高考数学二轮复习专练四中档大题(五)
高考数学(文科)大二轮总复习：选修4-5 专题训练 Word版含解析
A 组(供高考题型为填空题的省份使用) 1．不等式x ＋|2x －1|<3的解集为________． 解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x <43.答案⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x <432．不等式|x －1|＋|x ＋2|<5的解集为________．解析 法一 当x <－2时原不等式即1－x －2－x <5， 解得－3<x <－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x <5， 因为3<5恒成立，则－2≤x ≤1；当x >1时，原不等式即x －1＋2＋x <5，解得1<x <2. 综上，原不等式的解集为{x |－3<x <2}．法二 不等式|x －1|＋|x ＋2|<5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x |－3<x <2}． 答案 {x |－3<x <2}3．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________． 解析 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．答案 94．(2014·广州模拟)不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是________．解析 ∵|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3，∴a ≤3. 答案 (－∞，3]5．使关于x 的不等式|x ＋1|＋k <x 有解的实数k 的取值范围是________． 解析 |x ＋1|＋k <x ⇔k <x －|x ＋1|， 又x －|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <－1，－1，x ≥－1，∴x －|x ＋1|的最大值为－1.∴k <－1. 答案 (－∞，－1)6．(2014·湖南六校联考)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|≥a 的解集是全体实数，则a 的取值范围是______． 解析 令f (x )＝|x －3|＋|x －4|， 则|x －3|＋|x －4|≥|x －3＋4－x |＝1， 则f (x )min ＝1，故a ≤1. 答案 (－∞，1]7．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．解析 令t ＝|x ＋1|＋|x －2|，得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3.答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．解析原不等式可化为⎩⎨⎧x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎨⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎨⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6，解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32.答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤32 9．(2014·江西重点盟校二次联考)若不等式||x ＋1＋|x －3|≥|m －1|恒成立，则m 的取值范围为________．解析 ∵|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， ∴不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立， 只需|m －1|≤4，即－3≤m ≤5. 答案 [－3,5]10．(2014·临沂模拟)对任意x ∈R ，|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，则a 满足________．解析 ∵|2－x |＋|3＋x |≥5，∴要使|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立， 即5≥a 2－4a ，解得－1≤a ≤5.答案 [－1,5]11．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围是________．解析 |3x －b |<4⇒b －43<x <b ＋43⇒⎩⎨⎧0≤b －43<1，3<b ＋43≤4⇒5<b <7，即b 的取值范围为(5,7)． 答案 (5,7)12．(2014·西安八校联考)已知关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________．解析 |x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|，要使关于x 的不等式不是空集，则|a －1|≤8，∴－7≤a ≤9，即a 的最小值为－7. 答案 －713．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________．解析 ∵二次方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则由Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14，由绝对值的几何意义知0≤a ≤14. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1414．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －5|＋1对于任一非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，所以|a －5|＋1<2，即|a －5|<1，∴4<a <6. 答案 (4,6)15．(2013·陕西卷)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．解析 由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm ·bn )2＝mn (a ＋b )2＝2. 答案 2B 组(供高考题型为解答题的省份使用) 1．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x <－12，3x －3，－12≤x <4，x ＋5，x ≥4.当x <－12时，由f (x )＝－x －5>2得x <－7， ∴x <－7；当－12≤x <4时，由f (x )＝3x －3>2得x >53， ∴53<x <4；当x ≥4时，由f (x )＝x ＋5>2，得x >－3，∴x ≥4. 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. (2)画出f (x )的图象如图： ∴f (x )min ＝－92.2．设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.证明 因为a ，b ，c 为正实数，由均值不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc .所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc . 而3abc ＋abc ≥23abc ·abc ＝23， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.3．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明 法一 因为a 、b 、c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，② 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立． 法二 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac ≥6 3.③所以原不等式成立，当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立． 4．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 ∵a ≥xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3对任意x >0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可．∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)． 由u ≥5，知0<1u ≤15，∴a ≥15.5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．(1)证明 由a ＞0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)＜5得3＜a ＜5＋212. 当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)＜5得1＋52＜a ≤3. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.6．(2014·沈阳模拟)已知关于x 的不等式|ax －2|＋|ax －a |≥2(a >0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到点1、2的距离之和大于等于2. ∴x ≥52或x ≤12.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥52. 注：也可用零点分段法求解． (2)∵|ax －2|＋|ax －a |≥|a －2|，∴原不等式的解集为R 等价于|a －2|≥2， ∴a ≥4或a ≤0.又a >0，∴a ≥4. ∴实数a 的取值范围是[4，＋∞)．。
