2021届江西省南昌市进贤一中高三毕业班暑期摸底考试数学(理)试题及答案
2021届江西省南昌市高三摸底测试数学(理)试题(解析版)
综上所述，只需 有两解，
令 ，则 ，
故当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上递增，在 递减，
故 ，
所以只需满足 即可.
故选：C.
【点睛】
本题考查曲线的切线方程，考查两条曲线的公切线问题，难度较大.解答时，设出直线方程及切点坐标，根据导数的几何意义，列出关于切点横坐标和斜率的方程组然后设法求解.
【详解】
圆 ： 整理得 ，
可知圆心为 ，半径为 ，且圆过原点 ，
根据圆的性质可得，弦 所对的圆周角 等于圆心角 的一半，
锐角 的面积为 ，
，
，则 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查圆的性质，考查三角形面积公式，属于基础题.
12．已知曲线 ： ， ： ，若恰好存在两条直线直线 、 与 、 都相切，则实数 的取值范围是（）
所以 的面积为 .
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题.
18．如图，四棱柱 中，底面 是菱形， ，对角面 是矩形，且平面 平面 ．
（1）证明：四棱柱 是直四棱柱；
（2）设 ，若 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）由面面垂直得 平面 ，得直棱柱；
【答案】7576
【解析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得 ．
【详解】
∵ 成等比数列， ，∴ ，
又 ， 为“和谐递进数列”，∴ ， ， ， ，…，
∴数列 是周期数列，周期为4．
∴ ．
故答案为：7576．
【点睛】
本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．
江西省南昌市2021届高三摸底测试数学(理)试题(原卷版)
（1）证明：四棱柱 ABCD A1B1C1D1 是直四棱柱； （2）设 AC BD O ，若 AB AA1 ，求二面角 D OB1 C 的余弦值．
19. 某机构要对某职业的月收入水平做一个调研，选择了 A ， B ， C 三个城市，三个城市从业人数分别为 10 万，20 万，20 万，该机构决定用分层抽样的方法从三个城市中抽取 1000 个样本进行调查，并分析 A 、B
（二）选考题：
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.
x cos
直角坐标系中，曲线
C
的参数方程为
y
cos
2
(
x t
A. 他们健身后，体重在区间90,100 内的人数增加了 4 个 B. 他们健身后，体重在区间100,110 内的人数没有改变 C. 因为体重在100,110 内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响 D. 他们健身后，原来体重在区间110,120 内的肥胖者体重都有减少
4. Sn 为等差数列an 的前 n 项和，满足 3a3 5a2 ， S10 100 ，则 a1 （
B
，若
ABF2
的面积为
5 4
3 ，求直线 l 的
方程．
21. 已知函数 f x 1 x2 3x 2 ln x ．
2
（1）判断 f x 零点个数，说明理由；
（2）是否存在整数 k ，使得直线 y kx 5 与函数 f x 的图像有三个交点？若存在，求出 k 的所有可能
2 取值；若不存在，说明理由．（参考数据 ln 2 0.69 ）
20.
已知椭圆
E：x a2 2y2 b2
1（ a b 0 ）的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ，其离心率为
江西省南昌市进贤县第一中学2021届高三数学入学调研考试试题理二 【含答案】
易知 2 π π ， π ， f (x) 2sin(2x π ) ，
6
2
6
6
f ( π ) 2sin[2 ( π ) π ] 2sin( π ) 1，故选 B．
6
66
6
10．在正三棱锥 O ABC 中， OA 7 ， BC 2 3 ， M 为 OA 上一点，过点 M 且与平
易得 S△P△CD S
S PAB ， △PAD
1 2
1
2
1
，
S△PBC
1 1 2
5
5
，
2
S四边形ABCD
1 (1 2) 2 2
3 ， S△PCD
1 2
6
5 ( 6 )2 2
21
，
2
故该几何体中最大面的面积为 3 ．
15．设数列an满足 nan1
(n
1)an
n
n
2
(n N)
， a1
1 2
．
33
【答案】 4x y 4 0
【解析】 y x2 ，∴曲线 y 1 x3 4 在点 (2, 4) 处切线的斜率为 4 ， 33
∴切线的方程为 y 4 4 (x 2) ，即 4x y 4 0 ．
14．某空间几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为1，则该几何体的所有面中最大
sin( 3 π 2 ) cos 2 2
sin2 cos2 cos2 sin2
tan2 1 4 1 1 tan2 1 4
3
，故选 A．
5
x y 1 0
8．已知实数 x,
y
满足约束条件
x
4
y
y 0
4
0 ，则
z
江西省南昌市2021届高三下学期一模考试数学(理)试题
NCS20210607项目第一次模拟测试卷理科数学本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．4.考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}220,{sin }A xx x B y y x =->==∣∣，则()R C A B ⋂=（）A.[]0,1 B.[]1,1- C.[]0,2 D.[]0,12.复数z 满足i 23i z =+，则z =（）A.B.C.D.3.已知椭圆223412x y +=的左顶点为A ，上顶点为B ，则AB ＝（）A. B.2 C.4 D.4.如图，,,,E F G H分别为菱形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且2,2,2,2,BE AE DH HA CF FB CG GD ====现将∆ABD 沿BD 折起，得到空间四边形ABCD ，在折起过程中，下列说法正确的是（）A.直线,EF HG 有可能平行B.直线,EF HG 一之定异面C.直线,EF HG 一定相交，且交点一定在直线AC 上D.直线,EF HG 一定相交，但交点不一定在直线AC 上5.ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足a =，45B = ，75C = ，则b =（）A.2B.C. D.6.如图，将框图输出的y 看成输入的x 的函数，得到函数()y f x =，则()y f x =的图像（）A.关于直线1x =对称B.关于直线1x =-对称C.关于y 轴对称D.关于点()0,0对称7.