2017-2018年浙江省9+1高中联盟高二(上)期中数学试卷及参考答案
浙江省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(八)
浙江省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（八）（考试时间100分钟满分110分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．直线的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．苹果手机上的商标图案（如图所示）是在一个苹果图案中，以曲线段AB为分界线，裁去一部分图形制作而成的，如果该分界线是一段半径为R的圆弧，且A、B两点间的距离为，那么分界线的长度应为（）A．B．C．D．πR3．圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x﹣y+4=0 D．x+y﹣4=04．已知直线l过点P（1，﹣2），且在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（）A．x﹣y﹣3=0 B．x+y+1=0或2x+y=0C．x﹣y﹣3=0或2x+y=0 D．x+y+1=0或x﹣y﹣3=0或2x+y=05．已知圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0的弦AB过点（1，1），则AB的最短长度为（）A．1 B．2C．D．6．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC 分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．7．若点P（x，y）满足x+y=1，则的最小值为（）A．B．C．3 D．8．已知点P（x，y）是平面区域内的动点，点A（1，﹣1），O为坐标原点，设|﹣|（λ∈R）的最小值为M，若M≤恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，+∞）二、填空题（本大题共7小题，第9至12题每空3分，第13至15题每小题6分，共36分）9．设直线l1：（a+1）x+3y+2﹣a=0，直线l2：2x+（a+2）y﹣7=0，若l1⊥l2，则实数a的值为；若l1∥l2，则实数a的值为．10．已知实数x，y满足，则点P（x，y）构成的区域的面积为，2x+y的最大值为，其对应的最优解为．11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为；表面积为．12．已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣4x+3=0，直线l：x+y﹣4=0，点A在圆上，点B在直线l上，则|AB|的最小值=，tan∠MBA的最大值=．13．点A（1，1）在圆x2+y2﹣2x+1﹣m=0的外部，则m的取值范围为．14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M是面对角线A1B上的动点，则AM+MD1的最小值为．15．已知函数，对于满足1＜x1＜x2＜2的任意x1，x2，给出下列结论：①f（x2）﹣f（x1）＞x2﹣x1；②x2f（x1）＞x1f（x2）；③（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0；④（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0其中正确结论有（写上所有正确结论的序号）．三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形面积．17．分别求满足下列条件的直线l方程．（1）将直线l1：y=x+1绕（0，1）点逆时针旋转得到直线l；（2）直线l过直线l1：x+3y﹣1=0与l2：2x﹣y+5=0的交点，且点A（2，1）到l的距离为2．18．如图直角梯形OADC中，OA∥CD，∠D=60°，OA=1，CD=2，在梯形内挖去一个以OA为半径的四分之一圆，图中阴影部分绕OC所在直线旋转一周，求该旋转体的体积和表面积．19．设平面直角坐标系xOy中，曲线G：．（1）若a≠0，曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，求经过这三个交点的圆C的一般方程；（2）在（1）的条件下，求圆心C所在曲线的轨迹方程；（3）若a=0，动圆圆心M在曲线G上运动，且动圆M过A（0，1），设EF是动圆M在x轴上截得的弦，当圆心M运动时弦长|EF|是否为定值？请说明理由．20．已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．参考答案一、单项选择题1．C．2．C．3．B 4．C．5．D．6．C．7．C．8．C．二、填空题9．解：当a=﹣2或﹣1时，两条直线l1，l2不垂直，舍去．当a≠﹣2或﹣1时，∵l1⊥l2，∴×=﹣1．解得a=﹣．∵l1∥l2，∴，解得a=1．故答案分别为：﹣，1．10．解：画出满足条件的平面区域，如图示：，=×8×2=8，∴点P（x，y）构成的区域的面积为：S△ABC令z=2x+y，则y=﹣2x+z，当直线y=﹣2x+z过B（6，﹣1）时，z最大，=2×6﹣1=11，Z最大值∴其对应的最优解为（6，﹣1），故答案为：8，11，（6，﹣1）．11．解：由题意可知：几何体是圆锥去掉个圆锥，圆锥的底面半径为：1；高为：；圆锥的母线为：2，几何体的体积为：=．几何体的表面积为：=．故答案为：；．12．解：由圆的方程得：圆心（2，0），半径r=1，∵圆心（2，0）到直线x+y﹣4=0的距离d==，∴|AB|=d﹣r=﹣1，当MB⊥l时，MB=，∴tan∠MBA的最大值是=1故答案为：﹣1；1．13．解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=m，则圆心为C（1，0），半径r=，则m＞0，若点A（1，1）在圆x2+y2﹣2x+1﹣m=0的外部，则AC＞r，即AC＞1，则＜1，解得0＜m＜1，故答案为：（0，1）14．解：把对角面A1C绕A1B旋转，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1，则在△AA1D中，AD1==为所求的最小值．故答案为：15．解：设，①设y=f（x）﹣x，即y=，；∵1＜x＜2；∴y′＜0；∴f（x）﹣x在（1，2）上单调递减；∵1＜x1＜x2＜2；∴f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2；∴f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1；∴该结论错误；②设y=，即；∵1＜x＜2；∴y′＞0；∴在（1，2）上单调递增；∵1＜x1＜x2＜2；∴；∴x2f（x1）＞x1f（x2）；∴该结论正确；③；1＜x＜2，∴f′（x）＜0；∴f（x）在（1，2）上单调递减；∵1＜x1＜x2＜2；∴f（x1）＞f（x2）；∴（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0；∴该结论正确，结论④错误；∴正确的结论为②③．故答案为：②③．三、解答题16．解：由已知中A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如下图所示：这是一个底边长2，高的平行四边形，故原图的面积为：217．解：（1）∵直线l1的倾斜角为，将直线l1逆时针旋转得到直线l；∴直线l的倾斜角应为，所以直线l的斜率k=，又∵直线l过（0，1），∴直线l的方程为：y﹣1=x，即x﹣y+1=0．（2）根据题意，设直线l为x+3y﹣1+λ（2x﹣y+5）=0，整理得（2λ+1）x+（3﹣λ）y﹣1+5λ=0，∵点A（2，1）到l的距离为2，∴=2，解之得λ=或﹣4，所以直线l方程为x+y+1=0或x﹣y+3=0．18．解：旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，∵，∠D=60°，OA=1，CD=2，故圆台的上底和半球的半径为1，圆台的下底半径为：2，圆台的母线长为：2，圆台的高为：，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面；S 半球=2π，S 圆台侧=6π，S 圆台底=4π．故所求几何体的表面积为：2π+6π+4π=12π；由V 圆台=π（12++22]×=π，V 半球=π×13=π；所以，旋转体的体积为V 圆台﹣V 半球=π19．解：（1）令x=0，得抛物线与y 轴交点是（0，﹣a 2）；令y=0，则，所以x 2+ax ﹣2a 2=0， 得抛物线与x 轴交点是（﹣2a ，0），（a ，0）．设所求圆C 的一般方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0则有∴．所以圆C 的方程为x 2+y 2+ax+（a 2﹣2）y ﹣2a 2=0．（2）由（1）可知圆心，设圆心C （x ，y ），则有消去a 得到y=1﹣2x 2又a ≠0，∴x ≠0，所以圆心C 所在曲线的轨迹方程为y=1﹣2x 2（x ≠0）．（3）|EF|为定值2．证明如下：若a=0，曲线G：，设M，则动圆半径则．20．解：（Ⅰ）将y=kx代入x2+（y﹣4）2=4中，得：（1+k2）x2﹣8kx+12=0（*），根据题意得：△=（﹣8k）2﹣4（1+k2）×12＞0，即k2＞3，则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），∴|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，代入=+得：=+，即=+=，由（*）得到x1+x2=，x1x2=，代入得：=，即m2=，∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=，代入m2=，化简得5n2﹣3m2=36，由m2=及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），根据题意得点Q在圆内，即n＞0，∴n==，则n与m的函数关系式为n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．。
2017-2018学年浙江省温州市高二上学期期中数学试题(解析版)17
