高三数学一轮复习课时作业45 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 文 北师大版

课时作业(四十五) [第45讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方
程]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．直线x tan π
3
＋y ＋2＝0的倾斜角α是( )
A.π3
B.π6
C.2π3 D ．－π3
2．下列说法中，正确的是( )
①y ＋1＝k (x －2)表示经过点(2，－1)的所有直线； ②y ＋1＝k (x －2)表示经过点(2，－1)的无数条直线； ③直线y ＋1＝k (x －2)恒过定点；
④直线y ＋1＝k (x －2)不可能垂直于x 轴．( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④
3．设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α，若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α＋45°，则( )
A ．0°≤α<180° B．0°≤α<135° C ．0°<α≤135° D．0°<α<135°
4．已知△ABC 的三个顶点A (3，－1)、B (5，－5)、C (6,1)，则AB 边上的中线所在的直线方程为________．
能力提升
5．下列直线中，斜率为－4
3
，且不经过第一象限的是( )
A ．3x ＋4y ＋7＝0
B ．4x ＋3y ＋7＝0
C ．4x ＋3y －42＝0
D ．3x ＋4y －42＝0
6．直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2
)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的范围是( )
A ．0≤α≤π4 B.π
2
<α<π
C.π4≤α<π2
D.π2<α≤3π4 7．[2011·重庆南开中学模拟] 在等腰三角形AOB 中，|AO |＝|AB |，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴正半轴上，则直线AB 的方程是( )
A ．y －1＝3(x －3)
B ．y －1＝－3(x －3)
C ．y －3＝3(x －1)
D ．y －3＝－3(x －1)
8．已知函数f (x )＝a x
(a >0且a ≠1)，当x >0时，f (x )<1，方程y ＝ax ＋1a
表示的直线是
( )
图K45－9．[2011·黄浦二模] 直线l 1：3x －y ＋1＝0，l 2：x ＋5＝0，则直线l 1与l 2的相交所成的锐角为________．
10．[2011·福州模拟] 直线2x ＋my ＝1的倾斜角为α，若m ∈(－∞，－23)∪[2，＋∞)，则α的取值范围是________．
11．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，则直线l 的方程为________．
12．(13分)已知直线l 与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的
直线l 的方程：(1)斜率为1
2
；(2)过定点P (－3,4)．
难点突破
13．(12分)(1)直线l 经过点A (1,2)，B (m,3)，若倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，2π3，求实数m 的
取值范围；
(2)过点P (－1，－2)的直线分别交x 轴、y 轴的负半轴于A ，B 两点，当|PA |·|PB |最小时，求直线l 的方程．
课时作业(四十五)
【基础热身】
1．C [解析] 由已知可得tan α＝－tan π3＝－3，因为α∈[0，π)，所以α＝2π
3
.
故选C.
2．B [解析] y ＋1＝k (x －2)表示的直线的斜率一定存在，且恒过点(2，－1)，所以，它不能表示垂直于x 轴的直线，故①错误，其余三个都对．故选B.
3．D [解析] 因为直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，且直线l 与x 轴相交，其倾斜角不能为0°，所以45°<α＋45°<180°，得0°<α<135°，故选D.
4．2x －y －11＝0 [解析] 易知AB 边的中点坐标为D (4，－3)，因为AB 边上的中线所
在的直线经过点C 、D ，由两点式得，y －1－3－1＝x －6
4－6
，化简得2x －y －11＝0.
【能力提升】
5．B [解析] 直线4x ＋3y ＋7＝0化斜截式为y ＝－43x －7
3
，可知直线经过二、三、四
象限．
6．C [解析] 直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 2
2－1＝m 2
＋1≥1，所以π4≤α<π2
.
7．D [解析] 因为|AO |＝|AB |，所以直线AB 与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB
＝－k AO ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程是y －3＝－3(x －1)．
8．C [解析] 由已知可得a ∈(0,1)，从而斜率k ∈(0,1)，且在x 轴上的截距的绝对值大于在y 轴上的截距，故选C.
9．30° [解析] 直线l 1的斜率为3，所以倾斜角为60°，而直线l 2的倾斜角为90°，所以两直线的夹角为30°.
10.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π [解析] 依题意tan α＝－2m ，因为m ∈(－∞，－23)∪[2，
＋∞)，所以0<tan α<
33或－1≤tan α<0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π.
11．15x －10y －6＝0 [解析] 由题意可知，直线l 的斜率k ＝3
2
，故可设直线l 的方程
为y ＝32x ＋b ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－23b －b ＝1，解得b ＝－35，所以所求直线方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.
12．[解答] (1)设直线的方程为y ＝1
2
x ＋b ，直线l 与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则M (－
2b,0)，N (0，b )，
所以S △MON ＝12
|－2b ||b |＝b 2
＝3，所以b ＝±3，
所以直线l 的方程为：y ＝1
2x ±3，
即x －2y ＋23＝0或x －2y －23＝0.
(2)设直线l 方程为y －4＝k (x ＋3)，直线l 与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则M ⎝
⎛⎭
⎪
⎫－4＋3k k
，0，
N (0,3k ＋4)，
所以S △MON ＝12⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－4＋3k k |3k ＋4|＝3，
即(3k ＋4)2
＝6|k |.
解方程(3k ＋4)2＝6k (无实数解)与(3k ＋4)2
＝－6k ，
得k ＝－23或k ＝－8
3
，
所以，所求直线l 的方程为y －4＝－23(x ＋3)或y －4＝－8
3
(x ＋3)，
即2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. 【难点突破】
13．[解答] (1)由直线l 经过点A (1,2)，B (m,3)得斜率k ＝1
m －1
，而倾斜角α∈
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，2π3， 所以k ≥1或k ≤－3，即1m －1≥1或1
m －1
≤－3，
所以0<m －1≤1或－3
3
≤m －1<0， 即1<m ≤2或1－
3
3
≤m <1. 所以实数m 的取值范围是1<m ≤2或1－
3
3
≤m <1. (2)设直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，令x ＝0，得y ＝k －2，令y ＝0，得x ＝2
k
－1，
所以A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k
－1，0，B (0，k －2)，所以|PA |·|PB |＝
4
k
2
＋4·k 2
＋1＝
4k 2
＋4k
2＋8≥4，
当且仅当k 2
＝1k
2，即k ＝±1时等号成立，但k <0，故直线l 的方程为：x ＋y ＋3＝0.。