2019年高考数学(理)二轮复习特色专项训练：专练四中档大题(2)及答案
高考数学精品复习资料2019.5中档大题(二)1．(20xx·浙江省温州市高三第一次适应性测试)已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .2．(20xx·江西省南昌市高三第一次模拟测试)设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角．(1)设f (A )＝sin A ＋2sin A 2，当A 取A 0时，f (A )取极大值f (A 0)，试求A 0和f (A 0)的值； (2)当A 取A 0时，AB →·AC →＝－1，求BC 边长的最小值．3．(20xx·高考四川卷)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，点P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，请说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)4．(20xx·郑州市高中毕业年级第二次质量预测)每年的三月十二日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133；乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146.(1)根据抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义．5．(20xx·江西省南昌市高三第一次模拟测试)设正项数列{a n}的前n项和是S n，若{a n}和{S n}都是等差数列，且公差相等．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列{b n}的前三项，记数列c n＝24b n（12b n－1）2，数列{c n}的前n项和为T n，求证：对任意n∈N*，都有T n<2.6．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若a∈[2，6]，b∈[0，4] ，求一元二次方程没有实数根的概率．答案：1．【解】(1)设等差数列的公差为d ，d >0.由题意得，(2＋d )2＝2＋3d ＋8，d 2＋d －6＝(d ＋3)(d －2)＝0，得d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n ，得a n ＝2n .(2)b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n .S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n )＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(22＋24＋…＋22n )＝（2＋2n ）·n 2＋4·（1－4n ）1－4＝n (n ＋1)＋4n ＋1－43. 2．【解】(1)f ′(A )＝cos A ＋cos A 2＝2cos 2A 2＋cos A 2－1 ＝(2cos A 2－1)(cos A 2＋1)． 因为0<A <π，所以cos A 2＋1>0. 由f ′(A )>0，得cos A 2>12， 所以0<A 2<π3，即0<A <2π3. 所以当A ∈(0，2π3)时，f (A )为增函数；当A ∈(2π3，π)时，f (A )为减函数．故A 0＝2π3时，f (A )取极大值f (A 0)＝f (2π3)＝332. (2)设a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边．由AB →·AC →＝－1知bc ＝2，而a ＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ＝6，当且仅当b ＝c ＝2时，BC 边长的最小值为 6.3．【解】(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC .因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC .由已知AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，所以BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交，所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)过点D 作DE ⊥AC 于E .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥DE .又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交，所以DE ⊥平面AA 1C 1C .由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°.在△ADE 中，DE ＝32AD ＝32. 又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1， 所以VA 1QC 1D ＝VD A 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36. 因此三棱锥A 1QC 1D 的体积是36.4．【解】(1)茎叶图如图所示：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为128.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散．(2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量．S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越参差不齐．5．【解】(1)设{a n }的公差为d ， 则S n ＝ d 2n 2＋（a 1－d 2）n ＝d 2·n ，且a 1－d 2＝0. 又d ＝d 2，所以d ＝12， a 1＝d 2＝14，a n ＝2n －14. (2)证明：易知b n ＝14×3n －1， ∴c n ＝2×3n （3n －1）2. 当n ≥2时，2×3n （3n －1）2<2×3n （3n －1）（3n －3）＝2×3 n －1（3n －1）（3n －1－1）＝13n －1－1－13n －1， ∴当n ≥2时，T n ＝32＋2×32（32－1）2＋…＋2×3n （3n －1）2≤32＋(12－132－1)＋(132－1－133－1)＋…＋(13n －1－1－13n －1)＝2－13n －1<2 ，且T 1＝32<2，故对任意n ∈N *，都有T n <2. 6．【解】(1)基本事件(a ，b )共有36个，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，方程有两个正实数根等价于a －2>0，16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为(6，1)，(6，2)，(6，3)，(5，3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19. (2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6，0≤b ≤4} ，其面积为S (Ω)＝16. 设“一元二次方程无实数根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6，0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π， 故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.。
高考数学二轮复习专练四中档大题(三)