高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是（）A．一个棱锥B．一个圆锥C．两个圆锥的组合体 D．无法确定2．（5分）直线的倾斜角是（）A．120°B．150°C．30°D．60°3．（5分）已知平面α∩平面β=c，直线a⊂α，a∥c，直线b⊂β，且b与c相交，则a和b的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．上述三种都有可能4．（5分）下列结论中错误的是（）A．若a⊥α，b⊂α，且a⊥b B．若a∥b，a⊥α，且b⊥αC．若a∥α，b⊂α，则a∥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α5．（5分）若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），则直线l的斜率为（）A．B．﹣ C．﹣ D．6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n B．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n7．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是（）A．0 B．2 C．4 D．8．（5分）m，n是两条不垂直的异面直线，平面α，β分别过m，n则下列各关系不可能出现的是（）A．m∥β B．α∥βC．m⊥βD．α⊥β9．（5分）点P（x，y）在直线4x+3y=0上，且x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（）A．[0，5]B．[0，10] C．[5，10] D．[5，15]10．（5分）如图，在长方体ABCD一A′B′C′D′中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC=4，CD=3，CC′=2，直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，则△PQC′的面积的最小值是（）A．B．8 C．D．10二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为，则该圆台的母线长为．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是，表面积是．13．（5分）已知两直线l1：mx+y=5﹣m，l2：2x+my=8，若l1∥l2，则m=；若l1⊥l2，则m=．14．（5分）点P（1，0）关于直线l1：x+y=0对称的点的坐标为；直线l1：y=2x+3关于直线l：x﹣y=0对称的直线l2的方程为．15．（5分）半径为的球内接正方体的表面积为；体积为．16．（5分）已知直线x﹣2y+1+λ（1﹣x）=0与两坐标轴围城一个三角形，该三角形的面积记为S（λ），当λ∈（1，+∞）时，S（λ）的最小值是．17．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AP=BQ=x（0＜x＜1），截面PQEF∥A'D，截面PQGH∥AD'，则截面PQEF和截面PQGH面积之和．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（15分）△ABC的三个顶点分别为A（2，0），B（4，4），C（0，3），求：（1）AC边所在直线的方程；（2）AC边的垂直平分线DE所在直线的方程．19．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E，F分别是AB，BC的中点，（Ⅰ）求A1E与B1F所成的角；（Ⅱ）求A1E与面BCC1B1所成的角．20．（15分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（Ⅰ）求证：A1C1⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．21．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PA=PB，点M在线段PC上（不含端点），且BM⊥平面PAC．（Ⅰ）求证：AD⊥面PAB；（Ⅱ）求证：AP⊥平面BCP．22．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点，（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是（）A．一个棱锥B．一个圆锥C．两个圆锥的组合体D．无法确定【分析】一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是以斜边上的高为半径的两个圆锥的组合体．【解答】解：一个直角三角形绕其最长边旋转一周，最长边是斜边，∴一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是以斜边上的高为半径的两个圆锥的组合体．故选：C．【点评】本题考查空间几何体的形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意旋转体的性质的合理运用．2．（5分）直线的倾斜角是（）A．120°B．150°C．30°D．60°【分析】根据直线和斜率和倾斜角的关系即可求出．【解答】解：直线的倾斜角为θ，则tanθ=，∴θ=60°，故选：D．【点评】本题考查了直线和斜率和倾斜角的关系，属于基础题3．（5分）已知平面α∩平面β=c，直线a⊂α，a∥c，直线b⊂β，且b与c相交，则a和b的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．上述三种都有可能【分析】由条件可排除两直线平行和相交的情况，故只能是异面．【解答】解：如图，若a∥b，结合a∥c可得b∥c，这与b与c相交矛盾；若a∩b=P，则a与β有公共点P，与a∥α矛盾；又因为空间中两直线的位置共平行、相交、异面三种，故a与b的位置关系只能是异面，故选：C【点评】本题考查空间中两直线的位置关系，涉及反证法的思路，属中档题．4．（5分）下列结论中错误的是（）A．若a⊥α，b⊂α，且a⊥b B．若a∥b，a⊥α，且b⊥αC．若a∥α，b⊂α，则a∥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α【分析】结合空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：对于A，若a⊥α，b⊂α，根据线面垂直的性质可得a⊥b，故正确；对于B，若a∥b，a⊥α，根据线线平行、线面垂直的性质可得b⊥α，故正确；对于C，若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，故错；对于D，若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，正确．故选：C．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，空间线面关系判断，难度中档．5．（5分）若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），则直线l的斜率为（）A．B．﹣ C．﹣ D．【分析】利用中点坐标公式可得P，Q，再利用斜率的计算公式即可得出，【解答】解：设P（x，1），Q（7，y）．∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），∴，解得x=﹣5，y=﹣3．∴P（﹣5，1），∴直线l的斜率==﹣．故选：B．【点评】本题考查了中点坐标公式、斜率的计算公式，属于基础题．6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n B．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：对于A，若m∥β，m⊂α，α∩β=n，根据线面平行的判定⇒m∥n，故正确；对于B，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，因为n不一定在平面α内，不能得到n⊥β，故错；对于C，若α⊥β，m⊥α，n∥β，m、n不一定垂直，故错；对于D，若m∥α，n⊂α，m、n位置关系时可能平行、可能异面，故错；故选：A【点评】本题考查空间线面位置关系，涉及反例法和平面与平面垂直的判定，属中档题．7．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是（）A．0 B．2 C．4 D．【分析】在6x+my+14=0上取点，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：在6x+my+14=0上取点，则它们之间的距离==2．故选：B．【点评】本题考查了点到直线的距离公式、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）m，n是两条不垂直的异面直线，平面α，β分别过m，n则下列各关系不可能出现的是（）A．m∥βB．α∥βC．m⊥βD．α⊥β【分析】结合点线面位置关系的判定定理和性质定理，和必要的空间模型，可得答案【解答】解：若m⊥β，则m垂直于面β内的任意一条直线，则m⊥n，与已知条件矛盾故选C【点评】本题考察直线、平面的位置关系，要求熟练掌握平行和垂直的判定定理与性质定理，有较好的空间想象力9．（5分）点P（x，y）在直线4x+3y=0上，且x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（）A．[0，5]B．[0，10] C．[5，10] D．[5，15]【分析】先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值即可．【解答】解析：因x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P（x，y）在所确定的区域内，且原点也在这个区域内．又点P（x，y）在直线4x+3y=0上，，解得A（﹣6，8）．，解得B（3，﹣4）．P到坐标原点的距离的最小值为0，又|AO|=10，|BO|=5，故最大值为10．∴其取值范围是[0，10]．故选B．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．10．（5分）如图，在长方体ABCD一A′B′C′D′中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC=4，CD=3，CC′=2，直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，则△PQC′的面积的最小值是（）A．B．8 C．D．10【分析】以C为原点建立空间直角坐标系，设P（0，a，0），Q（b，0，0），求出平面PQC′的法向量，则cos＜＞=，解出a，b的关系式，得出△PQC的最小值，又C到平面PQC′的距离为，利用等体积法求出△PQC′的面积最小值．【解答】解：以C为原点，以CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则C（0，0，0），C′（0，0，2）．设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a ≤4，0＜b≤3．∴=（﹣b，0，2），=（0，﹣a，2），=（0，0，2），设平面PQC′的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1，得=（，，1）．∴=2，||=2，||=，∴cos＜＞==．∴，∴a2+b2=≥2ab，解得ab≥8．∴当ab=8时，S=4，棱锥C′﹣PQC的体积最小，△PQC∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，∴C到平面PQC′的距离d=2×=．=V C﹣PQC′，∵V C′﹣PQC∴=，∴S=8．△PQC′故选：B．【点评】本题你考查了线面角的计算，空间向量的应用，基本不等式，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为，则该圆台的母线长为．【分析】作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为cm，能求出该圆台的母线长．【解答】解：如图是圆台的轴截面，圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为cm，则该圆台的母线长为：=cm．故答案为：cm．