高中数学-直线的方程的几种形式
直线方程公式大全
直线方程公式大全一、一般式方程直线的一般式方程表示为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
直线方程大全中的其他形式可以通过一般式方程推导得出。
二、斜截式方程斜截式方程是直线方程的另一种常见形式。
它表示为 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为截距。
三、截距式方程截距式方程也是直线方程的一种常见形式，表示为 x/a + y/b = 1，其中 a、b 分别为 x 轴和 y 轴的截距。
四、两点式方程两点式方程通过直线上的两个点来表示直线方程。
设直线上的两个点为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则两点式方程表示为 (y - y1) = ((y2 - y1)/(x2 - x1))(x - x1)。
五、点斜式方程点斜式方程利用直线上的一个已知点的坐标和该直线的斜率来表示方程。
设已知点为 (x1, y1)，斜率为 m，则点斜式方程表示为 y - y1 = m(x - x1)。
六、垂直线方程垂直线的特点是斜率不存在，所以其方程可以表示为 x = a，其中 a 为与 y 轴垂直的线在 x 轴上的截距。
七、水平线方程水平线的特点是斜率为零，所以其方程可以表示为 y = a，其中 a 为与 x 轴平行的线在 y 轴上的截距。
八、点式方程点式方程是直线方程中最简单的形式，利用直线上的一个已知点的坐标来表示直线方程。
设已知点为 (x1, y1)，则点式方程表示为 (y - y1) = m(x - x1)，其中 m 为直线的斜率。
九、角平分线方程角平分线是将一个角平分成两个相等的角的线段。
设角的两边斜率分别为 m1 和 m2，角平分线的斜率可表示为 m = (m1 + m2)/2，将平分线上的一个点坐标 (x1, y1) 代入点斜式方程可得到角平分线方程。
十、法线方程直线的法线是与该直线垂直的直线。
设直线的斜率为 m，法线的斜率可表示为-1/m，再通过已知点 (x1, y1) 可以得到法线方程。
高二数学直线及方程知识点
高二数学直线及方程知识点直线及方程是高中数学中重要的知识点之一，对于理解几何形状和解决实际问题都具有重要的作用。
本文将介绍高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线的关系等内容。
希望通过本文的阅读，能够帮助同学们更好地理解和掌握直线及方程的知识。
1. 直线方程的表示形式直线方程的表示形式通常有一般式、截距式和斜截式等。
一般式的直线方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数且A和B不同时为0。
截距式的直线方程形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示x轴和y轴上的截距。
斜截式的直线方程形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
2. 直线的性质与判定直线具有很多重要的性质，包括平行、垂直、相交等。
两条直线平行的判定条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的判定条件是它们的斜率的乘积为-1。
两条直线相交时，它们的交点可以通过联立两条直线的方程求解得到。
此外，对于一条直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，其斜率可以通过Δy/Δx来计算。
3. 直线与曲线的关系直线与曲线之间有时会有特殊的关系，比如切线和法线。
曲线在某一点的切线是曲线在该点处与切线相切，切线的斜率等于曲线在该点的导数。
曲线在某一点的法线是与切线垂直的直线，其斜率等于切线的斜率的相反数。
通过分析曲线的性质及其方程，我们可以画出曲线在不同点处的切线和法线。
4. 直线与线段的关系直线和线段也有一些特殊的关系，比如线段的中垂线和角平分线。
线段的中垂线是线段的中点与线段所在直线的垂线，中垂线会将线段平分成两个相等的部分。
线段的角平分线是线段的两边所在直线的夹角的平分线，角平分线将角分成两个相等的角。
总结：本文介绍了高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线、线段的关系等内容。
通过对这些知识点的理解和掌握，可以帮助同学们更好地应对数学学习中的问题和挑战，为解决实际问题提供有力的数学工具。
高中数学-直线的方程
直线的方程1.直线的点斜式方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程和截距式方程4.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.5.直线的一般式方程6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系直线的点斜式方程知识点1 求直线的点斜式方程【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A (－4，3)，斜率k ＝2； (2)经过点B (－1，4)，倾斜角为45°； (3)过点C (－1，2)，且与x 轴平行； (4)过点D (2，1)和E (3，－4)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2，5)，斜率是4； (2)经过点B (2，3)，倾斜角是135°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．知识点2 直线的斜截式方程【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是-5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－8；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为8.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是45°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.知识点3 点斜式、斜截式方程的综合应用(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？【变式训练3-1】求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?课堂练习1．