浙江省丽水市2020-2021学年高二下学期期末数学试题

浙江省丽水市【最新】高二下学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题 1．2cos

3

π

=（ ）

A ．

12

B C ．12

-

D ．

2．直线+1y =

的倾斜角是（ ）

A ．

6

π B ．

4

π C ．

3

π D ．

34

π 3．双曲线22

134x y -=的焦点坐标是（ ）

A ．(0,1)±

B ．(1,0)±

C ．(0,

D ．(

4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A ．310cm

B ．320cm

C ．330cm

D ．340cm

5．已知实数x 、y 满足不等式组11x y x y ?+≤?

?-≤??

，则2x y +的最大值是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．函数2()(R)x

f x a x a

=

∈+的图象不．可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．“1

2

m >

”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

8．已知F 是椭圆22

22+1(0)x y a b a b

=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于,A B

两点，且60AFB ∠=?，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A ．1)

B ．(0

C ．1(0)2

，

D ．1

(1)2

，

9．在梯形ABCD 中，2AB DC =，1

3

BE BC =

，P 为线段DE 上的动点（包括端点），且AP AB BC λμ=+（λμ∈，R ），则2

λμ+的最小值为（ ）

A ．

11

9

B ．

54

C ．

43

D ．

5948

10．已知数列{}n a 满足1a a =（R a ∈），2

122+n n n a a a =+-（*n ∈N ），则下列说法

中错误．．

的是（ ） A ．若1a >，则数列{}n a 为递增数列 B ．若数列{}n a 为递增数列，则1a > C ．存在实数a ，使数列{}n a 为常数数列 D ．存在实数a ，使12n a +≤恒成立

二、双空题

11．已知集合{

}

2

40A x x =-<，{}

1B x x =>，则A

B =____，A B =____.

12．已知函数2log ,0()2,0

x

x x f x x >?=?≤?，则1()=2f ____；若1

()<2f x ，则x 的取值范围是____.

13．已知直线1:230l x ay a ++=，2:(1)370l a x y a -++-=，若12l l //，则=a ____；若12l l ⊥，则=a ____.

14．定义二元函数(,)2,f x y x y =-则不等式(1)1f y ≤,的解集是____；若不等式

(,1)+(,2)f x f x m -≥对任意实数x 恒成立，则实数m 的最大值是____.

三、填空题

15．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，且8a c +=，则AC 边上中线长的最小值是____.

16．在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 是CD 的中点，将ADE 沿AE 折起，则在翻折过程中，异面直线AD 与BE 所成角的取值范围是____.

17．若对任意[]02b ∈，

，当11x a ??∈????

，(1)a 时，不等式214ax bx x +-≤恒成立，则实数a 的取值范围是____.

四、解答题

18．已知函数()

()cos sin f x x x x =. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；

（2）若角(0,)απ∈，3()2

5=

αf 2sin(+)3πα的值. 19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，24BC AD ==，

AB CD ==.

（1）证明：BD ⊥平面PAC ；

（2）若AP ，求BC 与平面PBD 所成角的正弦值.

20．已知数列{}n a 的前n 项和2

n S n =，正项等比数列{}n b 满足11b =，且39b 是22a b 与

31a b +的等差中项．

（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．

21．如图，直线l 与抛物线22y x =相交于,A B 两点，与x 轴交于点Q ，且OA OB ⊥，

OD l ⊥于点(,)D m n .

（1）当1n =时，求m 的值；

（2）当13,22m ??∈????

时，求ODQ 与OAB 的面积之积ODQ

OAB

S

S

?的取值范围.

22．已知函数2()f x x x

=+

，2

()2g x x ax =-+，R a ∈. （1）若函数(())y g f x =存在零点，求a 的取值范围；

（2）已知函数(),()()

()(),()()

f x f x

g x m x g x f x g x ≥?=?

小值，求实数a 的取值范围.

参考答案

1．C 【分析】

根据特殊角三角函数值即可得解. 【详解】

21cos

cos cos 3332ππππ?

?=-=-=- ??

?. 故选：C 【点睛】

此题考查求特殊角的三角函数值，可以根据诱导公式化简求值，熟记常见特殊角三角函数值便于解题. 2．C 【分析】

根据倾斜角的正切值等于直线的斜率求解即可. 【详解】

设直线+1y =的倾斜角为θ则tan θ=[)0,θπ∈，故3

πθ=

.