【点评】本题考查圆台的母线长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是，表面积是+1+．【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC 是边长为2的正三角形，△ABC 是边AC=2，边AC 上的高OB=1，PO=为底面上的高．据此可计算出表面积和体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC ⊥面ABC ，△PAC 是边长为2的正三角形，△ABC 是边AC=2， 边AC 上的高OB=1，PO=为底面上的高．于是此几何体的体积V=S △ABC •PO=×2×1×=，几何体的表面积S=S △PAC +S △ABC +2S △PAB =××2+×2×1+2×××=+1+．故答案为：，+1+． 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．13．（5分）已知两直线l 1：mx +y=5﹣m ，l 2：2x +my=8，若l 1∥l 2，则m=或；若l 1⊥l 2，则m= 0 ．【分析】利用直线与直线垂直平行的条件直接求解．【解答】解：∵两直线l 1：mx +y=5﹣m ，l 2：2x +my=8，l 1∥l 2，则m 2=2，解得m=±， 当l 1⊥l 2，则2m +m=0， 解得m=0，故答案为：或﹣，0．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直平行等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．（5分）点P（1，0）关于直线l1：x+y=0对称的点的坐标为（0，﹣1）；直线l1：y=2x+3关于直线l：x﹣y=0对称的直线l2的方程为x﹣2y﹣3=0．【分析】设点P（1，0）关于直线l1：x+y=0对称的点为（a，b），由中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方程可得a，b；求得y=x和y=2x+3的交点，再取直线y=2x+3上一点（0，3），设关于直线l：x ﹣y=0对称点为（m，n），由中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方程可得m，n，再由点斜式方程即可得到所求直线方程．【解答】解：设点P（1，0）关于直线l1：x+y=0对称的点为（a，b），可得，解得a=0，b=﹣1，即对称点为（0，﹣1）；直线l1：y=2x+3关于直线l：x﹣y=0对称的直线l2的方由可得交点为（﹣3，﹣3），再取直线y=2x+3上一点（0，3），设关于直线l：x﹣y=0对称点为（m，n），可得，解得m=3，n=0，可得对称点为（3，0），则所求直线的方程为y=（x﹣3），即为x﹣2y﹣3=0．故答案为：（0，﹣1），x﹣2y﹣3=0．【点评】本题考查直线方程的求法和对称点的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）半径为的球内接正方体的表面积为96；体积为64．【分析】设半径为的球内接正方体的棱长为a，则=，解得a=4，由此能求出结果．【解答】解：设半径为的球内接正方体的棱长为a，则=，解得a=4，∴半径为的球内接正方体的表面积为：S=6a2=6×42=96，体积为V=a3=43=64．故答案为：96，64．【点评】本题考查正方体的表面积、体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．16．（5分）已知直线x﹣2y+1+λ（1﹣x）=0与两坐标轴围城一个三角形，该三角形的面积记为S（λ），当λ∈（1，+∞）时，S（λ）的最小值是2．【分析】分别可得与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由直线x﹣2y+1+λ（1﹣x）=0，分别可得与坐标轴的交点（，0），（0，），λ∈（1，+∞），S（λ）=××=[（λ﹣1）++4]≥（4+2）=（4+4）=2，当且仅当λ=3时取等号．故答案为：2【点评】本题考查了直线的交点、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AP=BQ=x（0＜x＜1），截面PQEF∥A'D，截面PQGH∥AD'，则截面PQEF和截面PQGH面积之和．【分析】推导出PF ∥A′D ，PH ∥AD′，A′D=AD′=，A′P=1﹣x ，由此求出，再由截面PQEF 和截面PQGH 面积之和S=S矩形PQEF +S 矩形PQGH ，从而能求出结果．【解答】解：∵在棱长为1的正方体ABCD ﹣A'B'C'D'中， AP=BQ=x （0＜x ＜1），截面PQEF ∥A'D ，截面PQGH ∥AD'，∴PF ∥A′D ，PH ∥AD′， ∴，∵A′D=AD′=，A′P=1﹣x ， ∴，解得，∴截面PQEF 和截面PQGH 面积之和：S=S 矩形PQEF +S 矩形PQGH=（PQ ×PF +PQ ×PH ）=PQ （PF +PH ）=1×（）=．故答案为：． 【点评】本题考查两个矩形的面积之和的求法，考查正方体的结构特征、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（15分）△ABC的三个顶点分别为A（2，0），B（4，4），C（0，3），求：（1）AC边所在直线的方程；（2）AC边的垂直平分线DE所在直线的方程．【分析】（1）求得直线AC的斜率，由点斜式方程即可得到所求直线方程；（2）运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得DE的斜率，求得AC的中点坐标，运用点斜式方程即可得到所求垂直平分线的方程．【解答】解：（1）A（2，0），C（0，3），可得AC的斜率为k AC==﹣，由点斜式易得直线方程为y=﹣（x﹣2），化为3x+2y﹣6=0；（2）AC的斜率为k AC==﹣，可得直线DE的斜率为，线段AC的中点坐标为，故由点斜式可得直线DE的方程为y﹣=（x﹣1），即为4x﹣6y+5=0．【点评】本题考查直线方程的求法，注意运用直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．19．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E，F分别是AB，BC的中点，（Ⅰ）求A1E与B1F所成的角；（Ⅱ）求A1E与面BCC1B1所成的角．【分析】（Ⅰ）取AD的中点H，连接A1H，HE，则B1F∥A1H，从而A1E与B1F 所成的角等于A1E与A1H所成的角，由此能求出A1E与B1F所成的角．（Ⅱ）直线A1E与平面BCC1B1所成的角即为直线A1E与平面ADD1A1所成的角，从而∠EA1A即为A1E与面BCC1B1所成的角，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）取AD的中点H，连接A1H，HE，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E，F分别是AB，BC的中点，∴B1F∥A1H，∴A1E与B1F所成的角等于A1E与A1H所成的角，∵，∴，∴A1E与B1F所成的角为600．（Ⅱ）∵平面BCC1B1∥平面ADD1A1，∴直线A1E与平面BCC1B1所成的角即为直线A1E与平面ADD1A1所成的角，∴∠EA1A即为A1E与面BCC1B1所成的角，∵AA1=AE=1，AA1⊥AE，∴，∴直线A1E与平面BCC1B1所成的角为450．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20．（15分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（Ⅰ）求证：A1C1⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．【分析】（Ⅰ）先证AC⊥BC1，可通过证出AC⊥平面BCC1实现．由已知，易证AC⊥BC，AC⊥C1C，可得AC⊥平面BCC1成立，进而可证A1C1⊥BC1；（Ⅱ）令BC1交CB1于点E，连接ED，可知E、D是△AC1B的中位线，得出DE ∥AC1，利用线面平行的判定定理证出AC1∥平面CDB1；【解答】解：（Ⅰ）易知A1C1⊥BC，A1C1⊥CC1，且BC1∩CC1=C1，可得A1C1⊥面BCC1B1，故AC⊥BC1；又A1C1∥AC，∴A1C1⊥BC1；（Ⅱ）设CB1与C1B交于E，连接DE，由于E、D分别是BC1和AB的中点，可得DE∥AC1，而AC1⊄平面CDB1，故AC1∥平面CDB1．【点评】本题考查空间直线和直线、平面位置关系的判断，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力，属于中档题．21．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PA=PB，点M在线段PC上（不含端点），且BM⊥平面PAC．（Ⅰ）求证：AD⊥面PAB；（Ⅱ）求证：AP⊥平面BCP．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O连接OP，由等腰三角形的性质可得OP⊥AB，进而可得OP⊥AD，结合BC⊥AD，即可得证AD⊥面PAB．（Ⅱ）利用线面垂直的性质可得AP⊥BM，可证BC⊥侧面PAB，可证AP⊥BC，从而利用线面垂直的判定可证AP⊥平面BCP．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O连接OP，∵PA=PB，∴OP⊥AB，又侧面PAB⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥AD，又∴BC⊥AD，AB∩OP=0，∴AD⊥面PAB．（Ⅱ）∵BM⊥平面PAC，∴AP⊥BM，∵侧面PAB⊥底面ABCD，又BC⊥AB，∴BC⊥侧面PAB，∴AP⊥BC，而BC与BM是平面BCP内两相交直线，∴AP⊥平面BCP．【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．22．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点，（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）取PA中点F，连接EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，从而EC∥FD，由此能证明EC∥平面ADE．（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，则∠PBH是PB与平面ABCD所成角，由此能求出BP与平面ABCD所成的角的正切值．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG 在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∠PGH是二面角P﹣AB﹣D的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣D的余弦值大小．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连接EF，FD，∵E是BP的中点，∴EF∥AB，且，又∵，∴，∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD，又∵EC⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，∴EC∥平面ADE．解：（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，∵PA=PD，∴PH⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD于AD，∴PH⊥面ABCD，∴HB是PB在平面ABCD内的射影，∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角，∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是直角梯形，设AB=2a，则，在△ABD中，∠DBA=45°，∴，．又∵BD2+AD2=4a2=AB2∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，∴，∴在Rt△PHB中，，∴BP与平面ABCD所成的角的正切值为．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∴∠PGH是二面角P﹣AB﹣D的平面角，由，又，在Rt△PHG中，，∴二面角P﹣AB﹣D的余弦值大小为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．。
