：985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→经济学历年考研真题及详解Borntowin经济学考研交流群<<L10.5;480,480，L20.5;850,200，L30.5;1000,0如果要三个人分别在上述彩票中挑一种，他们的选择分别是什么？解：根据个体为风险厌恶（爱好）的充分必要条件是其期望效用函数为凹（凸）函数，可以判断出他们分别是风险中立、厌恶、偏好的。
所以个体1选择L2，个体2选择L1，个体3选择L3。
4．考虑对大街上随地吐痰者进行罚款的制度。
记吐痰后被逮获的概率为P，逮获后罚款金额为T，则一个人在街上吐痰后的“期望被罚金额”是PT。
假设每个人都是风险厌恶的。
保持期望被罚金额PT不变，有两种惩罚方案：（a）P较大T较小；（b）P较小而T较大。
哪一种惩罚方案更为有效？解：记CPT为常数，在罚款制度下，路人吐痰的期望效用是：UEuPuWT1PuWPuWCP1PuW于是，UCuWCP某uWCPuWPPCuWP将等式右端第一项按泰勒公式展式展开，有：uWCPuW，代入前式，得：是位于WCP和W之间的某一实数，所以WCPW其中WUC0uWCPuWPP因此，在固定CPT的前提下，提高P会提高个体的期望效用，这意味着较小概率P和较高罚金T的组合效果更好。
蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第8章 一般均衡)
蒋殿春《高级微观经济学》第8章 一般均衡跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．一个二人经济中有两种商品。
个体1开始有2单位x 商品和2单位y 商品；个体2开始只有2单位x 商品；两人的效用函数分别是：()1,ln u x y x y =+，()2,ln ln u x y x y =+试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。
解：先将商品y 的价格规范为1，设商品x 的价格为p 。
二人的效用最大化问题分别为：1111,11max ln ..22x y x y s t px y p ++=+ 和2222,22max l n ..2x y x y s t px y p++=建立拉格朗日函数：()111111ln 22L x y px y p λ=+-+-- ()222222ln 2L x y px y p λ=+-+-一阶必要条件分别为：111111*********220L x p L y y L px y p λλλ∂∂=-=⎧⎪∂∂=-=⎨⎪∂∂=+--=⎩以及222222222222101020L x x p L y y L px y p λλλ∂∂=-=⎧⎪∂∂=-=⎨⎪∂∂=+-=⎩ 再加上市场出清条件124x x +=，122y y +=，瓦尔拉斯均衡价格和配置为：()(),1,1xyp p =；()()11,3,1x y =，()()22,1,1x y =2．一个二人经济中有两种商品。
个体1开始有30单位x 商品，个体2开始有20单位y 商品；两人的效用函数分别是：(){}1,min ,u x y x y =，(){}122,min ,u x y x y =试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。
蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第9章 不确定性和个体行为)
蒋殿春《高级微观经济学》 第9章 不确定性和个体行为跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．以x 代表收入（财富）水平，拥有下列效用函数的个体对待风险的态度是怎样的？ln u x = 2u ax bx =-(),0a b >2u x = 12u x =1006u x =+ 1x u e -=-解：个体为风险厌恶（爱好）的充分必要条件是其期望效用函数为凹（凸）函数。
由此可以判断他们对待风险的态度分别为厌恶、厌恶、爱好、厌恶、中立和厌恶。
2．在9.1节中我们证明，如果()u x 是一个期望效用函数，那么其仿射变换()()v x Au x B =+也是期望效用函数。
证明：对任何彩票[];,L p x y =，以函数()u x 和()v x 计算得到的风险升水相等。
