2012高考总复习《走向清华北大》精品12

第十二讲函数与方程
班级________姓名________考号________日期
________得分________
一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.方程x-1
x
=0的实数解所在的区间是()
A.(-∞,-1)
B.(-2,2)
C.(0,1)
D.(1,+∞)
解析:令f(x)=x-1
x
,则f(1)=0,f(-1)=0,只有B合适.
答案:B
2.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是()
解析:首先排除D,因为f(x)图象不连续,再次排除A､B,因为A､B不符合f(a)·f(b)<0.
答案:C
3.若函数f(x)=ax+b有一个零点2,则方程bx2-ax=0的根是()
A.0,2
B.0,
C.0,-
D.2,-
解析:由ax+b=0的根为2,得2a+b=0,∴b=-2a,则方程bx2-ax=0变为
2ax2+ax=0.∵a≠0,∴2x2+x=0,∴x1=0,x2=- .
答案:C
4.(精选考题·合肥模拟)方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是()
(), 23 B..52323.,1,1.,55A C D -⎡⎤⎛
⎤-⎛⎫--+∞+∞ ⎪⎝⎭∞ ⎢⎥⎥
⎣⎦
⎝
⎦
解析:设f(x)=x 2
+ax-2,∵f(0)=-2<0,∴由x 2
+ax-2=0在区间[1,5]上有解,只需f(1)≤0且f(5)≥0即可,解得-23
5
≤a≤1. 答案:C
5.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的对应值表:
则函数y=f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有() A.5个B.4个 C.3个D.2个
解析:满足条件的零点应在(1,2)和(4,5)之间,因此至少有两个零点. 答案:D
6.(精选考题·浙江)已知x 0是函数f(x)=2x
+1
1x
-的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则()
A.f(x 1)<0,f(x 2)<0
B.f(x 1)<0,f(x 2)>0
C.f(x 1)>0,f(x 2)<0
D.f(x 1)>0,f(x 2)>0 解析:由于函数g(x)=
1111
x x =---在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x
在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有惟一的零点x 0,且在(1,x 0)上f(x)<0,在(x 0,+∞)上f(x)>0,故选B.
答案:B
二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.若函数f(x)=x 2
+ax+b 的两个零点是-2和3,则不等式a·f(-2x)>0的解集是________. 解析:由于f(x)=x 2
+ax+b 的两个零点是-2和3,即方程x 2
+ax+b=0的两个根是-2和3,因
此
231
236
a a
b b
-+=-=-
⎧⎧
⇒
⎨⎨
-==-
⎩⎩
,因此f(x)=x2-x-6,所以不等式a·f(-2x)>0即-(4x2+2x-6)>0,
即2x2+x-3<0,解集为{x|- <x<1}.
答案:{x|- <x<1}
8.(应用题,易)在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量不同),现在只有一台天平,请问:你最多称________次就可以发现这枚假币?
答案:4
9.方程xlg(x+2)=1有________个不同的实数根.
解析:由题意知x≠0,∵xlg(x+2)=1,∴lg(x+2)=1
x
,画出y=lg(x+2),y=
1
x
的图象(图略),
两个函数图象的交点个数即为方程根的个数,由图象知在第一象限和第三象限各有一个交点,故方程有2个不等实数根.
答案:2
10.已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a的零点个数不为0,则a的最小值为________.
解析:由于f(x)=|x|+|2-x|=
22,0, 2,02, 22, 2.
x x
x
x x
-
⎧
⎪
<<⎨
⎪-
⎩
≤
≥
所以f(x)的最小值等于2,要使f(x)-a=0有解,应使a≥2,即a的最小值为2.
答案:2
三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)
11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;
(2)若对x1、x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)= [f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,证明必有一实根属于(x1,x2).
证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.
又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.
又∵Δ=b2-4ac≥-4ac>0,
∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,
所以函数f(x)有两个零点.
(2)令g(x)=f(x)- [f(x 1)+f(x 2)], 则g(x 1)=f(x 1)- [f(x 1)+f(x 2)]
=()()()()()()()()22121122112212212g x f x y f x f x g x g x ()()
2
()()
2()()()()
f x f x .
221
4f x f x f x f x f x f x f x f x o
--=
--==-=-+⎡⎤⎣⎦∴-⎡⎤⎣⎦
∵f(x 1)≠f(x 2),∴g(x 1)•g(x 2)<0. ∴g(x)=0在(x 1,x 2)内必有一实根.
评析:可将方程根的问题转化成函数零点的问题,借助函数的图象和性质进行解答. 12.若函数f(x)=22x
+2x
a+a+1有零点,求实数a 的取值范围. 解:依题意,方程22x
+2x a+a+1=0有实数根. 令2x
=t(t>0),则t 2
+at+a+1=0,
2222211(1)2(1)2,11122
(1)2,(1)11
112,2112a a a t t t t t t t t t t t t t t t +++-++-=
+++=++-++++++---∴+∴+=由于≥≥故的取值范围是≤≤ 13.(1)m 为何值时,f(x)=x 2
+2mx+3m+4.
①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;
(2)若函数f(x)=|4x-x 2
|+a 有4个零点,求实数a 的取值范围.
解:(1)①f(x)=x 2
+2mx+3m+4有且仅有一个零点⇔方程f(x)=0有两个相等实根⇔Δ=0, 即4m 2
-4(3m+4)=0,即m 2
-3m-4=0, ∴m=4或m=-1.
②解法一:设f(x)的两个零点分别为x 1,x 2. 则x 1+x 2=-2m,x 1•x 2=3m+4. 由题意,知
()()()()()2121223404m 43m 40x 1x 10
x 1x 2203421041,1,51,0m m m m m m m m m -->⎧⎪
-+>⎨⎪+-+>⎩><-⎧⎪
⇒<⎨⎪⎧-+>⎪
∆=+++>⎨⎪
++>->⎩⇒⎩
或 ∴-5<m<-1.
故m 的取值范围为(-5,-1). 解法二:由题意,知
0,1,(1)0,2340,1,
12340.m f m m m m m ∆>⎧⎪
->-⎨⎪->⎩
-->⎧⎪
<⎨⎪-++>⎩
即
∴-5<m<-1.
∴m 的取值范围为(-5,-1).
(2)令f(x)=0,得|4x-x 2
|+a=0,即|4x-x 2
|=-a. 令g(x)=|4x-x 2
|,h(x)=-a. 作出g(x)、h(x)的图象
.
由图象可知,当0<-a<4,即-4<a<0时,g(x)与h(x)的图象有4个交点,即f(x)有4个零点. 故a 的取值范围为(-4,0).。