方程的根与函数的零点(公开课)
2018-2019学年人教A版高中数学必修1课件：3.1.1函数的应用
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
函数的零点与方程的根.ppt
例 6 （ 上 海 02 高 考 ）、 已 知 函 数
f
(x)
ax
x2 x 1
a
1。
(1)求 f(x)单调区间。
(2)若 a=3,求证方程 f(x)=0 有且仅有一个正根。
解:(1)定义证明.(2)因在 (1,) 为增函数,
故在 (0,) 为增,又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 以在(0,1)有且只有一个正根.下用二分法 约为 0.28(列表,区间,中点,中点函数值)
求函数F( x) f ( x) g( x)的零点可转化为 求函数y f ( x)与y g( x)图像交点的横坐标
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳：1、一元二次函数、不等式、方程的关系
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a 0 ）的 图象
一元二次方程
ax2 bx c 0
a 0的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1 x2 )
x1
x2
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
x
x
b 2a
无实根 R
ax2 bx c 0
例7 已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m
－1，g(x)＝x＋ex2(x>0)． (1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范
围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)
＝0有两个相异实根．
y f (x) 有零点（即横坐标）。
若函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相切，则零点 x0为不变号零点若函数f(x)的图像在x=x0处与x 轴相交，则零点x0为变号零点
《方程的根与函数的零点》 说课稿(附教学设计)
《方程的根与函数的零点》说课稿一、教材分析普通高中课标教材必修1共安排了三章内容，第一章是《集合与函数的概念》，第二章是《基本初等函数（Ⅰ）》，第三章是《函数的应用》。
第三章编排了两块内容，第一部分是函数与方程，第二部分是函数模型及其应用。
本节课方程的根与函数的零点，正是在这种建立和运用函数模型的大背景下展开的。
本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据，这两者显然是为下节“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务的，同时也为后续学习的算法埋下伏笔。
由此可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节意义重大。
函数在数学中占据着不可替代的核心地位，根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。
方程本身就是函数的一部分，用函数的观点来研究方程，就是将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，并学会用联系的观点解决问题，为后面函数与不等式和数列等其他知识的联系奠定基础。
二、教学目标分析本节内容包含三大知识点：一、函数零点的定义；二、方程的根与函数零点的等价关系；三、零点存在性定理。
结合本节课引入三大知识点的方法，设定本节课的知识与技能目标如下：1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.本节课是学生在学习了函数的性质，具备了初步的数形结合知识的基础上，通过对特殊函数图象的分析进行展开的，是培养学生“化归与转化思想”，“数形结合思想”，“函数与方程思想”的优质载体。
结合本节课教学主线的设计，设定本节课的过程与方法目标如下：1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。
方程的根与函数的零点
学
且f(a) · f(b)﹤0,且是单调函数, 那么这个函数在(a,b)内必有唯一
的一个零点。
达
标
温 函数零点方程根， 馨 数形本是同根生。 提 函数零点端点判，
示 图象连续不能忘。
例1.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点所在区间及个数？
导 解：计算出x、f(x)的对应值表
增函数
x1 2 3 4 56 7 8 9
(2) 函数f x ax 2只有一个零点2，则a
标 A.1 B. 1 C. 0 D. 无法确定
(3) 已知函数的图象是连续不断的，对应关系见下
测 表，则函数在区间 1,6上的零点至少有（ ）
x1 2 3 4 5 6
评
y 12
A.法国十六世纪最有影响的数学家之一。 第一个引进系统的代数符号，并对方程论做 了改进。韦达讨论了方程根的各种有理变换， 发现了方程根与系数之间的关系即“韦达定 理” 。
问题·探究
前 问题1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应
的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴 的交点坐标
提
方程 x2－2x－3=0 x2－4x+4=0 x2－2x+3=0
学 f x 负 负 正
由上表可知 f(2)<0, f(3) >0，
达
即f(2)·f(3)<0，
∴这个函数在区间[2,3]有零点。
又∵函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，
标
∴它仅有一个零点。
导 应用研究
求函数 f (x) ln x 2x 6 的零点个数．
学 解法二、函数 f (x) ln x 2x 6 的零点个数 方程 ln x 2x 6 0 的解的个数
方程的根与函数的零点(公开课)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
课堂练习3
1．函数 f (x) x3 3x 5的零点所在的大致区间为（ ）
A．（-2,0） B．（1,2） C．（0,1） D．（0,0.5）
小结
函数旳零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0旳实数x 叫做函数 y=f(x)旳零点。
概念反思
问题1:函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）f（b）＜0，那么函数f（x）
在区间（a，b）上是否一定存在零点，请举例阐明。
问题2:函数f（x）在区间(a，b）上有f（a）f(b）＜0，且有零点，那么一
定只有一种吗？请举例阐明。
问题3:函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？
引例1:判断下列方程是否有跟，有几种实数根？
（1） x2 2x 3 0
（2） x2 2x 1 0
（3） x2 2x 3 0
知识探究（一）：方程旳根与函数旳零点
方程 函数
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
函
数
y
.
