2014高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 实际问题中导数的意义学案 北师大版选修1-1
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第13讲 变化率与导数、导数的计算精选教案 理
第13讲 变化率与导数、导数的计算考纲要求考情分析命题趋势1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数的导数．2017·全国卷Ⅰ，16 2017·全国卷Ⅱ，11 2016·全国卷Ⅲ，15 2016·北京卷，18(1) 2016·山东卷，10 1．导数的概念及几何意义是命题热点，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质．2．导数几何意义的应用也是命题热点，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以及与切线有关的计算、证明问题．分值：5～7分1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为！！！ f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1###，若Δx ＝x 2－x 1，Δy＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数及几何意义(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝！！！lim Δx →0 Δy Δx ###为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝ li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点__(x 0，f (x 0))__处的__切线的斜率__.相应地，切线方程为__y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)__.3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝！！！ lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx###为f (x )的导函数，导函数也记作y ′.4．基本初等函数的导数公式原函数 导函数f (x )＝c f ′(x )＝__0__ f (x )＝x n (n ∈Q ) f ′(x )＝__nx n －1__ f (x )＝sin x f ′(x )＝__cos_x __ f (x )＝cos x f ′(x )＝__－sin_x __ f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝__a x ln_a (a >0且a ≠1)__f (x )＝e xf ′(x )＝__e x __f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝！！！1x ln a(a >0，且a ≠1) ### f (x )＝ln xf ′(x )＝！！！ 1x###5．导数的四则运算法则(1)(f (x )±g (x ))′＝__f ′(x )±g ′(x )__；(2)(f (x )g (x ))′＝__f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )__； (3)⎝⎛⎭⎪⎫f (x )g (x )′＝！！！ f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )(g (x ))2###(g (x )≠0)； (4)y ＝f (g (x ))是由y ＝f (μ)，μ＝g (x )复合而成，则y ′x ＝y ′μ·μ′x .1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( × ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a >0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x.( √ )解析 (1)错误．应先求f ′(x )，再求f ′(x 0)．(2)正确．如y ＝1是曲线y ＝cos x 的切线，但其交点个数有无数个．(3)错误．如y ＝0与抛物线y 2＝x 只有一个公共点，但是y ＝0不是抛物线y 2＝x 的切线． (4)正确．f ′(x )＝(f ′(a )x 2＋ln x )′＝(f ′(a )x 2)′＋(ln x )′＝2xf ′(a )＋1x.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( A ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12解析 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′|x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a×2＝－1，a ＝2.3．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( A )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为__2x －y ＋1＝0__. 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 5．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为__y ′＝－x sin_x __.解析 y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .一 导数的运算导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开，化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导． 【例1】 求下列函数的导数． (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x－2x＋e.解析 (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12 －x 12 ，∴y ′＝(x －12 )′－(x 12 )′＝－12x －32 －12x －12 ＝－12x x －12x.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x2＝1x·x －ln xx 2＝1－ln x x2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x.(4)y ′＝(3x e x)′－(2x)′＋e′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′＝3xln 3·e x＋3x e x－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2.【例2】 (1)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝！！！ －94###.(2)已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin x ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝__－1__. 解析 (1)∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，∴f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，∴f ′(2)＝－94.(2)∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－(2＋3)，∴f (x )＝－(2＋3)sin x ＋cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－(2＋3)×12＋32＝－1．二 导数的几何意义和切线方程若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P (x 0，y 0)的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，则切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分为以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))； 第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)，由此即可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．【例3】 (1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( C )A ．－1B ．0C ．1D ．2(2)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝____1____.解析 (1)∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a ，m ＝1，即a ＝1，∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1． 又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1． (2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1．又f (1)＝a ＋2， ∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1． 【例4】 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2， ∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5， ∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.1．(2018·河南郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数．如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( B )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析 ∵y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是 曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝__1－ln_2__.