由先序序列和结点的左孩子情况构造严格二叉树的高效算法
数据结构与算法系列研究五——树、二叉树、三叉树、平衡排序二叉树AVL
数据结构与算法系列研究五——树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL⼀、树的定义树是计算机算法最重要的⾮线性结构。
树中每个数据元素⾄多有⼀个直接前驱，但可以有多个直接后继。
树是⼀种以分⽀关系定义的层次结构。
a.树是n(≥0)结点组成的有限集合。
{N.沃恩}(树是n(n≥1)个结点组成的有限集合。
{D.E.Knuth})在任意⼀棵⾮空树中：⑴有且仅有⼀个没有前驱的结点----根(root)。
⑵当n>1时，其余结点有且仅有⼀个直接前驱。
⑶所有结点都可以有0个或多个后继。
b. 树是n(n≥0)个结点组成的有限集合。
在任意⼀棵⾮空树中：⑴有⼀个特定的称为根（root）的结点。
⑵当n>1时，其余结点分为ｍ（ｍ≥0）个互不相交的⼦集T1，T2，…，Tm。
每个集合本⾝⼜是⼀棵树，并且称为根的⼦树（subtree）树的固有特性---递归性。
即⾮空树是由若⼲棵⼦树组成，⽽⼦树⼜可以由若⼲棵更⼩的⼦树组成。
树的基本操作1、InitTree(&T) 初始化2、DestroyTree(&T) 撤消树3、CreatTree(&T,F) 按F的定义⽣成树4、ClearTree(&T) 清除5、TreeEmpty(T) 判树空6、TreeDepth(T) 求树的深度7、Root(T) 返回根结点8、Parent(T,x) 返回结点 x 的双亲9、Child(T,x,i) 返回结点 x 的第i 个孩⼦10、InsertChild(&T,&p,i,x) 把 x 插⼊到 P的第i棵⼦树处11、DeleteChild(&T,&p,i) 删除结点P的第i棵⼦树12、traverse(T) 遍历树的结点：包含⼀个数据元素及若⼲指向⼦树的分⽀。
●结点的度: 结点拥有⼦树的数⽬●叶结点: 度为零的结点●分枝结点: 度⾮零的结点●树的度: 树中各结点度的最⼤值●孩⼦: 树中某个结点的⼦树的根●双亲: 结点的直接前驱●兄弟: 同⼀双亲的孩⼦互称兄弟●祖先: 从根结点到某结点j 路径上的所有结点（不包括指定结点）。
学习数据结构心得体会
学习数据结构心得体会数据结构研究总结通过一学期对《数据结构与算法》的研究，大概的了解了基本的数据结构和相应的一些算法。
下面总结一下自己一个学期研究的收获和心得。
数据结构是什么：数据结构是计算机存储、组织数据的方式。
数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。
数据结构往往同高效的检索算法和索引技术有关。
数据结构重要性：一般认为，一个数据结构是由数据元素依据某种逻辑联系组织起来的。
对数据元素间逻辑关系的描述称为数据的逻辑结构；数据必须在计算机内存储，数据的存储结构是数据结构的实现形式，是其在计算机内的表示；此外讨论一个数据结构必须同时讨论在该类数据上执行的运算才有意义。
一个逻辑数据结构可以有多种存储结构，且各种存储结构影响数据处理的效率。
在许多类型的程序的设计中，数据结构的选择是一个基本的设计考虑因素。
许多大型系统的构造经验表明，系统实现的困难程度和系统构造的质量都严重的依赖于是否选择了最优的数据结构。
许多时候，确定了数据结构后，算法就容易得到了。
有些时候事情也会反过来，我们根据特定算法来选择数据结构与之适应。
不论哪种情况，选择合适的数据结构都是非常重要的。
选择了数据结构，算法也随之确定，是数据而不是算法是系统构造的关键因素。
这种洞见导致了许多种软件设计方法和程序设计语言的出现，面向对象的程序设计语言就是其中之一。
常见的数据结构：1.顺序表：定义：顺序表是在计算机内存中以数组的形式保存的线性表,是指用一组地址连续的存储单元依次存储数据元素的线性结构。
线性表采用顺序存储的方式存储就称之为顺序表。
顺序表是将表中的结点依次存放在计算机内存中一组地址连续的存储单元中。
基本运算：置表空：sqlsetnull（l）判表满：sqlempty（l）求表长：sqllength(l)插入：sqlinsert（l,i,x）按序号取元素：sqlget（l,i）删除：sqldelete(l,i)按值查找：sqllocate(l,x)2.链表定义：链表是一种物理储备单元上非连续、非顺序的储备结构，数据元素的逻辑顺序是经由过程链表中的指针链接次序实现的。
