新版浙教版2018年秋九年级数学上册第四章相似三角形4.4两个三角形相似的判定第1课时同步测试
两个三角形相似的判定课件(浙教版)
A
c
b
A′
c′
b′
Ba C
B′
a′
C′
△ABC与△A′B′C′都是等边三角形，
由a b c且a' b' c'
a b＝c a' b' c'
△ABC ∽△A' B' C'
例题探究
例4 如图判断4×4方格中的两个三角形是否类似, 并说明理由.
解：视察图形根据勾股定理 我们可以计算出
AB 2 2 , BC 10 ,CA 2
解： （1） AB 8 1 A' B ' 16 2 AC 15 1 A'C ' 30 2
AB AC A'B' A'C '
∠A=∠A' ∴△ABC∽△A'B'C'
（2）
AB 10 5 0.625 A' B ' 16 8
AC 16 0.625 A 'C ' 25.6
BC 8 0.625 B 'C ' 12.8
AB BC AC 0.625 A'B' B'C ' A'C '
∴△ABC∽△A'B'C'
2、根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否类似，并说明理由：
（1）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm， ∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm；
（2）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm．
EF 2 5 , FD 5 , DE 5
九年级数学上册 4.4 两个三角形相似的判定(第1课时)课件 (新版)浙教版
全等三角形的判定
(pàAndSìAng) AAS SAS SSS
相似(xiānɡ sì)三角形的判定1: 有两个角对应相等的两个三角形相似 (xiānɡ sì)。 两边对应成比例,且夹角(jiā jiǎo)相等的两个三 角形相似吗?
第二页，共18页。
合作(hézuò)
探请究同学们在如图的方格纸上
相似？
Ｄ
7
A
4Ｅ
AB AC 5 AD AE 1
35 20
BAC DAE
B 54 C
第八页，共18页。
辨一辨
（4）判断图中的各对三角形是否(shì fǒu)相似。
A
B
5
6
O
24
20
B 8D
14
D
C
A 12
21
P
E 30 D
C
36
48 72
F
54
A 45 B
A
第九页，共18页。
B 4 D 18
11 C 12 P
例1、如图,已知点D,E分别在AB,AC上,且 AD AE
AB AC
求证
证明(E∥q：iBú∵Czh∠ènAg=)∠:DA
AD AE AB AC
A
D
E
∴△ABC∽△ADE
B
C
∴ ∠ADE=∠B
∴ DE∥BC
第十页，共18页。
例2、如图判断4×4方格中的两个三角形是否(shì fǒu)
相似,并说明理由.
合作(hézuò)
A’
探把究方格纸中的△ABC的各边放
大(fàngdà)到原来的2倍，得到
△△AA/BBC/与C/△A/B/C/的三边有什么数
浙教版九年级数学上册教学课件-4.4 两个三角形相似的判定 (共15张PPT)
20m Ｅ
知识应用---------相似三角形在圆中
已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD交于点P。 （1）求证：△ADP∽ △CBP;
(2)判断AP· BP=DP· CP是否成立，并说明理由。 A D P B
C
课的小结 C
二个定理
一个结论
A D B E C B
A
D D A C B
试一试:
1、如图，已知EF∥CD∥AB，请说出图中的相似三
角形.
