浙江高二下数学试卷及答案
浙江宁波市2024年高二下学期期末考试数学试题+答案 (1)
宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破。
选择题部分(共58分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，B ={1，5}，则∁U A ∩B =()A.⌀B.{1}C.{5}D.{1，5}2.已知复数z =1+2i ，则1z 的虚部为()A.25B.25iC.-25i D.-253.已知角α的终边过点-4，3 ，则sin α+cos αsin α=()A.-12B.-13C.14D.734.已知a ，b 为单位向量，则“a ⊥b ”是“a -2b =2a +b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误的是()A.若m ⎳α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nB.若m ⊂α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nC.若m ⊥β，且α⎳β，则m ⊥αD.若m ⊥α，且m ⎳β，则α⊥β6.若ln x -ln y >y 2-x 2，则()A.ex -y>1 B.e x -y<1 C.ln x -y >0 D.ln x -y <07.袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为()\A.518B.49C.59D.13188.颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年.这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特.胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cosh x =e x +e -x 2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinh x =e x -e -x2.若关于x 的不等式4m cosh 2x -4sinh 2x -1>0对任意的x >0恒成立，则实数m 的取值范围为()A.2，+∞B.[2，+∞)C.14，+∞ D.14，+∞ 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省名校协作体2022-2023学年高二下学期联考数学试题含解析
2022学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知()1,2,3A -，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是（）A.()1,2,3-- B.()1,2,3 C.()1,2,3- D.()1,2,3--【答案】B 【解析】【分析】根据坐标平面的对称性求解．【详解】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是(1,2,3)，故选：B ．2.与双曲线2214x y -=有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（）A.22194x y += B.22149x y +=C.22196x y += D.22169x y +=【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，结合椭圆长轴长和,,a b c 的关系可得椭圆方程.【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为：()，∴椭圆焦点在x 轴上，且c =，又长轴长为6，即26a =，3a ∴=，2224b a c ∴=-=，∴椭圆方程为：22194x y +=.故选：A.3.在数列{}n a 中，425a =2=，则6a =（）A.121B.100C.81D.64【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得数列是公差为2的等差数列，即可得到结果.2=2=，故数列是公差为2的等差数列，因为425a =22449=⨯=+=，则681a =.故选：C4.直线10x y +-=与圆()2224x y -+=的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离判断即可.【详解】由()2224x y -+=可知圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线的距离22d ==<，故直线与圆相交.故选：B5.正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“2021202320222S S S +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用数列前n 项和的意义，正项等比数列的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，2021202320222023202220222022201232022S S S S S S S a a +⇔>>->⇔-，而{}n a 是公比为q 的正项等比数列，因此20232022202220221a a a q a q >⇔>⇔>，所以“1q >”是“2021202320222S S S +>”的充要条件.故选：C6.已知抛物线22y px =，点()1,2A 在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于B 、C 两点．直线AB 、AC 的斜率分别记为1k ，2k ，则1211k k +的值为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由点坐标求得p ，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，此结论代入1211k k +后化简可得．【详解】由题意2221p =⨯，2p =，抛物线方程为24y x =，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，由24y x y x m⎧=⎨=+⎩得2440y y m -+=，16160m ∆=->，1m <，124y y +=，124y y m =，1212242x x y y m m +=+-=-，2212121212()()()x x y m y m y y m y y m m =--=-++=，所以12122112121211(1)(2)(1)(2)1122(2)(2)x x x y x y k k y y y y ----+--+=+=----211212121212()2()42()4x y x y y y x x y y y y +-+-++=-++2112()()2(42)44x m x x m m m x +++--=-12122()8444x x m x x m m ++-+=-22(42)8444m m m m m +--+=-88244m m -==-．故选：B ．7.已知长方体1111ABCD A B C D -，其中1AA =，AB AD ==P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E 且PA PE =，设1A P 与平面ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值为（）A.π4B.π2C.π6 D.π3【答案】D 【解析】【分析】确定1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，不妨设PA PE x ==，求出PC ，利用PA PC AC +≥求得x 的最小值，再由1tan AA APθ=得θ的最大值．【详解】1AA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面ABCD ，所以1AA PA ⊥，又1PE A C ⊥，PA PE =，所以1PAA 1PEA ≅!，11A E AA ==1AC ==11EC AC A E =-=所以P 点轨迹是对角线1AC 的中垂面与底面ABCD 的交线，为一条线段．由1AA ⊥平面ABCD 知1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，不妨设PA PE x ==，则1A P =，PC =，PA PC x AC +=≥=得3x ≥，2tan xθ=≤π3θ≤，即θ的最大值为π3，故选：D ．8.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的面积为1，把图①，图②，图③，图④，……的面积依次记为1234,,,,S S S S ⋅⋅⋅，则满足()*3N 2n S n ≥∈的n 最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，由图形归纳出113n n a a -=，14n n b b -=，21134n n n n S S b a --=+⨯．由累加法结合等比数列前n 项和公式得求得n S 的表达式，从而得出结论．【详解】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ．由图形作法可知113n n a a -=，14n n b b -=，21134n n n n S S b a --=+⨯．即2221112122121333,,,444n n n n n n n n S S a b S S a b S S a b -------=⋅-=⨯⋅⋅⋅⋅-=⨯⋅利用累加法可得()22211122134n n n n n S S a b a b a b ----=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅因为数列{}n a 是以13为公比的等比数列，数列{}n b 是以4为公比的等比数列，所以{}21n n a b -⋅是以49为公比的等比数列．因为11S =，即21314a =，此时2133a =，224327a =，13b =，所以112212221122144131994519n n n n n n a b a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅==-，所以1834559n n S -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．由183435592n n S -⎛⎫=-⨯≥⎪⎝⎭，得4n ≥．所以n 的最小值是4.故选：C ．【点睛】方法点睛：记第n 个图形为n P ，相应量用一个数列表示，如本题中三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，然后由前后两个图形根据归纳推理得出数列的递推关系，再结合数列知识求解．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，50a =则（）A.370a a += B.280a a <C.100S = D.当且仅当4n =时，n S 取最大值【答案】AB 【解析】【分析】由等差数列的性质可判断A ，B ，D ；由等差数列的前n 项和公式可判断C .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37520a a a +==，故A 正确；因为10a >，50a =，()()2222855533990a a a d a d a d d =-+=-=-<，故B 正确；因为10a >，50a =，所以0d <，故60a <，()()11010566105502a a S a a a +==+=<，故C 错误；由10a >，50a =可知，1234,,,0a a a a >，50a =，67,,0a a < ，故4,5n =时，n S 取最大值，故D 错误.故选：AB .10.已知直线l ：10mx y m +--=，m ∈R 和圆O ：224x y +=，下列说法正确的是（）A.直线l 与圆O 可能相切B.直线l 与圆O 一定相交C.当1m =时，圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1D.直线l 被圆O 截得的弦长存在最小值，且最小值为2【答案】BC 【解析】【分析】由直线方程得出直线l 过定点(1,1)P ，它在圆内，由此易得直线与圆的位置关系，可判断AB ，由PO =利用到直线l 的距离为1的直线与圆的位置关系判断C ，由直线l 与PO 垂直时，弦长最小判断D ．【详解】由直线l 方程知直线l 过定点(1,1)P ，又221124+=<，因此P 在圆O 内部，所以直线l 一定与圆O 相交，A 错，B 正确；1m =时，圆心(0,0)O 到直线l的距离为2d ==<12>，因此与直线l 距离为1的两条直线，一条与圆O 相交，一条与圆O 相离，所以圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1，C 正确；又PO =l 与PO垂直时，弦长为=l 被圆O 所截得的弦长的最小值为，D 错．故选：BC ．11.设M 为双曲线C ：2213x y -=上一动点，1F ，2F 为上、下焦点，O 为原点，则下列结论正确的是（）A.