复习课：变量间的相关关系

求回归方程的关键是如何用数学的方法来 刻画“从整体上来看,各点与此直线的距离最 小”
回归方程的斜率与截距的一般公式
n ì ï ï å xi yi - nx y ï ï ï b = i= 1 ï n í 2 2 ï å xi - nx ï ï i= 1 ï ï a = y - bx ï î 其 中 b是 回 归 方 程 的 斜 率 , a 是 截 距 .
n n
邋 xi
i= 1
y=
1 n
yi
i= 1
则 ( x , y )为 样 本 点 的 中 心 , 回 归 直 线 一 定 过 这 一 点 .
三、利用回归方程进行预测
年龄 脂肪 年龄 脂肪 23 9.5 53 29.6 表2--3 27 17.8 54 30.2 人体脂肪百分比和年龄 39 41 45 49 21.2 25.9 27.5 26.3 56 57 58 60 31.4 30.8 33.5 35.2 50 28.2 61 34.6
人体脂肪百分比和年龄 年龄 23 27 脂肪 9.5 17.8
年龄 脂肪
探究：人体脂肪含量和年龄的关系
39 21.2 41 25.9 45 27.5 49 26.3 50 28.2
53 54 56 57 58 60 61 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系?
请你进行类比：比照平均数与样本数据之
间的关系，你能说说回归直线与散点图中各点之 间的关系吗？ 平均数是样本数据的中心, 类似的，回归直线通过样 本点的中心且处于散点图中各点的“中心位臵”。 何为样本点的中心呢?
假 设 样 本 点 为 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), … , ( x n , y n ), 记 x= 1 n
ˆ 所 求 回 归 方 程 为 : y = 0 .5 7 7 x - 0 .4 4 8
将表2—3中的某个年龄作为x(如50)代入 上述回归方程，看看求出回归值与真实数 值之间的关系. 从中你体会到什么？
通过比较发现表中样本个体脂肪值和由 回归方程计算得到的值很接近，体会到有时 可用回归方程来预测特定年龄的人的脂肪值.
二、 回归直线、回归方程
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直 线附近,我们就称两个变量之间具有线性相关关系；这 条直线叫做回归直线；这条回归直线的方程简称回归 方程.
60 50 40 30 20 10 0 -10 -10 0 10 20 30 40
y = -1.3336x + 42.125
那么，我们应当如何求出这个回归方程呢？
作散点图：
请观察图形,你能 提取什么信息？ 1.年龄越大, 脂肪 含量越高
40
脂肪含量
30 20 10 0 0 20 40 60 年龄 80
2. 散布在从左下角 到右上角的区域
40
脂肪含量
30 20 10 0 0 20 40 60 年龄 80
正相关----指的是两个变量有相同的变化趋势,
即从总体上看一个变量会随另一个变大而变大.
通过求②式的最小值得出回归直线的方法, 即求 回归直线，使得样本数据的点到它距离的平方和最小, 这 一 方 法 叫 最 小 二 乘 法.
线性回归方程和它所作的预测具有随机性 的特点. 实际上，线性回归方程中的截距和斜 率都是通过样本估计出来的, 存在随机误差, 这种误差可以导致预测结果的偏差；即使截距 和斜率的估计没有误差, 也不可能百分之百地 保证预测值与实际值很接近, 因为该点可能离 回归直线较远.
你能举出一些生活中的变量成正相关或负相关的例子吗？
相关关系的强与弱 用相关系数r进行相关程度的判断标准：
n
å
r=
n i= 1
( x i - x )( y i n i 2 i= 1
y)
2
邋( x
i= 1
- x)
( yi -
y)
当r>0时,表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个 变量负相关. r的绝对值越接近1,表明两个变量的线 性相关性越强； r的绝对值越接近0, 表明两个变量 之间几乎不存在线性相关关系. 通常当r>0.75时, 认为两个变量有很强的线性相关关系.
6 5 4 3 2 1 0
( x i , yi )
ˆ yi - yi
{
0
2
4
6
6 5 4 3 2 1
0
ˆ yi - yi
( x i , yi )
{
2
4
6
ˆ 1 . y i = b x i + a ( i = 1, 2 , , n ).它 与 实 际 收 集 到 的 之 间 的 偏 差 是 ： yi 差 ” ,由 于 ( y i n
ˆ yi = yi - (bx i + a ) ˆ y )可 正 可 负 , 会 相 互 抵 消 .
2 .用 这 n 个 偏 差 的 和 来 刻 画 “ 各 点 与 此 直 线 的 整 体 偏
3 .考 虑 用 å
i= 1
yi -
ˆ y来代替, 但由于它含有绝对值, 运
算不太方便；.
6 5 4 3 2 1
复习课 变量间的相关关系
一、相关关系
在现实问题中,处于同一个过程中的一些变量,往 往是相互依赖和相互制约的,它们之间的相互关系大 致可分为两种. （1）确定性关系——函数关系； （2）非确定性关系——相关关系； 当自变量的取值一定,因变量的取值带有一定 随机性时,两个变量之间的关系称为相关关系. 相关关系表现为这些变量之间有一定的依赖关 系,但这种关系并不完全确定,它们之间的关系不能 精确地用函数表示出来，这些变量其实是随机变 量,或至少有一个是随机变量.
散点图的特点：这些点分布在从左下角到右
上角的区域
与此相应,负相关指的是什么? 散点图有什么特点？ 负相关----指的是两个变量有相反的变化趋势,即从 总体上看一个变量会随另一个变大反而变小. 散点图的特点是：这些点分布在从左上角到右下角 60 的区域
50 40 30 20 10 0 -10 0 10 20 30 40
四、小结：
研究两变量线性相关关系的一般步骤： 1）收集数据； 2）画散点图； 3）判断相关关系； 4）求回归方程； 5）进行预测.
0
( x i , yi )
ˆ yi - yi
{
4
2
2
2
6
2
4.改 用 Q 来 刻 画 n 个 点 与 回 归 直 线 在 整 体 上 的 偏 差 ：
Q = ( y 1 - bx 1 - a ) + ( y 2 - bx 2 - a ) + + ( y n - bx n - a ) ②
5 .问 题 就 归 结 为 ： 当 a 、 取 什 么 值 时 Q 最 小 , 的体内脂肪含量可能是多少？ 20.87％
注：这个脂肪含量是对年龄为37岁的人群
中的大部分人所作的估计.
我们不需要记忆这个公式，但我们应该了解得出它的 原理——最小二乘法
假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量 的 一 组 数 据 ：x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), … , ( x n , y n ), 且 所 求 回 归 方 ( ˆ 程 是 y = b x + a , 其 中 a 、b 是 待 定 的 系 数 .
你能举出现实生活中具有相关关系的例子吗?
1.商品销售收入与广告支出经费之间的关系 2.粮食产量与施肥量之间的关系 3.人体内的脂肪含量与年龄之间的关系 4.吸烟与健康 5.收入与消费……
知识要点
1,上述例子中,两个变量之间是一种不确定性的关 系,产生这种关系的原因是受到许多不确定的随机 因素的影响； 2.既然变量之间的相关关系带有不确定性,就需要 通过收集大量的数据(调查、实验),在对数据进行 统计分析的基础上,发现其中的规律.