2020年高考数学一轮复习：第4课__充分条件和必要条件

____第4课__充分条件和必要条件____
1. 会分析四种命题之间的相互关系及判断命题的真假．
2. 会判断充分条件、必要条件、充要条件.
1. 阅读：阅读选修21第5～9页．
2. 解悟：①命题的真假性一定是确定的；②四种命题之间有什么关系？③如何判断充分条件、必要条件？
3. 践习：在教材空白处，完成第8～9页习题第2、4题.
基础诊断
1. 若a ∈R ，则“a ＝0”是“a (a －1)＝0”的__充分不必要__条件．
解析：因为a (a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1，所以“a ＝0”是“a (a －1)＝0”的充分不必要条件．
2. 若f(x)是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的__必要不充分__条件．
解析：函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0一定成立；若f (0)＝0，则函数f (x )不一定是奇函数，可能为偶函数，也可能既不是奇函数也不是偶函数．故“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的必要不充分条件．
3. 已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是__若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3__．
4. 在命题“若ac 2>bc 2，则a>b ”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有__2__个．
解析：原命题：因为ac 2>bc 2，c 2>0，所以a>b ，所以原命题为真命题，所以原命题的逆否命题也为真命题；原命题的逆命题为“若a>b ，则ac 2>bc 2”，当c 2＝0时，a ＝b ，所以逆命题为假命题，所以原命题的否命题也为假命题．故真命题共有2个．
范例导航
考向❶ 对充分条件、必要条件中集合包含关系的理解
例1 设集合A ＝{x|x 2＋2x －3<0}，集合B ＝{x||x ＋a|<1}．
(1) 若a ＝3，求A ∪B ；
(2) 设命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
解析：(1) 解不等式x 2＋2x －3<0，得－3<x<1，即A ＝(－3，1)．
当a ＝3时，由|x ＋3|<1，解得－4<x<－2，即集合B ＝(－4，－2)，
所以A ∪B ＝(－4，1)．
(2) 因为p 是q 成立的必要不充分条件，
所以集合B 是集合A 的真子集．
又集合A ＝(－3，1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，
即实数a 的取值范围是[0，2]．
设函数y ＝lg (－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1
，x ∈(0，m)的值域为B. (1) 当m ＝2时，求A ∩B ；
(2) 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
解析：(1) 由－x 2＋4x －3>0，解得1<x<3，
所以A ＝(1，3)．
因为函数y ＝2x ＋1
在区间(0，m)上单调递减， 所以y ∈⎝⎛⎭⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝⎛⎭
⎫2m ＋1，2， 所以当m ＝2时，B ＝⎝⎛⎭⎫23，2，
所以A ∩B ＝(1，2)．
(2) 由题意得m>0.
因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，
所以B A ，即⎝⎛⎭
⎫2m ＋1，2(1，3)， 所以2m ＋1
≥1，解得0<m ≤1， 故实数m 的取值范围为(0，1].
考向❷ 对集合中元素的分类讨论
例2 已知非空集合A ＝{x|x －2x －（3a ＋1）<0}，B ＝{x|x －a 2－2x －a
<0}． (1) 当a ＝12
时，求∁R B ∩A ； (2) 命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B .若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．
解析：(1) 当a ＝12时，A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |2<x <52， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94，∁R B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，所以∁R B ∩A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |94≤x <52. (2) 由q 是p 的必要条件可得A ⊆B .
由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}．
①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，由⎩
⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52； ②当3a ＋1＝2，即a ＝13
时，A ＝∅，符合题意； ③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由⎩
⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13.
综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12
，3－52.
已知命题“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2
－x －m ＝0成立”是真命题．
(1) 求实数m 的取值集合M ；
(2) 设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，求实数a 的取值范围．
解析：(1) 由题意知，方程x 2－x －m ＝0在区间(－1，1)上有解，即m 的取值范围即为函数y ＝x 2－x 在区间(－1，1)上的值域，易得－14
≤m <2，所以M ＝⎣⎡⎭⎫－14，2. (2) 因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，所以M ⊆N .
当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；
当a >2－a ，即a >1时，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，
解得a >94； 当a <2－a ，即a <1时，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，
解得a <－14. 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－14)∪(94
，＋∞). 考向❸ 对逆否命题的综合运用
自测反馈
1. “三个数a ，b ，c 成等比数列”是“b 2＝ac ”的__充分不必要__条件．
解析：若a ，b ，c 成等比数列，根据等比数列的性质可得b 2＝ac ；若a ＝0，b ＝0，c ＝2，则b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列，所以“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“b 2＝ac ”的充分不必要条件．
2. “a<b”是“ln a<ln b”的__必要不充分__条件．
解析：若a ＝－2，b ＝－1，则a<b ，但ln a<ln b 不成立；因为函数y ＝ln x 在定义域上单调递增，所以当ln a<ln b 时，a<b ，所以“a<b”是“ln a<ln b”的必要不充分条件．
3. 给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a >3b ”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；
③“a ＝0”是“函数f(x)＝x 3＋ax 2，x ∈R 为奇函数”的充要条件．
其中正确命题的序号为__③__．
解析：①因为函数y ＝3x 是R 上的增函数，所以“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①是假
命题；②若α＝3π2，β＝π2，则α>β，但cos α＝cos β，充分性不得证，若α＝3π2
，β＝2π，cos α<cos β，但α<β，必要性不得证，所以“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②是假命题；③若a ＝0，则f (x )＝x 3，x ∈R ，f (－x )＝－f (x )，且定义域关于原点对称，所以函数f (x )是奇函数，若f (x )＝x 3＋ax (x ∈R)是奇函数，则f (－x )＝－f (x )对任意的x ∈R 恒成立，即(－x )3＋a (－x )2＝－(x 3＋ax 2)，即ax 2＝－ax 2，即a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax ，x ∈R 为奇函数”的充要条件，故③是真命题，故填③.
4. 记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg (x －a)的定义域为集合B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为__(－∞，－3]__．
解析：由x 2＋x －6<0得－3<x<2，即A ＝(－3，2)，由x －a>0，得x>a ，即B ＝(a ，＋∞)．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ，所以a ≤－3，故实数a 的取值范围为(－∞，－3]．
1. 否命题既要否定条件，又要否定结论；命题的否定只否定结论．
2. 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．
3. 你还有哪些体悟，写下来：。