若点()0,8N ，则MN 最小值为7B.若过点O 的直线交C 于,A B 两点（,A B 与M 均不重合），则13MA MB k k =C.若点()8,1Q ，M 在双曲线C 的上支，则2MF MQ +最小值为2D.过1F 的直线l 交C 于G 、H 不同两点，若7GH =，则l 有4条【答案】BCD 【解析】【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.【详解】由双曲线C ：2213x y -=，得12(0,2),(0,2)F F -，设()00,M x y ，则MN =，当且仅当02y =时取等号，所以MN 最小值为，故A 错误；设,A B 两点坐标分别为11(,)x y ，11(,)x y --，所以2201010122010101MA MBy y y y y y K K x x x x x x +--=⋅=+--，又因为222201133,33x y x y =-=-，所以2222010122220101133(33)3MA MBy y y y K K x x y y --===----，故B 正确；211222MF MQ MF MQ QF +=++≥+=+，故C 正确；由双曲线C ：2213x y -=，可得通径长为2267b a=<，且实轴长227a =<，所以这样的直线l 有4条，故D 正确.故选：BCD12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为边AB ，CD ，DA 的中点，P ，Q 分别为线段1BB ，1C D 上的动点，下列结论正确的是（）A.BD 与1D F 所夹角的余弦值为10B.二面角11A BD A --的大小为3πC.四面体11A D PF 的体积的最大值为43D.直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹长度为2【答案】ABC 【解析】【分析】由11//BD B D 得出异面直线所成的角，由余弦定理计算后判断A ，设1A D ，1AD 交于K ，证明1A K ⊥平面1ABD ，根据定义作出二面角的平面角，计算后判断B ，利用平行线性进行体积转换后，111111*********333F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤!!!，从而求得体积的最大值判断C ，作出直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹线段MN （如图）由余弦定理计算出线段长判断D ．【详解】A ．因为1BB 与1DD 平行且相等，所以11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，从而11B D F ∠是异面直线BD 与1D F 所成的角或其补角，在正方体中，1D F =，11D B =，13B F =，1110cos 10B D F ∠==．A正确；B ．设1A D ，1AD 交于K ，则11A K AD ⊥，由AB ⊥平面11ADD A ，1A K ⊂平面11ADD A ，得1AB A K ⊥，而1,AB AD ⊂平面1ABD 且1AB AD A = ，所以1A K ⊥平面1ABD ，1BD ⊂平面1ABD ，则11A K BD ⊥，作11A L BD ⊥，同理1A K KL ⊥，垂足为L ，连接KL ，因为11,A K A L ⊂平面1A KL 且111A K A L A = ，所以1BD ⊥平面1A KL ，又KL ⊂平面1A KL ，所以1BD KL ⊥，所以1A LK ∠是二面角11A BD A --的平面角，正方体中，1A K =，111113A D A B A L BD ⋅===，直角1A KL !中，1113sin 23A K A LK A L ∠==，1π3A LK ∠=，B 正确；C ．由已知11//EF AD A D ∥，EF ⊄平面11A D P ，11A D ⊂平面11A D P ，则//EF 面11A D P ，11111111111112243333212232F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤==⨯⨯⨯!!!，当P 与1B 重合时达到最大值．C 正确；D ．由已知11////EG BD B D ，1B ，1D ，G ，E 四点共面，设11A C 与11D B 交于M ，1A D 与1D G 交于N ，则MN 即为直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹．1112A N A D ND DG ==，1124233A N A D ==，12A M =，又11A DC △为正三角形，所以160MA N ∠=︒，由余弦定理，22211111262cos 9MN A M A N A MA N MA N =+-∠=，263MN =．D 错．故选：ABC ．【点睛】求空间角一般有两种方法，一是,空间向量法，二是定义法，本题图形是在正方体中，我们用定义法求异面直线所成的角和二面角，主要是正方体中平行线与垂线较多，容易作出异面直线所成的角和二面角的平面角，从而再解三角形可得．三棱锥的体积问题，常常利用换顶点（换底）法进行转化，目的是使得棱锥的高与底面积易求解．非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．13.两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=．则1l 与2l 之间的距离为___________．【答案】455【解析】【分析】根据两平行线间的距离公式，即可求得本题答案.【详解】因为两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=，所以两平行线间的距离122222404551(2)C C d A B --===++-.故答案为：5514.若圆1C ：224x y +=与圆2C ：()()2216x a y a -+=∈R 相交于A 、B 两点，且两圆在A 点处的切线互相垂直，则线段AB 的长是___________．【答案】855##855【解析】【分析】画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解.【详解】如图，由两圆在A 点处的切线互相垂直可知，两条切线分别过两圆的圆心，由相交圆公共弦的性质可知1AB OO ⊥，由切线性质可知1OA AO ⊥，在1Rt OAO 中，1||2,||4OA AO ==，所以1||OO ==又1Rt OAO 斜边上的高为1||2AB ，由等面积法可知，11111||||||||222AO AO AB OO ⋅=⨯，即124||2AB ⨯=⨯，解得||5AB =.故答案为：85515.已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且212PF PF c ⋅= ，则此椭圆离心率的取值范围是________．【答案】,32⎢⎣⎦【解析】【分析】设(,)P x y ，由数量积的坐标表示得出222212PF PF x c y c ⋅=-+= ，再由点P 在椭圆上得出22222b y b x a=-，联立两个方程得出()222223c a a x c -=，再由220,x a ⎡⎤∈⎣⎦化简得出22223c a c ≤≤，结合离心率的公式即可求解.【详解】设(,)P x y ，则222212(,)(,)PF PF c x y c x y x c y c ⋅=---⋅--=-+=①将22222b y b x a=-代入①式解得()()22222222223c b a c a a x c c --==又220,x a ⎡⎤∈⎣⎦，即()2222230ca a a c -≤≤22223c a c∴≤≤32,32c e a ∴=∈⎣⎦.故答案为：,32⎢⎣⎦【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率的取值范围，属于中档题.16.如图，在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是正三角形，2BA BP ==，90CBP ∠=︒，120ABP ∠=︒，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥P BEF -的体积取得最大值时，三棱锥P BEF -的外接球表面积为___________．【答案】19π2【解析】【分析】利用均值不等式求出体积最大时,E F 的位置，建立空间直角坐标系，建立方程组求出球心坐标，得球半径即可.【详解】要使三棱锥P ―BEF 的体积最大，则底面△BEF 的面积最大，设BF =a ，则2BE a =-，23323(2)4424BEFx x S x x +-⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭△，当且仅当2x x =-，即1x =时取得最大值，即E ，F 分别为棱的中点．此时，FA BC ⊥，三棱锥P BEF -的体积取得最大值．如图，以BC 中点O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0F，)A，()0,1,0B ，()0,1,0C -，1,,0)22E ．设(),,P x y z ，由28PC =，24PB =，212PA =，解得x =1y =，z =．设外接球球心(,,)O m n t '，由O B O E O F O P ''''===，则22222222222222222231(1)()()22(1)2326((1)()33m n t m n t m n t m n t m n t m n t ⎧+-+=-+-+⎪⎪⎪+-+=++⎨⎪⎪++=++-+-⎪⎩，解得1,,6212m n t ===即1,62O ⎛⎫'⎝，故三棱锥P BEF -的外接球半径222198R O F O O ''===．所以，三棱锥P BEF -的外接球表面积为19π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.圆M 经过点()1,2A ，()9,2B -，且圆心M 在直线5y x =-上．（1）求圆M 的方程．（2）过点A 作直线l ，直线l 与圆M 的另一个交点是D ，当4AD =时，求直线l 的方程．【答案】（1）()22520x y -+=（2）1x =或3450x y -+=【解析】【分析】（1）根据圆的性质，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）根据垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.【小问1详解】圆心M 在直线5y x =-上，不妨设圆心M 为(),5a a -，则()()()()2222152952a a a a -+--=-+-+，得5a =，故圆M 的方程为()22520x y -+=；【小问2详解】①当直线l 斜率不存在时，l 方程为1x =,()2215202y y -+=⇒=±，显然满足4AD =，②当l 斜率存在时，设l ：()21y k x -=-即20kx y k -+-=，由（1）可知：圆M的半径为4AD =，所以点M 到l距离344d k ===⇒=．综上，l 的方程为1x =或3450x y -+=．18.已知数列{}n b 是公比大于0的等比数列，1212b b +=，其前4项的和为120．（1）求数列{}n b 通项公式；（2）记21n n nc b b =+，*N n ∈，求数列{}22n n c c -前n 项和．【答案】（1）3nn b =（2）133n +-【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式，前n 项和公式进行求解即可；（2）根据等比数列前n 项和公式进行求解即可【小问1详解】设数列{}n b 的公比为q ，通项公式为11n n b b q-=⋅，若公比1q =，由1211266n b b b b +=⇒=⇒=，所以前4项的和为24，不符合题意，故1q ≠()21121121b q b b q-+==-，前4项和为()4111201b q q-=-，于是相除得2110q +=，即29q =，又因为0q >，故3q =，13b =，3nn b =；【小问2详解】221133n n n n n c b b =+=+，22244422221111333233233333n n n nn nn n n nn nc c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+⋅+-+=⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭前n 项和为()()21333233323313n n n +-⋅++⋅⋅⋅+=⋅=--．19.已知椭圆C ：2212x y +=．（1）直线l ：y x =交椭圆C 于P ，Q 两点，求线段PQ 的长；（2）A 为椭圆C 的左顶点，记直线AP ，AQ ，l 的斜率分别为1k ，2k ，k ，若121k k k+=-，试问直线PQ 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】（1）3（2）直线PQ 过定点()0,0【解析】【分析】（1）将l 与椭圆联立得到2P x 、2Q x 、2P y 和2Q y ，进而得到||PQ ；（2）设直线l ：y kx m =+，联立椭圆与直线得到韦达定理以及∆，利用1k =进而得到2k ，由121k k k+=-得到m 的值，最后舍去不符合题意的m 即可.