已知直线l 的方程是20x y m ++=，则“原点O 在直线l 的右上方”是“点()2,1A -”在直线l 的右上方的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知正数,,a b c 满足222log (416)ab c k k ===<<，则（）A.a b c<< B.b a c<< C.c a b<< D.a c b<<9.许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知右侧左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB =米，上底直径CD =米，AB 与CD 间的距离为80米，与上下底面等距离的G 处的直径等于CD ，则最细部分处的直径为（）A.10米B.20米C.103D.10510.已知5sin 2cos 66x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2sin 3x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.12-或1 B.12或－1C.32-或1 D.32或－111.如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d ，截面半径为r （,d r 为常量），油面高度为h ，油面宽度为w ，储油量为v （,,h w v 为变量），则下列说法：①w 是v 的函数②v 是w 的函数③h 是w 的函数④w 是h 的函数其中正确的个数是（）1个B.2个C.3个D.4个12.已知()||sin 23f x x a x π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭的最小值为0，则正实数a 的最小值是（）A.12B.33C.32 D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(1,2),||5,10a b a b ==⋅=，则向量,a b夹角的余弦值为．14.(2)n x -的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中3x 的系数为．15.2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：调查人数x 300400500600700感染人数y33667并求得y 与x 的回归方程为0ˆ0.11yx a =+，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N ；注射疫苗后仍被感染的人数记为n ，则估计该疫苗的有效率为．（疫苗的有效率为1nN-；参考数据：1109.50.009132-≈；结果保留3位有效数字）16.如图，ABCD 是圆台的轴截面，36,AB CD AD ===，过点D 与AD 垂直的平面交下底圆周于,E F 两点，则四面体CDEF 的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（12分）已知{}n a 为公差不为0的等差数列，且114133,,,a a a a =成等比数列．（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设1(21)n nb n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18.（12分）如图三棱柱111ABC A B C -中，2,CA CB AC BC ==⊥，侧面11AAC C 是矩形，侧面11BB C C 是菱形，160B BC ∠=，D 是棱1BB 的中点．（）求证：1BB ⊥平面ACD ；（2）设E 是11A B 的中点，求二面角E CD A --的余弦值．19.（12分）已知函数2()()e (1)(0,R,e 2xaf x x b x b a b =---+>∈为自然对数的底数）．（1）当2b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在R 上单调递增，求证：1e a b -≥．20.（12分）为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是5个中等难度题，每答对一个得10分，答错得0分，第二类是数量较多、难度相当的难题，每答对一个得20分，答错一个扣5分．每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4个回答（每个题抽后不放回），要求第二类题中至少抽2个．学生小明第一类5题中有4个答对，第二类题中答对每个问题的概率都是34．（1）若小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对3个题的概率；（2）若小明第一个题是从第一类题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，后面三个题应该选择从第二类题中抽出多少个题回答？21.（12分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为(0)k k ≠的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，直线l '过点()11,A x y ，且点F 关于直线l '的对称点()1,1R x -．（1）求抛物线E 的方程，并证明直线l '是抛物线E 的切线；（2）过点A 且垂直于l '的直线交y 轴于点G ，,AG BG 与抛物线E 的另一个交点分别为,C D ，记AGB 的面积为1S ，CGD 的面积为2S ，求21S S的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分．22.（10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点与极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为：sin 2cos cos 2sin x y αααα=+⎧⎨=-⎩（a 为参数），直线l 的极坐标方程为：sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；设,A B 是曲线C 与直线l 的公共点，点P 的坐标为（2，0），求||PA PB - 的值．23.（10分）选修4－5：不等式选讲已知()|1||2|(0)f x x ax a =-++>．当2a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若不等式5()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．— 高三理科数学（模拟一）答案第1页—A NCS20210607项目第一次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一13．5 14．160 15．0.817 16．3三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． 17.