黄金比例浅论
黄金比例设计
在书籍装帧设计中，黄金比例的运用可以使封面更加美观，增强读 者的阅读体验。
商标设计
商标设计中运用黄金比例，可以使商标更加易于识别和记忆，增强品 牌形象。
著名建筑设计案例
1 2
古希腊帕特农神庙
帕特农神庙的立面高与宽的比例为19:31，接近 黄金比例，使得建筑更加优美、庄重。
巴黎埃菲尔铁塔
节能减排的设计理念
在设计中注重节能减排，可以降低能耗和减少碳排放。
循环再利用的设计思路
注重产品的可循环再利用性，可以提高资源的利用率和减少浪费。
未来发展趋势预测
智能化设计的普及
随着人工智能技术的发展，智能化设计将成为未 来黄金比例设计的重要趋势之一。
定制化设计的兴起
未来黄金比例设计将更加注重个性化和定制化， 满足不同用户的需求。
通过元素的大小、形状、方向、位置等变化，形成有规律的重复和对比，产生节 奏感。
韵律感
在节奏的基础上，运用渐变、交错、重复等手法，使设计作品具有优美的韵律感 。
色彩搭配技巧
黄金比例配色
按照黄金比例（约1:1.618）进行色彩搭配，使画面色彩和谐、 统一。
色彩对比与调和
运用色彩的明度、纯度、色相等对比手法，同时注重色彩的 调和与过渡，使画面丰富多彩又和谐统一。
符号学意义
黄金比例在符号学中具有特殊的意义，代表着和谐、完美和神圣 等抽象概念。
04 黄金比例设计原则与技巧
对称与均衡原则
对称设计
以中心线或中心点为基准，两侧 元素呈镜像对称，带来稳定、庄 重的视觉效果。
均衡设计
元素在视觉上达到平衡，不一定 完全对称，但整体感觉和谐、稳 定。
节奏与韵律把握
节奏感
关于黄金比的知识
关于黄金比的知识
// 黄金比（Golden Ratio）是一种在设计中常常使用的美学原理，它可以有效提升创意，并在设计或视觉上更加美观。
黄金比源自古希腊数学家们发现的一个独特的比值1:1.618。
这个比值极其精确，几乎可以在自然中找到许多性质和形状上的例子。
在艺术和建筑古典文化中，黄金比也被广泛使用。
古希腊哲学家本杰明·富兰克林提出，黄金比的重要性不仅在于它的比值，而且在于它的表现形式。
黄金比被认为是可以自然整合的，它可以更好地将细节整合在一起，以形成鲜明的对比和对称性。
这个比值也可以更好地满足视觉效果和空间本质的要求，增强美学审美感受。
科学家们也研究黄金比的及其它物体的特性，将其用于各种事物的设计中，其中包括建筑、产品轮廓、人体构造等。
许多人都发现，这种比值可以提升设计的清晰度、美观性和对比度，从而提升景观的美感。
除了在设计中使用外，黄金比也被用来说明物理学、数学和科学等方面的概念。
黄金比甚至可以被用来说明人类视觉系统在测量大小、距离和其他因素时产生的真实结果。
比如，当人们观看物体时，他们会不自觉地把重点放在黄金比1:1.618上。
因此，使用黄金比可以让被观察者不自觉地感受到更加柔和和舒适的视觉效果。
总之，黄金比是一种非常重要的设计原则，可以提高设计的质量，增加视觉吸引力。
它不仅拥有现代设计的美学表现力，而且还可以揭示自然界的宏伟与精细，甚至可以改善人的视觉审美感受。
无论是平面设计，还是室内设计，黄金比都可以被用来制作更好的作品。
黄金比例探究
黄金比例探究
黄金比例是一个定义为 (√5-1)/2的无理数。
黄金比例约为： 0.618：1
把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金比例，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：
0.618/1=0.618
1/(1+0.618)=0.618
这个数值的作用不仅仅存在于诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
黄金比例在自然界的应用
黄金比例，也被称为黄金分割、黄金比例、黄金尺度，是指两个数字的比例关系等于它们的和与较大数之比的关系，即a/b = (a+b)/a = 1.61803。
