2014年高考数学试题(江苏卷)及参考答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
圆柱的侧面积公式：cl S =圆柱侧，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式：Sh V =圆柱, 其中S 是圆柱的底面积,h 为高.
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．
1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ .
2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ .
3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .
4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2
个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它
们的图象有一个横坐标为
3
π
的交点,则ϕ的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率
分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.
开始 0←n
1+←n n
202>n
输出n
结束 （第3题）
N
Y 组距
频率
100 80 90 110 120 130 0.010
0.015
0.020
0.025
0.030 底部周长/cm
（第6题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .
8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，
且
49
21=S S ，则2
1V V 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为
▲ .
10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取
值范围是 ▲ .
11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线x
b
ax y +
=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .
12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，
PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是 ▲ .
13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当
)3,0[∈x 时,|2
12|)(2
+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .
14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)
已知),2(ππ
α∈,55sin =α.
(1)求)4sin(απ
+的值；
(2)求)26
5cos(απ
-的值.
16.(本小题满分14分)
如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC
求证: (1)直线//PA 平面DEF ；
(2)平面⊥BDE 平面ABC .
A
B
D
C
P
（第12题） （第16题）
P
D
C
E
F
B
A
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆
)0(12
3
2
2
>>=+
b a b
y a x 的左、右焦点，
顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，
过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.
(1)若点C 的坐标为)3
1
,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；
(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.
18.(本小题满分16分)
如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河
岸),3
4
tan =∠BCO .
(1)求新桥BC 的长；
(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？
19.(本小题满分16分)
已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；
(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(03
00x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与
1e -a 的大小，并证明你的结论.
20.(本小题满分16分)
设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”. (1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”;
(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值；
(3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.
170 m 60 m 东
北 O A B M C （第18题） F 1 F 2 O x y B
C
A
(第17题)
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠OCB= ∠D ．
B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵 1 2 1 1,1 x 2 -1A B -⎡⎤⎡⎤==⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，向量 2a y ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，x ，y 为实数． 若Aa =Ba ，
求x+y 的值．
C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 2
12222
x t
y t ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数）
，直线l
与抛物线 2
4y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知x>0，y>0，证明： 2
2
(1)(1)9x y x y xy ++++≥．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (l)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；
(2)从盒中一次随机取出 4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 123,,x x x ，随机 变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X)． 23．（本小题满分10分） 已知函数 0sin ()(0)x
f x x x
=>，设 ()n f x 为 1()n f x -的导数，n N *∈． (1)求 122222f f πππ⎛⎫⎛⎫
+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值； (2)证明：对任意的 n N *∈，等式 124442n n nf f πππ-⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
都成立．。