综合法和分析法
综合法与分析法知识点总结
综合法与分析法知识点总结综合法与分析法是在研究认知过程和解决问题过程中的两种基本方法。
它们在科学研究、管理决策、问题解决等领域中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将从综合法和分析法的基本概念、特点、适用范围、主要方法与应用技巧等方面进行综合分析，并结合具体例子进行具体说明。
一、综合法综合法是指在进行研究分析时，采用多个角度、多种方法进行综合比较，综合研究问题的方法。
综合法的主要特点有：1. 多因素综合：综合法强调多方面、多因素的综合研究。
它可以从不同的角度、不同的层面分析问题，得出综合、全面的结论。
2. 积极开放：综合法强调对各种可能性的积极开放，不固步自封，能够克服单一因素分析的片面性。
3. 统筹兼顾：综合法要求在研究中综合各种看法，避免偏听片信，充分尊重每个因素，统筹兼顾。
综合法的主要方法包括层层分析法、交叉综合法、数字与模型综合等。
在实际应用中，可以通过案例分析、数学模型分析等方法进行具体操作。
例如，在管理决策中，如果要分析一个市场是否具有潜在的发展前景，可以采用综合法。
首先，可以从市场规模、人口结构、经济发展情况等多个角度综合考虑；其次，可以采用数字模型进行综合分析，将不同因素的影响定量化，最终形成综合判断。
二、分析法分析法是通过对现象的分解、逐一研究，从而对复杂问题的本质和规律进行探讨的方法。
分析法的主要特点有：1. 逐一分解：分析法要求对问题进行逐层逐一的分解，从整体到局部，从细微到粗大地深入研究每个问题。
2. 重点着眼：分析法要求对问题的各个方面着重研究，找到问题的关键和症结所在，从而能够深刻理解问题。
3. 系统性：分析法在进行研究时需要具有系统性，从不同的角度对问题进行分析，形成全面、系统的认识。
分析法主要包括逐步分析法、归纳分析法、因果分析法等。
在实际应用中可以通过对数据的分解、对问题的逐步归纳等方法进行具体操作。
举例而言，在生产管理中，如果要分析一个生产环节中出现的问题，可以采用分析法。
综合法与分析法
变题：
已知 a,b, c R，且 a b c 1
求证：(1)a2 b2 c2 1 ; 3
(2) a b c 3.
例2.如图，四棱锥 P ABCD中，
PC 平面ABCD, PC 2,
在四边形ABCD 中，点M 在PB上，
PB与平面ABC成 30 角.
（1）求证：CM // 面PAD; （2）求证：面PAB 面PAD.
其推证过程为：
结论 已知条件
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”
3.直接证明 直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法）
注：直接证明的一般形式为：
本题条件
已知定义 已知公理
⇒
A⇒
B⇒
C
已知定理
⇒ 本题结论
例1:如图，已知AB,CD相交于点O, △ACO≌△BDO,AE=BF, 求证：CE=DF
求证:
1 - tan2α= 1 - tan2β . 1 + tan2α 2(1 + tan2β)
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E,
CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF
D
E
C
F
A
B
练习2:求证： 3 - 2 > 6 - 5
练习3:设a,b为互不相等的正数，且a+b=1, 证明：1 + 1 > 4
复习
1.推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
三段论 （一般到特殊）
两种推理的作用?
合情推理为演绎推理确定了目标和方向
2.2.1综合法与分析法
∴ b(c2+a2) ≥ 2abc. ∴ a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
探究
思考…
这些证明过程有什么相似点？
这些证明过程都是从已知 条件和某些数学定义、公理、 定理等出发，通过推理推导出 所要的结论.
知识要 点
一般地，利用已知条件和某 些数学定义、公理、定理等,经过 一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立,这种证明方法 叫做综合法.其特点是“由因导 果”.
2
2
2
2
2
a + c - ac = ac,
即 因此 从而
2
2
（a - c） = 0.
a=c.
A=C. ⑤
2
由 ② ③ ⑤ ,得
π A=B=C= . 3 所以△ＡＢC为等边三角形.
