2020年高考理科数学新课标第一轮总复习练习：8-2直线的交点与距离公式含解析
高三数学(文)一轮复习讲解与练习8.2直线的交点坐标与距离公式(含答案解析)
第二节 直线的交点坐标与距离公式[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立． [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．2．距离[探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|12＋22＝ 5.2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8D ．6解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝(6－0)2＋(0－8)2＝36＋64＝10.3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1 B ．－12C ．2D.12解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________． 解析：设直线l 1的方程为x ＋y ＋λ＝0，则 2＝|－1－λ|12＋12＝|λ＋1|2，解得λ＝1或λ＝－3.即直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝05．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________． 解析：设对称点为(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.答案：(－4，－3)[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是________________．(2)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数m ，n 满足的条件是__________．[自主解答] (1)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2,1)，∵l 3⊥l ，∴k ＝－12，∴直线l 的方程为y －1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x ＋y ＋1＋λ(x －y ＋3)＝0， 即(1＋λ)x ＋(1－λ)y ＋1＋3λ＝0.∵l 与l 3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－13.∴直线l 的方程为23x ＋43y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)因为两直线l 1与l 2相交，所以当m ＝0时，l 1的方程为y ＝－n 8，l 2的方程为x ＝12，两直线相交，此时m ，n 满足条件m ＝0，n ∈R ；当m ≠0时，由两直线相交．所以m 2≠8m ，解得m ≠±4，此时，m ，n 满足条件m ≠±4，n ∈R .[答案] (1)x ＋2y ＝0 (2)m ≠±4，n ∈R若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l 的方程．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2，1)．又l ∥l 3，即k ＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x ＋2)， 即2x －y ＋5＝0. ——————————————————— 经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)或m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.1．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，则有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0得k 21＝k 22＝－2，显然不成立，与已知矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1， 即交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．[例2] 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．[自主解答] (1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见， 过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件， 此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过P 点与原点O 的距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线， 因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线． ——————————————————— 求两条平行线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．2．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在上述直线上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87.[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [自主解答] (1)设A ′(x ，y )，再由已知 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. ——————————————————— 求点关于直线对称问题的基本方法(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直； (2)已知点与对称点的中点在对称轴上．利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题．3．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，求点C 的坐标．解：把A ，B 两点的坐标代入y ＝2x 知，A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB 的平分线，设点A (－4,2)关于y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a －42，b ＋22，∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4·2＝－1，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴A ′(4，－2)．∵y ＝2x 是∠ACB 平分线所在直线的方程，∴A ′在直线BC 上，∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴C (2,4)．1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.1种思想——转化思想在对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；(2)运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为分别相等.创新交汇——新定义下的直线方程问题1．直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中．2．解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中．[典例] (2013·上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点．对于以下结论：①符合[OP ]＝1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]的最小值为1； 其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)．[解析] ①由[OP ]＝1，根据新定义得，|x |＋|y |＝1，上式可化为y ＝－x ＋1(0≤x ≤1)，y ＝－x －1(－1≤x ≤0)，y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)，y ＝x －1(0≤x ≤1)，画出图象如图所示．根据图形得到四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确；②当点P 为⎝⎛⎭⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0<1，所以[OP ]的最小值不为1，故②错误；所以正确结论有①.[答案] ① [名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新．(2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同．2．解决本题的关键有以下两点(1)根据新定义，讨论x 的取值，得到y 与x 的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP ]的最小值为1是假命题． 3．在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何．[变式训练]四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0,0)，A (6,2)，B (4,6)，C (2,6)，直线y ＝kx ⎝⎛⎭⎫13<k <3把四边形OABC 分成两部分，S 表示靠近x 轴一侧那部分的面积．(1)求S ＝f (k )的函数表达式；(2)当k 为何值时，直线y ＝kx 将四边形OABC 分为面积相等的两部分．解：(1)如图所示，由题意得k OB ＝32.①当13<k <32时，直线y ＝kx 与线段AB ：2x ＋y ＝14相交，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，2x ＋y ＝14，解得交点为P 1⎝⎛⎭⎫14k ＋2，14k k ＋2.因为点P 1到直线OA ：x －3y ＝0的距离为d ＝14(3k －1)10(k ＋2)，所以S ＝12|OA |·d ＝14(3k －1)k ＋2；②当32≤k <3时，直线y ＝kx 与线段BC ：y ＝6相交于点P 2⎝⎛⎭⎫6k ，6， 所以S △OP 2C ＝12|P 2C |·6＝6(3－k )k.又因为S 四边形OABC ＝S △AOB ＋S △OBC ＝14＋6＝20， 所以S ＝S 四边形OABC －S △OP 2C ＝26－18k.