【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为1413,,a a a 成等比数列， 所以23(312)(33)d d ，即220d d ， ………………………2分 解得0d （舍去）或2d ， ………………………4分 所以21n a n ； ………………………6分（Ⅱ）1111()(21)(21)22121n b n n n n， ………………………8分所以111111(1...)23352121n S n n ……………………10分11(122121n n n . ……………………12分 18.【解析】（Ⅰ）因为侧面11AAC C 是矩形，所以1AC CC ，........................1分 又由条件AC BC ，1BC CC C ，所以AC 平面11CC B B ， 1BB 平面11CC B B ，所以1AC BB ， ........................3分 又因为侧面11BB C C 是菱形，160B BC ， D 是1BB 的中点，所以1BB CD ， ........................5分 且AC CD C ，所以1BB 平面ACD . (6)分 （Ⅱ）因为AC 平面11CC B B ，所以平面11BB C C 平面ABC ，如图以C 为原点，,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点C 在平面内11BB C C 且垂直CB 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz ，则(2,0,0)A ， 11(0,2,0),(0,B B C，3(0,,22D ，11(2,CA CA CC，所以E …8分平面ACD 的一个法向量为1(0,BB ，设平面ECD 的法向量(,,)n x y z， (,,)00n CE x y z x，— 高三理科数学（模拟一）答案第2页—3(,,)(0,0022n CD x y z z ，令13(3,1,y z x n，（两平面法向量各一分） ……………11分所以1cos ,13n BB ，所以所求二面角的余弦值为13． ……………………12分19. 【解析】（Ⅰ）2b 时，2()(2)e (1)2xaf x x x， ()(1)e (1)(1)(e )x x f x x a x x a ， ……………………2分 因为0a ，所以：①若ln 1a 即0e a 时，由()0f x 得ln 1a x ， 由()0f x 得1x 或ln x a ；②若ln 1a 即e a 时，()0f x 得1ln x a ， ()0f x 得1x 或ln x a ；③若ln 1a 即e a 时，()0f x 恒成立， （每步讨论各1分）……………………5分 故当0e a 时，()f x 的单调减区间为(ln ,1)a ，单调增区间为(,ln ),(1,)a ； 当e a 时，()f x 的单调减区间为(1,ln )a ，单调增区间为(,1),(ln ,)a ； 当e a 时，()f x 在R 上单调递增； ……………………6分 （Ⅱ）()(1)()x f x x b e a ，由已知()f x 在R 上单调递增，则(1)()0x x b e a 恒成立，由讨论可知1ln b a ，即ln 1b a ， ………8分 而待证不等式为1a b e ，故只需证明1ln 1a a e ．证明：设1()ln 1a g a e a ，则11()a g a ea， ……………………9分 因为()g a 单调递增，且(1)0g ，故当()0g a 时01a ；当()0g a 时1a ，即()g a 在(0,1)单调递增，在(1,) 单调递减， 则()(1)0g a g ， 得1ln 1a a e ，即不等式得证． ……………………12分20.【解析】（Ⅰ）该同学答对3个题有两种情况，第一种情况是第一类题对1个，第二类题对2个；12412539(440C P C ， …… 2分第二种情况是第一类题对2个，第二类题对1个，21422253194440C P C C ， ……5分所以概率为：12214422255331(444C C P C C C 920； ……………………6分（Ⅱ）若小明后三题选择从第一类题中抽取1道，从第二类题中抽取2道进行作答， 设后三题得分为X 分，则X 的所有可能取值为：10,0,15,25,40,50 ，则— 高三理科数学（模拟一）答案第3页—2111(10)(4464P X ； 2313(0)()4464P X ；121136(15)44464P X C ； 1231318(25)44464P X C ；1339(40)44464P X ； 33327(50)44464P X ；（每个概率0.5分）1618927(10)15254050356464646464EX ； ………9分若小明后三题选择从第二类题中抽取3道进行作答，设后三题答对Z 道，得分为Y 分，则3(3,)4Z B ， 20532515,Y Z Z Z 所以91652515251544EY EZ ， ……………………11分所以EX EY ，即后三题应都从第二类题中抽取作答，得分期望会高. ………12分（另解）若后面三个题都选择难题：记这三个题答对的个数为X ，则3~(3,4X B ，39344EX ，总得分期望是9320510205444分， ……………………8分若后面三个题选择一个中等题、两个难题：则中等题总得分期望是：335101042分， 记两个难题答对题数为Y ，则3~(2,)4Y B ，则33242EY ，则两个难题得分期望是3155205222 ，此时，总得分期望是35554522分， ……………………11分因为205454，所以后面三个题应该都选择难题. ……………………12分21.【解析】（Ⅰ）由点11(,)A x y ，1(,1)R x 坐标，知AR 与直线1y 垂直，,F R 关于过点A 的直线'l 对称，可得||||AF AR ，…………………………2分所以直线1y 为抛物线准线，所以4p ，抛物线方程为24x y ，………4分因此点(0,1)F ，所以12FR k x，从而直线'l 的斜率为12x， 又抛物线方程为24x y ，得'2x y ，所以过点A 的切线斜率为12x，所以'l 为抛物线切线得证; …………………………6分 （Ⅱ）设(,),(,),(,)B B C C D D B x y C x y D x y ，(0,)G t ．— 高三理科数学（模拟一）答案第4页—由题意RF AG k k ，1112t y x x ，得12t y ， …………………………7分因为10y ,所以2t ，令直线AB 方程为 10y kx k ，联立241x y y kx ，并化简得2440x kx ，得到14B x x ，即14B x x ， ……8分设直线AC 方程：1y k x t ,联立214x y y k x t ，得21440x k x t ，则14C x x t ，即14C t x x ， ……9分同理可得4B D x x t ，因此14D Btx tx x ， …………………………10分 由12211111||||sin |4|||||2414||||||sin ||||2C D A B tx CG DG CGD x x S t S x x AG BG A x x t GB x ， 所以21S S 的取值范围是(4,) ． …………………………12分22. 