黄金比例广泛存在于自然界的各个领域中，它不仅赋予了自然界一种美感，也为设计和艺术领域提供了灵感和指导。
黄金比例在自然界中的应用可以追溯到几千年前的古希腊文化。
古希腊建筑师和数学家发现，黄金比例在建筑物的比例上，能够使建筑更加和谐美观。
例如，帕台农神庙被认为是建筑艺术中的一座杰作，它的长宽比例就接近黄金比例。
同样的原理也应用于许多古希腊雕塑作品中，如米洛的维纳斯和尼克斯。
黄金比例也在植物的生长模式中得到体现。
许多植物的枝干、叶片、花朵和果实之间的大小和位置关系都符合黄金比例。
例如，菊花的花瓣的数量往往是黄金比例的一部分。
这种自然界中的黄金比例使得植物更加美丽和吸引人。
动物界也可以找到黄金比例的影子。
蜜蜂的身体比例接近黄金比例，从头到尾的比例同样是1.61803，这给予它们一种独特的外形美感。
此外，一些海洋生物如海螺的壳也具有黄金分割的特征。
黄金比例还在自然界的地形中得到应用。
许多河流和山脉的比例关系也符合黄金比例。
黄金比例的存在使得这些地形更加优美和和谐。
此外，一些著名的自然景观如大峡谷、国家公园等的比例也符合黄金比例。
最后，黄金比例在自然界的应用也可以在数学和科学中找到。
例如，在斐波那契数列中，第n个数与第n-1个数的比值趋近于黄金比例。
斐波那契数列在数学和计算机领域中具有重要的应用。
综上所述，黄金比例广泛存在于自然界的各个领域中，包括建筑、植物、动物、地势等。
它赋予了自然界以美感和和谐，并为设计和艺术领域提供了灵感和指导。
黄金比例的存在不仅仅是偶然性的，它凝聚了宇宙的奥秘和数学的美感，成为人们探索自然和创造艺术的源泉。
九年级上册黄金比例知识点
九年级上册黄金比例知识点黄金比例，也称为黄金分割、黄金分割比例，是数学中一种特殊的比例关系。
黄金比例常常被用于美学、建筑、艺术等领域，被认为具有美感和和谐感。
下面将介绍九年级上册黄金比例的相关知识点。
1. 黄金比例的定义黄金比例是指两个数之比等于较大数与较小数之比的关系。
假设，较大数除以较小数等于较小数除以较小数减去较大数，结果接近1.61803。
这个数被称为黄金比例或黄金分割比例。
2. 黄金比例的性质黄金比例具有一些特殊的性质：- 黄金比例是无理数，其近似值为1.61803。
- 黄金比例具有对称性，即a/b = b/(a-b)。
- 黄金比例可以用连分数表示：1.61803 = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...)))。
- 黄金比例的平方等于它自身加1，即(1.61803)^2 = 1.61803 + 1。
- 黄金比例具有稳定性，意味着它可以在图形、构图和比例关系等方面产生美感。
3. 黄金比例的应用黄金比例广泛应用于各个领域：- 建筑：许多古代和现代的建筑都采用黄金比例，如希腊神庙和高耸的摩天大楼。
黄金比例可用来设计建筑的比例和构造，以获得和谐美感。
- 绘画和艺术：许多著名的艺术品和绘画作品使用黄金比例来确定画面的构图、比例和细节安排。
这种比例关系可以帮助艺术家达到视觉上的平衡和美感。
- 自然界：一些自然界的事物也呈现黄金比例，如植物的分枝结构、叶片的排列方式，甚至是人体的各个部分的比例关系。
- 金融投资：在金融领域，黄金比例可以被用于预测股市和定量金融分析。
4. 黄金比例的数学推导黄金比例可以通过数学推导来获得，其中最著名的方法是通过求解二次方程x^2 = x + 1而得到。
这个方程的解即为黄金比例。
总结：黄金比例是数学中一种特殊的比例关系，被广泛应用于美学、建筑、艺术等领域。
它具有美感和和谐感，并且在自然界和金融投资等领域也发挥着重要作用。
黄金比例的数学推导可通过求解二次方程而得到。
数学小论文2篇
数学小论文标题：黄金比例及其在自然界和艺术中的应用摘要：本文探讨了黄金比例的定义、性质和在自然界和艺术领域中的应用。
黄金比例是指尺寸比例为1：1.618的比例关系，它在数学、自然界和艺术中都起到重要作用。