故S ＝f (k )＝⎩⎨⎧14(3k －1)k ＋2⎝⎛⎭⎫13<k <32，26－18k ⎝⎛⎭⎫32≤k <3.(2)若要直线y ＝kx 平分四边形OABC 的面积，由(1)，知只需14(3k －1)k ＋2＝10，解得k ＝1716.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.322D.22解析：选C d ＝|1－(－1)×1＋1|12＋(－1)2＝322.2．(2013·海口模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D 由题意知，直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 令x ＝0，得y ＝3，即点P 的坐标为(0,3)．3．(2013·南昌模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为 2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2，即x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．(2013·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0 解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.5.直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10.则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2,2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， ∵|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3.∴l 的方程为3x －y －4＝0.6．曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．m >4或m <－4B ．－4<m <4C ．m >3或m <－3D ．－3<m <3解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．与直线y ＝2x ＋m 有两个交点．则m >4或m <－4.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B ⎝⎛⎭⎫22，0，那么这两点之间距离的最小值是________．解析：d ＝ ⎝⎛⎭⎫x －222＋( 2－x )2＝ 2⎝⎛⎭⎫x －3242＋14≥12. 即最小值为12. 答案：128．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________________． 解析：设与直线x －y －2＝0平行的直线方程为x －y ＋c ＝0，则22＝|c ＋2|12＋(－1)2，得c ＝2或c ＝－6，即所求直线方程为x －y ＋2＝0或x －y －6＝0.答案：x －y ＋2＝0或x －y －6＝09．平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________(将你认为所有正确的序号都填上)．①0 ②12③1 ④2 ⑤3 解析：三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k ＝0,1,2时均符合题意．答案：①③④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.11．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0. 12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ，(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)．∴d max ＝|P A |＝10.1．记直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时m 的取值集合为M ，直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行时n 的取值集合为N ，则M ∪N ＝________.解析：当直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时，m 满足(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，解得m ＝12或m ＝－2， 故M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12； 直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行，当n ＝0时，显然两直线不平行；当n ≠0时，两直线平行的充要条件是1n ＝n 4≠36，即n ＝－2，所以N ＝{－2}． 故M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12 2．已知 A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，则AC 所在直线方程是________________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－1x 0－3＝－1，y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝4， 即A ′(0,4)． 故直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2， 即C (－3，－2)．故直线AC 的方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝03．已知直线l 过点P (3,1)且被两平行线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．解：法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别是A (3，－4)，B (3，－9)，截得的线段长|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4k k ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9k k ＋1. 由两点间的距离公式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.法二：设直线l 与l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0.两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5.①又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25，②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1.法三：因为两平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522， 如图，直线l 被两平行线截得的线段为5，设直线l 与两平行线的夹为角θ，则sin θ＝22， 所以θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在或为零．又因为直线l 过点D (3,1)，所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.4．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．解：(1)当直线l 在两坐标轴上的截距不为零时，可设方程为x ＋y ＋m ＝0(m ≠0)， 由已知|1＋3＋m |12＋12＝2，解得m ＝－2或m ＝－6， 故所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距为零时，可设方程为y ＝kx ， 由已知|k －3|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝1或k ＝－7， 故所求的直线方程为x －y ＝0或7x ＋y ＝0.综上，所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0或x －y ＝0或7x ＋y ＝0.。
高考数学一轮总复习 8.2直线的交点与距离公式课件
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(2)l1∥l2⇒an－bm＝0，且an－bm＝0/⇒l1∥l2， ∴an＝bm是直线l1∥l2的必要不充分条件．
第八章 平面解析几何
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1
第二节 直线的交点与距离公式
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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2
高考明方向
1.能根据两条直线斜率判定这两条直线平行或垂直或相交． 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条 平行直线间的距离.
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为
|Ax0＋By0＋C|
d＝
A2＋B2 .
3．两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝
|C2－C1|
0(C1≠C2)间的距离为d＝
A2＋B2
.
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对点自测 知识点一 两条直线平行与垂直的判定 1.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2： x＋2y＋4＝0平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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2．两条直线垂直：如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1， k2，那么l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 ，当一条直线斜率为零，另一条直线 斜率不存在时，两直线 垂直
与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0.