《数据结构及其应用》笔记含答案 第五章_树和二叉树
第5章树和二叉树一、填空题1、指向结点前驱和后继的指针称为线索。
二、判断题1、二叉树是树的特殊形式。
（）2、完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是叶子。
（）3、对于有N个结点的二叉树，其高度为。
（）4、满二叉树一定是完全二叉树，反之未必。
（）5、完全二叉树可采用顺序存储结构实现存储，非完全二叉树则不能。
（）6、若一个结点是某二叉树子树的中序遍历序列中的第一个结点，则它必是该子树的后序遍历序列中的第一个结点。
（）7、不使用递归也可实现二叉树的先序、中序和后序遍历。
（）8、先序遍历二叉树的序列中，任何结点的子树的所有结点不一定跟在该结点之后。
（）9、赫夫曼树是带权路径长度最短的树，路径上权值较大的结点离根较近。
（）110、在赫夫曼编码中，出现频率相同的字符编码长度也一定相同。
（）三、单项选择题1、把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是（A）。
A．唯一的Ｂ．有多种C．有多种，但根结点都没有左孩子Ｄ．有多种，但根结点都没有右孩子解释：因为二叉树有左孩子、右孩子之分，故一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是唯一的。
2、由3个结点可以构造出多少种不同的二叉树？（D）A．2 B．3 C．4 D．5解释：五种情况如下：3、一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（D）。
A．250 B． 500 C．254 D．501解释：设度为0结点（叶子结点）个数为A，度为1的结点个数为B，度为2的结点个数为C，有A=C+1，A+B+C=1001，可得2C+B=1000，由完全二叉树的性质可得B=0或1，又因为C为整数，所以B=0，C=500，A=501，即有501个叶子结点。
4、一个具有1025个结点的二叉树的高h为（C）。
A．11 B．10 C．11至1025之间 D．10至1024之间解释：若每层仅有一个结点，则树高h为1025；且其最小树高为⎣log21025⎦ + 1=11，即h在11至1025之间。
各种二叉树的介绍
各种二叉树的介绍
二叉树是一种常见的数据结构，每个节点最多只能有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。
根据二叉树的不同特性和限制，可以将其分为多种类型，包括普通二叉树、满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树等。
普通二叉树：这是最基本的二叉树形式，每个节点最多有两个子节点，且没有特定的限制条件。
满二叉树：在满二叉树中，所有叶子节点都在最后一层，且节点总数为2^n-1，其中n为层数。
也就是说，除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点。
完全二叉树：完全二叉树的所有叶子节点都在最后一层或倒数第二层，且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续。
如果将满二叉树从右至左、从下往上删除一些节点，剩余的结构就构成完全二叉树。
平衡二叉树（AVL树）：平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它要求每个节点的左子树和右子树的高度差绝对值不超过1，且每个子树也必须是一棵平衡二叉树。
这种树的查找效率通常高于普通二叉树，因此常用于需要频繁查找的场景。
此外，还有一些特殊的二叉树，如红黑树、B树、B+树等，它们具有不同的特性和应用场景。
红黑树是一种自平衡的二叉查找树，它的左右子树高度差有可能大于1，但通过对节点进行旋转和重新着色等操作，可以保持树的平衡性。
B树和B+树则常用于数据库和文件系统中，它们支持对节点进行分裂和合并操作，以满足快速查找、插入和删除数据的需求。