在本文中，我们首先介绍了黄金比例的历史背景和定义；然后，分析了黄金比例的特性和性质；最后，探讨了黄金比例在自然界和艺术中的应用，例如在植物、动物和建筑等领域中的普遍存在。
本文旨在加深对黄金比例的认识，并探讨其在不同领域的应用，以期对读者提供进一步的思考和研究方向。
第一篇：黄金比例的历史与定义引言：黄金比例是指尺寸比例为1：1.618的比例关系，其在数学、自然界和艺术中都具有重要的地位。
黄金比例的起源可以追溯到古希腊时期，被广泛运用于建筑和绘画中。
本篇论文将从历史和定义两个方面探讨黄金比例的内涵。
1. 历史背景1.1 古希腊的发现1.2 黄金比例的命名1.3 黄金比例的传播和应用2. 黄金比例的定义2.1 黄金比例的数学表示2.2 黄金比例的特性与性质2.3 黄金比例与斐波那契数列的关系结论：通过对黄金比例的历史和定义的探讨，我们可以更加全面地了解黄金比例的概念和基本性质。
进一步的研究将以深入剖析黄金比例在自然界和艺术中的应用为目的。
第二篇：黄金比例在自然界和艺术中的应用引言：黄金比例在自然界和艺术中的应用广泛，无处不在。
本篇论文将探讨黄金比例在植物、动物和建筑等领域中的应用，以揭示黄金比例在各个领域中的普遍存在。
1. 黄金比例与植物1.1 花朵和果实的排列1.2 树叶和树枝的分布1.3 植物的生长规律和形态构造2. 黄金比例与动物2.1 动物的身体结构2.2 动物和黄金比例的关联性2.3 动物的运动和黄金比例的联系3. 黄金比例与建筑艺术3.1 古希腊建筑中的运用3.2 大教堂和金字塔的构造3.3 现代建筑中的黄金比例运用结论：黄金比例在自然界和艺术中的应用是多样且广泛的。
通过对黄金比例在植物、动物和建筑领域的应用的研究，我们可以更好地理解自然界和艺术作品中的和谐美感。
黄金比例风格美学
黄金比例风格美学黄金比例风格美学，是一种古希腊时期发展起来的艺术原则，也被称为“黄金分割”或“黄金比例”。
它是通过规定形状、比例和比例关系来创造一种视觉上的和谐美感的美学理论。
黄金比例在建筑、绘画、雕塑和设计等艺术领域广泛应用。
黄金比例的具体比例是1：1.618，或者约为0.618：1，可以简单表达为A:B = B:(A+B)。
这个比例被认为是最能产生视觉和谐感的比例关系。
黄金比例的分割点取决于形状和比例的具体要求，但总体上遵循这个比例关系。
在建筑领域，黄金比例可以应用于建筑物的整体形状、窗户和门的尺寸、柱子的高度等方面。
比如，帕特农神庙是一个著名的应用黄金比例的古希腊建筑，其整体形状和各个部分都符合黄金比例的规律。
黄金比例的运用使建筑更加和谐美观。
在绘画和雕塑领域，黄金比例可以用于确定画面或雕塑的构图和比例关系。
比如，黄金矩形是一种基于黄金比例的矩形，它被广泛用于绘画和摄影中的构图原则。
通过将画面分割成若干黄金矩形，可以使视觉焦点集中在画面中最重要的部分上，从而达到更好的视觉效果。
同样，雕塑也可以运用黄金比例来确定各个部分的比例关系，创造出更加和谐的造型。
在设计领域，黄金比例可以应用于字体设计、标志设计、产品设计等方面。
比如，Helvetica字体就是一种基于黄金比例的字体设计原则。
黄金比例的运用使得字体更加舒适和和谐。
此外，黄金比例还可以用于标志设计中的形状和大小的比例关系，以及产品设计中的形状和尺寸的比例关系。
总体而言，黄金比例风格美学强调形状、比例和比例关系的和谐与平衡。
它可以用于各种艺术领域，帮助艺术家和设计师创造出更加美观和令人愉悦的作品。
黄金比例的运用可以使作品更加有吸引力和引人注目，从而促进观众的情感共鸣和认可。
然而，值得注意的是，黄金比例虽然是一种有价值的美学原则，但并不是唯一的标准，艺术家和设计师们在创作时还应根据具体情况和需求进行灵活运用。
浅谈黄金比例
浅谈黄金比例
想像一個〝看起來最為協調〞的長方形，長寬比例應該為多少呢？
如圖，長方形abcd和長方形defc應該有相同的長寬比（其中長方形defc為長方形abcd去掉正方形abfe之後的新長方形）。