过点()3,2，斜率是23的直线方程是（ ） A ．243y x =+ B ．223y x =+ C ．230x y -=D ．320x y -=2．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B 直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．直线y ＝3(x －3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( )A ．3，3B ．3，－3C ．3，3D ．－3，－3 4．直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <05．过点()2,0且与直线25y x =+垂直的直线l 的方程是（ ）A ．24y x =-B ．24y x =-+C ．112y x =- D ．112y x =-+ 6．已知直线l 过点()2,0，且与直线21y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．24y x =-+D ．24y x =--7．直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是________．8．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________．9．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________．10．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．11．写出下列直线的斜截式方程：(1)直线的倾斜角为45°且在y 轴上的截距是1； (2)直线过点A (3，1)且在y 轴上的截距是－1.12．(1)求经过点(1，1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的点斜式方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5平行的直线的斜截式方程．直线的两点式方程知识点1 直线的两点式方程【例1-1】已知三角形的顶点是A (1，3)，B (－2，－1)，C (1，－2)，求这个三角形三边所在直线的方程．【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0知识点2 直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A (3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程．【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？知识点3 直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．课堂练习1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为()A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－22．（红桥区期中）经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是()A.x4＋y3＝1 B.x3＋y4＝1C.x4－y3＝1 D.x3－y4＝13．（江宁区校级月考）过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为()A．5x＋3y－25＝0 B．5x－3y－25＝0C．3x－5y－25＝0 D．5x－3y＋25＝05．（朝阳区校级月考）已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是() A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或16．（庐江县校级期末）点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则()A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝57．（海淀区校级期末）已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________．8．（红岗区校级期末）过点P(3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．9．（兴庆区校级期末）求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．10．（城关区校级期末）求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．能力提升1．（鼓楼区校级期末）两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()2.（秦州区校级期末）直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．4．（启东市校级月考）已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 5．（杨浦区校级期末）在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．直线的一般式方程知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3B ．－5C.95D ．－33【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A (5，3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． (2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)过点(－1，3)，且与l 垂直．【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l 经过点P (2，1)，且与直线2x －y ＋2＝0平行，那么直线l 的方程是( ) A ．2x －y －3＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x －y －4＝0D ．