【小问1详解】将直线l 与椭圆方程联立，即2212y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2223p Q x x ==，即2223pQ y y ==，故||3PQ ==；【小问2详解】设直线l ：y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由()22222,21422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩得，12221224212221km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，()()()2222221642122821k m k m k m ∆=-+-=+-，又1k ==，2k =故12k k +=++++==，由121k k k+=-，得20m =，故()0m m m -=⇒=或0m =，①当m =时，直线l ：(y kx k x =+=+，过定点()A ，与已知不符，舍去；②当0m =时，直线l ：y kx =，过定点()0,0，()2228211680k m k ∆=+-=+>，符合题意．20.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，243a =，()1121239n n n a a a n +-=-≥，13n n n b a -=，()*N n ∈．（1）求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）证明：对任意的2n >，1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．【答案】（1）1323n n n a --=，32n b n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得()1122n n n b b b n +-+=≥，即{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，可求出{}n b ，进而求出{}n a ；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由错位相减法求出n S ，只要证明2n >时，()1220n S a a -+<即可.【小问1详解】因为11a =，243a =，13n n n b a -=，∴11b =，24b =，又∵()1121239n n n a a a n +-=-≥，13n n n b a -=，∴()111221233393n n n n n n b b b n +---=⋅-⋅≥∴()1122n n n b b b n +-+=≥．∴{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列．∴32n b n =-，1323n n n a --=．【小问2详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，∵2147321333n n n S --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+①2311473233333n n n S -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+②②得：21233332133333n n n n S --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，所以12111121113232331313133333313n n n n nn n S --⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥--⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+⨯+++-=+⨯- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ，1231325651113233223n n n nn n S --+⎛⎫⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11565443n n n S -+=-⋅，当2n >时，()1211156541165221044331243n n n n n S a a --++⎛⎫-+=--+=--< ⎪⋅⋅⎝⎭∴1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．21.如图所示，已知四棱锥P ABCD -，满足E 为BD 中点90BAD BCD ∠=∠=︒，AD =，PA PB PD ==．（1）求证PE ⊥平面ABCD （2）若PA 与BD夹角的余弦值为4，且CE AB ∥，求PC 与平面PAD 夹角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，易证AD ⊥平面PEF ，得到PE AD ⊥，从而PE ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设面APD 的法向量为(),,n x y z =，则sin cos ,PC nPC n PC nθ⋅==⋅.【小问1详解】取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，∵PB PD =，E 为BD 中点，∴PE BD ⊥∵PA PD =，F 为AD 中点，∴PF AD ⊥，又因为EF AD ⊥，EF PF F = ，,EF PF ⊂ 平面PEF ，AD ∴⊥平面PEF ，∴PE AD ⊥．PE BD ⊥ ，AD BD D = ，,AD BD ⊂ 平面ABCD PE ∴⊥平面ABCD ．【小问2详解】解：以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设1AB =，AD ∴=，设PE h =，,//CE AB EF AB ∥Q ，所以,,C E F 三点共线，在ABD △中，AD =，90BAD ∠=︒，πtan ,(,π),DAB DAB DAB ∴∠=∠∈∴∠=303πBEC FED ABD ∴∠=∠=∠=3，在Rt BCD 中，E 为BD 中点，BE EE BD ∴==12得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，33(,,0)22C ，(0,3,0)D ，13(,,0)22E ，13,,22P h ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，有13,,22AP h ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,3,0BD =-，∴221|cos ,|421BD AP BD AP BD AP h ⋅===+得1h =．所以(,,),(,,),(,,)PC AP AD =-==13101103022设面APD 的法向量为(),,n x y z = ，∴0n AD n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，3013022y x y z ⎧=⎪∴⎨++=⎪⎩，令1z =有()2,0,1n =- ，设PC 与面PAD 的夹角为θ，则3310sin cos ,1025PC nPC n PC nθ⋅====⋅．22.已知双曲线E ：221x y -=，双曲线C 与E 共渐近线且经过点()5,1-（1）求双曲线C 的标准方程．（2）如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点（第一象限），直线PA x ⊥轴于点A ，PB y ⊥轴于点B ，直线AB 交曲线E 于点Q （第一象限），过点Q 作曲线E 的切线交PB 于点K ，交y 轴于点J ，求KQA BQJ S S +△△的最小值．【答案】（1）224x y -=（2）2【解析】【分析】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入解方程即可得出答案.（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，设AQ QB λ=，表示出Q 点坐标，代入E ：221x y -=方程，即可求得,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，进一步求出,K J 的坐标，而KQA BQJ BKJ S S S += ，而12BKJ S KB JB =⋅ ，代入化简结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】由题意设C ：22x y m -=，将()代入得到4m =，∴曲线C ：224x y -=．【小问2详解】设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，(),Q x y ，则224m n -=（*）设AQ QB λ=，则()(),,AQ x m y QB x n y λλ=-==-- ，解得：,,,1111m n m n x y Q λλλλλλ⎛⎫== ⎪++++⎝⎭，代入E ：221x y -=方程，得()()2221m n λλ-=+，结合（*）式可知()()21130n λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦由于0λ>，则()2130n λλ+++>，所以1λ=．所以Q 是A 、B 的中点，,22m n Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为四边形OAPB 是矩形，(),0A m ，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以Q 为四边形OAPB 的中心，所以AQ BQ =，在AQK 与BQK △中，AQ BQ =，分别以,AQ BQ 为底时，高相同，所以KQA KQB S S = ，则KQA BQJ KQB BQJ BKJ S S S S S +=+=△△△△△，因为过双曲线221x y -=上一点,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为122m n x y -=，所以直线KJ 的方程为：122m nx y -=即2mx ny -=，因为K B y y n ==，所以22,n K n m ⎛⎫+⎪⎝⎭，令0x =，所以20,J n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()222211221222BKJn n S KB JB n m n mn++=⋅=⋅+===，，令222t n =+>，BKJS ==△，令240s t =->，2BKJ S==≥△．当且仅当16s s=，即4s =，28t =，22n =-时，取得最小值．。
浙江杭州2024年高二下学期6月期末考试数学试题+答案
2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。
3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数11i =+z ，22i =−z （i 为虚数单位，2i 1=−），则复数21=−z z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“0∃>x ，23100−−>x x ”的否定是（ ） A ．0∀>x ，23100−−>x x B ．0∃>x ，23100−−≤x x C ．0∀≤x ，23100−−≤x xD ．0∀>x ，23100−−≤x x3．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ） A ．sin 2=y xB ．cos =y xC ．2sin =y xD ．2cos =y x4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．345．在正方体1111−ABCD A B C D 中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113=PA AA ，113=BQ BB ，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．在同一个坐标系中，函数()log =a f x x ，()=−g x a x ，()=ah x x 的图象可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=−+（ ）A ．2−B ．14 C ．32D ．12−8．已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（ ）A ．13B C ．79D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷(含解析)
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。
浙江高二高中数学期末考试带答案解析
浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合则（）A．B．C．D．2.已知是虚数单位，则= （）A．B．C．D．3.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ( )A．B．C．D．4.下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）A．B．C．D．5.已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．6.从这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有（）A．B．C．D．7.已知的大小关系为（）A．B．C．D．的大小关系不确定，与的取值有关8.已知下列各式：①；②；③；④.其中存在函数对任意的都成立的是（）A．①④B．③④C．①②D．①③9.设函数,若存在实数,使得对任意的都有，则的最小值是（）A．B．C．D．10.定义在上的可导函数满足,当时实数满足,则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.若则________,用表示为________.2.已知的展开式中二项式系数和为64，则________,该展开式中常数项为________.3.已知函数.若时方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是________；若的值域为，则实数的取值范围是________.4.函数的奇偶性为________,在上的增减性为________(填“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”）.5.小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为________.6.已知的最小值为，则实数____.7.已知函数在区间上有零点，则的最大值是________.三、解答题1.已知，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)猜想与的关系，并用数学归纳法证明.2.(Ⅰ)已知，其中.（i）求；（ii）求.(Ⅱ)2017年5月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位.（i）若每人不准兼职，则不同的分配方案有几种？（ii)若甲乙被抽调去别的地方，剩下三人要求每人必兼两职，则不同的分配方案有几种？3.已知,函数满足(Ⅰ)求的解析式,并写出的定义域；(Ⅱ)若在上的值域为，求实数的取值范围.4.已知函数.(Ⅰ)证明: 当时,.(Ⅱ)证明: 当时, .5.已知，函数.(Ⅰ)求函数的最小值；(Ⅱ)已知存在实数对任意总存在两个不同的使得，求证：.浙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设集合则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合A={x|-1≤x≤3}=[-1，3]，B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2}=[1，2]，B）=[-1，3]∩[2，+∞）∪（-∞，1]=[2，3]∪[-1，1]，则A∩（∁R本题选择B选项.2.已知是虚数单位，则= （）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题选择D选项.3.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ( )A．B．C．D．【解析】f(x)=lnx的导数为f′(x)=，可得曲线f(x)=lnx在点(2,f(2))处的切线斜率为，切线与直线ax+y+1=0垂直,可得−a⋅=−1，解得a=2.本题选择C选项.4.下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】“a>b”不能推出“a1>b”，故选项A不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a+1>b”，但“a+1>b”不能推出“a>b”，故满足题意；“a>b”不能推出“|a|>|b|”，故选项C不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a3>b3”，且“a3>b3”能推出“a>b”，故是充要条件，不满足题意；本题选择B选项.点睛：有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．5.已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，排除.由于，排除.由于，故函数在为减函数，排除.所以选.点睛:本题主要考查函数图像的判断.一般采用特殊值的方法利用选项中图像的特殊性，对进行赋值，然后利用相应函数值来排除错误的选项.本题还可以利用导数来判断，利用导数，可求得原函数的导数为，故当，函数单调递增，当时，函数单调递减.6.从这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有（）A．B．C．D．【解析】根据题意，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取四个数，使其和为偶数需要分3种情况讨论： ①当取出的4个数都是奇数,有种情况， ②当取出的4个数有2个奇数、2个偶数,有种情况， ③当取出的4个数都是偶数,当取出的数字没有奇数有种情况，根据分类计数原理总共有5+60+1=66种取法； 本题选择D 选项.7.已知的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．的大小关系不确定，与的取值有关【答案】C【解析】∵1<a <b ，∴b −1>a −1>0，∴m =a b −1>a a −1>n =b a −1，则m >n ， 本题选择C 选项.8.已知下列各式：①；②；③； ④.其中存在函数对任意的都成立的是 （ ）A ．①④B ．③④C ．①②D ．①③【答案】A【解析】①f (|x |+1)=x 2+1,由t =|x |+1(t ⩾1),可得|x |=t −1,则f (t )=(t −1)2+1， 即有f (x )=(x −1)2+1对x ∈R 均成立； ②，对0<t ⩽1,y =f (t )不能构成函数，故不成立；③f (x 2−2x )=|x |,令t =x 2−2x ，若t <−1时，x ∈∅； t ⩾−1,可得,y =f (t )不能构成函数；④f (|x |)=3x +3−x .当x ⩾0时,f (x )=3x +3−x ；当x <0时,f (−x )=3x +3−x ;将x 换为−x 可得f (x )=3x +3−x ；故恒成立。
高中数学：2022-2023学年浙江省名校联盟高二(下)期末数学试卷(含参考答案)
2022-2023学年浙江省名校联盟高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）集合A ＝{x |ax ＝1}，B ={y|y =√x −1}且A ∩B ＝A ，则a 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞）B ．（0，1]C ．[1，+∞）D ．（0，1）2．（5分）若直线a 在平面α内，直线b 在平面α外，则“b ⊥a ”是“b ⊥α”的（ ） A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件3．（5分）数列{a n }首项为1，接下来3项为13，再接下来5项为15，再后面7项为17，以此类推a 100＝（ ）A ．115B ．117C ．119D ．1214．（5分）已知一组成对数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，6）中y 关于x 的一元非线性回归方程y ＝bx 2+1，已知∑x i 2=126i=1，∑ 6i=1x i =4，∑ 6i=1y i =18，则b ＝（ ）A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣35．（5分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．足球由32块黑白相间的皮革缝制而成，其中，黑色的皮块呈正五边形，每一块黑皮的周围都5块白皮相连；而白色的皮块呈正六边形，每一块白皮的周围分别连着3块黑皮、3块白皮．若制作一个半径为10 cm 的足球（正多边形近似看作平面正多边形），则一块黑皮面积约为_____cm 2．（注：边长为a 的正五边形面积≈1.7a 2，边长为a 的正六边形面积≈2.6a 2，取3.14）（ ） A ．32.44B ．31.92C ．30.51D ．29.496．（5分）复数z 满足|z ﹣1|+|z +1|＝4，则|z |的取值范围是（ ） A ．[√3，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，√3]7．（5分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）右焦点为F ，离心率为e ，PO →=kFO →（k ＞1），以P 为圆心，|PF |长为半径的圆与双曲线有公共点，则k ﹣8e 最小值为（ ） A ．﹣9B ．﹣7C ．﹣5D ．﹣38．（5分）已知a =sin√32，b =2√55，c =cos 12，则（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(A)
浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（A）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________由图象可得不等式()2log f x x >解集为1,22æöç÷èø，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.．B【分析】由题意得在四棱锥D ABCE ¢-中^AE 平面D CE ¢．作MN AB ^于N ，连D N ¢，可证得AB ^平面D MN ¢．然后作因为几何体是由等高的半个圆所以45Ð=Ð=°，ECD DCG因为//BC EF，BC EF=，所以四边形BCEF为平行四边形，因为BC^平面ABF，BFÌ:(1)(1)0(0)11q x a x a a a x a -+--£>Û-££+．∵p 是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x -££是{|11}x a x a -££+的真子集，故有121100a a a -£-ìï+>íï>î或121100a a a -<-ìï+³íï>î，解得9a ³，因此，所求实数a 的取值范围为[9,)+¥．22．（1）1a £；（2）证明见解析.【分析】（1）问题转化为()0f x ¢³对R x "Î恒成立.求导后分离参数得到x a e x £-，设()x h x e x =-，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；（2）由1x ，2x 为两个极值点不妨设12x x >，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a ，将要证不等式转化为只含有1x ，2x 的不等式，适当变形转化为只含有12x x -的不等式，作换元120t x x =->，转化为关于t 的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.【详解】（1）()f x Q 是R 上是增函数，(),0x x R f x e x a ¢\"Î=--³，()min x a e x \£-，答案第241页，共22页。
2023-2024学年浙江省宁波市高二下学期期中数学试题(含答案)