故选：C 【点睛】

本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题. 3．D 【分析】

根据双曲线方程求出2,a b c ==. 【详解】

双曲线22

134x y -

=中，易得2,a b c ==x 轴，

所以焦点坐标为：(. 故选：D 【点睛】

此题考查根据双曲线方程求双曲线的焦点坐标，关键在于熟练掌握双曲线的标准方程，准确计算.

4．B 【详解】

试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：

棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）． 考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式. 5．B 【分析】

由题意得出1111

x y x y -≤+≤??-≤-≤?，利用待定系数法得出()()31222x y x y x y +=++-，然后利

用不等式的基本性质可求得2x y +的取值范围，进而得解. 【详解】

由题意得出11

11x y x y -≤+≤??-≤-≤?

，设()()()()2x y m x y n x y m n x m n y +=++-=++-，

则21m n m n +=??-=?，解得32

1

2m n ?

=????=??，所以，()()31222x y x y x y +=++-，

由于()()3

33

222

1112

22

x y x y ?-≤+≤???

?-≤-≤??，可得222x y -≤+≤，因此，2x y +的最大值是2.

故选：B. 【点睛】

本题考查利用不等式的基本性质求代数式的最值，解答的关键就是利用待定系数法求得

()()31

222

x y x y x y +=

++-，考查计算能力，属于中等题. 6．D 【分析】

根据函数解析式，分别讨论0a =，0a ≠两种情况，根据函数零点，以及函数的性质，即可判断出结果. 【详解】

当0a =时，21

()x f x x x

=

=，是反比例函数，其图象为B 选项； 当0a ≠时，由()0f x =得0x =，即函数仅有一个零点，故D 不可能；

又2()()x f x f x x a --=

=-+，所以函数2

()x f x x a

=+为奇函数； 若0a >，当0x >

时，21()x f x a x a x x

==≤

++A 选项有可能；

若0a <，当0x >时，21

()x f x a x a x x ==

++，所以0a x x

+≠

，即x ≠

因为a

y x x =+单调递增，所以函数2()x f x x a

=+

在(

上单调递减，在)

+∞

上单调递减；即C 选项有可能. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的基本性质即可，属于常考题型. 7．A 【分析】

根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项. 【详解】

方程222

2530x y mx m m +---+=表示圆需满足

()

()

2

2245+30,3m m m m ---->∴<-或1

>2

m ，

所以“12

m >”是“222

2530x y mx m m +---+=为圆方程”的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题考查圆的一般方程和充分条件与必要条件的判断，属于基础题. 8．A 【分析】

将,A B 与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围. 【详解】

如图设1，F F 分别为椭圆的左、右焦点，设直线y kx =与椭圆相交于,A B ，连接

11,,,AF AF BF BF .

根据椭圆的对称性可得：四边形1AF BF 为平行四边形.

由椭圆的定义有：12,AF AF a +=12,FF c =1120F AF ∠=? 由余弦定理有：2

2

2

1112cos120FF AF AF AF AF =+-??

即()()2

2212

11142AF AF c AF AF AF AF AF AF ??+=+-?≥+- ???

所以()

2

2

12222

14432AF AF c AF AF

a a a ??+≥+-=-= ???

当且仅当1AF AF =时取等号，又

y kx =的斜率存在，故A B ，不可能在y 轴上.

所以等号不能成立,即即2234c a >，所以1e >>

故选：A

【点睛】

本题考查椭圆的对称性和焦点三角形，考查利用椭圆的定义和余弦定理、重要不等式求椭圆的离心率的范围，属于难题. 9．A 【分析】

如图，设(0m 1)EP mED =≤≤，化简得到112

(1)()233

AP m AB m BC =-

++，即得到112=1,233m m λμ-=+，所以22114

(01)433

m m m λμ+=-+≤≤，利用二次函数求出最

小值得解. 【详解】

如图，设(0m 1)EP mED =≤≤，

由题得1

()3

AP AE EP AB BE mED AB BC m EC CD =+=++=+++, 所以121112

(1)()332233AP AB BC mBC mAB m AB m BC ==++-=-++，

所以112

=1,233m m λμ-=+，

所以2

2114(01)433

m m m λμ+=-+≤≤，

二次函数图象的对称轴为2

3

m =，

所以当23

m =时，2

λμ+的最小值为119.