中档大题(三)1．(2013·辽宁省五校第一联合体高三年级考试)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)． (1)判断数列{a n ＋1a n}是不是等比数列； (2)求a n .2．(2013·高考重庆卷)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3. (1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P BDF 的体积．3．(2013·深圳市高三年级第一次调研考试)已知函数f (x )＝2sin(πx 6＋π3)(0≤x ≤5)，点A 、B 分别是函数y ＝f (x )图象上的最高点和最低点．(1)求点A 、B 的坐标以及OA →·OB →的值；(2)设点A 、B 分别在角α、β的终边上，求tan(α－2β)的值．4．(2013·河南省洛阳市高三年级统一考试)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；(2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，96≤x <985，98≤x <1044，104≤x ≤106，求这批产品平均每个的利润．5．(2013·北京市东城区高三教学统一检测)如图，在菱形ABCD 中，MA ⊥平面ABCD ，且四边形ADNM 是平行四边形．(1)求证：AC ⊥BN ；(2)当点E 在AB 的什么位置时，使得AN ∥平面MEC ，并加以证明．6．(2013·福建省普通高中毕业班质量检查)某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年的SO2的年排放量约为9.3万吨．(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度，在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p，为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范围．(参考数据：823≈0.950 5，923≈0.955 9)答案：1．【解】(1)由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n . 令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n . ∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)， ∴数列{a n ＋1a n}是等比数列． (2)∵数列{c n }是首项为a ，公比为p 的等比数列，∴c n ＝c 1·p n －1＝a ·p n －1，即a n ＋1a n＝ap n －1. 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(ap n －2)×(ap n －3)×…×(ap 0)×1＝a n －1p n 2－3n ＋2， ∵a 1满足上式，∴a n ＝a n －1p n 2－3n ＋22，n ∈N *.2．【解】(1)证明：因为BC ＝CD ，所以△BCD 为等腰三角形．又∠ACB ＝∠ACD ，所以BD ⊥AC .因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD ，从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面P AC .(2)三棱锥P -BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3. 由P A ⊥底面ABCD ，得V P BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13×3×23＝2. 由PF ＝7FC ，得三棱锥F -BCD 的高为18P A ， 故V F BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13×3×18×23＝14， 所以V P BDF ＝V P BCD －V F BCD ＝2－14＝74. 3．【解】(1)∵0≤x ≤5，∴π3≤πx 6＋π3≤7π6， ∴－12≤sin(πx 6＋π3)≤1. 当πx 6＋π3＝π2，即x ＝1时，sin(πx 6＋π3)＝1，f (x )取得最大值2； 当πx 6＋π3＝7π6，即x ＝5时，sin(πx 6＋π3)＝－12，f (x )取得最小值－1. 因此，点A 、B 的坐标分别是A (1，2)、B (5，－1)．∴OA →·OB →＝1×5＋2×(－1)＝3.(2)∵点A (1，2)、B (5，－1)分别在角α、β的终边上，∴tan α＝2，tan β＝－15，∵tan 2β＝2×（－15）1－（－15）2＝－512， ∴tan(α－2β)＝2－（－512）1＋2·（－512）＝292. 4．【解】(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n .∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴36n＝0.300，∴n ＝120. ∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.(2)产品净重在[96，98)，[98，104)，[104，106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，0.075×2＝0.150.∴其相应的频数分别为120×0.100＝12，120×0.750＝90，120×0.150＝18.∴这批产品平均每个的利润1120(12×3＋90×5＋18×4)＝4.65(元)．5．【解】(1)证明：连接BD ，则AC ⊥BD .由已知得DN ⊥平面ABCD ，因为DN ∩DB ＝D ，所以AC ⊥平面NDB .又BN ⊂平面NDB ，所以AC ⊥BN .(2)当E 为AB 的中点时，有AN ∥平面MEC .设CM 与BN 交于F ，连接EF .由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，F 是BN 的中点，因为E 是AB 的中点，所以AN ∥EF .又EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ，所以AN ∥平面MEC .6．【解】(1)设“十二五”期间，该城市共排放SO 2约y 万吨，依题意，2011年至2015年SO 2的年排放量构成首项为9.3，公差为－0.3的等差数列，所以y ＝5×9.3＋5×（5－1）2×(－0.3)＝43.5(万吨)． 所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO 2约43.5万吨．(2)由已知得，2012年的SO 2年排放量为9.3－0.3＝9(万吨)，所以2012年至2020年SO 2的年排放量构成首项为9，公比为1－p 的等比数列． 由题意得9×(1－p )8<6，由于0<p <1，所以1－p <823， 所以1－p <0.950 5，解得p >4.95%.所以SO 2的年排放量每年减少的百分率p 的取值范围为(4.95%，1)．。
高考数学二轮复习专练四中档大题(六)
中档大题(六)1．(2013·高考辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值； (2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．2．(2013·高考陕西卷)如图， 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；(2)求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.3．(2013·广东省广州市高三年级调研测试)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出七名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.(1)求x 和y 的值；(2)计算甲班七名学生成绩的方差；(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．参考公式：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n.4．(2013·江西省南昌市高三第一次模拟测试)设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等．(1)求{a n }的通项公式；(2)若a 1，a 2，a 5恰为等比数列{b n }的前三项，记数列c n ＝1log 34b n ＋1·log 34b n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n .5．已知定义在区间[－π，3π2]上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)求y ＝f (x )的解析式；(3)若关于x 的方程f (x )＝－910有解，将方程所有解的和记为M ，结合(1)中函数图象，求M 的值．6.