高二下期尖子生对抗赛数学试题(理)

太康一高2013-2014年度下期高二尖子生对抗赛数 学（理）试 题一、选择：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的）1、已知全集为R ，集合)}2lg(|{2x x y x A -==，}1|{xx x B >=，则=）（B A C R （ ） .A ]01[，- .B }0{]1,( --∞ ]10[.，C ]10[]1,(.， --∞D 2、已知命题22+∈∃mx R x p ，：≤0，0122>+-∈∀mx x R x q ，：，若q p ∨为假命题，则实数m 的取值范围是 （ ） .A ),1[∞+ .B ]1,(--∞ .C ]2,(--∞ .D ]11[，-3、函数133-=x x y 的图象大致是 （ ）4、执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8， 则判断框内m 的取值范围是 ( B ).A (30,42].B (42,56] .C (56,72] .D (30,72)5、设曲线1323+-=x x y 在点（1，1-）处的切线与直线012=+-ay x 平行，则a 等于（ ）.A 32-.B 6- .C 32.D 66、设曲线*)(1N n xy n ∈=+在)1,1(处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则201320142201412014log log log x x x +++ 的值为 （ ） .A 2013log 2014- .B 1 .C 1)2013(log 2014- .D 1-7、 等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =--- ，则=')0(f （ ）.A 0 .B 92 .C 152 .D 1228、已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为O xyABxy OOCyxDOxy（ B ）9、若点M 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足AC AB AM 35+=，则ABM ∆与ABC ∆的面积之比为 .A51 .B 52 .C 53 .D 259（ ） 10、已知0>a ，y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥),3(,3,1x a y y x x 若y x z +=2的最小值为1，则=a （ ）.A41 .B 21.C 1 .D 2 11、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作垂直于AF 的直线交椭圆C 于另外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ，且PQ AP 58=，则椭圆C 的离心率为 （ ） .A 22 .B 33 .C 31 .D 21 12、数列}{n a 满足11=a ，且对任意的*N n m ∈，都有mn a a a n m n m ++=+，20143211111a a a a ++++ 等于 （ ）.A 20154028 .B 20142013.C 20132012 .D 20122011二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填在题中横线上）.13、已知函数)(x f （R x ∈）满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)(<'x f ，则212)(+<x x f 的解集为 . 14、若⎰=2121dx x S ，⎰=2121dx xS ，⎰=213dx e S x ，则321S S S ，，的大小关系是 .15、在正三棱锥ABC S -中，N M ，分别是BC SC ，的中点，且AM MN ⊥，若侧棱32=SA ，则正三棱锥ABC S -的外接球的表面积是 .16、已知圆0422221=-+++a ax y x C ：（R a ∈）与圆0122222=+--+b by y x C ：（R b ∈）恰有 三条公切线，则b a +的最小值为 .三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17、（本题满分10）已知c b a ，，是ABC ∆三边长，关于x 的方程02222=---b x b c ax （b c a >>）的两根 之差的平方等于4，ABC ∆的面积310=S ，7=c . （1）求C ∠； （2）求c b a ，，的值.18、（本题满分12分）已知等差数列}{n a 满足：73=a ，2675=+a a ，}{n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ； （2）令112-=n n a b （*N n ∈），求数列}{n b 的前n 项和n T .19、（本题满分12分）某网店专卖当地某种特产，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产的日销售量y （单位： 千克）与销售价格x （单位：元/千克，x <1≤5）满足：当x <1≤3时，1)3(2-+-=x bx a y （b a ，为常数）；当x <3≤5时，49070+-=x y ，已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出 该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出该特产150千克. （1）求b a ，的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润 )(x f 最大（x 精确到0.01元/千克）.21（本题满分12分）22、（本题满分12分）已知函数x ax x f ln 1)(--=（R a ∈）. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，不等式)(x f ≥2-bx 对任意),0(+∞∈x 恒成立， 求实数b 的取值范围；（3）当1->>e y x 时，证明不等式).1ln()1ln(x e y e yx+>+太康一高2013-2014年度下期高二尖子生对抗赛数 学（理）参考答一、选择题 DA DDBCBBACBA二、填空题 13、}1|{>x x ； 14、312S S S <<； 15、π36； 16、23-. 三、6．解析：由题知，当输出结果k ＝8时，S ＝2(1＋2＋3＋…＋7)＝56；当输出结果k ＝7时，S ＝2(1＋2 ＋3＋…＋6)＝42，结合程序框图知，选B.8、解析：由正视图和俯视图画出如图所示的直观图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥ 底面ABC ，故其侧视图是一直角三角形，其一条直角边为P A ，另一条直角边 长为B 到AC 的距离 3. 答案：B9、设AB 的中点为D ，由AC AB AM 35+=，得AM AD AC AM 2233-=-，即MD CM 23=，∴CD MD 53=，也就是ABM ∆与ABC ∆对于边AB 的高之比为3 ： 5，则A B M ∆与ABC ∆的面积比为3:5. 三、解答题17.