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2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习：8-2直线的交点与距离公式含解析
课时规范练A 组 基础对点练1．(2018·兰州一模)一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1,1)，则虫子爬行的最短路程是( B ) A. 2 B.2 C ．3D.42．在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( C ) A ．x ＋2y －4＝0 B.x －2y ＝0 C ．2x －y －3＝0D.2x －y ＋3＝03．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( A ) A ．－6<k <－2 B.－5<k <－3 C ．k <－6D.k >－24．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( B ) A ．(0,4) B.(0,2) C ．(－2,4)D.(4，－2)5．已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( B ) A ．4 B.132 C.21313D.713266．圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线l ：x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( C ) A ．36 B.18 C ．6 2D.5 27．(2016·高考浙江卷)若平面区域⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( B ) A.355B. 2C.322D. 58．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝ 345 . 解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.9．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为__(0,2)__．10．已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是__3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0__.11．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解析：(1)易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0. 由题意得|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12. ∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． ∴d max ＝|P A |＝10.B 组 能力提升练1．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( D ) A ．2 B.4 C ．5D.10解析：如图，以C 为原点，CB ，CA 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4，a 4.由两点间的距离公式可得|P A |2＝b 216＋9a 216，|PB |2＝9b 216＋a 216，|PC |2＝b 216＋a 216.所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝1016(a 2＋b 2)a 2＋b 216＝10.2．(2016·高考四川卷)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎨⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( A ) A ．(0,1) B.(0,2) C ．(0，＋∞)D.(1，＋∞)解析：不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)，由于l 1⊥l 2，所以1x 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1，则x 1＝1x 2.又切线l 1：y－ln x 1＝1x 1(x －x 1)，l 2：y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，于是A (0，ln x 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，解得x P ＝2x 1＋1x1，所以S △P AB ＝12×2×x P ＝2x 1＋1x1.因为x 1>1，所以x 1＋1x1>2，所以S △P AB 的取值范围是(0,1)，故选A.3．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝( D ) A ．－ 6 B.±6 C ．－ 5D.±5解析：因为圆心C 到y 轴的距离为1，所以圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是有|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5，故选D.4．(2018·贵阳监测)已知曲线y ＝a x (a >0，且a ≠1)恒过点A (m ，n )，则点A 到直线x ＋y －3＝0的距离为2 .解析：由题意，可知曲线y ＝a x (a >0，且a ≠1)恒过点(0,1)，所以A (0,1)，点A (0,1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋1－3|2＝ 2.5．(2018·岳阳模拟)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为 94 .解析：因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0.又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，所以(4－1)2＋(－m )2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94， 当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．6．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是__(2,4)__． 解析：由已知得k AC ＝6－23－1＝2，k BD ＝5－(－1)1－7＝－1， 所以AC 的方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0，①BD 的方程为y －5＝－(x －1)， 即x ＋y －6＝0，② 联立①②解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4.所以直线AC 与直线BD 的交点为P (2,4)， 此点即为所求点．因为|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AC |＋|BD |，取异于P 点的任一点P ′， 则|P ′A |＋|P ′B |＋|P ′C |＋|P ′D | ＝(|P ′A |＋|P ′C |)＋(|P ′B |＋|P ′D |)> |AC |＋|BD |＝|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |.故P 点就是到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点．7．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是__6x －8y ＋1＝0__.解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b .∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34.∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1的方程为y ＝34x ＋114＋b .设直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,3)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －34m ，∴6－b －34m ＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.8．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x －a )2＋(y －b )2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为 52 .解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝(x ＋2)2＋(0－4)2＋(x ＋1)2＋(0－3)2，∴f (x )的几何意义为点M (x,0)到两定点 A (－2,4)与B (－1,3)的距离之和，设点 A (－2,4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝(－1＋2)2＋(3＋4)2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2. 9．已知直线l ：(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0. (1)求证：不论m 为何实数，直线l 过一定点M ；(2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l 1的方程． 解析：(1)证明：直线l 的方程整理得(2x ＋y ＋4)＋m (x －2y －3)＝0， 由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝－4，x －2y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，所以无论m 为何实数，直线l 过定点M (－1，－2)．(2)过定点M (－1，－2)作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分， 则直线l 1过点(－2,0)，(0，－4)， 设直线l 1的方程为y ＝kx ＋b ， 把两点坐标代入得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝－4，∴直线方程为y ＝－2x －4.。
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第8章 解析几何 8.2 直线的交点坐标与距离公式
因为 A(-2,-4),B(1,5)两点到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等,
|-2-4+1|
所以
2 +1
=
|+5+1|
2 +1
,即|2a+3|=|a+6|,解得 a=3 或 a=-3.
4.点(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点的坐标是( B )
A.(1,0)
B.(0,1)
C.(0,-1)
1
为y-1=-4x ,即x+4y-4=0.
命题角度2 点关于直线对称
例3 如图,已知点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后射
到直线OB上,再经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是( C )
A.3 3
C.2 10
B.6
D.2 5
由已知得直线AB的方程为x+y=4.如图,
D.(2,1)
设点(1,2)关于直线 x+y-2=0 的对称点的坐标是(a,b),
则有
-2
= 1,
-1
+1
+2
+
-2
2
2
= 0,
解得
= 1.
= 0,
故点(1,2)关于直线 x+y-2=0 的对称点的坐标是(0,1).
