【志鸿优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第二章 函数2.5
【志鸿优化设计】2014高考数学(人教A版 理)一轮课时作业：5.3 平面向量的数量积及应用
第3讲平面向量的数量积及应用基础巩固1.已知a=(1,0),b=(1,1),(a+λb)⊥b,则λ等于()A.-2B.2C.D.-【答案】D【解析】由(a+λb)·b=0,得a·b+λ|b|2=0,得1+2λ=0,即λ=-,故选D.2.若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是()A.a·b=1B.|a|=|b|C.(a-b)⊥bD.a∥b【答案】C【解析】a·b=2,选项A错误;|a|=2,|b|=,选项B错误;(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,选项C正确,故选C.3.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|等于()A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】|3a-b|=====7.故选A.4.(2012·湖南永州模拟)已知平面上三点A,B,C满足||=6,||=8,||=10,则·+·+·的值等于()A.100B.96C.-100D.-96【答案】C【解析】∵||=6,||=8,||=10,62+82=102,∴△ABC为直角三角形,即·=0.·+·+·=·(+)=·=-||2=-100.5.(2013届·浙江杭州质检)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则a+b与a-b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】将|a+b|=|a-b|两边同时平方,得a·b=0;将|a-b|=|a|两边同时平方,得b2=a2.所以cos<a+b,a-b>===.所以<a+b,a-b>=60°.6.已知向量a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),若a与b的夹角为60°,则直线x cos α-y sin α+=0与圆(x-cos β)2+(y+sin β)2=的位置关系是()A.相交B.相交且过圆心C.相切D.相离【答案】D【解析】∵a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),∴|a|=2,|b|=3.∴a·b=6cos αcos β+6sin αsin β=6cos(α-β).而a·b=|a||b|cos 60°=3,∴6cos(α-β)=3⇒cos(α-β)=.则圆心(cos β,-sin β)到直线x cos α-y sin α+=0的距离d===1>=r,故直线与圆相离.7.设向量a与b的夹角为θ,定义a与b的“向量积”:a×b是一个向量,它的模|a×b|=|a||b|sin θ,若a=(-,-1),b=(1,),则|a×b|等于()A. B.2 C.2 D.4【答案】B【解析】∵|a|=|b|=2,a·b=-2,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴sin θ=.∴|a×b|=2×2×=2.故选B.8.已知向量a=(4,3),b=(sin α,cos α),且a⊥b,那么tan 2α=.【答案】-【解析】由a⊥b得4sin α+3cos α=0,所以tan α=-⇒tan 2α=-.9.(2012·课标全国卷,15)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=. 【答案】3【解析】∵a,b的夹角为45°,|a|=1,∴a·b=|a||b|cos 45°=|b|,|2a-b|2=4-4×|b|+|b|2=10,∴|b|=3.10.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:①若a·b=a·c,则b=c.②若a=(1,k),b=(-2,6), a∥b,则k=-3.③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).【答案】②【解析】命题①明显错误.由两向量平行的充要条件得1×6+2k=0,k=-3,故命题②正确.由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法则可得a与a+b的夹角为30°,命题③错误.11.已知=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使⊥,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解】设存在点M,且=λ=(6λ,3λ),∴=-=(2-6λ,5-3λ),=-=(3-6λ,1-3λ).∵⊥,∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,即45λ2-48λ+11=0,解得λ=或λ=.∴=(2,1)或=.∴存在M(2,1)或M满足题意.12.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求(b·c)a;(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;(3)求向量a在b方向上的投影.【解】(1)∵a=(1,2),b=(2,-2),∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6).∴b·c=2×6-2×6=0.∴(b·c)a=0×a=0.(2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ),由于a+λb与a垂直,∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=.(3)设向量a与b的夹角为θ,向量a在b方向上的投影为|a|cos θ.∴|a|cos θ===-=-.13.已知a=(sin θ,1),b=(1,cos θ),c=(0,3),-<θ<.(1)若(4a-c)∥b,求θ;(2)求|a+b|的取值范围.【解】(1)4a-c=(4sin θ,4)-(0,3)=(4sin θ,1),∵(4a-c)∥b,∴4sin θcos θ-1=0.∴sin 2θ=.∵θ∈,∴2θ∈(-π,π).∴2θ=或,即θ=或.(2)a+b=(sin θ+1,1+cos θ),|a+b|===,∵-<θ<,∴-<θ+<.∴sin.∴2sin∈(-2,2].∴|a+b|∈(1,+1].拓展延伸14.(2012·湖南衡阳六校联考)已知向量m=,n=,函数f(x)=m·n.(1)若f(x) =1,求cos的值;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,且满足a cos C+c=b,求f(B)的取值范围. 【解】由题意得f(x)=sincos+cos2=sin+cos+=sin+.(1)由f(x)=1,可得sin=,则cos=2cos2-1=2sin2-1=-.(2)由a cos C+c=b可得a·+c=b,即b2+c2-a2=bc,则cos A ==,得A=,B+C=,易知0<B<,0<<,则<+<,所以1<sin+<.故f(B)的取值范围为.。
《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】第十二篇第3讲数学归纳法