解析 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln (x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln (x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k－1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1，－ln k ，∵A ，B 在直线y ＝kx ＋b 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.3．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是__y ＝－2x －1__.解析 令x >0，则－x <0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝ln x －3x (x >0)，则f ′(x )＝1x－3(x >0)，∴f ′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1． 4．求下列函数的导数．(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解析 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5. (2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x. (3)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11． (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.易错点 审题不认真致误错因分析：不能正确理解曲线“在点P 处的切线”与曲线“过点P 的切线”的不同． 【例1】 求曲线S ：y ＝f (x )＝2x －x 3过点A (1,1)的切线方程． 解析 设切点为(x 0，f (x 0))．∵f ′(x )＝2－3x 2，∴切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， 即y ＝(2－3x 20)(x －x 0)＋2x 0－x 30，将点A (1,1)代入得1＝(2－3x 20)(1－x 0)＋2x 0－x 30， 整理得2x 30－3x 20＋1＝0，即2x 30－2x 20－x 20＋1＝0，∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或－12，A 不一定为切点，∴y 0＝1，f ′(x 0)＝－1或y 0＝－78，f ′(x 0)＝54.∴切线方程为y ＝－x ＋2或y ＝54x －14.【跟踪训练1】 求经过曲线y ＝x 3－x 2上一点(－1，－2)的切线方程． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2－2x ，∴y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0. ∴其切线方程为y －(x 30－x 20)＝(3x 20－2x 0)(x －x 0)， 即y ＝(3x 20－2x 0)x －2x 30＋x 20.又其切线过点(－1，－2)，∴－2＝－3x 20＋2x 0－2x 30＋x 20， 即x 30＋x 20－x 0－1＝0，解得x 0＝－1或x 0＝1． 故所求的切线方程为5x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.课时达标 第13讲[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问．一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( B ) A ．e B ．1e C ．1e 2 D ．12解析 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，得ln a ＝－1，所以a ＝1e. 2．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝( D ) A ．2 B ．0 C ．－2D ．－4解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.3．(2018·河南八市质检)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan2x 的值是( D )A ．－23B ．－43C ．43D ．34解析 因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D ． 4．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x(e x )2＋2e x＋1＝－4e x ＋1e x ＋2≥－1， 当且仅当e x＝1e x ，即x ＝0时取等号，∴－1≤tan α<0.又∵0≤α<π，∴3π4≤α<π，故选B ．5．(2018·河南郑州质检)函数f (x )＝e xcos x 在点(0，f (0))处的切线方程为( C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析 ∵f ′(x )＝e xcos x ＋e x(－sin x )＝e x(cos x －sin x )， ∴f ′(0)＝e 0(cos 0－sin 0)＝1．又∵f (0)＝1，∴f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0，故选C ． 6．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)·x ＋1(a ∈R )的导函数y＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝( D )A ．13 B ．－23C ．73D ．－13或53解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1， ∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除． 若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴为x ＝－a ，－a >0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.二、填空题7．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝__4__.解析 由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.8．(2018·广东惠州模拟)曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为__5x ＋y ＋2＝0__.解析 由y ＝－5e x＋3得，y ′＝－5e x，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.9．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点坐标为！！！ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3###.解析 ∵y ′＝x 2－3x，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＝12，x >0，解得x ＝3.故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3.三、解答题10．(1)已知f (x )＝e πx·sin πx ，求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(2)已知f (x )＝(x ＋1＋x 2)10，求f ′(1)f (1). 解析 (1)∵f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πxcos πx ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe π2. (2)∵f ′(x )＝10(x ＋1＋x 2)9·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x1＋x 2， ∴f ′(1)＝10(1＋2)9·⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝102(1＋2)10＝52(1＋2)10. 又f (1)＝(1＋2)10，∴f ′(1)f (1)＝5 2. 11．已知曲线C ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6. (1)求C 上斜率最小的切线方程；(2)证明：C 关于斜率最小时切线的切点对称．解析 (1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13.当x ＝2时，y ′最小，即切线斜率的最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0.(2)证明：设点(x 0，y 0)∈C ，点(x ，y )是点(x 0，y 0)关于切点(2，－12)对称的点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4－x ，y 0＝－24－y .11 ∵点(x 0，y 0)∈C ，∴－24－y ＝(4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6，整理得y ＝x 3－6x 2－x ＋6.∴点(x ，y )∈C ，于是曲线C 关于切点(2，－12)对称．12．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b (a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．解析 (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，依题意，f ′(2)＝0，f (2)＝3， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，所以a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)． 令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1. 令y ＝x 得x ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)．直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1·|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1·|2x 0－2|＝2. 所以所围三角形的面积为定值2.。
导数的基本概念和意义
导数的基本概念和意义尽管导数在我们的日常生活中并不常见，但它在数学和物理学等学科中却扮演着重要的角色。
