巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修一《函数2-4-2》课后强化综合检测及答案

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最新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》检测题(有答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（）A ．04m ≤≤B ．04m <≤C ．04m ≤<D ．04m <<2．已知函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则函数(13)f x -的定义域是（） A ．21(,)33-B ．11(,)63-C ．(0,3)D ．7(,1)2-3．已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (x )=2f (x +2)，且当x ∈[2-，0) 时，19()4f x x x =++，若对任意的m ∈[m ，+∞)，都有1()3f x ≤，则m 的取值范围为（） A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．)5,2⎡-+∞⎢⎣D ．11,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．已知函数()3221x f x x =-+，且()()20f a f b ++<，则（） A ．0a b +<B ．0a b +>C ．10a b -+>D ．20a b ++<5．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-．给出下列结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为0,1；②方程{}12x =有无数个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 为奇函数，其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为（） A ．0B ．12C ．1D ．27．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（） A ．](2-∞，B ．[)2，+∞C ．[]24-，D ．[]14， 8．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11x -≤≤时，()13131x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（）A ．()2018fB ．()2019fC ．()2020fD ．()2021f9．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2-x ），且对任意的x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0．则（） A ．()()()211f f f <-< B ．()()()121f f f <<- C ．()()()112f f f <-<D ．()()()211f f f <<-11．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式()0f x >的解集为( )A ．()()2,02,∞-⋃+B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()(),20,2∞--⋃D ．()()2,00,2-⋃12．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2018 B ．2019 C ．4036D ．4038二、填空题13．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是________.14．函数()()2325f x kx k x =+--在[)1+∞，上单调递增，则k 的取值范围是________. 15．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义()1,,0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i AB ϕ=且()1A B ⋃=；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋃=+；③设{}*2,A x x n n N==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，对任意*i N∈，都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=其中正确结论的序号为______. 16．已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的取值范围是___________.17．已知函数y ＝f (n)，满足f (1)＝2，且f (n+1)＝3f (n),n ∈N + .则f (3)＝____________.18．函数()f x 的定义域是__________．19．若函数()f x 满足()()1f x f x =-，()()13f x f x +=--当且仅当(]1,3x ∈时，()f x x =，则()57f =______．20．函数y =a x (a >0且a ≠1)在［1,2］上的最大值比最小值大2a，则a =______. 三、解答题21．已知()f x 是定义域为R +的增函数，且对任意正实数a 和b ，都有()()()1f ab f a f b =+-.（1）证明：当1x >时，()1f x >；（2）若又知1()02f =，解不等式(32)(1)()2f x f x f x -+-<+.22．在①()()121f x f x x +=+-，②()()11f x f x +=-且()03f =，③()2f x ≥恒成立且()03f =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知二次函数()f x 的图象经过点()1,2，_________．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]1,4-上的值域．23．已知二次函数 ()f x 的值域为[4,)-+∞，且不等式0( )f x <的解集为(1,3)-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对于任意的[2,2]x ∈-，都有2() f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围. 24．已知11012x f x x x ⎛⎫⎛⎫=<≤⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的表达式；（2）判断()f x 在其定义域内的单调性，并证明.25．已知函数1f x x +=+ （1）求函数()f x 的解析式、定义域；（2）函数()()g x f x ax =-，[]2,4x ∈，求函数()g x 的最小值.26．已知函数()()20f x ax x c a =++>满足：①函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数；②关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),11m m <. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()()()43g x f x k x k R =++∈在[]1,3上的最小值()h k .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立，然后分0m =和0m ≠，结合题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立. 当0m =时，则有10>，合乎题意；当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<. 综上所述，04m ≤<. 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩； ②()0f x <在R 上恒成立，则0a <⎧⎨∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则0a <⎧⎨∆≤⎩.2．A解析：A 【分析】先求出函数()f x 的定义域(0,3)，再求出函数(13)f x -的定义域. 【详解】函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则302x <<，所以023x << 所以函数()f x 的定义域为(0,3)，则0133x <-<解得2133x -<< 函数(13)f x -的定义域为21(,)33- 故选:A 【点睛】对于抽象函数定义域的求解方法：(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出；(2)若已知函数()()f g x 的定义域为[]a b ，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．3．D解析：D 【分析】求出[2,0)x ∈-时，()f x 的值域，满足1()3f x ≤，根据函数的定义，[0,2)x ∈时，满足1()3f x ≤，同时可得0x ≥时均满足1()3f x ≤，然后求得[4,2)x ∈--时的解析式，解不等式1()3f x ≤得解集，分析后可得m 的范围．【详解】[2,0)x ∈-时，19()4f x x x =++在[]2,1--上递增，在[1,)-+∞上递减，1(),4f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，满足1()3f x ≤，当[0,2)x ∈时，2[2,0)x -∈-，11()(2)[,)28f x f x =-∈-∞，满足满足1()3f x ≤，按此规律，2x ≥时，()f x 均满足1()3f x ≤，当[4,2)x ∈--时，29()2(2)2(2)22f x f x x x =+=++++，由2912(2)223x x +++≤+，解得1043x -≤≤-或1124x -≤<-，当101134x -<<-时，1()3f x >．因此当114x ≥-时，都有1()3f x ≤，所以114m ≥-．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式恒成立问题，解题关键是依照周期函数的性质，根据函数的定义求出()f x 在[2,22)k k +（k ∈N ）满足1()3f x ≤，在[2,0)-上直接判断，求出[4,2)--上的解析式，确定1()3f x ≤的范围，此时有不满足1()3f x ≤的x 出现，于是可得结论m 的范围．4．A解析：A 【分析】求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解【详解】由函数单调性性质得：3y x =，21xy =+在R 上单调递增所以()3221x f x x =-+在R 上单调递增，令函数()()321121x x g x f x x -=+=-+，()()0g x g x +-=则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<．故选:A 【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.5．B解析：B 【分析】根据函数性质判断[]x 是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，由此可以得到函数的性质，又定义函数{}[]x x x =-，当0x ≥时，表示x 的小数部分，由于①③是错误的，举例可判断②，根据单调性定义可判断④.【详解】①函数{}x 的定义域是R ,但[]01x x ≤-<，其值域为)01⎡⎣，，故错误； ②由{}[]12x x x =-=，可得[]12x x =+，则 1.52.5x =，……都是方程的解，故正确； ③由②可得{}11.52=，{}12.52=……当 1.52.5x =，……时，函数{}x 的值都为12，故不是增函数，故错误； ④函数{}x 的定义域是R ,而{}[]{}x x x x -=---≠-，故函数不是奇函数，故错误；综上，故正确的是②. 