高中数学B版必修1第三章3.4数学建模活动：数学建模论文示例 2个课时

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数学人教B必修第一册：数学建模活动 PPT模板

对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模.
数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式。
这表示投资每增加1个单位，收入将增加个单位. 例如，当C0=10，a= 时，有Y=5I+50，因此：如果投资I=10，那么Y=5×10+50=100；如果投资l=15，那么Y=5×15+50=125. 可以看到，投资增长5个单位时，收入增加了25个单位。
此时，C0
国民收入、消费与投资的关系
4.验证结果、改进模型
怎样才能确定上述f（x），g（t），h（t）呢？这可以通过合理假设以及收集数据、确定参数来完成。
我们可以假设f（x）和g（t）都是一次函数，且f（x）=k1x+L1，g（t）=k2t+L2；并假设h（t）是一个二次函数，且h（t）=at2+bt+c.
则有
z=f（h（t））-g（t）=k1at2+（k1b一k2 ）t+k1c+L1-L2，其中k1<0，k2>0，a≠0.
国民收入、消费与投资的关系
2.分析问题、建立模型
要用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系，实际上是要研究国民收入（简称为收入，用Y表示）、国民投资（简称为投资，用l表示）、国民消费（简称为消费，用C表示）之间的关系. 为了简单起见，可以做出以下假设：（1）收入、投资、消费都用同一单位来衡量，为了方便，以下均省略单位；（2）收入只用于投资和消费；（3）消费可以分为两部分，一部分为基本消费（用C0表示），另一部分与收入成正比，比例系数为a. 值得注意的是，以上假设都是合理的。例如一个家庭的收入，一般面言，不是用于投资（比如储蓄、购买理财产品等），就是用于消费（比如家庭成员的生活支出等）；一个家庭的消费，一部分用于满足基本生活需求（比如购买食品等），而另一部分则依赖于收入的多少（比如家庭成员的旅游支出等）。由假设可知，收入、投资、消费之间的关系可描述为

高中数学人教B版必修第一册《34_数学建模活动：决定苹果的最佳售出时间点》(有答案)