E C A
O F D B
A A
F D E C
B
2、如图，已知DE∥AC，EF∥AB，请找出图中所有的 、如图，已知DE∥BC，DF∥AC，请找出图中所有的 2 2、如图，已知DE∥BC，DF∥AC，请找出图中所有的 相似三角形，并说明理由。 相似三角形，并说明理由。 相似三角形，并说明理由。
命题：如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 已知：在△ABC 和△A′B′C′ 中,∠A=∠A′,∠B=∠B′, 求证:ΔABC∽ △A′B′C′
D B
A
A′
E B′ C
C′
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个
三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
Ｂ
C
3、如图，等腰三角形ABC的顶角∠A=360，BD是∠ABC 的平分线，判断点D是不是线段AC的黄金分割点，并 说明理由。
A A
D D B B C C
即
几何语言: ∵ ∠A=∠A’, ∠B=∠B’ ∴ Δ ABC∽ △A’B’C’
A A′
B
C
B′
C′
（1）已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，
浙教版数学九年级上册4.4 两个三角形相似的判定(一).docx
4.4 两个三角形相似的判定(一)1．如图，在△ABC 中，DE ∥B C.若AD AB ＝13，DE ＝4，则BC ＝(D )(第1题)A. 9B. 10C. 11D. 122．有一个角相等的两个等腰三角形(C ) A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 一定全等3．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 边上一点，AE 交BD 于点F .如果EC BE ＝23，那么BFFD 的值为(B )A. 25B. 35 C. 23 D. 53(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，若∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为(C)A. 154 B. 7C. 152 D.2455．如图，在▱ABCD中，F是BC上一点，直线DF与AB的延长线交于点E，作BP∥DF，与AD 交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP∽△AED(答案不唯一)．(第5题)6．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2 2，AB＝3，则BD＝__83__．(第6题)7．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为4__2．(第7题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，D是BC的中点，连结AD与BE交于点F.求证：△AFE∽△BCE.(第8题)【解】∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠FAE＋∠C＝90°.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＋∠C＝90°.∴∠FAE＝∠CBE.又∵∠AEF＝∠BEC＝90°，∴△AFE∽△BCE.9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AD，BC的延长线交于点E，显然△EAB∽△ECD，在不添辅助线的情况下，请你再找出一对相似三角形，并加以证明．(第9题) 【解】结论：△AEC∽△AC D.证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＋∠B＝180°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠AC B.∴∠ADC＋∠ACB＝180°.又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠ACE＝∠AD C.又∵∠EAC＝∠CAD，∴△AEC∽△AC D.10．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，EF 交AC 于点G ，则AG ∶GC 的值为(B ) A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3(第10题)【解】 如解图，连结BD ，交AC 于点O .(第10题解)∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥DB ，且EF ＝12DB ，∴△AEF ∽△ADB ，△AEG ∽△ADO ， ∴AG AO ＝AE AD ＝EF DB ＝12. ∴G 为AO 的中点． ∴AG ＝GO . 又∵OA ＝OC ， ∴AG ∶GC ＝1∶3.11．已知在▱ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连结CE 交BD 于点F ，则EF ∶CF 的值是23或43．【解】 当点E 在线段AD 上时，如解图①. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴△EFD ∽△CFB ，∴EF ∶CF ＝DE ∶B C. ∵AE ＝13AD ，∴DE ＝2AE ＝23AD ＝23BC ， ∴DE ∶BC ＝2∶3， ∴EF ∶CF ＝2∶3.(第11题解)当点E 在线段DA 的延长线上时，如解图②. 同上可得△EFD ∽△CFB ， ∴EF ∶CF ＝DE ∶B C. ∵AE ＝13AD ，∴DE ＝4AE ＝43AD ＝43BC ，∴DE ∶BC ＝4∶3，∴EF ∶CF ＝4∶3. 综上所述，EF ∶CF 的值是23或43.12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以2 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以 3 cm/s 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t (s)(0≤t ≤5)，连结MN .(1)若BM ＝BN ，求t 的值．(2)若以M ，B ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值． (3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．