5.直线2x+2y+1=0与x+y+2=0之间的距离是
2x+2y+1=0 可化为
对称点,则点Q在直线y=-4x+1上.所以y0=-4x0+1,
且
+0
2
+0
直线的交点坐标及距离公式习题(含答案)
直线的交点坐标与距离公式习题（含答案）一、单选题1．已知 满足时, 的最大值为 ,则直线 过定点（）A ．B ．C ．D ．2．椭圆上的点到直线 的最大距离为( )．A ．B ．C ．D ．3．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知 的顶点 ，若其欧拉线的方程为 ，则顶点 的坐标为（）A ．B ．C ．D ． 4．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3 C ．1或 D ．-3或5．已知直线 和 互相平行，则实数m 的取值为（ ） A ．—1或3 B ．—1 C ．—3 D ．1或—36．在空间直角坐标系 中，若点 ， ，点 是点 关于 平面的对称点，则 A ． B ． C ． D ．7．已知直线 与直线 互相平行，则 （） A ．6 B ．7 C ．8 D ．98．已知双曲线 ：的左、右焦点分别为 ， ，以线段 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，且 满足，则 的离心率 满足（ ） A ． B ． C ． D ．9．已知点 在直线 上运动，则 的最小值为（） A ．B ．C ．D ．5二、填空题10．已知直线 的倾斜角为，直线 ： ，若 ，则实数 的值为__________． 11．经过点()2,1M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为__________．12．设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，____. 13．与直线平行，并且距离等于3的直线方程是__________．14．已知直线和直线互相垂直，则实数的值为__________；15．直线与直线的距离是________．16．已知直线，直线，则过定点_____________；当________时，与平行．17．已知实数满足，则的最大值为____________18．点关于直线的对称点是______.三、解答题19．如图：已知是圆与轴的交点，为直线上的动点，与圆的另一个交点分别为（1）若点坐标为，求直线的方程；（2）求证：直线过定点.20．已知椭圆，、 是其左右焦点，、 为其左右顶点，、 为其上下顶点，若，(1)求椭圆的方程；(2)过、 分别作轴的垂线、 ，椭圆的一条切线，与、 交于、 二点，求证：．21．已知的三个顶点，，．Ⅰ求BC边所在直线方程；Ⅱ边上中线AD的方程为，且，求m，n的值．22．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.(1)求点关于直线对称点的坐标；(2)求反射光线所在直线的一般式方程．23．已知直线1:220l x y ++=；2:40l mx y n ++=． （1）若12l l ⊥，求m 的值．（2）若12//l l ，且他们的距离为，求,m n 的值． 24．选修 :坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 中,曲线 :( 为参数).以 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,直线 的极坐标方程为( ). (Ⅰ) 求曲线 的极坐标方程与直线的直角坐标方程； (Ⅱ) 若直线 与 , 在第一象限分别交于 , 两点, 为 上的动点,求 面积的最大值. 25．如图，在平面直角坐标系 中，圆 ： 与 轴的正半轴交于点 ，以点 为圆心的圆 ： 与圆 交于 ， 两点. （1）当 时，求 的长； （2）当 变化时，求 的最小值；（3）过点 的直线 与圆A 切于点 ，与圆 分别交于点 ， ，若点 是 的中点，试求直线 的方程.26．已知直线l 经过点()P 2,5-，且斜率为 （1）求直线l 的方程．（2）求与直线l 平行，且过点()2,3的直线方程． （3）求与直线l 垂直，且过点()2,3的直线方程．27．如图，已知三角形的顶点为A (2,4)，B (0，－2)，C (－2,3)，求： (1)直线AB 的方程；(2)AB 边上的高所在直线的方程； (3)AB 的中位线所在的直线方程．参考答案1．A【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到，的关系，再代入直线由直线系方程得答案．详解：由，得，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点处取得最大值，，即：，直线过定点.故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．2．D【解析】椭圆方程为可设椭圆上的任意一点坐标为到直线的距离，的最大值为，故选D.3．A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①AB的中点为（1，2），AB的中垂线方程为，即x-2y+3=0．联立解得∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．4．D【解析】【分析】由题得，解方程即得k的值.【详解】由题得，解方程即得k=-3或.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.5．B【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴﹣ （ ﹣ ）解得 m=﹣1，故选：B．【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知，，则，．6．D【解析】【分析】由对称性先求点C的坐标为，再根据空间中两点之间距离公式计算。
直线的交点坐标及距离公式习题(含答案)
直线的交点坐标与距离公式习题（含答案）一、单选题1．已知 满足时, 的最大值为 ,则直线 过定点（）A ．B ．C ．D ．2．椭圆上的点到直线 的最大距离为( )．A ．B ．C ．D ．3．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知 的顶点 ，若其欧拉线的方程为 ，则顶点 的坐标为（）A ．B ．C ．D ． 4．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3 C ．1或D ．-3或5．已知直线 和 互相平行，则实数m 的取值为（ ） A ．—1或3 B ．—1 C ．—3 D ．1或—36．在空间直角坐标系 中，若点 ， ，点 是点 关于 平面的对称点，则 A ． B ． C ． D ．7．已知直线 与直线 互相平行，则 （） A ．6 B ．7 C ．8 D ．98．已知双曲线 ：的左、右焦点分别为 ， ，以线段 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，且 满足，则 的离心率 满足（ ） A ． B ． C ． D ．9．已知点 在直线 上运动，则 的最小值为（） A ．B ．C ．D ．5二、填空题10．已知直线 的倾斜角为，直线 ： ，若 ，则实数 的值为__________． 11．经过点()2,1M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为__________．12．设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，____. 13．与直线平行，并且距离等于3的直线方程是__________．14．已知直线和直线互相垂直，则实数的值为__________；15．直线与直线的距离是________．16．已知直线，直线，则过定点_____________；当________时，与平行．17．已知实数满足，则的最大值为____________18．点关于直线的对称点是______.三、解答题19．如图：已知是圆与轴的交点，为直线上的动点，与圆的另一个交点分别为（1）若点坐标为，求直线的方程；（2）求证：直线过定点.20．已知椭圆，、 是其左右焦点，、 为其左右顶点，、 为其上下顶点，若，(1)求椭圆的方程；(2)过、 分别作轴的垂线、 ，椭圆的一条切线，与、 交于、 二点，求证：．21．已知的三个顶点，，．Ⅰ求BC边所在直线方程；Ⅱ边上中线AD的方程为，且，求m，n的值．22．光线通过点 ，在直线 上反射，反射光线经过点 . (1)求点 关于直线 对称点的坐标； (2)求反射光线所在直线的一般式方程．23．已知直线1:220l x y ++=；2:40l mx y n ++=． （1）若12l l ⊥，求m 的值．（2）若12//l l ，且他们的距离为，求,m n 的值． 24．选修 :坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 中,曲线 :( 为参数).以 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,直线 的极坐标方程为( ). (Ⅰ) 求曲线 的极坐标方程与直线的直角坐标方程； (Ⅱ) 若直线 与 , 在第一象限分别交于 , 两点, 为 上的动点,求 面积的最大值. 25．如图，在平面直角坐标系 中，圆 ： 与 轴的正半轴交于点 ，以点 为圆心的圆 ： 与圆 交于 ， 两点. （1）当 时，求 的长； （2）当 变化时，求 的最小值；（3）过点 的直线 与圆A 切于点 ，与圆 分别交于点 ， ，若点 是 的中点，试求直线 的方程.26．已知直线l 经过点()P 2,5-，且斜率为 （1）求直线l 的方程．