高中数学第一章集合与函数章末检测试卷(一)(含解析)新人教A版必修1

高中数学第一章集合与函数章末检测试卷（一）（含解析）新人教A版必修1(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁U B)等于( )A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 A解析根据补集的定义可得∁U B＝{2,5,8}，所以A∩(∁U B)＝{2,5}，故选A.2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))等于( )x 12 3f(x)230A．3B．2C．1D．0考点函数的表示法题点函数的表示法综合答案 B解析由函数图象可知g(2)＝1，由表格可知f(1)＝2，故f(g(2))＝2.3．若函数f(2x＋1)＝x2－2x，则f(3)等于( )A．0B．1C．2D．3考点求函数的解析式题点换元法求函数解析式答案 A解析∵f(2x＋1)＝x2－2x，∴f(2×2＋1)＝22－2×2，即f(3)＝0.4．函数f (x )＝1x －2x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－12上的最小值为( ) A ．1B.72C ．－72D ．－1考点 函数的最值及其几何意义 题点 由函数单调性求最值 答案 D解析 ∵f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－2，－12上为减函数，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－12－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1. 5．函数y ＝3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9B.92C ．3D.322考点 函数的最值及其几何意义 题点 二次函数最值 答案 B 解析 因为3－aa ＋6＝18－3a －a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814(－6≤a ≤3)， 所以当a ＝－32时，3－aa ＋6的值最大，最大值为92.故选B.6．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |考点 单调性与奇偶性的综合应用 题点 判断函数的单调性、奇偶性 答案 D7．已知函数f (x )＝ax 3＋bx (a ≠0)满足f (－3)＝3，则f (3)等于( ) A ．2B ．－2C ．－3D ．3 考点 函数奇偶性的应用 题点 利用奇偶性求函数值 答案 C解析 ∵f (－x )＝a (－x )3＋b (－x )＝－(ax 3＋bx )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴f (3)＝－f (－3)＝－3.8．若函数f (x )＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 C解析 f (x )＝ax ＋1的图象是一条直线，它在[1,2]上的最大值、最小值必在x ＝1,2处取到． 故有|f (1)－f (2)|＝2，即|a |＝2，∴a ＝±2.9．若函数f (x )＝ax 2＋(a －2b )x ＋a －1是定义在(－a,0)∪(0,2a －2)上的偶函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 25等于( ) A ．1B ．3C.52D.72考点 函数奇偶性的应用题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题 答案 B解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a ＋2a －2＝0，解得a ＝2.又偶函数不含奇次项，所以a －2b ＝0，即b ＝1，所以f (x )＝2x 2＋1.于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 25＝f (1)＝3.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0，若f (－a )＋f (a )≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[－2,2] 考点 单调性与奇偶性的综合应用 题点 利用奇偶性、单调性解不等式 答案 D解析 方法一 依题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a 2＋2－a ＋a 2－2a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0－a 2－2－a ＋a 2＋2a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，202－2×0≤0，解得－2≤a ≤2.方法二 f (x )是偶函数，其图象如图所示．f (－a )＋f (a )＝2f (a )≤0，即f (a )≤0.由图知－2≤a ≤2.11．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有( ) A ．最小值－8 B ．最大值－8 C ．最小值－6D ．最小值－4考点 函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用 题点 利用奇偶函数的性质求最值 答案 D解析 设x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)，∴F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＋2≤8且存在x 0∈(0，＋∞)使F (x 0)＝8. 又∵f (x )，g (x )都是奇函数，∴f (－x )＋g (－x )＝－[f (x )＋g (x )]≤6，f (x )＋g (x )≥－6，∴F (x )＝f (x )＋g (x )＋2≥－4，且存在x 0∈(－∞，0)使F (x 0)＝－4. ∴F (x )在(－∞，0)上有最小值－4. 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，设F (x )＝x 2·f (x )，则F (x )是( )A ．奇函数，在(－∞，＋∞)上单调递减B ．奇函数，在(－∞，＋∞)上单调递增C ．偶函数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增D ．偶函数，在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减 考点 单调性与奇偶性的综合应用 题点 判断函数的单调性、奇偶性 答案 B解析 F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，0，x ＝0，－x 2，x <0，其图象如图所示．故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝2，且f (x ＋1)＝f (x ＋6)，则f (10)＋f (4)＝________.考点 函数奇偶性的应用 题点 利用奇偶性求函数值 答案 －2解析 因为f (x ＋1)＝f (x ＋6)，所以f (x )＝f (x ＋5)．因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，则f (10)＝f (5)＝f (0)＝0，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. 所以f (10)＋f (4)＝－2.14．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，C ＝{x |cx ＋1＝0}，若A ＝B ，则a ＋b ＝________，若C ⊆A ，则常数c 组成的集合为________． 考点 集合相等的概念 题点 由集合相等求参数的值答案 －1 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12，0解析 ∵A ＝B ，∴1,2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－a ，1×2＝b ，即a ＋b ＝－1.当c ＝0时，集合C ＝∅⊆A ，当c ≠0时，集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1c ，∴－1c ＝1或－1c＝2.解得c ＝－1或c ＝－12.∴常数c 组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，－12. 15．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <a ，x 2，x ≥a ，若f (2)＝4，则a 的取值范围为________．