(第12题)【解】 (1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，∠BAC ＝60°，∴∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝10，BC ＝5 3. 由题意，得BM ＝2t ，CN ＝3t ， ∴BN ＝5 3－3t .当BM ＝BN 时，2t ＝5 3－3t ，解得t ＝10 3－15. (2)分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时，MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝5 3－3t 5 3，解得t ＝52. ②当△NBM ∽△ABC 时，NB AB ＝BM BC ，即5 3－3t 10＝2t 5 3，解得t ＝157. 综上所述，当t ＝52或t ＝157时，△MBN 与△ABC 相似．(3)如解图，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，∴△BMD ∽△BAC ，(第12题解)∴MD AC ＝BM BA ，即MD 5＝2t 10，解得MD ＝t .设四边形ACNM 的面积为y ，则y ＝12×5×5 3－12(5 3－3t )×t ＝32t 2－5 32t ＋25 32＝32⎝⎛⎭⎫t －522＋75 38.∴当t ＝52时，y 取得最小值，为75 38，即当t ＝52时，四边形ACNM 的面积最小，为75 38 cm 2.13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.在△A′B′C′中，∠C′＝90°，A′C′＝B′C′.能否分别将这两个三角形各自分割成两个三角形，使△ABC所分成的两个三角形与△A′B′C′所分成的两个三角形分别对应相似？若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由．(第13题)【解】能分割，如解图所示(答案不唯一)．(第13题解)初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
浙教版九年级数学上册4.4两个三角形相似的判定课件 (共11张PPT)
AB=1，AC= 5， A1B1 =2，A1C1 =2 5
同桌上两位同学所画△ABC与△A1B1C1相似吗？
判定2:
两边对应成比例,且夹角相等的两个三 角形相似。
´
你能证明吗？
A
判定定理2的几何格式：
AB AC , A A AB AC ∴△A´B´C´∽△ABC
比比谁的反应快
判定1：有两个角相等的两个三角形相似 判断图中△ABC与△A1B1C1 是否相似？为什么？
A
105 35 B
。 。
A1 105 C B1
。
40
。
C1
假设每个小方格的边长是1，你会在方格上画长 度为 2 的线段吗？ 会画长度为 5 的线段吗？
合作探究
同桌合作在如图的方格纸上
画各画一个三角形，使△ABC
4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经 几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？ B 8 2cm/秒 A P 4cm/秒
Q
16 C
谈谈你在本节课的收获？
作业本（1）
下课了!
B
´
A
C
´
B
C
辨一辨
判断图中的各对三角形是否相似。
A 5
24 D
B
O 20 C B 4 D 12 C 6
C 8
B 12 D 6 A 9 O
A
16
E 8
例3如图,已知点D,E分别在AB,AC上,
求证:DE∥BC.
AD AE AB AC
A
D B
E C
如图，每个小正方形边长均为1，则下列图 中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC 相 似的是（ B ）
九年级数学上册 4.4 两个三角形相似的判定课件 (新版)浙教版
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形
有两个角对应相等
方法３ 两边对应成比例,且夹角相等
方法４ 三边对应成比例
------判定两个三角形相似的方法
三角形相似与全等的三种常用判定方法的区别和联系
判定 两个三角形相似的条件 两个三角形全等的条件 方法
1 两边对应成比例， 两边对应相等，
A
EC
5.如图：在△ABC中，点M是
D
BC上任一点， MD∥AC，
A E
ME∥AB， BD 2,求CE .B 2份 M 3份 C
AB 5 AC
5份
解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC
∴ BBAD=
BBMC=
2 5
，
MC BC
=
3 5
又∵ ME∥AB，
∴△CEM∽△CAB
∴ CE= CA
CM = 3 CB 5
A
C
A
B
（1）所有的等腰三角形都相似。× （2）所有的等腰直角三角形都相似。√ （3）所有的等边三角形都相似。√ （4）所有的直角三角形都相似。× （5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。√ （6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。× （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。√ （8）相似的两个三角形一定大小不等。×
学以致用
1、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相
似,并说明理由。
D
想一想：找角的关系容易， 还是找边的关系容易？
解：根据勾股定理，得：
EB
CA 2 AB2 2 BC 10
A C
DE 5 EF2 5 FD 5
F
∴△ABC∽△EFD
2如 .如图图在 在正正方方形形网网 格上格 A有1上 B1△C有 1和 Ａ1ＢA2B1Ｃ2C21， 和△ Ａ它2Ｂ们2Ｃ相2,似它吗 们相？似如吗果 ，？相 求 如似 果出相相似似，比 求； 出 如果 相不似相比似 ；如，果请不说相明 似，理请由说。明理由。
九年级数学上册 4.4 两个三角形相似的判定 浙教版
边S 边S 边S
A
已知：
AB A1B1
BC B1C1
AC . A1C1
求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
B
C B1
C1
有效利用判定定理一去求证。
A
D
A1 E
B
C B1
C1
证明：在线段
A
1
B
（或它的延长线）上截
1
取 A1D AB，过点D作 DE∥B1C1 ，交 A 1 C 1 于点E
根据前面的定理可得 A1DE∽ A1B1C1.