第 3 讲数学归纳法A 级 基础演练 (时间： 30 分钟满分： 55 分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 )1．用数学归纳法证明不等式 1 1 11271＋ ＋ ＋ ＋ n －1＞64 (n ∈N *)成立，其初始值至2 4 2少应取()．A ．7B ．8C ．9D ．101剖析左侧＝ 1＋1＋1＋ ＋ 1＝n1，代入考据可知的最小1－2 ＝ －n2 42n －11 2 2n －11－2值是 8.答案B2．用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时， x n ＋ y n 能被 x ＋ y 整除”，在第二步时，正确的证法是()．A ．假设 n ＝k(k ∈ N ＋ )，证明 n ＝k ＋1 命题成立B ．假设 n ＝k(k 是正奇数 )，证明 n ＝k ＋1 命题成立＝ ＋ ∈ N ＋)，证明 n ＝k ＋ 1 命题成立C ．假设 n 2k 1(kD ．假设 n ＝k(k 是正奇数 )，证明 n ＝k ＋2 命题成立剖析 A 、B 、C 中， k ＋1 不用然表示奇数，只有 D 中 k 为奇数， k ＋2 为奇 数．答案 D3．用数学归纳法证明 1＋1－1＋ ＋1 － 1 ＝ 1 ＋1＋ ＋ 1 ，则 1－234 2n － 1 2n n ＋1 n ＋22n当 n ＝k ＋ 1 时，左端应在 n ＝k 的基础上加上( )．11A.2k ＋ 2 B ．－2k ＋ 2 1 11 1C.2k ＋ 1－ 2k ＋2D.2k ＋1＋2k ＋2剖析 ∵当n ＝k 时，左侧＝ 1－ 1＋ 1－1＋ ＋1 － 1，当＝＋ 时，23 42k － 12k n k 1左侧＝ 1－1＋1－1＋ ＋ 1 － 1 ＋1 － 1 .2 3 42k －12k2k ＋12k ＋ 2答案C4．对于不等式n 2＋n<n ＋ 1(n ∈ N * )，某同学用数学归纳法的证明过程以下：(1)当 n ＝1 时， 12 ＋1<1＋ 1，不等式成立．*2(2)假设当 n ＝ k(k ∈ N 且 k ≥ 1)时，不等式成立，即 k ＋ k<k ＋1，则当 n ＝ k ＋1)＋1，因此当 n ＝k ＋1 时，不等式成立，则上述证法( )．A ．过程所有正确B ．n ＝1 验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从 n ＝k 到 n ＝ k ＋1 的推理不正确剖析 在 n ＝ k ＋1 时，没有应用 n ＝ k 时的假设，故推理错误．答案 D二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )．用数学归纳法证明不等式 1 ＋1 ＋ ＋ 1＞13的过程中，由 n ＝k 推导 5 n ＋1 n ＋2 n ＋n 24n ＝k ＋1 时，不等式的左侧增加的式子是 ________．剖析 不等式的左侧增加的式子是1 ＋ 1 － 1＝ 1，故2k ＋1 2k ＋2 k ＋1 2k ＋1 2k ＋21 填.2k ＋1 2k ＋21答案2k ＋1 2k ＋26．以以下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n ∈ N *)行，在这些数中非1 的数字之和是 ________________．11 11 2 113 3 114641剖析 所有数字之和 S n ＝ 0＋ ＋ 2 2＋ ＋ n －1＝ n － ，除掉1 的和为 n －1 2 22 2 12－ (2n －1)＝ 2n －2n.答案2n－2n三、解答题 (共 25 分 )． 分 已知 S n＝1＋1＋1＋ ＋ 1， ∈ * ) ，求证：＋n≥ ， ∈ * ．7 (12 )23n (n>1n NS 2n >1 2(n 2 n N )证明1 1 1 252＝ 时命题成立； (1)当 n ＝2 时， S 2n ＝ 4＝ ＋ ＋ ＋ ＝＋ ，即 nS1 2 3 4 12>12 2*1 1 1k(2)假设当 n ＝ k(k ≥ 2， k ∈N )时命题成立，即 S 2k ＝1＋2＋3＋ ＋ 2k >1＋2，1 1 1 1 1 k1 ＋ 则当 n ＝k ＋1 时， S 2k ＋1＝1＋ ＋ ＋ ＋ k ＋ ＋ ＋ >1＋ ＋2 322k＋ 12k ＋12 2k＋ 11＋ ＋ 1 >1＋ k ＋ 2k＝ 1＋ k ＋ 1＝ 1＋ k ＋1，2k＋22k ＋12 2k＋2k2 22故当 n ＝k ＋1 时，命题成立．*n由(1)和(2)可知，对 n ≥ 2，n ∈N .不等式 S 2n >1＋ 2都成立．8．(13 分)已知数列 { a n } ：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝ r ，a n ＋ 3＝a n ＋ 2(n ∈ N * )，与数列 { b n } ：b 1＝ 1，b 2＝ 0，b 3＝－ 1，b 4＝0，b n ＋ 4＝b n (n ∈N * )．记 T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋＋ b n a n .(1)若 a 1＋ a 2＋a 3＋ ＋ a 12＝64，求 r 的值；(2)求证： T 12n ＝－ 4n(n ∈N *)．(1) 解 a 1＋ a 2 ＋ a 3＋ ＋ a 12＝1＋2＋r ＋3＋4＋(r ＋ 2)＋5＋6＋ (r ＋ 4)＋ 7＋ 8＋ (r ＋ 6)＝48＋ 4r .∵48＋4r ＝64，∴ r ＝4.(2)证明用数学归纳法证明：当 n ∈N * 时， T 12n ＝－ 4n.①当 n ＝1 时， T 12＝a 1－a 3＋a 5－ a 7＋a 9－a 11＝－ 4，故等式成立．②假设 n ＝k 时等式成立，即 T 12k ＝－ 4k ，那么当 n ＝k ＋1 时，T 12(k ＋ 1) ＝T 12k ＋ a 12k ＋ 1－a 12k ＋ 3＋ a 12k ＋ 5－ a 12k ＋7＋ a 12k ＋ 9－ a 12k ＋11＝－ 4k ＋ (8k ＋ 1)－ (8k ＋r)＋ (8k ＋ 4)－(8k ＋5)＋(8k ＋r ＋4)－ (8k ＋ 8)＝－ 4k － 4＝－ 4(k ＋1)，等式也成立．依照①和②可以判断：当 n ∈ N * 时， T 12n ＝－ 4n.B 级能力打破(时间： 30 分钟满分： 45 分)一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )．用数学归纳法证明 4＋n 22＝n，则当 n ＝k ＋1 时左端应在 n ＝k11＋2＋3＋ ＋ n2的基础上加上 ()．A ．k 2＋ 1B ．(k ＋ 1)2k ＋ 1 4＋ k ＋ 1 2C.2D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ (k 2＋3)＋ ＋ (k ＋ 1)2剖析 ∵当n ＝k 时，左侧＝ 1＋ 2＋ 3＋ ＋k 2，当 n ＝ ＋ 时，左侧＝ ＋ ＋k 1 1 2 3＋ ＋k 2＋(k 2＋1)＋ ＋(k ＋1)2∴当n ＝k ＋1 时，左端应在 n ＝ k 的基础上加上 (k 2＋1)＋ (k 2＋2)＋(k 2＋ 3)＋ ＋(k ＋1)2.答案 D2＋4＋33＋ ＋ n ×3n － 1＝3n－ b) ＋ c 对 2．(2013 ·广州一模 )已知 1＋2×3＋3×3 (na所有 n ∈N * 都成立，则 a 、b 、c 的值为 ( )．1 1 1A ．a ＝2，b ＝c ＝4B ．a ＝b ＝c ＝41C ．a ＝0，b ＝c ＝4D ．不存在这样的 a 、b 、c解 析∵等式对所有n ∈N * 均 成 立 ， ∴n ＝ 1,2,3 时等式成立，即1＝3 a －b ＋c ，1＋2×3＝322a －b ＋c ，1＋2×3＋3×32＝333a －b ＋ c ，3a － 3b ＋c ＝1，整理得 18a －9b ＋ c ＝ 7，81a －27b ＋c ＝34，11解得 a ＝2，b ＝c ＝ 4.答案A二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3．已知整数对的序列以下： (1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)， (2,4)， ，则第 60 个数对是 ________．剖析本题规律： 2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；；一个整数 n 所拥有数对为 (n－1)对．n－ 1 n设 1＋ 2＋ 3＋＋(n－ 1)＝60，∴＝60，2∴n＝ 11 时还多 5 对数，且这 5 对数和都为 12，12＝ 1＋ 11＝2＋10＝ 3＋ 9＝ 4＋ 8＝ 5＋ 7，∴第60 个数对为 (5,7)．答案(5,7)1 *4．已知数列 {a n} 的通项公式 a n＝n＋12(n∈N )， f(n)＝ (1－a1)(1 －a2) (1－a n )，试经过计算 f(1)，f(2)， f(3)的值，推测出 f(n)的值是 ________．剖析1 3－－ 2 ＝1 3 82 4 f(1)＝1－a1＝－＝，＝(11f(1)1－＝×＝＝，1 4 4 f(2) a )(1 a ) · 9 4 9 3 6f(3) ＝ (1 － a1) ·(1－ a2)(1－ a3)＝ f(2) 1－1＝2×15 5f(n)＝·16 3 16＝8，由此猜想，n＋ 2(n∈N* )．