(2013·高考福建卷)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠P AD ＝60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P -ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC ；(3)求三棱锥D -PBC 的体积．答案：1．【解】(1)由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2x ＝4sin 2x ，|b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12， 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1. 所以f (x )的最大值为32. 2．【解】(1)证明：由题设知，BB 1DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1.又BD ⊄平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1.∵A 1D 1B 1C 1BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C .又A 1B ⊄平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.(2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD -A 1B 1D 1的高．又AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1. 又S △ABD ＝12×2×2＝1， ∴V 三棱柱ABD -A 1B 1D 1＝S △ABD ·A 1O ＝1.3．【解】(1)∵甲班学生的平均分是85，∴92＋96＋80＋80＋x ＋85＋79＋787＝85， ∴x ＝5.∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y ＝3.(2)甲班七名学生成绩的方差为s 2＝17[(－6)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋02＋72＋112]＝40. (3)甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A ，B ，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C ，D ，E .从这五名学生中任意抽取两名学生共有10种情况：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )．其中甲班至少有一名学生共有7种情况：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则P (M )＝710. 故从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生的概率为710. 4．【解】(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）d 2，即S n ＝d 2n 2＋（a 1－d 2）n ，由S n是等差数列得到：⎩⎨⎧a 1－d 2＝0S n ＝d 2n ， 则d ＝d 2且d ＝2a 1>0，所以d ＝12， 所以a 1＝d 2＝14， a n ＝14＋(n －1)·12＝2n －14. (2)由b 1＝a 1＝14，b 2＝a 2＝34，b 3＝a 5＝94，得等比数列{b n }的公比q ＝3， 所以b n ＝14×3n －1 所以c n ＝1log 33n ·log 33n 1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. 5．【解】(1)y ＝f (x )的图象如图所示：(2)任取x ∈[－π，π4]，则π2－x ∈[π4，3π2]， 由于函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称， 所以f (x )＝f (π2－x )． 又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ， 所以f (x )＝f (π2－x )＝－sin(π2－x )＝－cos x ， 则f (x )＝⎩⎨⎧－cos x ，x ∈[－π，π4）－sin x ，x ∈[π4，3π2]. (3)因为－910∈[－1，－22]， 所以f (x )＝－910有4个根满足x 1<x 2<π4<x 3<x 4， 由对称性得，x 1＋x 2＝0，x 3＋x 4＝π，则M ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝π.6．【解】图(1)(1)在梯形ABCD 中，如图(1)，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E .由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3.在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理得BE ＝3，从而AB ＝6.又由PD ⊥平面ABCD ，得PD ⊥AD ，从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠P AD ＝60°，得PD ＝4 3.正视图如图(2)所示．图(2) 图(3)(2)证明：法一：如图(3)，取PB 的中点N ，连接MN ，CN .在△P AB 中，∵M 是P A 的中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3. 又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD ，∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM ∥CN .又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ，∴DM ∥平面PBC .法二：图(4)如图(4)，取AB 的中点E ，连接ME ，DE .在梯形ABCD 中，BE ∥CD ，且BE ＝CD ，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴DE ∥BC .又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE ∥平面PBC .又在△P AB 中，ME ∥PB ，ME ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，∴ME ∥平面PBC . 又DE ∩ME ＝E ，∴平面DME ∥平面PBC .又DM ⊂平面DME ，∴DM ∥平面PBC .(3)V D PBC ＝V P DBC ＝13S △DBC ·PD . 又S △DBC ＝6，PD ＝43，∴V D PBC ＝8 3.。
2018届高考数学(理)二轮专题复习：规范练5-2-4 含答案
大题规范练(四)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S 满足S ＝12[c 2－(a －b )2]．(1)求cos C ；(2)若c ＝4，且2sin A cos C ＝sin B ，求b 的长．解：(1)由S ＝12[c 2－(a －b )2]＝12[－(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ]＝－ab cos C ＋ab ，又S ＝12ab sin C ，于是12ab sin C ＝－ab cos C ＋ab ，即sin C ＝2(1－cos C )，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，可得5cos 2C －8cos C ＋3＝0，解得cos C ＝35或cos C ＝1(舍去)，故cos C ＝35.(2)由2sin A cos C ＝sin B 结合正、余弦定理，可得2·a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b ，即(a －c )(a ＋c )＝0，解得a ＝c ，又c ＝4，所以a ＝4，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得42＝42＋b 2－2×4×35b ，解得b ＝245.2．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，B 1B ＝B 1A ＝AB ＝BC ，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D .(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)求直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值． 解：(1)取AB 的中点O ，连接OD ，OB 1. 因为B 1B ＝B 1A ，所以OB 1⊥AB .