解：（1）设21x x ，为方程02222=---b x b c ax 的两根，则a b c x x 22212-=+，ab x x -=21................................... 2分∴444422221221221=+-=-+=-aba b c x x x x x x ）（）（）（，∴ab c b a =-+222 ①...................4分 由余弦定理ab c b a C 2cos 222-+=，∴.6021cos =∠∴=C C ，...........................................6分（2）由310sin 21==C ab S ，∴40=ab ，由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=，即 ）（）（ 60cos 1222+-+=ab b a c ，∴）（）（211402722+⨯-+=b a ，∴13=+b a ②.....8分 由①②得 .58==b a ，...........................................................................................................10分.18.解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2............[4分]所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .....................................................................................[6分](2) 由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11141n n .....................................[8分] 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)................................................................[10分]＝14·(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1)............................[12分]19、解：（1）因为2=x 时，700=y ；3=x 时，150=y ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==+,1502,700b b a ，解得⎩⎨⎧==.300,400b a每日的销售量⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-=)53(49070),31(1300)3(4002x x x x x y .............................6分 （2）由（1）知，当x <1≤3时，每日销售利润)1](1300)3(400[)(2--+-=x x x x f x x x x x x <+-+-=+--=1300915740030013400232（）（）（）（≤3）........8分).15143(400)(2+-='x x x f 令0)(='x f 得35=x 或3=x ，当351<<x 时，0)(>'x f ， )(x f 单调递增；当335<<x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减. ................10分 ∴35=x 是函数)(x f 在（1,3]上的唯一极大值点，700300273240035>+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ；当x <3≤5时， 每日销售利润=)(x f )78(70)1(490702+--=-+-x x x x ）（，)(x f 在4=x 时有最大值，且 )35(630)4(f f <=. 综上所述，销售价格67.135≈=x 元/千克时，每日利润最大........12分.20、解：分别取11C A AC ，的中点1O O ，，连接1OO OB ，，根 据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则有 )010(，，A ，)003(，，B ，)203(1，，B ，)210(1，，C , 设)20(，，λD .............................2分 （1）设平面D AB 1的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，001AD m AB m 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅=⋅，，0)2,1,0(),,(0)2,1,3(),,(λz y x z y x∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++，，02)1(023z y z y x λ 令1=y ，解得.213+-==λλz x ， 即平面D AB 1的法向量为)2113(+-=λλ，，m ...........................................5分22、（1）解：xax x a x f 11)(-=-='（0>x ）. 当a ≤0时，01<-ax ，从而0)(<'x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递减； 当0>a 时，若ax 10<<，则01<-ax ，从而0)(<'x f ，若a x 1>，则01>-ax ，从而0)(>'x f ，函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛∞+，a 1上单调递增.......................................................4分 （2）解：根据（1）函数的极值点是a x 1=，若11=a，则1=a . 所以)(x f ≥2-bx ，即 x x ln 1--≥2-bx ，由于0>x ，即b ≤x x x ln 11-+. 令x x x x g ln 1)(-=，则22ln )(x x x g -='，可知2e x =为函数)(x g 在),0(+∞内唯一的极小值点，也是最小值点，故22m in 1)()(ee g x g -==,∴xxx ln 11-+的最小值是211e -，故只要b ≤211e -.......................................................8分（3）证明：不等式.)1ln()1ln()1ln()1ln(11+>+⇔+>+++y e x e x e y e y x yx构造函数xe x h x ln )(=，则 x x x e x e x x e x h x x x 22ln )1(ln ln 1ln )(-=-='，可知函数在（∞+，e ）上0)(>'x h ，)(x h 单调递增，由于 1->>e y x ，所以e y x >+>+11，所以)1ln()1ln(11+>+++y e x e y x ，所以)1ln()1ln(x e y e yx +>+........................................12分.。