集合教材分析

（ 20 13 年 高 考 湖 南 （ 文 ） ） 对 于 E={a1,a2,„,a100} 的 子 集 X={a1,a2,„,an},定义 X 的“特征数列”为 x1,x2,x100,其 中 x1=x10=xn=1.其余项均为 0,例如子集{a2,a3}的“特征数列” 为 0,1,0,0,,0 (1) 子 集 {a1,a3,a5} 的 “ 特 征 数 列 ” 的 前 三 项 和 等 于 ____ _______; (2) 若 E 的子集 P 的“特征数列”P1,P2,,P100 满足 P1+Pi+1=1, 1≤i≤99; E 的子集 Q 的“特征数列” q1,q2,q100 满足 q1=1,q1+qj+1+qj+2=1, 1≤j≤98,则 P∩Q 的元素个数为_________. 【答案】(1) 2 (2)17
教学的 示范性
表达形式 的多样性
描述法 图示法 文字语言
语言形式 的丰富性
符号语言
图形语言
知识属性 目标的层次性 语言功能 教育功能
1．知识属性
（1）集合的含义与表示 ① 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系 ② 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描 述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 （2）集合间的基本关系 ① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 ② 在具体情境中，了解全集与空集的含义。 （3）集合的基本运算 ① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集 与交集。 ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补 集。 ③ 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽 象概念的作用。
其中 (a，b) 是有序数对，集合 S 和 S 中的元素个数分别为 m 和 n． 若对于任意的 a A ，总有 a A ，则称集合 A 具有性质 P． （I）检验集合 0， 1 ， 2， 3 与 1 ， 2， 3是否具有性质 P 并对其中具有 性质 P 的集合，写出相应的集合 S 和 T； （II）对任何具有性质 P 的集合 A，证明： n ≤
k ( k 1) ； 2
（III）判断 m 和 n 的大小关系，并证明你的结论．
（2009 北京文）设 A 是整数集的一个非空子集，对于
kA
，如果 k 1 A 且 k 1 A ，那么 k 是 A 的一个“孤立元” ， 个.
给定 S {1,2,3,4,5,6,7,8,} ，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”的集合共有
2013 广东（理）设整数 n 4 ,集合 X 1,2,3,
, n.令集合
S x, y , z | x, y , z X , 且三条件x y z, y z x, z x y恰有一个成立 ,
若 x, y, z 和 z, w, x 都在 S 中,则下列选项正确的是( ) A . y, z, w S , x, y, w S B. y, z, w S , x, y, w S C. y, z, w S , x, y, w S 【答案】B D. y, z, w S , x, y, w S
《集合》教材分析
北京二中
庄肃钦
一．内容地位
•集合语言是现代数学的基本语言，可 以简洁、准确地表达数学内容，是研究 数学的重要工具； •发展运用集合语言进行交流的能力， 有利于学生把握各个模块之间的关系。
二．教学原则
1．教学实施要发挥示范性 2．教学目标要把握层次性
3．目标落实要注意阶段性
良好的开端是成功的一半 列举法
（2008 福建卷 16）设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、b∈R， a 都有 a+b、a-b， ab、 ∈P（除数 b≠0） ，则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q b 是数域；数集 F a b 2 a, b Q 也是数域.有下列命题：①整数集是数域；② 若有理数集 Q M ，则数集 M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个 数域.其中正确的命题的序号是 ③④ .（把你认为正确的命题的序号填填上）
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y x 1 ∵ y kx b ∵A∩C=
2
∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0
∴Δ 1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0 ∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解， 其充要条件是 16b2－16>0, 即 b2>1 ①
（ 2013
重 庆 理 ） 对 正 整 数
n, 记 .
I m {1,2,
, n}
,
m Pm { m Im , k Im} k
(1)求集合 中元素的个数;
P7
(2)若
的子集 A 中任意两个元素之和不是 整数的平 ．． Pm
方,则称 A 为“稀疏集”.求 n 最大值,使 上不相交的稀疏集的并.
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解 ∵(A∪B)∩C= ，∴A∩C= 且 B∩C=
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例.某班级共有 48 人，其中爱好体育的 25 名，爱好文 艺的 24 名，体育和文艺都爱好的 9 名，试求体育和文 艺都不爱好的有几名?
3．教育功能
（2）阅读理解能力、抽象思维能力培养、分 析问题与解决问题能力的培养，
只有在深刻理解集合概念，明确集合中元 素的属性，熟练地运用集合与集合的关系解 决具体问题上下功夫,才能读懂用集合语言描 述的数学命题。
4k 2 8k 1 0, 得 2 k 2k 3 0
∴k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=
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2009 北京.20． （本小题共 13 分） 已知数集 A {a ,a
1 2
, an } (1 a 1 a 2
an n,
i j
2)
j
具有性质
a i , j (1 i j n ) ；对任意的 ， 与 两数中至 aa P a
i
少有一个属于 A。 （I）分别判断数集 {1,3,4} 与 {1,2,3,6}是否具有性质 P， 并说明理由； （Ⅱ）证明： a
Pm
能分成两人
2007 北 京 .20 ． 已 知 集 合 ，由 ai Z( i ， 1， 2 ， k )
A a1，a2， ，ak (k ≥ 2)
，其中
A 中的元素构成两个相应的集合：
S ( a，b) a A，b A，a b A ， T ( a，b) a A，b A，a b A．
2．语言功能
（1）课标：集合语言是现代数学的基本语言。 使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一 些内容。高中数学课程只将集合作为一种语言来 学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有 关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能 力。 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列 举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合 语言的意义和作用。


（2010 湖南文数） 15.若规定 E= a a ...a 的子集 a
1, 2 10
k1
ak2 ..., akn

为 E 的第 k 个子集，其中 k= k 2
1, 3
k1
2k2 1 2k3 1
2kn 1
，则
（1） a , a 是 E 的第___个子集； （2）E 的第 211 个子集是_______
2013 福建文 16．设 S,T 是 R 的两个非空子集，如果存 在一个从 S 到 T 的函数 y=f(x)满足； （i） （ii） 对任意 x1 , x2 S ， 当 x1 x2 时， T { f ( x ) x S}； 恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) ． 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下 3 对集合： ① A N , B N *； ② A {x 1 x 3}, B {x 8 x 10}； ③ A {x 0 x 1}, B R ． 其中，“保序同构”的集合对的序号是 出所有“保序同构”的集合对的序号） （写
例.设 A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0}, C={(x,y)|y=kx+b},是否存在 k、b∈N,使得(A∪B)∩C= ， 证明此结论
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（2010 四川理数） （16） 设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任 意 x, y S ，都有 x y,x y,xy S ，则称 S 为封闭集。下列命题： ① 集合 S＝{a＋bi|（ a ,b 为整数， i 为虚数单位）}为封闭集； ② 若 S 为封闭集，则一定有 0 S ； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S T C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是 号） （写出所有真命题的序
（2）关于集合等内容的符号表示法，是整 个高中数学各部分内容都要使用的基本数学 符号语言，高中数学教学对学生使用数学语 言的要求比初中数学教学有明显的提高，即 要求表达问题时语言更准确、更简练、更规 范，符号化是数学语言的一个显著特征，随 着教学内容的不断扩充和抽象性的加强，高 中数学中要使用更多的符号和术语，集合语 言深刻的体现了数学语言的严密性和简洁性。