平面向量(含答案)

平面向量
1．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D
是边BC 上一点，2DC BD =，则
A D
B C
⋅= ． 〖解析〗在ABC ∆中，有余弦定理得2222cos1207BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=
，
BC =
由正弦定理得sin C ∠=
，则cos C ∠=，在ADC ∆中，由余弦定理求得
222132cos 9AD DC AC DC AC C =+-⋅⋅∠=
，
则AD =
由余弦定理得coc ADC ∠=，
138
||||cos ,(33AD BC AD BC AD BC ⋅=⋅=
=-． 〖答案〗8
3
-．
2．已知AOB ∆，点P 在直线AB 上，且满足
2()OP tPA tOB t R =+∈，则
PA PB
=（ ）
A 、13
B 、12
C 、2
D 、3 〖解析〗如图所示，不妨设,OA a OB b ==；找共线，对于点P 在直线AB 上，有
AP AB λ=；列方程，因此有AP AO OP =+2a tPA tb =-++，即12a tb
AP t
-+=
+；而AB AO OB a b =+=-+，即有1
1212t
t t
λλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此1t =时13λ=.即有PA PB =12.
〖答案〗B ．
3.在△ABC 中，π
6
A ∠=
，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ▲ ．
〖解析〗当点D 无限逼近点C 时，由条件知BD DC ⋅趋向于零，||||AB AC =，即△ABC 是等边三角形． 〖答案〗
5π
12
． A
B
D
C
A
B
O
P
a
b （第2题图）
4. 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，且AC AE AF λμ=+，
其中,R λμ∈，则+λμ= _________.0 答案: 4/3
解析:设BC b =、BA a =则12AF b a =- ,1
2
AE b a =- ,AC b a =-
代入条件得24
33
u u λλ==∴+=
5. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN=2NC ，AM 与BN 相交于点P ，AP∶PM 的值为______. 解 方法一 设e 1=,e 2=, 则=+CM =-3e 2-e 1， =+=2e 1+e 2.
因为A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，所以存在实数μ、λ，
使=λ=-3λe 2-λe 1，
=μ=2μe 1+μe 2，∴=-=（λ+2μ）e 1+（3λ+μ）e 2，
另外=+=2e 1+3e 2，
⎩⎨
⎧=+=+3322μλμλ，∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==53
5
4μλ，
∴=5
4
,=5
3
,∴AP∶PM=4∶1.
方法二 设=λ
，
∵=2
1(+AC )=21+
4
3
AN ，
∴AP =2λ
+
4
3
λ.
∵B、P 、N 三点共线，∴-=t(-), ∴=(1+t)-t
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t λλ
4
312
∴2
λ+43λ=1，λ=5
4，∴AP∶PM=4∶1.
6. 如图所示，直线x =2与双曲线2
2:14
x y Γ-=的渐近线交于1E ,2E 两点，记
1122,OE e OE e ==，任取双曲线Γ上的点P ，若()12,OP ae be a b R =+∈，则,a b 满足的一个等式是
.
【答案】4ab=1
7. 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为
120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若
,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.
答案：2
解析：设AOC α∠=
,,
OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧∙=∙+∙⎪⎨
∙=∙+∙⎪⎩，即01cos 21cos(120)2
x y x y αα⎧
=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩
∴02[cos cos(120)]cos 2sin()2
6x y π
ααααα+=+-=+=+≤
8. 设点P 是ABC ∆内一点（不包括边界），且(,)AP mAB nAC m n R =+∈， 则22223m n m n +--+的取值范围是 .
答案： (2
3
，3)
9. 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，点P 是MD 的中点. 若2AB =，
1
AD =，且60BAD ∠=︒，则
A P C ⋅= . 答案：25
16
-
10. 已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为____________;DE DC ⋅的最大值为________.
答案：1, 1
【解析】根据平面向量的点乘公式
,
可知
,因此;
,
而
就是
第11题图
向量在边上的射影,要想让
最大,即让射影最大,此时点与
点重合,射影为
,所以长度为1
【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.
11. 已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120°，则α的取值范围是 .
【答案】（0。

【分析】如图所示，令AB α=、AC β=， 则
BC βα=-。

∵α与βα-的夹角为120°，∴060ABC ∠=。

又
1AC β==，由正弦定理得
1sinC
sin60α
=
︒
，即
sinC
sin60α=
=≤︒
又∵0,α≠∴α的取值范围是（0。

12. 若平面向量α，β满足|α|≤1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行
四边形的面积为1
2，则α与β的夹角θ的取值范围是 。

【答案】]6
5
,6[ππ
【考点】数量积表示两个向量的夹角。

【分析】由题意得：2
1
sin =θβα。

∵1=α，1≤β，∴2
121sin ≥=
βθ。

又∵),0(πθ∈，∴)6
5
,6(ππθ∈。

13. 设M 是△ABC 内一点，且23AB AC ⋅=，030BAC ∠=，定义
()(,,f M m n p
=，其中,,m n p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若
1
()(,,)2f M x y =，则14x y
+的最小值是 .
【答案】18
14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在
(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动。

当圆滚动到圆心位于
(2,1)时，OP 的坐标为
______________.
【答案】)2cos 1,2sin 2(--
【解析】法1：因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2=PA ，即圆心角2=∠PCA ,,
则22π-=∠PCA ,所以2cos )22sin(
-=-=π
PB ，2sin )2
2cos(=-=πCB ，所以2sin 22-=-=CB x p ，2cos 11-=+=PB y p ，所以)2cos 1,2sin 2(--=。

法2：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθ
sin 1cos 2y x ，且
223,2-==∠πθP C D ，则点P 的坐标为⎪⎩
⎪⎨⎧
-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即
)2c o s 1,2s i n 2(--=.
15. 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为________. 【答案】1，1
【解析】根据平面向量的数量积公式=⋅=⋅DA DE CB DE θcos ||||DA DE ⋅，由图可知，||cos ||DA DE =⋅θ，因此1||2==⋅DA CB DE ，
|⋅
|
cos
DE，而α
c o s
DE就是向量DE在DC边上
|⋅
|
=
DEα
⋅α
=
⋅
DC
cos
|
|DC
DE
||
的射影，要想让DC
DE⋅最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为DC，所以长度为1．。