2023-2024学年浙江省宁波市高二下册期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2N 340A x x x =∈--<，{}N 12B x x =∈-<≤，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．∅D ．()1,2-【正确答案】A【分析】计算{}0,1,2,3A =，{}0,1,2B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2N 340N 140,1,2,3A x x x x x =∈--<=∈-<<=，{}{}N 120,1,2B x x =∈-<≤=，故{}0,1,2A B = .故选：A2．设,R x y ∈，则“x y <”是()2“0x y x -⋅<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】x ，R y ∈，若0,0x y =>满足x y <，则()20x y x -⋅=，即()20x y x -⋅<不成立；若()20x y x -⋅<，即有0x ≠，必有20x >，从而得0x y -<，即x y <成立，所以x y <是()20x y x -⋅<成立的必要不充分条件.故选：B3．已知随机变量()2~20,2X N ，则(16)P X <=（）(附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，()220.9545P μσξμσ-≤≤+≈)A ．0.02275B ．0.1588C ．0.15865D ．0.34135【正确答案】A【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：20,2μσ==，则()16240.9545P ξ≤≤≈，所以()1(16)1160.02274522P X P ξ≤≤≈<=-⎡⎤⎣⎦.故选：A.4．如表为某商家1月份至6月份的盈利y （万元）与时间x （月份）的关系，其中123 6.5t t t ++=，其对应的回归方程为 0.7y x a=+，则下列说法正确的是（）x123456y0.31t 2.22t 3t 4.5A ．y 与x 负相关B ． 0.2a=C ．回归直线可能不经过点()3.5,2.25D ．2023年10月份的盈利y 大约为6.8万元【正确答案】D【分析】0.70>，y 与x 正相关，A 错误，计算中心点带入计算得到B 错误，回归直线一定经过中心点，C 错误，带入数据计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：回归方程为 0.7y x a=+，0.70>，y 与x 正相关，错误；对选项B ：1234563.56x +++++==，1235 0.3 2.2 2.64.25y t t t +==++++，故 2.250.7 3.5a=⨯+，解得0.2a =-，错误；对选项C ：回归直线一定经过点()3.5,2.25，错误；对选项D ： 0.70.2y x =-，当10x =时， 6.8y =，正确.故选：D5．函数21()|1|21f x x x x =---+的部分图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】分析函数的定义域排除A ，利用()()11f x f x +=-判断函数对称性排除D ，再代入特殊点，计算(0)0f =，排除B.【详解】由函数解析式可得，函数()21()|1|1f x x x =---，定义域为()(),11,x ∈-∞+∞ ，所以排除A ；因为()2211(1)|11|11f x x x x x -=---=---，()()2211(1)|11|111f x x x f x x x +=+---=-+-所以函数图像关于直线1x =对称，故排除AD ；又因为()21(0)|01|001f =--=-，所以排除B.故选：C6．我们把各个数位上的数字之和为8的三位数称为“幸运数”，例如“170，332，800”都是“幸运数”.问“幸运数”的个数共有（）A ．35个B ．36个C ．37个D ．38个【正确答案】B【分析】按照首位数字为18 进行分类，相加得到答案.【详解】当首位数字为1时，后两位相加为7，共有8种；当首位数字为2时，后两位相加为6，共有7种；当首位数字为3时，后两位相加为5，共有6种；当首位数字为4时，后两位相加为4，共有5种；当首位数字为5时，后两位相加为3，共有4种；当首位数字为6时，后两位相加为2，共有3种；当首位数字为7时，后两位相加为1，共有2种；当首位数字为8时，后两位相加为0，共有1种；故共有1234567836+++++++=个数.故选：B7．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<【正确答案】D【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解.【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<.则随机变量ξ的分布列为:ξ1P1p-p所以()()(),1E p D p p ξξ==-随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E pηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):ηp1p-P1p-p则()()()()1121E p p p p p pη=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p pη=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误.()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确故选:D本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.8．设()f x 是定义在D 上的函数，如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ³，则称()f x 为D 上的“非严格递减函数”，已知集合12345{,,,,}A a a a a a =，其中12345a a a a a <<<<，集合*110{N |C 45}n B n +=∈≥，则满足定义域是A ，值域是B 的子集的非严格递减函数有（）个A ．56B ．126C ．252D ．462【正确答案】D【分析】计算17n ≤≤得到1,2,3,4,57{},6,B =，转化为1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>>，计算得到答案.【详解】281010C C 45==，110C 45n +≥，故218n ≤+≤，17n ≤≤，故集合1,2,3,4,57{},6,B =，由12345a a a a a <<<<，则123457()()()()()1f a f a f a f a f a ≥≥≥≥≥≥，即有1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>≥，则共有511C 462=个函数，故选：D.二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．命题“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x ≤，都有不等式210x x ++≥成立”.B ．若事件A 与B 相互独立，且()01P A <<，()01P B <<，则()()P A B P A =.C ．已知24a b <+<，02a b <-<，则3311a b <+<.D ．在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好.【正确答案】BD【分析】对于A ：根据特称命题的否定分析判断；对于B ：根据独立事件的概率乘法公式结合条件概率公式分析运算；对于C ：以,a b a b +-为整体表示3a b +，结合不等式的性质分析运算；对于D ：根据残差的定义分析判断.【详解】对于A ：“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x >，都有不等式210x x ++≥成立”，故A 错误；对于B ：由条件概率可知：()()()P AB P A B P B =，∵事件A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，∴()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ⋅===，故B 正确；对于C ：∵()()32a b a b a b +=++-，由24a b <+<，02a b <-<，可得()428a b <+<，∴4310a b <+<，故C 错误；对于D ：根据残差的定义可知：残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故D 正确；故选：BD.10．已知关于x 的函数：2()21f x ax ax =-+，其中a ∈R ，则下列说法中正确的是（）A ．当1a =时，不等式()4f x >的解集是(1,3)-.B ．若不等式()0f x ≤的解集为空集，则实数a 的取值范围为(0,1).C ．若方程()0f x =的两个不相等的实数根都在()0,2内，则实数a 的取值范围为()1,+∞.D ．若方程()0f x =有一正一负两个实根，则实数a 的取值范围为(),0∞-.【正确答案】CD【分析】对于A ：解一元二次不等式即可；对于B ：分析可得原题意等价于2210ax ax -+>恒成立，结合恒成立问题运算求解；对于C 、D ：整理可得212x x a-=-，根据题意结合图象分析运算.【详解】对于A ：当1a =时，不等式2()214f x x x =-+>，即2230x x -->，解得3x >或1x <-，即不等式()4f x >的解集是()(),13,-∞-⋃+∞，故A 错误；对于B ：若不等式()0f x ≤的解集为空集，等价于2210ax ax -+>恒成立，当0a =时，则10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2Δ440a a a >⎧⎨=-<⎩，解得01a <<；综上所述：实数a 的取值范围为[)0,1，故B 错误；若方程2()210f x ax ax =-+=有根，则有：当0a =时，则10=不成立，不符合题意；当0a ≠时，则212x x a -=-，即22y x x =-与1=-y a有交点，结合图象，对于C ：若方程()0f x =的两个不相等的实数都在()0,2内，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标均在()0,2内，可得110a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞，故C 正确；对于D ：若方程()0f x =有一正一负两个实根，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标一个为正数一个为负数，可得10a->，解得a<0，所以实数a 的取值范围为(),0∞-，故D 正确；故选：CD.11．已知正数x 、y ，满足2x y +=，则下列说法正确的是（）A ．xy 的最大值为1.B 的最大值为2.C ．21x y+的最小值为3.D ．2211x y x y +++的最小值为1.【正确答案】ABD【分析】对于AB ，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD ，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.【详解】对于A ，因为0,0,2x y x y >>+=，所以2x y =+≥1xy ≤，当且仅当x y =且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，所以xy 的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为()2222222()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥，所以()222()2a b a b +≤+，当且仅当a b =时，等号成立，所以()222224x y ⎡⎤≤+=+=⎣⎦2≤，=且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，2，故B 正确；对于C ，211213()313222212y x x y x y y y x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当2y xx y=且2x y +=，即42x y =-=-时等号成立，所以21x y +的最小值为32，故C 错误；对于D ，令1s x =+，1t y =+，则1x s =-，1y t =-，24s t x y +=++=，0,0s t >>，所以()()22221111112211s t x y s t x y s t s t s --+=+=-++-+=+++()11111221444ts s t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当s t =且4s t +=，即2s t ==，即1x y ==时，等号成立，所以2211x y x y +++的最小值为1，故D 正确.故选：ABD.12．