浙江省高二下学期数学期中考试试卷
浙江省高二下学期期中数学试题
高二数学期中考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、单项选择题：共8题，每题3分，共24分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则（ ）{|23},{|0}A x x B x x =-≤≤=∈>Z A B = A.B.C.D.{0,1,2,3}{1,2,3}(0,3][)2,-+∞2.设,则命题“,方程有实根”的否定是（ ）m ∈R 0m ∃>20x x m +-=A.,方程无实根 B.,方程有实根 0m ∀>20x x m +-=0m ∀≤20x x m +-=C.,方程无实根D.,方程有实根0m ∃>20x x m +-=0m ∃≤20x x m +-=3.的展开式中二项式系数最大的是,则不可能是（ ） (1)n x +5n C n A.8B.9C.10D.114.甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园学雷锋活动,将教师随机分成三组,每组至少一人,则甲、乙在同一组的概率为（ ）A.B. C.D.161413125. 已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ） 1,(),2,xa x x f x x a≤+⎧=⎨>⎩()f x R a A.B.C.D.(,0]-∞[0,1][0,)+∞(,1]-∞6.某停车场有两排空车位,每排4个.现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车,若每排都有车辆停泊,且甲、乙两车停泊在同一排,则不同的停车方案有（ ）A.288种B.336种C.384种D.672种7.一枚质地均匀的骰子,其六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6.现将此骰子抛掷2次,正面向上的点数分别为12,X X .设,,记事件“”,事件“”,则1121212,,X X Y X X X X ≥<=⎧⎨⎩1122122,,X X Y X X X X ≤=>⎧⎨⎩A =15Y =B =23Y =(|)P B A =（ ）A.B.C.D.1929152118.已知函数,若在定义域上恒成立,则实数的取值范围3log (1),(1,8)()4,[8,)6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩[(1)()]2f m f x -≤m 是（）A.B.C.D.(0,)+∞[1,2)[1,)+∞(0,1)二、多项选择题：共4题，每题3分，共12分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量x y （件）之间的一组数据如表所示：价格 x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 1110865按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是y x ˆˆ3.2yx a =-+0.986r =（）A.B.变量线性正相关ˆ40a=,x y C.相应于点的残差约为 D.当时, 的估计值为14.4(9.5,10)0.4-8x =y 10.若,则以下说法正确的是（ ） 510~(,),(),()39X B n p E X D X ==A. B. C. D. 13p =10(21)3E X +=40(21)9D X +=3740()2281X P =≤≤11.若实数满足,则下列不等式正确的是（ ）,,a b c a c b -<A.B.C.D.a b c <+c a b <+b c a >-b a c <-12.已知函数的定义域均为,且,,若的图象关(),()f x g x R ()(2)1g x f x +-+=()(1)1f x g x -+=()y f x =于直线对称，则以下说法正确的是（ ）1x =A.为偶函数B.()g x 3()02g -=C.,D.若的值域为,则x ∀∈R ()(4)f x f x =+()f x [,]m M ()()1f x g x m M +=+-第Ⅱ卷（非选择题 共64分）三、填空题：共4题，每题4分，共16分.13.若随机变量,且,则______.22,)~(X N σ(5)(1)0.2P X P X >=<-=(12)P X -<<=14.若,则的取值范围为______. 31,24x y -<<-<<2xy15.已知甲盒中有2个白球,2个红球,1个黑球,乙盒中有4个白球,3个红球,2个黑球.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒,再从乙盒中随机取出一个球.记事件“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”,则A =______.()P A =16.正方体六个面上分别标有六个字母，现用种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有,,,,,A B C D E F 5公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有______种.四、解答题：共5题，17-18题每题9分，19-21题每题10分，共48分.解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤.17.已知.6()(12)f x x =+（1）若,求的值；772012(1)()a a x f x a a x x x -++=+ 771,i i a a =∑（2）求的展开式中系数最大的项.()f x 18.设是定义在上的偶函数,且当时, . ()f x R 0x ≥2()2x f x x -=-（1）求的解析式；()f x （2）若“”是“”的充分条件,求实数的取值范围. 3x =1(2)2f x t ->t 19.我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量(单x 位:dm)与遥测雨量(单位:dm)的关系,统计得到该地区10组雨量数据如下: y 样本号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人工测雨量 i x 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23 5遥测雨量i y 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49i i x y -0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.026并计算得1010101122122,,33.62,34.42353.63,2,3461.7357..30i i i i i ii xy x y xy y x ======≈≈≈∑∑∑（1）求该地区汛期遥测雨量与人工测雨量的样本相关系数(精确到0.01),并判断它们是否 y x 具有较强的线性相关关系(若,则认为两个变量有较强的线性相关性)0.75r ≥（2）规定：数组满足为“Ⅰ类误差”,满足为“Ⅱ类误差”,满足(,)i i x y 0.1i i x y <-0.10.3i i y x <≤-为“Ⅲ类误差”.为进一步研究,该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取30.3i i x y -≥组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比,记抽到“Ⅰ类误差” 的数据的组数为,求的概率分布与数学期望.X X 附：相关系数. 17.4r =≈20.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 40 女生 30 合计（1）根据所给数据完成上表,依据的独立性检验,能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？ 0.001α=（2）社团知道老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为,这名女生进球的概率为,每人射门一次,假设不同学生射门相互独立,求3人进球总次数的分布2312X 列和数学期望.参考公式：. 22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++ 2()x P αχα≥=0.1 0.05 0.01 0.005 0.001x α 2.7063.8416.6357.87910.82821. 已知函数22()42f x x ax a =-+-（1）设不等式的解集为,若,求实数的取值范围;0()4f x +≤A {|03}A x x ⊆≤≤a （2）若在区间内有两个零点,求实数的取值范围. 2()()1g x f x x =+-(0,3)1212,()x x x x <a宁波效实中学二O 二二学年度第二学期高二数学期中考试参考答案一、单项选择题：共8题，每题3分，共24分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BAAABDBC二、多项选择题：共4题，每题3分，共12分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.题号 9 10 11 12 答案ADACDABCBCD三、填空题：共4题，每题4分，共16分.13.0.314.15.16.78031,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭2950四、解答题：共5题，17-18题每题9分，19-21题每题10分，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1），，764a =-771011iii i a a a===-=-=-∑∑（2）设，62nnn T C =11162n n n T C +++=由得，即当时，有最大值240 1n n T T +≥113n ≤4n =n T 因此展开式中最大项为. ()f x 4240x 18.解：（1）当时，0x <0x ->()()()2222x x f x f x x x =-=--=-所以 ()222,02,0x xx x f x x x -⎧-≥=⎨-<⎩（2）因为与在上单调递增，所以在上单调递增，又因为为偶函2y x =2xy -=[)0,+∞()f x [)0,+∞()f x数，所以在上单调递减.()f x (),0-∞不等式等价于，故或，由题意或 ()()21f x t f ->21x t ->12t x +>12t x -<132t +>132t -<所以.()(),57,t ∈-∞+∞ 19.解：（1），故认为具有很强的线性相关性.100.980.75nxyr =≈>（2）分布列如下：X 0 1 2 3P 156 1556 1528 528（，1，2，3） ()33538k k C C P X k C -==0k =()515388E X =⨯=20.解：（1）喜欢足球 不喜欢足球合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计90110200零假设为：设性别与喜欢足球无关.0H 根据表中数据可计算得.()221006070304018.18210.82810010090110χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯则根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即该校学生喜欢足0.001α=0H 0H 球与性别有关.（2）()211103218P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()21221111513323218P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭()21221211823233218P X C ⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭()221433218P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭X 0123P118 518 49 29()116E X =21.解：（1）令 ()()22442h x f x x ax a =+=-++1°若，此时，A =∅()2216420a ∆=-+<所以 a <<2° 若，则，解得A ≠∅()()00300230g g a ⎧≥⎪≥⎪⎨<<⎪⎪∆≥⎩1a <≤（2）()22241,01243,13ax a x g x x ax a x ⎧-+-<<⎪=⎨-+-≤<⎪⎩1° 在上有一个零点，上有一个零点()g x ()0,1()1,3①或()2110,14a x a-=∈12a -<<-12a <<+②()21,3x ∈()()130g g <解得或 26a <<-26a <<+当时，在上仅有一个零点 ()10g =()g x ()0,3当时，不符合题意 ()30g =所以(1,6a ∈-2° 在上无零点，在上有两个零点()g x ()0,1[)1,3则或或，此时不存在1a ≤-21a -≤≤2a ≥()()1030013g g a ⎧≥⎪≥⎪⎨∆≥⎪⎪<<⎩a 综上. (1,6a ∈-9。
浙江省杭州市高二下学期阶段性测试(期中)数学试题(解析版)
一、单选题1．已知函数，为的导函数，则的值为（ ） ()ln f x x x =()f x '()f x (1)f 'A ．B ．1C ．D ．013ln 3【答案】B【分析】求出函数的导函数，代入计算即可.【详解】因为，所以，所以. ()ln f x x x =()ln 1f x x '=+()1ln111f '=+=故选：B2．计算的值是（ ） 3477A C +A ．70 B ．245 C ．1050 D ．1680【答案】B【分析】由排列数，组合数定义可得答案.【详解】.()()347777765476524573744A C 24！！！！！⨯⨯⨯=+=⨯⨯+=-+-故选：B3．函数的大致图象为（ ）()22ln 41x x x f x =+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性以及该函数在区间上的函数值符()f x ()f x ()0,1号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，()22ln 41x x x f x =+()(),00,-∞⋃+∞且，，所以，函数为偶函数， ()2ln 22x x x f x -=+()()()22ln ln 2222x x x x x x f x f x ----===++()f x 排除BC 选项；当时，，则，排除D 选项.01x <<ln 0x <()2ln 2ln 02222x x x x x xf x --==<++故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.4．设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（ ） C 22230x x y -+-=l y 1l C A ． B ． C ． D ．以上都有可能012【答案】C【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可． 【详解】解：直线在轴上的截距为， l y 1直线过定点， ∴l ()01，，220201320-⨯+-=-< 点在圆内， ∴()01，直线与的交点个数为个．∴l C 2故选：．C 5．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，22221y x a b-=0a >）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则0b>30x +=该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．22197y x -=22179y x -=2213y x -=2216349y x -=【答案】A【分析】， 3b =又下焦点到下顶点的距离为1，得到 关系，结合解出 即可.a c 、222c ab =+ab 、【详解】因为双曲线的渐近线方程为，22221yx a b-=0ax by ±+=又双曲线的一条渐近线为，所以30x =a b -= ，又下焦点到下顶点的距离为1， 3b =所以，结合解得，， 1c a -=222c a b =+29a =27b =故选：A ．6．第十九届亚运会在杭州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（ ） A ．25 B ．100 C ．150 D ．300【答案】C【分析】根据题意先考虑工作的分组情况，再利用部分平均分组的方法计算即可. 【详解】由题意可得该5项工作可以分为1、1、3三组或1、2、2三组两种情况，对于1、1、3三组，有种分法；对于1、2、2三组，有分法；故将五31152122C C C 10A ⋅⋅=22153122C C C 15A ⋅⋅=项工作分成三组有10+15=25种分法，安排到3人有种安排方式.3325A 150⨯=故选：C7．已知是数列的前n 项和，，，当数列n S {}n a 3273S =()()*1194N n n na n a n +--=∈的前n 项和取得最大值时，n 的值为（ ）{}()*12N n n n a a a n ++∈A ．30 B ．31 C ．32 D ．33【答案】C【分析】由递推式得到，结合等差中项知为等差数列，进而写出其通项公式并122n n n a a a ++=+{}n a 判断单调性，最后判断上各项的符号，即可确定前n 项和取得最大值时n 的值.{}()*12N n n n a a a n ++∈【详解】①，则②， ()1194n n na n a +=-+()12194n n n a na +++=+②－①得：，即， ()()12111n n n n n a na na n a ++++-=--122n n n a a a ++=+则数列为等差数列，且，{}n a 194a =由得：，则公差，123273a a a ++=291a =2d a =13a -=-所以，数列单调递减，而，，，......， 973n a n =-{}n a 321a =332a =-345a =-设，当时，，且，， n n b a =12n n a a ++30n ≤0n b >318b =-3210b =当时，恒成立，显然，， 33n ≥0n b <31322b b +=3132330b b b ++=即数列的前32项和最大.{}()*12N n n n a a a n ++∈故选：C8．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线()e xf x x =--1l ()32cosg x ax x =+，使得，则实数的取值范围是（ ）2l 12l l ⊥a A ．B ．C ．D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系()e 1m f m '=--()32sin g n a n '=-及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. ()f m '()g n '【详解】由，则的切线斜率为， ()e 1x f x '=--x m =()e 11m f m '=--<-由，则的切线斜率为， ()32sin g x a x '=-x n =()32sin g n a n '=-而两曲线上总存在切线、有，即， 1l 2l 12l l ⊥1(0,1)e 132sin m a n =∈-+而，即，故，sin [1,1]n ∈-32sin [32,32]a n a a -∈-+[32,3](0)2,1a a -+⊆所以，解得，即.320321a a -≤⎧⎨+≥⎩1233a -≤≤12,33a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A 表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B 表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（ ） A ． B ． 2()3P A =3()5P B =C ．D ． ()25P B A =()45P B A =【答案】AD【分析】利用条件概率及全概率公式进行求解.【详解】，A 正确；14162()3C P A C ==， ()()()24465256P AB P B A P A ⨯===由全概率公式可知：3242()()()564536P B P AB P AB =+=⨯+⨯=所以BC 错误，D 正确. 故选：AD10．下列说法正确的是（ ）A ．若数列是等差数列，且，则{}n a ()*,,,m n s t a a a a m n s t +=+∈N m n s t +=+B ．若是等差数列的前项和，则成等差数列 n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --C ．若是等比数列的前项和，则成等比数列n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --D ．若是等比数列的前项和，且（其中是非零常数，），则n S {}n a n nn S Aq B =+,A B *n ∈N A B+为零 【答案】BD【分析】根据题意，由等差数列的通项与求和公式，以及等比数列的通项与求和公式，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，取数列为常数列，对任意的，都有，故错误； {}n a *,,,m n s t ∈N m n s t a a a a +=+对于B ，设等差数列的首项为，公差为，则， {}n a 1a d 12n n S a a a =+++2212212n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++-=+++=++++++=+ 同理，2232212231222n n n n n n n n n n S S a a a a a a n d S S n d ++++-=+++=++++=-+ 所以，所以成等差数列，故正确；()()2322n n n n n S S S S S -=+-232,,n n n n n S S S S S --对于C ，设，则，，所以此数列不是等比数列，故错误；()1nn a =-20S =42640,0S S S S -=-=对于D ，因为，()()()11111n n n n n n n n a S S Aq B Aq B Aq Aq A q q ----=-=+-+=-=-⨯所以此数列为首项是，公比为的等比数列，则，()1A q -q ()()111n n A q q S q--=-所以，所以，故正确.nn S Aq A =-0A B +=故选:BD11．如图，已知ABC 是边长为4的等边三角形，DE ，分别是ABAC ，的中点，将ADE 沿着DE 翻折，使点A 到点P 处，得到四棱锥P −BCED ，则（ ）A ．翻折过程中，直线BC 始终与平面PDE 平行B ．存在某个点P 位置，满足平面PDE ⊥平面PBC C ．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3D ．当 PB =52π3【答案】ACD【分析】A 选项，通过说明可判断选项正误；B 选项，如图建立以DE 中点F 为原点的空BC DE ∥间直角坐标系，利用平面PDE 法向量与平面PBC 法向量互相垂直可判断选项正误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，计算体积即可判断选项正误；D 选项，结合B 选项分析与P 坐标，后算出四边形DBCE 外接圆圆心坐标，球心坐标，即可得相应球表PB =面积.【详解】A 选项，注意到在翻折过程中，始终有又平面PDE ，平面PDE ，,BC DE A BC ⊄DE ⊂则BC 始终与平面PDE 平行，故A 正确；B 选项，取DE 中点为F ，BC 中点为G ，连接AF ，PF ，FG .如图建立以F 为原点，AF 所在直线为y 轴，FD 所在直线为x 轴，过P 点且与平面DBCE 垂直直线为z 轴建立空间直角坐标系. 由题可得P 点在yOz 平面上，设，则FA FP==PFy θ∠=，由题.()P θθ()0,πθ∈则. ()()()()100220100,,,,,,,,D B CE --,()()11,cos ,si n ，,cos ,si n PD θθPE θθ==-.()()22,cos ,si n ，,cos ,si n PB θθPC θθ=-=--设平面PDE 法向量为，()1111,,nx y z =则，取. 1111111100n PD x y z n PE x y z θθθθ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩()101,t an ,n θ=- 设平面PBC 法向量为，()2222,,n x yz =则，))222222222020n PB x y z n PC x y z θθθθ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取.因平面PDE ⊥平面PBC ， 2011si n ,,cos θn θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭则不存在，则不存在相应的P 点，使PDE ⊥平面PBC ，故12101si n t an cos cos θθn n θθ⋅=+=⇒-B 错误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，此时为底面对应高， PF 则，其中13P DBCE V S PF -=⋅⋅()()112422S DE BC FG=+⋅=⨯+⨯=PF 则，故C 正确.3P DBCE V -=D 选项，因，，则可得.PB =()2,cos ,si n PB θθ=-π2θ=.设四边形DBCE 外接圆圆心坐标为，由题知其在y 轴上，(P ()1333,,O x y z则.因，则，()1300,,O y 11O D O B=(2233314y y y +=+-⇒=.则外接球球心O 在过且与平面DBCE 垂直的直线上，设为.()100,O 1O ()0,O t 又，则. PO PB =)2224tt t +-=+⇒=0,O ⎛ ⎝则外接球半径为：.故外接球表面积为.PO ==3952493ππ⨯=故D 正确. 故选：ACD12．已知数列的前n 项和为，，且（，2，…），则（ ） {}n a n S 11a =1143n n n n a a a a ++⋅=-1n =A ． B ． C ． D ． 13n n a a +<51241a =1ln 1n n a ⎛⎫<+⎪⎝⎭17114n S ≤<【答案】ABD【分析】对于A 选项，只需判断；对于B 选项，通过通项公式可求得；对于C 选项，将0n a >5a 条件转化为，举出反例即可判断；对于D 选项，将数列放缩成等比数列求和，即可判132e n n +-<断.