（2）求与直线l 平行，且过点()2,3的直线方程． （3）求与直线l 垂直，且过点()2,3的直线方程．27．如图，已知三角形的顶点为A (2,4)，B (0，－2)，C (－2,3)，求： (1)直线AB 的方程；(2)AB 边上的高所在直线的方程；(3)AB的中位线所在的直线方程．参考答案1．A【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到，的关系，再代入直线由直线系方程得答案．详解：由，得，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点处取得最大值，，即：，直线过定点.故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．2．D【解析】椭圆方程为可设椭圆上的任意一点坐标为到直线的距离，的最大值为，故选D.3．A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①AB的中点为（1，2），AB的中垂线方程为，即x-2y+3=0．联立解得∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．4．D【解析】【分析】由题得，解方程即得k的值.【详解】由题得，解方程即得k=-3或.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.5．B【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴﹣ （ ﹣ ）解得 m=﹣1，故选：B．【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知，，则，．6．D【解析】【分析】由对称性先求点C的坐标为，再根据空间中两点之间距离公式计算。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-2直线的交点坐标与距离公式课时提升作业理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-2直线的交点坐标与距离公式课时提升作业理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为( )A.3x-4y-6=0B.3x-4y+6=0C.4x+3y-6=0D.4x+3y+6=0【解析】选C.由方程组得即P(0,2).因为l⊥l3,所以kl=-,所以直线l的方程为y-2=-x,即4x+3y-6=0.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选C.因为直线l过直线l1和l2的交点,所以可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.因为l与l3垂直,所以3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,所以λ=11,所以直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.2.平面直角坐标系中与直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是( )A.y=2x-1B.y=-2x+1C.y=-2x+3D.y=2x-3【解析】选D.在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1),B关于点(1,1)对称的点为N(1,-1).由两点式求出对称直线MN的方程=,即y=2x-3.3.已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为( )A.2x+3y-18=0B.2x-y-2=0C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0D.2x+3y-18=0或2x-y-2=0【解析】选D.由题知直线斜率存在,设所求直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由已知,得=,所以k=2或k=-.所以所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选D.满足条件的直线有以下两种可能;一是直线l过点P(3,4)且与AB所在的直线平行,而kAB==-,此时直线方程为y-4=-(x-3),即2x+3y-18=0;二是直线l过点P(3,4)与AB的中点D(1,0),此时直线方程为=,即2x-y-2=0.所以所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.4.在平面直角坐标系中,过点P(-1,2)且与原点O距离最大的直线方程为( )A.x-2y+5=0B.2x+y+4=0C.x-3y+7=0D.3x-y-5=0【解析】选A.所求直线过点P且与OP垂直时满足条件,因为直线OP的斜率为kOP=-2,故所求直线的斜率为,所以所求直线方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.5.若函数y=ax+8与y=-x+b的图象关于直线y=x对称,则a+b= ( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选C.直线y=ax+8关于y=x对称的直线方程为x=ay+8,所以x=ay+8与y=-x+b 为同一直线,故得所以a+b=2.6.(2016·郑州模拟)若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是( ) A.2 B.2 C.4 D.2【解题提示】注意可以看作点(m,n)到点(0,0)的距离.【解析】选C.因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0,所以欲求m2+n2的最小值,可先求的最小值.而表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图当过原点的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离的最小值为2.所以m2+n2的最小值为4.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选C.由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于A,B,在Rt△OAB中,OA=,OB=,斜边AB==,斜边上的高h即为所求m2+n2最小值的算术平方根,所以S△OAB=·OA·OB=AB·h,所以h===2,所以m2+n2的最小值为h2=4.【加固训练】(2016·惠州模拟)已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么的最小值为.【解析】表示点(x,y)到原点的距离,根据数形结合得的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离,即d==.答案:7.(2016·开封模拟)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )A.2B.1C.D.【解题提示】可建立平面直角坐标系,利用直线的方程以及对称知识即可解决.【解析】选D.以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,由题可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0,设P(t,0)(0<t<4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-t,0),根据反射定理可知直线P1P2就是光线RQ所在直线.由P1,P2两点坐标可得直线P1P2的方程为y=(x+t),设△ABC的重心为G,易知G.因为重心G在光线RQ上,所以有=,即3t2-4t=0.所以t=0或t=,因为0<t<4,所以t=,即AP=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.直线(2λ+1)x+(λ-1)y+1=0(λ∈R),恒过定点.【解析】整理为x-y+1+λ(2x+y)=0,令得所以恒过定点.答案:【加固训练】已知a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点( )A. B.C. D.【解析】选C.由a+2b=1,知ax+3y+b=0等价于(1-2b)x+3y+b=0,即(x+3y)+(1-2x)b=0.由得即定点坐标为.9.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.【解析】由题可知A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1),四边形ABCD对角线的交点到四点距离之和最小,直线AC的方程为y-2=2(x-1),直线BD的方程为y-5=-(x-1),由得交点坐标为(2,4).答案:(2,4)10.设直线l经过点A(-1,1),则当点B(2,-1)与直线l的距离最远时,直线l的方程为.【解析】设点B(2,-1)到直线l的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l垂直于直线AB,kl=-=,所以直线l的方程为y-1=(x+1),即3x-2y+5=0.答案:3x-2y+5=0(20分钟40分)1.