总之，二叉树是一种非常有用的数据结构，它可以用于实现各种算法和应用，如排序、搜索、压缩、加密等。
不同类型的二叉树具有不同的特性和应用场景，需要根据具体需求进行选择和使用。
二叉树的知识点总结
引言概述：二叉树是计算机科学中一种重要的数据结构，其特点是每个节点最多有两个子节点。
在计算机科学中，二叉树被广泛应用于搜索、排序和组织数据等领域。
本文将对二叉树的知识点进行总结和详细阐述，以帮助读者更好地理解和应用二叉树。
正文内容：一、二叉树的基本概念1.二叉树的定义：二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只有两个子节点。
2.二叉树的特点：每个节点最多有两个子节点，左子节点和右子节点。
3.二叉树的性质：二叉树的左子树和右子树也是二叉树，每个节点的左子树中的所有节点都小于该节点，右子树中的所有节点都大于该节点。
二、二叉树的遍历方式1.前序遍历：先访问根节点，然后递归遍历左子树和右子树。
2.中序遍历：先递归遍历左子树，然后访问根节点，最后递归遍历右子树。
3.后序遍历：先递归遍历左子树和右子树，然后访问根节点。
4.层序遍历：按层次从上到下依次访问每个节点。
三、二叉搜索树1.二叉搜索树的定义：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中的节点按一定的顺序排列。
2.二叉搜索树的性质：对于任意节点，其左子树中的所有节点都小于该节点，右子树中的所有节点都大于该节点。
3.二叉搜索树的插入操作：将待插入节点与当前节点比较，根据大小关系决定是插入左子树还是右子树。
4.二叉搜索树的删除操作：删除节点时需要考虑其子节点个数，根据不同情况分为三种情况进行处理。
5.二叉搜索树的查找操作：从根节点开始，根据节点值与目标值的大小关系，逐渐向左子树或右子树遍历，直至找到目标值或到达叶子节点。
四、平衡二叉树1.平衡二叉树的定义：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，其中的节点满足平衡条件。
2.平衡二叉树的性质：对于任意节点，其左子树和右子树的高度差不超过1。
3.平衡二叉树的实现：通过旋转操作来调整树结构，使其满足平衡条件。
4.平衡二叉树的插入操作：插入节点后，通过旋转操作保持树的平衡性。
5.平衡二叉树的删除操作：删除节点后，通过旋转操作保持树的平衡性。
设计以先序遍历的顺序建立二叉树的二叉链表存储结构的算法
设计以先序遍历的顺序建立二叉树的二叉链表存储结构的算法一、算法简介二叉树是一种重要的树形结构，它的建立方式有多种，其中一种是按照先序遍历的顺序建立二叉树。
这种方式需要将先序遍历序列和二叉树的存储结构相结合，采用二叉链表存储结构。
具体流程是按照先序遍历序列的顺序依次创建二叉树的各个节点，同时使用二叉链表结构保存每个节点的数据和指针信息。
二、算法实现算法的实现主要包括初始化二叉树、创建节点、建立二叉树等步骤，下面对这些步骤进行详细描述。
1. 初始化二叉树初始化二叉树需要创建一个根节点，同时将根节点的左右指针指向NULL，表示二叉树为空。
2. 创建节点创建节点需要通过输入元素数据来创建，同时节点的左右指针也需要初始化为NULL。
3. 建立二叉树建立二叉树是按照先序遍历序列来实现的，具体流程如下：（1）读入当前节点的元素数据，创建节点，并将其作为当前节点。
（2）判断当前节点的元素数据是否为结束符号（这里结束符号可以指定），如果是，则返回NULL。
（3）递归创建当前节点的左子树，将左子树的根节点赋值给当前节点的左指针。
（4）递归创建当前节点的右子树，将右子树的根节点赋值给当前节点的右指针。
（5）返回当前节点。
三、算法优化虽然上述算法实现简单明了，但它有一个缺点，即无法处理空节点的情况，如果输入的先序遍历序列中存在空节点，那么该算法就无法建立正确的二叉树了。
因此，可以在输入的先序遍历序列中使用一个特殊的符号（如#）表示空节点，在建立节点时，如果遇到该符号，则将该节点的指针设置为NULL即可。
四、算法总结按照先序遍历的顺序建立二叉树是一种基于二叉链表存储结构的建树方式。
它通过递归的方式构建整个二叉树，同时为了处理空节点的情况，还需要对输入的先序遍历序列进行特殊处理。