又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1，所以AB ⊥平面B 1OD ， 因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB ⊥OD .由已知，BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ，所以OD ⊥BB 1，因为AB ∩BB 1＝B ，所以OD ⊥平面ABB 1A 1. 又OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1.(2)由(1)知，OB ，OD ，OB 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴的正方向，|OB →|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .由题设知B 1(0,0，3)，D (0,1,0)，A (－1,0,0)，C (1,2,0)，C 1(0,2，3)． 则B 1D →＝(0,1，－3)，AC →＝(2,2,0)，CC 1→＝(－1,0，3)．设平面ACC 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·AC →＝0，m ·CC 1→＝0，即x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0，可取m ＝(3，－3，1)．设直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角为θ，故cos 〈B 1D →，m 〉＝B 1D →·m|B 1D →|·|m |＝－217.则sin θ＝217. ∴直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为217. 3．(本小题满分12分)2017年1月6日，国务院法制办公布了《未成年人网络保护条例(送审稿)》，条例禁止未成年人在每日的0：00至8：00期间打网游，强化网上个人信息保护，对未成年人实施网络欺凌，构成犯罪的，将被依法追究刑事责任．为了解居民对实施此条例的意见，某调查机构从某社区内年龄(单位：岁)在[25,55]内的10 000名居民中随机抽取了100人，获得的所有样本数据按照年龄区间[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55]进行分组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表．(1)完成抽取的这100人的频率分布直方图，并估计这100人的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从这10 000名居民中任选4人进行座谈，求至多有1人的年龄在[50,55]内的概率；(3)若按分层抽样的方法从年龄在区间[25,40)，[40,45)内的居民中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.分组 持赞同意见的人数占本组的频率[25,30) 4 0.80 [30,35)80.80[35,40) 12 0.80 [40,45) 19 0.95 [45,50) 24 0.80 [50,55]170.85解：(1)根据题意可得年龄在[25,30)内的人数为40.80＝5，其频率为5100＝0.05；年龄在[30,35)内的人数为80.80＝10，其频率为10100＝0.1；年龄在[35,40)内的人数为120.80＝15，其频率为15100＝0.15；年龄在[40,45)内的人数为190.95＝20，其频率为20100＝0.2；年龄在[45,50)内的人数为240.80＝30，其频率为30100＝0.3；年龄在[50,55]内的人数为170.85＝20，其频率为20100＝0.2.作出频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计这100人的平均年龄为25＋302×0.05＋30＋352×0.1＋35＋402×0.15＋40＋452×0.2＋45＋502×0.3＋50＋552×0.2＝1.375＋3.25＋5.625＋8.5＋14.25＋10.5＝43.5.(2)由(1)知随机抽取的这100人中，年龄在[25,50)内的人数为80，年龄在[50,55]内的人数为20，任选1人，其年龄恰在[50,55]内的频率为20100＝15，将频率视为概率，故从这10 000名居民中任选1人，其年龄恰在[50,55]内的概率为15，设“从这10 000名居民中任选4人进行座谈，至多有1人的年龄在[50,55]内”为事件A ，则P (A )＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－154×⎝ ⎛⎭⎪⎫150＋C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－153×15＝512625.(3)由(1)得年龄在[25,40)内的人数为30，年龄在[40,45)内的人数为20，则分层抽样的抽样比为30∶20＝3∶2，故从年龄在[25,40)内的居民中抽取6人，从年龄在[40,45)内的居民中抽取4人，则抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 04C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 06C 34C 310＝130.故X 的分布列为X 0 1 2 3 P16 12310130E (X )＝0×16＋1×12＋2×10＋3×30＝5.4．(本小题满分12分)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，B ，C 是椭圆上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，线段AC 的中点为D ，且B ，F ，D 三点共线．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设F (1,0)，过F 的直线l 交E 于M ，N 两点，直线MA ，NA 分别与直线x ＝9交于P ，Q 两点．证明：以PQ 为直径的圆过点F .解：(1)解法一：由已知A (a,0)，F (c,0)，设B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则D ⎝⎛⎭⎪⎫a －x 02，－y 02，∵B ，F ，D 三点共线，∴BF →∥BD →，又BF →＝(c －x 0，－y 0)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 02，－3y 02，∴－32y 0(c －x 0)＝－y 0·a －3x 02，∴a ＝3c ，从而e ＝13.解法二：设直线BF 交AC 于点D ，连接OD ，由题意知，OD 是△CAB 的中位线， ∴OD ═∥12AB ，∴AB →∥OD →， ∴△OFD ∽△AFB .∴ca －c ＝12，解得a ＝3c ，从而e ＝13. (2)证明：∵F 的坐标为(1,0)， ∴c ＝1，从而a ＝3，∴b 2＝8. ∴椭圆E 的方程为x 29＋y 28＝1.设直线l 的方程为x ＝ny ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋1x 29＋y28＝1⇒(8n 2＋9)y 2＋16ny －64＝0，∴y 1＋y 2＝－16n 8n 2＋9，y 1y 2＝－648n 2＋9，其中M (ny 1＋1，y 1)，N (ny 2＋1，y 2)． ∴直线AM 的方程为y y 1＝x －3ny 1－2，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫9，6y 1ny 1－2，同理Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，6y 2ny 2－2， 从而FP →·FQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 1ny 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 2ny 2－2＝64＋36y 1y 2n 2y 1y 2－2n y 1＋y 2＋4＝64＋36×－648n 2＋9－64n 28n 2＋9＋32n28n 2＋9＋4 ＝64＋36×－6436＝0.∴FP ⊥FQ ，即以PQ 为直径的圆恒过点F .5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－x ＋a ln x (a ＞0)．(1)若a ＝1，求f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性；(3)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.解：(1)a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ，f ′(x )＝x －1＋1x ，f ′(1)＝1，f (1)＝－12，∴y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝x －1，即y ＝x －32.