一次函数

一次函数主讲：黄冈中学数学高级教师李平友考点回顾:1、形如y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的函数叫一次函数．正比例函数也是一次函数．2、一次函数的图象是一条过，（0，b）的直线．3、一次函数的性质：①当k＞0时，y随x的增大而增大；②当k＜0时，y随x的增大而减小．4、会用待定系数法求一次函数的解析式．考点精讲精练：例1、一次函数的图象如图所示，求其解析式．解：设函数解析式为y＝kx＋b，∵点（1，0），（0，－2）在其图象上，，∴y＝2x－2．变式练习1、若直线y＝kx＋b与直线y＝－3x平行，且过点（1，－1），求k，解：∵直线y＝kx＋b与直线y＝－3x平行，∴ k＝－3．将（1，－1）代入y＝－3x＋b，－1＝－3×1＋bb＝2∴y＝－3x＋2，∴k＝－3，b＝2．例2、若一次函数y＝（1－2k）x－k的函数值y随x的增大而增大，且此函数图象过一、三、四象限，则k的取值范围是（）A．B．C．D．解：依题意，故选D．变式练习2、下列图象中，不可能是关于x的一次函数y＝mx－（m－3）的图象的是（）例3、如图，设函数y＝x＋4的图象与y轴交于点A，函数y＝－3x－6的图象与y轴交于点B，两个函数的图象交于点C，求通过线段AB的中点D及点C的一次函数的解析式．解：依题意有方程组在y＝x＋4中，令x＝0，则y＝4，∴A（0，4）；在y＝－3x－6中，令x＝0，则y＝－6，∴B（0，－6）．∴线段AB的中点D的坐标为（0，－1）．设直线CD的解析式为y＝kx＋b，C、D的坐标代入有∴过C、D的一次函数的解析式为y＝－x－1．变式练习3、若直线y＝kx＋b与直线y＝－3x平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的解析式．解：依题意有k＝－3，∴y＝－3x＋b．当x＝0时，y＝b；令y＝0，则．，解得b＝±2．∴直线的解析式为y＝－3x＋2，或y＝－3x－2．例4、一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间后，再打开出水管放水，至 12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过几分钟，容器中的水恰好放完？解：由图可知，只打开进水管，4分钟共进水20升，则进水管的进水速度为；从4分钟到12分钟，进水管与出水管一起打开，8分钟共进水10升，设出水速度为m升/分，则（5－m）·8＝30－20，；至12分钟时，关停进水管，此时容器中有水30升，所以需要才能将水恰好放完．变式练习4、小敏从A地向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，相交于P的两条线段l1，l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y（km）与已用时间x（h）之间的关系，则小敏、小聪的速度分别为（）A．3km/h和4km/h B．3km/h和3km/hC．4km/h和4km/h D．4km/h和3km/h答：分别求得l1、l2的解析式为y1＝－4x＋11.2，y2＝3x，∴l1与y轴的交点为（0，11.2），∴小敏速度为，小聪速度为，故选D．例5、甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍一副定价为60元，乒乓球每盒定价为10元．世乒锦标赛期间，两家商店都进行促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠．某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）．设该校要买乒乓球x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需用y2元．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式（不必注明x的取值范围）；（2）试说明在哪一家商店购买所需商品较便宜？解：（1）依题意y1＝10（x－4）＋60×2＝10x＋80，∴y1＝10x＋80；y2＝0.9（10x＋60×2）＝9x＋108；∴y2＝9x＋108．（2）令y1＞y2，即10x＋80＞9x＋108，∴x＞28．∴当购买乒乓球盒数大于28时，在乙商店购买更便宜．令y1＝y2，即10x＋80＝9x＋108，∴x＝28．∴当购买盒数为28时，在两家商店购买一样便宜．令y1＜y2，即10x＋80＜9x＋108，∴x＜28．又∵x≥4，∴4≤x＜28．∴当购买盒数少于28而又大于等于4盒时，在甲店购买较便宜．- 返回 -备考模拟一、选择题1、如图，直线y＝kx＋b与x轴交于点（－4，0），则当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＞－4 B．x＞0C．x＜－4 D．x＜02、关于直线y＝－2x＋1，下列结论正确的是（）A．图象必过点（－2，1）B．图象经过第一、二、三象限C．当时，y＜0D．y随x的增大而增大3、如图所示，函数y＝－x－2的图像大致是（）4、若直线y＝mx＋2m－3经过第二，三，四象限，则m的取值范围是（）A．m＜ B．m＜0C．m＞ D．m＞o5、已知函数，，它们的共同点是：①在每一个象限内，都是函数y随x的增大而增大；②都有部分图象在第一象限；③都经过点（1，4），其中错误的有（）A．0个 B．1个C．2个 D．3个二、填空题6、若点A（m，2）在函数y＝2x－6的图象上，则m的值为__________．7、若一次函数y＝kx＋b的图像经过（－2，－1）和点（1，2），则这个函数的解析式是__________．