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数【正确答案】ABC【分析】令0x y ==，代入()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，即可得到()0f 再由()00f =，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D 选项即可【详解】对于A:由题意()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，令0x y ==，()()()202100f f f =+,解得：()00f =或()01f =±当()01f =时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x ++=+⋅+恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，当()01f =-时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x +-=-+⋅-恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，∴()00f =，令y x =-，则()()()()()=010f x f f f x f x x -+⋅-+=，所以()()=0f x f x +-，即()()=f x f x --，所以()f x 为奇函数，故A 正确；对于C ：令2x x y ==，()2222112222x x f f f f x x x x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()222112x f f x x f ⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又()f x 为非常值函数故舍去，所以12x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()222112x f f x x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=<⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故C 正确:对于B:设任意的12,R x x ∈且120x x <<令21,x x y x ==-所以()()()()()2121211f x f x f x x x x f f +-+⋅--=，又因为()f x 为奇函数，所以()()()()()1122121f x f x f x x f x x f --=-⋅，()()121,1,f x f x <<()()()()11221,10x f x f f x f x ⋅<-⋅>又因为当0x >时，()0f x >，所以()()210,0f x f x >>，210x x ->，()()()()()21212101f x f x f x x f x f x --=>-⋅,即()()21f x f x >，所以()f x 是()0,∞+上的增函数,故B 正确;对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.三、填空题13．已知条件:11p k x k -<<+，3:21x q x -≥+，p 是q 的充分条件，则实数k 的取值范围是_______.【正确答案】[]4,2--【分析】先根据分式不等式求出q ，设条件p 对应的集合为A ，条件q 对应的集合为B ，由p 是q 的充分条件，可得A B ⊆，进而可得出答案.【详解】由321x x -≥+，得501x x +≤+，解得51x -≤<-，设{}{}11,51A x k x k B x x =-<<+=-≤<-，因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆，所以1511k k -≥-⎧⎨+≤-⎩，解得42k -≤≤-，所以实数k 的取值范围是[]4,2--.故答案为.[]4,2--14．已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则4a =______.【正确答案】14【分析】变换()()()8881211(11)x x x x x =----+--，再利用二项式定理得到()()3434488C 1C 1a =-+-，计算得到答案.【详解】()()()()()888811111111)1(2x x x x x x x =-+--=---+---，()811x --展开式的通项为()()818C 11rrrr T x -+=--，()()3434488C 1C 1567014a =-+-=-+=.故1415．若函数2(2)3,14(),142,4a x a x f x x x x ax x -+≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪-+>⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为_______．【正确答案】17(2,]8【详解】因为()22,4f x x ax x =-+>，是开口向下的二次函数，故只能是在4x >上单减，故要求整个函数在R 上都是减的，每一段都是减的，则要求20,17234281816a a a a a -<⎧⎪-+≥⇒<≤⎨⎪≥-⎩，故答案为172,8⎛⎤⎥⎝⎦．点睛：这个题目考查了，已知分段函数的单调性求参的问题，一般这类题目要满足两个条件，一是分段函数每一段都是单调的，且要求在定义域上函数是上台阶或下台阶的，即每段的连接点处必须是连接起来的或者都是向下或向上的趋势，不能错位．16．将1，2，3，……，9，10这10个整数分别填入图中10个空格中，样本空间Ω为满足“每一行的最大数比上一行的最大数要大”的所有样本点构成的集合，事件A 为“第四行有一个数字是1”，事件B 为“第三行有一个数字是2”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为_______.【正确答案】310/0.3【分析】利用排列组合的性质和条件概率公式即可求解.【详解】假设每一行数字由小到大排列（最后再乘每一行的排列数），那么当每一行最后一个数字给定，只需挑出每一行的前几个数字即可，且10在第四行第4个数.当1在第四行时，第四行前3个数字选法28C ，第三行前2个数字选法25C ，第二行第1个数字选法12C .当1在第四行，2在第三行时，第四行前3个数字选法27C ，第三行前2个数字选法14C ，第二行第1个数字选法12C .所以2114321742432122143218524321C C C A A A A ()3(|)()C C C A A A A 10P AB P B A P A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故答案为.310四、解答题17．在21nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（n 为正整数）二项展开式中，若012C C C C 64nn n n n ++++= ，求：(1)展开式中所有项的系数之和；(2)展开式中含21x 的项的系数.【正确答案】(1)729(2)240【分析】（1）根据题意结合二项式系数的性质求得=6n ，再令1x =，求所有项的系数之和；（2）利用二项展开式的通项公式运算求解.【详解】（1）由题意可得0122=C C C C 64n n n n n n ++++= ，可得=6n ，故二项式为621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令1x =，可得661237291⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以展开式中所有项的系数之和为729.（2）设621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的通项为(6521662661C 2C rr rrr r rT x x -+--⎛⎫⋅==⋅ ⎪⎝⎭，令6522r -=-时，则2r =，此时2236422C 240T x x --⋅=⋅=，故展开式中含21x 的项的系数为240.18．为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场，得到天数与直播间人数的数据如下表所示：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码x 1234567直播间人数y （万人）4122123252728(1)求直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数（精确到0.01）；(2)若使用ln y c d x =+作为y 关于x 的回归方程模型，计算该回归方程（结果保留1位小数），并预测至少要到哪一天直播间人数可以超过30万人.参考公式和数据：相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑，其中711ln ,7i i i i u x u u ===∑，回归直线方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y n x yb a y b xxn x ==-⋅⋅==-⋅-⋅∑∑【正确答案】(1)0.93(2)ˆ5.212.3ln y x =+，第8天【分析】（1）根据题意可求得4,20x y ==，结合题中数据和公式运算求解；（2）根据题意令ln u x =，可得y c du =+，结合题中数据和公式求,cd ，进而根据回归方程运算求解.【详解】（1）由题意可得：777117722111114,2140,30,268666,77i i i i i i i i i i i x y x y x x y y ============∑∑∑∑∑，则ni i x ynx yr -⋅=∑530.932.65210.8≈≈⨯⨯，故直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数为0.93.（2）∵ln y c d x =+，由题意令ln u x =，则y c du =+，可得77211213.20, 1.2,206.4,i i i i i u y u y u ===≈≈≈∑∑，则717221206.47201.2ˆ12.313.27 1.21.2i i ii i u yn u y dunu==-⋅⋅-⨯⨯=≈≈-⨯⨯-∑∑，ˆˆ2012.31.2 5.2cy d u =-⋅≈-⨯≈，所以ˆ 5.212.3yu =+，故y 关于x 的回归方程为 5.212.3ln y x =+⨯$，令 5.212.3ln 30y x =+>$，整理得ln 2.0x >，则2e 7.39x >≈，且*x ∈N ，所以8x ≥，故至少要到第8天才能超过30万人.19．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是16，命中Ⅱ部分的概率是13，命中Ⅲ部分的概率是12，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；(2)求击落飞机的命中次数X 的分布列、数学期望和方差.【正确答案】(1)14(2)分布列见解析，()83E X =，19()18D X =【分析】（1）恰好在第二次射击后击落飞机存在两种情况，一种是连续命中Ⅱ部分两次，另一种情况是第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，根据这两种情况即可求出概率；（2）根据题意可知，击落飞机的次数可为1，2，3，4四种取值情况，根据四种取值情况求出对应概率即可求出分布列、数学期望和方差.【详解】（1）设恰好在第二次射击后击落飞机为事件A ，满足事件A 的情况有连续命中Ⅱ部分两次，或者第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，则25111()()6634P A =⨯+=.（2）依题意，X 的可能取值为1，2，3，4，1(1)6P X ==，1(2)4P X ==，12211111111(3)C ()()()32632623P X ==⨯⨯⨯++⨯+=，123111(4)C ()1324P X ==⨯⨯⨯=，所以X 的分布列为：X1234P16141314X 的数学期望()11118123464343E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.2X 14916P16141314()21111491491664346E X =⨯+⨯+⨯+⨯=X 的方差()22496419()(())6918D XE XE X =-=-=20．已知()224ax bx cf x x ++=+是定义在[]22-,上的函数，若满足()()0f x f x +-=且()115f =.(1)求()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在[]22-,上的单调性（不用证明），并求使()()22110f t f t ++-<成立的实数t的取值范围；(3)设函数2()24(R)g x x mx m =-+∈，若对任意12,[1,2]x x ∈，都有21()()g x f x <恒成立，求m 的取值范围.【正确答案】(1)()24x f x x =+(2)单调递增，302t -≤<(3)125m >【分析】（1）确定函数为奇函数，()00f =，()115f =，()115f -=-，代入数据计算得到答案.（2）确定函数单调递增，根据函数的奇偶性得到222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得答案.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，最小值为1(1)5f =，题目转化为max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，根据单调性计算最值得到答案.【详解】（1）[]2,2x ∈-，且()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数，将0x =代入()()0f x f x +-=可得()00f =，即04c=，所以0c =，即()224ax bxf x x +=+，因为()115f =，所以()115f -=-，代入可得155155a b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，故()24xf x x =+；()24x f x x =+，()()24xf x f x x -==-+，函数为奇函数，满足，故()24x f x x =+.