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转 换，如把文字语言转换成符号语言，或把符 号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分 析，把其中的隐含条件明确表示出来.
1 1 1 = + + . a b c
1 1 1 a + b + c < + + 成立. a b c
2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的 垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求 证 AF⊥SC.
S
提示
此题采用分析法.
A
E
F
C B
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF S 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB A 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC 因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
高中数学知识点精讲精析 综合法与分析法
4.3.2综合法与分析法1．综合法利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出定理1 如果a,b R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b 时取"="号) 证明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0 当且仅当a=b 时取等号.所以 a2+b2≥2ab(当且仅当a=b 时取等号).定理2 如果a,b,c R+,那么a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c 时取"="号) 证明:∵a3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) =(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0 ∴ a3+b3+c3≥3abc,很明显,当且仅当a=b=c 时取等号.用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，2．分析法从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一"充分的"条件,为此逐步往前追溯(执果索因),一直追溯到已知条件或一些真命题为止.例如要证a2+b2≥2ab 我们通过分析知道,使a2+b2≥2ab 成立的某一"充分的"条件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由于是真命题,所以a2+b2≥2ab 成立.分析法的证明过程表现为一连串的"要证……,只要证……",最后推至已知条件或真命题证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定用分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐分析法的书写格式： 要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…… ……这只需要证明命题A 而已知A 为真，故命题B 1．已知a 、b 、c 都是正数，求证：＋>证明：观察原不等式中含有a 2+ab +b 2即a 2+b 2＋ab 的形式，联想到余弦定理：c 2=a 2+b 2-2ab •CosC ,为了得到a 2+b 2＋ab 的形式,只要C =120°，这样：可以看成a 、b 为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边可以看成b 、c 为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边 可以看成a 、c 为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边构造图形如下，AB =, BC =, AC =显然AB +BC >AC ，故原不等式成立。
综合法和分析法
综合法和分析法综合法和分析法在研究学科领域中是两种常见的研究方法。
综合法是指通过对各种不同的材料、数据和观点进行整合和综合，以便从中得出全面的结论和理解。
分析法则是通过对研究对象的各个方面进行分解，研究其组成部分以及它们之间的关系，以便深入分析和理解问题。
综合法在研究领域中被广泛运用，具有很高的可靠性和适用性。
通过综合不同的材料和观点，我们可以从多个角度对问题进行分析和解释，以提供更全面的研究结果。
综合法注重整体性思维，能够考虑到问题的各个方面，并找到它们之间的联系和共同点。
这种方法还可以帮助我们发现问题的不足之处，并提出改进和优化的建议。
然而，综合法也存在一些限制和挑战。
首先，由于需要处理大量的材料和观点，综合法可能会非常耗时和繁琐。
其次，由于材料和观点的多样性，可能存在信息的冲突和矛盾，这需要我们在整合的过程中面对和解决。
最后，综合法需要研究人员具备较高的分析和综合能力，以便处理和整合各种不同的信息和观点。
相比之下，分析法注重研究对象的细节和内部结构。
通过对研究对象进行分解和分析，我们可以更深入地了解其组成和特征，并揭示其内在的规律和原理。
分析法强调的是逐步推导和推理，通过分析对象的各个方面来得出结论和解释。
这种方法通常用于对复杂问题的解析和深入研究，能够帮助我们更好地理解问题的本质和内在机制。
然而，分析法也有一些局限性。
首先，由于分析法强调细节和局部，可能会忽视整体的视角和综合的信息。
其次，分析法可能会产生过于复杂和抽象的结论，这可能会使得解释和应用变得困难。
最后，分析法需要研究人员具备扎实的专业知识和技术背景，以便进行准确和有效的分析。
在实际研究中，综合法和分析法通常会结合使用，以取长补短。
综合法可以帮助我们从多个角度全面地了解问题，而分析法则可以帮助我们深入研究问题的细节和内部结构。
这种综合运用可以提高研究的可靠性和有效性，以得出更准确和全面的结论。
综合法和分析法作为两种研究方法，具有各自的优势和限制。
综合法和分析法
综合法和分析法
一、综合法
1、一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
2、综合法的思维方向是”，即由已知条件出发，逐步推出其必要条件（由因导果），最后推导出所要证明的结论成立，故综合法又叫顺推证法或由因导果法．综合法的依据：已知条件以及逻辑推理的基本理论，在推理时要注意：作为依据和出发点的命题一定要正确．
二、分析法
1、 1、一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。
2、分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。
3、用分析法证明的模式：
用分析法证：为了证明命题B为真，这只需证明命题B，为真，从而有……这只需证明命题B：为真，从而有……这只需证明命题A为真．而已知A为真，故B必真．可见分析法是”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。
特别提醒：当命题不知从何人手时，有时可以运用分析法来解决，特别是对
于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效．用分析法证明时，往往在最后加上一句步可逆，这无形中就出现了两个问题：①分析法证明过程的每一步不一定”，也没有必要要求”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件；②如果非要”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只适用于证明等价命题了，但是，只要我们搞清了用分析法证明问题的逻辑结构，明确四种命题之间的关系，那么用分析法证明不等式还是比较方便的。
2.1综合法与分析法
1
2.2.1 综合法和分析法
2
教学目标
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两 种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和 综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法分析法证明问题；了解 综合法分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法和分 析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法
练习1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc.