假設長方形abcd長為l，寬為w，則長方形defc長為w，寬為l-w，lw w w於
是存有w2+lw-l2=010wl w l l2
令x=w1≒0.618x2+x-1=0解得正根為x=l2
也就是說寬長比為1≒0.618時，長方形〝看起來最為協調〞；2
而在數學上符合這個數值的比例稱為黃金比例。
對人體而言，如果下半身（從腳底至肚臍）與体重的比值愈吻合這個數值，愈給人存
有均勻美的感覺，可是的就是通常人的比值約只有0.58~0.6左右（比如a小姐下半身96㎝，体重160㎝比值即為0.6）。
這就解釋了為什麼女生喜歡穿高跟鞋的疑問了！假設a
上3吋（=7.62㎝）的高跟鞋，則a小姐變為下半身103.62㎝，体重167.62㎝比值
變為0.618，在視覺上更顯的比例均勻而更美了。
但是，高跟鞋不符合人體力學，對發育中的青少年更是不好，所以穿著之前還請三思！。
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篇名：黃金比例淺論作者：王道元。
私立明道高中。
直升3班翁偉哲。
私立明道高中。
直升3班彭逸豪。
私立明道高中。
直升3班壹●前言100多年前一位心理學家，做了一個有趣的實驗，他精心設計出3個不同的矩形，然後邀請許多朋友來參觀，請他們選出自認最美的矩形。
(註一)結果他的朋友大都選擇乙，為什麼？是因為乙的比例均勻嗎？又為何他們會下意識認為乙的比例均勻呢？20世紀數學家薩騰曾說：「我看到了宇宙中有一種秩序存在，而數學是令它現身的方法之一。
」矩形乙的邊長比，是個近似黃金比例的數值。
黃金比例，雖然沒有π常見，部份時候甚至只是配角，但不論如何相比，π都太「嚴肅」了。
計算π的級數，最準確者即可求至48位小數，而黃金比例只牽涉到5的平方根。
獨獨只有5被選中，這也是它吸引人之處。
黃金比例不僅只在數學上被發現，在生活和大自然裡參上一腳更是稀鬆平常。
從模特兒的標準身高比，我們時常在畫的五角星，到玫瑰花瓣、鳳梨的外皮鱗片，甚至巨大星系、繪畫與詩歌創作…等等。
黃金比例幾乎已可說是「不請自來」，深深和我們結合在一起。
十六世紀初，人們甚至稱黃金比例為「神的比例」、「美的規範」，但它是否真的在任何地方都能見到？古今名畫，難不成都有黃金比例在其中？連古埃及金字塔、雅典的帕德嫩神廟，也是依黃金比例設計？事實上，只有極少數藝術家運用了黃金比例。
即使黃金比例被譽為「美的規範」，但人們對於美的觀念又豈止是一個數字比例能控制？黃金比例的地位，乃是在意想不到的自然現象及數學中出現，而把一大堆表面上風牛馬不相及的事物或學門，聯繫在一起。
本組的小論文將淺論黃金比例在各現象中的出現。
貳●正文黃金比例又稱黃金分割，是一種數學上的比例關係。
黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。
應用時一般取0.618或1.618，就像圓周率在應用時取3.14一樣。
(註二)表示這個值。
黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。
例如：1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
因為：另外維納斯這座雕像之所以讓世人覺得她充滿美感，是因為她的下半身和上半身的比例是「黃金比例」，所謂「黃金比例」即大約1.618：1。
至於她為什麼斷臂而給世人留下種種猜想，平添了歷史和文學史上的美麗和羅曼蒂克；有許多藝術家都想給她接上新的雙臂，最後才發現是徒勞無用的。
因為殘缺沒有手臂，反而給人留下更豐富的想像力。
她似乎留給人一種哲學上的思考，就是任何事物都是不完美的、都有它的缺陷；正因為有缺陷，所以我們才追求完美。
(註九)(註十)4、兔子的繁殖許多唸數學、科學、藝術的學生都聽過費波納奇的大名，這全拜下面這個出現於《算盤之書》第十二章的問題。