(5分)(2016·长治模拟)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是( )A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解【解析】选B.因为P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,所以即因此关于x和y的方程组有一组解为【加固训练】已知直线l1:y=xsinα和直线l2:y=2x+c,则直线l1与l2 ( )A.通过平移可以重合B.不可能垂直C.可能与x轴围成等腰直角三角形D.通过绕l1上某点旋转可以重合【解析】选D.直线l1:y=xsinα的斜率为sinα,而sinα∈[-1,1],即直线l1的斜率k1∈[-1,1],直线l2:y=2x+c的斜率k2=2,因为k1≠k2,所以直线l1与l2不可能平行,即两直线必然相交,则直线l1与l2通过绕l1上某点旋转可以重合.2.(5分)若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M 到原点的距离的最小值为( )A.3B.2C.3D.4【解析】选A.依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得=⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为=3.3.(5分)若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么+的最小值等于.【解题提示】由对称关系求出对称点的坐标,代入直线方程x-y+2=0,然后利用基本不等式求+的最小值.【解析】由题意知(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(1-n,1+m).则1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2.于是+=(m+n)=×≥×(5+2×2)=,当且仅当即m=,n=,等号成立.答案:4.(12分)(2016·郑州模拟)已知点A(3,3),B(5,2)到直线l的距离相等,且直线l经过两直线l1:3x-y-1=0和l2:x+y-3=0的交点,求直线l的方程.【解析】解方程组得交点P(1,2).①若点A,B在直线l的同侧,则l∥AB.而kAB==-,由点斜式得直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.②若点A,B在直线l的异侧,则直线l经过线段AB的中点,由两点式得直线l的方程为=,即x-6y+11=0.综上所述,直线l的方程为x+2y-5=0或x-6y+11=0.【加固训练】m为何值时,直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0不能围成三角形?【解析】先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况.①若m≠0,则k1=-4,k2=-m,k3=,当m=4时,k1=k2;当m=-时,k1=k3;而k2与k3不可能相等.②若m=0,则l1:4x+y-4=0,l2:y=0,l3:x-2=0,此时三条直线能围成三角形.所以当m=4或m=-时,三条直线不能围成三角形.再考虑三条直线共点的情况,此时m≠0且m≠4且m≠-.将y=-mx代入4x+y-4=0,得x=,即l1与l2交于点P,将P点坐标代入l3的方程得+-4=0,解得m=-1或m=.所以当m=-1或m=时,l1,l2,l3交于一点,不能围成三角形.综上所述,当m为-1或-或或4时,三条直线不能围成三角形.5.(13分)已知直线l:3x-y-1=0.(1)在直线l上求一点P,使得点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.(2)在直线l上求一点Q,使得点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.【解析】(1)如图甲所示,设点B关于l的对称点为B′,连接AB′并延长交l于点P,此时点P满足|PA|-|PB|的值最大.设点B′的坐标为(a,b),则kBB′·kl=-1,即·3=-1.所以a+3b-12=0.①又由于线段BB′的中点坐标为,且在直线l上,所以3×--1=0,即3a-b-6=0.②①②联立,解得a=3,b=3,所以B′(3,3).于是AB′的方程为=,即2x+y-9=0.解方程组得即l与AB′的交点坐标为P(2,5).(2)如图乙所示,设点C关于l的对称点为C′,连接AC′交l于点Q,此时的Q满足|QA|+|QC|的值最小.设C′的坐标为(x′,y′),所以解得所以C′.由两点式得直线AC′的方程为=,即19x+17y-93=0.解方程组得所以所求点Q的坐标为.。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《直线的交点与距离公式》
直线的交点与距离公式知识点一 两条直线平行与垂直的判定1．两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．2．两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔ k 1·k 2＝－1.1．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( D ) A ．－3 B ．－43 C ．2D ．3解析：由2a ＋2×(－3)＝0，得a ＝3.2．已知直线(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，那么k 的值为( C )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：法1：把k ＝1代入已知两条直线，得－2x ＋3y ＋1＝0与－4x －2y ＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k ≠1，排除A ，B ，D.法2：因已知两条直线平行，所以k ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠3，k －32(k －3)＝4－k －2≠13，解得k ＝3或k ＝5.知识点二 两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．3．直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为23.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，代入y ＝ax －2得a ＝23. 4．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是(－b －1，－a －1)． 解析：设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0－bx 0－a＝1，a ＋x 02＋b ＋y2＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b ＝x 0－a ，x 0＋y 0＋a ＋b ＋2＝0， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－b －1，y 0＝－a －1.即对称点坐标为(－b －1，－a －1)． 知识点三 两种距离1．点到直线的距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 2．两条平行线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是324.解析：先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.6．已知点A (3,2)和B (－1,4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为12或－4.解析：由平面几何知识得AB 平行于直线ax ＋y ＋1＝0或AB 中点在直线ax ＋y ＋1＝0上，所以a ＝12或－4.1．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.2．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.4．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．考向一 两条直线的平行与垂直【例1】 (1)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2(2)已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________.【解析】 (1)若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线平行，则有a －11＝2a ≠13， 解得a ＝－1或2.(2)因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1.即(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝－2. 【答案】 (1)D (2)－2(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.(1)若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( D )A.12B.32C.14D.34(2)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为25.