故选：A. 【点睛】

本题主要考查向量的运算法则和平面向量基本定理，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．B 【分析】

对于A 选项，作差得+1n n a a -2

1924n a ??=+- ??

?，由此可判断； 对于B 选项，得2

19024n a ??+-> ??

?，由此可求出参数的范围，从而进行判断；

对于C 选项，得()()120n n a a -+=，解出即可判断； 对于D 选项，由C 选项可得，当1a =时，符合12n a +≤． 【详解】

解：对于A 选项，若1a >，则2

12n n n

n a a a a -=+-+21924n a ??=+- ??

?2

191024??>+-= ???，

∴1n n a a >+，即数列{}n a 为递增数列，则A 对；

对于B 选项，若数列{}n a 为递增数列，则2

12n n n

n a a a a -=+-+2

19024n a ??=+-> ??

?， ∴1322n a +

<-，或13

22

n a +>，即2n a <-，或1n a >， ∴2a <-，或1a >，则B 错；

对于C 选项，要使数列{}n a 为常数数列，则2

12n n n n a a a a -=+-+()()120n n a a =-+=，

∴1n a =，或2n a =-，即存在实数1a =或2a =-，使数列{}n a 为常数数列，则C 对； 对于D 选项，由C 选项可得，当1a =时，数列{}n a 为常数数列，即1112n a +=+=， 则存在实数1a =，使12n a +≤恒成立，则D 对； 故选：B ． 【点睛】

本题主要考查数列的单调性的判断，考查数列的递推公式的应用，属于中档题． 11．{}12x x << {}

2x x >- 【分析】

求出集合A ，利用交集和并集的定义可分别求出集合A B ，A B .

【详解】

{}

{}24022A x x x x =-<=-<<，{}1B x x =>，{}12A B x x ∴?=<<，

{}2A B x x ?=>-.

故答案为：{

}12x x <<；{}

2x x >-. 【点睛】

本题考查交集和并集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.

12．1- ()(,1-∞-? 【分析】

根据函数的表达式，将1

2

x =代入即可.分0x >和0x ≤两种情况代出()f x 的解析式，解不等式即可． 【详解】 由函数2log ,0

()2,0x

x x f x x >?=?

≤?

， 所以2

11

()log 12

2

f ==- 当0x >时，21

()log <2

f x x =，解得02x .

当0x ≤时，1

()2<2

x

f x =，解得1x <-. 所以当1()<2

f x 时，0

2x

或1x <-

故答案为：1-； ()(,1-∞-? 【点睛】

本题主要考查函数值的求法，本题考查分段函数,解不等式，考查运算求解能力，属于基础题. 13．3 2

5

【分析】

直接根据两直线平行与垂直的公式进行求解． 【详解】

解：∵1:230l x ay a ++=，2:(1)370l a x y a -++-=， 若12l l //，则()2310a a ?--=，即()()320a a -+=，

∴3a =，或2a =-，

经检验，当2a =-时，两直线重合，应舍去， ∴3a =；

若12l l ⊥，则()2130a a -+=， ∴25

a =

； 故答案为：3；25

． 【点睛】

本题主要考查两直线平行于垂直的计算公式，属于基础题． 14．{}

13y y ≤≤ 3 【分析】

根据定义得21y -≤，去掉绝对值解出即可；由定义得21+22x x m -+≥恒成立，利用绝对值三角不等式即可求出答案． 【详解】

解：∵(,)2,f x y x y =-(1)1f y ≤,，

∴21y -≤，即121y -≤-≤，则13y ≤≤， ∴不等式(1)1f y ≤,的解集是{}

13y y ≤≤； 又(,1)+(,2)f x f x m -≥对任意实数x 恒成立， 即21+22x x m -+≥对任意实数x 恒成立，

即12+12m x x ??

≤-

+ ???

对任意实数x 恒成立， 由绝对值三角不等式可得，()112+121322x x x x ???

?-+≥--+= ? ?????

， ∴3m ≤；

故答案为：{}

13y y ≤≤；3． 【点睛】

本题主要考查含绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，属于中档题．

15．【分析】

根据等差中项的性质，结合正弦定理化简可得3

B π

=

，再利用平面向量的线性运算可得

1

2

BD BA BC =

+，再平方利用基本不等式求解最值即可. 【详解】

由题，2cos cos cos b B a C c A =+，根据正弦定理有：

()2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A A C =+=+，故2sin cos sin B B B =.

又sin 0B ≠，故1

cos 2

B =

，又()0,B π∈，故3B π=.