2017-2018学年高二(上)期中数学试卷带答案精讲
2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。
浙江高二高中数学期中考试带答案解析
浙江高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设，若，则（）A．B．C．D．2.的极大值点是（）A．B．C．D．3.若，则下面四个式子中恒成立的是（）A．B．C．D．4.设曲线在点处的切线与直线平行，则实数等于（）A．B．C．D．5.已知函数的极大值点和极小值点都在区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6.在直角坐标系中，直线的参数方程为.曲线的参数方程为，则直线和曲线的公共点有（）A．个B．个C．个D．无数个7.设，则三数中（）A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于28.用数学归纳法证明：，第二步证明“从到”，左端增加的项数是（）A．B．C．D．9.已知函数在处有极值，则函数的图象可能是（）A．B．C．D．10.已知，其中，如果存在实数，使，则的值（）A．必为正数B．必为负数C．必为非负数D．必为非正数二、填空题1.已知为抛物线上两点，点的横坐标分别为，过点分别作抛物线的切线，两切线交于点，则点的坐标为2.在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线与交于两点，则线段的长度为3.两点等分单位圆时，有相应正确关系为；三点等分单位圆时，有相应正确关系为。
由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为4.已知函数在上单调递减，则的取值范围是5.已知函数在上可导，且，比较大小： __6.设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是7.若时，函数在上有且只有一个零点，则=三、解答题1.已知函数；（1）若在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，求实数的值；（2）当时，求证：当时，．2.设数列的前项和为，且对任意都有：；（1）求；（2）猜想的表达式并证明．3.以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为，设直线与曲线分别交于；（1）写出曲线和直线的普通方程；（2）若成等比数列,求的值．4.已知函数，；（1）讨论的单调性；（2）若在上的最大值为，求的值．5.函数；（1）若在处取极值，求的值；（2）设直线和将平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域（不包括边界），若图象恰好位于其中一个区域，试判断其所在区域并求出相应的的范围．浙江高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以，，即，故选B。
浙江省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(七)
浙江省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（七）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1．直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．两圆x2+y2=4与（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．内含 B．相交 C．相切 D．相离3．已知不同直线a，b，l，不同平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若a⊥l，b⊥l，则a∥b B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若β⊥γ，b⊥γ，则b∥βD．若α⊥l，β⊥l，则α∥β4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1 B．C．2 D．26．点P在直线l：x﹣y﹣1=0上运动，A（4，1），B（2，0），则|PA|+|PB|的最小值是（）A．B．C．3 D．47．如图，∠C=，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，将△BMN沿直线MN折起，使二面角B′﹣MN﹣B的大小为，则B'N与平面ABC所成角的正切值是（）A．B．C．D．8．已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE上的动点（包括端点），PQ=．设线段PQ中点的轨迹为l，则l的长度为（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．在空间直角坐标系o﹣xyz中，点A（1，2，2），则|OA|=，点A到坐标平面yoz 的距离是．10．已知直线l1：ax+y﹣6=0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=，此时点P的坐标为．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个面中，直角三角形的个数是个，它的表面积是．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D 所成角的大小是，若D1E⊥EC，则AE=．13．已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是．14．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，BC1与B1C的交点为D，则AD与平面BB1C1C 所成角的大小是．15．已知点P（1，1），圆C：x2+y2﹣4x=2，过点P的直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M（M不同于P），若|OP|=|OM|，则l的方程是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=AN=1．（Ⅰ）证明：M，N，C，D1四点共面；（Ⅱ）求几何体AMN﹣DD1C的体积．17．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（Ⅰ）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（Ⅱ）若l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求a的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2，，∠DAB=45°．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PAD．19．如图所示，正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、CD、AD的中点，将ABCD沿EF折起，使FG⊥BG．（Ⅰ）证明：EB⊥平面AEFD；（Ⅱ）求二面角G﹣BF﹣E的余弦值．20．如图，已知圆C的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，圆C与直线y=kx+3相交于A，B 两点．当时，．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）当k取任意实数时，问：在y轴上是否存在定点T，使得∠ATB始终被y轴平分？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．四、附加题（本小题满分15分）21．己知椭圆+=1的离心率为，且它的一个焦点F1的坐标为（0，1）（Ⅰ）试求椭圆的标准方程：（Ⅱ）设过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，N是椭圆上不同于A、B的动点，试求△NAB的面积的最大值．参考答案一、单项选择题1．A．2．B．3．D．4．C．5．B 6．C．7．D．8．D．二、填空题9．解：根据空间中两点间的距离公式，得：|OA|==3．∵A（1，2，2），∴点A到平面yoz的距离=|1|=1．故答案为：3，110．解：∵直线l1：ax+y﹣6=0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1=0相交于点P，l1⊥l2，∴a×1+1×（a﹣2）=0，解得a=1，解方程，解得x=3，y=3，∴P（3，3）．故答案为：1，（3，3）．11．解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是底边是2，高是2的等腰三角形，其面积为=2与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为1，故是直角三角形，其面积为=1，另两个侧面是等腰三角形，底边长为，腰长为，其面积为=9∴表面积是2+1+18=21，故答案为：1，21．12．解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，t，0），0≤t≤2，则=（1，t，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴•=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．∵=（1，t，﹣1），=（﹣1，2﹣t，0），D1E⊥EC，∴=﹣1+t（2﹣t）+0=0，解得t=1，∴AE=1．故答案为：900，1．13．解：圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1表示圆心为C（﹣2，﹣m+4），半径R=1的圆，求得|OC|=，∴m=4时，|OC|的最小值为2故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是|OC|的最小值﹣R=2﹣1=1，故答案为：1．