解析：(1)由已知得3(a －1)＋a ＝0，解得a ＝34.(2)由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6ba ≥13＋26ab ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25. 考向二 两条直线的交点【例2】 (1)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．(2)已知直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．【解析】 (1)解法1：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3， 所以直线l 的斜率k ＝－43， 所以直线l 的方程为y －2＝－43x ， 即4x ＋3y －6＝0.解法2：因为直线l 过直线l 1和l 2的交点，所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.因为l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.(2)直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．【答案】 (1)4x ＋3y －6＝0 (2)(2，－2)(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)过定点问题把直线方程整理成m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0的形式，由⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0可求定点坐标．(1)经过两直线2x ＋y ＋4＝0和x －2y －3＝0的交点P (－1，－2)，且斜率是直线x －2y ＋5＝0的斜率的2倍的直线l 的方程为x －y －1＝0.(2)不论k 为何实数，直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标是(2,3)．解析：(1)由题意得，两直线的交点P (－1，－2)，直线l 的斜率k ＝1，所以直线l 的方程为y ＋2＝x ＋1，即x －y －1＝0.(2)直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0，即k (2x －y －1)＋(－x －3y ＋11)＝0，根据k 的任意性可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，－x －3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴不论k 取什么实数，直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0都经过定点(2,3)．考向三 距离问题【例3】 (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为______________________．【解析】 (1)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设所求直线的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋4＝0， 由已知及点到直线的距离公式可得 |－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， 解得k ＝2或k ＝－23，即所求直线的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 【答案】 (1)C (2)2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x ，y 的系数化为对应相等.(1)若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.(2)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( A )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2解析：(1)方法1：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1， 即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．方法2：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)．∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.(2)依题意知，线段AB 的中点M 在到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线(设为l )上，则M 到原点的距离的最小值为原点到直线l 的距离．设点M 所在直线l 的方程为x ＋y ＋m ＝0.根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2，即|m ＋7|＝|m ＋5|，得m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2. 考向四 对称问题【例4】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎨⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413.∴A ′(－3313，413)．(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′(613，3013)．设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)解法1：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上，易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)．再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法2：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)．∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32， 解得C ＝－9.∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.解法3：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)点关于点的对称问题．利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2m－a,2n－b)；(2)点关于线的对称点．点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)；(3)线关于线的对称线．一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称；(4)特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y＝x的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y＝x＋1的对称点为(3－1,1＋1)，即(2,2)．(1)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为x＋4y－4＝0.(2)如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(C)A．3 3 B．6C．210 D．2 5解析：(1)设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P 的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.(2)直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.。