【详解】由条件，两边同时除以，得， 1143n n n n a a a a ++⋅=-1n n a a +⋅1134n na a +=-∴，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭1123a +=3∴，∴， 11112323n n n a a -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭132n n a =-对于A 选项，∵，∴， 1032n na =>-11430n n n n a a a a ++⋅=->∴，故A 选项正确； 13n n a a +<对于B ，，所以B 选项正确； 551132241a ==-对于C 选项，，等价于， 132n na =-1ln ln(32)1nn n a ⎛⎫=-<+ ⎪⎝⎭132e n n +-<因为， 55532341172.10368 2.8e -=>=>所以当时，，故C 选项错误； 5n =132e n n +->对于D 选项，，2211112223273313133n n n n n n a n -==≤=≥-⋅⎛⎫⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎪⎝⎭（）∴1012111111131311111737373714313n n n n S ----⎛⎫≤++++=+⋅=+- ⎪⋅⋅⋅⎝⎭- ， 1173114143n -=-⋅1714<又，∴，∴，故D 选项正确. 1032n n a =>-11n S S ≥=17114nS ≤<故选：ABD.【点睛】关键点点睛：由，得，是解决本题得关键. 1143n n n n a a a a ++⋅=-111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭三、填空题13．二项式的展开式的常数项等于_____________．6x ⎛⎝【答案】15【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项.x 0r 【详解】二项式的展开式的通项公式为：，6x ⎛ ⎝()36216C 1r r r r T x -+=-令，求得，3602r -=4r =所以展开式的常数项为.()446C 115-=故答案为：1514．已知随机变量服从正态分布，若，则X ()26,N σ()0σ>()30.8P X >=()39P X <<=______． 【答案】0.6【分析】根据概率之和为1，求得，再利用正态曲线的对称性得，即()3P X ≤()()93P X P X ≥=≤可求得答案.【详解】解：因为，所以， ()30.8P X >=()310.80.2P X ≤=-=因为随机变量服从正态分布，X ()26,N σ()0σ>所以， ()()930.2P X P X ≥=≤=所以. ()3910.20.20.6P X <<=--=故答案为：0.6.15．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种不同的颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则65，区域涂同色的概率为_____________．A C【答案】413【分析】利用分步乘法计数原理求出所有的涂色种数，再求出，区域涂同色情况，最后利用古A C 典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意分4步进行分析： ①，对于区域，有6种颜色可选；A ②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；B A ③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；D A B ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选， CE A C E 若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选， A C C E 则区域、有种选择， C E 43313+⨯=综上可得不同的涂色方案有种. 654131560⨯⨯⨯=其中与颜色相同的有种， A C 6544480⨯⨯⨯=所以，区域涂同色的概率. A C 4804156013P ==故答案为：41316．已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.11ln a x a x e x x-+≥()0,1x ∈a 【答案】e -【分析】先将不等式变形为，11ln a xe x xx a -≥-11ln ln x x a a x e e x -≥-再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为()()ln 0f x x x x =->1a x e x ≥，然后求出函数的最小值，即解出． ()101ln a x x x≥<<()()()ln 0,1h x x x x =∈【详解】由题意，不等式可变形为， 11ln a xe x xx a -≥-得对任意恒成立.11ln ln x x a a x e e x -≥-()0,1x ∈设，()ln f x x x =-则对任意恒成立，，1()ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()0,1x ∈()111x f x x x -'=-=当时，，所以函数在上单调递减， 01x <<()0f x '<()f x ()0,1当时，，所以函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞当时，，因为求实数的最小值，()0,1x ∈1x e e >a 所以考虑的情况，此时， a<01a x >因为函数在上单调递增，()f x ()1,+∞所以要使，只需，()1ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭1a x e x ≥两边取对数，得上， 1ln a x x≥由于，所以. ()0,1x ∈1ln a x x≥令，则，()()()ln 0,1h x x x x =∈()ln 1h x x '=+令，得，()0h x '=1=x e易得在上单调递减，在上单调递增，()h x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，所以，所以， ()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()max1e h x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭a e ≥-所以实数的最小值为. a e -故答案为：e -【点睛】关键点睛：求解不等式问题的关键：（1）适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；（2）构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.四、解答题17．已知平面向量，，函数．()sin a x x = ()2sin ,sin b x x = ()1f x a b =⋅+(1)求的单调增区间．()f x (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若，，求△ABC 周长的取()4f A =2a =值范围．【答案】(1)πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2) (]4,6【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算求出，再通过二倍角与辅助角公式化简，带入三角函数的单调递增区间即可求得；(2)代入已知条件，余弦定理可以获得边之间的关系，再结合基本不等式即可求得周长的取值范围.【详解】（1）()212sin cos 11cos 221f x a b x x x x x =⋅+=++=-+= π2sin(226x -+， 所以令，解得， πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Îππππ,Z 63k x k k -+££+Î所以函数的单调递增区间为;πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）因为，即，解得，即，()4f A =π2sin(2)246A -+=ππ22π,Z 62A k k -=+∈ππ,Z 3A k k =+∈因为A 为三角形的内角，所以，π3A =又因为，所以，即即，解得2a =2241cos 22b c A bc +-==224,b c bc +-=22()()4334b c b c bc ++-=≤，4b c +≤又因为a ，b ，c 是的边，所以，故△ABC 周长. ABC A 2b c +>46ABC C a b c <=++≤A 所以周长的取值范围是.ABC A (]4,618．如图所示，在三棱柱中，底面是正三角形，侧面是菱形，点在平11ABC A B C -ABC A 11AAC C 1A 面的射影为线段的中点，过点，，的平面与棱交于点．ABC AC D 1B B D α11A C E(1)证明：四边形是矩形；1BB ED (2)求平面和平面夹角的余弦值． 1ABB 1BB E 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先根据线面平行的判定定理，性质定理证出四边形是平行四边形，再由条件1BB ED 可证得平面，于是，从而四边形是矩形；BD ⊥11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴､轴､轴，DB AC 1A D DB AC 1A D x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，再分别求出平面，平面的一个法向量，然D xyz -1DBB E 11ABB A 后根据二面角的向量公式即可求出． 【详解】（1）连接，，1B E DE 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以， 111ABC A B C -11A ABB 11//B B A A 因为平面，平面，所以平面， 1B B ⊄11A ACC 1A A ⊂11A ACC 1//B B 11A ACC 因为平面，且平面平面，所以， 1B B ⊂1BB D 1BB D ⋂11A ACC DE =1//B B DE 因此，1//A A DE 因为点是的中点，所以为中点，所以， D AC E 11A C 1B B DE =所以四边形为平行四边形，1BB ED 在正中，因为是的中点，所以，ABC A D AC BD AC ⊥由题可知平面，平面，所以，， 1A D ⊥ABC ,BD AC ⊂ABC 1A D BD ⊥1A D AC ⊥因为，平面，所以平面，1AC A D D ⋂=1,AC A D ⊂11ACC A BD ⊥11ACC A又平面，所以，故四边形为矩形. DE ⊂11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，DB AC 1A D 以，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. DB AC 1A D x y z D xyz -设，则1AD =BD =在中，，，所以. 1AA D △12AA AD =190ADA ∠=︒1A D =于是，，，，()0,0,0D ()0,1,0A -(1A )B，，.)AB =)DB =(11AA BB ==设平面的法向量为，1DBB E (),,m a b c =由，得，取.100m BB m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩b ⎧=⎪=()1m =- 设平面的法向量为， 11ABB A (),,n x y z =由，得，取. 100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧=⎪+=()1,n = 设平面和平面夹角为，1ABB 1BB E θ则cos cos ,m θ==故平面和平面. 1ABB 1BB E19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）34（Ⅱ）的分布列为ξξ0 1 2 3P 1327321532932的数学期望ξ2E ξ=【详解】试题分析：对于问题（I ）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于p 问题（II ），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取ξξ各个值时所对应的概率，就可得到的分布列．ξ试题解析：（I ）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.A B 由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为. 221(1())(1)16P B p -=-=34p =5434（II ）由题设知（I ）知，，，， 1()2P A =1()2P A =3()4P B =1()4P B =可能取值为ξ0,1,2,3故，2111(0)()((2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=， 12(1)()()()(()P P A P B B C P B P B P A ξ==⋅+⋅⋅2113117(22444232=⨯+⨯⨯⨯=2139(3)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯= 15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==的分布列为 ξξ0 1 23P 132 7321532932171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【解析】1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20．已知函数，对任意，都有．()f x x ∈R ()()12023f x f x +-=(1)求的值．12f ⎛⎫⎪⎝⎭(2)数列满足：，求数列前项和． {}n a ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 122023n n a +⋅⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S (3)若，证明： 22212111n n T a a a =+++ 242023n T <【答案】(1)20232(2)12n n S n +=⨯(3)证明见解析【分析】（1）依题意令，即可得解； 12x =（2）令可得，再利用倒序相加法得到，从而得到1x n=112023n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()202312n n a +=，最后利用错位相减法计算可得； ()12122023n n n a n +⋅=+⨯（3）利用放缩法得到，利用裂项相消法计算可得.()2222111202312023414na n n n ⎛⎫=<⨯- ⎪+⎝⎭+【详解】（1）因为对任意，都有， x ∈R ()()12023f x f x +-=令，所以，所以.12x =111202322f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1202322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）因为， ()()12023f x f x +-=令，则， 1x n=111112023n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①， ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又②， ()()122110n n n a f f f f f f n n n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加得：，11222[(0)(1)][(([()()][(1)(0)]2023(1)n n n a f f f f f f f f n n n n n--=++++++⋯++=+所以．()202312n n a +=， ∴()()11202312212202322023n n n n n a n +++⋅=⨯=+⨯所以③，22232(1)2n n S n =⨯+⨯+++⨯ ④，23122232(1)2n n S n +=⨯+⨯+++⨯ ③④可得，-212222(1)2n n n S n +-=⨯+++-+⨯，()()11212212212n n n n n ++-=+-+⨯=-⨯-所以；12n n S n +=⨯（3）由（2）可知，()202312n n a +=所以， ()()()222222211111202320144423202312023114na n n n n n n ⎛⎫==⨯<⨯=⨯- ⎪++⎝⎭++所以 22212111n nT a a a =+++()()()22222211120232023202311214144n =⨯+⨯++⨯+++ 222211111111202312202323202334244440231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 221120231420243n ⎛⎫=⨯-< ⎪+⎝⎭所以. 242023n T <21．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．22184x y +=1F 2F l 2F A B (1)若直线垂直于轴，求；l x ||AB (2)当时，在轴上方时，求、的坐标；190F AB ∠=︒A x A B (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求1AF y M 1BF y N l 11F AB F MN S S =A A出直线的方程；若不存在，请说明理由． l 【答案】(1)(2)，()0,2A 82,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭(3)存在，或20x -=20x -=【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得，的坐标，则可求；A B ||AB （2）设，由，利用数量积为0求得与的方程，再由在椭圆11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒1x 1y A 上，得与的另一方程，联立即可求得的坐标．得到直线的方程，与椭圆方程联立即可求1x 1y A AB 得的坐标；B （3）设，，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，结11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y :2l x my =+合，得，再由直线的方程：，得纵坐标11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-1AF 11(2)2y y x x =++M，由直线的方程：，得的纵坐标，结合根与系数的13122y y x =+1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+关系，得，解得值，从而得到直线方程． 22244416422m mm m m --+⋅+=++m 【详解】（1）解：依题意，，当轴时，将代入，解得2(2,0)F AB x ⊥2x =22184x y +=y =则，，所以(A (2,B ||AB =（2）解：设，，，， 11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒ 1(2,0)F -2(2,0)F 所以，111(2,)AF x y =---211(2,)AF x y =-+-，∴22121140AF AF x y ⋅=-+=又在椭圆上，满足，即，A 2211184x y +=22114(18x y =-，解得，即．∴221144(108x x -+-=10x =(0,2)A 所以直线，:2AB y x =-+联立，解得或，所以； 222184y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩8323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩02x y =⎧⎨=⎩82,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设，，，， 11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y 直线，:2l x my =+则，11212121||||2||2F AB S F F y y y y =⋅-=-A ． 1134341||||||2F MN S F O y y y y =⋅-=-A 联立，得．222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)440m y my ++-=则，．12242m y y m +=-+12242y y m -=+由直线的方程：，得纵坐标； 1AF 11(2)2y y x x =++M 13122y y x =+由直线的方程：，得的纵坐标． 1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+若，即，11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-， 121212341212121222228()||||||||2||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++，，12|(4)(4)|4my my ∴++=21212|4()16|4m y y m y y +++=代入根与系数的关系，得，解得 22244416422m mm m m --+⋅+=++m =存在直线或满足题意．∴20x -=20x -=【点睛】方法点睛：解析几何中与弦长相关的三角形面积常有两种求法： （1），其中为弦长，为另一顶点到直线的距离； 12S AB d =⋅AB d AB （2）面积等于水平宽与铅垂高积的一半.22．已知函数，.()xe f x x =()tan g x x =(1)讨论的单调性；()f x (2)设函数，试判断在内的零点个数.()()()F x f x g x =-()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)在区间，上单调递减，在区间上单调递增 (,0)-∞(0,1)(1,)+∞(2)零点个数为2【分析】（1）利用导数求解单调区间即可.（2）首先将题意转化为根的个数，设，再分类讨论与sin cos 0x e x x x -=()sin cos x h x e x x x =-()h x 轴的交点个数即可.x 【详解】（1）函数的定义域为，， ()x e f x x ={}0x x ≠22(1)()x x x e x e e x f x x x'--==令，得.()0 f x '=1x =当时，；当时，； (,0)x ∈-∞()0f x '<(0,1)x ∈()0f x '<当时，，(1,)x ∈+∞()0f x '>所以在区间，上单调递减，在区间上单调递增.()f x (,0)-∞(0,1)(1,)+∞（2）令，得.()()()tan 0xF x f x g x xe x =-=-=sin cos 0x e x x x -=设，所以.()sin cos x h x e x x x =-()()()1sin cos x xh x x x x e e '=++-①当时，可知，则，所以，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0x e x >>x e x >e 0x x -<又，，所以，sin 0x <cos 0x >()0h x '<从而在上单调递减，()sin cos x h x e x x x =-,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭又，，(0)1h =-022h ππ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭由零点存在定理及的单调性，得在上有一个零点.()h x ()h x ,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭②当时，，0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦cos sin 0x x ≥>由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，()xe f x x=(0,1)(1,)+∞所以时，函数，则.0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()(1)1xf x f x e e =>=>0x e x >>所以，则恒成立.cos sin x e x x x >()sin cos 0x h e x x x x =-<所以在上无零点.()h x 0,4π⎛⎤⎥⎝⎦③当时，，，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos 0x x >>()(sin cos )(cos sin )0x h x x x e x x x '=-++>则在上单调递增.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭又，， 022h ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭440444e h e πππππ⎫⎛⎫==-<⎪ ⎪⎝⎭⎭所以在上存在一个零点.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭综上，在内零点个数为2，()h x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即在内的零点个数为2.()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
浙江省学军中学紫金港校区2023-2024学年高二下学期期中数学试题