故选：B. 【点睛】本题以新定义函数{}[]x x x =-的意义为载体，考查了分段函数和函数的值域、单调性等性质得综合类问题，在解答的过程中体现了分类讨论和数形结合的思想，还可以利用函数的图象进行解题．6．B解析：B 【分析】由已知结合对称轴与区间端点的远近可判断二次函数取得最值的位置，从而可求．【详解】解：因为2()2af x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =， ①122a即1a 时，此时函数取得最大值()()112a g a f ==-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值()()02ag a f ==，故()1,12,12aa g a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，故当1a =时，()g a 取得最小值12．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．7．C解析：C 【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f （3）1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-（3）(|1|)f x f ⇒-（3）|1|3x ⇒-，解之可得24x -，故不等式的解集为[2-，4]．故选：C ．【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.8．D解析：D 【分析】利用已知条件可知(2)()0f x f x --+=、(2)()f x f x -=，进而得到(8)()f x f x +=，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知()2018f 、()2019f 、()2020f 、()2021f 中最小值.【详解】(1)f x -是奇函数，即(1)f x -关于(0,0)对称，()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称，即(2)()0f x f x --+=．又)1(f x +为偶函数，即(1)f x +关于0x =对称，()f x ∴的图象关于直线1x =对称，即(2)()f x f x -=．(2)(2)0f x f x --+-=，(2)(2)0f x f x ∴-++=，即(8)()f x f x +=，函数()y f x =的周期为8， (2018)(2)(0)1f f f ∴===，(2019)(3)(1)0f f f ==-=，(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-，(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-，故(2021)f 最小．故选：D 【点睛】本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.9．D解析：D因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122xxy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ，综上，函数sin sin 122xxy =+大致的图象应为D 项，故选D.10．B解析：B 【分析】由已知得函数f （x ）图象关于x=1对称且在（-∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而可判断出大小关系. 【详解】解：∵当x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）时有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0， ∴f （x ）在（-∞，1]上单调递减， ∵f （x ）=f （2-x ），∴函数f （x ）的图象关于x=1对称，则f （x ）在∈（1，+∞）上单调递增， ∴f （-1）=f （3）>f （2）＞f （1）即f （-1）＞f （2）＞f （1）故选B ．【点睛】本题考查函数的对称性及单调性的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用．11．A解析：A 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0，则f （﹣2）=﹣f （2）=0，又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，又由函数y=f （x ）为奇函数，则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）；【点睛】本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．12．A解析：A 【分析】根据函数解析式可验证出()()12f x f x +-=，采用倒序相加法可求得结果. 【详解】()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，令122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则201712019201922018019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=. 故选：A . 【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定()()1f x f x +-为常数.二、填空题13．【分析】函数是增函数可得且即可求解【详解】因为函数为上的增函数所以当时递增即当时递增即且解得∴综上可知实数的取值范围是故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围需满足分段函数解析：(]0,2【分析】函数是增函数可得30a ->，0a >且2(3)151aa -⨯-≤-，即可求解. 【详解】因为函数()f x 为R 上的增函数，所以当1x ≤时，()f x 递增，即30a ->，当1x >时，()f x 递增，即0a >，且2(3)151aa -⨯-≤-，解得2a ≤，∴02a <≤，综上可知实数a 的取值范围是(]0,2. 故答案为：(]0,2.【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，需满足分段函数每部分分别单调，还应注意在分段处的函数值大小问题，这是容易漏掉的地方.14．【分析】根据函数的解析式分和两种情况讨论利用一次二次函数的性质即可求解【详解】由已知函数在上单调递增可得当时函数在上单调递减不满足题意；当时则满足解得综上所述实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主解析：25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【分析】根据函数的解析式，分0k =和0k ≠两种情况讨论，利用一次、二次函数的性质，即可求解. 【详解】由已知函数()()2325f x kx k x =+--在[)1+∞，上单调递增可得，当0k =时，函数()25f x x =--在[)1+∞，上单调递减，不满足题意；当0k ≠时，则满足03212k k k>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得25k ≥，综上所述，实数k 的取值范围是25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 故答案为：25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，其中解答中熟记一次函数、二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力，属于基础题.15．①③【分析】根据题目中给的新定义对于或可逐一对命题进行判断举实例证明存在性命题是真命题举反例可证明全称命题是假命题【详解】∵对于定义∴对于①例如集合是正奇数集合是正偶数集合①正确；对于②例如：当时；解析：①③ 【分析】根据题目中给的新定义，对于()*,0i i N A ϕ∈=或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i Aϕ∈⎧=⎨∉⎩，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*AB A B N ∴=∅=，()()01i i A B A B ϕϕ∴==;，①正确；对于②，例如：{}{}{}1232341234A B AB ===,,,,,,,,,，当2i =时，()1i A B ϕ⋃=；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+； ②错误；对于③， {}*2,A x x n n N ==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，明显地，,A B 均为偶数集，A B ∴≠∅，()1i AB ϕ=，若i 为偶数，则()i A B ∈，则i A ∈且i B ∈；()()1i i A B ϕϕ∴⋅=，则有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=；若i 为奇数，此时，()0i A B ϕ=，则i A ∉且i B ∉，()()0,0i i A B ϕϕ==，()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=∴也成立；③正确∴所有正确结论的序号是：①③；故答案为：①③ 【点睛】关键点睛：解题关键在于对题目中新定义的理解和应用，结合特殊值法和反证法进行证明，难度属于中档题.16．【分析】本题首先可讨论的情况此时然后根据函数的解析式求出和通过即可求出的值最后讨论的情况此时通过得出此时无解即可得出结果【详解】若则因为函数所以因为所以解得若则因为函数所以因为所以无解综上所述的取值解析：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】本题首先可讨论0a >的情况，此时11a -<、11a +>，然后根据函数()f x 的解析式求出()1f a -和()1f a +，通过()()11f a f a -=+即可求出a 的值，最后讨论0a <的情况，此时11a ->、11a +<，通过()()11f a f a -=+得出此时a 无解，即可得出结果. 【详解】若0a >，则11a -<，11a +>，因为函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，所以1212f aa a a ，1121f a a aa ，因为()()11f a f a -=+，所以21a a ，解得32a =，若0a <，则11a ->，11a +<，因为函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，所以11213f aa a a ，12123f a a a a ，因为()()11f a f a -=+，所以1323a a ，无解，综上所述，32a =，a 的取值范围是32⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 故答案为：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查分段函数的相关问题的求解，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.17．18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)＝3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力解析：18 【分析】根据递推关系式依次求f (2) ，f (3). 【详解】因为f (n+1)＝3f (n)，所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.18．