14．解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，∴tan∠ADE==，∴∠ADE=60°．故答案为：60°．15．解：圆C的方程可化为（x﹣2）2+y2=6，所以圆心为C（2，0），半径为，设M（x，y），则=（x﹣2，y），=（1﹣x，1﹣y），由题设知•=0，故（x﹣2）（1﹣x）+y（1﹣y）=0，即（x﹣1.5）2+（y﹣0.5）2=0.5．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x﹣1.5）2+（y﹣0.5）2=0.5．M的轨迹是以点N（1.5，0.5）为圆心，为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为，所以l的斜率为﹣3，故l的方程为y﹣1=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣4=0．故答案为：3x+y﹣4=0．三、解答题16．（Ⅰ）证明：∵A1D1∥AD，A1D1=AD，又BC∥AD，BC=AD，∴A1D1∥BC且A1D1=BC连接A1B，则四边形A1BCD1是平行四边形所以A1B∥D1C…在△ABA1中，AM=AN=1，AA1=AB=3所以，所以MN∥A1B…所以MN∥D1C，所以M，N，C，D1四点共面．…（Ⅱ）解：因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，又M，N，C，D1四点共面．所以平面AMN∥平面DD1C延长CN与DA相交于点P，因为AN∥DC所以，即，解得，同理可得，所以点P与点Q重合所以D1M，DA，CN三线相交于一点，所以几何体AMN﹣DD1C是一个三棱台，…所以…17．解：（Ⅰ）由题意知，a+1≠0，即a≠﹣1．…当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时a=2，直线l的方程为3x+y=0；…当直线l不过原点时，即a≠2时，由截距相等，得，即a=0，直线l的方程为x+y+2=0，综上所述，所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0．…（Ⅱ）由题意知，a+1≠0，a﹣2≠0，且l在x轴，y轴上的截距分别为…由题意知，，即（a﹣2）2=12|a+1|，…当a+1＞0时，解得…当a+1＜0时，解得a=﹣4，综上所述或a=﹣4．…18．证明：（Ⅰ）连结AC，因为底面ABCD是平行四边形，所以F是AC中点．在△PAC中，又E是PA中点，所以EF∥PC．又因为EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC；（Ⅱ）在△ABD中，因为，∠DAB=45°，由余弦定理得：BD==2，所以BD⊥AD．因为面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，又BD⊂平面ABCD，所以BD⊥面PAD．因为BD⊂面DEF，所以平面DEF⊥平面PAD．19．（Ⅰ）证明：设正方体的棱长为2，在Rt△BGF中，所以…∵EF⊥AE，EF⊥EB，∴EF⊥面AEB．∵AD∥EF，∴AD⊥面AEB，∴AD⊥AB所以在Rt△BGF中，得…在△AEB中，又AE=BE=1∴EB⊥AE又EF⊥EB∴EB⊥面AEFB…（Ⅱ）解：取EF的中点H，则GH⊥EF，由（Ⅰ）知，EB⊥面AEFB，所以面EFCB⊥面AEFB，所以GH⊥面EFCB，作HO⊥BF，垂足为O，连接GO，由三垂线定理知，GO⊥BF，所以∠GOH就是所求二面角G﹣BF﹣E的平面角．…在Rt△GHO中，GH=1，，所以，所以所以二面角G﹣BF﹣E的余弦值为．…20．解：（Ⅰ）设圆心C（0，b），b＞0，则半径r=b，…则圆心C（0，b）到的距离∴…得∴b=2或b=﹣4（舍）∴圆C的方程为∴x2+（y﹣2）2=4…（Ⅱ）假设存在点T（0，t），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组得（1+k2）x2+2kx﹣3=0则…由k AT+k BT=0即…∴2kx1x2+（3﹣t）（x1+x2）=0，∴6k+2k（3﹣t）=0对k取任意实数时都成立，∴t﹣3=3即t=6故存在定点T（0，6），使得∠ATB始终被y轴平分．…四、附加题21．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则c=1，又e==，可解得a=，∴b2=a2﹣c2=2，∴椭圆的标准方程为+=1；（Ⅱ）设过焦点F1的直线为l，①若l的斜率不存在，则A（0，），B（0，），即|AB|=2，显然当N在短轴顶点（0，）或（0，﹣）时，△NAB的面积最大，此时，△NAB的最大面积为×2×=．②若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程：，消去y整理得：（2k2+3）x2+4kx﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，则|AB|=|x1﹣x2|=，∵当直线与l平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线l的距离最大，设切线l′：y=kx+m，（m≤﹣），联立方程：，消去x整理得：（2k2+3）y2+4kmy+2m2﹣6=0，由△=（4km）2﹣4（2k2+3）（2m2﹣6）=0，解得m2=2k2+3，（m＜﹣），又点N到直线l的距离d=，=d|AB|=×，∴S△2==6（1﹣）2（1﹣），∴S△令t=（﹣，0）设f（t）=6（1﹣t）2（1﹣t2），∴f′（t）=12（1﹣t）2（2t+1），∵当t∈（﹣，﹣）时，f′（t）＞0，当t∈（﹣，0）时，f′（t）＜0，∴f（t）在（﹣，﹣）上是增函数，在（﹣，0）为减函数，∴f（t）min=f（﹣）=，故k2=时，△NAB的最大面积为，显然＜，∴当l的方程为y=±x+1，△NAB的面积最大，最大值为．。
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二(上)期中数学试卷(1)高二数学参考答案
8 4 16 2 4 2 2 2 2
3 3 cos PDO ， ， 在 Rt POD 中， 有 PD ODg 4 2 SP N PN PD N PC SC 故可在 上取一点 ,使 ,过 作 的平行线与 的交点即为 E 。 连 BN 。 BN // PO NE // PC BEN // 平面 PAC BDN 在 中，知 ，又由于 ,故平面 ，得 3 BE // 平面PAC ,由于 NP , SN 1 SN : NP 2 : 3 , 2 cos SDO 由 （1） 可得 SOD 中，
故 SE : EC 2 : 3 .-------------------------15 分
y x 2 22. 解：(Ⅰ)联立 x 2 可得， 5x2 16 x 12 0 ，即 ( x 2)(5x 6) 0 . 2 y 1 4
得 | AB |
4 4 2 .原点 O 到直线 l 的距离 d 2 ，所以 SOAB . 5 5
——————6 分
y kx 2 3 2 2 (Ⅱ)联立 x 2 可得， (4k 1) x 16kx 12 0 .由 4k 2 3 0 ,得 k 2 .——8 分 2 4 y 1 4
2 2 2 2 设 P( x, y), 则 x y 2 ( x 3) y ，化简得 ( x 4)2 y 2 4 ，
—————————— 7 分
因为点 P 在圆 C1 和圆 C2 外，故点 P 的轨迹方程为 ( x 4)2 y 2 4( x 2) —— 15 分（未去点 不扣分） 21. 解(Ⅰ)由 SD ⊥面 APC 知 SD ⊥ AC ，在正方形 ABCD 中， AC BD ，
浙江省温州九校2018学年第一学期期中考试高二数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省温州九校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 双曲线x 25−y 24=1的焦点坐标是（ ）A. (±1,0)B. (0,±1)C. (±3,0)D. (0,±3)2. 已知x ∈R ，“x -2≤0”是“|x -1|≤1”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知直线3x -y +1=0的倾斜角为α，则tan （α+π4）=（ ）A. −2B. −12C. 2D. 124. 设m ，n 是不同的两条直线，α，β是不同的两个平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若m//α，n//β，α//β，则m//nB. 若m//α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥βC. 若m//α，n//β，m ⊥n ，则α⊥βD. 若m ⊥α，n ⊥β，m//n ，则α//β5. 已知数列{a n }是等差数列，圆C 的方程为x 2+y 2=5x ，过点（52，32）的圆C 的所有弦中，最大弦长为数列的首项a 1，最小弦长为a m ，若公差d =-14，那么m 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66. 已知点A （1，3），若动点P （x ，y ）的坐标满足{x ≥0y ≥x x +y ≤2，则|AP |的最小值为（ ）A. 2√2B. 2C. √2D. √57. 已知实数x ，y 满足2x ＞y ＞0，且12x−y +1x+2y =1，则x +y 的最小值为（ ）A. 3+2√35B. 4+2√35C. 2+4√35D. 3+4√358. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，过顶点A 1作平面α，使得直线AC 和BC 1与平面α所成的角都为60°，这样的平面α可以有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，圆M 的圆心在y 轴正半轴，半径为√3a ．若圆M 与双曲线的两条渐近线相切且直线MF 与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线C 的离心率为（ ）A. √52B. √2C. 2√33D. √510. 已知△ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt △ACD 和Rt △BCD ）组成的三角形，如图所示，其中∠ACD =45°，∠BCD =60°，现将Rt △ACD 沿斜边AC 进行翻折成△D 1AC （D 不在平面ABC 上）．若M ，N 分别为BC 和BD 1的中点，则在△ACD 翻折过程中，下列命题中错误的是（ ）A. 在线段BD 上存在一定点E ，使得AD 1//平面MNEB. 存在某个位置，使得直线AD 1⊥平面BCD 1C. 存在某个位置，使得直线AD 1与DM 所成角为60∘D. 对于任意位置，二面角D 1−BC −A 始终不小于直线AD 1与平面ABC 所成角二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 直线11：x +my -4=0与l 2：2x +（2+m ）y -2=0平行，则实数m =______，l 1与l 2之间的距离为______． 12. 正项等比数列{a n }中，a 2•a 4=10，则a 1•a 5=______，lg a 1+lg a 2+lg a 3+lg a 4+lg a 5=______． 13. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______，最大的棱长为______．14. 在等腰梯形ABCD 中，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______（用a ⃗ 和b ⃗ 表示），当x =______时，|b ⃗ -x a⃗ |最小． 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若b cos C +c cos B =2a cos B ，a 2+c 2-b 2=4，则△ABC 的面积为______．16. 已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）和直线l ：x +y -1=0，若抛物线C 上存在关于直线对称的相异两点M ，N ，则p的取值范围是______． 17. 已知函数f （x ）=x 4−x 3(cosθ+1)−xsin(θ+1)+1x 2，x ＞0，θ∈R ，若f （x ）≥m 恒成立，则m 的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f （x ）=cos （π2−2x ）+√3cos2x ．（1）求f （x ）的单调递增区间：（2）若不等式|f （x ）-2m |＜3在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围19. 如图四棱锥C -ABDE 的侧面△ABC 是正三角形，BD ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且BD =2AE ，F 为CD 的中点．（1）求证：EF ∥面ABC ；（2）若BD =AB =6，求BF 与平面BCE 所成角的正弦值．20. 已知等差数列{a n }中，首项为a 1，公差为d ，且a 1=d ，等比数列{b n }中，首项b 1=1，公比为q ，b 2，b 4是方程x 2-mx +16=0（m 2＞64）的两个根．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）记数列{a n b n +1}的前n 项和为S n ，若q ＞0，求证：S n =（a n -a 1）b n +2+2a 1．21. 已知动圆M 恒过点F （1，0），且总与直线l ：x =-1相切．（1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）直线AB 与曲线C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，D （x 0，y 0）为线段AB 中点，且y 1y 2═4，求x 0|AB|的最小值． 22. 已知椭圆x 24+y 23=1及定点P （3，0），动直线l 过点P 交椭圆于A ，B 两点（点A 在P 、B 之间），PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）求λ的取值范围；（2）在x 轴上是否存在定点Q （不同于P ），使得（QA⃗⃗⃗⃗⃗ +λQB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．答案和解析1.【答案】C【解析】解：双曲线=1，可得：a=，b=2，则c==3，双曲线的焦点坐标在x轴，所以焦点坐标（±3，0）．故选：C．利用双曲线方程，求出实半轴与虚半轴的长，然后求解焦点坐标．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解：由x-2≤0，解得：x≤2，由|x-1|≤1，解得：0≤x≤2，故x-2≤0”是“|x-1|≤1“的必要不充分条件，故选：B．求出不等式的解集，根据集合的包含关系判断即可．本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题．3.【答案】A【解析】解：∵直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，则tan（α+）==-2，故选：A．由题意利用直线的倾斜角和斜率求得tanα的值，再利用两角和的正切公式求得tan（α+）的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两角和的正切公式的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由m，n是不同的两条直线，α，β是不同的两个平面，知：在A中，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则由面面垂直的判定定理得α∥β，故D 正确．故选：D．在A中，m与n平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由面面垂直的判定定理得α∥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】C【解析】解：根据题意，圆C的方程为x2+y2=5x，变形可得：（x-）2+y2=，其圆心为C（，0），半径r=，设M（，），过点（，）的圆C的所有弦中，最长弦的弦长为直径，即a1=2r=5，当CM与弦垂直时，弦长最小，则最小弦长为a m=2×=4，又由数列{a n}是等差数列，且公差d=-，则有a m=a1+（m-1）×（-），变形可得：5-=4，解可得：m=5；故选：C．根据题意，分析圆C的圆心与半径，分析过点（，）的最大弦与最小弦长，结合等差数列的性质分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系以及圆的方程，涉及圆的几何性质及等差数列的通项公式等知识，解题时要学会使用圆的几何性质解决圆的弦长问题，提高解题速度．6.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，由图象可知点A到直线x+y=2的距离最小，此时d==，即|PA|的最小值为：，故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用点到直线的距离公式即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．7.【答案】B【解析】解：∵2x＞y＞0，且=1，∵5（x+y）=（2x-y）+3（x+2y），∴5x+5y=（）[（2x-y）+3（x+2y）]=4，则x+y的最小值为．故选：B．由已知可得，5（x+y）=（2x-y）+3（x+2y），然后代入5x+5y=（）[（2x-y）+3（x+2y）]，利用基本不等式可求．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是对已知条件的变形，注意转化思想的应用．8.【答案】B【解析】解：∵AD1∥BC1，∴过A在空间作平面α，使平面与直线AC和BC1所成的角都等于60°，即过点A在空间作平面α，使平面α与直线AC和AD1所成的角都等于60°．令∠CAD1的角平分线和外角平分线分别为AM和AM′，∴要使平面α过A点，且与AC、AD1所成的角都为60°，则该平面必过AM或AM′，∵∠CAD1=60°，∴当过AM时，平面α与AC、AD1所成角的范围为[0°，30°]，∴绕AM旋转平面α，得到符合条件的平面α有2个，∵∠CAD1=60°，∴当过AM′时，平面α与AC、AD1所成角的范围为[0°，60°]，当平面α⊥平面CAD1，符合条件，故存在一个平面α．综上，满足条件的平面α有3个．故选：B．由AD1∥BC1，得到过A在空间作平面α，使平面与直线AC和BC1所成的角都等于60°，即过点A在空间作平面α，使平面α与直线AC和AD1所成的角都等于60°．由此能求出满足条件的平面的个数．本题考查直线与平面所成角的问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．9.【答案】C【解析】解：设圆心M（0，m），m＞0，曲线的渐近线方程为y=±x，F（-c，0），∵直线MF与双曲线的一条渐近线y=-x垂直，则•（-）=-1，即m=，则圆心坐标M（0，），∵圆M与双曲线的两渐近线均相切，∴圆心M到直线y=±x即bx±ay=0的距离d=a，即d==a，整理得a=b，则a2=3b2=3c2-3a2，则4a2=3c2，则e=═，故选：C．根据条件求出圆心的坐标，利用直线和圆相切，建立条件关系，求出a，b，c的关系即可得到结论．本题主要考查离心率的求解，直线和圆的位置关系的应用，根据条件求出圆心坐标以及a，b，c的关系是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：对于A，当E为AB的中点时，可得AD1∥NE，AD1⊄平面MNE，NE⊂平面MNE，即有AD1∥平面MNE，故A正确；对于B，由于AD1⊥D1C，当AD1⊥D1B，且D1B＜AB，可得直线AD1⊥平面BCD1，故B正确；对于C，假设存在某个位置，使得直线AD1与DM所成角为60°，由AD1∥NE，过E作EH∥DM，可得∠NEH=60°，设CD=AD=1，AC=，BD=，BC=2，可得NE=，DM=1，EH=，NH==＜NM=，与NH＞NM矛盾，故C不正确；对于D，过D1作D1O⊥平面ABC，垂足为O，连接OA，过O作OF⊥BC，垂足为F，连接D1F，可得∠D1AO为AD1与平面ABC所成角，∠D1FO为二面角D1-BC-A的平面角，tan∠D1AO=，tan∠D1FO=，而OA≥OF，可得≤，则任意位置，二面角D1-BC-A始终不小于直线AD1与平面ABC所成角，故D正确．故选：C．由线面平行的判定定理可判断A；由线面垂直的判定定理可判断B；运用异面直线所成角的定义，计算可判断C；过过D1作D1O⊥平面ABC，垂足为O，连接OA，过O作OF⊥BC，垂足为F，连接D1F，由线面角和二面角的定义，即可判断D．本题考查空间线线角和线面角、二面角的求法，考查平行和垂直的判断和性质，以及空间想象能力，推理能力，属于中档题．11.【答案】2 3√55【解析】解：∵直线11：x+my-4=0与l2：2x+（2+m）y-2=0平行，∴，解得实数m=2，∴直线11：x+2y-4=0与l2：2x+4y-2=0，∴l1与l2之间的距离为d==．故答案为：2，．由直线11：x+my-4=0与l2：2x+（2+m）y-2=0平行，列方程求出实数m=2，从而直线11：x+2y-4=0与l2：2x+4y-2=0，由此能求出l1与l2之间的距离．本题考查实数值、两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】10 52【解析】解：正项等比数列{a n}中，a2•a4=10，则a1•a5=a2•a4=10=．解得a3=．lga1+lga2+lga3+lga4+lga5=lg（a1a2…a5）==．故答案为：10，．正项等比数列{a n}中，a2•a4=10，可得a1•a5=a2•a4=10=．解得a3．再利用对数运算性质即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】42√33【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥P-BCD，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，其底面面积S=×2×2=2，高h=2，故体积V=Sh=，最长的棱长为：PC==2．故答案为：；2．