浙江省学军中学紫金港校区2023-2024学年高二下学期期中数学试题一、单选题1．直线10x +=的倾斜角是 A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．直线1l 的方向向量()1101ν=-r ，，，直线2l 的方向向量()2202ν=-r，，，则不重合直线1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定3．已知正态分布()21,N σ的正态密度曲线如图所示，()2~1,X N σ，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）A ．()102P X -≤B ．()122P X -≥C ．()1122P X -≤≤D ．()()112022P X P X ≤-≤4．若二项式()*nx n⎛∈ ⎝N 的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是（ ） A ．9B ．36C ．84D ．1265．若直线:30l kx y k -+=与曲线1C y =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．13,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦6．设抛物线2:4T y x =的焦点为F ，A 为抛物线上一点且A 在第一象限，4AF =，若将直线AF 绕点F 逆时针旋转45︒得到直线l ，且直线l 与抛物线交于,C D 两点，则CD =（ ）A ．32-B ．32-C ．16-D ．16-7．设n 为偶数，则112217C 7C 7C 7n n n n n n n ---++++⋅L 被9整除的余数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1-8．设函数()()()1ln xf x ax m e ax x ⎡⎤⎣⎦=-+- （其中e 为自然对数的底数），若存在实数a 使得()0f x <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．211,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()21,e -+∞D ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭二、多选题9．已知由样本数据(),(1,2,3,,10)i i x y i =⋯组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ2yx =-+，且4x =．剔除一个偏高直线较大的异常点()14,2--后，得到新的回归直线经过点()7,4-．则下列说法正确的是（ ）A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C ．剔除该异常点后的回归直线方程经过点()6,2-D ．剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变小 10．已知函数()(1)e x f x x =+的导函数为()f x '，则（ ）A ．函数()f x 的极小值点为21e - B ．(2)0f '-=C ．函数()f x 的单调递减区间为(,2)-∞-D ．若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点，则21(,0)e a ∈-11．设一组样本的统计数据为：12,,,n x x x L ，其中*12N ,,,,R n n x x x ∈∈L ，已知该样本的统计数据的平均数为x ，方差为2s ，设函数()()12,R ni i f x x x x ==-∈∑，则下列说法正确的是（ ）A ．设R b ∈，则12,,,n x b x b x b +++L 的平均数为x b +B ．设R a ∈，则12,,,n ax ax ax L 的方差为22a sC ．当x x =时，函数()f x 有最小值中22n sD ．()()()2212n f x f x f x n s ++⋯+≥三、填空题12．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()1126P A P A B =⋂=，，则()P A B ⋂=．13．我们把形如()22122:10,0x y C a b a b -=>>和()22222:10,0y x C a b b a-=>>的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线12,C C 的离心率分别为12,e e ，则1212e e +的最大值是．14．已知函数()44,4x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩，若对于正数()*n k n ∈N ，直线n y k x =与函数()f x 的图像恰好有21n +个不同的交点，则22212n k k k +++=L ．四、解答题15．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求： (1)抽到他能答对题目数X 的分布列； (2)求X 的期望和方差16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且关于x 的方程2*10,nx n n +++=∈N 有两个相等的实数根．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()12n an n b a =+⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且4n n T λ≥对任意的*n ∈N 恒成立，求实数λ的最大值．17．某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为102p p ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金． (1)已知13p =，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； (2)已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否会超过预算?请说明理由．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．且离心率为(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于A ，B 两点，A ，B ，F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（i ）证明：直线l 过定点； （ⅱ）求ABF △面积的最大值．19．将2024表示成7个正整数1234567,,,,,,x x x x x x x 之和，得到方程12345672024x x x x x x x ++++++=①，称七元有序数组()1234567,,,,,,x x x x x x x 为方程①的解，对于上述的七元有序数组()1234567,,,,,,x x x x x x x ，当1,7i j ≤≤时，若()()max i j x x t t -=∈N ），则称()1234567,,,,,,x x x x x x x 是t -密集的一组解．(1)方程①是否存在一组解()1234567,,,,,,x x x x x x x ，使得()11,2,3,4,5,6i i x x i +-=等于同一常数? 若存在，请求出该常数，若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?(3)记721i i S x ==∑，问S 是否存在最小值?若存在，请求出S 的最小值：若不存在，请说明理由．。
2023-2024学年浙江省高二下学期期中联考数学试题(含答案)
2023-2024学年浙江省高二下册期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =--≤，{}lg 0B x x =>，则A B = （）A ．[]2,3-B ．(]1,2C ．[]3,2-D ．(]1,3【正确答案】D【分析】首先分别求两个集合，再求交集.【详解】()()260230x x x x --≤⇔+-≤，解得：23x -≤≤，所以{}23A x x =-≤≤,lg 01x x >⇒>，即{}1B x x =>，所以{}(]131,3A B x x ⋂=<≤=.故选：D2．已知复数()i R,R z a b a b =+∈∈，且()12i 1i z +=-，则a b -=（）A ．25B ．15C ．25-D ．15-【正确答案】A【分析】根据复数运算法则把()()i 12i a b ++展开，再根据复数相等解出a 、b 的值，进而求解.【详解】解：因为复数()i R,R z a b a b =+∈∈，且()12i 1i z +=-，所以()()i 12i 1i a b ++=-，即()2(2)i=1i a b a b -++-，2121a b a b -=⎧⎨+=-⎩解得1535a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则25a b -=.故选.A 3．函数2sin 1x xy x =+的图象大致为（）A ．B ．C．D．【正确答案】B【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的大小，结合排除法进行排除即可.【详解】记函数2sin ()1x xf x x =+，定义域为R ，22sin()sin ()()11x x x x f x f x x x ---===++，则()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除AC ，又2222ππ3π3πsin sinπ2π3ππ3π2244,,2π449π1624π3π1124f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除D.故选∶B.4．随着杭州亚运会的临近，吉祥物“琮琮、莲莲、宸宸”开始走俏国内外.现有3个完全相同的“宸宸”，甲、乙、丙3位体育爱好者要与这3个“宸宸”站成一排拍照留念，则有且只有2个“宸宸”相邻的排队方法数为（）A ．36B ．48C ．72D ．144【正确答案】C【分析】先将3位体育爱好者进行排序，将其中两个“宸宸”捆绑，形成一个“大元素”，再将“大元素”与另外一个“宸宸”插入3位体育爱好者所形成的空位中（包括两端），结合分步乘法原理可得结果.【详解】先将3位体育爱好者进行排序，共有33A 种排法，因为3个“宸宸”完全相同，将其中两个“宸宸”捆绑，形成一个“大元素”，再将“大元素”与另外一个“宸宸”插入3位体育爱好者所形成的空位中（包括两端），由分步乘法计数原理可知，不同的排队方法种数为3234A A 61272=⨯=种.故选：C.5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E 是线段PB 的中点，F 是线段BC 的中点，则点D 到平面AEF 的距离是（）A ．263B ．53C ．63D ．53【正确答案】A【分析】利用锥体体积公式，E ADF D AEF V V --=，结合垂直关系求AEF △的面积，即可求点D 到平面AEF 的距离.【详解】12222ADF S =⨯⨯=△，点E 到底面ADF 的距离112d PA ==，所以122133E ADF V -=⨯⨯=，122AE PB ==22215AF =+=，因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PA DC ⊥,且AD DC ⊥，PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD ，且PD ⊂平面PAD ，所以DC PD ⊥，所以22222222223PC PA AD DC =++++=因为E 是线段PB 的中点，F 是线段BC 的中点，所以132EF PC =因为222AE EF AF +=，所以AE EF ⊥,11623222AEF S AE EF =⨯⨯=⨯⨯=，设点D 到平面AEF 的距离为d ，则E ADF D AEF V V --=，即216263323d d =⇒=故选：A6．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则621nx mx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（）A ．15-B ．20-C ．15D ．20【正确答案】C【分析】设球的半径为R ，分别表达出球，圆柱的体积和表面积，求出1nm=，利用二项式定理得到通项公式，求出常数项.【详解】设球的半径为R ，则球的体积为34π3R ，圆柱的底面积为2πR ，高为2R ，故圆柱的体积为23π22πR R R ⋅=，故332π342π3R m R ==，球的表面积为24πR ，圆柱的表面积为222π2π26πR R R R +⋅=，故226π34π2R n R ==，故1n m =，621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的通项公式为()()6263166C 1C rrr rr r r T x x x ---+=-=-，令630r -=，解得2r =，故常数项为()22361C 15T =-=.故选：C7．已知圆()()()222:140C x y r r ++-=>和点3,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，O 为坐标原点，若圆C 上存在点P 满足2PO PM =，则r 的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】C【分析】利用已知求出点P 的轨迹方程，再利用两圆的几何关系即可求出r 的最大值.【详解】设(),P x y ，由2PO PM =2222322x y x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭整理得22430x y x +-+=，∴点M 在圆()2221x y -+=上，且圆心为()2,0B ,半径为1，又∵点3,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆()()22214x y r ++-=上，∴圆()2221x y -+=与圆()()22214x y r ++-=有公共点，∴11r BC r -≤≤+，且5BC =,∴46r ≤≤，则r 的最大值为6，故选.C8．设e a =，0.9e 0.1b =+， 1.1e 0.1c =-，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c<<D ．c<a<b【正确答案】B【分析】利用构造函数的方法比较大小即可.【详解】先比较b 和c ，令()()()1111e e e e 20x x x xf x x x x x -+-+=+--=-+>，则()11e e 2x xf x -+'=--+，令()()11ee 20xx g x x -+=--+>，则()()1112e e e 1e x x x x g x -+-'=-=-，当0x >时，20x >，即2e 1x >，所以()12e1e 0xx--<，即()0g x '<，所以()g x 在()0,∞+内单调递减，且()022e<0g =-，所以()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+内单调递减，且()00f =，所以()()0.100f f <=，即()()0.9 1.10.1e 0.1e 0.10f =+--<，故b c <，排除A 和D ;再比较a 和b ，令()e 1x h x x =--，()e 1xh x '=-，当0x >时，()0h x '>；当0x <时，()0h x '<，所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，即在0x =处取得最小值()00h =，故e 1x x ≥+（当0x =时等号成立），0.9.1e e 0a b -=--()0.90.10.9e0.10.1e e10.1>=---0.90.09e e e 101010--==>，故b a <.故选.B 二、多选题9．空间直角坐标系中，已知()0,0,0O ，()1,2,1OA =- ，()1,2,1OB =--，()2,3,1OC =- ，则（）A ．2AB = B ．ABC 是等腰直角三角形C ．与OA平行的单位向量的坐标为,636⎛-- ⎪ ⎪⎝⎭或636⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．OA 在OB 方向上的投影向量的坐标为242,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】AC【分析】本题考查空间向量的坐标运算，利用向量的加减法得出AB坐标，再利用向量的模长公式||AB =uu u r可判断A 选项；计算出三角形三条边长，可判断B 选项；与已知向量平行的单位向量计算公式：||ae a =±r r r 可判断C 选项；根据OA 在OB 方向上的投影向量与OB向量共线的性质，可判断D 选项.【详解】根据空间向量的线性运算，(1,2,1)(1,2,1)(0,0,2)AB OB OA=-=----=-uu u r uu u r uur ||2AB ∴==uu u r，选项A 正确；(2,3,1)(1,2,1)(3,1,2)AC OC OA=-=---=-uuu r uuu r uur ||AC ∴==uuu r(2,3,1)(1,2,1)(3,1,0)BC OC OB=-=----=uu u r uuu r uu ur ||BC ∴uu u r计算可得，ABC 三条边不相等，选项B 不正确；与OA平行的单位向量为：||(OA e OA =±===±uu r r uu r选项C 正确；OA 在OB 方向上的投影向量与OB 向量共线，2422,,(1,2,1)3333⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，选项D 不正确，故选：AC.10．已知函数()()1ln 1f x x x x =++-，则（）A ．函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是330x y -+=B ．函数()y f x '=的单调递减区间为()0,1C ．函数()()y f x f x '=-有唯一的零点D ．函数()y f x '=的最大值为3【正确答案】BC【分析】由导数的几何意义求得切线方程判断A ；利用导数研究函数()y f x ='的单调性和极值，进而判断B 、D ；C 中函数零点问题可以转化为函数()213ln 1h x x x x=+--的零点问题，利用导数研究其单调性并结合零点存在定理可得出其只有一个零点，进而得出C 正确.【详解】()()11ln 112ln f x x x x x x=++⋅+++'=，则()(1)3,10f f '==，所以函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是03(1)y x -=-，即330x y --=，故A 错误；令1()2ln g x x x=++，22111()x g x x x x -'=-=，当()0g x '<时，01x <<；当()0g x '>时，1x >，即函数()f x '在(0,1)上单调递减，在()1,+∞上单调递增，min ()(1)3f x f ''==，故B 正确，D 错误；()()213ln 1y x f x f x x x x ⎛⎫+-- ⎪=⎝'-⎭=，213ln 10x x x x ⎛⎫+--= ⎝⎭等价于213ln 10x x x +--=，令()213ln 1h x x x x =+--，32123()0h x x x x'=++>，即函数()h x 在()0,∞+上单调递增，且()()221311130,e 30e eh h =--<=-->，即函数()h x 在()0,∞+上存在唯一零点，即函数()()y f x f x '=-有唯一的零点，故C 正确；故选：BC11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是该正方体的侧面11BB C C 上的一个动点（含边界），且//AF 平面1DAQ ，Q ，M 分别是棱1CC ，1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A ．直线FQ 与直线1A D 不可能垂直B ．三棱锥1D A FQ -的体积为定值C ．直线FQ 与平面1A DQD ．阳马1111M A B C D -的外接球R 与内切球r 的半径之比为(:3:3R r =【正确答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可判断A 和C ；根据//AF 平面1DAQ 即可判断B ；利用等体积法即可判断D ，从而得出答案．【详解】以1D 为原点，以11D A ，11D C ，1D D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，Q ，M 分别是棱1CC ，1BB 的中点，所以(2,0,2)A (0,0,2)D ，(0,2,1)Q ，1(2,0,0)A ，则1(2,0,2)A D =- ，1(2,2,1)A Q =-，设平面1A DQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则11·0·0n A D n AQ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ 220220x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩,取1x =，则1(1,,1)2n = ，因为点F 是该正方体的侧面11BB C C 上的一个动点（含边界），所以设点(,2,)F m n ，其中,[0,2]m n ∈，则(2,2,2)AF m n =--，对于A ：因为//AF 平面1DAQ ，所以AF n ⊥，即2120m n -++-=，得3n m =-，所以(,0,2)FQ m m =--，所以122444A D FQ m m m ⋅=+-=- ，因为[0,2]m ∈，所以44[4,4]m -∈-，当1m =时，10A D FQ ⋅=，即直线FQ 与直线垂直，故A 错误；对于B ：设点F 到平面1A DQ 的距离为h ，则三棱锥1D A FQ -的体积为113A DQ S h ⋅ ，又因为//AF 平面1DAQ ，所以点F 到平面1DAQ 的距离h 为定值，又因为1A DQ S 为定值，所以三棱锥1D A FQ -的体积为定值，故B 正确；对于C ：由上述结论得(,0,2)FQ m m =--，[0,2]m ∈，平面1A DQ 的一个法向量为1(1,,1)2n = ，直线FQ 与平面1A DQ所成角的正弦值为4cos ,3FQ n FQ n FQ n ⋅<>==⨯⋅，因为[0,2]m ∈，[，所以直线FQ 与平面1A DQ 所成角的正弦值的最大值为433=，故C 正确；对于D ：易得阳马1111M A B C D -的外接球的直径为3OM ==，所以外接球半径32R =，易得11114A B C D S =，111A B M S =，111B C M S =，11D C M S =11A D M S =由等体积法得111111111111111111111111111333333M A B C D A B C D A B M B C M D C M A D M A B C D V S MB S r S r S r S r S r -=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅即11111141114333333r r r r r ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯，解得r =所以(:3:3R r =，故D 正确，故选：BCD ．12．已知O 为坐标原点，M 为抛物线2:4C y x =上一点，直线:3l x my =+与C 交于A ，B 两点，过A ，B 作C 的切线交于点P ，则下列结论正确的是（）A ．3OA OB ⋅=-B ．若点M 为()9,6-，且直线AM 与BM 倾斜角互补，则3m =C ．点P 在定直线3x =-上D ．设Q 点为()3,0，则MQ 的最小值为3【正确答案】ABC【分析】直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断AB ；分别求点,A B 处的切线方程，联立切线方程求点P 的坐标，即可判断C ；设200,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用两点间距离，结合二次函数求最值，即可判断D.【详解】A.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立243y x x my ⎧=⎨=+⎩，得24120y my --=，124y y m +=，1212y y =-，()()1212121233OA OB x x y y my my y y ⋅=+=+++()()21212139m y y m y y =++++()21213493m m m =-++⋅+=-，故A 正确；B.因为()9,6M -，直线AM 与BM 倾斜角互补，所以12121212666609966AM BM y y y y k k x x my my +++++=+=+=----()()()121221212266720636my y m y y m y y m y y +-+-=-++，()()22212664720122436m m m m m ⨯-+-⨯-=--+，得24824720m m -+-=，且221224360m m --+≠，即2230m m --=，且21m ≠解得：3m =，故B 正确；C.设点A 在x 轴上方，B 在x 轴下方，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，x轴上方的抛物线方程为y =x轴下方的抛物线方程为y =-此时在点A处的切线的斜率12k y ==，点B处的切线的斜率22k y ==，所以点A 处的切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，点B 处的切线方程为222224y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，方程化简为211122yy x y =+，222122yy x y =+，两式相除化简得1212344y y x -===-，故C 正确；D.设200,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，()3,0Q ,2222200031844y y MQ y ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭204y =时，MQ 的最小值为22D 错误.故选：ABC 三、填空题13．在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为117125，则每次射击击中目标的概率是______.【正确答案】35/0.6【分析】设每次射击击中目标的概率为P ，根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得；【详解】设每次射击击中目标的概率为P ，则()351111712P --=，即()351812P -=，所以215P -=，所以35P =；故3514．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若5232S S S =+，则523a a a =+______.【正确答案】2219/3119【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据5232S S S =+可得出1a 、d 的等量关系，进而可求得523a a a +的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则15123111455510223254232a dS a d S S a da d a d ⨯++===⨯+++++，所以，1502d a =≠，因此，511112311111441022152231922a a d a d a a a a a d a d a d a a +++====++++++.