几何计算--四边形与三角形

几何计算--四边形
知识点精讲：
1、动点问题
2、旋转问题
典型例题
例题1、如图，Rt △AB ′C ′是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连接CC ′，交 斜边于点E ，CC 的延长线交BB ′于点F 。

（1）证明：△ACE ∽△FBE ；
（2）设∠ABC=α，∠CAC ′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由。

例题2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=nAC ，CD ⊥AB 于点D ，点P 为AB 边上 的一动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F 。

（1）若n=2时，则_____;=
BF
CE
（直接写出结果） （2）当n=3时，连接EF 、DF ，求;_______DF
EF
= （3）当n=_____时，.3
3
2DF EF =（直接写出结果，不需证明）
例题3、（2013湖南娄底，25，10分）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC 重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
例题4、（2013•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A 出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．
例题5、（2013·泰安，28，?分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD 上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
课堂练习
1、（2013·聊城，19，?分）如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，CE ⊥AD ，垂足为E ，求证：AE ＝CE ．
2、（2013江苏泰州，25，12分） 如图，矩形ABCD 中，点P 在边CD 上，且与点C 、 D 不重合，过点A 作AP 的垂线与CB 的延长线相交于点Q ，连接PQ ，PQ 的中点为M . (1)求证：△ADP ∽△ABQ ；
(2)若AD=10，AB=20，点P 在边CD 上运动，设DP=x , BM 2=y ，求y 与x 的函数关系式，并求线段BM 长的最小值；
(3)若AD=10, AB=a ， DP=8，随着a 的大小的变化，点M 的位置也在变化，当点M 落在矩形ABCD 外部时，求a 的取值范围。

M
Q
C
A D
B P
3、（2013杭州10分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC 边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．
（1）求证：∠APE=∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，．
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．
F （第5题图）
A B
C
D
O
E
家庭作业 1、（2013湖南娄底，6，3分）下列命题中，正确的是（ ） A ． 平行四边形的对角线相等 B ． 矩形的对角线互相垂直 C ． 菱形的对角线互相垂直且平分 D ． 梯形的对角线相等 2、（2013山东德州，7，3分）下列命题中，真命题是 A 、 对角线相等的四边形是等腰梯形 B 、 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C 、 对角线互相垂直的四边形是菱形 D 、 四个角相等的边形是矩形
3、（2013·聊城，5，3分）下列命题中的真命题是（ ） A ．三个角相等的四边形是矩形
B ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C ．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形
D ．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形
4、[2013山东菏泽，2，3分]2.如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ） A ．15°或30° B ．30°或45° C ．45°或60° D ．30°或60°
5、[2013山东菏泽，7，3分]如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1、S 2，则S 1+S 2的值为（ ）
A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
6、（2013•东营，12，3分）如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，
且CE =DF
，AE 、BF
相交于点O ，下列结论：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO =OE ；（4）AOB DEOF S S ∆=四边形中正确的有（ ） A ．4个 B ．3个
C ．2个
D ．1个
S2
S 1
(第4题)
7、（2013·济宁，9，3分）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形
AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为
8、（2013四川内江，16，5分）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=．
9、（2013广西钦州，18，3分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．
10、（2013四川雅安，12，3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF 是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论序号为
11、（2013山东德州，17，4分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF②∠AEB＝750③BE+DF＝EF④S正方
形ABCD＝2+3，其中正确的序号是。

（把你认为正确的都填上）
12、（2013江苏苏州，17，3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的
正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且OQ ＝OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ，则点P 的坐标为( ， )．
13（2013•莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E 的面积是 ． 14、（2013•包头）如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE ′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE ′C= 135 度．
15、（2013四川泸州，11，2分）如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，把ADE ∆沿AE 对折，点D 的对称点F 恰好落在BC 上，已知折痕105AE =cm ，且3t a n 4
EFC ∠=，那么该矩形的周长为（ ）
A ．72cm
B ．36cm
C ．20cm
D ．16cm
16、(2013湖南邵阳,26,10分)如图(十二)所示，在R t △ABC 中，AB =BC =4，∠ABC =90°.点P
是△ABC 外角∠BC N 的角平分线上一个动点，点P /是点P 关于直线BC 的对称点，连结PP /交BC 于点M 、B P /交AC 于点D ，连结B P 、A P /、C P /. (1)若四边形B P C P /为菱形，求B M 的长； (2)若△B MP /∽△ABC ，求B M 的长；
(3)若△ABD 为等腰三角形，求△ABD 的面积.
图(十一)
P /
N
M A
B
D
P
C
②
P /
N
M
A
B
D
P C
③
P /
N
M
A
B
D
P
C
①。