设AC 中点为D ，则AC 边上中线长为1

2

BD BA BC =+，平方可得

()

()()2222

221112444BD BA BC BA BC c a ac a c ac ??=++?=++=+-?

?

()()()2

22

13124416a c a c a c ??+≥+-=+=??????

，当且仅当4a c ==时取等号.

故2

BD 的最大值为12，即AC 边上中线长的最小值是

故答案为：【点睛】

本题主要考查了正弦定理边角互化的运用，同时也考查了利用基本不等式求最值的问题，同时在处理三角形中线的时候可以用平面向量表示从而简化计算.属于中档题. 16．42ππ??

??

?， 【分析】

先由题意，取AB 中点为F ，DE 中点为M ，AE 中点为N ，连接FN ，FM ，MN ，得到MNF ∠即为异面直线AD 与BE 所成角，或所成角的补角，记异面直线AD 与BE 所成角为θ，则cos cos MNF θ=∠，根据题意，画出图形，结合翻折过程求出临界值，再由余弦定理，即可求出结果. 【详解】

由题意，取AB 中点为F ，DE 中点为M ，AE 中点为N ，连接FN ，FM ，MN ，

则//MN AD ，//FN BE ，

将ADE 沿AE 折起，在翻折过程中，始终有//MN AD ，//FN BE ； 所以MNF ∠即为异面直线AD 与BE 所成角，或所成角的补角， 记异面直线AD 与BE 所成角为θ，则cos cos MNF θ=∠

因为2AB AD =，不放设2AD =，则4AB =，1MN =，BE ==

所以FN =

，

由题意可得，在翻折过程中，FM 逐渐减小，当D 点与F 重合时，FM 最小，如图2； 此时1FM =；

翻折前，FM 取最大，如图1；此时FM ==，

所以1FM ≤≤

由余弦定理可得：22222

cos

2MN NF MF MNF MN NF +-∠===?，

因为2

15MF ≤≤，所以2

22-≤≤，即cos 22MNF ?∠∈-???

，

所以cos cos MNF θ?=∠∈???

，因此,42ππθ??

∈????； 又翻折前，以及点D 点与F 重合，这两种情况下，AD 与BE 是相交直线，

所以cos 2

θ≠

，即4πθ≠；

故42ππθ??

∈

??

?，. 故答案为：42ππ??

???

，.

【点睛】

本题主要考查求异面直线所成角的范围，熟记异面直线所成角的概念，灵活运用立体几何的方法求解异面直线所成的角即可，属于常考题型.

17．]

(13，

【分析】

将不等式转化为1

4ax b x

-+≤恒成立，结合函数单调性转化求解. 【详解】

对任意[]02b ∈，

，当11x a ??∈????

，(1)a 时，不等式214ax bx x +-≤恒成立， 即1

4ax b x

-

+≤恒成立， []02b ∈，，当11x a ??

∈????，

(1)a 时，1y ax b x =-+单调递增， []1

1,1ax b a b a b x

-+∈-+-+，14ax b x -+≤(1)a

只需14,14a b a b -+≤-+≤对[]02b ∈，

恒成立， 124a -+≤且1a >，

解得13a

.

故答案为：]

(13，

【点睛】

此题考查不等式恒成立求参数取值范围，关键在于熟练掌握不等式性质和函数单调性，结合

恒成立求解参数.

18．（1）T π=；单调递增区间为51212k k k Z ππ

ππ??

-++∈????，，；（2）

23sin(+

)310

πα-=

【分析】

（1）利用降幂公式结合辅助角公式进行三角恒等变换得到()sin(2)3

2

f x x π

=+

+

，由2222

3

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+∈，解得单调增区间；

（2）根据3()2

5=

αf 3sin()35πα+=，由2sin(+)sin()333πππαα=++结合两角和的正弦公式即可得解. 【详解】

（1）2()sin cos f x x x x =+

1sin 222x x =

+

sin(2)3x π=++

T π∴=

令2222

3

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+∈，

解得51212

k x k k ππ

ππ-

+≤≤+∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为51212k k k Z ππππ??

-

++∈????