人教B 版必修第一册《3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳售出时间点》同步练习卷一、选择题1. 某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42. 一个玩具厂一年中12月份的产量是1月份产量的a 倍，那么该玩具厂这一年中产量的月平均增长率是（） A.√a 11−1 B.√a 12−1C.a11D.a123. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况．（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程）在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（） A.6升 B.8升C.10升D.12升4. 某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低（）元． A.2元 B.2.5元C.1元D.1.5元5. 如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点A ，B 在直径上，顶点C ，D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为（）（单位：cm 2）．A.8B.10C.16D.206. 某市出租车起步价为5元（起步价内行驶里程为3km），以后每1km价为1.8元（不足1km按1km计价），则乘坐出租车的费用y（元）与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的（）A. B.C. D.7. 某电动汽车“行车数据”的两次记录如表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，=，剩余续航里程=）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是（）A.等于12.5B.12.5到12.6之间C.等于12.6D.大于12.68. 如图，某广场要规划一矩形区域ABCD，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有1m宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200m2，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）A.248m2B.288m2C.328m2D.368m29. 某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f(n)＝k(n)(n−10)，n>10（其中n是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元），而k(n)＝，现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分，则乙所得奖励比甲所得奖励多（）A.600元B.900元C.1600元D.1700元二、填空题《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两________文．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：f(x)={−720x+1,0<x≤11 5+920x−12,1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%．其中正确的结论序号有________．（注：请写出所有正确结论的序号）有一批材料可以建成360m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），则围成场地的最大面积为8100m2（围墙厚度不计）．某校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示），则占地面积的最小值为648m2．三、解答题如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm．（1）求广告牌的面积关于x的函数S(x)；（2）求广告牌的面积的最小值．某地的出租车价格规定：起步费11元，可行驶3千米；3千米以后按每千米2.1元计价，可再行驶7千米；以后每千米都按3.15元计价．（1）写出车费y（元）与行车里程x（千米）之间的函数关系式．（2）在右侧的坐标系中画出（1）中函数的图象．（3）现某乘客要打车到14千米的地方，有三个不同的方案打出租车．甲方案：每次走完起步费的路程后就重新打出租车，直到走完全部路程；乙方案：先乘出租车走完10千米的路程，再重新打出租车一直走完剩下的路程；丙方案：只乘一辆出租车到底．试比较哪种方案乘客省钱？某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元∼1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为y＝f(x)时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25, 1600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤75恒成立；（3）f(x)≤x恒成立．）5+10是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（1）判断函数f(x)=x30（2）已知函数g(x)=a√x−5(a≥1)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P＝a+2，设甲城市的投入为3√2a−6，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q=14x（单位：万元），两个城市的总收益为f(x)（单位：万元）．（1）求f(x)及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？沙市中学“习坎服务部”对某种新上市的品牌商品进行促销活动，已知此品牌的一个水杯定价20元，一个钥匙扣定价5元，且该服务部推出两种优惠活动方式；（1）买一个水杯赠送一个钥匙扣；（2）按购买两种商品的总费用90%付款若某宿舍4位同学需集体购买水杯4个，钥匙扣x个（不低于4个），试按两种不同优惠方式写出实付款y元关于x的函数关系式，并讨论选择那种购买优惠方式更划算？我国开展扶贫T作始于上世纪80年代中期，通过近30年的不懈努力，很多贫困地区和家庭都已脱贫致富，扶贫T作取得了举世公认的辉煌成就．2013年11月，习总书记又作出了“精准扶贫”的重要指示，我国于2014年开始全面推动了“精准扶贫”的工作．某单位甲在开展“精准扶贫”中，为帮扶“精准扶贫”对象--农户乙早日脱贫致富，与乙协商如下脱贫致富方案：让乙种植一年生易种药材，当乙种植面积不超过4亩时，甲投入2万元的成本；当乙种植面积超过4亩时，每超过1亩（不足1亩时按1亩计算），甲再追加投入2千元的成本，且甲投入的成本乙必须全部用于该药材种植．