该算法的效率较高，适用于对先序遍历序列已知的情况下建立二叉树。
计算机数据结构知识点梳理 二叉树的定义及其主要特征
当 n ≠ 2k , 即 n 不是2的方幂或者 n = 2k 但是一棵满二叉树，其高度为
。
当 n = 2k 但是非满二叉树，其高度为
。
②有n个结点的完全k叉树的高度为
。
性质5推广：一棵满k叉树，如果按层次顺序从1开始对全部结点编号，
①编号为p=1的结点无父结点，否则编号为p结点的父结点的编号是
（k≥2）；
[题1]若一棵二叉树有126个结点，在第7层（根结点在第1层）至多有（ ）个结点。
A.32
B.64
C.63
D.不存在第7层
分析：根据二叉树的性质，第7层至多有64（27-1）个结点，但是题目中给出了二叉树的结点 总数126，由此来判断第7层是否可以有64个结点？
要在二叉树的第7层达到最多的结点个数，其上面6层必须是一个满二叉树，深度为6的满 二叉树有63（26－1）个结点，由此可以判断出此二叉树的第7层不可能达到64个结点，最 多是126-63=63个结点。
（2）完全二叉树：一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到 右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树 中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。它的特点是：叶子结点只能出现在最下 层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。
任何完全二叉树中度为1的结点只有0个或1个。
中的所有结点从1开始顺序编号，则对于任意的序号为i的结点，有：
（1）如果i＞1，则序号i的结点的双亲结点的序号为 ；如果i＝1，则序号为i的结点是根 结点，无双亲结点。
（2）如果2i≤n，则序号为i的结点的左孩子结点的序号为2i；如果2i＞n，则序号为i的结 点无左孩子。
（3）如果2i＋1≤n，则序号为i的结点的右孩子结点的序号为2i＋1；如果2i＋1＞n，则 序号为i的结点无右孩子。
数据结构(树)习题与答案
一、单选题1、树最适合用来表示（）。
A.元素之间具有分支层次关系的数据B.有序数据元素C.元素之间无联系的数据D.无序数据元素正确答案：A2、在树结构中，若结点A有三个兄弟，且B是A的双亲，则B的度是（）。
A.5B.4C.3D.2正确答案：B3、下列陈述中正确的是（）。
A.二叉树是度为2的有序树B.二叉树中结点只有一个孩子时无左右之分C.二叉树中每个结点最多只有两棵子树，并且有左右之分D.二叉树中必有度为2的结点正确答案：C4、设深度为h的二叉树中只有度为0和度为2的结点，则此类二叉树中所包含结点数至少为（）。
A.2h-1B.2h+1C.h+1D.2h正确答案：A解析： A、除根之外，每层只有两个结点，且互为兄弟。
5、设深度为h的二叉树中只有度为0和度为2的结点，则此类二叉树中所包含结点数至多为（）。
A.2h-1B. 2h+1-1C. 2h-1-1D. 2h+1正确答案：A解析： A、构成完全二叉树。
6、具有n(n>0)个结点的完全二叉树的深度为（）。
A.⌊ log2(n)⌋ +1B.⌈log2(n)⌉C.⌊ log2(n)⌋D.⌈log2(n)+1⌉正确答案：A7、具有32个结点的完全二叉树有（）个叶子结点。
A.16B.14C.15D.17正确答案：A解析： A、对结点按层序编号，32号结点的双亲结点编号为16，则17至32号结点都为叶子，共16个。
8、一棵完全二叉树的第6层上有23个叶子结点，则此二叉树最多有（）结点。
A.81B.78C.80D.79正确答案：A解析： A、完全二叉树的叶子结点只能在最下两层，要使结点最多，这棵二叉树深度为7，前6层结点数共为63，第6层有32个结点，其中叶子为23个，非叶子为9个，它们的度都为2，第7层只有18个结点，故整棵二叉树结点数为81.9、具有3个结点的二叉树有（）种。
A.6B.3C.5D.4正确答案：C10、若一棵二叉树有9个度为2的结点，5个度为1的结点，则叶子结点的个数为（）。