，，

（2）因为3()25=α

f ，所以3sin()+

3252

πα++= 故3sin()35

π

α+

= (0)απ∈，，4(

)3

33

π

ππ

α+

∈，

又3

sin()35

π

α+

=，4cos()35πα∴+=-

2sin(+)sin()333

πππ

αα∴=++

sin(+)cos cos()sin 3333

ππππ

αα=++

3143525210

-=?-?=

即2sin(+)3πα=

【点睛】

此题考查三角函数综合应用，涉及三角恒等变换，求三角函数的最小正周期和单调区间，利用和差公式解决给值求值的问题，属于中档题.

19．（1）证明见解析；（2）4

【分析】

（1）通过证明BD AC ⊥，PA BD ⊥即可得证；

（2）利用等体积法求出点C 到平面BDP 的距离即可求得BC 与平面PBD 所成角的正弦值. 【详解】

（1）证明：作,2,4DE BC AD BC ⊥==

1,3CE DE BE ∴===

45DBC ACB ?∴∠=∠=

∴BD AC ⊥

又PA ⊥平面ABCD ，PA BD ∴⊥， P A ，AC 是平面PAC 内两条相交直线，

BD ∴⊥平面PAC ；

（2）Rt PAB ?

中，4PA AB PB =

=∴=

Rt PAD ?

中，2,PA AD PD ==∴=PBD CBD ∴???

又C PBD P BCD V V --=，

∴点C 到平面BDP

的距离h PA ==

BC ∴与平面BDP 所成角α

的正弦为sin 4

h BC α=

=

. 【点睛】

此题考查线面垂直的证明和线面角的求法，常利用等体积法求点到平面距离再求出线面角的正弦值.

20．（1）21n a n =-；1

23n n b -??= ?

??

；（2）()1

2

15104()

3

n n T n -=-+?．

【分析】 （1）由11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?

-≥?可求出n a ，设数列{}n b 的公比为q ，根据等比数列的通项公

式和等差中项的定义列出方程，由此可求出答案；

（2）由（1）有1

2(21)3n n n a b n -??=-? ?

??

，然后根据错位相减法求和即可．

【详解】

解：（1）当1n =时，111a S ==，

当2n ≥时，22

1(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，

21n a n ∴=-， 2335a a ∴==，，

设数列{}n b 的公比为q ，由题意可得：2

1836q q =+，

解得2

3q =

，或12

q =-（舍去），

1

23n n b -??∴= ?

??

，

∴21n a n =-，1

23n n b -??= ???

；

（2）由（1）有1

2(21)3n n n a b n -??=-? ???

，

∴112233n n n T a b a b a b a b =+++

+，

2312222

1135()7()(21)()3333

n n -=?+?+?+?++-?，

23412222222

13()5()7()(23)()(21)()3333333

n n n T n n -∴=?+?+?+?++-?+-?， 两式相减有：

231122

22212()()()(21)()333333n n n T n -??

=+?++++--?????

122

144()(21)()33n n n -=+-?--?

11042

5()333

n n -??=-+? ???，

∴

()1

2

15104()3

n n T n -=-+?．

【点睛】

本题主要考查数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题． 21．（1）1m =；（2）.

【分析】

（1）设直线AB 方程为x ty b =+，与抛物线联立，11()A x y ，，22()B x y ，，利用韦达定理，代入12120x x y y +=，可得b ，再根据OD DQ ⊥，利用斜率乘积为-1，列方程求解即可；

（2）由（1）可得12y y -，再根据OD

l ⊥，求出n t m

=-

，结合（1）中的2

(2)n m m =-消去n ，通过三角形面积公式可得ODQ S ?，OAB S ?=

二次函数的最值求解即可. 【详解】

解：（1）当直线l 与抛物线2

2y x =相交于,A B 两点时，斜率不为零， 设直线AB 方程为x ty b =+，其中0b ≠

由22x ty b y x

=+??=?，消去x 得2220y ty b --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则有122y y b =-，2212121

()4

x x y y b =

=， OA OB ⊥，

12120x x y y ∴+=，即2

20b b ，

2b ∴=，直线l 为：2x ty =+，点(20)Q ，， OD DQ ⊥，

12n n

m m

∴

?=--，即2(2)n m m =- 而1n = 解得1m =；

（2）由（1）得122y y t +=，124y y =-，

12y y ∴-==

(20)Q ，，且13,22m ??

∈????

，

所以直线OD 与直线l 斜率均存在， 又

OD l ⊥，

11n m t ∴

?=-，即n

t m

=-，又由（1）2(2)n m m =- 22

22

1n t m m

∴==-，

1

2

ODQ S OQ n n ?=

?==