证明：根据定义，按效用函数()u ∙计算的风险升水r 满足等式：()()()()1u r pu x p u y ωωω-=++-+根据()()v x Au x B =+，所以有：()()()()1v r pv x p v y ωωω-=++-+而这意味着r 同时是以效用函数()v ∙计算的风险升水。
因此，对任何彩票[];,L p x y =，以函数()u x 和()v x 计算得到的风险升水相等。
3．有三个人的效用函数分别是1u c =（c 为正的常数）；122u x =和23u x = 有三种可选的彩票：[]10.5;480,480L =，[]20.5;850,200L =，[]30.5;1000,0L =如果要三个人分别在上述彩票中挑一种，他们的选择分别是什么？解：根据个体为风险厌恶（爱好）的充分必要条件是其期望效用函数为凹（凸）函数，可以判断出他们分别是风险中立、厌恶、偏好的。
蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第17章 市场失效)
在Lindahl均衡处取值：
因此在个体2申报均衡结果时，个体1的申报值将低于均衡值，故而Lindahl均衡不是一个纳什均衡。
（3）构造连续型公共物品的Clark-Groves机制，让个体自愿地显示他对公共物品的偏好。这个机制的施行规则是：
①政府预先随意地指定个体 需要为每单位公共物品缴纳的税率 ，使得：
（3）利用对偶性恒等式，由间接效用函数可推知 。
（4） ，其经济含义是，额外消费一单位公共物品可节约的支出（效用水平不变），这从另一个角度定义了公共物品与货币收入间的替代关系。
（5）根据上面对（2）和（4）求得的两个变量经济含义的解释，二者计算结果一致并不是偶然的。
9．假设厂商1和2的产品是相互替代的，它们面对的需求函数分别是：
其中 。假设厂商1是国有厂商，而厂商2是私有厂商，双方进行价格竞争；政府可以安排前者的定价，但无法直接左右后者的定价决策。社会福利函数定义为消费者剩余与两厂商利润之和，政府的目标是尽可能使社会福利最大。证明：次优解中厂商1的定价高于其边际成本。
证明：若政府为厂商1安排的价格为 ，则厂商2的价格将为：
图17-1
在自由放任的经济中，首先假设厂商1拥有产权，从而它有权生产使其利润达到最大的产量 ，如图17-1所示。给定厂商1的任何一个产量水平 ，厂商2都会选择恰当的 ，使得外部性损失与努力成本之和最小化：
这一问题的一阶必要条件恰好就是条件2。说明厂商2会自动将其努力水平调整到社会所需的最优水平 。图17-1中，与 对应于一条边际外部性损失曲线 。厂商2可以与厂商1协商，由后者降低产量至 ，这个过程中厂商1的利润损失由对方予以补偿。根据上述两个条件， 是社会最优的产量水平；双方进行科斯交易带来的利益为图中面积 ，由两个厂商协商分享。
Geoffrey_高级微观经济学理论_课后习题答案
（7）
马歇尔需求函数为：
x1 =
αy
p1
， x2 =
(1 − α ) y p2
由于效用函数对于正的单调转换不变，所求得的结果与第 20 题的结果相同。 1.22
;
受约束于pi x - y
L ( x, λ ) = u ( x ) + λ[ y − p i x ] ⎧ ∂L ∂u ( x* ) = − λ * pi = 0 ⎪ ∂xi ⎨ ∂xi ⎪ y − p i x* = 0 ⎩
则 px" = p[αx + (1 − α ) x' ] = pαx + (1 − α ) px' = px = px' 又偏好关系是严格凸的，所以 x" > x ' ； u ( x" ) > u ( x' ) ，这与 x'∈ h( p, u ) 相矛盾 故 h( p, u ) 是单值，即唯一解。 ② 若偏好关系是凸的 设 x ∈ h( p, u ) ， x'∈ h( p, u ) 则 px = px' ， u ( x) > u ， u ( x' ) > u 取 α ∈ （0，1） ，令 x" = αx + (1 − α ) x' 则同上 px" = p[αx + (1 − α ) x' ] = pαx + (1 − α ) px' = px = px' ∵ ∴ 偏好关系是凸的
。则 ∀
x , x ,u(x )≥ u(x ) ⇔ x x
1 2 1 2 1
2
x ,x
1
2
∈ X , u ( x1) , u ( x 2) ∈ R 。故总有 u ( x1) ≥ u ( x 2)或u ( x 2) ≥ u ( x1)