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.19．2【分析】根据函数满足的关系可得是以6最小正周期的周期函数根据代入解析式即可【详解】根据已知条件进而有于是显然则是以6最小正周期的周期函数∵当时则故答案为：2【点睛】本题以抽象函数为载体研究抽象函数解析：2 【分析】根据函数满足的关系可得()f x 是以6最小正周期的周期函数，根据()()573f f =代入解析式即可. 【详解】根据已知条件()()()()113f x f x f x f x ⎧=-⎪⎨+=--⎪⎩，进而有()()()()()1133f x f x f x f x f x =-=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦---=-+，于是()()3+=-f x f x ，显然()()()()()6333f x f x f x f x f x +=++=-⎡⎤⎡⎤+=--⎦⎦=⎣⎣，则()f x 是以6最小正周期的周期函数， ∵当(]1,3x ∈时()f x x =，则()()()57693332f f f =⨯+===．故答案为：2. 【点睛】本题以抽象函数为载体，研究抽象函数的结构特征，且挖掘暗含条件，巧妙地对复合函数的连续变形，体现了数学抽象，数学化归等关键能力与学科素，属于中档题.20．或【分析】由题意按照分类结合指数函数的性质可得方程即可得解【详解】当时是增函数则解得或（舍去）；当时是减函数则解得或（舍去）；综上或故答案为：或【点睛】关键点点睛：涉及指数函数单调性问题底数为参数时解析：12或32【分析】由题意按照1a >、01a <<分类，结合指数函数的性质可得方程，即可得解. 【详解】当1a >时，xy a =是增函数，则22a a a -=，解得32a =或0a =（舍去）；当01a <<时，xy a =是减函数，则22a a a -=，解得12a =或0a =（舍去）；综上，12或32故答案为：12或32【点睛】关键点点睛：涉及指数函数单调性问题，底数为参数时，一般都要分类讨论，分底数大于1与底数大于0小于1两种情况解决.本题考查了指数函数单调性的应用，考查了运算求解能力及分类讨论思想.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）12x <<. 【分析】（1）计算出(1)f 后由单调性可证；（2）求得(2)2f =，利用定义不等式可化为([(32)(1)](2)f x x f x --<，然后由单调性求解．【详解】解（1）令1a b ==，代入条件式子得(1)1f =；()f x 在R +上单调递增∴当1x >时，()(1)1f x f >=，得证.（2）令1,22a b ==，代入①式得1(1)()(2)1(2)22f f f f =+-⇒= (32)(1)()2f x f x f x ∴-+-<+(32)(1)()(2)f x f x f x f ⇔-+-<+320,10,0,[(32)(1)]1(2)1x x x f x x f x ->⎧⎪->⎪⇔⎨>⎪⎪--+<+⎩11121(32)(1)223x x x x x x x ⎧>⎧>⎪⎪⇔⇔⇔<<⎨⎨--<<<⎪⎪⎩⎩．【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的单调性的应用，解关于抽象函数的不等式，关键是利用函数的定义，把不等式转化为12()()f x f x <形式，然后由单调性求解．转化时注意函数的定义域．22．（1）()223x x x f =-+；（2）[]2,11.【分析】（1）若选①：利用待定系数法并结合()f x 的图象经过点()1,2求解二次函数()f x 的解析式；若选②：根据对称轴方程以及()03f =并结合()f x 的图象经过点()1,2求解二次函数()f x 的解析式；若选③：根据已知条件判断出()1,2为图象的最低点，由此分析出对称轴，则二次函数的解析式可求;（2）根据（1）得到()f x 的解析式，然后利用配方法和整体替换的方法求解出()212x -+的取值范围，则()f x 在[]1,4-上的值域可求.【详解】解：若选①，（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++．因为()()121f x f x x +=+-，所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得1a =，2b =-．因为()f x 的图象经过点()1,2，所以()1122f a b c c =++=-+=，所以3c =．故()223x x x f =-+．若选②，（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()f x 图象的对称轴方程为2b x a=-．由题意可得()()120312b a fc f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．故()223x x x f =-+．若选③，（1）()()20f x ax bx c a =++≠．因为()03f =，所以3c =．因为()()21f x f ≥=，所以()13212f a b b a ⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩，解得1a =，2b =-．故()223x x x f =-+．（2）由（1）可知()()222312f x x x x =-+=-+．因为14x -≤≤，所以213x -≤-≤，所以()2019x ≤-≤，所以()221211x ≤-+≤．即()f x 在[]1,4-上的值域为[]2,11．【点睛】方法点睛：求解函数解析式常用的方法有：（1）换元法：适用于求解已知()()f g x 的解析式求解()f x 的解析式的类型；（2）待定系数法：适用于已知函数的类型求解函数解析式，如已知函数为一次函数可设()()0f x kx b k =+≠或已知函数为二次函数可设()()20f x ax bx c a =++≠；（3）方程组法：适用于已知()(),f x f x -组成的方程求解()f x 的解析式或已知()1,f x f x ⎛⎫⎪⎝⎭组成的方程求解()f x 的解析式的类型.23．（1）2()23f x x x =--；（2）7m <-. 【分析】（1）运用待定系数法，设2()f x ax bx c =++，由题意建立方程组，解之可得函数的解析式；（2）由（1）将问题转化为243m x x <--对[2,2]x ∈-恒成立，令()22()4327g x x x x --=--=，运用二次函数的性质求得其最值，再由不等式恒成立的思想可求得m 的取值范围. 【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由题意可知：(1)0(3)930(1)4f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即2()23f x x x =--；（2）由（1）得243m x x <--对[2,2]x ∈-恒成立，令()22()4327g x x x x --=--=，当[2,2]x ∈-， ()[7,9]g x ∈-，故7m <-. 【点睛】常用的不等式恒成立的思想：()f x a >对一切x I ∈恒成立，等价于()min f x a >；()f x a <对一切x I ∈恒成立，等价于()max f x a >.24．（1）()1(2)1f x x x =≥-；（2）()f x 在[)2,+∞上递减，证明见解析. 【分析】（1）令1(2)t t x =≥，则1x t=，求得()1(2)1f t t t =≥-，从而可得答案. （2）()f x 在[)2,+∞上递减，证任取122x x >≥，则210x x -<，1110x ->>，2110x -≥>，可证明()()120f x f x -<，从而可得结论.【详解】（1）令1(2)t t x =≥，则1x t= 因为11012x f x x x ⎛⎫⎛⎫=<≤⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以()111(2)11t tf t t t ==≥--，所以()1(2)1f x x x =≥-；（2）()f x 在[)2,+∞上递减，证明如下：任取122x x >≥，则210x x -<，1110x ->>，2110x -≥>，因为()()12121111f x f x x x -=--- ()()()()21121111x x x x ---=--()()2112011x x x x -=<--所以()()12f x f x <，则()f x 在[)2,+∞上递减. 【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.25．（1）22f xx ，[)2,x ∈+∞；（2）()2min22,42,484144,8a a ag x a a a -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 【分析】（1）利用换元法，求函数的解析式，并利用基本不等式求函数的定义域；（2）由（1）可知()22g x x ax =--，[]2,4x ∈，讨论对称轴和定义域的关系，求函数的最小值.【详解】解：（1）由题0x >，令t =，则2t ≥ ∴()22f t t =-∴22f xx ，[)2,x ∈+∞（2）()22g x x ax =--，[]2,4x ∈ 当4a ≤时，()()min 222g x g a ==-当48a <<时，2min224a a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 当8a ≥时，()()min 4144g x g a ==-综上所述：()2min22,42,484144,8a a ag x a a a -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩ 【点睛】易错点点睛：本题第一问考查已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦，求()y f x =的解析式，容易忽略函数的定义域，即求函数()g x 的值域；本题第二问求函数的最值，不能直接就是顶点纵坐标，需讨论定义域和对称轴的关系，分情况求函数的最小值.26．（1）()223f x x x =+-；（2）()21227,4245,4243,2k k h k k k k k k +≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪+≥-⎩.【分析】（1）由①可知函数()f x 的图象关于直线14x =-对称，由②可知()10f =，可得出关于a 、c 的方程组，进而可得出函数()f x 的解析式；（2）求得()()22413g x x k x =++-，求得该函数的对称轴为直线()1x k =-+，对实数k 的取值进行分类讨论，分析函数()g x 在区间[]1,3上的单调性，进而可求得()h k 关于k的表达式. 【详解】（1）由①可得，函数14f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数，将函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭的图象向左平移14个单位长度可得到函数()f x 的图象，所以，函数()f x 的图象关于直线14x =-对称，则有1124a -=-，可得2a =. 由②可得：1x =是方程20ax x c ++=的一个解，则有10a c ++=，得3c =-. 于是：()223f x x x =+-；（2）依题意有：()()22413g x x k x =++-，对称轴为()1x k =-+.当()13k -+≥时，即4k ≤-时，()g x 在[]1,3单调递减，于是()()min 31227g x g k ==+；当()113k <-+<时，即4-<<-2k 时，()g x 在()1,1k -+⎡⎤⎣⎦单调递减，在()1,3k -+⎡⎤⎣⎦单调递增，于是()()2min 1245g x g k k k =--=---；当()11k -+≤时，即2k ≥-时，()g x 在[]1,3单调递增，于是()()min 143g x g k ==+.综上：()21227,4245,4243,2k k h k k k k k k +≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪+≥-⎩.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.。