又因为c2+a2
≥2ac,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 练习2:课本P9
【思维总结 】 2．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性
因为;( a b ) 2 0 成立
a+b 所以 2
a+b ab 成立 所以 2 ab成立
如图所示，已知BE，CF分别为△ABC的边AC， AB上的高，G为EF的中点，H为BC的中点。 A 求证：HG⊥EF 证明：考虑待证的结论 F G E “HG⊥EF” 根据命题的条件：G是EF的中点， 连接EH,FH, 只要证明△EHF为等腰三角形，即 B C H EH=HF 根据条件CF⊥AB，且H是BC的中点，可知Rt△BCF斜 边上的中线
1 所以 BM AC 2 1 同理 DM AC 2
变式1
这样就证明了△BMD为等腰三角形
所以 MN ⊥ BD
引例2
a 3 b 3 a 2b ab 2 已知a, b R , 且a b, 求证 :
综合法和分析法
x 3 x 2
x 4,
2
展开得 2x 5 2 x 1 x 4 2x 5 2 x 3 x 2, 即
x 1 x 4 x 3 x 2 ，
2 2
只需证 x 1 x 4 x 3 x 2 ， 即证x2-5x+4<x2-5x+6,即4<6，这显然成立. ∴当x≥4时， x 1
(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R), (5)a+b+c,a2+b2+c2,ab+bc+ca这三个式子之间的关系，由 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)得出.三式中已知两式，
第三式即可由设等式用另两式表示出来.
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别 为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数 列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
2 2
练习:当x≥4时，证明： x 1 x 2 证明:欲证 只需证 即证
x 3 x 4.
x 1 x 2 x 3 x 4 (x≥4)，
x 1 x 4 x 3 x 2 x 4 ，
x 1 x 4
2 B A C 证明： B 3 A B C
b ac a c 2ac cos B ac
2 2 2
a 2ac c 0 a c
2 2
∴△ＡＢＣ为等边三角形．
练习：在锐角三角形中，A、B、C为三角形内角，求证： sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
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综合法和分析法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列表述：
①综合法是由因导果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法．其中正确的表述有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
2)0a ≥，可选择的方法有多种，其中最合理的是（ ）
A ．综合法
B ．类比法
C ．分析法
D ．归纳法
3．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝（cos 2θ
－sin 2θ）（cos 2θ＋sin 2θ）＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ”的过程应用了（ ）
A ．分析法
B ．综合法
C ．综合法与分析法结合使用
D ．间接证法
4．已知y>x>0，且x ＋y ＝1，那么 （ ）
A ．x<2x y +<y<2xy
B ．2xy<x<2
x y +<y C ．x<2x y +<2xy<y D ．x<2xy<2
x y +<y 5．已知函数f （x ）＝1lg 1x x
-+，若f （a ）＝b ，则f （－a ）等于（ ） A.b B.－b C.