故答案为.221915．若π2cos tan 432sin ααα⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，则sin2α=______.【正确答案】59-【分析】利用两角和的正切公式以及正弦二倍角公式恒等变形即可求出.【详解】∵πtan tanπ1tan sin cos 4tan π41tan cos sin 1tan tan 4ααααααααα+++⎛⎫+=== ⎪--⎝⎭-，∴sin cos 2cos cos sin 32sin αααααα+=--，∴2sin cos 3αα+=，两边平方得41sin 29α+=，∴5sin 29α=-.故答案为.59-16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右顶点为A ，B ，点P 为直线2:a l x c =上一点，若PAB 的外接圆的面积的最小值为22πa ，则该椭圆的离心率为______.【正确答案】2【分析】设C 为PAB 外接圆的圆心且在在y轴上，由已知可得外接圆半径r ≥且2a r CP c =≥，则2a c=，进而求离心率.【详解】若C 为PAB 外接圆的圆心，半径为r ，则22π2πr a ≥，故r ≥，由外接圆圆心为各边中垂线的交点知：C 必在y 轴上（不妨令其在y 轴上方），所以2a r CP c =≥，故2a c =，则c e a ==故2四、解答题17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*122n n a S n +=+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()()111n n n n a b a a +=--，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证.12n T <【正确答案】(1)123n n a -=⋅(2)证明见解析【分析】（1）当1n =时，可得2122a a =+，当2n ≥时，由122n n a S +=+可得122n n a S -=+，两式作差可得出13n n a a +=，根据数列{}n a 为等比数列可得其公比，进而可求得1a 的值，由等比数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式；（2）计算可得11112231231n n n b -⎛⎫=- ⎪⋅-⋅-⎝⎭，利用裂项相消法可证得结论成立.【详解】（1）解：对任意的n *∈N ，122n n a S +=+，当1n =时，则2112222a S a =+=+，当2n ≥时，由122n n a S +=+可得122n n a S -=+，上述两个等式作差可得12n n n a a a +=-，可得13n n a a +=，因为数列{}n a 为等比数列，故其公比为3，所以，211223a a a =+=，解得12a =，所以，111323n n n a a --=⨯=⋅.（2）解：()()()()()()()()11111231231231112231231231231n n n n n n nn n n n a b a a ----+⋅--⋅-⋅===⋅--⋅-⋅-⋅-⋅-11112231231n n -⎛⎫=- ⎪⋅-⋅-⎝⎭，因此，0112111111112231231231231231231n n nT -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111122312n ⎛⎫=-< ⋅-⎝⎭.18．在2023年3月10日，十四届全国人大一次会议在北京召开.、、在十四届全国人大一次会议闭幕会上发表重要讲话.出席全国两会的代表委员和全国各地干部群众纷纷表示，这一重要讲话坚定历史自信、饱含人民情怀、彰显使命担当、指引前进方向，必将激励我们在新征程上团结奋斗，开拓创新，坚定信心，勇毅前行，作出无负时代、无负历史、无负人民的业绩，为推进强国建设、民族复兴作出应有贡献.某社区为调查社区居民对这次会议的关注度，随机抽取了60名年龄在[]20,45的社区居民，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求选取的社区居民平均年龄及选取的社区居民年龄的中位数；(2)现若样本中[)20,25和[]40,45年龄段的所有居民都观看了会议讲话，社区计划从样本里这两个年龄段的居民中抽取3人分享此次观看会议的感受，设X 表示年龄段在[)20,25的人数，求X 的分布列及期望.【正确答案】(1)2257(2)分布列见解析，期望为1【分析】（1）根据频率分布直方图，结合平均数和中位数的公式，计算求值；（2）利用超几何分布求概率，再根据分布列求期望.【详解】（1）选取的社区居民平均年龄22.50.0527.50.332.50.3537.50.242.50.132.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为()0.010.0650.350.5+⨯=<，()0.010.060.0750.700.5++⨯=>，所以中位数落于区间()30,35之间，中位数为152253077+=；（2）因为社区居民年龄在[)20,25）内的人数为6050.013⨯⨯=人，在[]40,45内的人数为6人，所以X 的可能取值为0,1,2,3,则()3639C 50C 21P X ===，()123639C C 151C 28P X ===，()213639C C 32C 14P X ===，()3339C 13C 84P X ===，故X 的分布列为X123P5211528314184期望为()515310123124281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若ABC 为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+.(1)证明：2a b =；(2)若16cos cos 5A B =，ABC的面积为S =，求ABC 的周长.【正确答案】(1)证明见解析(2)6+【分析】（1）利用三角形内角和等于π，即π()B A C =-+，再结合三角恒等变换的公式化简，并结合正弦定理“角化边的性质”得出结论；（2）结合余弦定理，将已知条件“角化边”，得到a ，b ，c 的等式关系，结合面积公式即可求出a ，b ，c ，进而求出三角形的周长.【详解】（1）证明：由题意可得：sin 2sin cos 2sin cos cos sin B B C A C A C +=+所以()sin 2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+展开整理得sin cos 2sin cos A C B C =∵ABC 为锐角三角形∴cos 0C ≠∴sin 2sin A B =∴2a b =.（2）∵16cos cos 5A B =∴22222216522b c a a c b bc ac+-+-⋅⋅=∵2a b=整理得244220185c b c b --=，∴2c b =∴222222241cos 24892b b a b c C ab b b +-+-===，sin 8C =∴212sin 2ABC S b b C b =⋅⋅△，∵ABC S =△，∴2b =∴4a =，c =∴ABC的周长为6a b c ++=+20．如图，在三棱锥-P ABC 中，已知侧面PAC 是边长为2的等边三角形，4AB BC ==，点Q 为侧棱PB 的中点.(1)求证：AC PB ⊥；(2)若PB =，AM AC λ=uuu r uuu r，若直线MQ 与平面PBCλ的值.【正确答案】(1)证明见解析(2)34λ=-【分析】（1）取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，即可得到BO AC ⊥、PO AC ⊥，从而得到AC ⊥平面POB ，即可得证；（2）解法1：取PC 的中点N ，连接AN ，则AN AC ⊥，由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，即可得到PB ⊥平面PAC ，则PB AN ⊥，即可得到AN ⊥平面PBC ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；解法2：取PC 的中点N ，连接AN ，则AN AC ⊥，由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，即可得到PB ⊥平面PAC ，则PB AN ⊥，即可得到AN ⊥平面PBC ，作//MH AN ，连接QH ，即可得到MH ⊥平面PBC ，直线MQ 与平面PBC 所成的角就是MQH ∠，设AM x =，利用相似三角形及勾股定理求出x ，即可得解.【详解】（1）取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，∵4AB BC ==，∴BO AC ⊥，∵PA PC =，∴PO AC ⊥，又PO BO O =，,PO BO ⊂平面POB ，∴AC ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AC PB ⊥.（2）解法1：取PC 的中点N ，连接AN ，则AN PC ⊥，由已知，在PAB ，PCB 中，∵222PA PB AB +=，222PC PB CB +=，∴PB PA ⊥，PB PC⊥又PA PC P = ，PA ，PC ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，∵AN ⊂平面PAC ，∴PB AN ⊥，又PB PC P ⋂=，PB ，PC ⊂平面PBC ，∴AN ⊥平面PBC ，∴AN为平面PBC 的法向量，以AC 的中点O 为原点，分别以OA ，OB 为空间直角坐标系的x ，y 轴，以垂直于平面ABC 的直线Oz 为z 轴，则()0,B ，()1,0,0A ，()1,0,0C -，在直角三角形BOP中，OP ==sin BP BOP BO ∠==，cos BOP ∠=所以sin PH OP BOP =∠=1cos 5PP OH OP BOP ==∠，∴0,55P ⎛- ⎝⎭，1,2105N ⎛-- ⎝⎭，0,55Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0,0M x，则QM x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，3,2AN ⎛=- ⎝⎭∵直线MQ 与平面PBC∴直线MQ 与平面PBC 所成角θ∴sin cos ,2AN QM AN QM AN QM θ⋅===⨯ ，解得52x =，而AM AC λ=uuu r uuu r ，即()51,0,02,0,02λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得322λ-=，所以34λ=-.解法2：取PC 的中点N ，连接AN ，则AN PC ⊥，由已知，在PAB ，PCB 中，∵222PA PB AB +=，222PC PB CB +=，∴PB PA ⊥，PB PC⊥又PA PC P = ，PA ，PC ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，∵AN ⊂平面PAC ，∴PB AN ⊥，又PB PC P ⋂=，PB ，PC ⊂平面PBC ，∴AN ⊥平面PBC ，如图，作//MH AN ，连接QH ，∴MH ⊥平面PBC ，直线MQ 与平面PBC 所成的角就是MQH ∠，由已知得直线MQ 与平面PBC 所成角60MQH ∠=︒，设AM x =，则在三角形CAN 和CMH 中，由CA AN CM MH =得)2MH x =+，同理得22xCH +=，所以12x PH =-，在直角三角形QPH中，QH =，所以在直角三角形MQH中有MH =，即)2223132x x ⎡⎤⎤⎛⎫+=⨯-+⎢⎥⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦解得32x =，而AM AC λ=uuu r uuu r ，所以34λ=-.21．设函数()()2222ln f x ax x a x =+-+，a ∈R .(1)若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围；(2)若[]1,2x ∈时，不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)111,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)1a ≥-【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()0f x '=在()0,∞+有两个不等实根，即可得到10a a+->且11a a +-≠，从而求出参数的取值范围；（2）方法一：（分类讨论），当0a =时根据ln 1≤-x x 说明即可，当0a ≠时求出函数的导函数，分0a >、a<0两种情况讨论，结合函数的单调性，即可得解；方法二：（分离参数），依题意可得()22ln 2ln 2x x a x x -≥-恒成立，设()22ln g x x x =-，利用导数说明函数的单调性，参变分离可得22ln 22ln x xa x x -≥-恒成立，只需2max2ln 22ln x x a x x -⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭，设()22ln 22ln x xh x x x-=-，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解.【详解】（1）函数()()2222ln f x ax x a x =+-+的定义域为()0,∞+，()()()2121212222a a x x ax x a a a f x ax x x x+⎛⎫+- ⎪⎡⎤+-++'⎣⎦⎝⎭=+-==，因为()f x 存在两个极值点，所以()0f x '=在()0,∞+有两个不等实根，所以10a a+->且11a a +-≠，解得10a -<<且12a ≠-，即实数a 的取值范围为111,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）方法一：（分类讨论）令()()ln 1m x x x =--，则()111x m x x x-'=-=，所以当01x <<时()0m x '>，函数单调递增，当1x >时()0m x '<，函数单调递减，所以()m x 在1x =处取得极大值，又()10m =，所以()ln 10x x --≤恒成立，即ln 1≤-x x ，当0a =时，()()()22ln 2ln 2120f x x x x x x x ⎡⎤=-=-≥--=>⎣⎦，符合题意；当0a ≠时，()()()2121212222a a x x ax x a a a f x ax x x x +⎛⎫+- ⎪⎡⎤+-++'⎣⎦⎝⎭=+-==，①若0a >，()0f x '≥对[]1,2x ∈恒成立，()f x 在[]1,2单调递增，()()min 120f x f a ==+>，符合题意；②若a<0，则（ⅰ）当12a ≤-，11a a +-≤，()0f x '<恒成立，()f x 在[]1,2单调递减，只需()()()min 24422ln201f x f a a a ==+-+≥⇒≥-，所以112a -≤≤-；（ⅱ）当103a -≤<时，12a a+-≥，()0f x '≥恒成立，()f x 在[]1,2单调递增，只需()()min 120f x f a ==+>，所以103a -≤<均符合题意；（ⅲ）当1123a -<<-时，112a a +<-<，当11,a x a +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x ¢>，当1,2a x a +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，所以()f x 在11,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，则()()(){}min min 1,2f x f f =，而当1123a -<<-时，()10f >，()20f >均成立，所以1123a -≤<-符合题意.综上所述，1a ≥-.方法二：（分离参数）()()()22222ln 02ln 2ln 2f x ax x a x x x a x x =+-+≥⇔-≥-恒成立，设()22ln g x x x =-，[]1,2x ∈，则()2122g x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭'，由1y x x =-在[]1,2单调递增，得10x x-≥，即()0g x '≥，所以()g x 在[]1,2单调递增，所以()()110g x g ≥=>，所以()222ln 22ln 2ln 22ln x x x x a x x a x x --≥-⇔≥-恒成立，只需2max2ln 22ln x x a x x -⎛⎫≥ -⎝⎭.设()22ln 22ln x x h x x x -=-，[]1,2x ∈，则()()()()2221ln 22ln x x x h x x x ---=-'设()ln 2x x x ϕ=--，[]1,2x ∈，则()1110x x x xϕ'-=-=≤，所以()x ϕ在[]1,2单调递减，所以()()130x ϕϕ≤=-<，（或者由ln 12ln 20x x x x x ≤-<+⇒--<）,从而得()0h x '≥，故()h x 在[]1,2单调递增，所以()()max 2ln242142ln2h x h -===--，所以1a ≥-.方法点睛，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．已知离心率为2的双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左右顶点分别为A ，B ，顶点到渐近线过双曲线E 右焦点F 的直线l 与双曲线E 交于P ，Q （异于点A ，B ）两点.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)记ABP ，ABQ ，BPQ V 的面积分别为1S ，2S ，3S，当123S S S -=l 的方程；(3)若直线AP ，AQ 分别与直线1x =交于M ，N 两点，试问MFN ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【正确答案】(1)221412x y -=；(2)4x y =±+；(3)定值，2π.【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可求解；（2）根据题意设直线:4l x my =+，联立方程组将面积的表达式表示出来，根据面积的值进而求解；（3）根据题意设出直线,AP AQ 的方程，求出点M ，N 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】（1）设双曲线E 的焦距为2c ，取一条渐近线为0bx ay -=，又(),0A a -，则由题意可得224ca abca b c⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪=⎩⎪+=⎪⎩，故双曲线E的标准方程为221412x y-=；（2）由题意可得直线l的斜率不为0，设直线:4l x my=+，()11,P x y，()22,Q x y.联立2241412x myx y=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x整理得()223124360m y my-++=，当2310m-≠时，()()()222244313614410m m m∆=--⨯=+>，则1222431my ym+=--，1223631y ym=-.当l与双曲线交于两支时，121212S S AB y y-=-，31212S BF y y=-，1232S SS-=，不合题意；当l与双曲线交于一支时，121212S S AB y y -=+，31212S BF y y =-，则()1211112231211122242214S S y y y y m S y y m y y y y -++====-++-1m =±，故:4l x y =±+；（3）直线AP 的方程为()1122y y x x =++，令1x =，得1132y y x =+，则1131,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.直线AQ 的方程为()2222y y x x =++，令1x =，得2232y y x =+，则2231,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.因为()4,0F ，所以1133,2y FM x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，2233,2y FN x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭ ，()()1212122121212121233999992224636y y y y y y FM FN x x x x x x m y y m y y ⋅=+=+=+++++++++22222223699363199990362436144363366363131m m m m m m m m m ⎛⎫⨯ ⎪⨯-⎝⎭=+=+=-=-+⨯-⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故FM FN ⊥ ，即2MFN π∠=，故MFN ∠为定值π2.。
浙江省杭州2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案
2023学年第一学期杭州二中高二期中考试数学（答案在最后）注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.2．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.1.两条平行直线1l ：3450x y +-=与2l：6850x y +-=之间的距离是（）A.0 B.12C.1D.32【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可.【详解】345068100x y x y +-=⇒+-=，12=，故选：B2.已知圆()()()2122292:x m y m m C -+-=-与圆22288340:x y x C y m +--+-=，则“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案.【详解】根据题意将圆2C 化成标准方程为()()22442x y m -+-=-；易知20m ->，所以可得圆心()12,2C m m，半径为1r =，圆心()24,4C，半径为2r =可得122C C =-，两半径之和12r r +=若4m =，圆心距12C C =，两半径之和12r r +=，此时1212C C r r =+=，所以圆1C 与圆2C 外切，即充分性成立；若圆1C与圆2C外切，则2-=4m =或2m =（舍），所以必要性成立；即“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的充分必要条件.故选：C3.已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A.1±B. C. D.2±【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d=，则弦长为||MN =，则当0k =时，MN 取得最小值为2=，解得m =.故选：C.4.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是A.[]26，B.[]48， C. D.⎡⎣【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB = 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．5.已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2MB MD +的最小值为（）A.2B.C.172D.【答案】D 【解析】【分析】建立直角坐标系，取点1(0,)2E ，探讨满足条件||2||M D M E ''=的点M '的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点C 为原点，直线,CB CD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)B D ，如图，取点1(0,)2E ，设(,)M x y '，当||2||M D M E ''==化简整理得221x y +=，即点M '的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，而点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，因此||2||MD ME =，显然点B 在圆C ：221x y +=外，则22||2||2(||||)2||MB MD MB ME MB ME BE +=+=+≥，当且仅当M 为线段BE 与圆C 的交点时取等号，而||2BE ==，所以2MB MD +的最小值为2||BE =故选：D【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点1(0,2E 并求出满足条件||2||M D M E ''=的点M '的轨迹是解题的关键.6.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，过F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点（A 在x 轴上方）.A 关于x 轴的对称点为D ，连接DB 并延长交x 轴于点E ，若DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，则椭圆的离心率e 的值为（）A.12B.2C.2D.12【答案】D 【解析】【分析】根据DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，得到2EFOF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++--，与椭圆方程联立，再设直线BD 的方程为：()122221x x cy x c x x x x ++--=--，令0y =结合韦达定理，得到点E 的坐标，代入2EF OF OE =⋅求解.