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课时规范练(授课提示：对应学生用书第301页)A 组 基础对点练1．(2016·高考北京卷)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( C ) A ．1 B ．2 C. 2D ．2 22．(2018·邢台模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的 ( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎨⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1， 解得a ＝－1，故选C.3．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( D ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π34．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( A ) A ．－6<k <－2 B ．－5<k <－3 C ．k <－6D ．k >－25．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( B ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)6．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点是(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( D ) A ．4 B ．13 C.15D ．177．已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( B )A．4 B．13 2C.21313D．713268．圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线l：x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(C)A．36 B．18C．6 2 D．5 2解析：圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x＋y－14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52>32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6 2.9．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝ 2 .解析：圆x2＋y2＝r2的圆心为原点，则圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离为|0－0＋5|32＋(－4)2＝1，在△OAB中，点O到边AB的距离d＝r sin 30°＝r2＝1，所以r＝2.10．若在平面直角坐标系内过点P(1，3)且与原点的距离为d的直线有两条，则d的取值范围为0<d<2 .解析：|OP|＝2，当直线l过点P(1，3)且与直线OP垂直时，有d＝2，且直线l有且只有一条；当直线l与直线OP重合时，有d＝0，且直线l有且只有一条；当0<d<2时，有两条．11．已知直线l1与直线l2：4x－3y＋1＝0垂直且与圆C：x2＋y2＝－2y＋3相切，则直线l1的方程是3x＋4y＋14＝0或3x＋4y－6＝0 .解析：圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.由已知可设直线l1的方程为3x＋4y＋c＝0，则|3×0＋4×(－1)＋c|32＋42＝2，解得c＝14或c＝－6.即直线l1的方程为3x＋4y＋14＝0或3x＋4y－6＝0.12．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解析：(1)易知点A到直线x－2y＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0. 由题意得|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12. ∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)．∴d max ＝|P A |＝10.B 组 能力提升练1．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( D ) A ．2 B ．4 C ．5D ．102．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( C ) A ．(－2,4) B ．(－2，－4) C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．故选C.3．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 分圆C的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝( D ) A ．－ 6 B ．±6 C ．－ 5D ．±54．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是 5 .解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0，故|P A |·|PB |的最大值是5.5．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为 94 .解析：因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，所以(4－1)2＋(－m )2＝3，解得m ＝0. 所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94， 当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．6．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是 (2,4) ．解析：由已知得k AC ＝6－23－1＝2，k BD ＝5－(－1)1－7＝－1， 所以AC 的方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0，①BD 的方程为y －5＝－(x －1)， 即x ＋y －6＝0，② 联立①②解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4.所以直线AC 与直线BD 的交点为P (2,4)， 此点即为所求点．因为|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AC |＋|BD |， 取异于P 点的任一点P ′， 则|P ′A |＋|P ′B |＋|P ′C |＋|P ′D | ＝(|P ′A |＋|P ′C |)＋(|P ′B |＋|P ′D |)> |AC |＋|BD |＝|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |.故P 点就是到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点．7．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是 6x －8y ＋1＝0 .解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b .∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34.∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，设直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,3)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －34m ，∴6－b －34m ＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.8．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x －a )2＋(y －b )2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为 52 .解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝(x ＋2)2＋(0－4)2＋(x ＋1)2＋(0－3)2，∴f (x )的几何意义为点M (x,0)到两定点 A (－2,4)与B (－1,3)的距离之和．设点 A (－2,4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝(－1＋2)2＋(3＋4)2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.9．已知直线l ：(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0. (1)求证：不论m 为何实数，直线l 过一定点M ；(2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l 1的方程． 解析：(1)证明：直线l 的方程整理得(2x ＋y ＋4)＋m (x －2y －3)＝0，由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝－4，x －2y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2， 所以无论m 为何实数，直线l 过定点M (－1，－2)．(2)过定点M (－1，－2)作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分， 则直线l 1过点(－2,0)，(0，－4)， 设直线l 1的方程为y ＝kx ＋b ， 把两点坐标代入得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝－4，∴直线方程为y ＝－2x －4.。