而每年该药材的总收益R(x)（单位：元）满足R(x)＝−100x2+3200x+45000（其中x为种植药材面积，其单位为亩，且x∈N∗，x≤20）．(l)试表示甲这一年扶贫乙时所投入的成本g(x)（单位：元）关于种植该药材面积x的函数；试表示乙这一年的纯收益f(x)（单位：元）（注：纯收益一总收益一成本），当乙种植多少亩该药材时，才能使他当年的纯收益最大？其最大纯收益为多少元？参考答案与试题解析人教B版必修第一册《3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳售出时间点》同步练习卷一、选择题1.【答案】C【考点】函数模型的选择与应用【解析】因是选择题，可进行分步计算，用42=9+11+11+11易得．【解答】解：∵原价是：48×42=2016(元)，2016×0.6=1209.6(元)，∵每张订单金额（6折后）满300元时可减免100，∴若分成10，10，11，11，由于48×10=480，480×0.6=288，达不到满300元时可减免100，∴应分成9，11，11，11．∴只能减免3次.故选C．2.【答案】A【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】设月平均增长率为x，建立方程关系，进行求解即可．【解答】解：设月平均增长率为x，一月份的产量为1，∵一年中12月份的产量是1月份产量的a倍，∴(1+x)11=a，11，即1+x=√a11−1，即x=√a故选：A3.【答案】C【考点】函数的概念及其构成要素【解析】根据题意及表中数据可看出，行驶600公里，用60升油，从而可求出该车每100千米的平均耗油量．【解答】由题意知，行驶600公里，用油60升；∴在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为10升．4.【答案】D【考点】函数模型的选择与应用二次函数的性质【解析】根据经济效益为每件获利×每天卖出商品件数，可构建函数关系式，利用配方法，即可求得所求每件单价．【解答】解：设每件降价0.1x元，则每件获利(4−0.1x)元，每天卖出商品件数为(1000+100x)．经济效益：y=(4−0.1x)(1000+100x)=−10x2+300x+4000=−10(x2−30x+225−225)+4000=−10(x−15)2+6250．∴x=15时，y max=6250．即每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．故选D．5.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】连接OC，设|OB|＝x(0<x<4)，将BC用x表示，得出矩形ABCD面积的表达式，再利用基本不等式可求出该矩形面积的最大值．【解答】如图所示，连接OC，设|OB|＝x(0<x<4)，则|BC|＝，又|AB|＝2|OB|＝2x，∴矩形ABCD的面积为S＝|AB|⋅|BC|＝2x•＝2≤(16−x2)+x2＝16，当且仅当16−x2＝x2，即x＝2时，等号成立，6.【答案】B【考点】函数的图象变换【解析】根据题意可知函数图象为分段的常数函数，观察图象即可直接判定．【解答】解：∵出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是3km），∴(0, 3]对应的值都是5，∵以后每1km价为1.8元，∵不足1km按1km计价，∴3<x≤4时，y=5+1.8=6.8，4<x≤5时，y=5+1.8+1.8=8.6，故选：B7.【答案】D【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据累计耗电量公式计算．【解答】4100×0.126−4000×0.125＝516.6−500＝16.6．8.【答案】D【考点】根据实际问题选择函数类型基本不等式及其应用【解析】设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，得3xy＝200，可得试验田ABCD的面积S＝(3x+4)(y+2)，然后利用基本不等式求最值．【解答】设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy＝200，∴y＝，即矩形区域ABCD的面积：S＝(3x+4)(y+2)＝(3x+4)（+2)＝208+6x+≥208+2＝368．当且仅当6x＝，即x＝20时取“＝”，∴矩形区域ABCD的面积的最小值为368平方米．9.【答案】D【考点】根据实际问题选择函数类型众数、中位数、平均数【解析】由已知求得k(18)与k(21)，进一步求得f(18)与f(21)的值，作差得答案．【解答】∵k(18)＝200（元），∴f(18)＝200×(18−10)＝1600（元），又∵k(21)＝300（元），∴f(21)＝300×(21−10)＝3300（元），∴f(21)−f(18)＝3300−1600＝1700（元）．二、填空题【答案】6【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】设肉价是每两x文，根据题意列出方程可解得答案【解答】设肉价是每两x文，由题意得16x−30＝8x+18，解得x＝6，即肉价是每两6文．【答案】①②【考点】命题的真假判断与应用【解析】由分段函数可得函数的单调性，可判断①；由f(9)的值可判断②；由f(26)的值可判断③．【解答】f(x)={−720x+1,0<x≤11 5+920x−12,1<x≤30.，可得f(x)随着x的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)=15+920x−12，f(9)=15+920⋅9−12=0.35，9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)=15+920⋅26−12>15，故③错误．【答案】8100【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】设出宽，进而可表示出长，利用矩形面积公式求得面积的表达式，再利用二次函数的性质求得矩形面积的最大值．【解答】设每个小矩形的高为am，则长为b＝(360−4a)m，记面积为Sm2则S＝3ab＝a⋅(360−4a)＝−4a2+360a(0<a<90)∴当a＝45时，S max＝8100(m2)∴所围矩形面积的最大值为8100m2【答案】648【考点】根据实际问题选择函数类型基本不等式及其应用【解析】设游泳池的长为xm，占地面积为ym2，则游泳池的宽为m，依题意写出函数y的解析式，再利用基本不等式求最值．【解答】设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为m，再设占地面积为ym2，依题意得，y＝(x+8)（+4)＝424+4(x+）≥424+8＝648，当且仅当x＝，即x＝28时，取“＝”．∴占地面积最小为648m2．三、解答题【答案】依题意广告牌的高为tm，则(x−1)(t−1.25)＝45，所以，且x>1，所以广告牌的面积s(x)＝tx＝(x>1)．由（1）知，s(x)＝tx＝＝+46.25＝61.25，当且仅当，即x＝7号成立．