∴f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为2x －2y －3＝0.(2)f ′(x )＝x －1＋a x ＝x 2－x ＋ax(a ＞0)．①若a ≥14，x 2－x ＋a ≥0，f ′(x )≥0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若0＜a ＜14，由x 2－x ＋a ＞0得0＜x ＜1－1－4a 2或x ＞1＋1－4a 2；由x 2－x ＋a ＜0得1－1－4a 2＜x ＜1＋1－4a 2. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．综上，当a ≥14时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜14时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．(3)由(2)知0＜a ＜14时，f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1，x 2是方程x 2－x ＋a ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝a .∴f (x 1)＋f (x 2)＝12x 21－x 1＋a ln x 1＋12x 22－x 2＋a ln x 2＝12(x 1＋x 2)2－x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋a ln(x 1·x 2)＝12－a －1＋a ln a ＝a ln a －a －12.令g (x )＝x ln x －x －12⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜14，则g ′(x )＝ln x ＜0.∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，∴g (x )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－3－2ln 24.∴f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θθ＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π6.设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53θ＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ |＝3.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ＜－1－3x ，－1≤x ＜12，x －2，x ≥12作函数f (x )的图象如图所示．(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，∴1a＋4b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋4b(a＋b)＝5＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当ba＝4ab，即a＝13，b＝23时等号成立．∴1a＋4b≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，∴|2x－1|－|x＋1|≤3，结合图象知－1≤x≤5.∴x的取值范围是[－1,5]．。
高考数学二轮复习专练四中档大题(四)
中档大题(四)1．(2013·高考陕西卷)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现组别A B C D E人数50 100 150 150 50(1)委，组别A B C D E 人数50 100 150 150 50抽取人数 6抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.2．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C-A1DE的体积．3．(2013·河北省普通高中高三教学质量检测)已知正项数列{a n}，{b n}满足a1＝3，a2＝6，{b n}是等差数列，且对任意正整数n，都有b n，a n，b n＋1成等比数列．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)设S n＝1a1＋1a2＋…＋1a n，试比较2S n与2－b2n＋1a n＋1的大小．4．(2013·湖北省武汉市高中毕业生调研测试)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A -BCD .(1)求证：平面AOC ⊥平面BCD ； (2)若三棱锥A -BCD 的体积为63，且∠AOC 是钝角，求AC 的长．5．(2013·高考福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K2＝n（ad－bc）2（6．(2013·高考福建卷)如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝22，点M 在线段PQ上．(1)若OM＝5，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．答案：1．【解】(1)(2)记从A 12312号歌手；从B 组抽到的6位评委分别为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手，从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果如图：由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29. 2．【解】(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .所以V 三棱锥C -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1. 3．【解】(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且{a n }，{b n }都为正项数列，∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．可得a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6，又{b n }是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝2，b 2＝322. ∴b n ＝22(n ＋1)(n ∈N *)． (2)由(1)可得a n ＝b n b n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2， 则1a n ＝2（n ＋1）（n ＋2）＝2(1n ＋1－1n ＋2)， ∴S n ＝2[(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)] ＝1－2n ＋2，∴2S n ＝2－4n ＋2，又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3，∴2S n －(2－b 2n ＋1a n ＋1)＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8（n ＋2）（n ＋3）. ∴当n ＝1，2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1. 4．【解】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AO ，BO ⊥CO .折起后仍有BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，AO ∩CO ＝O ，∴BD ⊥平面AOC .∵BD ⊂平面BCD ，∴平面AOC ⊥平面BCD .(2)由(1)知BD ⊥平面AOC ，∴V A BCD ＝13S △AOC ·BD ，又V A BCD ＝63， ∴13×12OA ·OC ·sin ∠AOC ·BD ＝63， 即13×12×2×2×sin ∠AOC ×22＝63， ∴sin ∠AOC ＝32， ∵∠AOC 是钝角，∴∠AOC ＝120°. 在△AOC 中，由余弦定理，得AC 2＝OA 2＋OC 2－2·OA ·OC ·cos ∠AOC＝(2)2＋(2)2－2×2×2×cos 120°＝6，∴AC ＝ 6.5．【解】(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710. (2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（15×25－15×45）260×40×30×70＝2514≈1.79. 因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．6．【解】(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2OP ·MP ·cos 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°sin （45°＋α）， 同理ON ＝OP sin 45°sin （75°＋α）. 故S △OMN ＝12·OM ·ON ·sin ∠MON ＝14×OP 2sin 245°sin （45°＋α）sin （75°＋α）＝1sin （45°＋α）sin （45°＋α＋30°）＝1sin （45°＋α）⎣⎡⎦⎤32sin （45°＋α）＋12cos （45°＋α） ＝132sin 2（45°＋α）＋12sin （45°＋α）cos （45°＋α） ＝134[1－cos （90°＋2α）]＋14sin （90°＋2α） ＝134＋34sin 2α＋14cos 2α ＝134＋12sin （2α＋30°）. 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值，即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等二轮复习专题练习(五)附答案人教版高中数学高考真题汇编