【解析】（Ⅰ）由已知，2sin 52cos 5x y x y，消参可得22:5C x y ， (3)分π:sin(cos sin 20422l x y . …………5分（Ⅱ）P 在直线l 上，且l 的斜率为1 ，故设l的参数方程为：222x t y t （t 为参数）将其代入C的普通方程可得：210t，则12t t 121t t ……8分故1212||||||||||||||PA PB t t t t 分23.【解析】（Ⅰ）当2a 时，不等式()3f x 为|1||22|3x x ，当1x 时，(1)(22)3x x ,此时43x； 当11x 时，(1)(22)3x x ,此时01x ；当1x 时，2(1)(22)33x x x ，此时1x ; (每步讨论各一分)— 高三理科数学（模拟一）答案第5页— 所以，当2a 时，不等式()3f x 的解集为4{|3x x或0}x . …………5分 （Ⅱ）由0a ，知21a，讨论如下： 当2x a ，()12(1)1f x x ax a x ，由(1)0a ，知2()()f x f a， 则5()2f x 恒成立等价于25(2f a ，解得403a ； 当21x a， 1213f x x ax a x ， 则5()2f x 恒成立等价于25()25(1)2f a f ，解得1423a ； 当1x ，()12(1)1f x x ax a x ，(1)0a ，故()(1)f x f ， 则5()2f x 恒成立等价于5(1)2f ，解得12a ； （每步讨论1.5分） 综上，14[,23a . …………………………10分 （另解）由性质可知，函数()f x 的最小值在1x 或2x a取到， …………7分 故5(1)225(2f f a ，即5222512a a，解得1423a . …………………………10分。
江西省南昌市进贤一中2021届高三地理暑期摸底考试试题
进贤一中2021届高三暑期摸底考试地理试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共25小题，每小题只有一个正确答案，每题2分，共50分）读北京门头沟妙峰山镇涧沟村及附近的等高线地形图，完成1-3题。
1．甲、乙、丙、丁四处中，海拔高度最接近的是（）A．甲、乙B．丙、丁C．甲、丁 D．乙、丙2．甲、乙、丙、丁四处中，适宜远眺玉皇顶的是（）A．甲、乙 B．丙、丁B．C．甲、丁D．乙、丙3．与二级公路相比，一级公路（）A．坡度较缓B．修建成本较低C．车流量较少 D．连接的聚落多截止2021年2月，持续燃烧了近7个月、过火面积突破10万平方公里的澳大利亚丛林大火才基本熄灭。
大火使澳洲大陆约三分之一被浓烟覆盖，烟雾受强烈气流影响，飘向邻国新西兰。
读澳大利亚火灾分布示意图（图例颜色越深，火灾越严重），完成4-6题。
4．澳大利亚中部几乎没有火灾灾情分布的原因是A．森林覆盖率低B．降水频率较高C．高温天气偏少D．人类积极灭火5．澳大利亚火灾产生的烟雾严重影响了新西兰的空气质量，主要是借助了（）A．东南信风B．盛行西风C．西北季风D．东南季风6．澳大利亚火灾对当地环境造成的主要影响是A．破坏了大气的碳氧平衡B．河流径流量变率变小C．酸雨产生概率明显增加D．生物多样性短期内稳定读北半球某地高空气压形式示意图，完成7-8题。
7．一架飞机从图中a地越过低压槽飞往b地的过程中（）A．气压高低不变 B．风速由大变小C．天气现象不变D．西北风转东南风8．图中a点对应的近地面的风向可能是（）A．东风B．西风 C．西北风D．东南风贵州省气象局 2021年3月24日发布，全省大部分地区遭遇多雷电天气，省大部分地区雷雨中伴有大风、冰雹、短时强降水等强对流天气。
下面甲图为“冰雹形成原理图”，乙图为“一天中不同时段冰雹发生的百分比”，读图完成9-11题。
9．据图分析下列关于冰雹形成的基本条件不正确的是（）A．云层中要有充足的水汽B．大气的温度要低于0℃C．强烈的上升气流 D．稳定的大气环境10．据图并结合所学知识推断可能造成冰雹灾害的天气系统可能有（）①冷锋②准静止锋③气旋④反气旋A．①② B．③④C．①③ D．②④11．相关部门在分析强降雨、冰雹灾害的影响范围，确定救灾物质调配时用到的地理信息技术还可用来A．出行导航B．规划城市道路交通 C．进行矿产地质探测 D．监测森林火灾下图为某地地形剖面及其地下某一岩层（甲）埋藏深度示意图。
2021届江西省南昌市高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2021届江西省南昌市高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】解一元二次不等式简化集合M，再由对数的运算性质求出N，再由交集的运算求出（∁M）∩N．R【详解】∵x2﹣4＞0，∴x＜﹣2或x＞2，∴M＝（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∵logx＜1，∴0＜x＜2，2∴N＝（0，2），∴∁M＝[﹣2，2]，RM）∩N＝（0，2）．∴（∁R故选：B．【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，以及一元二次不等式的解法、对数的运算性质，属于基础题．2．已知复数的实部等于虚部，则( )A．B．C．-1 D．1【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出a的值．【详解】∵z的实部等于虚部，∴，即a＝﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知抛物线方程为，则其准线方程为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．【详解】抛物线x2＝-2y的准线方程为：y，故选：C．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，熟记抛物线的简单几何性质是关键，是基本知识的考查．4．已知为等差数列，若，，则( )A．1 B．2 C．3 D．6【答案】B【解析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【详解】}为等差数列，,∵{an∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+12＝2．故选：B．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．如图所示算法框图，当输入的为1时，输出的结果为( )A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．【详解】当x＝1时，x＞1不成立，则y＝x+1＝1+1＝2，i＝0+1＝1，y＜20不成立，x＝2，x＞1成立，y＝2x＝4，i＝1+1＝2，y＜20成立，x＝4，x＞1成立，y＝2x＝8，i＝2+1＝3，y＜20成立，x＝8，x＞1成立，y＝2x＝16，i＝3+1＝4，y＜20成立x＝16，x＞1成立，y＝2x＝32，i＝4+1＝5，y＜20不成立，输出i＝5，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】由三视图可知该几何体是由一个正三棱柱（其高为6，底面三角形的底边长为4，高为）截去一个同底面的三棱锥（其高为3）所得，则该几何体的体积为；故选：D．【点睛】本题考查简单几何体的形状与三视图的对应关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题.7．