所以s(x)min＝s(7)＝61.25m2，广告牌的面积的最小值为61.25m2．【考点】基本不等式及其应用（1）依题意广告牌的高为tm，则(x−1)(t−1.25)＝45，整理即可求解；（2）由（1）知，s(x)＝tx＝，分离后利用基本不等式可求．【解答】依题意广告牌的高为tm，则(x−1)(t−1.25)＝45，所以，且x>1，所以广告牌的面积s(x)＝tx＝(x>1)．由（1）知，s(x)＝tx＝＝+46.25＝61.25，当且仅当，即x＝7号成立．所以s(x)min＝s(7)＝61.25m2，广告牌的面积的最小值为61.25m2．【答案】y＝，甲方案：需要5次打车，共计打车费用为55元；乙方案：10千米的路程费用为y＝2.1×10+4.7＝25.7（元），剩下的4千米的费用：y＝2.1×4+4.7＝13.1（元）乙方案共计费用为25.7+13.1＝38.8（元），丙方案：3.15×14−5.8＝38.3（元）所以，丙方案乘客省钱．根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据题意列出在不同范围内是的函数表达式，得出分段函数；（2）参考点：A、横纵坐标单位刻度可以不一致，要标注x、y轴的单位；B、要体现出关键点对应的横、纵坐标；C、要是三条折线（段）；D、与y轴的交点要画小圆圈．（3）别计算不同的函数值，比较即可．【解答】y＝，甲方案：需要5次打车，共计打车费用为55元；乙方案：10千米的路程费用为y＝2.1×10+4.7＝25.7（元），剩下的4千米的费用：y＝2.1×4+4.7＝13.1（元）乙方案共计费用为25.7+13.1＝38.8（元），丙方案：3.15×14−5.8＝38.3（元）所以，丙方案乘客省钱．【答案】对于函数模型f(x)=x30+10，当x∈[25, 1600]时，f(x)是单调递增函数，则f(x)≤f(1600)=1603+10≤75，显然恒成立，若函数f(x)=x30+10−x5≤0恒成立，即x≥60∴f(x)=x30+10不恒成立，综上所述，函数模型f(x)=x30+10，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型f(x)=x30+10，不符合公司要求；x∈[25, 1600]时，g(x)＝a√x−5有意义，∴g(x)max＝a√1600−5≤75，∴a≤2，设a√x−5≤x5恒成立，∴ax≤(5+x5)2恒成立，即a≤25x +2+x25，∵25x +x25≥2√25x⋅x25=2，当且仅当x＝25时取等号，∴a≤2∵a≥1，∴1≤a≤2，故a的取值范围为[1, 2]【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）研究它的单调性和恒成立问题，即可判断是否符合的基本要求；（2）先求出g(x)max＝a√1600−5≤75，此时a的范围，再求出满足f(x)≤x5恒成立a 的范围，即可求出【解答】对于函数模型f(x)=x30+10，当x∈[25, 1600]时，f(x)是单调递增函数，则f(x)≤f(1600)=1603+10≤75，显然恒成立，若函数f(x)=x30+10−x5≤0恒成立，即x≥60∴f(x)=x30+10不恒成立，综上所述，函数模型f(x)=x30+10，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型f(x)=x30+10，不符合公司要求；x∈[25, 1600]时，g(x)＝a√x−5有意义，∴g(x)max＝a√1600−5≤75，∴a≤2，设a√x−5≤x5恒成立，∴ax≤(5+x5)2恒成立，即a≤25x +2+x25，∵25x +x25≥2√25x⋅x25=2，当且仅当x＝25时取等号，∴a≤2∵a≥1，∴1≤a≤2，故a的取值范围为[1, 2]【答案】由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120−x万元．∴f(x)＝3√2x−6+14(120−x)+2=−14x+3√2x+26，依题意得{x≥40120−x≥40，解得40≤x≤80．故f(x)=−=−14x+3√2x+26，(40≤x≤80)．令t=√x，则t∈[2√10, 4√5]．∴y=−14t2+3√2t+26=−14(t−6√2)2+44．当t＝6√2，即x＝72万元时，y的最大值为44万元∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120−x万元，f(x)＝3√2x−6+14(120−x)+2，即可得出．（2）令t=√x，则t∈[2√10, 4√5]．y=−14t2+3√2t+26=−14(t−6√2)2+44．利用二次函数的单调性即可得出．【解答】由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120−x万元．∴f(x)＝3√2x−6+14(120−x)+2=−14x+3√2x+26，依题意得{x≥40120−x≥40，解得40≤x≤80．故f(x)=−=−14x+3√2x+26，(40≤x≤80)．令t=√x，则t∈[2√10, 4√5]．∴y=−14t2+3√2t+26=−14(t−6√2)2+44．当t＝6√2，即x＝72万元时，y的最大值为44万元∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．【答案】：y1＝80+5(x−4)＝60+5x，x≥4且x∈N，优惠办法：y2＝(80+5x)⋅90%＝72+4.5x，x≥4且x∈N，当y1−y2＝0.5x−12＝0时，解得x＝24．故当4≤x<24时用第一种方案，x＝24时两方案一样，x>24时，采用第二种方案．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据购买的总费用＝水杯的费用+钥匙扣的费用，建立关系式就可以；分3种情况讨论，当y1>y2，y1＝y2，y1<y2时分别求出x的值即可．【解答】：y1＝80+5(x−4)＝60+5x，x≥4且x∈N，优惠办法：y2＝(80+5x)⋅90%＝72+4.5x，x≥4且x∈N，当y1−y2＝0.5x−12＝0时，解得x＝24．故当4≤x<24时用第一种方案，x＝24时两方案一样，x>24时，采用第二种方案．【答案】（1）由题意，g(x)＝＝；（2）f(x)＝．当0<x≤4时，f(x)为增函数，∴f(x)max＝f(4)＝36200；当4<x≤20时，f(x)＝−100(x−6)2+36600．故当x＝6时，f(x)max＝36600．又36600>36200．故当乙种植该药材的面积为6亩时，其纯收益最大，且最大纯收益36600元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）直接由题意可得g(x)关于种植该药材面积x的函数；（2）写出一年的纯收益f(x)，利用配方法求出两段的最值，取最大值得答案．【解答】（1）由题意，g(x)＝＝；（2）f(x)＝．当0<x≤4时，f(x)为增函数，∴f(x)max＝f(4)＝36200；当4<x≤20时，f(x)＝−100(x−6)2+36600．故当x＝6时，f(x)max＝36600．又36600>36200．故当乙种植该药材的面积为6亩时，其纯收益最大，且最大纯收益36600元．。