2020-2021学年北师大版高中数学必修一《函数》全章课后强化综合检测及答案

最新（新课标）北师大版高中数学必修一第二章测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个图像中，表示的不是函数图像的是( )[答案] B[解析] 选项B 中，当x 取某一个值时，y 可能有2个值与之对应，不符合函数的定义，它不是函数的图像．2．若幂函数f(x)的图像经过点(2,4)，则f(12)等于( )A ．4B ．2 C.12 D ．14[答案] D[解析] 设f(x)＝x α，∵f(x)的图像经过点(2,4)， ∴4＝2α.∴α＝2.∴f(x)＝x 2.∴f(12)＝(12)2＝14.3．若f(x)＝x 3(x ∈R)，则函数y ＝－f(－x)在其定义域上是( ) A ．递减的偶函数 B ．递增的偶函数 C ．递减的奇函数 D ．递增的奇函数[答案] D[解析] 由于f(x)＝x 3，所以f(－x)＝(－x)3＝－x 3，于是y ＝－f(－x)＝－(－x 3)＝x 3，因此这是一个奇函数，且在定义域上递增．4．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b 是从A 到B 的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f 作用下的像是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] A[解析] 由已知可得⎩⎨⎧ 3a ＋b ＝1，10a ＋b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－2.于是y ＝x －2，因此5在f 下的像是5－2＝3.5．若函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，f (x ＋2)，x<0，那么f(－3)的值为( )A ．－2B ．2C ．0D ．1[答案] B[解析] 依题意有f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1＋1＝2，即f(－3)＝2. 6．函数y ＝ax 2－bx ＋c(a ≠0)的图像过点(－1,0)，则a b ＋c ＋b a ＋c －c a ＋b的值是( ) A ．－1 B ．1 C.12 D ．－12[答案] A[解析] ∵函数y ＝ax 2－bx ＋c(a ≠0)的图像过(－1,0)点，则有a ＋b ＋c ＝0，即a＋b＝－c，b＋c＝－a，a＋c＝－b.∴ab＋c＋ba＋c－ca＋b＝－1.7．定义在R上的偶函数f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，将f(x)的图像沿x轴向右平移2个单位，得到函数g(x)的图像，则g(x)在下列区间上一定是减函数的是( ) A．[3,4] B．[1,2]C．[2,3] D．[－1,0][答案] A[解析] 偶函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，则在[1,2]上为减函数，f(x)向右平移2个单位后在[3,4]上是减函数．8．若函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则( )A．f(3)＋f(4)<0 B．f(－3)－f(－2)<0C．f(－2)＋f(－5)<0 D．f(4)－f(－1)>0[答案] D[解析] 由题意知函数f(x)在[0,6]上递增．A中f(3)＋f(4)与0的大小不定，A错；B中f(－3)－f(－2)＝f(3)－f(2)>0，B错；C中f(－2)＋f(－5)＝f(2)＋f(5)与0的大小不定，C错；D中f(4)－f(－1)＝f(4)－f(1)>0，D正确．9．若函数y＝kx＋5kx2＋4kx＋3的定义域为R，则实数k的取值范围为( )A ．(0，34)B ．(34，＋∞)C ．(－∞，0)D ．[0，34)[答案] D[解析] ∵函数的定义域为R ，∴kx 2＋4kx ＋3恒不为零，则k ＝0时，成立； k ≠0时，Δ<0，也成立． ∴0≤k<34.10．已知f(x)＝－4x 2＋4ax －4a －a 2(a<0)在区间[0,1]上有最大值－5，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．－54C ．－52D ．－5[答案] D[解析] 解法1：检验法：当a ＝－1时，f(x)＝－4x 2－4x ＋3＝－4(x ＋12)2＋4在[0,1]上是减函数，最小值是－5，不合题意排除A ；同理可排除B 、C.解法2：f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，∵a<0，∴f(x)在[0,1]上是减函数， ∴f(0)＝－5，即：－a 2－4a ＝－5， ∴a ＝1或－5，又a<0，∴a ＝－5.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．将二次函数y ＝x 2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．[答案] y ＝x 2＋4x ＋2[解析] y ＝(x ＋2)2＋1－3＝(x ＋2)2－2＝x 2＋4x ＋2.12．若函数f(x)＝x 2－|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝________. [答案] 0[解析] 本题考查偶函数的定义等基础知识． ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即x 2－|－x ＋a|＝x 2－|x ＋a|，∴|x －a|＝|x ＋a|，平方，整理得：ax ＝0，要使x ∈R 时恒成立，则a ＝0.13．f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋3)＝f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝x 2，则f(8)＝____________.[答案] －1[解析] f(8)＝f(5＋3)＝f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f[g(1)]的值为________；当g[f(x)]＝2时，x ＝________. [答案] 1 1[解析] f[g(1)]＝f(3)＝1， ∵g[f(x)]＝2， ∴f(x)＝2，∴x ＝1.15．函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数g(x)＝f(x －a)＋f(x ＋a)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<a<12的定义域为________．[答案] [a,1－a][解析] 由已知得⎩⎨⎧0≤x ＋a ≤10≤x －a ≤1⇒⎩⎨⎧－a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a.∵0<a<12，得a ≤x ≤1－a.∴g(x)的定义域为x ∈[a,1－a]．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，已知x ≥0时，f(x)＝x 2－2x.(1)画出偶函数f(x)的图像；(2)根据图像，写出f(x)的单调区间；同时写出函数的值域． [解析] (1)f(x)的图像如图所示．(2)由图得函数f(x)的递减区间是(－∞，－1)，(0,1)． f(x)的递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)，值域为{y|y ≥－1}． 17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－3,3]． (1)当a ＝－5时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－3,3]上是单调函数． [解析] (1)当a ＝－5时，f(x)＝x 2＋10x ＋2＝(x ＋5)2－23，x ∈[－3,3]，又因为二次函数开口向上，且对称轴为x ＝－5，所以当x ＝－3时，f(x)min ＝－19，当x ＝3时，f(x)max ＝41.(2)函数f(x)＝(x －a)2＋2－a 2的图像的对称轴为x ＝a ，因为f(x)在[－3,3]上是单调函数，所以a ≤－3或a ≥3.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1a －1x (a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增加的；(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．[解析] (1)设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2. 则f(x 1)－f(x 2)＝(1a －1x 1)－(1a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2. ∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0.∴x 1－x 2x 1x 2<0.∴f(x 1)<f(x 2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的． (2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，又∵f(x)在[12，2]上是增加的，∴⎩⎨⎧f (12)＝12，f (2)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝121a －12＝2.∴a ＝25.19．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f(x)＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x|－2<x<2，x ∈Z}，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x ∈[0,3]时f(x)的值域． [解析] 由{x|－2<x<2，x ∈Z}＝{－1,0,1}． (1)由－2m 2－m ＋3>0，∴2m 2＋m －3<0，∴－32<m<1，∴m ＝－1或0.由(2)知f(x)是奇函数．当m ＝－1时，f(x)＝x 2为偶函数，舍去．当m ＝0时，f(x)＝x 3为奇函数． ∴f(x)＝x 3.当x ∈[0,3]时，f(x)在[0,3]上为增函数， ∴f(x)的值域为[0,27]．20．(本小题满分13分)设函数f(x)＝x 2－2|x|－1(－3≤x ≤3)． (1)证明f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(3)求函数的值域．[解析] (1)证明：∵定义域关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x 2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)当x ≥0时，f(x)＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x<0时，f(x)＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f(x)＝⎩⎨⎧(x －1)2－2，x ≥0，(x ＋1)2－2，x<0.根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]． f(x)在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(3)当x ≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2. 当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2. 故函数f(x)的值域为[－2,2]．21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R. (1)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；(2)若a ，b ∈R ，且a ＋b>0，试比较f(a)＋f(b)与0的大小． [解析] (1)函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋x 31)－(x 2＋x 32)＝(x 1－x 2)＋(x 31－x 32)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1]．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1>0.所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数． (2)由a ＋b>0，得a>－b ，由(1)知f(a)>f(－b)，因为f(x)的定义域为R ，定义域关于坐标原点对称，又f(－x)＝(－x)＋(－x)3＝－x －x 3＝－(x ＋x 3)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，从而f(a)＋f(b)>0.。