2021年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( )A．B．C．D．【答案】D【解析】基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，由此能求出他们选课相同的概率．【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，∴他们选课相同的概率p．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题. 8．已知，，：“”，：“”，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先作出不等式：“|x|1”，“x2+y2≤r2”表示的平面区域，再结合题意观察平面区域的位置关系即可得解【详解】“|x|1”，表示的平面区域如图所示:平行四边形ABCD及其内部，“x2+y2≤r2”，表示圆及其内部由p是q的必要不充分条件，则圆心O（0，0）到直线AD：2x+y﹣2＝0的距离等于，则0，故选：A．【点睛】本题考查不等式表示的平面区域及图象之间的位置关系，熟练运用直线与圆的位置关系是关键，属中档题．9．已知在上连续可导，为其导函数，且，则( )A．B．C．0 D．【答案】C【解析】根据条件判断函数f（x）和f′（x）的奇偶性，利用奇偶性的性质进行求解即可．【详解】函数f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣f'（1）（﹣x）•（e﹣x﹣e x）＝f（x），即函数f（x）是偶函数，两边对x求导数得﹣f′（﹣x）＝f′（x）．即f′（﹣x）＝﹣f′（x），则f′（x）是R上的奇函数，则f′（0）＝0，f′（﹣2）＝﹣f′（2），即f′（2）+f′（﹣2）＝0，则f'（2）+f'（﹣2）﹣f'（0）f'（1）＝0，故选：C．【点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题. 10．已知平面向量，，，，若对任意的实数，的最小值为，则此时( )A．1 B．2 C．D．【答案】D【解析】由题知，终点分别在圆上，画出图形，由最小值，确定，的夹角，再利用模长公式求解即可.【详解】由题知，终点分别在以2和1为半径的圆上运动，设的终点坐标为A(2,0),的终点为单位圆上的点B，最小时即过A做单位圆切线切点为B时，此时AB=,所以，的夹角为，此时=故选：D【点睛】本题考查向量的模，向量的几何意义，数形结合思想，准确确定取最小值时，的夹角是关键，是中档题.11．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设P（），则Q（2，），当≠0时，求出两直线方程，解交点的横|范围，得|x|范围，当＝0时，求得|x|＝1即可求解.坐标为，利用|x【详解】设P（），则Q（2，2），当≠0时，k AP ，kPM，直线PM：y﹣（x﹣），①直线QB：y﹣0（x），②联立①②消去y得x，∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，当＝0时，易求得|x|＝1，故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，两直线交点问题，准确计算交点坐标是关键，属中档题．12．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，2n﹣1，则杨辉三角形的前n项和为Sn若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列，，则Tn可得当n＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列，则第16行的第16项为17，则杨辉三角形的前18项的和为S＝218﹣1，18﹣35﹣17＝218﹣53，则此数列前135项的和为S18故选：A．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．二、填空题13．设函数，则的值为__________．【答案】【解析】利用函数的性质得f （5）＝f（2）＝f（﹣1），由此能求出f（5）的值．【详解】∵函数，∴f （5）＝f（2）＝f（﹣1）＝（﹣1）2﹣2﹣1．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为__________．【答案】【解析】作出符合题意的图形P﹣ABC，取底面中心O，利用直角三角形POC容易得解．【详解】如图，正三棱锥P﹣ABC中，O为底面中心，不妨设PC＝1，∵侧面为等腰直角三角形，∴BC，∴OC，∴OP，∴sin∠PCO，故答案为：．【点睛】此题考查了直线线与平面所成角，熟练运用线面关系找到所求角，准确计算是关键，是基础题．15．已知锐角满足方程，则__________．【答案】【解析】化简已知等式，利用同角三角函数基本关系式可求3sin2A+8sinA﹣3＝0，解得sinA 的值，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【详解】∵锐角A满足方程3cosA﹣8tanA＝0，可得：3cos2A＝8sinA，∵cos2A+sin2A＝1，∴3sin2A+8sinA﹣3＝0，解得：sinA，或﹣3（舍去），∴cos2A＝1﹣2sin2A＝1﹣2．故答案为：．【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式的应用,二倍角公式，一元二次方程的解法，熟记三角函数基本公式，准确计算是关键，属于基础题．16．定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．【答案】【解析】画出几何图形，运用边的关系转化为求周长的最值，结合正余弦定理及基本不等式求解即可.【详解】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤+GF= +=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤MN≤,又外接圆半径为1，，所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等；故故答案为【点睛】本题考查正余弦定理，基本不等式，善于运用数形结合思想运用几何关系转化问题是关键，是难题.三、解答题17．函数（，）的部分图像如下图所示，，，并且轴.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数过A，C两点，代入进行求解即可．（2）根据条件求出B的坐标，利用向量法进行求解即可．【详解】（1）由已知，又，所以，所以（3分）由，即，所以，，解得，，而，所以.（2）由（Ⅰ）知，，令，得或，k∈Z，所以x＝6k或x＝6k+1，由图可知，．所以，所以，所以．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数余弦值的计算，利用向量法以及待定系数法是解决本题的关键．18．如图，四棱台中，底面是菱形，底面，且，，是棱的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）推导出⊥BD．