高中数学北师大版必修一数学建模的主要步骤课件

即 t^2-25t+150≤0，解得10≤t≤15.
即税率应控制在10%-15%为宜.
环节三
学习与反思
检测
1.某新产品投放市场后第一个月销售
100台，第二个月销售200台，第三个
月销售400台，第四个月销售790台，
则下列函数模型中能较好地反映销量
y与投放市场的月数x之间关系的是
(
)
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋
一般不容易求得精确值,这就
要根据需要求近似解.
(4)检验结果
用实际现象或数据检验求得
的解是否符合实际.如果不符
合实际情况,就要重新建模.
环节二
案例分析
案例分析
例1.某工厂今年1月、2月、3月生产
某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3
万件.为了估计以后每个月的产量，
以这三个月的产品数量为依据，用一
设围成的矩形场地的长为x m，
－
－
则宽为
m，则S＝
＝ (－

x2＋200x)．
当x＝100时，Smax＝2 500(m2)．
检测
3.已知投资x万元经销甲商品所获得

的利润为P＝；投资x万元经销乙商

品所获得的利润为Q＝

(a＞0)．
若投资20万元同时经销这两种商品或
个函数来模拟该产品的月产量y与月
份x的关系.模拟函数可以选择二次函
数或函数y=a•bx+c(其中a，b，c为常
数)，已知4月该产品的产量为1. 37万
件，试问用以上哪个函数作为模拟函
数较好？并说明理由
解：由题意，设 1 =
= 2 +qx+r(p≠0),