2018-2019高中数学第一章三角函数章末检测北师大版必修4

33第一章三角函数章末检测（一）（时间：120分钟满分：150分）、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分） 1 .若点 P (sin 0 cos 0 , 2cos 0 ）位于第三象限，则角 0终边在第几象限（） A. B. C.三 D.四 sin 0 cos 0 v 0,解析由题意知* 2cos 0 v 0,§in 0 > 0, cos 0 v 0, 故角0终边在第二象限. 答案 B 2.已知sin 5 n +a=1,那么5cos a 等于（15* ■-Bi C.5 解析 15, …cos a1 5.答案3.已知角 5n sin V ， cos 5^，则角a 的最小正值为 5 n 5 n 6 = sin c 斗6a的终边上一点的坐标为 2 n BP5 n D.—— 3 解析因为sin n _n 1 n -6 = sin_6 = 2, cos 5n ~6 = cos n =-cos n 6所以点si n?5 n cos6.又因为 tancos a65 n sin5 n =— 3= tan i 2 ntan 号，所以角5 na 的最小正值为-^.故选D.答案 D4.已知 tan x >0，且 sin x + cos x >0，那么角x 是第象限角（A.解析 T tan x >0,「. x 是第一或第三象限角.又；sin x + cos x >0,= x 是第一象限角.答案 A答案7 n 7 4 28 2?>0.n 2 n n .—< <—4 72'>cos a .5.已知函数 y = 2sin( w x + $ )( w >0)在区间［0,2n ］的图像如图，那么 w 等于(A. 1 1 C.2解析由题图像知答案 B6. A.C. 2 n2T = 2 n , T = n , —= n , w = 2.w函数f (x ) = cos(3 x + $ )的图像关于原点成中心对称，则 k n (k € Z)解析 nB. 2k n — g( k € Z)2若函数f (x ) = cos(3 x + $ )的图像关于原点成中心对称，则 + f (0) =cos $ = 0, — $k € Z).7.a = sin 7 ,b =cos2n-7 , c = tan2 n -y ，则()A. a <b <cB. a <c <bC.b <c <aD. b <a <c解析■/ a = sin 乎=si n(n —琴)=sin2 n~n~.nD.0等于(2 n• c = tan >sin7•- c >a . • c >a >b .答案 D&如图，2弧度的圆心所对的弦长为 2，这个圆心角所对应的扇形面积是（答案 B伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）答案 Csin x10.函数y = 1 + x +2-的部分图像大致为（）X• • a sin 2 n>cos 2n~7b .sin a <tan a .2n=a .C. cos 21D. tan 19•将函数y =盘个单位长度，再把所得各点的横坐标A. y = sinC. y = sin 2x- w2X- W闻右平移盘个单位长度解析函数 y = siny = sin 、横坐标伸长到原来的x_ n 1-10纵坐标不变sin!x - w .B. sin 1. 71 ,71当 x = 7时，f (§) = sin在［0 , n 6］上f (x )不是增函数，D 不正确.解析答案 I当 x = 1 时，f (1) = 1+ 1 + sin 1 = 2+ sin 1>2 故排除B,满足条件的只有 D,故选D. 11.设函数f (x ) = sin(2 x +专)，则下列结论正确的是 A. %f (x )的图像关于直线 x = "3对称 B. jrf(x)的图像关于点(7，°)对称 C. D. ，故排除A , C,当x ^ + m 时，yf■rv)% 把f (x )的图像向左平移花个单位，得到一个偶函数的图像 f (x )的最小正周期为 n ,且在［0 , 6 ］上为增函数解析当 x = 3 时，2x + 3 = n , f (x ) = sin n = 0,不合题意，A 不正确； AL_ C5 n 当 x=;时，2x ［=6 = 2，B 不正确; 5 n f (x ) = sin —— 把f (x )的图像向左平移得到函数f (x ) = sin[2( 当x =表时，f G )鳥个单位, x +12)+ ―] = sin(2 x + "2)= cos 2 x ,是偶函数, C 正确;=sin=1, 2 ， m,32 '答案 Cn12.函数y = sin(2 x + 0 )(0< 0 <2)图像的一条对称轴在区间一个B.y 5 n D.——6n因为函数y = sin(2 x + 0 )(0< 0 <~)图像的一条对称轴在区间nnk € Z)，解得 k n —6<0 <k n + "6(k € Z),四个选项中只有 A 符合，故选A. 答案 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题 5分，共20分) 13点P (- 1,2)在角a 的终边上，则暮所以斗一 10.cos a 答案 —1014.函数f (x ) = cos 2x —才+ 1的对称中心为k €乙解析由点P ( — 1,2)在角a 的终边上得：sin a 攀,cos a 55 ,tan a = — 2,5答案 n k n7 +T ，1，k € Z1 15.函数 f (x ) = 2(sin x + cos 1x ) — 2lsin x — cos x |，则f (x )的值域是 1 解因为 f (x ) = 2(sinx + cos 1x ) — 2lsin I sin x , sin x v cos x , x — cos x | =I cos x , sin x >cos x ,n n(~6，"3)内，则满足此条件的解析令2x +n= k n+ y (k € Z),解得k nn三)内，所以令n 1解析由 2x —6 = 2兀 + k n (k € Z)得 x = 1 k n3 n + 牙(k € Z)，所以函数 f (x ) = cos | 2x —34n+ 2k n , n + 2k n , k € Z当 cos x , x € 2k n ,竽+ 2k n , k € Z J 3 n n + 2k n ，~4 + 2k n5 n 2k n ，+ 2k n k € Z 时, ),k € Z 时，f (x ) € I — 1 , 16.已知函数 f (x ) = 3sin( 3 x + 且图像上相邻两个最高点的距离为 f (x ) € - 1，乎l 综上f (x )的值域是卜1，乎1 3 > 0, — 2 w ° < ~2的图像关于直线x = 2 n 解析由题意可得函数f (x )的最小正周期为 n ,所以——=n ，所以3 = 2,3n n n n再根据图像关于直线 X =—对称，可得2X — + ° = k n + 2 , k € Z ,结合——< 答案、解答题(本大题共 17. (10 分)已知 tan 6个小题，共70分) 1a =2,求下列式子的值. 3对称,<—可2，可a — cos a ; a4si n (1) sin a+ cos 2(2)sin a — 2sin a-cos ” 代亠 4tan 解⑴原式=tan 4X -- 1 21 + 12 3. . 2 . sin a — 2sin a cos a (2)原式= ； 2 2 sin a + cos a 2 tan a — 2tan a tan 2 a + 1 1 2 1 -—2X - 2 23 5.12+118. (12 分)(1)化简:sin x , x €sinf ( a )=C'C'S — a — n⑵ 求值：tan 675 ° + sin( — 330° ) + cos960 °—sin a—cos a • sin a • tan a —sin a—cos a ・tan a⑵ 原式=tan (675 ° - 4X 180° ) + sin( —330°+ 360° ) + cos(960 ° - 3X 360°)1 1一 1 + 2—2 一 1.从而了 X —； + 5, 解得x = 0或x =± • 3.•/ 90°V a V 180°, ■ - x V 0，因此 x =— 3.=2才〒，=tan( — 45° ) + sin 30 + cos( -120°) =—tan 45 ° + sin 30—cos 60ill — a + n CCS—cos a • Sin a解(1)f ( a )=19. (12 分)(1)设 90°V a V 180°,角 a 的终边上一点为 P ( x , 5)，且cosa=¥x ,求sin a 与tan a 的值; (2)已知角0的终边上有一点P ( x ,— 1)( x 丰0)，且 tan 0 =— x ，求 sin 0 , cos 0 .解(1) T r = x 2+ 5,「. cosxa=—X 2+ 5,故 r = 2 2, sin a二 tan当 x — 1 时，sin 0—¥, cos 0 —孑tan a yJ5_ \/T5=—.3 =—〒⑵••• 0的终边过点 (x ，— 1),又tan0 =— x ,2 , |--x = 1，…x =± 1.当x = 1 时，sin 0 —于,cos 0=子；20. (12分)如图是正弦函数 y i = A sin( 3 x +Q ), | $ |< n的一个周期的图像.⑴写出yi 的解析式;⑵ 若y 2与y 1的图像关于直线x = 2对称，求y 2的解析式;⑶ 不作图像，试说明y 2怎样由y = sin x 变换得到..n八・$ =—, — y 1= 2sin4⑵设y 2图像上任意一点的坐标为(x, y 2),则其关于直线x = 2对称的点的坐标为(4 — x, y 2),n v由题意易知(4 — x , y 2)在y 1的图像上，故 y 2= 2sin .—_4•博坐禄变为原来的土倍—販坐标不变跟坐祢变为原来閔2權橫坐祿不变方法二先伸缩再平移.橫坐标支为原来前土倍77y = Sln Y 瞅坐标不变y = sin 卡向右平移1个单位长度 y = sin解 ⑴ 由图像可知：A = 2,T = 2X [3 — ( — 1)] = 8,3将点(—1,0)n + $ ，• n 4+ $ ‘…―7卜 $ = 2k n , $ = 2k n +/n、y 1=2sin i 4x + $ .nn n+对=2sin 7x —7 .(3)方法一先平移再伸缩.21. (12分)示波器上显示的曲线是正弦曲线，如图记录到两个坐标且知道一个是最高点，你能写出该曲线的解析式吗？若又知道和平衡位置，所得的解析式是什么?纵坐标变为原来的横坐标不变2倍 y = 2sin n na x-n .M (2 , 4)和 P (6,0)，并M P 是曲线上相邻的最高点解设此正弦曲线的解析式为得严r, 2°+O + =4, =0.1O =-( n—2k)4 7ty= A sin(解得\ 6 O••• y = 4sin 4 n —2k n—鲁O x + 0 ),依题意, A= 4，将(2,4) , (6,0)代入,1—^n n + k n + 47t3=4n其中k, n€乙1+ 3k n —q n n .n, k € Z).•••M p是相邻的最高点和平衡位置，由图像可知4=6-2=4，得丁=16, CO %「再将M2,4) 8代入得sinn n4卜0 = 1，即0 =~4，从而知所求解析式为y= 4sin i +7t n8八，x€R7t22. (12 分)函数f (x) = A sin( O x+ 0 ) i A> 0,n n—2 V 0 V ~ , x€ R的部分图像如图所示.(1)求函数y= f (x)的解析式；，求(2)当x € J— n ,y= f (x)的取值范围.解(1)由图像得T 2 n n n A= 1, 4=〒—石=｛，所以T= 2n，则将点nn, 1代入得Sin n石+0 =1,而—专Vn严严r、pn 0 V§，所以0 =§,因此函数f(x) = sin x+ nn .⑵由于x€ —n ,—㊁所以一1W sin i x+ ~ w ,厂1,订所以f(x)的取值范围是。