BD⊥AC．从而BD⊥平面AC，由此能证明．（2）如图，设AC交BD于点O，以O为原点，OA、OB、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴1建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角E﹣﹣C的余弦值．【详解】证明：（1）因为⊥底面ABCD，所以⊥BD．因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．＝C，所以BD⊥平面A．又AC∩CC1又由四棱台ABCD﹣知，，A，C，四点共面．所以BD⊥．（2）如图，设AC交BD于点O，依题意，∥OC且＝OC，所以O∥C，且O＝C．所以O⊥底面ABCD．以O为原点，OA、OB、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．1则，（）．由，得B1的中点，所以E（）,所以（），（﹣2，因为E是棱BB10，0）．设（x，y，z）为平面的法向量，则，取z＝3，得（0，4，3），平面的法向量（0，1，0），又由图可知，二面角E﹣A1C1﹣C为锐二面角，设二面角E﹣A1C1﹣C的平面角为θ，则cosθ，所以二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值为．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．市面上有某品牌型和型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业.经了解，型20瓦和型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装.已知型和型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换.（用频率估计概率）（1）若该商家新店面全部安装了型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率；（2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由.【答案】（1）；（2）应选择A型节能灯.【解析】（1）由频率分布直方图可知用频率估计概率，得m型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为，从而一年内一支B型节能灯在使用期间需更换的概率为，由此能求出一年内5支恰好更换了2支灯的概率．（2）共需要安装5支同种灯管，选择A型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10﹣3＝870元；选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换服从二项分布，一年共需花费元，由此能求出该商家应选择A型节能灯．【详解】（1）由频率分布直方图可知，B型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为0.2，用频率估计概率，得B型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为.所以一年内一支B型节能灯在使用期间需更换的概率为，.所以一年内支恰好更换了支灯的概率为..（2）共需要安装支同种灯管，若选择A型节能灯，一年共需花费元；若选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换服从二项分布，故一年需更换灯的支数的期望为支，故一年共需花费元.因为，所以该商家应选择A型节能灯.【点睛】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，熟记频率分布直方图性质，准确计算是关键，是中档题．20．如图，椭圆：与圆：相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，与交于两点，与圆的另一交点为，求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程.【答案】（1）；（2）面积的最大值为，此时直线的方程为.【解析】（1）由题意可得b＝1，a﹣1，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据l2⊥l1，可设直线l1，l2的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．【详解】（1）椭圆E与圆O：x2+y2＝1相切，知b2＝1；又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为，即椭圆中心O到椭圆最远距离为，得椭圆长半轴长，即；所以椭圆E的方程：（2）①当l1与x轴重合时，l2与圆相切，不合题意．②当l1⊥x轴时，M（﹣1，0），l1：x＝1，，此时．…（6分）③当l1的斜率存在且不为0时，设l1：x＝my+1，m≠0，则，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（2m2+3）y2+4my﹣1＝0，所以，所以．由得，，解得，所以，所以，因为，所以，当且仅当时取等号．所以（）综上，△ABM面积的最大值为，此时直线l的方程为1．【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力21．已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.（1）判断函数在区间内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）无极值点；（2）0.【解析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可；（2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k的最小值即可．【详解】（1），令，则f'（x）＝e x g（x），恒成立，所以g（x）在（1，e）上单调递减，所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）内无解．所以函数f（x）在区间（1，e）内无极值点．（2）当a＝ln2时，f（x）＝e x（﹣x+lnx+ln2），定义域为（0，+∞），，令，由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又，h（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在，使得h（x1）＝0，且当x∈（0，x1）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，当x∈（x1，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0．所以f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，所以．