导数是微积分的一个基本概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
本文将探讨导数的基本概念和意义，并讨论它在实际应用中的重要性。
一、导数的定义导数可以被定义为函数在某一点上的变化率。
具体而言，对于一个函数f(x)，如果在某一点x上，函数的值发生微小的变化Δx，那么相应的函数值的变化量为Δf。
导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(Δx→0) [Δf/Δx]这个公式可以被解释为：当Δx趋近于0时，函数f(x)在x点上的变化率接近于Δf/Δx。
导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
二、导数的几何意义导数在几何上有着重要的意义。
对于一个函数f(x)，它的导数f'(x)可以被理解为函数曲线在某一点上的切线的斜率。
切线是曲线在该点附近的近似直线，而导数正是切线的斜率。
通过计算导数，我们可以了解函数在不同点上的斜率情况，从而揭示函数曲线的变化趋势。
三、导数的物理意义导数在物理学中也有着重要的应用。
例如，对于一个物体在某一时刻的位置函数x(t)，它的导数x'(t)可以表示物体在该时刻的速度。
速度是位置随时间变化的导数，它描述了物体在单位时间内移动的距离。
同样地，加速度可以被定义为速度随时间的导数。
导数的物理意义不仅限于运动学，它还可以应用于其他物理量的研究。
例如，对于一个物体的质量函数m(t)，它的导数m'(t)可以表示物体在该时刻的质量变化率。
导数可以帮助我们理解物体在不同时刻的质量变化情况，从而揭示物体的增长或减少趋势。
四、导数的计算方法计算导数是微积分中的重要内容。
对于简单的函数，我们可以通过求导法则来计算导数。
例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a和n为常数，它的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = anx^(n-1)对于更复杂的函数，我们可以使用链式法则、乘积法则和商法则等来计算导数。
高三数学一轮复习精品教案3：变化率与导数、导数的计算及几何意义教学设计
变化率与导数、导数的计算及几何意义1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．『梳理自测』一、函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数1．若函数f(x)＝2x 2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx ，1＋Δy)，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 22．已知函数f(x)＝sin x ＋ln x ，则f′(1)的值为( ) A ．1－cos 1 B ．1＋cos 1 C ．cos 1－1 D ．－1－cos 13．曲线y ＝e x 在点A(0，1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．e D.1e『答案』1.C 2.B 3.A ◆以上题目主要考查了以下内容：(1)函数y ＝f(x)从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f(x)从x 1到x 2的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx ．(2)函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数 ①定义称函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率Δy Δx ＝_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx为函数y ＝f(x)在x＝x 0处的导数，记作f′(x 0)或y′|x ＝x 0，即f′(x 0)＝ ΔyΔx. ②几何意义函数f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f(x)上点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)． 二、基本初等函数导数公式1．(教材改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x 2．下列求导过程①⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2；②(x)′＝12x ；③(log a x)′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln a ′＝1x ln a ；④(a x )′＝(eln a x )′＝(e x ln a )′＝e x ln a ln a ＝a x ln a.其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 『答案』1.B 2.D◆以上题目主要考查了以下内容：三、导数运算法则(1)『f (x )±g (x )』′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)『f (x )·g (x )』′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g （x ）2．『指点迷津』1．二个区别一个是区别f ′(x )与f ′(x 0)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数；f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数是针对某一区间内任意x 而言的． 第二个区别曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 2．三个防范(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． (2)要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别． (3)正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．考向一 导数的运算求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝ln xx 2＋1；(4)y ＝x －sin x 2cos x2；(5)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1. 『审题视点』 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导． 『典例精讲』 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.(3)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x ·（x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x ·（x 2＋1）－ln x ·2x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2·ln x x （x 2＋1）2.(4)先使用三角公式进行化简，得 y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . (5)先化简，y ＝x ·1x －x ＋1x－1 ＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . 『类题通法』 (1)总原则：先化简解析式，再求导．(2)具体方法①连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导． ②根式形式：先化为分数指数幂，再求导．③复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导．1．求下列函数的导数． (1)y ＝e x·cos x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1.『解析』(1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′ ＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )．(2)y ′＝（e x ＋1）′·（e x －1）－（e x ＋1）·（e x －1）′（e x －1）2＝e x （e x －1）－e x （e x ＋1）（e x －1）2＝－2e x（e x －1）2.考向二 导数的几何意义(1)(2014·郑州市高三质检)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2(2)(2014·昆明市高三调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2『审题视点』 根据导数的几何意义先对函数求导，针对切点求切线斜率．『典例精讲』 (1)∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a .∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ×1＋13＝13＋a ×1＋b ，k ＝3×12＋a 解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1. (2)依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0， m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C. 『答案』 (1)C (2)C『类题通法』 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f （x 1）－f （x 0）x 1－x 0求解．2．(2014·山东烟台二模)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12『解析』选A.由题意知g ′(1)＝2，又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.导数的几何意义求切线时，切点易错(2014·杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7『正解』 设过(1，0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1，0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.『答案』 A『易错点』 (1)审题不仔细，未对点(1，0)的位置进行判断，误认为(1，0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系．『警示』 ①“曲线y ＝f (x )在P 点处的切线”与“曲线过P 点的切线”不同，前者P 为切点，后者P 不一定为切点．②此类题首先确定点是否为曲线的切点．1．(2013·高考广东卷)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )A ．9B ．6C ．－9D ．－6『解析』选D.先对函数求导，利用导数的几何意义得出点(－1，a ＋2)处的切线斜率，解方程可得．y ′＝4x 3＋2ax ，由导数的几何意义知在点(－1，a ＋2)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.2．(2012·高考新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． 『解析』y ′＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴y －1＝4(x －1)，∴y ＝4x －3. 『答案』y ＝4x －33．(2013·高考江西卷)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________． 『解析』令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (x )＝ln x ＋x ，即f ′(x )＝1＋1x ，则f ′(1)＝1＋1＝2.『答案』24．(2013·高考江苏卷)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．『解析』先利用导数的几何意义求出切线方程，然后得到可行域，再利用线性规划问题的一般解法进行求解．由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12. 『答案』⎣⎡⎦⎤－2，12。