大？最大的倍数是多少？
4cm
5cm
3cm
探究活动
在有平行横线的练习薄上画一条线段AB,使线段的 两端点A,B恰好在两条平行线上,线段AB就被平行线分 成了相等的三小段,你能说出这一事实的数学原理吗?
如果只给你圆规和直尺,你会把任意一条线段AB五等 分吗?请试一试,并说明你的画法的依据.
B
D
E
F
G
A
判定三角形相似的定理3
边S
边S
√边 S
如果两个三角形的三组对应边的比相等，
那么这两个三角形相似。
三边对应成比例，两三角形相似。
A
A1
B
C
B1
即：
如果 AB BC AC , 那么 A1B1 B1C1 A1C1
△ABC∽△A1B1C1. C1
一起小结
条件
定义
三边对应成比例，三个角对应相等
方法１ 方法２
答案是2:1
请你帮忙：
图纸上上有不锈钢三角架的长分别为 3cm,4cm,5cm,库存的不锈钢条有两根中，一根长 60cm,另一根长180cm,工人师傅想用其中一根做三 角架的一边，在另一根上取两截，用来做三角架
浙教版九年级上第四章相似三角形同步练习4.4两个三角形相似的判定(1)
4.4 两个三角形相似的判定（1）第1课时 三角形相似的预备定理和判定定理1基础题知识点1 相似三角形判定的预备定理1．(杭州中考)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC .若BD ＝2AD ，则（ ）A .AD AB ＝12 B .AE EC ＝12 C .AD EC ＝12 D .DE BC ＝122．如图，若AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如图，在▱ABCD 中，E 在DC 上．若DE ∶EC ＝1∶2，则BF ∶BE ＝ ．4．如图，点P 在▱ABCD 的边CD 上，连结BP 并延长与AD 的延长线交于点Q ．（1）求证：△DQP ∽△CBP ；（2）当△DQP ≌△CBP ，且AB ＝8时，求DP 的长．知识点2 有两个角对应相等的两个三角形相似5．如图，∠A ＝∠C ，AO ＝3，CO ＝5，CD ＝10，则AB ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图，在△ABC 中，∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为（ ）A .154B ．7C .152D .2457．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAD ，则与△ABC 相似的三角形有 ．8．如图，∠DAB ＝∠CAE ，请你再补充一个条件 ，使得△ABC ∽△ADE ．第1题 第2题 第3题第5题 第6题 第7题 第8题9．如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，Q 为DC 的中点，且满足∠AQP ＝90°，求QC CP的值．中档题10．有一个角相等的两个等腰三角形（ ）A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．一定全等11．(本溪中考)如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则CF 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，P 是Rt △ABC 斜边BC 上异于B ，C 的一点，过P 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条13．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝AC ，AD 交BC 于点E ，AE ＝3，ED ＝4，则AB 的长为 （ ）A ．3B ．2 3C .21D ．3 514．(杭州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，则△ABE 的面积等于 ．15．(杭州中考)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC ．（1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若AD ＝3，AB ＝5，求AF AG 的值．第11题 第125题 第13题 第14题16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，P为AB上一点且不与点A重合．过点P作PE⊥AB交AC边于E，点E不与点C重合．若AB＝10，AC＝8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，试用含x的代数式表示y．综合题17．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB ＝5，求EG，FG的长．。
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4.4 两个三角形相似的判定(第1课时)
1．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________．
2．有________________的两个三角形相似．
A组 基础训练
1．下列各组中两个图形不一定相似的是( )
A．有一个角是35°的两个等腰三角形
B．两个等腰直角三角形
C．有一个角是120°的两个等腰三角形
D．两个等边三角形
2．如图，△ABC中，D，E分别在AC，AB上，∠1＝∠B，则下列各式成立的是( )
第2题图
A.ADBC＝AEEB
B.DEBC＝ADAC
C．AD·AC＝AE·AB
D．AC·AE＝AD·AB
3．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线分别交⊙O，BC于点D，E，连结BD，则图中相似
三角形有( )
第3题图
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．(新疆中考)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若
动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t＜
6)，连结DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为( )
第4题图
A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
5．如图，∠1＝∠2，请补充条件：________________(写一个即可)，使△ABC∽△ADE.