x －2y －4＝0【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________．课堂练习1．（芜湖校级月考）已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．（辽源期末）若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－124．（宜兴县校级期中）直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )5．（城关区校级期末）直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2B ．2C ．－3D ．36．（金凤区校级期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________． 7．（越秀区校级期末）已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________． 8．（凯里市校级期末）已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．9．（和平区校级期中）若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m需满足的条件；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．10．（如东县期中）(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？能力提升1．（昌江区校级期末）若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3能构成三角形，则a满足的条件是________．2．（河南校级月考）已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，－1)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．11/ 11。
直线的一般式方程与直线的性质-高中数学知识点讲解
直线的一般式方程与直线的性质1．直线的一般式方程与直线的性质【直线的一般式方程】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．【知识点的知识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B 不同时为 0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=―퐴퐵x ―퐶퐵，表示斜率为―퐴퐵，y 轴上截距为―퐶퐵的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0 平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0 垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2 的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1 不同时为 0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2 不同时为 0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1 与l2 重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1 与l2 相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．퐴1如果A2B2C2≠0 时，则l1∥l2⇔퐴2=퐵1퐵2≠퐶1퐴1；l1 与l2 重合⇔퐴2=퐶2퐵1퐵2=퐶1퐴1；l1 与l2 相交⇔퐴2≠퐶2퐵1퐵2．1/ 1。
直线方程知识点归纳总结高中
直线方程知识点归纳总结高中直线方程是高中数学学科中重要的知识点之一，它在解析几何和代数中起着重要的作用。
本文将对高中直线方程的相关内容进行归纳总结，包括直线的一般方程、点斜式方程、两点式方程和截距式方程等几种常见形式。
同时，还将对直线的斜率和截距的概念进行解释，并提供相关的例题进行说明。
一、直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
这种形式的直线方程比较通用，可以表示任意一条直线。
在求解问题时，可以通过已知条件将直线方程转化为一般方程的形式，然后进一步进行计算。
例如，已知直线过点P(2, 3)且斜率为2，我们可以先利用斜率公式求得直线的斜率k=2。
然后，代入点斜式方程y - y₁ = k(x - x₁)中的点P的坐标，得到直线的点斜式方程为y - 3 = 2(x - 2)。
最后，将该点斜式方程转化为一般方程的形式，得到2x - y - 1 = 0。
二、直线的点斜式方程点斜式方程形式为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上一点的坐标，k为直线的斜率。
点斜式方程主要用于确定直线上一点和直线的斜率，通过已知条件和该点斜率可以确定直线方程。
例如，已知直线过点A(-1, 4)且斜率为-3，我们可以直接利用点斜式方程得到直线的方程为y - 4 = -3(x - (-1))，简化后为y = -3x + 1。
三、直线的两点式方程两点式方程形式为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点的坐标。
两点式方程可以直接得到直线的方程，适用于已知直线上两个点的坐标的情况。
例如，已知直线上两点A(-2, 1)和B(3, 4)，我们可以通过两点式方程求得直线的方程为(y - 1)/(x - (-2)) = (4 - 1)/(3 - (-2))，简化后为3x - y+ 5 = 0。
高中数学新课程创新教学设计案例--直线方程的几种形式
