高中数学人教B版必修5学案：1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课堂探究学案(含答案)
【数学】1.1.1《正弦定理》课件(新人教B版必修5)
对任意三角形,这个等式都会成立吗 对任意三角形 这个等式都会成立吗? 这个等式都会成立吗 怎么证明这个结论？ 怎么证明这个结论？
（一）正弦定理的证明 方法一(向量法) 方法一(向量法)
已知: ABC中，CB=a,AC=b,AB=c. 求证: 求证
a b c = = s in A s in B s in C
\ a = s in A b = s in B c s in C
90
0
即等式对任意三角 形都成立
B a c A b C
证法二：(等积法) 证法二： 等积法) 在任意斜 ABC当中 作AD⊥BC于D
c h a
A
b
∴ S ∆ABC = 1 a h 2 B ∵ h = b sin C ∴ S ∆ABC = 1 a b sin C 2
已知在Δ a,b和 例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B 已知在 中
解：∵c=10 A=450,C=300
a c 10sin 450 a sin A = =10 由 sin A = 得 a= 0 sin C sin 30 sin C b c 由 = sin B sin C
A+ B C sin = cos 2 2
cos( A + B ) = − cos C
3、边角关系： 、边角关系： 1）大边对大角，大角对大边，等边对等角 ）大边对大角，大角对大边， 0,则 sin A = a , cos A = b 2）在直角三角形 ）在直角三角形ABC中,C=90 则 中
c c
二、展示目标
请同学们思考两个问题： 请同学们思考两个问题： 1.为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解 2.当a=1时C有几个解；当a= 有几个解； 当 时 有几个解 几个解； 几个解；当a=3时C有几个解 时 有几个解
高中数学人教版必修5课件：1.1.1正弦定理(系列三)
典型例题 例1 已知一三角形中a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，判断三角形是
否有解，若有解，解该三角形．
解 a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理得，
sinB＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，故B＝60°或120°.
跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、
c，已知A＝60°，a＝ 3，b＝1，则c等于
(B )
A．1 B．2 C. 3－1 D. 3
解析 由正弦定理sina A＝sinb B，可得sin 630°＝sin1 B，
∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，
得∠A>∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
例2 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC 的面积．
解 如图，由正弦定理，
得sin
1720°＝sin5
， C
∴sinC＝5143，且∠C为锐角(∠A＝120°)．∴cosC＝1114. ∴sinB＝sin(180°－120°－∠C)＝sin(60°－∠C) ＝ 23cosC－12sinC＝ 23×1114－12×5143＝3143.
证明 作AD⊥BC，垂足为D， 则AD＝AB·sinB，又AD＝AC·sinC，
∴csinB＝bsinC.
∴S△ABC＝12BC·AD ＝12acsinB＝12absinC. 同理S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
高中数学人教b版必修5学案：1.1.1 正弦定理(二)(数理化网 为您收集整理)
1.1.1正弦定理(二)自主学习知识梳理1．正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C＝2R的常见变形：(1)sin A∶sin B∶sin C＝________；(2)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________；(3)a＝__________，b＝__________，c＝____________；(4)sin A＝________，sin B＝________，sin C＝________.2．三角形面积公式：S＝______________＝______________＝____________.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则△ABC的外接圆半径R＝________，内切圆半径r＝____________.自主探究在△ABC中，(1)若A>B，求证：sin A>sin B；(2)若sin A>sin B，求证：A>B.对点讲练知识点一 三角形面积公式的运用例1已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．总结 注意正弦定理的灵活运用，例如本题中推出S △ABC ＝2R 2sin A sin B sin C ．借助该公式顺利解出外接圆半径R .变式训练1 已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4知识点二 利用正弦定理证明恒等式例2在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.总结 正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活．变式训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .知识点三 利用正弦定理判断三角形形状例3已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＋c＝2b，且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．变式训练3已知方程x2－(b cos A)x＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状．1．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．2．在△ABC 中，有以下结论： (1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tanC2.课时作业一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶22．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形3．在△ABC 中，(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．4∶5∶6 B ．6∶5∶4 C ．7∶5∶3 D ．7∶5∶64．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 5．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 二、填空题6．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.8．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.三、解答题9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径．10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B2＝255，求△ABC 的面积S .1．1.1 正弦定理(二)知识梳理1．