导数的概念及其几何意义学案
《导数的概念及其几何意义》学案一、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度．加速度．光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念和在某一点的导数的联系和区别；了解导数的概念，能利用导数定义求导数和解决与曲线的切线有关的问题．二、重点难点解释1．导数概念的发生和发展过程的认识教材在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念，函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，变化率无限去趋近于唯一的一个常数，这个常数就定义为在该点的导数．对于一般的曲线，必须重新寻求曲线的切线的定义，所以新教材利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．为此导数集数与形于一身，运动变化的认识导数的形成过程，代数的认为过曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数，这个常数称为在该点的导数；几何的认为过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，这就是导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率，于是，导数问题丰富多彩，切线问题使“数”和“形”达到完美的统一．只要我们分析导数的形成过程，深刻理解导数概念和几何意义，设切点．写切线．跟题走，掌握解题归律，导数问题就不难被解决．2．求导数的方法把握导数定义的生成过程，可用两种方法求解，一是利用在某一点的导数的形成过程，即定义法求解；二是利用导函数的函数值即为某一时刻的瞬时速度．对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)是自变量x 在 处的增量(或改变量)；(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果→0时，xy ∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微，才能得到f(x)在点处的导数；(3) 如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；(2) 求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f k x y x =--=→=→∆∆→∆时，时， 3．导数几何意义的再认识用运动变化的观念分析曲线()x f y C =:上某点()00,y x 切线的斜率就是过曲线上某点()00,y x 处的导数，它可以从曲线上某点()00,y x 引割线，当动点无限趋近某点()00,y x 时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点()00,y x 的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f x y k x =--=→=∆∆=→∆时，时， 特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x x =三、经典问题解释1．导数的定义与瞬时速度的关系 例1 一质点运动的方程为S=8—3t 2．（1）求质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度； （2）求在t=1时的瞬时速度 ；简析：（1）理解平均速度的意义，质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度()()t t f x f t S ∆--=∆-∆+=∆∆611（2）由导数的定义，运动变化使增量趋近于1时，其平均速度变为t=1时的瞬时速度为-6；理解导数的意义，求导数导函数的函数值就是在某一刻的瞬时速度，()()61,6,,-=∴-=S t t S 为在t=1时的瞬时速度2．理解导数的概念和几何意义，用定义法求在某一点处的导数例2求下列函数的导数⑴ ()()()()()0f 5021,求,x x x x x f ---= ；⑵ 已知函数()()()()⎩⎨⎧<≥+=0022x x x x x f ，求在x=0处的导数 ； ⑶ 已知函数()x x x f =，求在x=0处的导数简析：理解导数的定义，运动变化的观念认识在某点的导数，注意导数发生发展中所蕴涵的方法，求导数的方法和步骤x y ∆∆→，研究xy ∆∆的变化趋势是否趋近于唯一的某个常数？ ⑴ 若先对函数求导，用积的导数运算法则复杂难以切入；若用导数的定义求在0处的导数使问题获解．()()()()()()!50124950,0,50215010=⨯⨯⨯⨯→∆∆→∆∆+-∆+-∆+-=∆∆+-∆+-∆+=∆∆L L L xy x x x x x x x x x y ，即()!500f ,=⑵ 由自变量左．右趋近0时，变化率趋近2或0，不趋近某一个确定的常数，由导数的定义，则0处的导数不存在；⑶ 自变量从左．右趋近0时，其变化率趋近唯一的常数0，由导数的定义知，在x=0处有导数其值为0．3．导数的几何意义的理解和灵活应用例3 在曲线32+=x y 的图象上取一点P （1，4）及附近一点()y x ∆+∆+4,1，求 （1）x y ∆∆ （2）xy x ∆∆→∆时，0的值； （3）过点P （1，4）的切线方程 简析：理解导数的定义，运动变化的观念认识在某点的导数，注意导数发生发展中所蕴涵的方法，求导数的方法和步骤x y ∆∆→，研究xy ∆∆的变化趋势是否趋近于唯一的某个常数？其唯一的常数的几何意义为过该点的切线的斜率．（1）()()x x f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆211；（2）220→∆+=∆∆→∆x xy x 时，；（3）又（2）知过点P （1，4）的切线的斜率为2，故过点P （1，4）的切线方程()022,124=+-∴-=-y x x y 4．高考中对导数几何意义的考查例4（03高考天津）设()c bx ax x f ,a ++=>20，曲线()x f y =在点P ()()00x f ,x 处切线的倾斜角的取值范围为，求P 到曲线()x f y =对称轴距离的取值范围．简析：导数的几何意义为曲线上该点的切线的斜率，原函数求导化归导函数函数在区间上的值域解决．()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=+∴∈++=a ,a b ax a b x ,,b ax ,b ax x f ,2102221022000 ． 注：认识“函数在一点的导数”和“导函数”，“导数”三个概念的联系和区别，本题利用这种关系简化解决问题，应积累这种学习体验．例5（03高考）已知抛物C 1 x x y 22+=和C 2a x y +-=2，如果直线L 同时是C 1和 C 2的切线，称L 是C 1和 C 2公切线，问a 取何值时，C 1和 C 2仅有一条公切线？写出公切线方程简析：把握公切线的意义，公切线并非过同一点．设l 与相切于点),(211x x P ，与相切于))2(,(222--x x Q ．对x y C 2':1=，则与相切于点P 的切线方程为)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -= ① ， 对)2(2':2--=x y C ，则与相切于点Q 的切线方程为))(2(2)2(2222x x x x y ---=-+，即4)2(2222-+--=x x x y ②，∵两切线重合，∴ ⎩⎨⎧-=---=4)2(22222121x x x x ，解得⎩⎨⎧==;2,021x x 或⎩⎨⎧==0221x x ， ∴直线方程为y=0或y=4x-4． 例6 （04浙江20 ）曲线x e y -=在点()t e t M -, 处的切线L 与x 轴．y 轴所围成的三角形的面积的最大值． 简析：导数几何意义切入，数形结合法调动思维的灵活性，化归函数的最值，再用导数的单调性解决最值．例7（04天津） 已知函数f(x)=ax 3+bx 2-3x 在1±=x 处取得极值．⑴ 讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；⑵ 过点A （0，16）作曲线y= f(x)的切线，求此切线的方程简析：函数是实数集上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，待定系数法确定参数，从而确定表达式，利用导数研究单调性和求切线方程具有“操作性”．⑴ 易求 f ，(x)=3ax 2+2bx-3，由导数与极值的关系，1，-1为f ，(x)=3ax 2+2bx-3=0的两根，则3a+2b-3=0，3a-2b-3=0，解得a=1，b=0，则f(x)=x 3-3x ，由()()1x 10113132>-<∴>-+=-=或x ,)x (x )x (x f ,，易知函数f ，(x)在()1-∞-,上递增，在上递减，在上递增，所以f(-1)=2是函数f(x)的极大值，f(1)=-2是函数f(x)的极小值；⑵ 注意点A （0，16）不在曲线f(x)=x 3-3x 上的特点，设切点M （x 0，y 0），则y 0= x 03-3x 0，过切点的直线斜率为3(x 02-1)，切线方程为 y-y 0=3(x 02-1)(x-x 0)过点A （0，16），则易求x 0==-2．故切点为（-2，-2），切线方程为 9x-y+16=0．注：“过点P”与“点P 处的切线”是不同的．。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义学案(含解析)北师