23直线方程的几种形式教材分析这节内容介绍了直线方程的几种要紧形式：点歪式、两点式和一般式，并简单介绍了歪截式和截距式．直线方程的点歪式是其他直线方程形式的本源，因此它是本节学习的重点．在推导直线方程的点歪式时，要使学生理解：〔1〕建立点歪式的要紧依据是，通过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，其歪率等于k．〔2〕在得出方程后，要把它变成方程y－y1＝k〔x－x1〕．因为前者表示的直线缺少一个点P1〔x1，y1〕，而后者才是这条直线的方程．〔3〕当直线的歪率不存在时，不能用点歪式求它的方程，这时的直线方程为x＝x1．在学习了点歪式的本源上，进一步介绍直线方程的其他几种形式：歪截式、两点式、截距式和一般式，并探究它们的适用范围和相互联系与区不．通过研究直线方程的几种形式，指出它们基本上关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程，都能够写成关于x，y的一次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后接着学习“曲曲折折线和方程〞打下本源．因为这局限内容较为抽象，因此它是本节学习的难点．教学目标1.在“直线与方程〞和直线的歪率本源上，引导学生探究由一个点和歪率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法．2.理解和把握直线方程的点歪式，并在此本源上研究直线方程的其他几种形式，把握它们之间的联系与区不，并能依据条件熟练地求出直线方程．3.理解直线和二元一次方程的关系，并能用直线方程解决和研究有关咨询题．4.通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、开发和运用的过程，培养学生多向思维的能力．任务分析这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的歪率本源上，具体地研究直线方程的几种形式，而这几种形式的要害是推导点歪式方程．因此，在推导点歪式方程时，要使学生理解：明确直线的歪率和直线上的一个点，这条直线就确定了，进而直线方程也就确定了．求直线方程确实是基本把直线上任一点用歪率和直线上明确点来表示，如此由两点的歪率公式即可推出直线的点歪式方程．在直线的点歪式方程本源上，由学生推出直线方程的其他几种形式，并使学生明确直线方程各种形式的使用范围，以及它们之间的联系与区不．关于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点，在论证直线和方程的关系时，一方面分歪率存在与歪率不存在两类，另一方面又分B≠0与B＝0两类．这种“两分法〞的分类，科学严密，可培养学生全面系统和周密地讨论咨询题的能力．教学设计一、咨询题情境飞逝的流星形成了一条漂亮的弧线，这条弧线能够瞧作满足某种条件的点的集合．在平面直角坐标系中，直线也能够瞧作满足某种条件的点的集合．为研究直线咨询题，须要建立直线的方程．直线可由两点唯一确定，也可由一个点和一个方一直确定．假如明确直线上一个点的坐标和歪率，那么如何建立这条直线的方程呢？二、建立模型1.教师提出一个具体的咨询题假如直线l通过点A〔－1，3〕，歪率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标满足什么条件？设点P的坐标为〔x，y〕，那么当P在直线l上运动时〔除点A外〕，点P与定点A 确定的直线确实是基本l，它的歪率恒为－2，因此＝－2，即2x＋y－1＝0．显然，点A〔－1，3〕满足此方程，因此，当点P在直线l上运动时，其坐标〔x，y〕满足方程2x＋y－1＝0．2.教师明晰一般地，设直线l通过点P1〔x1，y1〕，且歪率为k，关于直线l上任意一点P〔x，y〕〔不同于点P1〕，当点P在直线l上运动时，PP1的歪率始终为k，因此，即y－y1＝k〔x－x1〕．能够验证：直线l上的每个点〔包括点P1〕的坐标基本上那个方程的解；反过来，以那个方程的解为坐标的点都在直线l上，那个方程确实是基本过点P1、歪率为k的方程，我们把那个方程喊作直线的点歪式方程．当直线l与x轴垂直时，歪率不存在，其方程不能用点歪式表示，但因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，因此它的方程是x＝x1．考虑：〔1〕方程与方程y－y1＝k〔x－x1〕表示同一图形吗？〔2〕每一条直线都可用点歪式方程表示吗？［例题］求满足以下条件的直线方程．〔1〕直线l1：过点〔2，5〕，k＝－1．〔2〕直线l2：过点〔0，1〕，k＝－.〔3〕直线l3：过点〔2，1〕和点〔3，4〕．〔4〕直线l4：过点〔2，3〕平行于y轴．〔5〕直线l5：过点〔2，3〕平行于x轴．参考答案：〔1〕x＋y－7＝0．〔2〕y＝－x＋1．〔3〕3x－y－5＝0．〔4〕x＝2．〔5〕y＝3．［练习］求以下直线方程．〔1〕明确直线l的歪率为k，与y轴的交点P〔0，b〕．〔假如直线l的方程为y＝kx＋b，因此称b是直线l在y轴上的截距，那个方程喊直线的歪截式方程〕〔2〕明确直线l通过两点P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕．〔假如直线l的方程为y－y1＝〔x－x1〕，〔x1≠x2〕，因此那个方程喊直线的两点式方程〕〔3〕明确直线l通过两点A〔ａ，0〕，B〔0，b〕，其中ab≠0．〔假如直线l的方程为，〔ab≠0〕，因此a，b分不称为直线l在x轴、y轴上的截距，那个方程喊直线的截距式方程〕进一步考虑讨论：前面所学的直线方程的几种形式基本上关于x，y的二元一次方程，那么任何一条直线的方程是否为关于x，y的二元一次方程？反过来，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？通过学生讨论后，师生共同明晰：在平面直角坐标系中，每一条直线的方程基本上关于x，y的二元一次方程．事实上，当直线歪率存在时，它的方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，假如设A＝k，B＝－1，C＝b，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0；当直线歪率不存在时，它的方程可写成x＝x1，即x－x1＝0，设A＝1，B＝0，C＝－x1，它的方程可化为Ax＋By＋C ＝0．即任何一条直线的方程都能够表示为Ax＋By＋C＝0；反过来，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0，〔A，B不全为0〕的图像是一条直线．事实上，关于方程Ax＋By＋C＝0，〔A，B不全为0〕，当B≠0时，方程可化为y＝－x－，它表示歪率为－，在y轴上截距为－的直线；当B＝0时，A≠0，方程可化为x＝－，它表示一条与ｙ轴平行或重合的直线．综上可知：在平面直角坐标系中，直线与关于x，y的二元一次方程是一一对应的．我们把方程Ax＋By＋C＝0，〔A，B不全为0〕喊作直线的一般式方程．三、解释应用［例题］1.明确直线l通过点〔－2，5〕，且歪率为－．〔1〕求直线的一般式方程．〔2〕求直线在x轴、y轴上的截距．〔3〕试画出直线l．解答过程由学生讨论回复，教师适时点拨．2.求直线l：2x－3y＋6＝0的歪率及在x轴与y轴上的截距．解：明确直线方程可化为y＝x＋2，因此直线l的歪率为，在y轴上的截距为2．