由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，根据锥体体积公式，判断棱长求解即可．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．14.【答案】32a⃗+12b⃗ a⃗ ⋅b⃗(a⃗ )2【解析】解：因为M为BC的中点，所以=（+）═+（+）=++×2=+，因为|-x|==，所以当x=时，|-x|最小．故答案为：+，第一个空，根据向量加法的三角形法则可得；第二个空，平方后变成关于x的二次函数求最小值，显然对称轴的函数值最小．本题考查了平面向量的几何运算以及二次函数最值．属中档题．15.【答案】√3【解析】解：∵bcosC+ccosB=2acosB，∴由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，可得：sin（B+C）=sinA=2sinAcosB，∵sinA≠0，∴可得：cosB=，可得：sinB=，∵a2+c2-b2=2accosB=ac=4，∴S△ABC=acsinB==．故答案为：．由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA=2sinAcosB，由于sinA≠0，可求cosB=，可得sinB=，由已知利用余弦定理可求ac=4，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】（0，23）【解析】解：∵抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点M，N，∴直线l是线段MN的垂直平分线，∴MN的斜率为：1，设MN的方程为：y=x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），线段PQ的中点为M（x M，y M），由，∴x2-2（p-b）x+b2=0，∴x1+x2=2（p+b），∴x中=p-b，∴中点（p-b，p）可得p-b+p-1=0，即b=2p-1，∴x2-2（1-p）x+（2p-1）2=0，∵相交于MN两点∴△=4（1-p）2-4•（2p-1）2＞0∴3p2-2p＜0，∴0＜p＜．故答案为：（0，）．抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点MN，推出直线l是线段MN的垂直平分线，MN的斜率为1，设MN的方程为：y=x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与抛物线方程，通过中点在对称轴上，利用判别式转化求解P的范围即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，判别式的求法，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】（-∞，-√2]【解析】解：f（x）==x2+-x（cosθ+1）-（sinθ+1）=x2+-（xcosθ+sinθ）-（x+），=x2+-（x+）-cos（θ+φ）≥x2+-（x+）-，设t=，可得t≥，当且仅当x=1取得等号，则t2=x2+，即有x+=，设g（t）=t2-t-，t≥，g′（t）=2t-1-=t（2-）-1，由t≥，可得≤2-＜2，即有t（2-）-1≥0，即g （t ）在t≥递增，可得g （t ）≥g （）=-，由f （x ）≥m 恒成立，可得m≤-，即m 的范围是（-∞，]． 故答案为：（-∞，-]．先根据三角函数的辅助角公式和余弦函数的性质，得到f （x ）≥x 2+-（x+）-，设t=，可得t≥，当且仅当x=1取得等号，则t 2=x 2+，即有x+=， 设g （t ）=t 2-t-，t≥，根据函数的单调性质求出g （t ）的最小值，问题得以解决．本题考查了函数恒成立的问题，关键是构造函数，利用函数的单调性质求出函数的最值，培养学生的转化能力、运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）函数f （x ）=cos （π2−2x ）+√3cos2x =sin2x +√3cos2x =2sin （2x +π3），令2k π-π2≤2x +π3≤2k π+π2，求得k π-5π12≤x ≤k π+π12，可得函数的增区间为[k π-5π12，k π+π12]，k ∈Z ．（2）（2）若不等式|f （x ）-2m |＜3在x ∈[0，π2]上恒成立，即 2m -3≤f （x ）≤2m +3在x ∈[0，π2]上恒成立．在x ∈[0，π2]上，2x +π3∈[π3，4π3]，f （x ）=2sin （2x +π3）∈[-√3，2]，∴-√3≥2m -3，且2≤2m +3，求得-12≤m ≤3−√32， 即实数m 的取值范围[-12，3−√32]．【解析】（1）利用三角恒等变换化简f （x ）的解析式，再根据正弦函数的增区间，得出结论．（2）由题意得 2m-3≤f （x ）≤2m+3在x ∈[0，]上恒成立，再根据正弦函数的定义域和值域，求得f （x ）的范围，可得m 的范围．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的增区间，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.【答案】（1）证明：取BC 中点G 点，连接AG ，FG ，∵F ，G 分别为DC ，BC 中点，∴FG ∥BD 且FG =12BD ， 又AE ∥BD 且AE =12BD ， ∴AE ∥FG 且AE =FG ，∴四边形EFGA 为平行四边形，则EF ∥AG又∵AG ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ．（2）解：取AB 的中点O 和DE 的中点H ，分别以OC 、OB 、OH 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系，则C （3√3，0，0），D （0，3，6），E （0，-3，3），A （0，-3，0），B （0，3，0），F （3√32，32，3）． BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3√32，-32，3），BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√3，−3，0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−6，3)， 设面BCE 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3√3x −3y =0m⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6y +3z =0，可得m ⃗⃗⃗ =(1，√3，2√3)． cos ＜BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ ＞=3√32−3√32+6√34×3√5=√1510， ∴BF 与平面BCE 所成角的正弦值为√1510． 【解析】（1）取BC 中点G 点，连接AG ，FG ，由F ，G 分别为DC ，BC 中点，知FG ∥BD 且FG=BD ，又AE ∥BD 且AE=BD ，故AE ∥FG 且AE=FG ，由此能够证明EF ∥平面ABC ．（2）取AB 的中点O 和DE 的中点H ，分别以OC 、OB 、OH 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系，求出面BCE 的法向，利用向量法能求出BF 与平面BCE 所成角的正弦值．．考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．是中档题．20.【答案】解：（1）等比数列{b n }中，首项b 1=1，公比为q ，b 2，b 4是方程x 2-mx +16=0（m 2＞64）的两个根， ∴b 2+b 4=m ，b 2b 4=16=b 32，∴b 3=4或b 3=-4（舍去），∴q 2=a 3a 1=4， ∴q =±2， 当q =2时，b n =2n -1，当q =-2时，b n =（-2）n -1，证明：（2）∵q ＞0，b n =2n -1，∴S n =a 1b 2+a 2b 3+…+a n b n +1=21a 1+22a 2+…+2n a n ，①∴2S n =22a 1+23a 2+…+2n +1a n ，②，由①-②可得，-S n =2a 1+22d +…+2n d -2n +1a n =2d +22d +…+2n d -2n +1a n =d （2+22+…+2n ）-2n +1a n=d •2(1−2n )1−2-2n +1a n =-2d +d •2n +1-2n +1a n =-2a 1-（a n -a 1）2n +1，∴S n =（a n -a 1）b n +2+2a 1．【解析】（1）根据根与系数的关系可得q=±2，即可求出通项公式， （2）利用错位相减法，和等比数列的求和公式即可证明本题考查了等比数列的通项公式何求和公式，以及错位相减法，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21.【答案】解：（1）∵动圆M 恒过点F （1，0），且总与直线l ：x =-1相切，∴圆心M 到F 的距离等于到直线l 的距离，∴点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，且p 2=1，即p =2，故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为y 2=4x ，（2）设直线AB 的方程为x =my +t ，由{y 2=4x x=my+t ，消x 可得y 2-4my -4t =0，∴y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4t =4，则t =1，∴x 0=x 1+x 22-m •y 1+y 22+t =2m 2+1，∴|AB |=√1+m 2•|y 1-y 2|=√1+m 2•√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4（m 2+1），∴x 0|AB|=2m 2+14(m 2+1)=14（2-1m 2+1），当m =0时，x 0|AB|的最小值为14【解析】（1）根据抛物线的定义即可得到点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，即可求出抛物线方程， （2）设直线AB 的方程为x=my+t ，由韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式即可求出．本题考查了抛物线的方程，直线和抛物线的位置关系，韦达定理，弦长公式，属于中档题22.【答案】解：（1）当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x =my +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =my +3x 24+y 23=1，得：（3m 2+4）y 2+18my +15=0，∵y 1，y 2是方程的根，∴△＞0，∴m 2＞53， ∴y 1+y 2=-18m 3m 2+4，y 1y 2=153m 2+4，又∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=y 1y 2，λ∈（0，1），∴(y 1+y 2)2y 1y 2=λ+1λ+2=108m 215m 2+20∈（4，365）， ∴λ∈（15，1）当l 的斜率为0时，λ=15， 综上所述，λ∈[15，1）；（2）设存在Q （x 0，0），x 0≠3， 由（QA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λQB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得：x 1-x 0+λ（x 2-x 0）=0，即my 1+3-x 0+y 1y 2（my 2+3-x 0）=0， 化简得：2m +（3-x 0）y 1+y 2y 1y 2=0， 即m （65x 0-85）=0， ∴x 0=43，∴点Q （43，0）． 【解析】 （1）按照直线l 的斜率是否为0，分两种情况讨论，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x=my+3，联立椭圆方程，由根与系数关系及向量关系将λ用m 表示，然后求出值域； 当l 的斜率为0时，直接算出λ，最后综合可得； （2）假设存在Q （x 0，0）满足题意，再根据题意列式算出x 0=，故存在Q 点．本题考查了直线与椭圆的综合．属中档题．。