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基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 项 目（ ６ １ ０ ７ ５ ０ ４ ０ ） 作 者简介 ： 唐 自￣ － （ １ ９ ６ ５ － ） ，男 ，讲 师 ， 主 要 研 究 方 向 为 算 法 设 计 与 分 析． Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｔ ａ ｎ ｇ ｚ ｌ １ ０ ２ ９ ＠ｙ ａ ｈ ｏ ｏ ． ｃ ０ １ ３ １ ． ｃ ｎ
况 空 间 复 杂 性 相 同． 关键词 ： 先序 序 列 ； 结点 ； 左孩子 ； 非递归算法； 严 格 二 叉树 构造 中 图分 类号 ： Ｔ Ｐ ３ １ １ ． １ ２ ， Ｔ Ｐ ３ ０ １ ． ６ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ２ ３ ４ ０ （ ２ ０ １ ３ ） Ｏ １ — ０ ０ ０ ９ — ０ ５
第 １ ２卷 第 １ 期
２ ０ １ ３年 ３ 月
南 通 大 学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｎ ａ ｎ ｔ ｏ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ）
ａ ｎｄ ｔ ｈｅ ｌ ｅ ｆ ｔ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ ｏ ｆ ｅａ ｃ ｈ ｎ ｏｄ ｅ．Ｔｈｅ ｅ ｘ ｅ ｃ ｕｔ ｉｏ ｎ ｏ ｆ ｈｅ ｔ ｎｅ ｗ ａ ｌ ｇ ｏｒ ｉ ｔ ｈｍ ｉ ｓ ｉ ｌ ｌ ｕｓ ｒａ ｔ ｔ ｅ ｄ ｂ ｙ ｎ ａ ｅ ｘａ ｍｐｌ ｅ ．Ｌｅ ｔ ｎ ｂｅ ｈｅ ｔ ｎ ｕｍ ｂ ｅ ｒ
在计 算 机领域 中 ， 二 叉 树 、严格 二 叉树 和树 既 相 当重要 的操 作． 有 联 系又 有 区别 ． 它 们都 是 具 有层 次 关 系 的结点 的
根 据 由一 棵 二 叉 树 的先 序 和 中序 序 列 以及 Байду номын сангаас
有 限集 合 ． 因为 层 次关 系在 自然 界 中大 量存 在 ．所 序 和后序 序 列可 以唯一 确定该 二叉 树【 ｌ 】 ，文献【 ２ — １ ４ 】 以 它们 有着 广 泛 的应 用 ． 由一定 的信 息构 造 它们 是 提 出 了一 些 由一 棵二 叉 树 的先 序 和 中序 序 列 以及
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ａ ｎ ｅ ｗ ｎ ｏ ｎ － ｒ ｅ ｃ ｕ ｒ ｓ ｉ ｖ ｅ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｉ ｓ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ｆ ｏ ｒ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｉ ｔ ｎ ｇ ａ ｓ ｔ ｒ ｉ ｃ ｌ ｔ ｙ ｂ ｉ ｎ ａ ｒ ｙ ｔ ｒ ｅ ｅ ｆ ｒ ｏ ｍ ｉ ｔ ｓ ｐ ｒ ｅ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｒ ａ ｖ ｅ ｒ ｓ ｌ ａ
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Ｖｏ ｌ ＿１ ２ Ｎｏ．１ Ｍａ ｒ ．２０１ ３
由先序序 列和 结点 的左孩子情况构造 严格二 叉树 的高效算法
唐 自立
（ 苏 州 大 学 计算 机科 学 与 技 术 学 院 ，江苏 苏 州 ２ １ ５ ０ ０ ６ ）
摘 要： 提 出一 种 新 的 由一 棵 严 格 二 叉树 的先 序 序 列 和 结 点 的 左 孩 子 情 况 构 造 该 严 格 二 叉树 的 非 递 归 算 法 ． 通过 实 例 给 出 了新 算 法 的 执 行 过 程 ， 同 时说 明 ，与 已有 的 等 价 递 归 算 法 相 比 ，新 算 法 的 时 间 复 杂 性 更 低 ，而 最 差 情