2 n＋1答案n＋ 2 *2 n＋1 (n∈N )三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分 )设数列 { a n} 满足 a1＝ 3， a n＋1＝a2n－ 2na n＋2，n＝1,2,3，(1)求 a2， a3，a4的值，并猜想数列 {a n} 的通项公式 (不需证明 )；(2)记 S n为数列 { a n} 的前 n 项和，试求使得 S n<2n成立的最小正整数n，并给出证明．解 (1)a2＝ 5， a3＝7，a4＝9，猜想 a n＝ 2n＋1.n 3＋2n＋ 12n(2)S n＝＝n＋2n，使得S n<2成立的最小正整数n＝6.下证： n≥6(n∈N* )时都有 2n>n2＋2n.6 2①n＝6 时， 2 >6 ＋2×6，即 64>48 成立；《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】第十二篇第3讲数学归纳法②假设 n＝k(k≥6，k∈N* )时， 2k>k2＋2k 成立，那么 2k＋1＝2·2k>2(k2＋ 2k)＝ k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝ (k＋1)2＋ 2(k＋ 1)，即 n＝k＋1 时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的 n≥6(n∈N*)都有 2n>n2＋2n 成立．6．(13 分 )(2012 安·徽 )数列 { x n} 满足 x1＝0， x n＋1＝－ x2n＋x n＋c(n∈N* )．(1)证明： { x n} 是递减数列的充分必要条件是c<0；(2)求 c 的取值范围，使 { x n} 是递加数列．(1)证明先证充分性，若c<0，因为 x n＋1＝－ x2n＋ x n＋c≤ x n＋c<x n，故 { x n} 是递减数列；再证必要性，若 { x n} 是递减数列，则由x2<x1可得 c<0.(2)解①假设{ x n}是递加数列．由 x1＝0，得 x2＝c， x3＝－ c2＋ 2c.由 x1<x2<x3，得 0<c<1.由 x n<x n＋1＝－ x2n＋x n＋c 知，对任意n≥ 1 都有x n< c，①注意到c－x n＋1＝x2n－x n－ c＋c＝(1－c－x n)( c－x n)，②由①式和②式可得1－c－ x n>0，即 x n<1－ c.由②式和 x n≥0 还可得，对任意n≥1 都有c－ x n＋1≤(1－c)( c－x n)．③屡次运用③式，得c－x n≤(1－c)n－1( c－x1)<(1－c)n－1，x n<1－c和c－x n<(1－c)n－1两式相加，知2 c－1<(1－c)n－1对任意 n≥1 成立．依照指数函数 y＝(1－c)n的性质，得1 12c－1≤0，c≤4，故 0<c≤4.1②若 0<c≤4，要证数列 { x n} 为递加数列，即 x n＋1－x n＝－ x n2＋c>0，即证 x n<c对任意 n≥ 1 成立．1下面用数学归纳法证明当0<c≤4时， x n<c对任意 n≥1 成立．1(i) 当 n＝1 时， x1＝ 0< c≤2，结论成立．《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】第十二篇第3讲数学归纳法(ii)假设当 n＝k(k∈N*) 时，结论成立，即 x n< c.因为函数 f(x)＝－ x2＋x＋c 在区间－∞， 1 内单调递加，因此 x k＋1＝f(x k)<f( c)2＝c，这就是说当 n＝k＋1 时，结论也成立．故 x n< c对任意 n≥1 成立．2因此， x n＋1＝x n－ x n＋c>x n，即 { x n} 是递加数列．1由①②知，使得数列 { x n} 单调递加的 c 的范围是 0，4 .特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。
【志鸿优化设计】2014高考数学(人教A版-理)一轮课时作业：10.6-随机数及用模拟方法估计概率
第6讲随机数及用模拟方法估计概率基础巩固1.方程x2+x+n=0(n∈(0,1))有实根的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由Δ=1-4n≥0得n≤,又n∈(0,1),故所求事件的概率为P=.2.已知地铁列车每10min(含在车站停车时间)一班,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试验的所有结果构成的区域长度为10min,而构成事件A的区域长度为1min,故P(A)=.3.如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45°,若向圆内投镖,如果某人每次都投入圆内,那么他投中阴影部分的概率为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】阴影部分的面积是整个圆的面积的.4.如图,已知正方形的面积为10,向正方形内随机地撒200颗黄豆,数得落在阴影外的黄豆数为114颗,以此试验数据为依据,可以估计出阴影部分的面积约为( ) A.5.3 B.4.3 C.4.7 D.5.7【答案】B【解析】这个面积是10×=4.3.5.如右图所示,在直角坐标系内,射线OT落在60°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠xOT内的概率是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.事件A的几何度量是60°,而所有区域的几何度量是360°,故P(A)=.6.某人向平面区域|x|+|y|≤内任意投掷一枚飞镖,则飞镖恰好落在单位圆x2+y2=1内的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】区域|x|+|y|≤是边长为2的一个正方形区域(如下图),由图知所求概率为.7.已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A,则事件A发生的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知事件A对应表示的区域,其面积为8,试验的全部结果构成的区域面积为16,故所求概率为P=.8.向面积为9的△ABC内任投一点P,那么△PBC的面积小于3的概率是. 【答案】【解析】如图,由题意,△PBC的面积小于3,则点P应落在梯形BCED内, ∵,∴S△ADE=4.∴S梯形BCED=5.∴P=.9.在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域.向D中随机投一点,则落入E 中的概率是.【答案】【解析】如图,区域D表示边长为4的正方形ABCG的内部(含边界),区域E表示单位圆及其内部,因此P=.10.在不等式组所表示的平面区域内,点(x,y)落在区域内的概率是.【答案】【解析】如图,题中不等式组所表示的平面区域的面积是,在这个区域中带形区域的面积是1,故所求的概率是.11.两人约定在20:00到21:00之间相见,并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去,如果两人出发是各自独立的,在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的,求两人在约定时间内相见的概率.【解】设两人分别于x时和y时到达约见地点,要使两人能在约定时间范围内相见, 当且仅当-≤x-y≤.两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示,两人能在约定的时间范围内相见的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示.因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小,也就是所求的概率为P=.12.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值;(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率;②在区间[0,2]内任取两个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.【解】(1)由题意可知:,解得n=2.(2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为:(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共12个,事件A包含的基本事件为:(0,21),(0,22),(21,0),(22,0)共4个.