2020-2021学年北师大版高中数学必修一《函数2-2-2》课后强化综合检测及答案

最新（新课标）北师大版高中数学必修一第二章 §2 第2课时一、选择题1．下列图形是函数y ＝－|x|(x ∈[－2,2])的图像的是( )[答案] B[解析] y ＝－|x|＝⎩⎨⎧－x (0≤x ≤2)x (－2≤x<0)中，y ＝－x(0≤x ≤2)是直线y ＝－x 上满足0≤x ≤2的一条线段(包括端点)，y ＝x 是直线y ＝x 上满足－2≤x<0的一条线段(包括左端点)，其图像在原点及x 轴的下方，故选B.2．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y|－1≤y ≤3} D ．{y|0≤y ≤3}[答案] A[解析] 由对应法则y ＝x 2－2x ，得0→0,1→－1,2→0,3→3，所以值域为{－1,0,3}，故选A.3．若f(1x )＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f(x)＝( )A.1x B ．1x －1C.11－x D ．1x－1[答案] B[解析] 令1x ＝t ，则x ＝1t.∵x ≠0，且x ≠1，∴t ≠1，且t ≠0.∴f(t)＝1t1－1t＝1t －1.∴f(x)＝1x －1.故选B. 4．如图中的图像所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2) [答案] B[解析] 可将原点代入，排除选项A ，C ，再将点(1，32)代入，排除选项D ，故选B.5．已知f(x)＝⎩⎨⎧(x>0)－1(x ＝0)2x －3(x<0)，则f{f[f(5)]}为( )A ．0B ．－1C ．5D ．－5[答案] D[解析] 根据分段函数解析式可知， f(5)＝0，而f(0)＝－1， f(－1)＝2×(－1)－3＝－5. 故f{f[f(5)]}＝f[f(0)]＝f(－1)＝－5.6．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，且f(m)＝6，则m 等于( )A ．－14B ．14C.32 D ．－32[答案] A[解析] 令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x 2－1＝12×32－1＝－14.或先求f(x)的解析式，再由f(m)＝6，求m 的值．二、填空题7．已知集合A ＝{x|y ＝x ＋1}，集合B ＝{y|y ＝－x 2＋4x}，则A ∩B ＝________. [答案] {x|－1≤x ≤4}(或写成{y|－1≤y ≤4})[解析] A 是函数y ＝x ＋1的定义域，则A ＝{x|x ≥－1}．B 是二次函数y ＝－x 2＋4x 的值域，则B ＝{y|y ≤4}．则A ∩B ＝{x|－1≤x ≤4}．8．已知函数f(x)在[－1,2]上的图像如图所示，则f(x)的解析式为________．[答案]f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1 －1≤x ≤0－12x 0<x ≤2[解析] 观察图像，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式．当－1≤x ≤0时，f(x)＝x ＋1；当0<x ≤2时，f(x)＝－x2.∴f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1 －1≤x ≤0－12x 0<x ≤2.三、解答题9．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x (－1≤x<0)，x 2(0≤x<1)，x (1≤x ≤2).(1)求f(－8)，f(－23)，f(12)，f(32)的值；(2)作出函数的简图； (3)求函数的值域．[分析] 给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的解析式．(1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值． (2)在不同的区间，依次画出函数图像． (3)函数的值域是各段函数值的集合的并集．[解析] 函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]． (1)因为－8∉[－1,2]，所以f(－8)无意义．因为－1≤x<0时，f(x)＝－x ，所以f(－23)＝－(－23)＝23.因为0≤x<1时，f(x)＝x 2，所以f(12)＝(12)2＝14.因为1≤x ≤2时，f(x)＝x ，所以f(32)＝32.(2)在同一坐标系中分段画出函数的图像，如图所示：(3)由第(2)问中画出的图像可知，函数的值域为[0,2].一、选择题1．设f(x)＝⎩⎨⎧|x －1|－2，|x|≤111＋x 2，|x|>1，则f[f(12)]＝( )A.12 B ．413C ．－95D ．2541[答案] B[解析] 由于|12|<1，所以f(12)＝|12－1|－2＝－32，而|－32|>1，所以f(－32)＝11＋(－32)2＝1134＝413，所以f[f(12)]＝413，选B. 2．若g(x)＝1－2x ，f[g(x)]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．3C ．15D ．30[答案] C[解析] 由g(x)＝1－2x ＝12，得x ＝14，代入1－x 2x 2得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝15.二、填空题3．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程数x(千米)之间的函数关系式是________．[答案] y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0≤x ≤100，10＋0.4x ，x>100[解析] 根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x>100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x.4．已知f(x)满足f(x)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f(2)＝________.[答案] －1[解析] 设f(x)的定义域为C ，由f(x)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x 知，x ∈C ，1x ∈C ，将原式中的x 换为1x，原式仍成立，即有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11x ＝3x .与原式联立⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝3x，f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，解得f(x)＝2x－x ，∴f(2)＝22－2＝1－2＝－1.三、解答题5．(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x －1，求f(x)； (2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x ＋1)－f(x)＝2x ，求f(x)． [解析] (1)∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax ＋b(a ≠0)．则f[f(x)]＝f(ax ＋b)＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b. 又f[f(x)]＝4x －1.∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.即⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1⇒⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－13，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.∴f(x)＝2x －13或f(x)＝－2x ＋1.(2)∵f(x)是二次函数，设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．由f(0)＝1知c ＝1.又f(x ＋1)－f(x)＝2x ，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x. 左端展开整理得2ax ＋(a ＋b)＝2x.∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，即⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.∴f(x)＝x 2－x ＋1.6．画出下列函数的图像： (1)y ＝|x －5|＋|x ＋3|； (2)y ＝2x －3，x ∈Z ，且|x|≤2； (3)y ＝x 2－2|x|－1；(4)y ＝⎩⎨⎧x 2＋2x (x ≥0)，－x 2－2x (x<0).[解析] (1)y ＝|x －5|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧－2x ＋2(x<－3)，8 (－3≤x<5)，2x －2(x ≥5).图像如图(1)所示．(2)y ＝2x －3， ∵x ∈Z ，且|x|≤2.∴x ＝±2，±1,0，图像如图(2)中的五个点．(3)y ＝x 2－2|x|－1＝⎩⎨⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1(x<0).图像如图(3)所示．(4)y ＝⎩⎨⎧x 2＋2x (x ≥0)－x 2－2x (x<0)的图像如图(4)所示．7．如图所示，半径为R 的圆的内接等腰梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 之间的关系式，并求出它的定义域．[解析] 设腰长AD ＝BC ＝x ，作DE ⊥AB 交AE 于点E ，连接BD ，则∠ADB ＝90°，∴Rt △ADE ∽Rt △ABD.∴AD 2＝AE ·AB ，AE ＝x 22R .∴CD ＝AB －2AE ＝2R －x2R.∴周长y 满足关系式y ＝2R ＋2x ＋⎝⎛⎭⎪⎫2R －x 2R ＝－x 2R ＋2x ＋4R.即周长y 与腰长x 之间的关系式为y ＝－1R x 2＋2x ＋4R.∵四边形ABCD 为圆内接梯形，∴AD>0，AE>0，CD>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x 22R>0，2R －x2R>0，⇒0<x<2R.所以函数的定义域为{x|0<x<2R}．。