【详解】解：如图所示：设,,DOF DEF DOE 分别以OF ，EF ，OE 为底，高为h ，则111,,222DOF DEF DOE S OF h S EF h S OE h === ，因为DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，所以2DEF DOF DEF S S S =⋅ ，即2EFOF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++--，联立22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2222222220a b x a cx a c a b +++-=，由韦达定理得：2121222222222,2x x x x a c a c a b a b a b-+=-=++⋅，直线BD 的方程为：()1222212x x cy x c x x x x ++--=--，令0y =得，()12121222E x x c x x x x x c ⋅++=++，则()22121212222222222222222222E x x c x x a x c a c a b a c a b a b a b x x c c c a ⋅-⋅++===-++-++-++，则2EF OF OE =⋅，即为222a a c c c c ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，则()22222c a a c =-，即422430a c a c -+=，即42310e e -+=，解得232e =，则512e =，故选：D7.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（）A.5B.23C.4D.12【答案】A 【解析】【分析】对23450++= IB IA IF 变形得到2351882IB IF IA +=-，进而得到以22::3:4:5AF BF AB =，结合椭圆定义可求出2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =，由余弦定理求解,a c 关系式，求出离心率.【详解】因为23450++= IB IA IF ，所以2351882IB IF IA +=-，如图，在2BF 上取一点M ，使得2:5:3BM MF =，连接IM ，则12IM IA =-，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以22::3:4:5IAF IBF IBA S S S = ，所以22::3:4:5AF BF AB =，设23AF x =，则24,5BF x AB x ==，由椭圆定义可知：224AF BF AB a ++=，即124x a =，所以3a x =，所以2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =故点A 与上顶点重合，在2ABF △中，由余弦定理得：222222222222516399cos 52523a a a AB F A F B BAF AB F A a +-+-∠===⋅⨯，在12AF F △中，2222243cos 25a a c BAF a +-∠==，解得：5c a =，所以椭圆离心率为故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,a b c 的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450++=IB IA IF 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形2ABF 三边关系，求出离心率.8.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（）A.63,925⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]3,21- C.63,2125⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]3,27【答案】B 【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求p ，进而得抛物线的方程，可求A ，B ，F 的坐标，直线AF的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N 的坐标，求得M 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设(A ，所以||342pAF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，(3,A ，(3,B -，(1,0)F ，所以直线AF的方程为1)y x =-，设圆心坐标为0(x ，0)，所以2200(1)(3)12x x -=-+，解得05x =，即(5,0)E ，∴圆的方程为22(5)16x y -+=，不妨设0M y >，设直线OM 的方程为y kx =，则0k >，4=，解得43k =，由2243(5)16y x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得912,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(4cos 5,4sin )N θθ+，所以364812cos sin 9(3cos 4sin )9555OM ON θθθθ⋅=++=++ ，因为[]3cos 4sin 5sin()5,5θθθϕ+=+∈-，所以OM ON ⋅∈[]3,21-．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为22(5)16x y -+=，然后利用直线OM 与圆E 切于点M ，求出M 点的坐标，引入圆的参数方程表示N 点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线1l ：230ax y a ++=和直线2l ：()3170x a y a +-+-=，下列说法正确的是（）A.当25a =时，12l l ⊥B.当2a =-时，12l l ∥C.直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()1,1-D.当1l ，2l平行时，两直线的距离为【答案】AD 【解析】【分析】A 选项：把a 的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为1-，直接判断即可；B 选项，把a 的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可；C 选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；D 选项，由直线平行时，斜率相等，可求得a 得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.【详解】对于A ，当25a =时，那么直线1l 为262055x y ++=，直线2l 为3237055x y -+-=，此时两直线的斜率分别为115k =-和25k =，所以有121k k ×=-，所以12l l ⊥，故A 选项正确；对于B ，当2a =-时，那么直线1l 为30x y -+=，直线2l 为30x y -+=，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线1l ：230ax y a ++=，整理可得：()320a x y ++=，故直线1l 过定点()3,0-，直线2l ：()3170x a y a +-+-=，整理可得：()1370a y x y -+-+=，故直线2l 过定点()2,1-，故C 选项错误；对于D ，当1l ，2l 平行时，两直线的斜率相等，即213a a --=-，解得：3a =或2a =-，当2a =-时，两直线重合，舍去；当3a =时，直线1l 为3290x y ++=，2l 为3240x y ++=，此时两直线的距离13d ==，故D 选项正确.故选：AD .10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是12,F F ，其中12||2F F c =.直线()():R l y k x c k =+∈与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（）A.2ABF △的周长为4aB.若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C.若2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是6565⎣⎦D.若1k =时，则2ABF △的面积是222ca b +【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆定义可知2ABF △的周长为4a ，可判断A 正确；联立直线和椭圆方程求出点M 的坐标，表示出斜率公式即可得22OMb k k a⋅=-，可得B 正确；由2124AF AF c ⋅= 易知A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，需满足b a ≤≤，可得离心率,65e ∈⎣⎦，可知C 正确；将1k =代入联立的方程可得2ABF △的面积22212S c x c b x a ==+-，可得D 正确.【详解】由12||2F F c =可知，()()12,0,,0F c F c -；显然直线()():R l y k x c k =+∈过点()1,0F c -，如下图所示：由椭圆定义可知2ABF △的周长为2212214AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++=，所以A 正确；设()()1122,,,A x y B x y ，中点()00,Mxy ；将直线和椭圆方程联立()22221x y a b y k x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理可得()2222222222220b a k x a k cx a k c a b +++-=；由韦达定理可得22122222a k c x x b a k +=-+，所以221202222x x a k cx b a k +==-+，代入直线方程解得20222b cky b a k =+，即222222222,a k c b ck M b a k b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；所以2222222222222200OMb ckb ck b b a k k a kc a k c a k b a k -+==-=---+，可得2222OMk b k a k b k a⋅-==⋅-，所以B 错误；根据B 选项，由2124AF AF c ⋅= 可得()()2222111111,4,c x y c x y x c y c -⋅=+--=---，可得222115x y c +=，即A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上；又A 点在椭圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，根据对称性可知b a ≤≤，即22256c a c ≤≤，所以可得离心率,65e ∈⎥⎣⎦，即C 正确；若1k =时，由选项B 可知联立直线和椭圆方程可得()2222222220b axa cx a c ab +++-=；所以可得22222121222222,a c a c a b x x x x b a b a-+=-=++；所以21222ax x b a -=+易知2ABF △的面积21211221212221122S F F y a F F y cc y y c x b x =+=-=+=-即可得2ABF△的面积是222ca b+，故D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可.11.已知斜率为k 的直线交抛物线()220y px p =>于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（）A.12x x 为定值B.线段AB 的中点在一条定直线上C.11OA OBk k +为定值（OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率）D.AF BF为定值（F 为抛物线的焦点）【答案】BC 【解析】【分析】分析可知，0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A 选项；求出线段AB 中点的纵坐标，可判断B 选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C 选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D 选项.【详解】若0k =，则直线AB 与抛物线()220y px p =>只有一个交点，不合乎题意，则0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22y kx m y px=+⎧⎨=⎩可得()222220k x km p x m +-+=，()2222224480km p k m p kmp ∆=--=->，对于A 选项，2122m x x k=不一定是定值，A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为()00,P x y ，则12022x x p kmx k +-==，00p km p y kx m m k k-=+=+=为定值，故线段AB 的中点在定直线py k =上，B 对；对于C 选项，()121212122222111222OA OB p kmmk x x m x x y y k k k y y p p p k -+++++=+====为定值，C 对；对于D 选项，21222222222p km pp x x AF k p p BF x x -+-+==++不一定为定值，D 错.故选：BC.12.已知圆22:(2)1M x y +-=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（）A.四边形PAMB 周长的最小值为2B.||AB 的最大值为2C.若(1,0)P ，则三角形PAB 的面积为85D.若(,0)4Q ，则||CQ 的最大值为94【答案】CD 【解析】【分析】首先设||MP t =，对于选项A，根据题意，表达四边形PAMB 周长关于t 的函数，由t 的取值范围求函数的最小值可判断A 错误；对于选项B，根据等面积法，求出||AB 关于t 的函数关系，由t 的取值范围求函数的最大值可判断B 错误；对于选项C，根据题意，计算PAB 的底和高，求出面积判断C 正确；对于选项D，设动点(,0)P m ，求出切线AB 的方程与直线PM 的方程，二者联立消去m 得到二者交点C 的轨迹是圆，||CQ 的最大值为圆心1O 与Q 距离加半径，可判断D 正确．【详解】对于选项A，设||MP t =，则||||BP AP ===则四边形PAMB 周长为2，则当t 最小时周长最小，又t 最小值为2，所以四边形PABM 周长最小为2+，故A 错误；对于选项B，12||||2MAP PAMB S S MP AB ==△四边形，即1121||22t AB ⨯⨯=，所以||AB ==，因为2t ，所以)||AB ∈，故B 错误；对于选项C，因为(1,0)P ，所以||MP =t =，所以||AB ==，1||||2AC AB ==，||2AP ==，||PC ==所以三角形PAB 的面积为18||||25AB PC =，故C 正确；对于选项D，设(,0)P m ，()11,A x y ,则切线PA 的方程为()()11221x x y y +--=，又因为直线PA 过点(,0)P m ，代入可得()()112021x m y +--=化简得11230mx y -+=设()22,B x y ,同理可得22230mx y -+=，因此点,A B 都过直线230mx y -+=，即直线AB 的方程为230mx y -+=，MP 的方程为22y x m=-+，二者联立得，22230y x mmx y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩①②，由①式解出22x m y =-，代入②式并化简得227302x y y +-+=，配方得2271(416x y +-=，2y ≠，所以点C 的轨迹是以(70,4)为圆心，14为半径的圆，设其圆心为1O ，所以||CQ的最大值为1119||2444O Q R +==+=，故D 正确．故选：CD.【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB 选项，设变量||MP t =，用t 分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D 选项，设出动点(),0P m ，分别表达直线AB 和MP 的方程，联立消去m ，得到动点C 的轨迹，进一步求解答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数0,0a b ><的取值范围是______.【答案】[)2,1--【解析】【分析】根据题意，设直线l ：0ax by +=的几何意义为，点(1,到直线l 的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线l ：0ax by +=，设点(1,A那么点(1,A 到直线l的距离为：d =，因为0,0a b ><，所以d =l 的斜率0ak b=->，当直线l的斜率不存在时，1d ==，所以1d >，当OA l ⊥时，max 2d OA ===，所以12d <≤，即12<≤，=21-≤<-，故答案为：[)2,1--.14.形如()0b y ax b x =+≠的函数图象均为双曲线，则双曲线4135y x x=-的一个焦点坐标为______.【答案】,515⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或,515⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先确定双曲线的渐近线、对称轴方程，确定焦点位置及实半轴a ，最后由渐近线与对称轴夹角正切值确定b ，利用双曲线性质求出焦点.【详解】由4135-x y =x 知，其两条渐近线分别为403xx =,y =，所以双曲线4135-x y =x 的两条对称轴为403xx =,y =的夹角平分线，令43x y =的倾斜角为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4tan 3θ=，且一条对称轴倾斜角为42πθ+，而22tan42tan 31tan 2θθθ==-，则22tan 3tan 2022θθ+-=，解得tan 22θ=-（舍去），1tan 22θ=，所以11tan122tan 31421tan 122θπθθ++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--，即一条对称轴为3y x =，故另一条对称轴为13y x =-，显然13y x =-与4135-x y =x有交点,,,515515⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即为双曲线的顶点，则双曲线的实半轴长3015a ==，而渐近线0x =与对称轴13y x =-夹角的正切值为3，3b a =，又因为3015=a ，所以303033155⨯=b =a =，由2222641553+=c =a +b =，设焦点为1,3m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则221433m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以305m =±，所以焦点坐标为,,,515515⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：,515⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭或,515⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.15.在椭圆2213x y +=上有点31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，斜率为1的直线l 与椭圆交于不同的A ，B 两点（且不同于P ），若三角形ABO 的外接圆恰过点P ，则外接圆的圆心坐标为______.【答案】71,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意得到():0AB y x b b =+≠，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，12y y +，12y y ；法一：先利用点斜式求得,OP AB 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心C ，再由半径相等得到2222AC BC OC +=，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于b 的方程，解之即可；法二：根据题意得到圆的方程，联立直线AB 与圆的方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，进而得到,D E 关于b 的表达式，又由点P 在圆上得到关于b 的方程，解之即可.【详解】依题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线():0AB y x b b =+≠，联立2213y x bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2246330x bx b ++-=，所以1232x x b +=-，()212314b x x -=，则121212y y x b b b x ++=+=+，()()2121234b y y x b b x =+-=+，.法一：因为31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1123302OP k -==-，OP 的中点坐标为3,414⎛⎫ ⎪⎝⎭，OP 中垂线的斜率为3-，所以OP 中垂线方程为113:344l y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即532y x =-+，因为AB 的斜率为1，AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即31,44b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以AB 中垂线的斜率为1-，则AB 中垂线方程213:44l y b x b ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即12y x b =--，联立53212y x y x b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得54354b x b y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，则圆心坐标535,44b b C ++⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为22222AC BC OC AC +==，所以222222112253515355354424444b b b b b b x y x y ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎥⎫⎛⎫+=-+++-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎝，整理得()()22221212121253522044b b x x x x y y y y ++⎛⎫⎛⎫+-+++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1232x x b +=-，()212314b x x -=，1212y y b +=，21234b y y -=，所以()22222112123624x x x x b x x +=+-+=，()2222211212624y b y y y y y -+=+-+=，则2203563614242532244b b b b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪- ⎪+⎝⎭⎝+-⨯⎭⎝⎭，整理得22530b b ++=，解得32b =-，1b =-，当1b =-时，直线:1AB y x =-，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =-时，()2299361633361633044b b ⎛⎫∆=--=⨯-⨯-> ⎪⎝⎭，直线3:2AB y x =-，满足题意，又535,44b b C ++⎛⎫-⎪⎝⎭，所以此时圆心坐标71,88C ⎛⎫- ⎪⎝⎭.法二：因为圆过原点()0,0O ，所以设圆的方程为220x y Dx Ey +++=()220D E +>，联立22y x b x y Dx Ey =+⎧⎨+++=⎩，消去y ，得()22220x b D E x b Eb +++++=，所以1222b D E x x +++=-，2122b Ebx x =+，又1232x x b +=-，()212314b x x -=，所以3222b D E b ++-=-，()223142b b Eb -+=，所以1322D b b =+，1322E b b=-，因为P 点在圆上，所以913104422D E +++=，即530D E ++=，所以13135302222b b b b ⎛⎫⎛⎫+++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22530b b ++=，解得32b =-，1b =-，当1b =-时，直线:1AB y x =-，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =-时，1332722234D ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1332122234E ⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于方程2246330x bx b ++-=，有()2299361633361633044b b ⎛⎫∆=--=⨯-⨯-> ⎪⎝⎭，对于方程()22220x b D E x b Eb +++++=，即29152028x x -+=，有2915Δ42028⎛⎫=--⨯⨯> ⎪⎝⎭，满足题意，又因为外接圆的圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以圆心为71,88⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：71,88⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.16.