（2）设1222x x -≤<≤，则()()()()()()211221212222212144444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，1222x x -≤<≤ ，211200,4x x x x ∴-->>，()()210f x f x ∴->，即()()21f x f x >，故函数()24x f x x =+在[]22-,上单调递增，因为()24xf x x =+为奇函数，所以()()22110f t f t ++-<，即()()()222111f t f t f t +<--=-，根据单调性及定义域可得：222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得312220t t t ⎧-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪-<<⎪⎪⎩302t -≤<.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，函数()f x 在[]1,2上单调递增，最小值为1min 1()(1)5f x f ==.法一：21()245g x x mx =-+<在[]1,2上恒成立，只要max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，195y x x =+在1,5⎡⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,25⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，当1x =时，192455x x +=，当2x =时，1939245105x x +=<，故当1x =时，max 192455x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以125m >.法二：222()24()4g x x mx x m m =-+=-+-，[]1,2x ∈，当32m ≤时，max 1()(2)5g x g =<，14445m -+<，解得3920m >，舍去；当32m >时，max 1()(1)5g x g =<，11245m -+<，解得125m >，因此125m >，综上所述.125m >21．数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据0.010α=的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)根据22⨯列联表的信息，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生数学成绩不优秀”，求()|P B A 的值；(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望.附.()()()()22()n ad bc a b c d a c b dχ-=++++α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.828【正确答案】(1)能(2)311(3)分布列见解析，158【分析】（1）计算216.498 6.635χ≈>，得到答案.（2）()(|)()P AB P B A P A =，计算得到答案.（3）根据分层抽样比例关系得到人数，确定随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）零假设0H ：数学成绩与语文成绩无关，则22200(50803040)16.498 6.6359011012080χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，根据小概率值0.010α=的2χ的独立性检验，我们推断0H 不成立，故认为数学成绩与语文成绩有关；（2）()(|)()30311110P AB P B A P A ===，（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3338C 10C 56P X ===，()125338C C 151C 56P X ===，()215338C C 30152C 5628P X ====，()3538C 1053C 5628P X ====，故X 的概率分布列为：X0123P15615561528528数学期望()11515510515012356562828568E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.22．设0a >，0b >，函数2()f x ax bx a b =--+.(1)求不等式()(1)f x f <的解集；(2)若()f x 在[]0,1上的最大值为b a -，求ba的取值范围；(3)当[0,]x m ∈时，对任意的正实数a ，b ，不等式()(1)|2|f x x b a ≤+-恒成立，求m 的最大值.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,+∞(3)1【分析】（1）变换得到(1)()0x ax a b -+-<，考虑1b a a ->，1b a a -<，1b aa-=三种情况，解不等式得到答案.（2）确定函数对称轴为2b x a=，考虑1022b a <<和122b a ≥两种情况，计算最值得到范围.（3）注意分类讨论的思想，分当2b a ≥时和当2b a <时两种情况进行讨论，当2b a ≥时2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭注意用换元法把b a 换成t ，得到()2310x t x x +--≥又由题意对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，只要12t =时不等式成立即可从而解出m 的取值范围，同理可求另一种情况【详解】（1）()(1)f x f <即()0f x <，即(1)()0x ax a b -+-<，()()10x ax a b -+-=的两根为1和b aa-当1b a a ->，即20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b a a -<，即02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b aa-=，即20b a =>时，解集为∅.综上所述：当20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当20b a =>时，解集为∅.（2）因为0a >，0b >，所以0ba >，2()f x ax bx ab =--+的对称轴为2b x a=，当1022b a <<时，即b a <时，()()max 10f x f b a ==>-，不合题意；当122b a ≥时，即b a ≥时，()()max 0f x f =，而(0)0(1)f b a f =-≥=，符合题意.故ba取值范围为[)1,+∞.（3）①当2b a ≥时，不等式即为：()222ax bx a b b a x b a --+≤-+-，整理得：()230ax b a x b ---≤即：2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭，令bt a=，则12t ≥，所以不等式即()2310x t x t ---≤，即：()2310x t x x +--≥，由题意：对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；②当2b a <时，同理不等式可整理为：23120b b x x a a ⎛⎫---+≤ ⎪⎝⎭，令b t a =，则102t <<，所以不等式即()21230x t x t ---+≤，即：()2320x t x x ++--≤，由题意：对任意的102t <<不等式恒成立，而30x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；综上，m 的最大值为1关键点睛：本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力。
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浙江高二下数学试卷及答案注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知全集，集合，，则集合( )A ．B ．C ．D ．3．函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．1m <()21i m +-U =R4．已知向量、的夹角为，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 7．在中，内角的对边分别为，已知，，，则（ ） A ．B ．C ．D ．或8．《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的，输出的，则判断框“”中应填入的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面 都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）a b 2=a 1=b -=a b 112512251325142512y x =±23y x =±32y x =±2y x =±ABC △π3A =3π4π6π4π43π4A ．B ．C D ．10．把函数的图像向左平移个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图像，并且的图像如图所示，则的表达式可以为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知椭圆C 的方程为，焦距为，直线与 椭圆C 相交于A ，B 两点，若，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．C ．D ．12．已知函数为上的奇函数，且图象关于点对称，且当时，，则函数在区间上的（ ）A ．最小值为B ．最小值为C ．最大值为0D ．最大值为234926827()y f x =2π3()g x ()g x ()f x ()2sin π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()222210x y a b a b+=>>2:4l y x =3341214R ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34-78-78第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设曲线在点处的切线方程为，则____．14．若，满足约束条件，则的最小值为_______．15．已知，_______．16．圆锥的底面半径为，母线长为．正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）记公差不为零的等差数列的前n 项和为，已知，是与的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n 项和．x y 220100x y x y y --≤-+≥≤⎧⎪⎨⎪⎩15y z x -=+tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2sin2cos αα+=则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭18．（12分）某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：家庭编号 1 2 3 4 5 6 月收入x （千元） 20 30 35 40 48 55 月支出y （千元）4568811参考公式：回归直线的方程是：，其中，，．（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这个家庭中随机抽取个，记月支出超过千家庭个数为，求的分布列与数学期望．()()()1122211ˆnniii i i i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑19．（12分）如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点．GF∥（1）求证：平面；（1）求平面与平面所成角的余弦值．20．（12分）已知抛物线经过点，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B ． （1）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（2）若△BMF 与△ABF 的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．()1,2P21．（12分）设函数． （1）若，求的单调区间； （2）若当时，恒成立，求实数a 的取值范围．()()2e 1x f x x ax =--12a =()f x 0x >()0f x ≥请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程； （2）已知曲线的极坐标方程为，，，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求实数的值．