2020-2021学年北师大版高中数学必修一《函数2-3》课后强化综合检测及答案

最新（新课标）北师大版高中数学必修一第二章 §3一、选择题1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝x 0D ．y ＝x 2[答案] D[解析] ∵函数y ＝x 2的图像是开口向上的抛物线，对称轴为y 轴，∴函数y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．2．若函数y ＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减少的，在区间[－1，＋∞)上是增加的，则m ＝( )A ．2B ．－2C ．10D ．－10[答案] C[解析] 函数y ＝5x 2＋mx ＋4的图像为开口向上对称轴是x ＝－m 10的抛物线，要使函数y＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减少的，在区间[－1，＋∞)上是增加的，则－m10＝－1，∴m ＝10.3．下列函数中，在(－∞，0)上为递增的是( ) A ．f(x)＝－2x ＋1 B ．g(x)＝|x －1| C ．y ＝1xD ．y ＝－1x[答案] D[解析] 熟悉简单函数的图像，并结合图像判断函数单调性，易知选D.4．函数f(x)＝2－3x 在区间[1,3]上的最大值是( )A ．2B ．3C ．－1D ．1[答案] D[解析] 容易判断f(x)在区间[1,3]上是增加的，所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)＝1. 5．下列四个函数之中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f(x)＝3－x B ．f(x)＝x 2－3x C ．f(x)＝－1x ＋1D ．f(x)＝－|x|[答案] C[解析] 分别画出四个函数的图像易知y ＝x 2－3x 在(32，＋∞)为增加的，y ＝3－x 在(0，＋∞)为减少的，y ＝－|x|在(0，＋∞)上是减少的，y ＝－1x ＋1在(－1，＋∞)上为增加的，故选C.6．函数f(x)＝2x 2－3|x|的递减区间是( ) A ．[34，＋∞)B ．(－∞，－34]C ．[－34，0]和[34，＋∞)D ．(－∞，－34]和[0，34][答案] D[解析] 作出f(x)＝2x 2－3|x|＝⎩⎨⎧2x 2－3x ，x ≥0，2x 2＋3x ，x<0的图像，由图像易知选D.二、填空题7．f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x ＋8)的解集是______________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 83<x ≤4 [解析]依题意，由不等式组⎩⎨⎧x ≥0－2x ＋8≥0，x>－2x ＋8解得83<x ≤4.8．函数y ＝|x 2－2x －3|的单调增区间是____________． [答案] [－1,1]，[3，＋∞)[解析] y ＝|x 2－2x －3|的图像如图所示，由图像法直接得出增区间．三、解答题9．已知函数f(x)＝x＋1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求证：函数f(x)在定义域上是增加的；(3)求函数f(x)的最小值．[解析] (1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数f(x)的定义域是[－1，＋∞)．(2)证明：设－1<x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，f(x1)－f(x2)＝x1＋1－x2＋1＝(x1＋1－x2＋1)(x1＋1＋x2＋1)x1＋1＋x2＋1＝(x1＋1)－(x2＋1) x1＋1＋x2＋1＝x1－x2x1＋1＋x2＋1.∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴f(x1)<f(x2)，即Δy＝f(x2)－f(x1)>0，∴函数f(x)在定义域上是增加的．(3)∵函数f(x)在定义域[－1，＋∞)上是增加的，∴f(x)≥f(－1)＝0，即函数f(x)的最小值是0.一、选择题1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f(a)>f(2a) B ．f(a 2)<f(a) C ．f(a 2＋a)<f(a) D ．f(a 2＋1)<f(a)[答案] D[解析] ∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴f(a 2＋1)<f(a)．2．下列命题正确的是( )A ．定义在(a ，b)上的函数f(x)，若存在x 1，x 2∈(a ，b)，使得x 1<x 2时有f(x 1)<f(x 2)，那么f(x)在(a ，b)上是增加的B ．定义在(a ，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b)，使得x 1<x 2时有f(x 1)<f(x 2)，那么f(x)在(a ，b)上是增加的C ．若f(x)在区间I 1上为增加的，在区间I 2上也是增加的，那么f(x)在I 1∪I 2上也一定是增加的D ．若f(x)在区间I 上是增加的且f(x 1)<f(x 2)(x 1，x 2∈I)，那么x 1<x 2 [答案] D[解析] 由单调性定义知，选项A 、B 错；对于C ，可举反例，如y ＝－1x ，在区间(－∞，0)上是增加的，在区间(0，＋∞)上也是增加的，若x 1＝－1，x 2＝1时，x 1<x 2，f(－1)＝1>f(1)＝－1，∴函数y ＝－1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增加的，注意这种写法的错误性，所以C 错，故选D.二、填空题3．设函数f(x)满足：对任意的x 1、x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．[答案] f(－3)>f(－π)[解析] 由(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)． 4．若f(x)＝x 2－2(1＋a)x ＋2在(－∞，4]上是减少的，则实数a 的取值范围为________． [答案] a ≥3[解析] ∵函数f(x)＝x 2－2(1＋a)x ＋2的对称轴为x ＝1＋a ，∴要使函数在(－∞，4]上是减少的，应满足1＋a ≥4，∴a ≥3.三、解答题5．利用单调性的定义证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减少的．[解析] 设x 1>x 2>－1，则Δx ＝x 2－x 1<0， Δy ＝y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)∵x 1>x 2>－1，x 1＋1>0，x 2＋1>0， Δx ＝x 2－x 1<0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)<0.Δy ＝y 1－y 2<0.∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减少的．6．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值； (2)解不等式f(m －2)≤3.[解析] (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5， ∴f(2)＝3.(2)由f(m －2)≤3，得f(m －2)≤f(2)． ∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，∴⎩⎨⎧m －2≥2m －2>0，解得m ≥4.∴不等式的解集为{m|m ≥4}．7．已知f(x)的定义域为R ，且有f(－x)＝f(x)，而且在(0，＋∞)上是减少的，判断在(－∞，0)上是增加的还是减少的，并加以证明．[解析] f(x)在(－∞，0)上为增加的．证明：设x1∈(－∞，0)，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则－x1∈(0，＋∞)，－x2∈(0，＋∞)，且－x1>－x2.又f(x)在(0，＋∞)上为减少的，∴f(－x1)<f(－x2)．又∵f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在(－∞，0)上为增加的．。

巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修一《指数概念的扩充》课时训练题及解析

北师大版高中数学必修一1 正整数指数函数2 指数概念的扩充时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．设a>0，将a a 3a2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 16B ．a 56C ．a 76D ．a 32答案：A解析：原式＝.2．[(－3)2]12－100的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 答案：B解析：[(－3)2]12－100＝(32)12－1＝3－1＝2.3．下列各式运算错误的是( ) A ．(－a 2b)2·(－ab 2)3＝－a 7b 8B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3C ．(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6D ．[(a 3)2·(－b 2)3]3＝－a 18b 18答案：C解析：(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·(－b 6)＝－a 6b 6≠a 6b 6，选C.4．已知x 12＋x12-＝5(x>0)，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27 答案：B解析：由x 12＋x12-＝5平方，得x ＋x －1＝23，所以x 2＋1x＝x ＋x －1＝23，故选B.5．(1－122)(1－132)(1－142)…(1－120122)(1－120132)的值是( )A.40254026B.10062013 C.12D.10072013 答案：D6．已知a 23＋b 23＝4，x ＝a ＋3a 13b 23，y ＝b ＋3a 23b 13 ，则(x ＋y)23＋(x －y)23为( ) A ．0 B ．8C ．10D ．以上答案都不对答案：B解析：x ＋y ＝a ＋3a 13b 23＋b ＋3a 23b 13＝(a 13＋b 13)3x －y ＝a ＋3a 13b 23－b －3a 23b 13＝(a 13－b 13)3∴原式＝(a 13＋b13)2＋(a13－b13)2＝2(a23＋b23)＝2×4＝8.二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7.(3.14－π)2＋(4.14－π)2＝________.答案：1解析：(3.14－π)2＋(4.14－π)2＝|3.14－π|＋|4.14－π|＝π－3.14＋4.14－π＝1.答案：－19.11－230＋7－210＝________.答案：6－ 2解析：11－230＋7－210＝6－25×6＋5＋5－25×2＋2＝(6－5)2＋(5－2)2＝6－5＋5－2＝6－ 2.三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．(2)(32×3)6＋(22)43－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫164912-－42×80.25－(－2005)0.解：(1)原式＝＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤49－73＋25×152×4210÷12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－179＋2×2 ＝29. (2)原式＝(213×312)6＋(212×214)43－4×74－214×234－1＝22×33＋2－7－2－1 ＝100.11．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两根，求 ①2α·2β，②(2α)β的值．解：∵α，β为5x 2＋10x ＋1＝0的两根 α＋β＝－2，αβ＝15，2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2α·β＝21 5.12．(1)已知x＋y＝8，xy＝9，且x>y>0，求的值；(2)化简：. 解：(1)∵x＋y＝8，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝64－36＝28.∵x>y>0，∴x－y＝27..。