已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M 作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程得到关于y 的一元二次方程，得到韦达定理式，求出,M N 坐标，利用弦长公式和两点距离公式得到AB 和NF 的表达式，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】显然当直线AB 斜率为0时，不合题意；故设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程有2440y my --=，则216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =-，则1222M y y y m +==，111x my =+，221x my =+，则()21221224221222M m y y x x m x m ++++====+，则()221,2M m m +，准线方程为=1x -，()1,0F ，则()1,2N m -，()212||41AB y m =-=+，()()()22222||1124441||[4,)NF m m m AB =++-=+=+=∈+∞，所以232||32||||4||4NF AB AB AB +=+=，当且仅当32||||4AB AB =，即()2||41AB m =+=时等号成立，此时m =故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是采取设线法联立抛物线方程得到韦达定理式，再利用中点公式得到,M N 点坐标，最后利用弦长公式和两点距离公式得到相关表达式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点()1,0A -和点B 关于直线l ：10x y +-=对称．（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．【答案】（1）30x y +-=（2）0y =或=1x -【解析】【分析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程.【详解】解：设点(),B m n 则1102211m n n m -+⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，所以点()1,0A -关于直线l ：10x y +-=对称的点的坐标为()1,2B （1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =-，则直线1l 为：()21y x -=--，即30x y +-=.（2）由条件可知：22AB =，ABC 的面积为2，则ABC 的高为22222h ⨯==，又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB 的距离为2.直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b ，则有122a b -+=，即1b a =-或3b a =+又1b a =-，解得：10a b =⎧⎨=⎩或12a b =-⎧⎨=⎩则直线2l 为：0y =或=1x -【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组；（3）解出点坐标.18.已知圆221:(1)5C x y +-=，圆222:420C x y x y +-+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】（1）（2）22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【小问1详解】将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +-+-+--=，化简得10x y --=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y --=的距离为d ==，则22215232AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得AB =所以公共弦长为【小问2详解】解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则2242240,1111x y x y λλλλλλ-+-+-=≠-+++；由圆心21,11λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭在直线241x y +=上，则()414111λλλ--=++，解得13λ=，所求圆的方程为22310x y x y +-+-=，即22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法二：由（1）得1y x =-，代入圆222:420C x y x y +-+=，化简可得22410x x --=，解得22x ±=；当22x +=时，2y =；当22x -=时，2y =-；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222222222241a b a b a b ⎧⎛⎛⎛⎛-⎪-+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；所以222321722222r ⎛⎛+=-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接PA ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）221169x y -=（2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F -，125,28c a MF MF ∴==-=，22294,a b c a ∴===-，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+，联立221169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m -++--≠，12218916mt y y m -∴+=-，21229144916t y y m -=-，122916y y m -=±-，AC 的方程为11(4)4y y x x =++，令2x =，得1164p y y x =+，BD 的方程为22(4)4y y x x =--，令2x =，得2224p y y x -=-，1221112212623124044y y x y y x y y x x -∴=⇔-++=+-()()21112231240my t y y my t y y ⇔+-+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+-++=()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+-++--=()222249144(24)1824(8)9160916916916m t t mt t t m m m m ---⇔-±=---3(8)(0m t t ⇔-±-=(8)30t m ⎡⇔-=⎣，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =-（舍去），∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+，联立22,1,169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得()2229161891440m y mty t -++-=，2121222189144,916916mt t y y y y m m --∴+==--，AC 的方程为(4)6n y x =+，BD 的方程为(4)2n y x =--，,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n n y x y x ∴=+=--，两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y ---=⇔+=+-，又22111169x y -=，()()211194416x x y ∴+-=．将()2112344x y x y --+=代入上式，得()()1212274416x x y y ---=⇔()()1212274416my t my t y y -+-+-=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++-++-=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mt m t m t m m --++-+-=--．整理得212320t t +=-，解得8t =或4t =（舍去）．∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.20.已知双曲线22:154x y Γ-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =-上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）94-；（2）存在98(,)55P -或98(,55P -满足题意．【解析】【分析】（1）设出(9,8)P λλ-，然后计算1211k k +即可得；（2）假设存在，设设00(9,8)P x x -，写出直线AB 方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，同理设3344(,),(,)C x y D x y ，直线CD 方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算OC OD k k +，然后由条件0OA OB OC OD k k k k +++=求得0x 得定点坐标．【小问1详解】由已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ-，(0)λ≠，∴1839k λλ=--，2893k λλ-=-，121139939884k k λλλλ---+=+=--；【小问2详解】设00(9,8)P x x -，（00x ≠），∴010893x k x -=+，∴直线AB 的方程是008(3)93x y x x -=++，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，008(3)93x y x x -=++代入双曲线方程得2220203204(69)20(93)x x x x x -++=+，即222200000(549)480(112527045)0x x x x x x x ++--++=，2012200480549x x x x x +=++，20012200112527045549x x x x x x ++=-++，00121212012012883()33(2)[29393OA OB x x y y x x k k x x x x x x x x ++=+=-++=-+++2200002200000083480832(2))93112527045932561x x x x x x x x x x ⋅=-+=--+---+++2000220000082(31)16(31)9325612561x x x x x x x x -+-+=⋅=+++++，同理CD 的方程为008(3)93x y x x -=--，设33(,)C x y ，44(,)D x y ，仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：222200000(549)4801125270450x x x x x x x -++-+-=，2034200480549x x x x x +=--+，20034200112527045549x x x x x x -+-=-+，∴2303400423403400083()83480[2](2)9393112527045OC OD y x x x x x y k k x x x x x x x x -+-⋅+=+=-=----+20000220000083216(31)(2)9325613(2561)x x x x x x x x x ---=-=--+-+．由0OA OB OC OD k k k k +++=得00022000016(31)16(31)025613(2561)x x x x x x x -+--+=++-+，整理得200(251)0x x -=，∵00x ≠，∴015x =±，∴存在98(,)55P -或98(,)55P -满足题意．【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设00(9,8)P x x -，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如1122(,),(,)x y x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，最后利用已知条件求得0x ，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．21.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点，（1）若90,BFD ABD ∠= 的面积为p 的值及圆F 的方程（2）若直线y kx b =+与抛物线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，准线l 与y 轴交于点S ，点S 关于直线PQ 的对称点为T ，求||FT 的取值范围.【答案】（1）2p =，圆F 的方程为()2218x y +-=（2）(],4p p 【解析】【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到2A p y FA FD +===，结合ABD △面积求出2p =，圆F 的方程为()2218x y +-=；（2）表达出0,2p S ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线PQ 的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出2b p =，从而利用两点间距离公式表达出(],2FT p p ==.【小问1详解】由对称性可知：90,BFD FS BS DS p ∠=︒===，设(),A A A x y ，由焦半径可得：2A p y FA FD +===，112222ABD A p S BD y p ⎛⎫=⋅⋅+=⨯= ⎪⎝⎭ ，解得：2p =圆F 的方程为：()2218x y +-=【小问2详解】由题意得：直线PQ 的斜率一定存在，其中0,2p S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设0,2p S ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线PQ 的对称点为(),T m n ，则12222p n m k p n m k b ⎧+⎪=-⎪⎪⎨⎪-⎪=⋅+⎪⎩，解得：221212b p m k k b p p n k +⎧=-⎪+⎪⎨⎪+=-⎪+⎩，联立y kx b =+与22x py =得：2220x pkx pb --=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,2x x pk x x pb +==-，则()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，则()()22121212121x x y y k x x kb x x b+=++++()222221220pb k pk b b pb b -+++=-+=，解得：0b =（此时O 与P 或Q 重合，舍去）或2b p =，所以FT =(],4p p ==，【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.22.如图，已知点P 是抛物线24C y x =：上位于第一象限的点，点()20A -，，点,M N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)，满足,PM PN AM AN ⊥⊥，线段PN 分别交x 轴正半轴、抛物线C 于点,D Q ，射线MP 交x 轴正半轴于点E ．（1）若四边形ANPM 为矩形，求点P 的坐标；（2）记,DOP DEQ △△的面积分别为12S S ，，求12S S ⋅的最大值．【答案】（1）(2,P（2）192【解析】【分析】（1）根据矩形性质，可得对角线互相平分，即AP 的中点在y 轴上，然后点P 在抛物线，即可得(2,P ；（2）联立直线PQ 方程与抛物线C ，根据韦达定理求得,P Q 两点的纵坐标关系，再根据,PM PN AM AN ⊥⊥条件判断MOE △与DON △相似，进而求得,D E 两点的坐标关系，再表示并化简12S S ⋅为关于m 的函数，根据,D E 两点的位置关系，以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点得出关于m 的约束，即可确定12S S ⋅中m 取值范围，最后可得12max ()(4192S S g ⋅=-=-【小问1详解】当四边形ANPM 为矩形时，AP 的中点在y 轴上，则有：2P A x x =-=故(2,P -【小问2详解】设点(,0)D m ，直线PQ 方程：x m ty -=，显然有0,0m t >≠联立直线PQ 与抛物线C ，得：24x m ty y x-=⎧⎨=⎩消去x 得：2440y ty m --=则有：4P Q y y m⋅=-由AM AN ⊥，得：2||||||4OM ON OA ⋅==又由PM PN ⊥，可得：△MOE ∽△DON 则有：||||||||OM OE OD ON =从而||||||||4OE OD OM ON ⋅=⋅=，即4E D x x ⋅=所以4E x m =，进而有：4||E D DE x x m m=-=-结合||,4P Q OD m y y m =⋅=-（注：由E D x x >，得4m m >，故有02m <<）可得：12111(||||)(||||)||||||224P Q P Q S S OD y DE y OD DE y y ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅314()444m m m m m m=⋅⋅-⋅=-+又由题意知，存在抛物线上的点P 满足条件，即以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点，且易得圆K 方程：24()()0x m x y m-⋅-+=联立抛物线C 与圆K ，得224()()04x m x y m y x⎧-⋅-+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得：24(4)40x m x m-+-+=由0∆≥，结合02m <<，可解得：04m <≤-令3()4g m m m =-+，求导可知()g m在上单调递增又43-≤=故有：()g m在(0,4-上单调递增因此，12max ()(4192S S g ⋅=-=【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；在求解相关最值问题时，通常是先建立目标函数，然后应用函数的知识来解决问题；。
浙江省金华市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷(含解析)
浙江省金华市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若集合,,则( )A.或 B.C. D.2．已知复数( )A.-2B.2C.D.3．若a ,,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．下列说法错误的个数为( )①已知,若,则②已知,则A.0B.1C.2D.35．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高,以1开头的数出现的频数约为总数的三成,并提出定律：在大量进制随机数据中,以开头的数出现的概率为.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若,则k 的值为( )A.14B.15C.24D.256．袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取出后不放回,取得白球得1分,取得黑球得2分,取得红球得3分,直到取到的球的总分大于{ln 0}M x x =>01xN xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭M N = {1x x <-0}x >{1x x -<1}>{}01x x <<{}1x x >z =z z -=4i -4i0b >a b >3ln 3ln a b b a ->-()210X N σ~,()809P X ≥=．()81208P X ≤≤=．153X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()()5093E X D X ==,．b n ()log b bP n =()()*165ln6ln2ln2ln8kn p n k =-=∈+∑N ()*4k k ∈>N ,或等于4分时终止,用X 表示终止取球时所需的取球次数,则( )7．体积为1的正三棱雉的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为( )8．已知函数,当大值为M ,有,则实数k 的最大值为( )二、多项选择题9．下列选项中正确的有( )A.已知在,则C.若非零向量,D.已知,,且与夹角为锐角,则的取值范围是10．下列命题错误的是( )A.线性相关模型中,决定系数越大相关性越强,相关系数r 越大相关性也越强B.回归直线至少会经过其中一个样本点C.已知一系列样本点的经验回归方程为,若样本点与的残差相等,则D.以模型去拟合某组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则a,b 的值分别为3,411．如图,已知圆台的下底面直径,母线,且,P 是下底面圆周上一动点,则( )()3P X ==()()322111432f x x x a x b a b ⎛⎫=-+-+≥∈ ⎪⎝⎭R ,0x ∈［，(M k ≥ab 5252a b ⋅=)b c a b c⋅≤ a b b = 2b += ()12a = ，()23b = ，a a b λ+ λ58⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2R ()i i x y ,()()i 123i i x y =⋯,，，ˆ2ˆy x a =+()2m ，()3n ,28m n +=e bx y a =ln z y =4ln3z x =+OO '4AB =2BC =AC BC ⊥A.圆台的侧面积为B.圆台C.当点P 是弧中点时,三棱雉的内切球半径D.的最大值为三、填空题12．的展开式中的常数项为____________.13．在锐角三角形中,边长为1,且,则边的长度取值范围是___________.14．某学校举办校庆,安排3名男老师和2名女老师进行3天值班,值班分为上午和下午,每班次一人,其中女老师不在下午值班,且每个人至少要值班一次,则不同的安排方法共有____________种（用数字作答）.四、解答题15．设函数,其中,已知.（1）求的解析式;（2）已知,求的单调递增区间及值域.16．在如图所示的直三棱柱中,,,D ,E 分别是线段,上的动点.（1）若平面,,求的值;OO '6πOO πAB A BCP -23r >2PA PC +922x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ABC BC 2B A =AC ()cos f x x x ωω=-()0,3ω∈π26f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 111ABC A B C -2AB BC ==12AA =BC 11A B //DE 11ACC A 1132B E EA =::CD BD :（2）若三棱柱是正三棱柱,D 是的中点,求二面角余弦值的最小值.17．已知函数,.（1）求曲线在点处的切线方程;（2）讨论的单调性;（3）证明：当时,.18．某超市为促进消费推出优惠活动,为预估活动期间客户投入的消费金额,采用随机抽样统计了200名客户的消费金额,分组如下：,,,,（单位：元）,得到如图所示频率分布直方图：表示）（2）若把消费金额不低于800元的客户,称为“活跃客户”,经数据处理,现在列联表中得到一定的相关数据,求列联表中x,y 的值,并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？（3）为感谢客户,该超市推出免单福利,方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人,从中抽取2人进行免单,试写出总单金额YBC D BE A --()()212ln 22f x x x a x =+++a ∈R ()y f x =()()11f --,()f x 2a <-()234a f x a a ae ++>-[)0200，[)200400，[)400600， []10001200，95%的分布列及其期望.（每一组消费金额按该组中点值估计,期望结果保留至整数.）附：19．已知①设函数的值域是C ,对于C 中的每个y ,若函数在每一处都等于它对应的,这样的函数叫做函数的反函数,记作,我们习惯记自变量为x ,因此可改成即为原函数的反函数.易知与互为反函数,且.如的反函数是可改写成即为的反函数,与互为反函数.②是定义在D 且取值于D 的一个函数,定义,,,,则称是函数在D 上的n 次迭代.例如,则.对于一些相对复杂的函数,为求出其n 次迭代函数,我们引入如下一种关系：对于给定的函数和,若函数的反函数存在,且有,称与关于相似,记作,其中称为桥函数,桥函数满足以下性质：（1）若,则（2）若为的一个不动点,即,则为的一个不动点.（i ）若函数,求（写出结果即可）（ii ）证明：若,则.（iii ）若函数,求（桥函数可选取）,若,试选取恰当桥函数,计算.()()()()()2n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()()y f x x A =∈()g y ()g y x ()()x g y y C =∈()()y f x x A =∈()()1x f y y C -=∈()()1x f y y C -=∈()()1y f x x C -=∈()()1y f x x C -=∈()()y f x x A =∈()()1f f x x -=2x y =2log x y =2log y x =2x y =2log y x =2x y =()f x ()()0f x x =()()()1f x f x =()()()()2f x f f f f x =- ⋯()()()n f x f f f ff f x == ()()n f x ()f x ()f x x a =+()()n f x x na =+()f x ()g x ()x ϕ()1x ϕ-()()1f xg x ϕϕ-= ()f x ()g x ()x ϕf g ϕ~()x ϕf g ϕ~1g fϕ-~0x ()f x ()00f x x =()0x ϕ()g x ()22f x x =()()n f x f g ϕ~()()n n fg ϕ~()22f x x x =+()()n f x ()1x x ϕ=+()2612c x x x =-+()()n c x参考答案1．答案：D解析：,,所以,所以或,所以 或, 所以.故选：D.2．答案：C 解析：,所以.