由h（x1）＝0得，即，所以，令，则恒成立，所以r（x）在上单调递增，所以，所以f（x）max＜0，又因为，所以﹣1＜f（x）max＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z）恒成立，则k的最小值为0．【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题．22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于点，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线的参数方程的转换，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．【详解】（1）由参数方程，得普通方程，所以极坐标方程.（2）设点对应的参数分别为，将代入得得所以,直线l（t为参数）可化为，所以.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23．已知函数.（1）求证：；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）由绝对值不等式性质得即可证明；（2）由去绝对值求解不等式即可.【详解】（1）因为，所以.,即（2）由已知，①当m≥-时，等价于,即，解得所以②当m<-时，等价于，,解得-3≤m≤5,所以-3≤m<综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式恒成立问题，熟练运用零点分段取绝对值，准确计算是关键，是中档题.。
2021年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2021年江西省南昌市高考数学一模试卷〔理科〕一．选择题：共12小题，每题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩〔∁U B〕=〔〕A．∅B．〔0，1]C．〔0，1〕D．〔1，+∞〕2．假设复数，其中i为虚数单位，那么复数z的虚部是〔〕A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i3．α，β为第一象限的两个角，那么“α＞β〞是“sinα＞sinβ〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设某中学的高中女生体重y〔单位：kg〕与身高x〔单位：cm〕具有线性相关关系，根据一组样本数据〔x i，y i〕〔i=1，2，3，…，n〕，用最小二乘法近似得到回归直线方程为，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．假设该中学某高中女生身高增加1cm，那么其体重约增加0.85kgD．假设该中学某高中女生身高为160cm，那么可断定其体重必为50.29kg 5．假设圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，那么m=〔〕A．B．C．D．6．执行如下图的程序框图，输出S的值为〔〕A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．67．函数的周期为π，假设f〔α〕=1，那么=〔〕A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，那么cos∠AOB=〔〕A． B．C．D．9．我国古代数学名著?九章算术?中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十〔意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱〕；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，那么乙手上有〔〕钱．A．28 B．32 C．56 D．7010．某空间几何体的三视图如下图〔图中小正方形的边长为1〕，那么这个几何体的体积是〔〕A．B．C．16 D．3211．抛物线y2=8x的焦点为F，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是抛物线上的两个动点，假设x1+x2+4=|，那么∠AFB的最大值为〔〕A．B．C．D．12．定义在R上的偶函数f〔x〕满足f〔2﹣x〕=f〔x〕，且当x∈[1，2]时，f 〔x〕=lnx﹣x+1，假设函数g〔x〕=f〔x〕+mx有7个零点，那么实数m的取值范围为〔〕A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．在多项式〔1+2x〕6〔1+y〕5的展开式中，xy3项的系数为．14．单位向量的夹角为，，那么在上的投影是．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，假设将直角梯形绕BC边旋转一周，那么所得几何体的外表积为．16．x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕令b n=〔﹣1〕n﹣1a n a n，求数列{b n}的前2n项和T2n．+118．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表〔假设该区域空气质量指数不会超过300〕：空气质量指数〔0，50]〔50，100]〔100，150]〔150，200]〔200，250]〔250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2021年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．〔Ⅰ〕请估算2021年〔以365天计算〕全年空气质量优良的天数〔未满一天按一天计算〕；〔Ⅱ〕该校2021年6月7、8、9日将作为高考考场，假设这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．〔Ⅰ〕求证：BD⊥平面PAD；〔Ⅱ〕设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．20．椭圆C ：=1〔a＞b＞0〕的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B〔4，0〕，F2为线段A1B的中点．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕假设过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，直线A1M 与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？假设是，请求出定直线的方程；假设不是，请说明理由．21．函数f〔x〕=〔2x﹣4〕e x+a〔x+2〕2〔x＞0，a∈R，e是自然对数的底〕．〔Ⅰ〕假设f〔x〕是〔0，+∞〕上的单调递增函数，求实数a的取值范围；〔Ⅱ〕当时，证明：函数f〔x〕有最小值，并求函数f〔x〕最小值的取值范围．请考生在第〔22〕、〔23〕两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P〔a，1〕，其参数方程为〔t为参数，a∈R〕．