2018-2019学年度第一学期高一数学必修一综合测试题

2017-2018学年度第一学期高一数学必修一综合测试题第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．已知集合{0,1,2},{|20}A B x x ==-<，则A B = （）A ．{}0,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．已知R 为实数集，{}|233A x x x =-<，{}|2B x x =≥，则AB =（） A ． {}|2x x ≥ B ．{}|23x x ≤<C ． {}|3x x >-D ．R3.设函数f (x )＝则f (f (3))等于( ) A. B. 3 C. D. 4．已知三个实数：123a =、31()2b =、31log 2c =，它们之间的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >> 5．函数()lg 1()2x f x x -=-的定义域是( ) A ．()1,+∞ B ．()()1,22,+∞ C ．()(),22,-∞+∞ D ．[)()1,22,+∞6．下列函数为偶函数的是( )A ．[)24,2,4y x x =∈-B ．3y x =C ．xy e = D ．21y x =+ 7．下列函数中与函数x y 1=相等的是( ) A ．2)(1x y = B ．331x y = C ．21xy = D ．2()x y =8．函数]1,0[在x a y =上的最大值与最小值的和为3，则=a （）A ．21 B ．41 C ．4 D ．2 9．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( ) A ．1,3 B ．-1,1 C ．-1,3 D ．-1,1,310．设函数22(0)()(0)x f x x bx c x - >⎧=⎨++ ≤⎩，若(4)(0),(2)0,f f f -=-=则关于x 的不等式 ()f x ≤1的解集为（）A ．(][),31,-∞--+∞B ．[]()3,10,--+∞C ．[]3,1--D ．[)3,-+∞11．根据表格中的数据，可以断定方程20x e x --=的一个根所在的区间是（） x －10 1 2 3 x e 0.371 2.72 7.39 20.09 2+x 1 2 34 5 A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3） 12．非空数集{}*123n A a a a a n =∈N ，，，，()中，所有元素的算术平均数记为E A ()，即123n a a a a E A n ++++=()．若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ⊆；②E B E A =()()，则称B 为A 的一个“保均值子集”．据此，集合{}12345，，，，的“保均值子集”有（） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）1334564()m m mm m ••=•14．幂函数()x f y =的图象经过点12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则满足()27=x f 的x 的值为15．函数5()2log (3)f x x =++在区间[-2，2]上的值域是 16. 已知122nm -⎛⎫< ⎪⎝⎭，则n m ,的大小关系是三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（本小题满分10分）已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，2{|320}A x x x =-+=，{|15,}B x x x Z =≤≤∈， {|29,}C x x x Z =<<∈．（1）求()AB C ；（2）求()()U U C B C C ．已知函数()lg(2),()lg(2),()()().f x x g x x h x f x g x =+=-=+设（1）求函数()h x 的定义域；（2）判断函数()h x 的奇偶性，并说明理由；（3）求函数()h x 的零点.19．（本小题满分12分）已知函数3()1f x x -=+,[]3,5x ∈ (1) 判断()f x 在区间[]3,5上的单调性并证明； (2) 求()f x 的最大值和最小值.20. （本小题满分12分）已知2)(x x e e x f --=，2)(xx e e x g -+=. （1）求证：)()(2)2(x g x f x f •=；（2）求证：22)]([)]([)2(x f x g x g +=；（3）判断)(x f 与)(x g 的奇偶性，并说明理由.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：21400,0400()280000,400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x （单位：台）是仪器的月产量．（总收益=总成本+利润）（1）将利润表示为月产量x 的函数()f x ；（2）当月产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元?22.（本小题满分12分）已知R a ∈，函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+•=为奇函数. （1）求a 的值；（2）判断函数)(x f 的单调性，并说明理由；（3）求函数)(x f 的值域.。

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北师大版高中数学必修一

第二章 §4 第2课时

一、选择题
1．二次函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是( )
A．最小值是8，无最大值
B．最大值是－2，无最小值
C．最大值是8，无最小值
D．最小值是－2，无最大值
[答案] C
[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x＝－1时，函数有最大值8，无最小值．
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc＝( )
A．－6 B．11

C．－14 D．14
[答案] C
[解析] ∵f(x)图像过点(0,2)，∴c＝2.

又顶点为(4,0)，∴－b2a＝4，8a－b24a＝0.

解得：b＝－1，a＝18，∴abc＝－14.
3．函数y＝ax2＋bx＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，则( )
A．b>0且a<0 B．b＝2a<0
C．b＝2a>0 D．a，b的符号不定
[答案] B

[解析] 由题意知a<0，且－b2a＝－1，
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∴b＝2a<0.
4．函数f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,2]，则函数( )
A．有最小值0，最大值9 B．有最小值2，最大值5
C．有最小值2，最大值9 D．有最小值1，最大值5
[答案] A
[解析] 由于f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
图像的对称轴是x＝－1，所以f(x)在x＝－1处取得最小值且f(－1)＝0.又f(－2)＝1，f(2)
＝9.
因此函数的最大值等于9.
5．某生产厂家生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的解析式为y＝x2－85x，若每件产品
售价25万元，则该厂所获利润最大时生产的产品件数为( )
A．35 B．45
C．55 D．65
[答案] C
[解析] 生产x台时，所获利润f(x)＝25x－y＝－x2＋110x＝－(x－55)2＋3 025.
所以当x＝55时，f(x)取最大值，即该厂所获利润最大时生产的产品件数是55.
6．二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(a)≥f(0)，那么实
数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，－0]
C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
[答案] C

[解析] 此函数图像的对称轴为x＝2＋x＋2－x2＝2，在[0,2]上递增，如图所示，正确答
案为C.

二、填空题
7．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[2,10]上具有单调性，则实数k的取值范围是________．
[答案] k≤16或k≥80
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[解析] 函数f(x)的对称轴为x＝k8，
∴k8≤2或k8≥10，
∴k≤16或k≥80.
8．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点
的坐标为________．

[答案] (－14，14)

[解析] 把(1,4)的坐标代入y＝ax2与y＝kx＋1中得a＝4，k＝3.所以由 y＝4x2，y＝3x＋1，

解得 x＝1，y＝4，或 x＝－14，y＝14.
三、解答题
9．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图像与y轴交于点(0,1)，且满足f(－2＋x)＝f(－
2－x)(x∈R)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)已知函数在(t－1，＋∞)上是增加的，求实数t的取值范围．
[解析] (1)由函数f(x)的图像与y轴交于点(0,1)，知c＝1.
∵f(－2＋x)＝f(－2－x)，

∴函数f(x)的对称轴x＝－22a＝－1a＝－2.

∴a＝12.∴f(x)＝12x2＋2x＋1.
(2)∵函数f(x)在(t－1，＋∞)上是增加的，
∴t－1≥－2.∴t≥－1.

一、选择题
1．(2013·浙江高考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
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A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
[答案] A
[解析] 由题意得f(0)＝c，f(4)＝16a＋4b＋c＝c，
即16a＋4b＝0,4a＋b＝0，f(1)＝a＋b＋c，
因为f(4)>f(1)，所以a＋b<0，a>0，故选A.
2．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是( )
A．f(1)≥25 B．f(1)＝25
C．f(1)≤25 D．f(1)>25
[答案] A

[解析] f(x)＝4x2－mx＋5在[m8，＋∞)上是增加的，故[－2，＋∞)⊆[m8，＋∞)，

即－2≥m8，∴m≤－16.∴f(1)＝9－m≥25.
二、填空题
3．设函数f(x)＝4x2－(a＋1)x＋5在[－1，＋∞)上是增加的，在(－∞，－1]上是减少的，
则f(－1)＝________.
[答案] 1

[解析] ∵a＋18＝－1，∴a＝－9.
∴f(－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.
4．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x
2
＋2x＋m＝0的根为________．

[答案] 3或－1
[解析] 由图像知f(3)＝0，
∴m＝3.
由－x2＋2x＋3＝0得x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1.
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三、解答题
5．已知函数f(x)＝x2＋2ax－3.
(1)如果f(a＋1)－f(a)＝9，求a的值；
(2)问a为何值时，函数的最小值是－4?
[解析] (1)∵f(a＋1)－f(a)＝(a＋1)2＋2a(a＋1)－3－(a2＋2a2－3)＝4a＋1＝9，∴a＝2.

(2)∵由4×1×－3－4a24＝－4，
得a2＝1，∴a＝±1.
6．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋2m＋1的图像上方，试确定实数m的取
值范围．
[解析] (1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)的图像关于x＝1对称，f(x)的最小值为1，
故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，
因为f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.

(2)要使函数不单调，则2a<1(3)由已知，即2x2－4x＋3>2x＋2m＋1，
化简得x2－3x＋1－m>0.
设g(x)＝x2－3x＋1－m，则只要g(x)min>0，
因为x∈[－1,1]时，g(x)是减少的，
所以g(x)min＝g(1)＝－1－m，
因此有－1－m>0，得m<－1.
7．设f(x)＝x2＋ax＋3－a，且f(x)在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a的取值范围．

[解析] f(x)＝x＋a22＋3－a－a24，f(x)≥0在x∈[－2,2]恒成立的充分条件是f(x)在x∈[－
2,2]上的最小值非负．
(1)当－a2<－2，即a>4时，f(x)在[－2,2]上是增函数，最小值为f(－2)＝7－3a，由7－3a
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≥0，得a≤73，这与a>4矛盾，此时a不存在．
(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，f(x)在[－2,2]上的最小值为f－a2＝3－a－a24，3－
a－a24≥0⇒a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.
结合－4≤a≤4，可知此时－4≤a≤2.
(3)当－a2>2，即a<－4时，f(x)在[－2,2]上是减函数，最小值为f(2)＝7＋a，由7＋a≥0，
得a≥－7.
∵a<－4，∴－7≤a<－4.
由(1)(2)(3)可知，a的取值范围是[－7,2]．