故选：C.3．答案：C解析：由可得,令,,所以 在上单调递增,所以由,即,当时,因为 在 上单调递增, 所以 ,当 ,因为 在 上单调递增,所以 ,所以 “”是“ ”的充要条件.故选:C.4．答案：B 解析：5．答案：A解析：即,{ln 0}{1}M x x x x =>=>∣∣0>(1)0x x +>0x >1x <-{1N x x =<-∣0}x >{1}M N x x => ∣2i12i iz -==--12i =-+4i z z -=-3ln 3ln a b b a ->-3ln 3ln a b a b +>+()3ln (0)x F x x x =+>1()3ln 30x F x x'=+>()F x (0,)+∞3ln 3ln a b a b +>+()()F a F b >a b >()F x (0,)+∞()()F a F b >()()F a F b >()F x (0,)+∞a b >a b >3ln 3ln b a b a ->-161616161656781()log log log log 567kn k p n k=+=++++∑ ()*ln 6ln 2,4ln 2ln 8k k -=∈>+N 16161log log 35k +=,解得.故选: A.6．答案：B解析：由题意,时, 取球的情况为：白白红,白白黑, 白黑白, 白黑黑, 白黑红, 黑白白,黑白黑, 黑白红,所以故选：B.7．答案：D解析：如图, 设正三棱锥的底面边长为,高为,外接球半径为.因为体积为1 ,所以,所以不论外接球的球心在正三棱锥的内部（图1）,外部（图2)还是与G 重合（图3）,其外接球半径均满足,将当且仅当即故选：D.8．答案：C 解析：3=14k =3X =21122211122111(3)54335433354333P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯++⨯⨯+++⨯⨯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB BC AC a ===GS h =OA OS R ==211132V h =⨯=2a h =2222()3h R R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭2a h ===≥==312a =a =9．答案：BC 解析：10．答案：AB 解析：11．答案：ABD 解析：12．答案：5376解析：的展开式的通项为:,,令,解得: ,所以 的展开式中的常数项为:.故答案为:5376 .13．答案：解析：因为 , 所以 ,由正弦定理得, ,因为,所以 ,因为是锐角三角形,所以,解得,所以,即边的长度取值范围是.故答案为：.14．答案：252解析：若上午值班均为女教师, 则不同的安排方法共有 种,可知下午值班均为男教师,则不同的安排方法共有 种,则不同的安排方法共有 种;922x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()921831992C C (2)rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭0,19r =⋯1830r -=6r =922x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭669C (2)5376-=2B A =sin sin 22sin cos B A A A ==2cos b a A =1a =2cos b A =ABC △π0,2π20,2ππ30,2A B A C A ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩ππ,64A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2cos b A =∈AC3226-=33A 6=6636⨯=若上午值班有男教师, 则不同的安排方法共有种,①当上午值班的男教师不下午值班时,则不同的安排方法共有 种;②当上午值班的男教师也下午值班时, 则不同的安排方法共有 种;则不同的安排方法共有种;综上所述：不同的安排方法共有种.15．答案：（1）（2）解析：（1）可化为,所以所以,又所以,所以（2）令解得又所以故的单调递增区间为所以所以1333C A 18=3226-=33A 6=18(66)216⨯+=36216252+=()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()[]12f x ∈-，()f x ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭2ππsin 2666πf ω⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2k π662ω--=-+212k ω=-k ∈Z ()03ω∈，0k =2ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()111πππ2π22π262k x k k -≤-≤+∈Z ()111ππππ63k x k k -≤≤+∈Z π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10k =()f x π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ5π2666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()[]12f x ∈-，解析：方法1.（1）过点E 作,交于M ,连接,如图,由平面,平面,则平面又平面,,且,平面,故平面平面又平面平面,平面平面,所以方法2过点D 作,可得,所以四点共面四边形是平行四边形1//EM A A AB DM 1AA ⊂11AA C C ME ⊄11AA C C //EM 1ACC A 32BM AM ==//DE 11ACC A DE EM E = DE EM ⊂DEM //DEM 11ACC A DEM ABC DM =11A ACC ABC AC =//DM ACBD CD ==23=//MD AB //MD AE 1MDEA 11111111////A ED AA C C AA C C EA MD A M ED A M ED E MD⎧⎪=∴⎨⎪⊂⎩平面平面平面，平面∴1EA MD 1A E MD ∴=25DM CD AB CB ===23=（2）过D 作,垂足为G ,正三棱雉可得平面,再过作,垂足为N ,连接,则即为二面角的平面角.当E 位于时故二面角方法2：取的中点O 由正三棱锥得平面如图建立空间直角坐标系,,,设平面的法向量令平面法向量DG AB⊥DG ⊥11A ABB GGN BE ⊥DN ,EB NG EB DG EB DGN EB ND NG DG G ⊥⊥⎧⇒⊥⇒⊥⎨=⎩平面 DNG ∠B AE D --cos GN DNG DN ∠===1A min DG =min DNG ∠==B AE --BA OC ⊥11AA B B()2,,0E t ()0,1,0B -[]10112D t ⎛-∈- ⎝，，()21,0BE t =+ ,102BD ⎛= ⎝ ，DEB ()n x y z =,, ()102210BD n y z BE n x t y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++=⎩y =)11t ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11AA B B ()001m =，，当时取到17．答案：（1）（2）时增区间为,当时单调递增区间为,单调递减区间为（3）见解析解析：（1）令又过点直线方程为可化为（2）当,在上恒成立,故在上单调递增;当时,令得令得故在上单调递增,在上单调递减综上所述：时增区间为当时单调递增区间为,单调递减区间为（3）证明：不等式可化为恒成立由（2）知,当时,,令,cos cos ,m n θ== 1t =min cos θ=()112ya x a =++-0a ≥()2,-+∞0a <()2-++∞(22--，()()()222222x a a f x x x x x '++=++=>-++()111x k f a='=--=+,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭-()()3112y a x +=++()112y a x a =++-()()()2222x af x x x ++=+'>- 0a ≥()0f x '>()2,x ∈-+∞()f x ()2,-+∞0a <()0f x '>2x >-+()0f x '<22x -<<-()f x ()2-++∞(2,2--+0a ≥()2,-+∞0a <()2-++∞(22--，()2340a f x a a ae ++-+>2a <-()(()min 112ln 222f x f a a a =-+=-+--()()()222min 154343ln 222a a a f x a ae a f x a ae a a a a ae a ++-+≥++-+=-+-++()()215ln 222a g a a a a ae a =-+-++则.令则.因为,所以所以在上单调递增.所以,所以,所以在上单调递减.因为,所以,所以,即当时,.18．答案：（1）620（2）有的把握与性别有关（2）列联表如下因此有的把握与性别有关.（3）可视作抽出消费900元8人,消费1100元4人()()12ln 32a a g a a a e ae =+---+'()()12ln 32a a h a a a e ae =+---+()()1222a h a e a a=+-+'2a <-()0h a '>()h a ()2∞--，()()2121ln202h a h e -<-=-++<()0g a '<()g a ()2-∞-，()22ln2210g e --=-++>()()20g a g >->()()()22min 43430a a f x a ae a f x a ae a g a ++-+≥++-+=>2a <-()234a f x a a ae ++>-95%100013000155000270002590002110001620=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．()2220012003200952410010060140χ⨯-==⨯⨯⨯．23841χ>．95%19．答案：（1）（2）成立（3）见解析解析：（1）（2）因为,有,即所以有,即由数学归纳法或递推法可知成立.（3）根据相似函数不动点也相似,桥函数选取时可令不动点为一解,当,可选取桥函数（不唯一）,易得由（2）可知,即有.当,选取桥函数,.易得由（2）可知,,即有.()141611800200022001933333311E Y =⨯+⨯+⨯≈2122n n x -⋅()()n n f g ϕ~()()2122n n n f x x -=⋅f g ϕ~1f g ϕϕ-= f g ϕϕ= 1f f g f g g g g ϕϕϕϕϕϕ-=== ()()22fg ϕ~()()n n f g ϕ~()22f x x x =+()1x x ϕ=+()()()211121,11211x x g f f x x x ϕϕϕϕ---=-==+=-+-+= ()2n n g x =()()n n fg ϕ~()()()()2n 1111nn n f g g x ϕϕϕ-==-=+- ()2612c x x x =-+()3x x ϕ=-()1123x x g f x ϕϕϕ--=+==, ()2n n g x =()()n n f g ϕ~()()()2133n n n f g x ϕϕ-==-+。
2022-2023学年浙江省杭州市高二下学期期中数学试题2【含答案】
2022-2023学年浙江省杭州市高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x y x ==-，{}23B x x =<，则A B = （）A ．1]-∞（，B ．0,3⎡⎤⎣⎦C ．(3,1⎤-⎦D ．)1,3⎡⎣【答案】C【分析】先化简集合,A B ，利用集合的交集运算即可求解【详解】因为{}{}11A x y x x x ==-=≤，{}{}2333B x x x x =<=-<<，所以{}31A B x x ⋂=-<≤，即(3,1A B -⋂=⎤⎦，故选：C2．设复数z 满足1i 1i ()z -=+，则||i z -在复平面内对应的点在第几象限（）A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D【分析】利用复数除法运算求得||i z -，进而判断其对应点所在象限.【详解】由()1i (1i)1i 2ii 1i (1i)(1i)2z +++====--+，故||i=1i z --在复平面内对应的点为()1,1-.所以z 在对应点在第四象限.故选：D.3．已知非零向量,a b 满足||2||a b =，且()-⊥a b b r r r ，则a 与b 的夹角为（）A ．π3B ．π6C ．5π6D ．2π3【答案】A【分析】设向量a ，b 的夹角为θ，根据a b b →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭得到2||||cos ||a b b θ⋅⋅= ，联立||2||a b =，得解.【详解】解：设向量a ，b的夹角为θ，()a b b -⊥，()0∴-⋅=a b b ，即2()a b b ⋅= ，所以2||||cos ||a b b θ⋅⋅=①，a，b为非零向量，且满足||2||a b =②，∴联立①②可得1cos 2θ=，[0,π]θ∈ ，所以两向量的夹角为π3.故选：A4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（）A ．13B ．43C ．3D ．4【答案】B【分析】先利用2a ，53a ，89a 成等差数列解出3q ，再利用求和公式化简求值即可.【详解】设等比数列公比为q ，由2a ，53a ，89a 成等差数列可得，47111239a q a q a q ⨯⋅=⋅+⋅，化简得639610q q -+=，解得313q =，()()61363311411311a q S q q S a q q--==+=--.故选：B.5．若函数sin 6y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,m 上单调递增，则m 的最大值为（）A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【分析】由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围.【详解】由sin 6y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得当22,262k x k k Z ππππππ-+≤-≤+∈时函数单调递增，即122,2,33x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，12,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又函数在[]0,m ，所以203m <≤，即m 的最大值为23，故选：C.6．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.甲、乙等5名杭州亚运会志愿者到羽毛球、游泳、射击、体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去羽毛球场，则不同的安排方法共有（）A ．96种B ．60种C ．36种D ．24种【答案】B【分析】分类讨论优先安排羽毛球场志愿者，再用全排列和分组分配法求解即可.【详解】羽毛球场安排两个志愿者：44A 24=种，羽毛球场安排一个志愿者：2343C A 36=种，不同的安排方法共有60种.故选:B.7．已知拋物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，AB l ⊥于点B ，若2π3FAB ∠=，则BF =（）A ．163B ．833C ．1633D ．83【答案】B【分析】作出图示，求出抛物线的准线和焦点，利用抛物线定义可知||||AF AB =，可推出2π3FAB ∠=，从而求得π6BFD ∠=，解直角三角形即可求得答案.【详解】设抛物线2:8C y x =准线2x =-与x 轴交点为D ，焦点(2,0)F，由于点A 在C 上，AB l ⊥，故||||AF AB =,因为2π3FAB ∠=，所以π6ABF ∠=，而AB ∥x 轴，所以π6BFD ∠=,而||4DF =,所以483||π3cos6BF ==，故选：B 8．已知4ln 4a a -=，3ln 3b b -=，2ln 2cc -=，其中4a ≠，3b ≠，2c ≠，则（）A ．c b a <<B ．c<a<bC ．a b c<<D ．a c b<<【答案】C【分析】先令函数()ln f x x x =-，求导判断函数()f x 的单调性，并作出函数()f x 的图像，由函数()f x 的单调性判断()()()f c f b f a >>，再由对称性可得a b c <<.【详解】由4ln4aa -=，则ln 4ln 4a a -=-，同理ln 3ln 3b b -=-，ln 2ln 2c c -=-，令()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=，当()0,01f x x '<<<；当()0,1f x x >'>，∴()f x 在()0,1上单调递减，()1,+∞单调递增，所以()()()432f f f >>，即可得()()()f a f b f c >>，又4a ≠，3b ≠，2c ≠由图的对称性可知，a b c <<.故选：C二、多选题9．已知m ，n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列结论正确的为（）A ．若//,m n αα⊂，则//m nB ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥C ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥D ．若//,,m n αβαβ⊥∥，则m n⊥【答案】BD【分析】利用空间线面关系的判定与性质定理逐项判断即可求解.【详解】对于A ，若//,m n αα⊂，则//m n 或m 与n 异面，故A 错误；对于B ，由,m n m α⊥⊥，得//n α或n ⊂α，不论是//n α还是n ⊂α，都可结合n β⊥，得到αβ⊥，故B 正确；对于C ，若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误；对于D ，若//,,m αβα⊥则m β⊥，又//n β，所以m n ⊥，故D 正确；故选：BD.10．已知圆22:410M x y x ++-=，点(,)P a b 是圆M 上的动点，则（）A ．圆M 关于直线320x y ++=对称B ．直线0x y +=与圆M 相交所得弦长为3C ．3b a -的最大值为12D ．22a b +的最小值为52-【答案】AC【分析】验证圆心是否过直线判断A ，求出相交弦长判断B ，把3bt a =-变以(3)b t a =-代入圆方程，利用判别式不小于0判断C ，利用原点到圆心的距离求得22xy +最小值判断D ．【详解】圆M 标准方程是22(2)5x y ++=，(2,0)M -，半径为5r =，易得M 点在直线320x y ++=上，A 正确；点M 到直线0x y +=的距离为222d ==，弦长为222222(5)(2)23l r d =-=-=，B 错；由3bt a =-得(3)b t a =-代入圆的方程整理得2222(1)(64)910t a t a t +--+-=，22222(64)4(1)(91)80200t t t t ∆=--+-=-+≥，1122t -≤≤，所以t 的最大值是12，C 正确；2OM =，min 52OP =-，所以22a b +的最小值是2min ()945OP =-，D 错误．故选：AC ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题关键，圆的弦长一般用几何法求解，即求出圆心到直线的距离后用勾股定理计算．求分式型，平方型式子的最值，可以利用几何意义求解，如分式型可以用直线斜率，平方型利用两点间距离求解．11．已知函数()3234f x x x =-+，则（）A ．()f x 的极小值为2B ．()f x 有两个零点C ．点()1,2是曲线()y f x =的对称中心D ．直线35y x =-+是曲线()y f x =的切线【答案】BCD【分析】利用导数研究函数()3234f x x x =-+的单调性、极值点、极值以及零点判断A 、B ，根据函数关于点对称的充要条件判断C ，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.【详解】()3234f x x x =-+ ，()236f x x x '∴=-，令()0f x '=，解得：0x =或2x =，(),0x ∴∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；()2,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；()f x \的极小值为：()32223240f =-⨯+=，()f x 的极大值为：()32003044f =-⨯+=，∴()f x 有两个零点，()f x 的极小值为4，故A 错误、B 正确；对C ，若点()1,2是曲线()y f x =的对称中心，则有()()24f x f x +-=，将函数()3234f x x x =-+代入上式验证得：()()32323423244x x x x ⎡⎤-++---+=⎣⎦，故C 正确；对于D ，2363k x x =-=-，解得：1x =，当1x =时，()12f =，∴切线方程为：23(1)y x -=--，即35y x =-+，故D 正确.故选：BCD.12．已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A ．n 为偶数时，()221n n a -=-B ．229n T n n=-+C ．992049T =-D ．n T 的最大值为20【答案】AC【分析】对选项A ，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B ，检验当1n =时，所给表达式不满足；对选项C ，按照n 为奇数和偶数分别讨论，根据10099100T T a -=，可直接求得；对选项D ，n T 的最大值为71021T T ==【详解】根据递推关系可知，n 为奇数时，()18292n n a n-⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭n 为偶数时，()221n n a -=-，故A 对；()()212342121321242n n n n nT a a a a a a a a a a a a --=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅+根据奇数项构成等差数列可得：()21321862109n a a a n n n-++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+=-+而又：2421,0,n n a a a n ⎧++⋅⋅+=⎨⎩当为奇数当为偶数则有：2229,91,n n n n T n n n ⎧-+=⎨-++⎩为偶数为奇数，故B 错误；()100222991010005095012049a T T -=-=-+⨯--=-，故C 对；根据n T 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据n T 特点可知：n T 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，26393119T =-+⨯+=，76719221T T a =+=+=，2849420T =-+⨯=，98920020T T a =+=+=，210595121T =-+⨯+=，11101119T T a =+=，n T 的最大值为71021T T ==，故D 错故选：AC三、填空题13．61()2x x -展开式中的常数项为__________．【答案】1516【详解】366216611()()22r r rrr r r T C x C x x--+=-=-，令3602r -=，得4r =，∴常数项为446115()216C -=．14．圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为5003π的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为_______【答案】96π【分析】由球体积求得球半径，再由球的截面性质求得圆柱的高，从而得圆柱体积．【详解】球的半径为R ，3450033R ππ=，解得5R =，圆柱的高为：221086-=．可得16696V ππ=⋅=．故答案为：96π．15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*3N ,n n S S ∀∈≥，则65a a 的取值范围为___________.【答案】3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据等差数列的性质可得公差0d >，由*3N ,n n S S ∀∈≥可得3234S S S S ≤⎧⎨≤⎩，从而可得132a d--≤≤，再根据等差数列的通项公式与分式变形，结合函数思想即可求得65a a 的取值范围.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，由于*3N ,n n S S ∀∈≥，所以0d >，且3211134111332233463S S a d a d a d S S a d a d a d ≤+≤+≤-⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨≤+≤+≥-⎩⎩⎩，即132ad --≤≤，则16111515511444a a a d d a a a a d d d++===++++，由132a d --≤≤得[]141,2a d +∈，故1131,224a d⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦+，即65a a 的取值范围为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．若对任意正实数x ，y 都有2(ln ln )0e x y y x y m ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围为___________.【答案】(0,1].【分析】运用分离参数求最值，即将原不等式化为e(2e )(ln )x x y y m-≤，再构造函数()(2e )ln h t t t=-（0t >），求其最大值，进而求得结果.