高一【数学(人教B版)】数学建模活动(1)-教学设计

14 分钟
最低？消费者：什么时候是买苹果的最佳时间？
营销者：什么时候是卖苹果的最佳时间？
2. 分析问题、建立模型：
（1）明确问题：苹果的最佳售出时间点就是获得最大收益的时间
点。
（2）必要假设，简化问题：
i.除储存成本外，无其他成本
ii.你具有的苹果数量是个定值。（如：果园产量为定值）
iii.苹果都能售出。
计算出参数 k1, l1, k2 ,l2 , a,b, c
iv. 确定函数模型；确定函数：
y f (x) 0.5x 5 C g(t)=0.01t 0.1
x h(t)=0.002t2 0.14t 9.6
因此，我们可以得到收益关于时间的函数：
z 0.001t2 0.06t 0.1
z y C f (x) g(t) f (h(t)) g(t)
k1at 2 (k1b k2 )t k1c l1 l2
3. 确定参数、计算求解: ii. 收集数据；
x / 万吨
8.4
7.6
y/元
0.8
1.2
t /天 C/元
1 0.11
2 0.12
t /天 x / 万吨
1 9.462
但是，应用题的数量关系是确定的，答案当然也是确定的，相比应用题，
数学建模
（1）（2）
（3）（4）
问题是自己发现、提出的；数量关系是自己分析出来的；数据是自己收集的；函数关系或者说数学模型是自己建立的
课时小结 3分钟
实际问题
数学抽象
实际问题
还原说明
数学模型推理验算
数学模型
2 9.328
3 9.198
iii. 代入确定参数；

2019(新课标)高中数学人教B版目录(全)新版

2.1.1 等式的性质与方程的解集
4.6 函数的应用 (二)
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
4.7
数学建模活动：生长规律的描述
2.1.3 方程组的解集

第五章统计与概率
2.2 不等式
5.1 统计
2.2.1 不等式及其性质
2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一元二次不等式的解法 2.2.4 均值不等式及其应用第三章函数 3.1 函数的概念与性质
6.2.3 平面向量的坐标及其运算 6.3 平面向量线性运算的应用本书拓展阅读目录对数发明起源的简介素数个数与对数指数运算与生活哲学我国古代统计工作简介用样本估计总体的失败案例 “黄金７２小时”中的概率向量的推广与应用
人教B版（2019）必修三第七章三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制
6.1.1 向量的概念
自主招生中的充分条件与必要条件
6.1.2 向量的加法
《九章算术》中的代数成就简介
6.1.3 向量的减法
函数定义的演变过程简介
6.1.4数乘向量
物理中的变化率
6.1.5 向量的线性运算
付出与收获的关系
6.2 向量基本定理与向量的坐标
二分法在搜索中的应用
6.2.1 向量基本定理
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
10.2 复数的运算
1.2.5 空间中的距离
10.2.1 复数的加法与减法
第二章平面解析几何
10.2.2 复数的乘法与除法
2.1坐标法
10.3 复数的三角形式及其运算
2.2 直线及其方程
第十一章立体几何初步
2.2.1直线的倾斜角与斜率
11.1 空间几何体

人教版(B版)高中数学必修第2册数学建模活动(3)

提出问题建立模型参数求解模型检验
你能进一步改进这个模型吗？
可以以第9段为界分段描述或者更换函数模型.
若以第9段为界分段描述：将 H (9) 153.6, H (11) 180.79 代入 H (x) AeBx ，可解得：
H (x) 74.096e0.081x ,
所以
0.458e0.670x , H (x) 74.096e0.081x ,
年龄/岁身高/cm 年龄/岁身高/cm
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
你能看出7岁以下女童身高的哪些生长规律？
0
-3.53 0
0
x 8, x 9.
4 7.73
6.68 -1.05
10 174.9
-8.34
69.56
5 16.55 13.05 -3.5
11 180.79
0
0
6 经计算， 32.55 在H(x)模型 25.51 下，误差的 -7.04 平方和约为
145.06.
因此，我们可以通过计算不同模型下误差的平方和来比较模型之间的优劣. 在玉米植株生长规律问题中，
对于女童身高生长规律问题，利用
提出问题
g(x) 26.7 x 49.7 计算对应函数值，可得下表：
年龄/岁 0 0.5
1
1.5
2
2.5
3 建立模型
身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
g(x) 49.7 68.6 76.4 82.4 87.5 91.9 95.9 参数求解