∴P(A)=.②记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y2>4”,(x,y)可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件B所构成的区域B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω},P(B)==1-.13.已知函数f(x)=ax2-2bx+a(a,b∈R).(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,求方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率;(2)若b从区间(0,2)中任取一个数,a从区间(0,3)中任取一个数,求方程f(x)=0没有实根的概率.【解】(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b取集合{0,1,2,3}中任一个元素,a,b取值的情况是:(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),( 2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3, 3),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,即基本事件总数为16.记“方程f(x)=0恰有两个不相等的实根”为事件A,当a≥0,b≥0时,方程f(x)=0恰有两个不相等实根的充要条件为b>a且a≠0, 当b>a且a≠0时,a,b取值的情况有(1,2),(1,3),(2,3),即A包含的基本事件数为3,∴方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率P(A)=.(2)记“方程f(x)=0没有实根”为事件B.∵b从区间(0,2)中任取一个数,a从区间(0,3)中任取一个数,则试验的全部结果构成区域{(a,b)|0<a<3,0<b<2},这是一个矩形区域,其面积SΩ=2×3=6,则事件B所构成的区域为{(a,b)|0<a<3,0<b<2,a>b},其面积为6-×2×2=4.由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根的概率P(B)=.拓展延伸14.设AB=6,在线段AB上任取两点(端点A,B除外),将线段AB分成了三条线段.(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率;(2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率.【解】(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能为:1,1,4;1,2,3;2,2,2,共3种情况,其中只有三条线段为2,2,2时能构成三角形,则构成三角形的概率P=.(2)设其中两条线段长度分别为x,y,则第三条线段长度为6-x-y,则全部结果所构成的区域为这个区域是坐标平面内以点O(0,0),A(6,0),B(0,6)为顶点的三角形,其面积为×6×6=18.若三条线段能够构成三角形,则还应满足任意两边之和大于第三边,即满足这个区域是以D(0,3),E(3,0),F(3,3)为定点的三角形,其面积是.故所求的概率为.。
《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习题库：第九章解析几何9.1直线及其方程
《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习题库：第九章解析几何9．1直线及其方程A．0 B．33C． 3D．－ 37．已知函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋1a表示的直线是()．二、填空题8．直线ax＋my－2a＝0(m≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角为__________．9．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则1a＋1b＝__________.10．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点．下列命题中正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b 不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线三、解答题11．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．12．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．参考答案一、选择题1．A 解析：直线的斜率k ＝－1－0－1－0＝1， ∴tan α＝1.∴α＝45°.2．C 解析：过点M ，N 的直线方程为y ＋14＋1＝x －2－3－2. 又∵P (3，m )在这条直线上，∴m ＋14＋1＝3－2－3－2，m ＝－2. 3．C 解析：由A ·C ＜0及B ·C ＜0，可知A ≠0，B ≠0，又直线Ax ＋By ＋C ＝0过⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－C A ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－C B ，且－C A ＞0，－C B ＞0， ∴直线不过第三象限．4．A 解析：易知A (－1,0)．∵|PA |＝|PB |，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上．∴B (5,0)．∵PA ，PB 关于直线x ＝2对称，∴k PB ＝－1.∴l PB ：y －0＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.5．B 解析：由条件知k l 1＝3，k l 2＝－k ， ∴3×(－k )＝－1.∴k ＝13，即k l 2＝－13. 又l 2过点(0,5)，∴l 2：y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0. 6．C 解析：由k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k ＝tan 60°＝ 3.7．C 解析：∵f (x )＝a x 且x ＜0时，f (x )＞1，∴0＜a ＜1，1a ＞1.又∵y ＝ax ＋1a ，令x ＝0得y ＝1a ，令y ＝0得x ＝－1a2. ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1a 2＞1a ，故C 项图符合要求．二、填空题 8．135° 解析：∵ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，∴a ＋m －2a ＝0.∴m ＝a .直线方程为ax ＋ay －2a ＝0，又m ＝a ≠0，∴直线方程即为x ＋y －2＝0.∴斜率k ＝－1.∴倾斜角α＝135°.9．12解析：设直线方程为x a ＋y b ＝1，因为A (2,2)在直线上，所以2a ＋2b ＝1，即1a ＋1b ＝12. 10．①③⑤ 解析：对于①，举例：y ＝2x ＋ 3.故①正确；对于②，举例：y ＝2x －2，过整点(1,0)，故②不正确；对于③，不妨设两整点(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1≠b 2)，则直线为：y ＝b 2－b 1a 2－a 1(x －a 1)＋b 1，只需x －a 1为a 2－a 1的整数倍，即x －a 1＝k (a 2－a 1)，(k ∈Z)就可得另外整点．故③正确．对于④，举例：y ＝x ＋12，k 与b 均为有理数，但是直线不过任何整点．故④不正确．对于⑤，举例：y ＝2x －2，只过整点(1,0)，故⑤正确．三、解答题11．解：(1)∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴直线l 的斜率存在，a ≠－1.令x ＝0，得y ＝a －2.