在方程2x－3y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－3，即直线在x轴上的截距为－3．［练习］1.求满足以下条件的直线方程，并画出图形．〔1〕过原点，歪率为－2．〔2〕过点〔0，3〕，〔2，1〕．〔3〕过点〔－2，1〕，平行于x轴．〔4〕歪率为－1，在y轴上的截距为5．〔5〕在x轴、y轴上的截距分不为3，－5．2.求过点〔3，－4〕，且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程．3.设直线l的方程为〔m2－2m－3〕x＋〔2m2＋m－1〕y＝2m－6，依据以下条件确定m 的值．〔1〕直线l在x轴上的截距为－3．〔2〕直线l的歪率为1．〔3〕直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为10．四、拓展延伸1.在直线方程y－1＝k〔x－1〕中，k取所有实数，可得到很多条直线，这很多条直线具有什么共同特点？2.在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A，B，C分不满足什么条件时，直线有如下性质：〔1〕过坐标原点．〔2〕与两坐标轴都相交．〔3〕只与x轴相交．〔4〕只与y轴相交．〔5〕与x轴重合．〔6〕与y轴重合．3.直线方程的一般式与几种特不形式有什么区不与联系？你能讲明它们的适用范围以及相互转化的条件吗？参考答案：1.直线过点〔1，1〕，它不包括直线x＝1．2.〔1〕C＝0．A，B不全为0；〔2〕A，B都不为0．〔3〕A≠0，B＝0，C≠0．〔4〕A＝0，B≠0，C≠0．〔5〕A＝0，B≠0，C＝0．〔6〕A≠0，B＝0，C＝0．3.略．点评这篇案例在直线与方程和直线的歪率本源上，通过实例探究出过一点且歪率明确的直线的方程，然后按照由特不到一般的方程建立了直线的点歪式方程，在点歪式方程的本源上由学生自主的探究出直线方程的其他形式，并研究了几种直线方程的联系与区不以及它们的适用范围．在案例的设计上注重了知识的发生、开发和适用的过程．在例题与练习的设计上，注重了层次性和知识的完整性的结合，在培养学生的能力上，注重了数学的实质是数学思维过程的教学，显示了数形结合、化回、转化、抽象、概括以及函数与方程的思想．在培养学生创新意识、探究研究、分析解决咨询题的能力等方面，做了一些尝试，显示了新课程的教学理念，能够较好地完本钱节的教育教学任务．。
高中数学极坐标系与参数方程---直线参数方程
1 t sin
t cosα代入x α
y
3
0中，
1 t cosα t sinα 3 0 t 4
cosα sin α
| PN || t ||
4
|
cosα sin α
4
| PM | | PN | | 2(cosα sin α) | | cosα sin α |
8
t1 t2 2 2 sin α
tP
t1 t2 2
2 sin α
P在l上
P(
x,
y)满足x y
2
sin 2
α
cos α 2 sin
2
α
x
y
2 sin 2α 2 2 2
22
cos
, 2α
(α为参数，α
（π，3π）) 44
在平面直角坐标系
xOy中，曲线
C1过点P(a,1),
其参数方程为
bt a2 b2
在直角坐标系
xOy中，曲线 C的参数方程为
x
y
2 cosθ ,
4sin θ
(θ为参数）.直线l的参数方程为
x
y
1 t cos 2 t sin
α ,
α
(t为参数）.
(1)求C和l的直角坐标方程 .
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为 （1,2），求l的斜率.
消参
(1)C
t1 t2 2 2 t1t2 2 8a
a
1 36
0,
符合题意
t1 2t2
t1 t2 t1t2
2 2 2 8a
a
9
0,
t1 2t2
4
符合题意
在平面直角坐标系
高中数学直线的方程
课题：_直线的方程___教学任务教学目标知识与技能目标理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。
过程与方法目标学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中，理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。
情感,态度与价值观目标在探究活动中，培养学生的观察、分析的思维能力。
重点掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。
难点理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法教学流程说明活动流程图活动内容和目的活动1课前热身－练习重温概念领会新知活动2 概念性质－反思掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。
活动3提高探究－实践理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法活动4归纳小结－感知让学生在合作交流的过程总结知识和方法活动5巩固提高－作业巩固教学、个体发展、全面提高教学过程设计问题与情境设计意图活动1课前热身（资源如下）1、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按__________________________________________________________,那么角就叫做直线的倾斜角。
规定：当直线和x轴平行或重合时其倾斜角为：_ __，所以直线的倾斜角的取值范围是：_______________.2、直线的斜率是指：_____________________________________________.3、经过两面点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线的斜率公式为：k=_______________.4、直线方程的五种形式及其应用范围：方程名称方程形式应用条件点斜式斜截式点方向式一般式点法向量式重温概念领会新知活动2概念性质1、直线方程的各种形式点斜式斜截式形式：)(xxkyy-=-形式：bkxy+=截距式形式：1=+byax一般式=++cByAx★特殊的直线方程2、直线的斜率1、定义：倾斜角的正切值，)90(≠α90=α斜率不存在。
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学点一 直线的点斜式方程 求倾斜角为直线y= - 3 x+1的倾斜角的一半且分别满 足下列条件的直线方程: (1)经过点(-4,1); (2)在y轴上的截距为-10.