【注意】每写对一个给5分．
∴ ，即 ，………………10分
代入 得 ，………………12分
∴ .………………14分
评卷人
得分
二、解答题
3．
4．解：（1） ，则 ，即 ，所以特征值为 ．
当 时， ，所以特征向量 ，
当 时， ，所以特征向量 .…………………………………5分
（2）令 ，则 ，
解得 ，所以 ，
所以 = = .……………………10分
5．设曲线 上任一点 在矩阵 对应的变换下的像是 ,
由 ,得
因为 在圆 上,所以 ，化简可得 ．
………………………………………………3分
依题意可得 ， 或 而由 可得 ．………6分
故 , ．…………………………………………10分
6．矩阵M的特征多项式为 ．………………………………3分
令 ，从而求得对应的一个特征向量分别为
评卷人
得分
二、解答题
3．求使等式 成立的矩阵M。
4．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵 ．
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）若 ，求 ．
5．设曲线 在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为 ，求矩阵M的逆矩阵 ．
6．已知 ，计算 ．
7．曲线 在矩阵 的作用下变换为曲线 ，
求 的方程．
8．已知曲线 经过变换T变成曲线 ．求变换T对应的矩阵．（要求写出两个不同的矩阵）
高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2019版高中数学二轮复习：中档大题保分练4 Word版含解析
中档大题保分练(04)(满分：46分 时间：50分钟)说明：本大题共4小题，其中第1题可从A 、B 两题中任选一题； 第4题可从A 、B 两题中任选一题. 共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(A)(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0，b ＝5．(1)求角B ；(2)若△ABC 的面积为1534，求△ABC 的周长．解：(1)∵(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0，由正弦定理可得：sin A cos B ＋2sin C cos B ＋sin B cos A ＝0，即cos B ＝－12，又B ∈(0，π)，则B ＝23π．(2)由△ABC 的面积为1534，∴12ac sin B ＝1534，则ac ＝15， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，得a ＋c ＝210， 则周长a ＋b ＋c ＝210＋5．1．(B)(12分)已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 3－1成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2n －1＋a n (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与n 2＋2n 的大小．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，a 2，a 3－1成等差数列，∴2a 2＝a 1＋(a 3－1)＝a 3，∴q ＝a 3a 2＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵b n ＝2n －1＋a n ，∴S n ＝(1＋1)＋(3＋2)＋(5＋22)＋…＋(2n －1＋2n －1)＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝1＋(2n －1)2·n ＋1－2n 1－2＝n 2＋2n －1．因为S n －(n 2＋2n )＝－1＜0，所以S n ＜n 2＋2n ．2．(12分)某代卖店代售的某种快餐，深受广大消费者喜爱，该种快餐每份进价为8元，并以每份12元的价格销售．如果当天19：00之前卖不完，剩余的该种快餐每份以5元的价格作特价处理，且全部售完．(1)若这个代卖店每天定制15份该种快餐，求该种类型快餐当天的利润y (单位：元)关于当天需求量x (单位：份，x ∈N )的函数解析式；(2)该代卖点记录了一个月30天的每天19：00之前的销售数量该种快餐日需求量，统计数据如下：以30每天都定制15份该种快餐．①求该种快餐当天的利润不少于52元的概率； ②求这一个月该种快餐的日利润的平均数(精确到0.1)． 解：(1)由题意得当x ≥15时，y ＝4×15＝60； 当x ＜15时，y ＝4x －3(15－x )＝7x －45．所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧60，x ≥15，x ∈N ，7x －45，x ＜15，x ∈N .(2)由题意可得该种快餐的利润情况如下表：①该种快餐当天的利润不少于52元的概率为P ＝6＋1530＝0.7．②这一个月该种快餐的日利润的平均数为 4×39＋5×46＋6×53＋15×6030≈53.5(元)．3．(12分)如图，已知四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，且P A ⊥AB ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，AB ＝AD ＝2DC ＝2，M 为PB 的中点．(1)求证：CM ∥平面P AD ； (2)求三棱锥P -ACM 的体积．(1)证明：取P A 的中点N ，连接MN ，DN . 由于M ，N 分别为PB ，P A 的中点， 由题意知MN 綊12AB 綊CD ，则四边形CMND 为平行四边形，所以CM ∥DN ， 又CM ⊄平面P AD ，DN ⊂平面P AD ，所以CM ∥平面P AD ．(2)解：由(1)知CM ∥DN ，△P AD 是等边三角形，所以DN ⊥P A ，因为AB ⊥AD ，且P A ⊥AB ，且AD ∩P A ＝A ，AD ⊂平面P AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，又因为DN ⊂平面P AD ，所以DN ⊥AB ， 又因为AB ∩AP ＝A ，AB ⊂平面ABP ， AP ⊂平面ABP ，则DN ⊥平面ABP ，即CM ⊥平面ABP ，CM 为三棱锥C -APM 的高， CM ＝DN ＝3，S △P AM ＝12S △P AB ＝12×12×2×2＝1，V P -ACM ＝V C -P AM ＝13S △P AM ×CM ＝33． 4．(A)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝1，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)直线l ：y ＝x 与曲线C 1交于A ，B 两点，P 是曲线C 2上的动点，求△P AB 的面积的最大值．解：(1)因为曲线C 1的极坐标方程为ρ＝1， 则直角坐标方程为x 2＋y 2＝1；曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，则普通方程为x 24＋y 2＝1．(2)由题意知|AB |＝2，设P (2cos φ，sin φ)， 点P 到直线y ＝x 的距离为d ＝|2cos φ－sin φ|2，所以S △P AB ＝12|AB |×d ＝12×2×|2cos φ－sin φ|2＝102|sin(φ＋θ)|≤102．4．(B)(10分)选修4－5：不等式选讲(1)已知a ，b ∈R ，且|a |＜1，|b |＜1，求证：a 2b 2＋1＞a 2＋b 2．(2)若关于x 的不等式|x －1|＋2|x －2|≤m 有解，求实数m 的取值范围． (1)证明：∵a 2b 2＋1－a 2－b 2＝a 2(b 2－1)＋(1－b 2)＝(b 2－1)(a 2－1)， 又a ，b ∈R ，且|a |＜1，|b |＜1， ∴a 2－1＜0，b 2－1＜0，∴(b 2－1)(a 2－1)＞0，即a 2b 2＋1＞a 2＋b 2．(2)解：|x －1|＋2|x －2|≤m 有解等价于m ≥(|x －1|＋2|x －2|)min ， |x －1|＋2|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧5－3x ，x ＜1，3－x ，1≤x ＜2，3x －5，x ≥2，由单调性知：|x －1|＋2|x －2|≥1，所以m ≥1．。