2cos 22sin x y ϕϕ==+⎧⎨⎩ϕρ∈R23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围．()2221f x x x a =+-+R答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】∵，∴，∴复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D ． 2．【答案】A 【解析】由，可得或，故，由，解得，∴，∴，故选A ．3．【答案】C 【解析】当时，，故排除选项B ；，故排除D ；，令，得或，则当变化时，的变化情况如下表：x0 (0，+∞)f ′(x) − 0 + 0 + f(x) 单调递减极小值单调递增单调递增又因为，故在的切线为轴，故排除选项A ，所以选C ．4．【答案】A 【解析】A ．5．【答案】C【解析】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是种，“心1m <10m -<()21i m +-()2,1m -()1e 1f =>()()323e x f x x x =+'3x =-(),3-∞-3-()3,0-()3f -()222242cos6013-=--⋅+-⋅︒+a b a b a a b b a b有灵犀”的情况包括：，，，，，，，，，，，，共13种，故他们“心有灵犀”概率为，故选． 6．【答案】D【解析】设双曲线的方程为，其渐近线方程为，依题意可知，解得，∴双曲线C 的渐近线方程为，故选D ．7．【答案】C【解析】，，， 由余弦定理可得：，由正弦定理可得：，为锐角，．故选C ． 8．【答案】C【解析】模拟程序的运行过程如下， 输入，，， ， 此时不满足循环条件，输出， 则判断框中应填入的是．故选C ．9．【答案】B132522221x y a b-=b y x a =±2222552a b ba b ⎧+==+⎪⎨⎪⎩31c =+2b =π3A =∴∴32sin 22sin 6b AB a⋅===π4B ∴=114111333x k y ===⨯+=，，411321339k y ==⨯+=，131********k y ==⨯+=，4011214127381k y ==⨯+=，12181y =【解析】设圆锥底面圆半径为R ，球的半径为r ，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，所以，， ，所以球与圆锥的表面积之比为，故选B ． 10．【答案】B【解析】∵，即， ∴或,（舍去），则， 又，，，当，， 即，把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，再把纵坐标缩短到原来的，得到，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象， 即，故选B ． 11．【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则，3r =22234π4π4π3S r R ⎫=⋅=⎪⎪⎝=⎭球的表面积22π2π3πS R R R R =⋅+=圆锥表面积224π4393πRR=()02sin 1g ϕ==1sin 2ϕ=5π2π6k ϕ=+2ππ6k ϕ=+k ∈Z ()5π2sin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7π5π2π126k ω+=k ∈Z 512267k ω⎛⎫∴=-⨯ ⎪⎝⎭1k =2ω=()5π2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()g x 125π2sin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭125πsin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π3()f x ()2π5π8π5π11ππsin 4sin 4sin 4sin 4363666f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦24y =由，可知，解得， 所以，把点代入椭圆方程得到， 整理得，即，因，所以可得，故选A 项． 12．【答案】A 【解析】因为函数的图象关于点对称，所以．又函数为奇函数，所以，所以函数是周期为6的周期函数，又函数的定义域为，且为奇函数，故，，依次类推，．作出函数的大致图象，如图所示，根据周期性可知，函数在区间上的图象与在区间上的图象完全一样， 可知函数在上单调递减，且，所以函数在区间上的最小值为．选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】 【解析】因为曲线，所以，2224x x c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭22x =221,3A c ⎫⎪⎪⎝⎭222222131c a b ⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=3e =R ()()330f f -==()30f -=34-1-()11af x x =-+'因为曲线在点处的切线方程为，所以，． 14．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数其几何意义表示点与可行域内的点连线的斜率， 据此可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程，可得点的坐标为，据此可知目标函数的最小值为，故答案为． 15．【答案】【解析】， 所以． 16．【答案【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，设棱柱的高h ，()01121af a =-=-='1a =-4-()5,1P -22010x y x y --=-+=⎧⎨⎩()4,3A --min 31445z --==--+4-710tan tan2144tan tan 344121tan tan 44ππππππαααα⎛⎫+- ⎪⎡⎤--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭2222222sin cos cos 2tan 12317sin2cos =10sin cos tan 131ααααααααα++⨯++===+++643根据相似性可得：，解得（其中． ∴此正四棱柱体积为，，令，解得， 易得：在上递增，在上递减， ． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由已知，得，又，解得，．（2）由（1）得，，， ． 18．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1），，， ，所以月支出关于月收入的线性回归方程是：． （2）的可能取值为，，， 2232223h -=436x h -=022x <<22436x V x h x -==28336x x V -'=0V '=42x =2436xV x -=42⎛ ⎝⎭42,22⎝6431n nT n =+()()12212n n n S n n n -⨯=+=+()111111n S n n n n ∴==-++11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.2.6ˆ0y x =-203035404855386x +++++==456881176y +++++==()2222222204305356408488551163870.2203035404855638ˆb⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=≈+++++-⨯0.2.6ˆ0yx =-()303336C C 1020C P ξ⋅===()213336C C 9120C P ξ⋅===，，故的分布列为：ξ0123P数学期望．19．【答案】（1）见证明；（2）．【解析】（1）如图，取的中点连接，，又是的中点，所以，且，又是中点，所以，由四边形是矩形得，，，所以且．从而四边形是平行四边形，所以，∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如图，在平面内，过点作，()123336C C9220CPξ⋅===()033336C C1320PCξ⋅===120920920120 ()19910123 1.520202020Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=23HG AB∥12HG AB=12DF CD=AB CD∥GH DF∥GF DH∥BQ EC∥因为，所以． 又平面，所以，．以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，．因为平面，所以为平面的法向量，设为平面的法向量．又，，，即，取， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为．20．【答案】（1）抛物线C 的方程为，焦点F 点坐标为；（2）见解析． 【解析】（1）因为抛物线经过点，所以．所以抛物线C 的方程为，焦点F 点坐标为．（2）证明：因为△BMF 与△ABF 的面积相等， 所以，所以B 为AM 的中点． 设（），则．BE BQ BA ()0,0,4BA =(),,x y z =n ()4,0,4AE =-()4,4,2AF =-00n AE n AF ⎧⎪⎨⎪⋅=⋅=⎩4404420x z x y z -=+-=⎧⎨⎩()2,1,2=-n 242cos 43,3BA BA BA 〉⋅⨯∴〈===⨯n n n23()1,0()1,2P ()1,0BM AB =()00,M x y 000x y ≠()00,A x -所以直线l 的方程为， 与抛物线联立得， ，所以直线l 是抛物线C 的切线．21．【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）． 【解析】（1）时，，， 当时，； 当时，； 当时，．故在，上单调递增，在上单调递减． （2）．令，则，若，则当时，，为增函数，而，从而当时，，即．若，则当时，，为减函数，而， 从而当时，，即． 综上可得a 的取值范围是．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；()0002y y x x x =+2000840x y y x y -+=2200002006464161604x x Δx x x y =-=-=()f x (),1-∞-()0,+∞()1,0-(],1-∞12a =()()2112e x f x x x =--()()()111e e e x x x f x x x x '=-+-=-+(),1x ∈-∞-()0f x '>()1,0x ∈-()0f x '<()0,x ∈+∞()0f x '>()f x (),1-∞-()0,+∞()1,0-()()()2e 11e x x f x x ax x ax =--=--()e 1x g x ax =--()e xg x a '=-()0,x ∈+∞()0g x '>()g x ()00g =()0g x ≥()0f x ≥1a >()0,ln x a ∈()0g x '<()g x ()00g =()0,ln x a ∈()0g x <()0f x <(],1-∞（2）． 【解析】（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数得曲线的普通方程为，因为曲线的极坐标方程为，所以，所以的直角坐标方程为，整理得．（2）：化为极坐标方程，所以，所以，所以，即， 又因为，所以． 23．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）当时，，当时，由得，得，或，所以． 当时，由，得，解得或，所以； 当时，由得，解得或，所以， 综上：当时，的解集为．（2）的解集为实数集，3π42cos 22sin x y ϕϕ==+⎧⎨⎩ϕ=4sin cos =422πn 4A B AB ρρααα⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭()π42ππk k α-=+∈Z ()3ππ4k k α=+∈Z 3π4α=1171x x x ⎧-+⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭或1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭102x <≤317x -<317x +>x ∈∅12x >117x --<117x -+>117x -+>1171x x x ⎧-+⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭或()0f x ≥2221R a x x ⇔≥---第 21 页 共 21 页 当时，， 当时，， 的最大值为． 实数的取值范围为．12x ≥2221312212212222x x x x x ⎛⎫---=--+=-++≤- ⎪⎝⎭12x <2221112212212222x x x x x ⎛⎫---=-+-=---<- ⎪⎝⎭2221x x ∴---12-1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。