令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1. 由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2或a ＝0. ∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不经过第二象限，∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]．12．(1)证明：设直线过定点(x 0，y 0)， 则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立．所以x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0.解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)解：直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1， 要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎨⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是k ≥0. (3)解：依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．第 11 页 又－1＋2k k ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB | ＝12×1＋2k k ×(1＋2k ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第二篇第8讲函数与方程
第 8 讲 函数与方程A 级 基础演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1．函数 f(x)＝sin x －x 零点的个数是 ()．A ．0B ． 1C ． 2D ． 3解析 f ′ (x)＝cos x －1≤0，∴f(x)单调递减，又 f(0)＝0，∴则f(x)＝ sin x －x 的零点是唯一的． 答案 B2．(2013 ·泰州模拟 )设 f(x)＝e x ＋x －4，则函数 f(x)的零点位于区间 ()． A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析 ∵f(x)＝e x ＋x －4，∴f ′ (x)＝e x ＋ 1>0，∴函数 f(x)在 R 上单调递增． 对于 A 项， f(－1)＝e －1＋ (－1)－ 4＝－ 5＋e －1<0，f(0)＝－ 3<0，f(－1)f(0)>0，A 不 正确，同理可验证 B 、 D 不正确．对于 C 项，∵f(1)＝ e ＋ 1－ 4＝e －3<0， f(2) ＝e 2＋ 2－ 4＝ e 2－2>0，f(1)f(2)<0，故选 C.答案 C． ·石家庄期末 ) 函数 f(x)＝2 x－ 2－a 的一个零点在区间 (1,2)内，则实数 a 3 (2013 x的取值范围是()．A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析 由条件可知 f(1)f(2)<0，即 (2－2－ a)(4－ 1－ a)<0，即 a(a －3)<0，解之得 0<a<3.第 1 页共 8 页答案 C4．(2011 ·东山 )已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x) ＝ x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间 [0,6]上与 x 轴的交点的个数为( )．A ．6 B． 7 C． 8 D． 9解析当 0≤ x<2 时，令 f(x)＝x3－＝，得x ＝或＝x 0 x 1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为 2，可知 y＝ f(x)在[0,6)上有 6 个零点，又f(6)＝f(3× 2)＝f(0)＝ 0，∴f(x)在[0,6] 上与 x 轴的交点个数为7.答案 B二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )x2，x≤0，g(x)＝f(x)－x－a，若函数 g(x)有两个零点，5．已知函数 f(x)＝f x－1 ， x>0，则实数 a 的取值范围为 ________．解析设 n 为自然数，则当n<x≤ n＋ 1 时， f(x)＝(x－ n－ 1)2，则当 x>0 时，函数 f(x)的图象是以 1 为周期重复出现．而函数y＝x＋a 是一族平行直线，当它过点 (0,1)(此时 a＝ 1)时与函数 f(x)的图象交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数 a 的取值范围为a<1.答案(－∞， 1)x＋1，x≤0，6．函数 f(x)＝则函数 y＝f[f(x)]＋ 1 的所有零点所构成的集合为log2x，x>0，________．解析本题即求方程f[f(x)] ＝－ 1 的所有根的集合，先解方程f(t)＝－ 1，即t≤0，t>0， 1 1或log2t＝－ 1，得 t＝－ 2 或 t＝2.再解方程 f(x)＝－ 2 和 f(x)＝2.t＋1＝－ 1第 2 页共 8 页x ≤0， x>0，x ≤0， x>0，即或和1 或 1 x ＋1＝－ 2log2x ＝－ 2 x ＋1＝2log2x ＝ 2.1 1 得 x ＝－ 3 或 x ＝ 4和 x ＝－ 2或 x ＝ 2.1 1答案 － 3，－ 2，4， 2三、解答题 (共 25 分 )17．(12 分 )设函数 f(x)＝ 1－ x (x>0)． (1)作出函数 f(x)的图象；1 1(2)当 0<a<b ，且 f(a)＝ f(b)时，求 a ＋ b 的值； (3)若方程 f(x)＝ m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围．解 (1)如图所示．1(2)∵f(x)＝ 1－ x1 x－1，x ∈ 0，1] ， ＝11－ x ，x ∈ 1，＋∞ ，故 f(x)在 (0,1]上是减函数，而在 (1，＋∞ )上是增函数， 由 0<a<b 且 f(a)＝f(b)，111 1得 0<a<1<b ，且 a －1＝1－b ，∴ a ＋b ＝2. (3)由函数 f(x)的图象可知，当0<m<1 时，方程 f(x)＝m 有两个不相等的正根．8．(13 分 )已知函数 f(x)＝ x 3 ＋2x 2 －ax ＋ 1.(1)若函数 f(x)在点 (1， f(1))处的切线斜率为 4，求实数 a 的值； (2)若函数 g(x)＝ f ′(x)在区间 (－1,1)上存在零点，求实数 a 的取值范围．解 由题意得 g(x)＝ f ′ (x)＝3x 2 ＋4x － a.(1)f′(1)＝3＋4－a＝4，∴ a＝3.第 3 页共 8 页1 (2)法一①当 g(－ 1)＝－ a－1＝0，a＝－ 1 时，g(x)＝f′(x)的零点 x＝－3∈(－1,1)；7②当 g(1)＝7－a＝ 0，a＝7 时， f′ (x)的零点 x＝－3?(－ 1,1)，不合题意；③当 g(1)g(－ 1)<0 时，－ 1<a<7；＝4× 4＋ 3a ≥0，－1<－2，43<1④当时，－3≤ a<－1.g 1 >0，g －1 >04综上所述， a∈ －3，7 .法二 g(x)＝f′(x)在区间 (－1,1)上存在零点，等价于 3x2＋4x＝a 在区间 (－1,1)上有解，也等价于直线 y＝a 与曲线 y＝3x2＋4x 在(－1,1)有公共点．作图可得4a∈ －3， 7 .或者又等价于当x∈(－1,1)时，求值域．2＋4x＝ 3 x＋2 2 4 4.a＝3x3 －∈ －，7 3 3B 级能力突破 (时间： 30 分钟满分： 45 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 )1．(2011 ·陕西 )函数 f(x)＝x－ cos x 在[0，＋∞ )内( )．A ．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点解析令 f(x)＝0，得x＝cos x，在同一坐标系内画出两个函数 y＝x与 y＝cos x 的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程x＝cos x 只有一个解．∴函数 f(x)只有一个零点．