某人放了一對兔子在一個四面被牆包圍的地方。
假設每個月每一對兔子會生出一對兔子，而新生的兔子一個月後又能再生一對兔子，那麼一年當中，會生出多少對兔子？兔子後代的數目怎麼會引發這麼重要的數學結果?其實，這個問題相當簡單。
我們先從一對兔子開始。
一個月後，這第一對兔子生出另一對，因此有兩對。
第二個月後，長大了的小兔又生出另一對嬰兔;因此有了三對。
第三個月以後，兩對成兔又各生出一對，加上已經長大的嬰兔，因此共有五對。
第四個月以後，這三對成兔又各生出一對，加上長大了的兩對嬰兔，因此共有八對兔子。
現在，我們已經瞭解如何在一連串的月份中獲得成兔對、嬰兔對，以及加總起來的兔子對的數目。
假設我們只看某個月成兔對的數目；那麼這個數目等於前一個月的成兔對的數目，加上長大了的嬰兔對的數目。
可是，前一個月生的嬰兔對的數目其實就等於前前一個月的成兔對的數目。
因此，自第三個月起的任何一個月，成兔對的數目簡單地說，就是前兩個月中所有成兔對的總數。
所以，成兔對的數目依序為：1，1，2，3，5，8，……。
您可以很容易看出，嬰兔對的數目也順著同一個序列，只是相隔了一個月。
也就是說，嬰兔對的數目是：0，1，1，2，3，5，8，……。
當然，兔對的總數就是這二者之和，它得出和成兔同樣的序列，只是略去了第一項，也就是1，2，3，5，8，……。
這個從第三項起，每一項等於前兩項之和的序列(1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……)，於第十九世紀時被法國數學家路卡斯取了一個頗適合的名字:費波納奇序列。
一個可以用數學式表達其相鄰項之間關係的序列，稱為遞迴序列。
費波納奇序列是歐洲人所知道的第一個遞迴序列。
費波納奇序列的一般屬性，即每一項等於前兩項之和，可以用下列數學式表達(其符號於一六三四年被數學家紀拉德所採用):Fn+2 = Fn+1 + Fn。
Fn代表這序列中的第n個數字(例如，Fs就是第五項)；Fn+1就是Fn下面的數項(如果n=5，n+1=6)，而Fn+2在Fn+1的後面。
費波納奇的名字之所以在今天這麼有名，是因為費波納奇序列的應用遠遠超過兔子的範疇。
接下來，我們會在許多令人難以置信的各種看似無關的現象中，遇到費波納奇序列。
(註11)5、巨大星系令人大吃一驚的是，出現在單細胞有孔蟲類、向日葵花，和遊隼飛行路徑的同樣螺旋形狀，竟然也出現在那些遠在被人觀測到之前，就被哲學家康德以理論臆想出來的「聚集在同一平面的恆星系統，就像銀河系中的一樣」。
它們後來被稱為「島宇宙」-指含有上千億個像我們太陽的恆星的星系。
用哈伯望遠鏡得到的觀測結果顯示，在可觀測宇宙中有一千億個這樣的星系，其中有許多是「旋渦星系」。
您幾乎想像不出有誰對於這個宏偉的珍奇美景的描述，勝過英國詩人及畫家，也是神祕主義者的布雷克。
他寫道:一沙一世界，一花一天堂，雙手掌握無限，剎那便是永恆。
為什麼有這麼多的星系出現螺旋的模式?我們自己的太陽系處於一個稱為「銀河」的旋渦星系中。
旋渦星系呈扁平碟形(像個薄薄的煎餅)，由氣體、塵埃與恆星所組成。
整個銀河系圓盤就繞著它的核心旋轉。
譬如，太陽鄰近地區以每秒一百四十英里的速度繞著銀河系核心旋轉，二億二千五百萬年繞轉一圈。
繞轉速度隨著核心距離的遠近而異，愈近愈快，反之愈慢。
從正面望去，我們可以看到螺旋星系的旋臂，旋臂起源於核心附近，然後逐漸向外延伸穿過整個星系圓盤。
旋臂為星系圓盤的一部分，許多年輕恆星在此誕生。
由於年輕恆星有最亮的的亮度，因此我們能夠看見在它們後面的其他星系的螺旋結構。
天文物理學家必須要回答的一個基本問題是：旋臂如何經過長時間保持它們的形狀不變，因為圓盤內部成員的速度高於外部者，而且任何大型模式不知怎麼地會與圓盤中的物質(例如，恆星)黏上，以致無法維持很久。
旋臂長壽的原因顯然與密度波-氣體壓擠所致，並穿越整個星系圓盤-有關，密度波沿途擠壓氣體雲，同時也引動了新恆星的形成。
我們所觀測到的這個螺旋模式，標示出了圓盤中比一般來得稠密的地區以及它的新生恆星。