2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数2.2.1 导数的概念2.2.2 导数的几何意义学案（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数2.2.1 导数的概念2.2.2 导数的几何意义学案（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.2。
1 导数的概念2.2。
2 导数的几何意义1.理解导数的概念及导数的几何意义。
(重点、难点)2.会求导函数及理解导数的实际意义。
(重点）3.掌握利用导数求切线方程的方法.(难点）[基础·初探］教材整理1 函数f（x）在x＝x0处的导数阅读教材P32“例1”以上部分,完成下列问题。
函数y＝f（x）在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′（x0)表示,记作f′(x0）＝错误!错误!＝错误!_错误!.设函数y＝f（x)可导，则错误!错误!等于（）A.f′(1) B。
3f′(1)C.错误!f′(1）D.以上都不对【解析】由f（x)在x＝1处的导数的定义知，应选A。
【答案】A教材整理2 导数的几何意义阅读教材P34～P36，完成下列问题.函数y＝f（x）在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。
函数y ＝f（x）在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.抛物线y＝x2＋4在点(－2，8）处的切线方程为________________.【解析】因为y′＝错误!错误!＝错误! (2x＋Δx）＝2x,所以k＝－4，故所求切线方程为4x＋y＝0。
2014高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 导数的几何意义课件 北师大版选修
如右图 ．
y x2 y
4 3 2 1
-2 -1 O 1 2
L
x
l
例 5求函 y数 f(x)2x3在 x1处的切线 . 方程
解 : 先求 y 2 x3在x 1处的导数 .
f (1 x) f (1) 2(1 x)3 2 13
x
x
2[1 3x 3(x)2 (x)3 ] 2
x
6 6x 2(x)2.
0.5
0.5
其相应割线 , 如右图 , 分别是过点 ( 2 , 4 ) 和 点 ( 0 , 0 )的直线 l1 , 过点 ( 2 , 4 ) 和点 ( 1 ,1 )的直 线 l 2 , 过点 ( 2 , 4 ) 和点 ( 1 . 5 , 2 . 25 )的直线 l 3 .
y x2 y
4 3 2 1
P
M
x
1j
x
-1 O 1
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求
出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.
练习:如图已知曲线
y1x3上 3
一P(点 2,83),求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
解(： 1)y
1
x3,y
l
i
my
l
i
1(xx)3 m3
小结:
1.导数的几何意义是什么?
2.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0)，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
yf(x 0)f(x 0)x (x 0).
-3
-4
例6:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第13讲 变化率与导数、导数的计算精选教案 理
第13讲 变化率与导数、导数的计算1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为！！！ f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1###，若Δx ＝x 2－x 1，Δy＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数及几何意义(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝！！！lim Δx →0 Δy Δx ###为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝ li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点__(x 0，f (x 0))__处的__切线的斜率__.相应地，切线方程为__y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)__.3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝！！！ lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx###为f (x )的导函数，导函数也记作y ′.4．基本初等函数的导数公式5．导数的四则运算法则(1)(f (x )±g (x ))′＝__f ′(x )±g ′(x )__；(2)(f (x )g (x ))′＝__f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )__； (3)⎝⎛⎭⎪⎫f (x )g (x )′＝！！！ f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )(g (x ))2###(g (x )≠0)； (4)y ＝f (g (x ))是由y ＝f (μ)，μ＝g (x )复合而成，则y ′x ＝y ′μ·μ′x .1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( × ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a >0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x.( √ )解析 (1)错误．应先求f ′(x )，再求f ′(x 0)．(2)正确．如y ＝1是曲线y ＝cos x 的切线，但其交点个数有无数个．(3)错误．如y ＝0与抛物线y 2＝x 只有一个公共点，但是y ＝0不是抛物线y 2＝x 的切线． (4)正确．f ′(x )＝(f ′(a )x 2＋ln x )′＝(f ′(a )x 2)′＋(ln x )′＝2xf ′(a )＋1x.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( A ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12解析 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′|x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a×2＝－1，a ＝2.3．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( A )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为__2x －y ＋1＝0__. 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 5．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为__y ′＝－x sin_x __.解析 y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .一 导数的运算导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开，化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导． 【例1】 求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝ln x x ；(3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x＋e.解析 (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12 －x 12 ，∴y ′＝(x －12 )′－(x 12 )′＝－12x －32 －12x －12 ＝－12x x －12x.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x2＝1x·x －ln xx 2＝1－ln x x2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x.(4)y ′＝(3x e x)′－(2x)′＋e′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′＝3xln 3·e x＋3x e x－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2.【例2】 (1)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝！！！ －94###.(2)已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin x ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝__－1__. 解析 (1)∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，∴f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，∴f ′(2)＝－94.(2)∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－(2＋3)，∴f (x )＝－(2＋3)sin x ＋cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－(2＋3)×12＋32＝－1．二导数的几何意义和切线方程若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P (x 0，y 0)的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，则切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分为以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))； 第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)，由此即可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．【例3】 (1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( C )A ．－1B ．0C ．1D ．