新教材人教B版必修一第三章3.4数学建模活动：数学建模论文示例第2课时

.4 数学建模活动：数建模论文示例》
主讲人：王光图潍坊一中
一、提出问题
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果和展示解决实际问题的过程，我们还需要将建模结果整理成论文的形式.
一、提出问题
一般情况下，数学建模的论文的结构可以按照建模的过程来确定，一般结构为：
论文标题
一、背景介绍
五、数据的收集和模型的求解
二、问题提出与分析
六、模型的检验
三、模型假设与符号说明
七、模型的评价
四、模型的建立
八、作者，摘要，参考文献，附录等
二、分工合作、完成论文
以“决定苹果的最佳出售时间点”或者“停车距离的数学模型”
为例或者自行选择题目，完成数学建模论文写作. 分工合作：一般情况下，对于一些综合性比较强的问题而言，数学
建模的过程中需要做的事情比较多，比如数据收集与整理、模型试算、对比不同的模型将结果以可视化方式展示、资料整理与论文撰写等，因此数学建模的过程中，往往采用分工合作的方式进行.一般来说，一个数学建模小组由3-4人组成.
理想的小组中，既要有数学基础扎实的同学，也要有能熟练使用计算机的同学，还要有写作表达能力强的同学.
谢谢看
观

高中数学第四章数学建模活动三1数学建模实例课件(1)北师大版选择性必修第一册

系:an+1=an+5,a1=220;bn+1=bn+1,b1=34.由此得到an=215+5n和bn=33+n,于
是有bn=0.2an-10.
进一步,将脚长和对应的鞋号记作(a,b),在平面直角坐标系中描点,视察到
线性关系,然后建立关系式b=0.2a-10.
构建数据表,利用计算工具的电子表格作出散点图,选择几种函数模型进行
二档、第二档与第三档的两个电量临界值,即75%和95%这两个电量临界
值.
通过样本估计总体百分位数的要领是对样本数据进行排序,得到有序样本
(在统计学中称之为顺序统计量).
利用电子表格软件,对上面的样本数据进行排序,可以得到下面的结果:
8
18
22
31
42
48
49
50
51
56
57
57
60
61
61
61
62
社会上对这种制定阶梯电价的原则和方法存在不同意见,教师可以引导学
生讨论制定合理阶梯电价的原则和方法.
本课结束
知识解决数学问题的一类综合实践活动,也是高中
阶段数学课程的重要内容.
本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上,通过具体实例,建立一些基
于数学表达的经济模型和社会模型,包括存款贷款模型、投入产出模型、
经济增长模型、凯恩斯பைடு நூலகம்型、生产函数模型、等级评价模型、人口增长
模型、信度评价模型等.在教学活动中,要让学生知道这些模型形成的背景、
(3)当a=282时,代入公式b=0.2a-10,得b=46.4.分两种情况:如果简单地进行
“四舍五入”,那么选46号鞋;如果想穿鞋不挤脚,可以选47号鞋.

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3.4 数学建模活动：数建模论文示例
教学课时：第1课时
教学目标：
1、经历从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程，掌握建模方
法，培养数学建模、数学抽象等核心素养；
2、通过学习数学和应用数学，认识数学的科学价值、应用价值，体会数学在社会生活和生
产实践中的应用，落实立德树人的根本任务，培养学生的社会责任感和使命感．
教学重点：
建立数学模型的过程．
教学难点：
如何把一个实际问题转化成数学问题．
教学过程：
一、提出问题、合作探究
问题1：什么是数学建模活动：
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。