第5题图
3．如图，DE∥AC，BE∶EC＝2∶1，AC＝12，则DE＝________．
第6题图
7．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，则AD的长为________．
第7题图
8.如图，在▱ABCD中，点E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________．
第8题图
9．(益阳中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
第9题图
10．已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，过A，D，C三点的圆交DE
的延长线于F.求证：△FCE∽△ABC.
第10题图
B组 自主提高
11.如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD＝1，BD＝2，现将△ABC折叠，使点C与D重
合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，若BF＝1.2，则CE＝( )
第11题图
A.53 B.43 C.125 D.35
12．(长春中考)在矩形ABCD中，已知AD>AB，在边AD上取点E，使AE＝AB，连结CE，过点E
作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F.
猜想：如图1，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为________；
探究：如图2，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小
关系，并加以证明；
应用：如图2，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．
第12题图
13．(武汉中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，O是AC边上一点，连结
BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E，求证：△ABF∽△COE.
第13题图
C组 综合运用
14．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，
ME交BC于点G，连结FG.
(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；
(2)如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．
第14题图
4．4 两个三角形相似的判定(第1课时)
【课堂笔记】
1．相似 2.两个角对应相等
【课时训练】
1－4.ACCD
5.答案不唯一，如∠B＝∠D
6.8
7. 165
8. 3∶5
9. 证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又
∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
10. ∵DE∥BC，∴∠FDA＝∠B.而∠A＝∠F，∠FCE＝∠FDA，∴∠FCE＝∠B.∴△FCE∽△ABC.
11. B
12. 猜想：AF＝DE 探究：AF＝DE.
第12题图
∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，
AB＝CD，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵AE＝AB，∴AE＝DC，∴△AEF≌△DCE，∴AF＝DE；应
用：∵AF＝DE＝AD－AE＝5－2＝3，∴BF＝AF－AB＝3－2＝1，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴△FBG
∽△FAE，∴BGAE＝FBFA，即BG2＝13，∴BG＝23.
13. 证明：∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°，∵∠BAC＝∠BAF＋∠DAC＝90°，∴∠BAF＝
∠C.∵OE⊥OB，∴∠BOA＋∠COE＝90°，∵∠BOA＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝
∠COE.∴△ABF∽△COE.
14. (1)△AMF∽△BGM∽△MGF，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM等．下面证明△AMF∽△BGM.∵∠A
＝∠B＝∠DME＝α，∠AFM＝∠DME＋∠E，又∵∠BMG＝∠A＋∠E，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF
∽△BGM； (2)由α＝45°，可知AC⊥BC且AC＝BC，∵M为AB的中点，AB＝42，∴AM＝BM
＝22，∴AC＝BC＝4，∵△AMF∽△BGM，∴AFBM＝AMBG，即AF·BG＝AM·BM，又∵AF＝3，∴BG
＝83.∵AC＝BC＝4，∴CG＝4－83＝43，CF＝1，∴FG＝（43）2＋12＝53.
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