【详解】由于x 为正实数，对不等式两边同时除以x 变形可得：21()(ln )0e y x yx y mx--≤，化简得：1(2)(ln )e x x y y m-≤，即：e (2e )(ln )x x y y m -≤，令x t y =（0t >），则对任意的0t >，e(2e )ln t t m-≤，所以max e[(2e )ln ]t t m-≤，设()(2e )ln h t t t =-，0t >，则2e()ln 1h t t t'=-+-，所以212e()0h t t t''=--<，所以()h t '在(0,)+∞上单调递减，又因为2e(e)ln e 10eh '=-+-=，所以()00e h t t '>⇒<<，()0e h t t '<⇒>，所以()h t 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，所以max ()(e)e h t h ==，所以ee m≤，解得：01m <≤，即：m 的取值范围为(0,1].故答案为：(0,1].四、解答题17．已知a 、b ∈R ，记{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，函数(){}()max 1,2f x x x x =+-∈R .(1)写出()f x 的解析式，并求出()f x 的最小值；(2)若函数()()2g x x kf x =-在(],1-∞-上是单调函数，求k 的取值范围.【答案】(1)()12,211,2x x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩，()f x 的最小值为32(2)(],2-∞【分析】（1）作差221263x x x +--=-，可得出1x +与2x -的大小关系，进而可化简得出()f x 的解析式，分析函数()f x 的单调性，可求得函数()f x 的最小值；（2）化简函数()g x 在(],1-∞-上的解析式，分析可知函数()g x 在(],1-∞-上只能单调递减，可得出关于实数k 的不等式，解之即可.【详解】（1）解：因为221263x x x +--=-，当12x ≥时，2212630x x x +--=-≥，则(){}max 1,211f x x x x x =+-=+=+；当12x <时，2212630x x x +--=-<，则(){}max 1,222f x x x x x =+-=-=-.所以，()12,211,2x x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩，故函数()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以，函数()f x 的最小值为1131222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.（2）解：当1x ≤-时，()2f x x =-，则()()222g x x kf x x kx k =-=+-，因为函数()g x 在(],1-∞-上单调，因为二次函数()g x 的图象开口向上，故函数()g x 在(],1-∞-上只能单调递减，所以，12k -≥-，解得12k-≥-，解得2k ≤，因此，实数k 的取值范围是(],2-∞.18．已知函数()13sin cos cos 212f x x x x =--，x ∈R .(1)求函数()f x 的最小值和最小正周期；(2)已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线，求a ，b 的值.【答案】(1)最小值为2-，最小正周期为π.(2)323a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩【分析】（1）根据二倍角公式与辅助角公式化简可得()πsin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而可得最小值与最小正周期；（2）根据()0f C =可得π3C =，再根据向量共线的性质结合正弦定理可得2b a =，进而根据余弦定理求解即可.【详解】（1）()31πsin 2cos 21sin 21226f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.∴()f x 的最小值为2-，最小正周期为π.（2）∵()πsin 2106f C C ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0πC <<，ππ11π2666C -<-<，∴ππ262C -=，∴π3C =.∵m与n 共线，∴sin 2sin 0B A -=.由正弦定理sin sin a bA B=，得2b a =，①∵3c =，由余弦定理，得22π92cos3a b ab =+-，②解方程组①②，得323a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.19．在①21,323n n n a n b T =-=+；②222,n n n n n S n a b a S =+=这两组条件中任选一组，补充下面横线处，并解答下列问题.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，数列{}n b 的前n 项和是n T ，___________.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设nn na cb =，数列{}n c 的前n 项和为n R ，求n R .【答案】(1)选条件①：故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，数列{}n b 的通项公式为3nn b =；选条件②：数列{}n a 的通项公式为n a n =，数列{}n b 的通项公式为2(1)n b n n =+；(2)选条件①：113n n n R +=-；选条件②：所以111n R n =-+．【分析】（1）选条件①：由323n n b T =+，11323n n b T ++=+可得13n n b b +=，根据等比数列通项公式即可求解n b ；选条件②：由22n n S n a =+，2112(1)n n S n a ++=++，可得1(1)()n n a n a n +-+=--，利用迭代法可求n a ，借助已知条件可得n b ；（2）选条件①：利用错位相减求和法求和后即可证明；选条件②：利用裂项相消求和法求和后即可证明.【详解】（1）选条件①：由323n n b T =+，可得11323n n b T ++=+，两式相减可得11332n n n b b b ++-=，所以13n n b b +=，在323n n b T =+中，令1n =，可得11323b b =+，所以13b =，所以{}n b 是以3为首项，公比为3的等比数列，1333n nn b -=⨯=，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，数列{}n b 的通项公式为3nn b =；选条件②：由22n n S n a =+，可得2112(1)n n S n a ++=++，两式相减可得()221121n n n a n n a a ++=+-+-，即121n n a a n ++=+，所以1(1)()n n a n a n +-+=--，在22n n S n a =+中，令1n =，可得1121a a =+，所以11a =，所以由[]1(1)n n a n a n --=---，[]12(1)(2)n n a n a n ----=---，L ，212(1)0a a -=--=，所以11(1)(1)0n n a n a --=--=，从而有()n a n n *=∈N ，所以2(1)22n n n a n n S ++==，22(1)n n n b a S n n ==+，故数列{}n a 的通项公式为n a n =，数列{}n b 的通项公式为2(1)n b n n =+；（2）选条件①：由（1）知()2112133nn n n c n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，123n n R c c c c =+++⋅⋅⋅+，()()23111111135232133333n nn R n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()23411111111352321333333nn n R n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减可得()234121111112213333333n n n R n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211111133112222211333313n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--=- ⎪⎝⎭-，所以113n n n R +=-，即113nnn R +=-；选条件②：由（1）知111(1)1n c n n n n ==-++，所以12311111111112233411n n R c c c c n n n =+++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=-++ ．20．如图：已知△PAB 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且PA ＝PB ＝22AB ，∠ABC ＝60°，E 为AB的中点．（Ⅰ）证明：CE ⊥PA ；（Ⅱ）若F 为线段PD 上的点，且EF 与平面PEC 的夹角为45°,求平面EFC 与平面PBC 夹角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）310535.【分析】(I)先根据面面垂直的性质定理证明CE ⊥平面PAB ,再由线面垂直的性质证明CE PA ⊥;（Ⅱ）以E 为坐标原点，,,EB EC EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,求出平面EFC 的法向量、平面PBC 的法向量,利用向量的夹角公式,即可求平面EFC 与平面PBC 夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）在菱形ABCD 中，∵60ABC ∠=∴△ABC 为正三角形，又∵E 为AB 的中点∴CE AB ⊥，∵平面PAB 与平面ABCD 垂直，AB 为平面PAB 与平面ABCD 的交线，∴CE ⊥平面PAB ，又∵PA ⊂平面PAB ∴CE PA⊥（Ⅱ）∵PA PB =，E 为AB 的中点，∴PE AB ⊥，又∵PE CE ⊥，AB CE E ⋂=∴PE ⊥平面ABCD ，以E 为坐标原点，,,EB EC EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示设2AB =，则2PA PB ==，1EP EA EB ===，3EC =，∴()()()()()0,0,0,1,0,0,0,3,0,0,0,1,2,3,0E B C P D -设EF EP k PD =+，其中01k ≤≤，则()2,3,1EF k k k =-- ，∵()1,0,0EB = 为平面PEC 的法向量，∴2cos ,2EF EB =〈〉 ，得12k =，即F 是PD 的中点，∴311,,22F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =r 为平面EFC 的法向量，则·0{·0n EF n EC ==310{2230x y z y -++==令2z =，得1x =，取()1,0,2n =r ，设()111,,m x y z =r 为平面PBC 的法向量，则·0{·0m PB m PC == 得出11110{30x z y z -=-=令11z =，得1131,3x y ==，取31,,13m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面EFC 与平面PBC 夹角为θ，则·3105cos cos ,35n m n m n m θ=〈〉==.【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．已知()2,0A -，()2,0B 平面内一动点P 满足34PA PB k k ⋅=-．(1)求P 点运动轨迹C 的轨迹方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，当P 点坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，0PM PN k k +=恒成立，试探究直线l的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．【答案】(1)()221043x y y +=≠(2)是定值；12【分析】对于小问1，设点(),P x y ，代入34PA PB k k ⋅=-，整理化简得P 点轨迹方程；对于小问2，设出直线l ：y kx m =+，联立曲线C 的方程，结合韦达定理，代入0PM PN k k +=，整理得到k 和m 的关系，进而判断直线是否过定点．【详解】（1）设(),P x y ，则3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=-+-，所以P 点轨迹方程为：()221043x y y +=≠．（2）显然直线l 不垂直于x 轴，故设l ：y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，代入22143x y +=并整理得：()2223484120k x kmx m +++-=，122212283441234km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∴()()()()1212211212121233332221111PM PNy y x y x y x x y y k kx x x x --+-+-+++=+=----()()()()()()12211212121232321x kx m x kx m x x k x x m x x x x +++-+-+++=-++()()12121212322321kx x m k x x m x x x x ⎛⎫+--+-+ ⎪⎝⎭=-++()2221212412382233423401m km k m k m k k x x x x --⎛⎫+---+ ⎪++⎝⎭==-++，整理得：()()212230k k m -+-=，若2230k m +-=，此时l 过P ，不合题意；若210k -=，即12k =符合题意，故直线l 的斜率为12．22．已知函数()e 2xf x a x -=+-.(1)当=2a 时，求()f x 在[]1,3-上的值域；(2)若()f x 有两个零点12,x x ，且120x x <，证明：02a <<且122ln x x a +>.【答案】(1)[]ln21,2e 3--(2)证明见解析【分析】（1）求出()f x '，则可得()f x 在[]1,3-上的单调性，即可求出其最值，则可得出答案；（2）由()f x 有两个零点12,x x ，易知>0(ln )<0a f a ⎧⎨⎩，由此可得0e a <<，又由120x x <可知()00f <，则可证02a <<；令120x x <<，要证122ln x x a +>，只需证122ln x a x >-，易知212ln <<ln a x x a -，结合()f x 在(),ln a -∞上单调递减，则可证()()122ln f x f a x <-，又()()120f x f x ==，即可证()()222ln 0f x f a x --<，令函数()()()=2ln ,>ln g x f x f a x x a --，求出()g x '，易证()0g x '<恒成立，则可得()()ln 0g x g a <=，即得证.【详解】（1）当=2a 时，()2e 2xf x x -=+-，则()e 2ex x f x ='-，当[)1,ln2x ∈-时，()0f x '<，当(]ln2,3x ∈时，()0f x '>，故()min ()ln2ln21f x f ==-，因为()()()3231,12e 33e f f f =+-=->，所以max ()=2e 3f x -，故()f x 在[]1,3-上的值域为[]ln21,2e 3--；（2）证明：因为()e 2xf x a x -=+-，所以()e e x xaf x -'=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增，不存在两个零点，不满足题意；当0a <时，当(),ln x a ∈-∞时()0f x '<，当()ln +x a ∈∞，时()0f x '>，即()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln +a ∞，上单调递增，要使()f x 有两个零点12,x x ，则需(ln )=ln 1<0f a a -，解得0e a <<，又120x x <，不妨令120x x <<，则()020f a =-<，所以02a <<，要证122ln x x a +>，只需证122ln x a x >-，易知()()12,ln ,ln ,+x a x a ∈-∞∈∞，则212ln <<ln a x x a -，因为当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，所以要证122ln x a x >-，只需证()()122ln f x f a x <-，因为()()12f x f x =，所以()()122ln f x f a x <-等价于()()222ln 0f x f a x --<，令函数()()()2ln 2ln 22ln e e ,ln x x ag x f x f a x x a a a x a --=--=-+->，则()2ln 2e e2x x ag x a a --=--='()2ln e e x x a a ---+，因为2ln +2ln 2e +e2e =x x ax x a a----≥，当且仅当ln x a =时，等号成立，所以()2ln 2e e 0x x aa ---+<，即()g x 在()ln ,a +∞上单调递减，所以()()ln 0g x g a <=，故()()()1222ln f x f x f a x =<-，则122ln x x a +>.。
浙江省数学高二下学期理数期中考试试卷
浙江省数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）“复数为纯虚数”是“”的（）A . 充分条件，但不是必要条件B . 必要条件，但不是充分条件C . 充要条件D . 既不是充分也不是必要条件2. （2分）用反证法证明“若a，b，c<3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为（）A . 假设a，b，c至少有一个大于1B . 假设a，b，c都大于1C . 假设a，b，c至少有两个大于1D . 假设a，b，c都不小于13. （2分） (2018高三上·南阳期末) 已知是关于的方程（）的一个根，则（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·东城模拟) 据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1 ， a2 ， a3 ，…，an ，和b1 ， b2 ， b3 ，…，bn ，令M={m|am＜bm ， m=1，2，…，n}，若M中元素个数大于 n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：A B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是（）A . 若A B，B C，则A CB . 若A B，B C同时不成立，则A C不成立C . A B，B A可同时不成立D . A B，B A可同时成立5. （2分）设 ,若 ,则（）A .B .C .D .6. （2分）若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为；②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（）A . 48B . 72C . 168D . 3127. （2分）(sinx-cosx)dx=（）A . 2B . 4C . πD . 2π8. （2分） (2015高二下·宁德期中) 若f（x）=2xf′（1）+x2 ，则f′（0）等于（）A . 2B . 0C . ﹣2D . ﹣49. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷文) 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A . 乙可以知道两人的成绩B . 丁可能知道两人的成绩C . 乙、丁可以知道对方的成绩D . 乙、丁可以知道自己的成绩10. （2分） (2019高二下·湘潭月考) 已知是函数的导函数，，，，则不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2020高三上·南漳期中) 已知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则 ________.12. （1分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次冥项的系数之和为32，则a=________ 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浙江省高二下学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）
A . -2
B . 2
C . -4
D . 4
2. （2分） (2019高二上·沧县月考) “ ”是“曲线为焦点在x轴上的椭圆”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
3. （2分）下列函数为奇函数的是（）
A .
B . y=
C . y=xsinx
D . y=log2
4. （2分）用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到（）
A . 1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B . 1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C . 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D . 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
5. （2分）从,六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位奇数，有（）种取法
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2018高二上·山西月考) 设函数为奇函数, 且在内是减函数, , 则满足的实数的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高二下·海南期末) 已知离散型随机变量X的分布列如表：
X﹣1012
P a b c
若E（X）=0，D（X）=1，则a，b的值分别为（）
A . ，
B . ，
C . ，
D . ，
8. （2分）(2016·山东理) 若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）
A . y=sinx
B . y=lnx
C . y=ex
D . y=x3
9. （2分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）
A . 2
B . 2
C . 4
D . 4
10. （2分） (2020高一上·长沙期中) 已知，函数，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、双空题 (共3题；共4分)
11. （1分） (2017高二上·定州期末) 已知非空集合A、B满足以下四个条件：
①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．
若集合A含有2个元素，则满足条件的A有________个．
12. （1分）(2018·浙江模拟) 已知随机变量的分布如表所示，则 ________， ________．
1
P m
13. （2分） (2020高二下·北京期中) 把6块相同的牛排分给4位同学，每人至少一块，有________种分法．
三、填空题 (共4题；共4分)
14. （1分）在（3﹣x）5的展开式中，含x3的项的系数是________ 用数字作答）
15. （1分）函数的单调增区间是________.
16. （1分） (2019高二上·辽宁月考) 已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆：
上，则的最小值是________；此时坐标为________．
17. （1分） (2019高二下·长春期末) 若函数有且只有一个零点，则实数的值为
________.
四、解答题 (共5题；共50分)
18. （10分） (2016高二下·大丰期中) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．
（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；
（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．
19. （10分） (2016高二上·自贡期中) 如图，菱形ABCD的边长为2，△BCD为正三角形，现将△BCD沿BD 向上折起，折起后的点C记为C′，且CC′= ，连接CC′，E为CC′的中点．
文科：
（1）求证：AC′∥平面BDE；
（2）求证：CC′⊥平面BDE；
（3）求三棱锥C′﹣BCD的体积．
20. （10分） (2018高二上·沭阳月考) 已知函数在处的切线方程为
（1）求的解析式；
（2）若对任意的均有求实数k的取值范围；
（3）设为两个正数，求证：
21. （10分） (2016高三上·成都期中) 设函数f（x）=﹣2cosx﹣x+（x+1）ln（x+1），g（x）=k（x2+ ）．其中k≠0．
（1）讨论函数g（x）的单调区间；
（2）若存在x1∈（﹣1，1]，对任意x2∈（，2]，使得f（x1）﹣g（x2）＜k﹣6成立，求k的取值范围．
22. （10分）(2018·自贡模拟) 已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若有极值，对任意的，当，存在使，试比较与的大小.
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
二、双空题 (共3题；共4分)答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、
解析：
答案：13-1、
考点：
解析：
三、填空题 (共4题；共4分)答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
答案：17-1、
考点：
解析：
四、解答题 (共5题；共50分)答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、答案：19-2、
答案：19-3、考点：
解析：
答案：20-1、答案：20-2、
答案：20-3、
考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、考点：
解析：。