第 4 页共 8 页答案 B2．(2012 ·辽宁 )设函数 f(x)(x∈ R)满足 f(－x)＝ f(x)， f(x)＝f(2－ x)，且当 x∈[0,1]时， f(x)＝x3又函数g(x)＝π ，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在－1，3上的. |xcos( x)|2 2零点个数为( )．A ．5 B． 6 C． 7D． 8解析由题意知函数 y＝f(x)是周期为 2 的偶函数且 0≤x≤1 时， f(x)＝x3，则当－ 1≤ x≤0 时，f(x)＝－ x3，且 g(x)＝|xcos(x)|π，所以当 x＝0 时，f(x)＝ g(x)．当1 3 2x≠0 时，若 0<x≤2，则 x ＝xcos( x)π，即 x＝|cos πx|.同理可以得到在区间－1， 0 ，1， 1 ，1，3上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得2 2 2关系式等号两边函数的图象，如图所示，有 5 个根．所以总共有 6 个．答案 B二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )3．已知函数 f(x)满足 f(x＋1)＝－ f(x)，且 f(x)是偶函数，当 x∈[0,1] 时， f(x)＝x2.若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k 有4 个零点，则实数k 的取值范围为________．解析依题意得f(x＋ 2)＝－ f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以 2 为周期的函数． g(x)＝f(x)－kx－ k在区间 [－ 1,3]内有 4 个零点，即函数 y＝f(x)与 y＝k(x＋1)的图象在区间 [ －1,3]内有 4 个不同的交点．在坐标平面内画出函数 y ＝f(x)的图象 (如图所示 )，注意到直线 y＝k(x＋1)恒过点 (－ 1,0)，由题及图象可1知，当 k∈ 0，4时，相应的直线与函数y＝f(x)在区间 [－1,3] 内有 4 个不同的第 5 页共 8 页1交点，故实数 k 的取值范围是0，4 .1答案0，44．若直角坐标平面内两点 P， Q 满足条件：① P、Q 都在函数 f(x) 的图象上；② P、Q 关于原点对称，则称点对 (P、Q)是函数 f(x)的一个“友好点对” (点对 (P、Q)与点对 (Q ， P) 看作同一个“友好点对” ) ．已知函数 f(x) ＝2x2＋4x＋1，x<0，2 则 f(x)的“友好点对”的个数是 ________．x，x≥0，e解析设 P(x， y)、Q(－ x，－ y)(x>0)为函数 f(x)的“ 友好点对”，则2 2 2 y＝e，－ y＝2(－ x) ＋4(－ x)＋1＝2x －x4x＋1，∴2 2－＋＝，在同一坐标系中作函数＋2x4xx 1 0e2 2y1＝e x、y2＝－ 2x＋4x－ 1 的图象， y1、y2 的图象有两个交点，所以f(x)有 2 个“友好点对”，故填 2.答案 2三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分 )设函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c (a>0， a， c∈ R)．(1)设 a>c>0.若 f(x)>c2－2c＋a 对 x∈[1 ，＋∞ )恒成立，求 c 的取值范围；(2)函数 f(x)在区间 (0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？a＋ c 解(1)因为二次函数 f(x)＝ 3ax2－2(a＋c)x＋c 的图象的对称轴为 x＝3a，由a＋c 2a 2条件 a>c>0，得 2a>a＋ c，故3a <3a＝3<1，即二次函数 f(x)的对称轴在区间[1，＋∞ )的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞ )内是增函数．若f(x)>c2－ 2c＋a 对 x∈ [1，＋∞ )恒成立，则 f(x)min＝ f(1)>c2－ 2c＋a，即 a－c>c2－ 2c＋a，得 c2－c<0，第 6 页共 8 页所以 0<c<1.(2)①若 f(0) f(1)·＝c·(a－c)<0，则c<0，或 a<c，二次函数 f(x)在 (0,1)内只有一个零点．②若 f(0)＝c>0，f(1)＝ a－ c>0，则 a>c>0.因为二次函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋ c 的图象的对称轴是 x＝a＋c而a＋c ＝3a .f 3a －a2＋ c2－ac<0，3aa＋ c a＋ c所以函数 f(x)在区间 0，3a和3a ，1 内各有一个零点，故函数 f(x)在区间(0,1)内有两个零点．6．(13 分 )已知二次函数 f(x)＝x2－ 16x＋q＋3.(1)若函数在区间 [ －1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)是否存在常数 t(t≥0)，当 x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间 D，且区间 D 的长度为12－ t(视区间 [a， b] 的长度为 b－a)．解(1)∵函数 f(x)＝ x2－16x＋q＋3 的对称轴是 x＝ 8，∴f(x)在区间 [ －1,1]上是减函数．f 1 ≤ 0，∵函数在区间 [ － 1,1] 上存在零点，则必有即f －1 ≥0，1－ 16＋q＋3≤0，∴－ 20≤q≤12.1＋ 16＋q＋3≥0，(2)∵0≤ t<10， f(x)在区间 [0,8] 上是减函数，在区间 [8,10] 上是增函数，且对称轴是 x＝8.①当 0≤t≤ 6 时，在区间 [t,10]上， f(t)最大， f(8)最小，∴f(t)－f(8)＝12－t，即 t2－ 15t＋52＝0，解得 t＝15±17，∴ t＝15－ 17 2 2；②当 6<t≤8 时，在区间 [t,10]上， f(10)最大， f(8)最小，∴f(10)－f(8)＝12－t，解得 t＝8；③当 8<t<10 时，在区间 [t,10]上， f(10)最大， f(t)最小，第7 页共 8 页∴f(10)－f(t)＝12－ t，即 t2－17t＋72＝ 0，解得 t＝8,9，∴t＝9.15－17综上可知，存在常数t＝，8,9 满足条件 .特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容 .第8 页共 8 页。
【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习第二章函数2.1函数及其表示教学案理新人教A版
4． B 解析： 由 x＋ 1>0， 4－ x2≥０
x≠0，
得 x>－1，
－2≤ x≤2，
所以定义域为 ( － 1 ,0) ∪(0,2] ．
5． A
解析：
当
x≤１时，
x
3＝
2，
∴ x＝log 32；
当 x＞1 时，－ x＝ 2，∴ x＝－ 2( 舍去 ) ．
∴ x＝log 32.
3．若两个函数的定义域与值域相同， 它们不一定是同一函数， 如函数 y＝ x 与 y＝ x＋ 1，
其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如
y＝sin x 与 y＝ cos x，其定义域都为
R，值域都为 [ － 1,1] ，显然不是同一个函数． 定义域和解析式相同的两个函数是同一个函数．
4．分段函数的定义域、 值域为各段上的定义域、 值域的并集； 最大 ( 小 ) 值是各段最大 ( 小 )
－x， x>1，
A． log 32 C． log 32 或－ 2
B．－ 2 D． 2
一、求简单函数的定义域、值域
【例 1－ 1】 (2012 江苏高考 ) 函数 f ( x) ＝ 1－ 2log 6x的定义域为 __________ ．
【例 1－ 2】已知函数 f (3 － 2x) 的定义域为 [ － 1,2] ，求 f ( x) 的定义域．
考点探究突破
【 例 1 － 1 】 (0 ， 6 ] 解 析 ： 要 使 函 数 f ( x) ＝ 1－ 2log 6x 有 意 义 ， 则 需
1－ 2log 6x≥0， x>0，
解得 0＜ x≤ 6，故 f ( x) 的定义域为 (0 ， 6] ．
【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第10章 算法初步、推理与证明10.