8、某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表质量x（千克） 1 2 3 4 ……售价y（元） 3.60＋0.20 7.20＋0.20 10.80＋0.20 14.40＋0.2 ……由上表得y与x之间的关系式是____________________．9、当__________时，一次函数y＝（m＋1）x＋6的函数值随x的增大而减小．10、直线y＝kx＋b上有两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且x1＞x2时，y1＜y2，则常数k的取值范围是____________________．隐藏答案答案：6、47、y＝x＋18、y＝3.6x＋0.29、m＜－110、k＜0三、综合题11、已知一次函数的图象经过点（－ 4，9）和（6，3）．（1）求这个一次函数的关系式．（2）试判断点（1，6）是否在这个函数的图象上．隐藏答案解：（1）设一次函数解析式为y＝kx＋b．把（－4，9），（6，3）代入得（2）当x＝1时，∴点（1，6）在这个函数的图象上．12、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费.即一月用水10吨以内（包括10吨）用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元水费，超过的部分每吨按b元（b＞a）收费．设一户居民月用水y 元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求a的值，若某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求b的值，并写出当x大于10时，y与x之间的函数关系；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？隐藏答案解：（1）当x≤10时，有y＝ax．将x＝10，y＝15代入，得a＝1.5．用8吨水应收水费（元）．（2）当x＞10时，有．将x＝20，y＝35代入，得，b＝2．故当x＞10时，y＝2x－5．（3）因，所以甲、乙两家上月用水均超过10吨．设甲、乙两家上月用水分别为x吨，y吨，则解之，得故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．13、在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）．现有两种购买方案：方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元（总费用＝广告赞助费＋门票费）；方案二：购买门票方式如图所示．解答下列问题：（1）方案一中，y与x的函数关系式为______；方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为______，当x＞100时，y与x的函数关系式为______；（2）如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元．求甲、乙两单位各购买门票多少张．隐藏答案解：（1）方案一中，y＝60x＋10000；方案二中，当0≤x≤100时，y＝100x；当x＞100时，y＝80x＋2000；（2）100＜x＜400时，选方案二进行购买，x＝400时，两种方案都可以x＞400时，选方案一进行购买；（3）设甲、乙单位购买本次足球赛门票数分别为a张、b张；∵甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球比赛门票，∴乙公司购买本次足球赛门票有两种情况：b≤100或b＞100．①当b≤100时，乙公司购买本次足球赛门票费为100b，解得不符合题意，舍去；②当b＞100时，乙公司购买本次足球赛门票费为80b＋2000，解得符合题意．故甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为500张、200张．14、某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱共100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：型号A型B型成本（元/台）2200 2600售价（元/台）2800 3000（1）冰箱厂有哪几种生产方案？（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．隐藏答案解：（1）设生产A型冰箱x台，则B型冰箱为（100－x）台，由题意得：解得：∵x是正整数∴x取38，39或40．有以下三种生产方案：方案一方案二方案三A型/台38 39 40B型/台62 61 60（2）设投入成本为y元，由题意有：．，∴y随x的增大而减小．∴当x＝40时，y有最小值．即生产A型冰箱40台，B型冰箱60台，该厂投入成本最少．此时，政府需补贴给农民（3）实验设备的买法共有10种．15、某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y 元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？隐藏答案解：（1）依题意得：（2）依题意得：解不等式（1）得：x≤30解不等式（2）得：x≥28∴不等式组的解集为28≤x≤30．∵y＝x＋150，y是随x的增大而增大，且28≤x≤30．∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y最小，y最小＝28＋150＝178（元）．-END-。