主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模活动的基本过程如下：
下面我通过一个实际问题，来体会数学建模的过程.
二、分析问题、建立模型
问题2：陕西省目前已经是全球最大的连片种植苹果区域，苹果产量占全世界六分之一，种植面积高达1000多万亩.2019年11月，小明家所在的村镇苹果丰收，可是当地农民却发愁：是现在就把苹果出售还是储存起来，等冬季苹果数量少价格高了再出售.
利用数学建模方法解决：决定苹果的最佳出售时间点.
交流与讨论1：
①一般情况下，影响商品价格的因素有哪些？
影响商品价格的因素有很多，假定其它影响因素不变，只考察一个因素：苹果的数量影响价格.
当市场上苹果的数量比较多时候，价格较低；当市场上苹果的数量较少时候，价格较高； ②如果用一定技术手段，把苹果储存起来，储存成本和时间的关系是什么？
一般情况下，储存成本会随着时间增长而增大.
③为了能够通过数学方法解决问题，不同的保鲜储存技术问题的成本问题不予考虑. 交流与讨论2：如何用数学符号语言来描述上述讨论的结果？
设市场上苹果的数量为x 万吨，苹果的单价为y 元.
则y 会随着x 的增大而减少；y 会随着x 的减少而增大.记：()y f x =.则()y f x =是减函数.
设苹果保鲜储存的时间为t 天，单位数量苹果保鲜成本为()g t ，则()g t 是一个增函数. 市场上苹果的数量x 会随着时间为t 的变化而变化，设()x h t =.
交流与讨论3：如何建立苹果收益的数学模型（函数）？
设苹果在第t 天出售时，单位数量的苹果的收益用z （元）表示，则：
()()(())()z f x g t f h t g t =-=-.
下面只要根据实际情况确定()f x ，()x h t =，()g t 的表达式即可.
为了简化，我们假设：()f x 和()g t 都是一次函数，()x h t =是二次函数，即：
111(),(0)f x k x l k =+<，222(),(0)g t k t l k =+>.2(),(0)x h t at bt c a ==++≠.
则：2112112()()(())()()z f x g t f h t g t k at k b k t k c l l =-=-=+-++-.
【设计意图】
数学建模的过程是锻炼学生对现实对象进行分析、提炼、归纳、抽象的结果，是以数学语言来精确地描述现实对象的内在特征，以便于通过数学上的演绎推理和分析，求解深化对
所研究实际问题的认识.
三、确定参数，计算求解
交流与讨论4：如何确定函数模型111(),(0)f x k x l k =+<，222(),(0)g t k t l k =+>，2(),(0)x h t at bt c a ==++≠中的参数？
通过调查，收集实际数据，来确定参数.例如，收集了如下数据：
运用待定系数法，求得函数模型：
()0.50.5f x x =-+，
()0.010.1g t t =+，
2()0.0020.149.6x h t t t ==-+.
从而：20.0010.060.1z t t =-++
求解：20.001(30)1z t =--+，所以在30t =时，单位商品所获得的利润最大，为1元.
四、思考反思.
上面建立的模型可能会与实际情况有所偏差，因为在建模的过程中，我们假设()f x 和()g t 都是一次函数等于就已经把问题做了简化，如果条件允许，可以在收集尽可能多的数据的基础上，通过分析数据来最终建立函数的模型，这样也能优化最终建立的模型.
本次数学建模活动是针对一个地区的苹果的最佳出售时间，这个问题在很多偏远地区具有广泛的应用前景，特别是国家对于贫困地区进行大力扶持脱贫攻坚阶段，如果运用我们所学到的数学知识，帮助农民伯伯实现丰产又丰收，这样我们所学到的知识的意义将更加重大.如果同学们有条件的话，可以把自己的模型和当地种植苹果的农民伯伯来进行验证，从而让数学在生产实践中发挥更大的作用.
五、布置作业.
教材130页，3.(2)查阅数据或者自行设计试验收集数据，建立有关停车距离的数学模型. 【注意：如果自行设计试验，在保证自身或者他人安全的情况下收集数据】
教学课时：第2课时
教学目标：
3、经历从实际问题到建立数学模型过程，掌握建模方法，培养数学建模、数学抽象等核心
素养；
4、理解数学建模论文写作的一般要求．
教学重点：
理解数学建模论文写作的一般要求．
教学难点：
如何规范进行数学建模论文写作．
教学过程：
一、提出问题.
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果和展示解决实际问题的过程，我们还需要将建模结果整理成论文的形式.
一般情况下，数学建模的论文的结构可以按照建模的过程来确定，一般结构为：
二、分工合作，完成论文.
以“决定苹果的最佳出售时间点”或者“停车距离的数学模型”为例或者自行选择题目，完成数学建模论文写作.
分工合作：一般情况下，对于一些综合性比较强的问题而言，数学建模的过程中需要做的事情比较多，比如数据收集与整理、模型试算、对比不同的模型将结果以可视化方式展示、资料整理与论文撰写等，因此数学建模的过程中，往往采用分工合作的方式进行.一般来说，一个数学建模小组由3-4人组成.
理想的小组中，既要有数学基础扎实的同学，也要有能熟练使用计算机的同学，还要有写作表达能力强的同学.。