(1)a ∶b ∶c (2)2R (3)2R sin A 2R sin B 2R sin C(4)a 2R b 2R c 2R 2.12ab sin C 12bc sin A 12ca sin B 3.c 2 a ＋b －c 2 自主探究证明 (1)在△ABC 中，由大角对大边定理 A >B ⇒a >b ⇒2R sin A >2R sin B ⇒sin A >sin B . (2)在△ABC 中，由正弦定理sin A >sin B ⇒a 2R >b2R⇒a >b ⇒A >B .对点讲练例1解 ∵tan B ＝12>0，∴B 为锐角．∴sin B ＝55，cos B ＝255. ∵tan C ＝－2，∴C 为钝角．∴sin C ＝255，cos C ＝－55.∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝55×⎝⎛⎭⎫－55＋255×255＝35. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A sin B sin C＝2R 2×35×55×255＝1.∴R 2＝2512，R ＝536.∴πR 2＝2512π，即外接圆面积为2512π.∴a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153，c ＝2R sin C ＝2153.变式训练1 A [设三角形外接圆半径为R ， 则由πR 2＝π，∴R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.]例2 证明 因为a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边．所以等式成立． 变式训练2 证明 左边＝4R 2sin 2 A ·sin 2B ＋4R 2sin 2 B ·sin 2A ＝8R 2sin 2 A sin B cos B ＋8R 2sin 2 B sin A cos A＝8R 2sin A sin B (sin A cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin(A ＋B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2·(2R sin A )·(2R sin B )·sin C ＝2ab sin C ＝右边． ∴等式成立．例3解 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．∵0<B <π，∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3. ∴sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝3， ∴sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1. ∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2. ∴A ＝π3，C ＝π3.∴△ABC 是等边三角形． 变式训练3 解 设方程的两根为x 1、x 2， 由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝b cos A x 1x 2＝a cos B， ∵x 1＋x 2＝x 1x 2，∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理得：2R sin B cos A ＝2R sin A cos B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π.∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．课时作业1．D2．B [由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .]3．C [设b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，三式联立可求得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，即sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3.]4．A [由正弦定理：sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .] 5．C [设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴c a ＝sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A ＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32·cos A sin A ＋12＝32＋12， ∴cos A sin A ＝1.∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.]6．2 3解析 ∵cos C ＝1，∴sin C ＝22， ∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 7.102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0,180°)，∴sin A ＝1010. 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C， ∴AB ＝BC ·sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102. 8．12 6解析a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A＝6332＝12. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝18 3. ∴sin C ＝12，∴c sin C ＝a sin A＝12，∴c ＝6. 9．解 由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin B sin A . 即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102b a ＝43，得a ＝6，b ＝8. 故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. 10．解 因为cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第一章1.1.2习题课
题型一
本 课 时 栏 目 开 关
利用正、余弦定理证明三角恒等式 2 2 2 tan A a ＋c －b 例 1 在△ABC 中，求证： ＝ . tan B b2＋c2－a2
证明 方法一 sin A cos A sin Acos B 因为左边＝ sin B ＝sin Bcos A cos B
a2＋c2－b2 a2＋c2－b2 2ac a ＝ ·2 2 ＝ ＝右边， b b ＋c －a2 b2＋c2－a2 2bc
sin A cos B tan A ＝cos A· B ＝tan B＝左边， sin
2 2 2 tan A a ＋c －b 所以 ＝ . tan B b2＋c2－a2
小结
证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差
异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．
研一研· 题型解法、解题更高效
习题课
本 课 时 栏 目 开 关
习题课
本 课 时 栏 目 开 关
学习要求 1．进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用． 2．提高对正、余弦定理应用范围的认识． 3．初步应用正、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问 题．
习题课