【分析】通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率， 再分别由直线的点斜式方程和斜截式方程求解.
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【解析】直线y= - 3x+1的斜率为 3,可知此直线的 倾斜角为120°,由题意知所求直线的倾斜角为60°,故 所求直线的斜率k= 3 . (1)由于直线过(-4,1),由直线的点斜式方程得 y-1= 3(x+4)，即 3x-y+1+4 3=0. (2)由于直线在y轴上的截距为-10,所以由直线的斜截 式方程得y= 3x-10,即 3 x-y-10=0.
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4.利用待定系数法求直线方程时,要能根据题中所给
已知条件选用最恰当的形式,并能根据问题的需要灵
活准确地进行互化.在研究无特殊限制的直线情况时,
常将直线化为一般形式,而当研究直线的斜率与倾斜
角时,又以直线的斜截式最为方便,也常将直线方程
的一般式化为斜截式:当B≠0时,直线方程为
y=- A x- C , 其中- A为直线的斜率,- C为直线在y
m2 -2m-3 (2)当斜率为-1时,有 - m2 -2m-3 1 ,但要注意
2m 2 m-1 2m2+m-1≠0.
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【解析】(1)由题意可得
m2-2m-3≠0 ① 2m-6 3 ②
m 2 -2m -3
由②解得m=3或m= 5 .
3
分别代入①检验可知m= 5 .
3
(2)由题意可得
2m2+m-1≠0 ③
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三角形的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 如图2-4-1所示,求这个三角形三边所在直线的方程.
AB边所在直线的方程,由两点式 得 y-0 x-(-5 ) 即3x+8y+15=0;
-3-0 3-(-5 )
BC边所在直线的方程,由斜截式
得 y 2-(-3 ) x 2 ,即
∴直线方程为 x y 1或 x y 1 .
93
-4 16
即x+3y-9=0或4x-y+16=0.
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学点四 直线的一般式方程 设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下 列条件分别确定m的值.
(1)l在x轴上的截距是-3;
(2)l的斜率是-1.
【分析】(1)要使直线在x轴上的截距为-3,令y=0, 得 x 2m-6 3 ,但要注意m2-2m-3≠0.
(1)当直线l过原点时,该直线l在x轴和y轴上的截距都为零, 当然相等,此时a=2,方程为3x+y=0. 若a≠2,由l在两坐标轴上的截距相等有 a-2 a-2 ,
a 1 即a+1=1,∴a=0,l的方程为x+y+2=0. 综上可知l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
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(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
(3)与x,y轴都相交; (4)过原点.
【分析】把直线的几何条件,借助图形转化为直线的 斜率、截距等条件,从而转化为A,B,C满足的条件.
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【解析】(1)∵与x轴垂直的直线方程为x=a,即x-a=0. 它缺少关于y的一次项,∴B=0. 故当B=0且A≠0时,直线Ax+By+C=0与x轴垂直. (2)类似于(1)可知当A=0,但B≠0时,直线Ax+By+C=0与y 轴垂直. (3)要使直线与x,y轴都相交,则它与两轴都不垂直,由 (1)(2)知当A≠0且B≠0,即A·B≠0时,直线Ax+By+C=0与 x轴,y轴都相交. (4)将x=0,y=0代入Ax+By+C=0得C=0, 故当C=0时,直线Ax+By+C=0过原点.
方程为 y - 1 x - 2 , 即 y - 1 - 3 .
-2-1 6-2
x-2 4
∴直线的点斜式方程为y-1= 3(x-2).
直线的截距式方程为
x 10
y4 5
1
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直线的斜截式方程为y=
3
3
x+2
5
.
4
2
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【评析】①给出两点坐标求直线方程时,应先观察是 否有y1≠y2或x1≠x2,否则直线的方程应直接写出.②一 条直线的方程可以有多种表达形式,但在坐标系中画 出的图形应为一条直线,因此，要注意掌握多种形式 之间的关系.
0-3
5x+3y-6=0;AC边所在直线的方程,
由截距式得,即 x y 1
-5 2
2x-5y+10=0.
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学点三 直线的截距式方程 已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,求 直线l的方程.