2(2)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝____1____.解析 (1)∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a ，m ＝1，即a ＝1，∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1． 又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1． (2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1．又f (1)＝a ＋2， ∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1． 【例4】 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2， ∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5， ∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.1．(2018·河南郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数．如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( B )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析 ∵y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是 曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝__1－ln_2__.解析 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln (x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln (x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k－1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1，－ln k ，∵A ，B 在直线y ＝kx ＋b 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.3．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是__y ＝－2x －1__.解析 令x >0，则－x <0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝ln x －3x (x >0)，则f ′(x )＝1x－3(x >0)，∴f ′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1． 4．求下列函数的导数．(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解析 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5. (2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x. (3)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11． (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.易错点 审题不认真致误错因分析：不能正确理解曲线“在点P 处的切线”与曲线“过点P 的切线”的不同． 【例1】 求曲线S ：y ＝f (x )＝2x －x 3过点A (1,1)的切线方程． 解析 设切点为(x 0，f (x 0))．∵f ′(x )＝2－3x 2，∴切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， 即y ＝(2－3x 20)(x －x 0)＋2x 0－x 30，将点A (1,1)代入得1＝(2－3x 20)(1－x 0)＋2x 0－x 30， 整理得2x 30－3x 20＋1＝0，即2x 30－2x 20－x 20＋1＝0，∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或－12，A 不一定为切点，∴y 0＝1，f ′(x 0)＝－1或y 0＝－78，f ′(x 0)＝54.∴切线方程为y ＝－x ＋2或y ＝54x －14.【跟踪训练1】 求经过曲线y ＝x 3－x 2上一点(－1，－2)的切线方程． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2－2x ，∴y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0. ∴其切线方程为y －(x 30－x 20)＝(3x 20－2x 0)(x －x 0)， 即y ＝(3x 20－2x 0)x －2x 30＋x 20.又其切线过点(－1，－2)，∴－2＝－3x 20＋2x 0－2x 30＋x 20， 即x 30＋x 20－x 0－1＝0，解得x 0＝－1或x 0＝1． 故所求的切线方程为5x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.课时达标 第13讲[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问．一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( B ) A ．e B ．1e C ．1e 2 D ．12解析 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，得ln a ＝－1，所以a ＝1e. 2．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝( D ) A ．2 B ．0 C ．－2D ．－4解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.3．(2018·河南八市质检)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan2x 的值是( D )A ．－23B ．－43C ．43D ．34解析 因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D ． 4．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x(e x )2＋2e x＋1＝－4e x ＋1e x ＋2≥－1， 当且仅当e x＝1e x ，即x ＝0时取等号，∴－1≤tan α<0.又∵0≤α<π，∴3π4≤α<π，故选B ．5．(2018·河南郑州质检)函数f (x )＝e xcos x 在点(0，f (0))处的切线方程为( C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析 ∵f ′(x )＝e xcos x ＋e x(－sin x )＝e x(cos x －sin x )， ∴f ′(0)＝e 0(cos 0－sin 0)＝1．又∵f (0)＝1，∴f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0，故选C ． 6．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)·x ＋1(a ∈R )的导函数y＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝( D )A ．13 B ．－23C ．73D ．－13或53解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1， ∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除． 若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴为x ＝－a ，－a >0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.二、填空题7．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝__4__.解析 由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.8．(2018·广东惠州模拟)曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为__5x ＋y ＋2＝0__.解析 由y ＝－5e x＋3得，y ′＝－5e x，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.9．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点坐标为！！！ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3###.解析 ∵y ′＝x 2－3x，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＝12，x >0，解得x ＝3.故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3.三、解答题10．(1)已知f (x )＝e πx·sin πx ，求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(2)已知f (x )＝(x ＋1＋x 2)10，求f ′(1)f (1). 解析 (1)∵f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πxcos πx ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe π2. (2)∵f ′(x )＝10(x ＋1＋x 2)9·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x1＋x 2， ∴f ′(1)＝10(1＋2)9·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝102(1＋2)10＝52(1＋2)10.又f (1)＝(1＋2)10，∴f ′(1)f (1)＝5 2. 11．已知曲线C ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6. (1)求C 上斜率最小的切线方程；(2)证明：C 关于斜率最小时切线的切点对称．解析 (1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13.当x ＝2时，y ′最小，即切线斜率的最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0.