学法指导 解三角形的问题可以分为以下四类： (1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形． 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用 三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边， 注意判断解的个数． (2)已知三角形的两角和任一边，解三角形． 此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定 理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定 理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和 定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课
1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
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1.1.2 余弦定理
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1.2 应用举例
最新人教版高三数学必修5(B版)电 子课本课件【全册】
2.2.2 等差数列的前n项和
ห้องสมุดไป่ตู้
2.3.2 等比数列的前n项和
阅读与欣赏
级数趣题
第三章 不等式
3.1.2 不等式的性质
3.3 一元二次不等式及其解法
3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
本章小结
后记
第一章 解三角形
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1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理
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0002页 0057页 0111页 0131页 0145页 0192页 0237页 0283页 0285页 0321页 0390页 0461页 0500页 0557页
第一章 解三角形
1.1.2 余弦定理
本章小结
第二章 数列
2.1.2 数列的递推公式（选学）
本章小结
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阅读与欣赏
亚历山大
时期的三角测量
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【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.1第一课时正弦定理课件 新人教B版必修5
(2)根据三角形内角和定理， 根据三角形内角和定理， 根据三角形内角和定理 C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°， ＝ － ＋ ＝ － ＋ ＝ ， 根据正弦定理， 根据正弦定理， 1 2× × 2 asinB 2sin30° b＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 2， ， sinA sin45° 2 2 6＋ 2 ＋ 2× × 4 asinC 2sin105° 2sin75° c＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ sinA sin45° sin45° 2 2 3＋1. ＋
分析】 【分析】 我们可先确定满足条件的三角形的 个数，然后再求解． 个数，然后再求解．
是钝角， 【解】 (1)∵A＝107°是钝角，且 a＞b， ∵ ＝ 是钝角 ＞ ， 这样的三角形有且只有一个． ∴这样的三角形有且只有一个． 26sin107° ∵sinB＝ ＝ ≈0.507， ， 49 ∴B≈30°，∴C≈43°. ≈ ， ≈ a c 49 c 又∵ ＝ ，∴ ＝ ， sinA sinC sin107° sin43° 49sin43° ∴c＝ ＝ ≈35(cm)． ． sin107° 故 B≈30°，C≈43°，c≈35 cm. ≈ ， ≈ ， ≈
π ∴sinB＋sinC＝sinB＋sin( －B) ＋ ＝ ＋ 3 3 π 1 ＝ sinB＋ cosB＝sin(B＋ )． ＋ ＝ ＋ ． 2 3 2 π π π 2π 又 0＜B＜ ，∴ ＜B＋ ＜ . ＜ ＜ ＋ 3 3 3 3 π 3 ∴ ＜sin(B＋ )≤1. ＋ ≤ 3 2 3 的取值范围是( 故 sinB＋sinC 的取值范围是 ，1]． ＋ ． 2
正弦定理的简单应用
例3
如图， 平分∠ 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠
DAB. BC sinD 求证： . 求证：CD＝ sinB
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1.1.1 正弦定理课堂探究一、判断三角形解的个数 剖析：(1)代数法在△ABC 中，已知a ，b ，∠A ，由正弦定理可得sin B ＝b asin A ＝m ． ①当sin B >1时，这样的∠B 不存在，即三角形无解．②当sin B ＝1时，∠B ＝90°，若∠A <90°，则三角形有一解，否则无解．③当sin B <1时，满足sin B ＝m 的角有两个，其中设锐角为α，钝角为β，则当∠A ＋α>180°时，三角形无解；当∠A ＋α<180°，且∠A ＋β<180°时，有两解；当∠A ＋α<180°且∠A ＋β>180°时有一解．(2)几何法根据条件中∠A 的大小，分为锐角、直角、钝角三种情况，通过几何作图，得出解的情况．作出已知∠A ，以A 为圆心，边长b 为半径画弧交∠A 的一边于C ．使未知的边AB 水平，顶点C 在边AB 上方，以点C 为圆心，边长a 为半径作圆，该圆与射线AB 交点的个数，即为解的个数，如下表所示：①②在正弦定理中，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ．请研究常数k 与△ABC 外接圆的半径R 的关系．(提示：先考察直角三角形)剖析：(1)如图1，当△ABC 为直角三角形时，直接得到a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，R 为外接圆半径)．(2)如图2，当△ABC 为锐角三角形时，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ．因为∠A ＝∠D ，所以a sin A ＝a sin D ＝2R ，同理bsin B ＝csin C ＝2R ，即a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ． (3)如图3，当△ABC 为钝角三角形且∠A 为钝角时，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，∠A ＝180°－∠D ，所以a sin A ＝a sin(180°－∠D )＝asin D＝2R ． 由(2)知bsin B ＝csin C ＝2R ，即a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ． 综上所述，对于任意△ABC ，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 恒成立． 归纳总结：根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式： (1)a sin B ＝b sin A ；a sin C ＝c sin A ；b sin C ＝c sin B ． (2)a ＝b sin A sin B ；sin B ＝b sin Aa． (3)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． (4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．