1b D.1b - 6．已知角A 、B 为△ABC 的内角，则A>B 是sin A>sin B 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．设a ，b∈R，且a≠b，a ＋b ＝2，则必有 （ ） A ．1≤ab≤222a b + B ．ab<1<22
2
a b + C ．ab<222a b +<1 D ．22
2
a b +<ab<1 8．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．有无数条，不一定在平面α内
C ．只有一条，且在平面α内
D ．有无数条，一定在平面α内
二、填空题
9．设e 1、e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋ke 2，C B →＝e 1＋3e 2，若A 、B 、C 三点共线，
则k ＝________.
10．如图所示，在直四棱柱1111A B C D ABCD -中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形）．
11．若0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a≠b，则a ＋b ，a 2＋b 2，2ab 中最大的是________．
三、解答题
12．设a ，b ＞0，且a≠b，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.
13．已知a ＞0，b ＞0
≥ 14．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．
参考答案
1．C
【解析】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．
考点：综合法和分析法的特征.
2．C
<
只需证2a ＋7＋2a ＋7＋
<
只需证a （a ＋7）＜（a ＋3）（a ＋4），只需证0＜12，故选用分析法最合理．
考点：分析法证明不等式.
3．B
【解析】这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用综合法，故选B.
考点：综合法和分析法的区别.
4．D
【解析】∵y>x>0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则122x y +=，2xy ＝38
， ∴x<2xy<2
x y +<y ，故选D. 考点：证明不等式.
5．B
【解析】∵f （－x ）＝1lg 1x x
+-＝－f （x ），∴函数f （x ）是奇函数， ∴f （－a ）＝－f （a ）＝－b.
考点：综合法求函数值.
6．C
【解析】sin sin a b A B
=，∵A 、B 为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0， ∴sin A>sin B ⇔2Rsin A>2Rsin B ⇔a>b ⇔A>B.
考点：综合法求解.
7．B 【解析】∵a≠b，∴a 2＋b 2
>2ab ，即22
2a b +>ab ，可排除A 、D. 又()2
2222222221244444a b a b a b a b a b ab +++++=+>+==.故选B ．
考点：综合法证明不等式.
8．C
【解析】由直线l 与点P 可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l∥α，所以l∥m，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内．
考点：空间线面关系的判断.
9．6
【解析】A 、B 、C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋ke 2＝λ（e 1＋3e 2）．
∴λ＝2，k ＝6.
考点：平面向量共线.
【答案】对角线互相垂直
【解析】本题答案不唯一，要证A 1C⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．
考点：线线垂直.
11．a ＋b
【解析】由0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a≠b，得a ＋b
＞a 2＋b 2＞2ab.
又a ＞a 2，b ＞b 2，所以a ＋b ＞a 2＋b 2，从而a ＋b 最大．
考点：比较大小.
12．见解析
【解析】证明：证法一（分析法）：要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立．
只需证（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）＞ab （a ＋b ）成立，又因为a ＋b ＞0，
所以只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立，
即需证（a －b ）2＞0成立．而a≠b，则（a －b ）2＞0显然成立．
由此命题得证．
证法二（综合法）：a≠b ⇒a －b≠0⇒（a －b ）2＞0⇒a 2－2ab ＋b 2＞0⇒a 2－ab ＋b 2＞ab.注意
到a ，b∈R ＋，a ＋b ＞0，可得（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）＞ab （a ＋b ），∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.
考点：分析法和综合法证明不等式.
13．见解析
【解析】证明：证法一（综合法）：因为a ＞0，b ＞0
(
)a b =+==-
20
=≥
≥+
证法二（分析法）
≥
≥ 即证()0a b
-≥，因为a ＞
0，b ＞0，a －b 同号，
所以()0a b -≥
≥ 考点：分析法和综合法证明不等式.
14．见解析
【解析】证明：由A 、B 、C 成等差数列，得2B ＝A ＋C. ①
因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π. ②
由①②，得B ＝π3
，③ 由a 、b 、c 成等比数列，得b 2＝ac. ④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝a 2＋c 2－ac.将④代入，
可得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即（a －c ）2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C. ⑤ 由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝
π3
，所以△ABC 为等边三角形． 考点：综合法证明命题.。