[推荐学习]高中数学2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率课堂探究新人教B版必修2

2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
课堂探究
探究一直线的倾斜角
求直线的倾斜角的方法及注意点．
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：
①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；
②注意直线倾斜角的取值范围．
【典型例题1】 (1)直线x＝－1的倾斜角为( )
A．135° B．90° C．45° D．0°
解析：因为直线与x轴垂直，所以倾斜角为90°．
答案：B
(2)下列说法正确的是( )
A．一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α在第一或第二象限
C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为0°
D．不是每一条直线都有倾斜角
解析：倾斜角的定义是直线向上的方向和x轴正方向所成的角，故A错误；倾斜角的范围是0°≤α<180°，故B错误；和x轴平行的直线的倾斜角是0°，故C正确；每条直线都有倾斜角，故D错误．
答案：C
探究二求直线的斜率
1．若两点的横坐标相等，则直线的斜率不存在．
2．若两点的横坐标不相等，则将两点的坐标代入斜率计算公式．当两点的坐标中有字母时，要注意分类讨论．
【典型例题2】已知直线l经过两点A(2，－1)，B(t,4)，求直线l的斜率．
思路分析：点B的坐标中含参数t，注意分类讨论．
解：(1)当t＝2时，直线l与x轴垂直，所以直线l的斜率不存在．
(2)当t≠2时，直线l的斜率k＝4(1)
2
t
--
-
＝
5
2
t-
，
所以综上所述，当t＝2时，直线l的斜率不存在；
当t≠2时，直线l的斜率k＝
5
2
t-
．
探究三斜率公式的综合应用
利用直线的斜率公式可以解决以下几类问题：
(1)若已知直线的斜率或直线斜率间的关系，可求直线所过点的坐标中参数的值．
(2)可以判断三点是否共线．
已知三点A，B，C，若过A，B两点的直线的斜率与过A，C两点的直线的斜率相等，此时A，B，C三点共线．
【典型例题3】 (1)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．
解析：因为直线的倾斜角为钝角，
所以直线的斜率小于0，
即k PQ＝21
31
a a
a
--
-+
＝
1
2
a
a
-
+
<0，
所以－2<a<1．
答案：－2<a<1
(2)求证A(1,5)，B(0,2)，C(2,8)三点共线．
证明：(方法一)利用斜率公式计算出AB和AC两条直线的斜率，
k AB＝52
10
-
-
＝3，k AC＝
85
21
-
-
＝3．
因为直线AB和AC的斜率相同，又直线AB和AC过同一点A，所以A，B，C三点共线．(方法二)因为|AB|＝
|AC|
|BC|，
即|AB|＋|AC|＝|BC|，
所以A，B，C三点共线．
【典型例题4】已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求y
x
的最大值和最小值．
思路分析：根据y
x
的几何意义，本题的实质是求线段y＝－2x＋8(2≤x≤3)上的点与原
点连线的斜率的最值．
解：如图，由已知得，点P(x，y)在线段AB上运动，其中A(2,4)，B(3,2)，
而y x ＝00y x --，其几何意义为直线OP 的斜率． 设直线OA ，OB ，OP 的斜率分别为k OA ，k OB ，k OP ．
由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23
，k OA ＝2． 故所求的y x 的最大值为2，最小值为23
． 点评利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可以写成1212
y y x x -- (x 1≠x 2)的形式，从而联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用几何图形的直观性来分析解决问题．
探究四 易错辨析
易错点：忽视了倾斜角的范围而致误
【典型例题5】 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点按逆时针方向旋转30°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )
A ．α＋30°
B ．α－150°
C ．150°－α
D ．当0°≤α<150°时为α＋30°，当150°≤α<180°时为α－150°
错解：直线l 按逆时针方向旋转30°，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l 1的倾斜角为α＋30°．
答案：A
错因分析：没有考虑到α＋30°会大于或等于180°，这样就不满足倾斜角θ的范围为0°≤θ<180°了．
正解：要分类讨论，旋转30°后，看α＋30°是否是集合{θ|0°≤θ<180°}中的元素．若是，则l 1的倾斜角为α＋30°；若不是，则l 1的倾斜角为α＋30°－180°＝α－150°．
答案：D。