.
旳
2
图
.1 .
－1 0 1 2 3 x
象
－1 －2
－3
. －4
方程旳实数根 x1=－1,x2=3
函数旳 图象
(-1,0)、(3,0)
y
.2
.
1. .
. －1 0 1 2
x
x1=x2=1 (1,0)
y
.5 4
.
方程的根与函数的零点教案
方程的根与函数的零点教案方程的根与函数的零点教案「篇一」知识与技能1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2．结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3．结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．过程与方法1．通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2．通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3．通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4．通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．情感、态度与价值观1．让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2．培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3．使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．教学重点与难点教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．教学的方法与手段授课类型新授课教学方法启发式教学、探究式学习。
方程的根与函数的零点教案「篇二」教学目标：1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2、理解函数的零点与方程的联系。
3、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。
教学重点、难点：1、重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。
2、难点：函数零点存在的条件。
教学过程：1、问题引入探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
一元二次方程方程的根二次函数图像与X轴的交点x2-2x-3=0x1=-1，x2=3y=x2-2x-3（-1，0），（3，0）x2-2x+1=0x1=x2=1y=x2-2x+1（1，0）x2-2x+3=0无实数根y=x2-2x+3无交点（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像归纳：（1）如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；（2）如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。
说课比赛 方程的根与函数的零点 说课稿
意图：一方面通过选择题促进 学生对定理的活用，另一方面 为突破后面的例题铺设台阶．
综合应用，拓展思维 6、例题讲解
零点存在性定理的应用： 例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数，并确定 零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)
x f(x) 1 2 3 4 5 6 7
y 10 8 f(x)=lnx+2x－ 6 6 4 2 x
—— 说课过程 ——
为学习 二分法 打基础 函数零点 与方程根 的关系 函数方程 思想 函数零点 存在性 定理 体现认识 规律
函数零点 概念
★ 教学重点：了解函数零点概念；掌握函数零点存在性定理
1
学生具备必要的知识与心理基础 基本初等函数→看图识图能力 函数用于方程→心理情感基础 学生缺乏函数与方程联系的观点 对函数的不适→孤立函数知识 建立联系观点→树立应用意识 直观体验与准确理解定理的矛盾
辨析讨论，明确概念 3、函数零点概念及其与对应方程根的关系
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点 零点．
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点 零点． 问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？ 问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？
y= lnx
O 1234 x
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数， O 123456 所以它仅有一个零点． -2
-4
y=－2x +6
意图：通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法 确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数．
总结整理，提高认识 一个关系：函数零点与方程根的关系: 函数 方程
方程的根与函数的零点优秀公开课教案(比赛课)
课题: 《方程的根与函数的零点》一、教学目的: 1、知识与技能：(1)、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一次函数、二次方程、复合函数……），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者的关系；(2)、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；(3)、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间； (4)、体会函数与方程和数形结合的思想。
2、过程与方法：培养学生观察 、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。
3、情感态度与价值观：在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。
二、教学重难点重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点判断方法； 难点：探究并发现零点存在性定理及其应用三、教学过程1、创设问题情境，引入新课 问题1 求下列方程的根(1)、3x +2=0； (2)、0322=--x x ； (3)、062=-+x Inx ；师生互动:问题1让学生通过自主解前2小题，复习一元一次方程与一元二次方程根情形。
第3小题学生自主完成遇到困难，合作交流用所学的知识也无法解决设计意图:问题1（4）引发认知冲突，激起学生强烈的求知欲，认识到学习新知识，探索新方法的必要性，同时为后面引出零点存在判定方法埋下伏笔。
问题2设计意图:利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系。
并通过上表得出：一元二次方程的实数根=二次函数图像与x 轴交点的横坐标（方程根的个数是对应函数图像与X 轴交点的个数）。
问题3：完成表格，并观察一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与相应二函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象与x 轴交点的关系？师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。
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2 x －2x+3=0 x －2x+1=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
x2－2x－3=0
2
y
y
.