考点 分段函数 题点 分段函数求参数值 答案 a ≤2解析 若2∈(－∞，a )，则f (2)＝2不合题意． ∴2∈[a ，＋∞)，∴a ≤2.16．定义在R 上的函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且x ≥1时，f (x )＝x ＋1，则f (x )的解析式为________． 考点 分段函数 题点 求分段函数解析式 答案 f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥1，2－x ＋1，x <1解析 设x <1，则2－x >1，且f (x )＝f ()x －1＋1＝f (1－(x －1))＝f (2－x )＝2－x ＋1.∴f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥1，2－x ＋1，x <1.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设集合A ＝{x |x ＋1≤0或x －4≥0}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋2，x ∈R }． (1)若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 考点 交集的概念及运算题点 由交集的运算结果求参数的值 解 ∵A ＝{x |x ＋1≤0或x －4≥0}， ∴A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}． (1)∵A ∩B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，a ＋2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≤－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤－12，∴a ＝2或a ≤－12.∴a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＝2或a ≤－12. (2)由A ∩B ＝B 知，B ⊆A ，有三种情况：①⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，a ＋2≤－1，解得a ≤－3；②⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≥4，解得a ＝2；③B ＝∅，则2a >a ＋2，解得a >2. ∴a 的取值范围为{a |a ≤－3或a ≥2}．18．(12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的值域． 考点 求函数的解析式 题点 待定系数法求函数解析式解 (1)当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)．当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x >0.(2)当－1≤x ≤0时，y ∈[0,1]． 当x >0时，y ∈[－1，＋∞)．∴函数值域为[0,1]∪[－1，＋∞)＝[－1，＋∞)． 19．(12分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值． 考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值解 (1)函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．证明如下： 任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.∵x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数． (2)由(1)知函数f (x )在[1,4]上是增函数， 故最大值f (4)＝95，最小值f (1)＝32.20．(12分)某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别将A ，B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 考点 求函数的解析式 题点 实际问题的函数解析式解 (1)设投资x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元， 依题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由图1，得f (1)＝0.2，即k 1＝0.2＝15.由图2，得g (4)＝1.6，即k 2×4＝1.6，∴k 2＝45.故f (x )＝15x (x ≥0)，g (x )＝45x (x ≥0)．(2)设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10－x 万元，设企业利润为y 万元， 由(1)得y ＝f (10－x )＋g (x )＝－15x ＋45x ＋2(0≤x ≤10)．∵y ＝－15x ＋45x ＋2＝－15(x －2)2＋145，0≤x ≤10.∴当x ＝2，即x ＝4时，y max ＝145＝2.8.因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元． 21．(12分)(2017·马鞍山检测)对于区间[a ，b ]和函数y ＝f (x )，若同时满足： ①f (x )在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为函数f (x )的“不变”区间； (1)求函数y ＝x 2(x ≥0)的所有“不变”区间； (2)函数y ＝x 2＋m (x ≥0)是否存在“不变”区间？ 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 考点 函数单调性的应用 题点 函数单调性的综合应用解 (1)易知函数y ＝x 2(x ≥0)单调递增，故有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ，b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝1，b ＝0或b ＝1，又a <b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，所以函数y ＝x 2(x ≥0)的“不变”区间为[0,1]．(2)易知函数y ＝x 2＋m (x ≥0)单调递增，若函数y ＝x 2＋m 存在“不变”区间，则有：b >a ≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋m ＝a ，b 2＋m ＝b ，消去m 得a 2－b 2＝a －b ，整理得 (a －b )(a ＋b －1)＝0. 因为a <b ，所以a ＋b －1＝0，即b ＝1－a .又⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a <1－a ，所以0≤a <12.因为m ＝－a 2＋a＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤a <12， 所以0≤m <14.综上，当0≤m <14时，函数y ＝x 2＋m (x ≥0)存在“不变”区间．22．(12分)已知函数y ＝x ＋t x有如下性质：如果常数t ＞0，那么该函数在(0，t ]上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数． (1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．考点 函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用 题点 奇偶性、单调性及最值的综合问题解 (1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，则1≤u ≤3， 则y ＝u ＋4u－8，u ∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减，所以单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12； 当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1； 由f (0)＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]． (2)g (x )＝－x －2a 为减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]． 由题意得，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≤－4，－2a ≥－3，所以a ＝32.。