因此這種模式會不斷重複再生，永不結束。
這種情況就和高速公路上發生修車事故時，沿途觀察到得景象相似-距離修車現場愈近，車子愈壅塞，因為車子開到這裡必須放慢速度經過。
就像交通的密度波與車型無關，旋臂的模式也與圓盤物質無關。
另外一個相似性是，密度波穿越圈盤時的速度要比恆星和氣體的運動來得慢，這就像汽車行經修理現場附近的車速通常會比那些未受干擾者放慢許多。
導致恆星與氣體雲的運動會產生偏向，以致產生螺旋密度波的起因，來自於引動重力的星系物質的分布並非成完美對稱。
舉例來說，一組圍繞核心轉動的橢圓軌道，它的每一個軌道由於距離核心遠近不同而受到輕微的擾動，而產生了螺旋模式。
其實，看到我們宇宙中的重力以此方式運作，我們應該感到高興才是。
根據牛頓的萬有引力定律，物質之間彼此相互吸引，引力了則隨著距離增加而遞減。
尤其，距離每增加一倍，引力就會衰減成為原來的四分之一；引力與距離的平方成反比。
想像一下，如果我們生活在一個距離每增加一倍，重力衰減為八分之一而非四分之一的宇宙中，會發生什麼事?根據牛頓定律的預測，其中的一個可能性是，行星的軌道會呈對數螺線。
換言之，果真如此，地球早已盤旋進入到太陽，或是脫離軌道進入到無垠的太空裡。
費波納奇開做了所有這些瘋狂的數學行徑，然而如今他已為人所遺忘。
不過在比薩，還是可以看到一尊創作於十九世紀的費波納奇雕像，矗立在聖卡羅堡壘的史考托花園裡，隔壁就是以費波納奇為名的街道，沿著亞諾河南岸而行。
自一九六三年起，費波納奇協會開始出版以費波納奇命名的期刊：《費波納奇季刊》。
這個協會由數學家霍蓋特與布勞索發起成立，成立的宗旨是「藉此交換想法，並激發人們在費波納奇數字及相關主題方面的研究。
」或許是against the odds，從那時候起，《費波納奇季刊》就發展成為數論領域裡廣受好評的期刊。
布勞索曾幽默地說道：「我們在一九六三年聚集了一批人，我們就像是一群傻瓜，就這樣創辦了一個雜誌。
」所有這些只不過是對費波納奇這位利用兔子，而發現了一個被世界欣然接受的數學觀念的人物的微不足道敬意而已。
無論如何，和費波納奇的貢獻一樣重要的是，黃金比例的故事並未到十三世紀就宣告結束；令人心醉神迷的發展依然在文藝復興時代的歐洲，接踵出現。
(註12)6、其它例子A、畢氏學派的徽章古希臘的畢達哥拉斯學派應該已發現這個比率，在學派的代表徽章-正五角星形，邊長和對角線比為0.618。
(註13)B、植物與動物普通樹葉的寬與長之比，蝴蝶身長與雙翅展開後的長度之比也接近0.618。
如果以牛馬虎的前肢為界作一垂直虛線，將軀體分為兩部分，其水平長度之比恰符合黃金比率。
(註14)C、環境溫度與人體體溫通常我們在環境溫度為22℃～24℃時能有最舒適的感覺，身體的新陳代謝、生理節奏和機能可處在最佳狀態。
而人體的正常體溫為37℃，它和0.618的相乘積正好是22℃。
(註15)D、醫學理論醫學專家也觀察到，人在精神愉快時的腦電波頻率下限是8赫茲，而上限是12.9赫茲，上下限的比率接近於0.618，如果我們在這時參加基本學力測驗，一定會有更好的表現。
此外，我們正常血壓的舒張壓與收縮壓的比例關係;我們正常睡眠時間與活動時間的比例關係，都足以說明黃金比率扮演和諧美滿的角色是無所不在的。
(註16)E、金字塔古埃及的金字塔，形似方錐，大小雖有不同，但是金字塔底面的邊長與高的比率都接近於0.618。
(註17)F、艾菲爾鐵塔近代著名的法國巴黎埃費爾鐵塔，其第二層以下和第二層以上的高度比率是0.618。
(註18)G、多倫多電視塔目前世界最高的建築物是加拿大多倫多電視塔，高553.33公尺，其觀景樓以上和樓以下的長度之比率就是0.618。
(註19)三、値布魯克曼在一九七七年於《費波納奇季刊》發表了一首打油詩〈一成不變的中項〉(黃金比例也稱黃金中項)：黃金中項真無理，它不是您那普普通通的無理數。
如果您把它倒過來(這真有趣！)，您會得到它本身，減一。
如果您把它加一，就得到了他的平方，請相信我。