(5)边化角公式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ． (6)角化边公式：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ．题型一 解三角形【例1】 已知在△ABC 中，c ＝10，∠A ＝45°，∠C ＝30°，求a ，b 和∠B ．分析：正弦定理中有三个等式，每个等式都含有四个未知量，可知三求一．当知道两个角时，即可知道第三个角，所以若再知道三边中任意一边，就可解这个三角形． 解：∵a sin A ＝csin C，∠A ＝45°，∠C ＝30°，∴a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝102， ∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝180°－(45°＋30°)＝105°． 又b sin B ＝csin C， ∴b ＝c ·sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．反思：本题给出了解三角形第一类问题(即已知两角和一边，求另两边和一角)的方法步骤，即先由正弦定理求得已知角的对边，然后利用内角和公式求得第三角，再用正弦定理求第三边．【例2】 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，∠B ＝45°，求∠A ，∠C 和c ．分析：已知两边和其中一边的对角的解三角形问题可运用正弦定理来求解，但应注意解的个数．解：由正弦定理a sin A ＝bsin B，知sin A ＝a sin Bb ＝32． ∵a sin B <b <a ， ∴∠A 有两个解，∴∠A ＝60°或∠A ＝120°．(1)当∠A ＝60°时，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝75°， ∴c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22． (2)当∠A ＝120°时，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝15°， ∴c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22． 故∠A ＝60°，∠C ＝75°，c ＝6＋22或∠A ＝120°，∠C ＝15°，c ＝6－22． 反思：本题给出了解三角形第二类问题(即已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的角和边)的方法步骤，即先由正弦定理求得已知边的对角，然后利用内角和公式求得第三角，再求得第三边．解答此类问题应注意对解的个数的讨论． 题型二 判断三角形的形状【例3】 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，试判断△ABC 的形状．分析：将式中的a ，b ，c 分别用2R sin A ，2R sin B ，2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)来代替是解决本题的关键．解：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a cos A ＝b cos B ＝ccos C 中，可得2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ＝2R sin Ccos C ， 所以tan A ＝tan B ＝tan C ．又因为∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的内角， 所以∠A ＝∠B ＝∠C ， 所以△ABC 是等边三角形．反思：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两种思路：其一，化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系；其二，化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系．【互动探究】 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，试判断△ABC 的形状． 解：由a sin A ＝b sin B ＝csin C ，sin A a ＝cos B b ＝cos Cc得sin B b ＝cos B b ，sin C c ＝cos Cc，∴sin B ＝cos B ，即2sin(∠B －45°)＝0， ∴∠B ＝45°，同理，∠C ＝45°． ∴∠A ＝180°－∠B －∠C ＝90°． ∴△ABC 为等腰直角三角形． 题型三 用正弦定理证明 【例4】 在△ABC 中，求证：a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A．分析：求证的等式左边既含有边又含有角，而右边只有角，可利用正弦定理将左边的边化成角．证明：由正弦定理得左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin A －sin C cos B sin B －sin C cos A ＝sin(B ＋C )－sin C cos B sin(A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C ＋cos B sin C －sin C cos B sin A cos C ＋cos A sin C －sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边．故原等式成立．反思：在含有边角关系的等式中，若含有a ，b ，c 及sin A ，sin B ，sin C 形式，可利用正弦定理完成边角关系的统一．题型四 易错辨析【例5】 在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 错解：由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32，所以∠C ＝60°，所以∠A ＝90°，所以S △ABC＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×1＝23， 即△ABC 的面积是23．错因分析：利用正弦定理求角C 时漏解了，实际上由AB >AC ，得满足sin C ＝32的角C 有两个．正解：由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32． 因为AB >AC ，所以∠C ＝60°或120°．当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23；当∠C ＝120°时，∠A＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝3．所以△ABC 的面积为23或3．【例6】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝6＋2，∠C ＝30°，求a ＋b 的最大值．错解：因为∠C ＝30°，所以∠A ＋∠B ＝150°，即∠B ＝150°－∠A ．由正弦定理，得a sin A ＝b sin(150°－∠A )＝6＋2sin 30°．又因为sin A ≤1，sin(150°－∠A )≤1，所以a ＋b ≤2(6＋2)＋2(6＋2)＝4(6＋2)． 故a ＋b 的最大值为4(6＋2)．错因分析：上述解法错误的原因是未弄清∠A 与150°－∠A 之间的关系，这里∠A 与150°－∠A 是相互制约的，不是相互独立的量，sin A 与sin(150°－∠A )不能同时取最大值1，因此所得的结果是错误的．正解：因为C ＝30°，所以∠A ＋∠B ＝150°．由正弦定理，得a sin A ＝b sin(150°－∠A )＝6＋2sin 30°．因此，a ＋b ＝2(6＋2)·[sin A ＋sin(150°－∠A )] ＝(8＋43)cos(∠A －75°)≤8＋43．故a ＋b 的最大值为8＋43．。