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中档大题(五)1．(2013·高考广东卷)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 2．某校在筹办2013年元旦联欢会前，对学生“是喜欢曲艺还是舞蹈节目”做了一次调查，随机抽取了100(1) (2)在(1)中抽取的5名学生中任取2名，求恰有1名男生的概率．3．(2013·荆州市高中毕业班质量检测))如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点，求证：DN ∥平面AMC .4．(2013·江南十校联考)将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍，这样就得到函数f (x )的图象，若g (x )＝f (x )cos x ＋ 3.(1)将函数g (x )化成g (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (其中A 、ω>0，φ∈[－π2，π2])的形式；(2)若函数g (x )在[－π12，θ0]上的最大值为2，试求θ0的最小值．5．(2013·深圳市高三年级第一次调研考试)一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：(1)要从590分的概率；(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程y ^＝bx ＋a .参考公式：回归直线的方程是y ^＝bx ＋a ，其中b ＝错误!，a ＝y －bx .6．(2013·广东省惠州市高三第三次调研考试)已知点(1，13)是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足：S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项c n ＝b n ·(13)n ，求数列{c n }的前n 项和R n ；(3)若数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为T n ，问T n >1 0002 014的最小正整数n 是多少？答案：1．【解】(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－π12＝2cos π4＝2×22＝1.(2)因为θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，cos θ＝35，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45.所以f ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2×⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ＝cos θ＋sin θ＝35－45＝－15.2．【解】(1)由表中数据可知，女生应该抽取27×545＝3(名)．(2)记抽取的5名学生中，2名男生分别为A ，B ，3名女生分别为a ，b ，c .则从5名学生中任取2 名的所有可能的情况有10种，它们是：(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )．其中恰有1名男生的情况有6种，它们是：(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )(B ，c )．故所求概率为610＝35.3．【证明】(1)在直角梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝12AB ＝1，∴AC ＝2，BC ＝2，∴BC ⊥AC .又P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC .在Rt △P AB 中，M 为PB 的中点，则AM ＝12PB ，在Rt △PBC 中，M 为PB 的中点，则CM ＝12PB ，∴AM ＝CM .(2)连接DB 交AC 于点F ，∵DC 12AB ，∴DF ＝12FB .取PM 的中点G ，连接DG ，FM ，则DG ∥FM ， 又DG ⊄平面AMC ，FM ⊂平面AMC ， ∴DG ∥平面AMC .连接GN ，则GN ∥MC ， ∴GN ∥平面AMC . 又GN ∩DG ＝G ，∴平面DNG ∥平面AMC .又DN ⊂平面DNG ， DN ∩平面AMC ＝∅， ∴DN ∥平面AMC .4．【解】(1)由题意可得f (x )＝4sin(x －π3)，∴g (x )＝4sin(x －π3)cos x ＋ 3＝4(12sin x －32cos x )cos x ＋ 3＝2(sin x cos x －3cos 2x )＋ 3＝2sin(2x －π3)．(2)∵x ∈[－π12，θ0]，∴2x －π3∈[－π2，2θ0－π3]．要使函数g (x )在[－π12，θ0]上的最大值为2，当且仅当2θ0－π3≥π2，解得θ0≥5π12，∴θ0的最小值为5π12.5．【解】(1)从5名学生中任取2名学生的所有情况为：(A 4，A 5)、(A 4，A 1)、(A 4，A 2)、(A 4，A 3)、(A 5，A 1)、(A 5，A 2)、(A 5，A 3)、(A 1，A 2)、(A 1，A 3)、(A 2，A 3)，共10种情况．其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：(A 4，A 5)、(A 4，A 1)、(A 4，A 2)、(A 4，A 3)、(A 5，A 1)、(A 5，A 2)、(A 5，A 3)，共7种情况，故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率P ＝710.(2)散点图如图所示．可求得：x ＝89＋91＋93＋95＋975＝93，y ＝87＋89＋89＋92＋935＝90，错误!(x i －x )2＝(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42＝40， b ＝3040＝0.75， a ＝y －－bx ＝20.25，故所求的线性回归方程是y ^＝0.75x ＋20.25.6．【解】(1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝(13)x ，a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227.又数列{a n }成等比数列，∴a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，∴a n ＝－23×(13)n －1＝－2(13)n (n ∈N *)．∵S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1(n ≥2)，b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1，∴数列{S n }构成一个首项为1，公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2. 当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1； 又b 1＝c ＝2×1－1＝1满足b n ＝2n －1， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝b n (13)n ＝(2n －1)(13)n ，∴R n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，R n ＝1×(13)1＋3×(13)2＋5×(13)3＋…＋(2n －1)×(13)n ，①13R n ＝1×(13)2＋3×(13)3＋5×(13)4＋…＋(2n －3)×(13)n ＋(2n －1)×(13)n ＋1.② 由①－②得， 23R n ＝13＋2[(13)2＋(13)3＋(13)4＋…＋(13)n ]－(2n －1)×(13)n ＋1，化简得，23R n ＝13＋2×（13）2[1－（13）n －1]1－13－(2n －1)×(13)n ＋1＝23－2（n ＋1）3×(13)n，∴R n ＝1－n ＋13n .(3)由(1)知T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1（2n －1）×（2n ＋1） ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 014得n >1 00014，∴满足T n >1 0002 014的最小正整数n 为72.。