(2)证明：设点(x 0，y 0)∈C ，点(x ，y )是点(x 0，y 0)关于切点(2，－12)对称的点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4－x ，y 0＝－24－y .∵点(x 0，y 0)∈C ，∴－24－y ＝(4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6，整理得y ＝x 3－6x 2－x ＋6.∴点(x ，y )∈C ，于是曲线C 关于切点(2，－12)对称．12．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b (a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．解析 (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，依题意，f ′(2)＝0，f (2)＝3， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，所以a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)． 令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1. 令y ＝x 得x ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)．直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1·|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1·|2x 0－2|＝2. 所以所围三角形的面积为定值2.。
高中数学第二章变化率与导数2导数的概念及其几何意义教学案北师大版选修2278
§2 导数的概念及其几何意义[对应学生用书P16]一质点按规律s ＝2t 2＋2t 做直线运动(位移单位：米，时间单位：秒)． 问题1：试求质点在前3秒内的平均速度． 提示：8米/秒．问题2：试求质点在3秒时的瞬时速度． 提示：Δs Δt＝s ＋Δt －sΔt＝14＋2Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→14，故质点在3秒时的瞬时速度为14米/秒．问题3：对于函数y ＝f (x )，当x 从x 0变到x 1时，求函数值y 关于x 的平均变化率． 提示：Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.问题4：当Δx 趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 提示：是．导数的概念1．定义：设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx，当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数．2．记法：函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝li m x 1→x 0f x 1－f x 0x 1－x 0＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx.问题1：函数y ＝f (x )在[x0，x 0＋Δx ]的平均变化率为ΔyΔx ，你能说出它的几何意义吗？提示：表示过A (x 0，f (x 0))和B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))两点的直线的斜率．问题2：当Δx 变化时，直线如何变化？ 提示：直线AB 绕点A 转动．问题3：当Δx →0时，直线变化到哪里？ 提示：直线过点A 与曲线y ＝f (x )相切位置．导数的几何意义 1．割线的定义：函数y ＝f (x )在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为ΔyΔx，它是过A (x 0，f (x 0))和B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y ＝f (x )在点A 处的一条割线．2．切线的定义：当Δx 趋于零时，点B 将沿着曲线y ＝f (x )趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l ，直线l 和曲线y ＝f (x )在点A 处“相切”，称直线l 为曲线y ＝f (x )在点A 处的切线．3．导数的几何意义：函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．1．函数f (x )在点x 0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于零时的极限，若li m Δx →0ΔyΔx存在，则函数y ＝f (x )在点x 0处就有导数． 2．f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在切点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．[对应学生用书P17][例1] 求函数y ＝4x2在x ＝2处的导数．[思路点拨] 由所给函数解析式求Δy ＝f (Δx ＋x 0)－f (x 0)；计算Δy Δx ；求li m Δx →0 ΔyΔx . [精解详析] ∵f (x )＝4x2，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝4＋Δx2－1＝－4Δx －Δx 2＋Δx 2，∴Δy Δx ＝－4－Δx ＋Δx2， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 －4－Δx ＋Δx2＝－1，∴f ′(2)＝－1. [一点通] 由导数的定义，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的方法： ①求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx；③取极限，得导数f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx.1．函数y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2＋Δx C ．2D.1解析：y ＝x 2在x ＝1处的导数为： f ′(1)＝li m Δx →0 ＋Δx2－1Δx＝2.答案：C2．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)＝________.解析：函数f (x )＝ax ＋b 在x ＝1处的导数为f ′(1)＝li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝li mΔx →0 [a＋Δx ＋b ]－a ＋b Δx ＝li m Δx →0 a ΔxΔx＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，有a ＋b ＝2，于是b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.答案：43．求函数f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数．解：Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2， 从而f ′(1)＝2.[例2] [思路点拨] 利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程． [精解详析] 因为 Δy Δx＝＋Δx2－＋Δx －2－Δx＝5＋3Δx ，当Δx 趋于0时，5＋3Δx 趋于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 所以切线方程为y －2＝5(x －1)， 即5x －y －3＝0.[一点通] 求曲线在点(x 0，f (x 0))处的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．4．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.14B.12C ．1D.2解析：f ′(1)＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0＋Δx2－1Δx＝li m Δx →0(2＋Δx )＝2. 则曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.因为y ＝2x －1与坐标轴的交点为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以所求三角形的面积为S ＝12×1×12＝14.答案：A5．求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．解：∵点(－2，－1)在曲线y ＝2x上，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y ＝2x在x ＝－2处的导数．∴k ＝f ′(－2)＝li m Δx →0f －2＋Δx －f－Δx＝li m Δx →0 2－2＋Δx －2－2Δx ＝li m Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.[例3] 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x －y －2＝0? (3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [精解详析] 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2. ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 趋于零时，ΔyΔx 趋于4x 0.即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴切线的斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴切线的斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴切线的斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．[一点通] 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．6．曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________． 解析：根据题意可设切点为P (x 0，y 0)， ∵Δy ＝(x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－(x 2－3x ) ＝2x Δx ＋(Δx )2－3Δx ， ∴ΔyΔx＝2x ＋Δx －3. ∴f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (2x ＋Δx －3)＝2x －3. 