【分析】直线l满足的两个几何条件是:(1)过点(3,-2);(2) 在两坐标轴上的截距相等.若设a,b分别为l在两轴上的截 距,则有a=b,但要注意a=b=0时的情形.
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【评析】（1）截距不是距离,它可正可负,也可以 为0. （2）注意截距式方程的适用范围,否则易漏解.
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求经过点A(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和等于12的 直线方程.
解法一:设直线方程为y-4=k(x+3)(k≠0),
当x=0时,y=3k+4;
当y=0时, x 4 -3 .
∵3k+4-
【解析】解法一:依题意,直线l的斜率存在且不为0,设其
斜率为k,则可得直线的方程为y+2=k(x-3).
令x=0,得y=-2-3k; 令y=0,得x= 2 +3.
由题意知-2-3k=3+ 2,
k
解得k=-1或k=-
2.
k
3
∴l的方程为y+2=-(x-3)或y+2=- 2 (x-3).
3
即为x+y-1=0或2x+3y=0.
由①②解得 k=4 b=16
②
k= 1 3
或 b=3.
∴直线方程为y=4x+16或y=-13x+3,
即4x-y+16=0或x+3y-9=0.
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解法三:设直线方程为 x y 1 ,
a 12-a
∵直线经过点A(-3,4),
∴ -3 4 1.
a 12-a
整理得a2-5a-36=0,
∴a=9或a=-4.
B
B
即直线Ax+By+C=0的斜率小于0,在y轴上截距大于0.
∴直线不通过第三象限.故应选C.)
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1.如何理解直线的点斜式方程?
直线的点斜式方程是由直线的一个点和直线的斜率 通过斜率公式导出的,由 k y-y1 化成y-y1=k(x-x1), 前者表示除去一点的直线,而x后-x1者表示整条直线.当 直线的斜率不存在时不能用点斜式求它的方程,这时 直线平行于y轴或者与y轴重合,直线的方程可以写成 x=x1,在点斜式方程y-y1=k(x-x1)中,如果x1=0且y1=b, 它可改写成y=kx+b,其中b为该直线在y轴上的截 距,k≠0，这就是一次函数的表达式,该种形式的方 程称为直线的斜截式方程.
m 2 -2m-3 -
1
④
2m 2 m-1
由④解得m=-1或m=-2.
分别代入③检验得m=-2.
【评析】 一般式化为特殊式是在一定的条件下进行, 若忽视了该条件,则易出现失误,导致题目解错.
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设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
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(3)由于直线经过点P(3,4)且与x轴垂直,所以 直线方程为x=3.如图丙所示.
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学点二 直线的两点式方程 求经过A(2,1)与B(6,-2)两点的直线的两点式方 程,并把它们化为点斜式、截距式、斜截式.
【分析】利用直线的两点式方程求解.
【解析】∵直线过点A(2,1),B(6,-2),∴直线的两点式
【评析】将直线的方程求出后,为了统一答案的形式,如 果没有特别要求,都将直线的方程化为Ax+By+C=0的形式.
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分别求出经过点P(3,4)且满足下列条件的 直线方程, 并画出图形: (1)斜率k=2; (2)与x轴平行; (3)与x轴垂直.
(1)这条直线经过点P(3,4),斜率k=2,所以直线的点斜式方 程为y-4=2(x-3),即2x-y-2=0.如图甲所示. (2)由于直线经过点P(3,4)且与x轴平行,所以直线方程为 y=4.如图乙所示.
线与x轴相交于点(a,0),与y轴相交于点(0,b)时, 直线的两点式方程变为 x y 1 ,称该种形式的
ab
方程为直线的截距式方程.
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1.直线方程概念的理解应注意两个方面: (1)以方程的每一组解为坐标的点都在直线上. (2)直线上的任一点的坐标都满足关于x,y的二元一次 方程. 2.截距不是距离更不是长度,是直线与坐标轴交点处 的横(或纵)坐标,可以是正值、负值,也可以是零. 3.涉及用斜率求直线方程的问题时,应时刻注意斜率 不存在的情况,避免漏解.
y1≠y2),则直线l的方程为
y-y1 x-x1 y2-y1 x2-x1
,该方程叫做l
的 两点式 方程.
4.设直线l在x轴上的截距为a(a≠0),在y轴上的截距为
b(b≠0),则直线l的方程为
x y 1 ab
,该方程叫做
l的 截距式 方程.
5.直线的一般式方程为 Ax+By+C=0(A2+B2≠0) .