. －1
y
2 1
.
－1
.
x
－1
2 1
. . . .
2
.
3 2 1
5
.
4
0
1
2
.
.
1
.
2
.
3
－3 －4
－2
0
1
x
－1
0
3
x
.
方程的实数根 x =－1,x =3 1 2
函数的图象 与x轴交点坐 标
就是相应函数的图像与x轴有几 个交点，并且交点的横坐标就 是方程的根.
lnx+2x-6=0
y=lnx+2x-6
y
14 12 10 8 6 4 2 0 －2 －4 －6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
.
..
.
.
.
.
.
x
.
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点。
生活实例：观察下列两组画面,设A点为人 的起点，B点为人的终点。并推断哪一组能 说明人的行程一定曾渡过河？
B 第 一 组
A
B
第 二 组
知识探究: 函数零点存在性原理
问题探究
观察函数的图象
①在区间(a,b)上______( 有 有/无)零点；
有 有/无)零点； ② 在区间(b,c)上______(
作 业 布 置
课堂作业：
1：习题3.1：A组，第2题
2：P88 练习 第1题
家庭作业：
分层训练
间(a, b)内有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也
就是方程f(x) = 0的根．
概念反思
判断1:函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）f（b）＜0，那么函数f
（x）在区间（a，b）上是否一定存在零点，请举例说明。
判断2:函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定有f(a)· f(b)<0吗？
x1=x2=1
无实数根
(-1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
问题2：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方
程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍 然成立？
判别式 △ =b2－4ac 方程ax2 +bx+c=0 (a>0)的根
△＞0 两个不相等 的实数根x1 、x2
y
△=0
例3. 已知函数f ( x)的图像是连续不断的，有 如下表所对应值：
X f(x) 1 23 2 9 3 -7 4 11 5 -5 6 -12 7 -26
那么函数 f ( x) 在区间 1,7 上的零点至少有 _____ 3个。
课堂练习
1．函数 f ( x) x3 3x 5的零点所在的大致区间为（C ）
请举例说明。
判断3:函数f（x）在区间(a，b）上有f（a）· f(b）＜0，且有
零点，那么一定只有一个吗？请举例说明。
零点的存在性定理
f ( x )在 a , b上连续
f ( x )在 a , b上单调
f (a ) f (b) 0
f ( x )在a , b 有 唯一 零点
零点是一个点吗?
注意：零点指的是一个实数，而不是点。
等价关系
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点.
例1：函数f(x)=x-2的零点是（ ） (A)(2,0) (B)(0,2) (C)2 (D)0 例2：求下列函数的零点 (1)f(x)=2x-1 (2)f(x)=x2-5x+4 (3)f(x)=x3-1
A． （-2,0）
B． （0,1）
C． （1,2）
D． （2,3）
解：
∵ f(1)=1, f(2)=-9 ∴ f(1) ·f(2)<0 ∴函数的零点所在的大致区间为（1,2）
小结
1 函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
2 等价关系： 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 3 函数零点存在定理： 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲 线,并且有f(a)· f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零 点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也 就是方程f(x) = 0的根．
解:由f(x)=2x-1=0， 解：由f(x)=x2-5x+4=0 解：由f(x)=x3-1=0 解得x=0, 解得x=1, 解得x1=1, x2=4 所以函数的零点为0 所以函数的零点为1和 所以函数的零点为1 4
c
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
f(a).f(b)_____0 < （＜或＞）．
无 有/无)零点； ③ 在区间(c,d)上______(
f(c).f(d) _____ < 0（＜或＞）．
f(b).f(c) _____ < 0（＜或＞）．
零点存在定理：
如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区
有两个相等的 实数根x1 = x2
y
△＜0
没有实数根
y
函数y= ax2 +bx+c (a>0)的图象
x1
0
x2
x
0 x1
x
0
x
函数的图象与 x 轴的交点坐标
(x1,0) , 点
问题3：只有二次函数才有这个结论 吗？ 一次函数行不行？ 那所有的函数呢?
结论：一个方程有几个根，也
合肥市肥东圣泉中学
李玉龙
引例 解方程 x=-2/3 (1)3x+2=0
y=3x+2
x2=3 y=x2-5x+6
(2)x2-5x+6=0
(3)lnx+2x-6=0
x1=2
?
y=lnx+2x-6
问题1：观察下表，求出一元二次方程的实根，画出相应二次函数的图像，并写 出函数的图像与x轴交点的坐标
方程
函数 函 数 的 图 象