由f ′(x 0)＝0，即2x 0－3＝0，得x 0＝32，代入曲线方程得y 0＝－94.所以点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－947．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义，易得f ′(1)＝12，由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：38．求经过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．解：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P (x 0，y 0)．由y ′|x ＝x 0＝li m Δx →01x 0＋Δx －1x 0Δx＝li m Δx →0 －ΔxΔxx 0＋Δxx 0＝li m Δx →0－1x 0x 0＋Δx ＝－1x 20.故所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在所求的直线上，得x 20y 0＝2－x 0， 再由P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1， 所以直线方程为x ＋y －2＝0.求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．[对应课时跟踪训练六1．函数y ＝f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－5D.－1解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于－3.答案：A2．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D.x ＋y －1＝0 解析：f ′(2)＝li m Δx →014＋Δx2－14×4Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14Δx ＋1＝1， ∴过点(2,1)的切线方程为y －1＝1·(x －2)， 即x －y －1＝0.故选A. 答案：A3.已知曲线C ：y ＝x 3的图像如图所示，则斜率等于3，且与曲线C 相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定解析：由y ＝x 3得Δy Δx ＝x ＋Δx 3－x 3Δx＝x 3＋3x 2·Δx ＋3x Δx 2＋Δx3－x3Δx＝3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2，则y ′＝li mΔx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，由3x 2＝3，得x ＝±1，即存在2条斜率等于3且与曲线C 相切的直线，故选B.答案：B4．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：由图像易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．答案：B5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)． 答案：(3,30)6.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝________.解析：由导数的概念和几何意义知，li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2. 答案：－27．已知点P (2，－1)在曲线f (x )＝1t －x上．求： (1)曲线在点P 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 处的切线方程． 解：(1)将P (2，－1)的坐标代入f (x )＝1t －x ，得t ＝1， ∴f (x )＝11－x .∴f ′(2)＝li m Δx →0f ＋Δx －fΔx＝li m Δx →0 11－＋Δx －11－2Δx＝li m Δx →011＋Δx＝1， 曲线在点P 处的切线斜率为1. (2)由(1)知曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.8．求与曲线y ＝x 2相切，且与直线x ＋2y ＋1＝0垂直的直线方程？ 解：设切点为P (x 0，y 0)，可得所求切线的斜率k ＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2－x 2Δx2＝li m Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0， 又直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，由所求切线与该直线垂直得(2x 0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，得x 0＝1，则y 0＝x 20＝1，所以所求切线的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.。
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实际问题中导数的意义
一、学习要求：
导数在实际生活中的应用
二、学习目标
能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题，体会导数在解决实际生活问题中的作用。
三、重点难点
用导数方法解决实际生活中的问题
四、要点梳理
解应用题的基本程序是：
读题 建模 求解 反馈
（文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答）
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:
① 分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =；注意x 的范围。
② 利用导数求函数()f x 的极值和函数的最值；给出数学问题的解答。
③ 把数学问题的解答转化为实际问题的答案。
五、基础训练：
1． 周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________。
2 某产品的销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数：2117y x =，生产总成本2y （万元）也是产量x （千台）的函数：3222(0)y x x x =->，为使利润最大，应生产产品________台。
3 一轮船以v 千米/时的速度航行，每小时用煤30.30.001v +吨，____v =千米/时，才能
使轮船航行每千米用的煤最少。
4 设正三棱柱的体积为v ，那么其表面积最小时的底面边长为________。
5 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知
总收益R 与年产量x 的关系是：
21400(0400)()280000(400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩
，则总利润最大时，每年生产的产品是_______ 个单位。
六、典型例题
例1 用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问：该长方体长，宽，高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
例2 经过点(1,1)M 作直线l 分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于,A B 两点，设直线l 的斜率为k ，OAB ∆的面积为S
（1） 求S 关于k 的函数关系式()S f k =；
（2） 求S 的最小值以及相应的直线l 的方程。
变式：有一隧道既是交通拥挤地段又是事故多发地段。
为了保证安全，交通部门规定：隧道内的车距()d m 正比于车速(/)v km h 的平方与自身长()l m 的积，且车距不得小于半个车身长。
而当车速为60(/)km h 时，车距为1.44个车身长。
在交通繁忙时，应规定车速为多少时可以使隧道的车流量最大。
例 3 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知20,10AB km CB km ==，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道,,AO BO OP ，设排污
管道的总长为ykm 。
（1） 按下列要求写出函数关系式：
①设(),BAO rad θ∠=将y 表示成θ的函数关系式；
②设()op x km =，将y 表示成x 的函数关系式。
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
七、反思感悟
八、千思百练：
1． 有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为________2
m 。
2 一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀率为30.3/m s ，则其半径增至1.5m 时，半径的增长率是________。
3 容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料
4 一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，当圆半径与矩形的高的比为________时，窗户周长最小。
5 若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为________。
6 以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为________。
7用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________。
8将水注入圆锥形容器中，其速度为34/min m ，设圆锥形容器的高为8m ，顶口直径为6m ，求当水深为5m 时，水面上升的速度。
A B C D P O
9 某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的关系是：
3()432
x p x N x +=∈+ （1）求该厂的日盈利额T （元）用日产量x （件）表示的函数；
（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
10统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/时）的函数解析式可以表示为3138(0120)12800080y x x x =
-+<≤，已知甲乙两地相距100千米。
（1） 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2） 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？。