2017_2018学年高二数学上学期期中联考试题
年高二上学期期中考试数学试题2017.11本试卷分I 卷选择题（60分）II 卷非选择题（90分）,满分150分，时间120分钟第I 卷（选择题60分）一．选择题：本大题共12个小题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝()A.15B.59C.53D ．1 2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于()A ．8B ．10C ．12D ．144. 如图从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于()1)m －2180(．B 1)m －3240(．A 1)m＋330(．1)m D －3120(．C 5.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B＝23，则A ＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π66．已知等差数列{a n }的公差为－2，且a 2，a 4，a 5成等比数列，则a 2＝()A ．－4B ．－6C ．－8D ．87．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟8．若a >b >0，c ＜d ＜0，则一定有()A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d9.若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝()A ．15B ．12C ．－12D ．－1510. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11. 已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则()A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞012. 若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0的周长，则2a ＋1b 的最小值是()A ．2－2B.2－1C ．3＋22D ．3－2 2第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题横线上 13. 已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.14.已知不等式(k －2)x 2－2(k －2)x －4＜0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 15. 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．16．在△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 依次成等比数列，则B 的取值范围是________． 三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解不等式f (1)>0 ,求a 的范围(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 18.（本小题满分12分）。
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C． （ x+2 ） 2+ （ y+2 ） 2=8
3． （4 分）已知 F1，F2 分别为椭圆
椭圆交于 A，B 两点，那么△F1AB 的周长为（ A．2 B．2 C．4 D．4
4． （4 分）已知空间中两条不同的直线 m，n，两个不同的平面 α，β，下列命题 正确的是（ ）
A．若 m⊥α 且 m∥β，则 α⊥β B．若 m⊥β 且 m∥n，则 n∥β C．若 m∥α 且 n∥α，则 m∥n D．若 m 不垂直于 α，且 n⊂α，则 m 不垂直于 n 5． （4 分）如图，△A′B′C′是斜二测画法画水平放置的△ABC 的直观图，其中 O′ 是 A′C′的中点，△O′A′B′是以∠O′B′A′为直角的等腰直角三角形，则下列描述中正 确的是（ ）
17． （4 分）椭圆
+
=1（a＞b＞0）的上焦点 F（0，c）关于直线 y=﹣ x 的 ．
对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率大小是
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 （14 分）已知直线 l1：x+y﹣3=0，直线 l2：y=x﹣1． （Ⅰ）求过直线 l1 与 l2 的交点 P 的坐标； （Ⅱ）过点 P 的直线与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴正半轴交于点 B，求△AOB 面积的最小值（O 为坐标原点） ． 19． （15 分）已知 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（﹣3，0） ，平面内的动点 P 满 足|PA|=2|PO|． （Ⅰ）求动点 P 的轨迹 C 的方程，并说明曲线 C 为何种曲线； （Ⅱ） 若曲线 C 上的动点到直线 l： kx﹣y+k+1=0 的距离的最大值为 3， 求 k 的值． 20． （15 分）如图，三棱锥 P﹣ABC 中，BC⊥平面 PAB，PA=PB=AB=BC=6，点 M， N 分别为 PB，BC 的中点，点 E 为线段 AC 上的点，满足 AE= AC． （Ⅰ）求证：AM∥平面 PNE； （Ⅱ）求直线 PE 与平面 PAB 所成角的正切值．
A．一段圆弧
B．椭圆的一部分
C．一条线段
D．平行四边形
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二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 11． （6 分）直线 x﹣y+1=0 的倾斜角为 ，在 y 轴上的截距为 ． ，
12． （6 分）已知直线 l1：x﹣y+1=0，直线 l2：ax+y+2=0，若 l1⊥l2，则 a= 若 l1∥l2，则两平行直线间的距离为 ．
+y2=1 和椭圆 C：x2+y2=r2（1＜r＜2） ．
时，求椭圆 E 与圆 C 在第一象限内的公共点坐标；
（Ⅱ）求椭圆 E 与圆 C 的公切线段 PQ 长的最大值．
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13． （6 分）已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是 几何体的体积是
，
14． （4 分）若直线 y=kx﹣1（k∈R）被圆（x+1）2+y2=4 所截得的弦为 AB，则|AB| 的最小值为 ．
15． （4 分）一个长方体的三条棱长分别为 2，5，9，若在长方体上面钻一个圆柱 形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为 ．
16． （6 分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且 BC=2CD=4， 将△ABC 沿 BC 翻折，设点 A 在平面 BCD 上的射影为点 M，若点 M 在△BCD 内 部（含边界） ，则点 M 的轨迹长度等于 ；在翻折过程中，当点 M 位于线 ．
段 BD 上时，直线 AB 与 CD 所成的角的余弦值等于
A．θ≥θ1
B．θ≤θ1
C．θ≥θ2 +
D．θ≤θ2 =1，F 为 C 的右焦点，A 为 C 的上顶点，
9． （4 分）已知椭圆 C 的方程为
P 为 C 上位于第一象限的动点，则四边形 OAPF（其中 O 为坐标原点）的面积的 最大值是（ A． B． ） C． D．1
10． （4 分）在三棱锥 P﹣ABC 中，D 为棱 PA 上一动点，E 为 BC 上一动点，且满 足 3AD=2BE，则线段 DE 的中点 Q 的轨迹是（ ）
7． （4 分）已知两定点 A（﹣3，﹣2） ，B（3，﹣2） ，动点 P 在曲线 y=x2+1 上移 动，则△PAB 重心 G 的轨迹方程是（ A．y=2x2+1 B．y=3x2+1 C．y=2x2﹣1 ） D．y=3x2﹣1
8． （4 分）如图，已知三棱锥 D﹣ABC，记二面角 C﹣AB﹣D 的平面角是 θ，直线 DA 与平面 ABC 所成的角是 θ1，直线 DA 与 BC 所成的角是 θ2，则其中正确的是 （ ）
21． （15 分） 如图， 在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 AA1C1C 是菱形，AC1⊥B1C1， AC1 与 A1C 交于点 O． （Ⅰ）求证：AO⊥A1B； （Ⅱ）已知∠BA1C=30°，2AC1=3A1C，求二面角 A﹣A1B﹣C 的正切值．
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22． （15 分）已知椭圆 E： （Ⅰ）当 r=
2017-2018 学年浙江省 9+1 高中联盟高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1． （4 分）圆心为（2，2）且过原点的圆的方程是（ A． （x+2）2+（y+2）2=2 B． （x﹣2）2+（y﹣2）2=2 D． （x﹣2）2+（y﹣2）2=8 2． （4 分）已知 a∈R，则“a＞2”是“a2＞4”的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 + =1 的左右焦点，直线 l 过右焦点 F2 与 ） ） ）
A．△ABC 是等腰直角三角形 B．△ABC 是直角三角形，但不是等腰三角形 C．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形
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D．△ABC 是钝角三角形 6． （4 分）已知直线 l：x+ ﹣4=0，圆 O：x2+y2=1，A，B 是直线 l 上两动点， ）
若圆 O 上存在唯一点 P，使得∠APB=90°，则线段 AB 长度的最小值为（ A． B．2 C．2 D．4