课时作业50 合情推理与演绎推理一、填空题1.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝__________.2．(2012江苏镇江高三期末)圆x 2＋y 2＝r 2在点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类似地，可以求得椭圆x 28＋y 22＝1在点(2,1)处的切线方程为__________．3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”． 以上式子中，类比得到的结论正确的是________．4．定义一种运算“*”：对于正整数n 满足以下运算性质：(ⅰ)1]__________．5．先阅读下列证明：若两个实数a 1，a 2满足a 1＋a 2＝1，那么a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4－8(a 21＋a 22)≤0，所以a 21＋a 22≥12.根据这一证明方法，将上述不等式推广到n 个实数的情形，写出你推广的结论(不必证明)__________．6．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”．拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：设三棱锥ABCD 的三个侧面ABC ，ACD ，ADB 两两相互垂直，则__________．7．将以下三段论补充完整： ________________，(大前提) 正方形是矩形，(小前提)正方形的对角线相等．(结论)8．如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是__________．9．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，P 是该四边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为h i ，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则∑i ＝14(ih i )＝2Sk .类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，则相应的正确命题是：若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则__________．二、解答题10．通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假．sin 215°＋sin 275°＋sin 2135°＝32；sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32；sin 245°＋sin 2105°＋sin 2165°＝32；sin 260°＋sin 2120°＋sin 2180°＝32.11．把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i 行共有2i －1个正整数，设a ij (i ，j ∈N *)表示位于这个数表中从上往下数第i 行，从左往右数第j 个数．(1)求a 69的值； (2)用i ，j 表示a ij .12．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)写出具有类似特性的性质，并加以证明．参考答案一、填空题1.5＋12 解析：在“黄金双曲线”中，B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝0. ∴b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac .在等号两边同除以a 2得e ＝5＋12.2．x ＋2y －4＝0 解析：由类比推理得椭圆x 28＋y 22＝1在点(2,1)处的切线方程为2x 8＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.3．①②4．n 解析：由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1]若n个实数a 1，a 2，…，a n 满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n6．S 2△DBC ＝S 2△DAB ＋S 2△DAC ＋S 2△ABC7．矩形的对角线相等8.2n n －1n －2 解析：因为第n (n ≥2)行第1个数为1A 1n ，第2个数为1A 2n，所以第n －1(n ≥3)行的第2个数为1A 2n －1.设第n (n ≥3)行的第3个数为x ，则有1A 2n －1＝1A 2n＋x ，解得x ＝2n n －1n －2.9.∑i ＝14(iH i )＝3V k 解析：由S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，得S 1＝k ，S 2＝2k ，S 3＝3k ，S 4＝4k ，∴V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝k3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)．∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3Vk，即∑i ＝14(iH i )＝3Vk.二、解答题10．解：猜想：sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32.证明：左边＝(sin αcos 60°－cos αsin 60°)2＋sin 2α＋(sin αcos 60°＋cosαsin 60°)2＝32(sin 2α＋cos 2α)＝32＝右边．11．解：(1)a 69＝25＋(9－1)＝40.(2)因为数表中前i －1行共有1＋2＋22＋…＋2i －2＝2i －1－1个数，则第i 行的第一个数是2i －1，所以a ij ＝2i －1＋j －1.12．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )． 因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．。
《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第二章函数2.4一次函数、二次函数
《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第二章函数2．4一次函数、二次函数奇偶性当b≠0时，__________；当b＝0时，__________当b≠0时，__________；当b＝0时，______周期性非周期函数非周期函数顶点____________对称性过原点时，关于____对称k＝0时，关于____对称图象关于直线________成轴对称图形2．二次函数的解析式(1)一般式：f(x)＝______________；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为：f(x)＝______________；(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝______________.1．在同一坐标系内，函数y＝x a(a＜0)和y＝ax＋1a的图象可能是如图中的()．2．“a＜0”是“方程ax2＋1＝0有一个负数根”的()．A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是_____．4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝__________.5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为__________．一、一次函数的概念与性质的应用【例1－1】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则函数f(x)＝__________.【例1－2】已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，m为何值时，(1)这个函数为正比例函数；(2)这个函数为一次函数；(3)函数值y随x的增大而减小．方法提炼一次函数y＝kx＋b中斜率k与截距b的认识：一次函数y＝kx＋b中的k满足k≠0这一条件，当k＝0时，函数y＝b，它不再是一次函数，通常称为常数函数，它的图象是一条与x轴平行或重合的直线．请做演练巩固提升3二、求二次函数的解析式【例2】已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式．方法提炼在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式：(1)已知三个点的坐标，应选择一般形式；(2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式；(3)已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择两根式．提醒：求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当，引入的系数过多，会加大运算量，易出错．请做演练巩固提升2三、二次函数的综合应用【例3－1】设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数；②b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．其中正确的命题是()．A．①④B．①③C．①②③D．②④【例3－2】 (2019北京高考)已知f (x )＝m (x －2m )·(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，则m 的取值范围是__________．方法提炼1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与各系数间的关系：(1)a 与抛物线的开口方向有关；(2)c 与抛物线在y 轴上的截距有关；(3)－b 2a与抛物线的对称轴有关； (4)b 2－4ac 与抛物线与x 轴交点的个数有关．2．关于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)在R 上的恒成立问题：解集为R ⇔⎩⎨⎧ a >0，Δ<0或⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c >0.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫解集为R ⇔⎩⎨⎧ a <0，Δ<0或⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0. 请做演练巩固提升5分类讨论思想在二次函数中的应用 【典例】(12分)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |.(1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f (x )的最小值；(3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．分析：(1)求a 的取值范围，是寻求关于a 的不等式，解不等式即可．(2)求f (x )的最小值，由于f (x )可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起．(3)对a 讨论时，要找到恰当的分类标准．规范解答：(1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a ＞0，即a ＜0，由a 2≥1知a ≤－1，因此，a 的取值范围为(－∞，－1]．(3分)(2)记f (x )的最小值为g (a )，则有f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 32＋2a 23，x >a ，(x ＋a )2－2a 2，x ≤a . ①②(5分)当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2.当a ＜0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3＝23a 2，若x ＞a ， 则由①知f (x )≥23a 2.若x ≤a ，由②知f (x )≥2a 2＞23a 2. 此时g (a )＝23a 2， 综上，得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥02a 23，a <0.(9分) (3)①当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－62∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)；②当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，22时，解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞； ③当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22时，解集为 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.(12分) 答题指导：1．分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一，本题充分体现了分类讨论的思想方法．2．在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论．3．解决函数问题时，以下几点容易造成失分：(1)含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；(2)分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；(3)解一元二次不等式时，不能与二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻．4．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)给定了定义域为一个区间[k1，k2]时，利用配方法求函数的最值4ac－b24a是极其危险的，一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况：①－b2a＜k1；②k1≤－b2a＜k1＋k22；③k1＋k22≤－b2a＜k2；④－b2a≥k2.对于这种情况，也可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值．1．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()．2．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝()．A．x2＋x B．x2－x＋1C．x2＋x－1 D．x2－x－13．已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝3x＋2，则f(x)＝__________.4．(2019重庆高考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝__________.5．函数f(x)＝ax2＋ax－1，若f(x)＜0在R 上恒成立，则a的取值范围是__________．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．R R R ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 增函数 减函数 ⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－b 2a ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－b 2a ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－b 2a ，＋∞ 非奇非偶函数 奇函数 非奇非偶函数 偶函数 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a 原点 y 轴 x ＝－b 2a2．(1)ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)基础自测1．B 2.B3．[25，＋∞) 解析：由题意知m 8≤－2， ∴m ≤－16，∴f (1)＝9－m ≥25.4．2 解析：∵f (x )＝(x －1)2＋1，∴f (x )在[1，b ]上是增函数，f (x )max ＝f (b )，∴f (b )＝b ，即b 2－2b ＋2＝b .∴b 2－3b ＋2＝0.∴b ＝2或b ＝1(舍)．5．5 解析：由题意知－a ＋22＝1， 解得a ＝－4，∴b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5，当x ∈[－4,6]时，f (x )min ＝5.考点探究突破【例1－1】 2x ＋7 解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3[k (x ＋1)＋b ]－2[k (x －1)＋b ]＝3k (x ＋1)＋3b －2k (x －1)－2b＝kx ＋5k ＋b ，由题意得，kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17，∴⎩⎨⎧ k ＝2，5k ＋b ＝17，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7. 【例1－2】 解：(1)当⎩⎨⎧2m －1≠0，1－3m ＝0，即m ＝13时，函数为正比例函数． (2)当2m －1≠0，即m ≠12时，函数为一次函数．(3)当2m －1＜0，即m ＜12时，函数为减函数，y 随x 的增大而减小．【例2】 解：依条件，设f (x )＝a (x －1)2＋15(a ＜0)，即f (x )＝ax 2－2ax ＋a ＋15.令f (x )＝0，即ax 2－2ax ＋a ＋15＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1＋15a .而x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)＝23－3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋15a ＝2－90a ， ∴2－90a ＝17，则a ＝－6.∴f (x )＝－6x 2＋12x ＋9.【例3－1】 C 解析：c ＝0时，f (－x )＝－x |－x |＋b (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，故f (x )是奇函数，排除D ；b ＝0，c ＞0时，f (x )＝x |x |＋c ＝0，∴x ≥0时，x 2＋c ＝0无解，x ＜0时，f (x )＝－x 2＋c ＝0，∴x ＝－c ，只有一个实数根，排除A ，B ，故选C.【例3－2】 (－4,0) 解析：由题意可知，m ≥0时不能保证对∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0成立．(1)当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，g (x )＝2x －2，画出图象①，显然满足条件；(2)当－1＜m ＜0时，2m ＞－(m ＋3)，要使其满足条件，则需⎩⎨⎧－1<m <0，2m <1，解得－1＜m ＜0，如图②；(3)当m ＜－1时，－(m ＋3)＞2m ，要使其满足条件，则需⎩⎨⎧m <－1，－(m ＋3)<1，解得－4＜m ＜－1，如图②.综上可知，m 的取值范围为(－4,0)． 演练巩固提升1．C2．B 解析：令f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)， ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋(a ＋b )＝2x .∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1，故选B. 3.3x ＋3－1或－3x －3－1 解析：令f (x )＝ax ＋b ，则f [f (x )]＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝3x ＋2. ∴⎩⎨⎧ a 2＝3，ab ＋b ＝2，∴⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝3－1或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－3－1. ∴f (x )＝3x ＋3－1或f (x )＝－3x －3－1.4．4 解析：f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a .因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝x 2＋(4－a )x －4a ＝x 2＋(a －4)x －4a ，a －4＝4－a ，a ＝4.5．－4＜a ≤0 解析：当a ＝0时，f (x )＝－1＜0，当a ≠0时，若f (x )＜0在R 上恒成立，则有⎩⎨⎧ a <0，Δ＝a 2＋4a <0，即－4＜a ＜0. 综上得－4＜a ≤0.。
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第5讲对数与对数函数
基础巩固
1.已知a,b为实数,则“2a>2b”是“log2a>log2b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为由2a>2b⇒a>b log2a>log2b(不一定满足a>b>0),而由log2a>log2b⇒a>b>0⇒2a>2b,所以
“2a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件.
2.已知1<x<10,那么lg2x,lg x2,lg(lg x)的大小顺序是( )
A.lg2x<lg(lg x)<lg x2
B.lg2x<lg x2<lg(lg x)
C.lg x2<lg2x<lg(lg x)
D.lg(lg x)<lg2x<lg x2
【答案】D
【解析】∵1<x<10,∴0<lg x<1.于是lg(lg x)<0,0<lg2x<2lg x.故lg(lg x)<lg2x<lg x2.
3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于( )
A. B.2x-2 C.lox D.log2x
【答案】D
【解析】因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1,所以a=2.
故f(x)=log2x,应选D.
4.函数y=lo(x2-3x+2)的递增区间是( )
A.(-∞,1)
B.(2,+∞)
C. D.
【答案】A
【解析】由x2-3x+2>0,得x<1或x>2.
当x∈(-∞,1)时,函数f(x)=x2-3x+2单调递减,
而0<<1,由复合函数单调性可知函数y=lo(x2-3x+2)在(-∞,1)上是单调递增的,而在(2,+∞)上是单调递减的.
5.函数y=f(x)的图象如下图所示,则函数y=lof(x)的图象大致是( )
【答案】C
【解析】由函数y=f(x)的图象可知,该函数在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增,根据复合函数
的单调性法则可知,函数y=lof(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,应选C.
6.(2013届·山东枣庄阶段测试)设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(x1x2…x2 013)=8,则
f()+f()+…+f()=()
A.4
B.8
C.16
D.2loga8
【答案】C
【解析】依题意有loga(x1x2…x2 013)=8,
从而f()+f()+…+f()
=loga+loga+…+loga=loga(x1x2…x2 013)2
=2loga(x1x2…x2 013)=2×8=16.
7.(2012·辽宁锦州一模)设0<a<1,函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-∞,loga3)
D.(loga3,+∞)
【答案】C
【解析】 f(x)<0⇔loga(a2x-2ax-2)<0⇔loga(a2x-2ax-2)<loga1,因为0<a<1,所以a2x-2ax-2>1,即(ax)2-
2ax+1>4⇔(ax-1)2>4⇔ax-1>2或ax-1<-2,于是ax>3或ax<-1(舍去).因此x<loga3,应选C.
8.|1+lg 0.001|++lg 6-lg 0.02的值为.
【答案】 6
【解析】原式=|1-3|+|lg 3-2|+lg 300=2+2-lg 3+lg 3+2=6.
9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是.
【答案】{x|-1<x<0或x>1}
【解析】由已知条件可得,函数f(x)的图象如下图所示,
其解析式为f(x)=
由函数图象可得不等式f(x)>0的解集为{x|-1<x<0或x>1}.
10.若函数f(x)=log0.5(3x2-ax+5)在(-1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是.
【答案】[-8,-6]
【解析】设g(x)=3x2-ax+5,由已知得
解得-8≤a≤-6.
11.求值:.
【解】方法一:原式=.
方法二:原式=
=.
12.若函数f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1),求f(log2x)的最小值及对应的x值. 【解】因为f(x)=x2-x+b,
所以f(log2a)=(log2a)2-log2a+b.
又知(log2a)2-log2a+b=b,所以log2a(log2a-1)=0.
因为a≠1,所以log2a=1,即a=2.
又log2f(a)=2,所以f(a)=4.
因此a2-a+b=4,b=4-a2+a=2.
故f(x)=x2-x+2.
从而f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=.
故当log2x=,即x=时,f(log2x)有最小值.
13.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
【解】(1)因为f(1)=1,
所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,
这时f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0得-1<x<3,
所以函数f(x)的定义域为(-1,3).
令g(x)=-x2+2x+3,
则g(x)在(-∞,1)上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,
又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).
(2)假设存在实数a使函数f(x)的最小值为0,
则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,
因此应有解得a=.
故存在实数a=使函数f(x)的最小值等于0.
拓展延伸
14.设a,b∈R,且a≠2,若奇函数f(x)=lg在区间(-b,b)上有定义.
(1)求a的值;
(2)求b的取值范围;
(3)判断函数f(x)在区间(-b,b)上的单调性.
【解】(1)∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即lg=-lg,
即,整理得1-a2x2=1-4x2.
从而可得a=±2.
又a≠2,故a=-2.
(2)∵函数f(x)=lg的定义域是,
∴0<b≤.
(3)∵f(x)=lg=lg=lg,
∴函数f(x)在区间(-b,b)上是单调递减的.。