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．〔Ⅰ〕求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；〔Ⅱ〕曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．〔Ⅰ〕假设不等式f〔x〕≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；〔Ⅱ〕当a＜2时，函数f〔x〕的最小值为3，求实数a的值．2021年江西省南昌市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩〔∁U B〕=〔〕A．∅B．〔0，1]C．〔0，1〕D．〔1，+∞〕【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由对数函数的定义域求出A，由函数的值域求出B，由补集和交集的运算求出答案，【解答】解：由题意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=〔0，+∞〕，又，那么B={y|y≥1}=[1，+∞〕，即C U B=〔﹣∞，1〕，所以A∩〔C U B〕=〔0，1〕，应选C．2．假设复数，其中i为虚数单位，那么复数z的虚部是〔〕A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法那么即可得出．【解答】解：，应选：C．3．α，β为第一象限的两个角，那么“α＞β〞是“sinα＞sinβ〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，那么sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，假设当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β〞是“sinα＞sinβ〞的既不必要也不充分条件，应选：D．4．设某中学的高中女生体重y〔单位：kg〕与身高x〔单位：cm〕具有线性相关关系，根据一组样本数据〔x i，y i〕〔i=1，2，3，…，n〕，用最小二乘法近似得到回归直线方程为，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．假设该中学某高中女生身高增加1cm，那么其体重约增加0.85kgD．假设该中学某高中女生身高为160cm，那么可断定其体重必为50.29kg【考点】线性回归方程．【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D 错误．应选：D．5．假设圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，那么m=〔〕A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，利用离心率为2，求出m的值．【解答】解：因为圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，所以离心率为，应选：C．6．执行如下图的程序框图，输出S的值为〔〕A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．6【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的S，i的值，即可得出跳出循环时输出S的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：由，当i=7时，进入循环，得，当i=8退出循环，输出，应选：B．7．函数的周期为π，假设f〔α〕=1，那么=〔〕A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f〔x〕的周期求出ω的值，再化简f〔α+〕并求值．【解答】解：因为函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕的周期为T==π，∴ω=2，∴f〔x〕=Asin〔2x+φ〕，又f〔α〕=Asin〔2α+φ〕=1，∴f〔α+〕=Asin[2〔α+〕+φ]=Asin〔2α+3π+φ〕=﹣Asin〔2α+φ〕=﹣1．应选：B．8．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，那么cos∠AOB=〔〕A． B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得AB，利用余弦定理，可得结论．【解答】解：因为圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得：∴由余弦定理有，应选D．9．我国古代数学名著?九章算术?中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十〔意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱〕；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，那么乙手上有〔〕钱．A．28 B．32 C．56 D．70【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【分析】设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，列出方程组求得甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．【解答】解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，那么，解得x=72，y=32，z=4．∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．应选：B．10．某空间几何体的三视图如下图〔图中小正方形的边长为1〕，那么这个几何体的体积是〔〕A．B．C．16 D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，即可得出结论．【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，应选A．11．抛物线y2=8x的焦点为F，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是抛物线上的两个动点，假设x1+x2+4=|，那么∠AFB的最大值为〔〕A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用余弦定理，结合根本不等式，即可求出∠AFB的最大值．【解答】解：因为，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以．在△AFB中，由余弦定理得：=．又．所以，∴∠AFB的最大值为，应选D．12．定义在R上的偶函数f〔x〕满足f〔2﹣x〕=f〔x〕，且当x∈[1，2]时，f 〔x〕=lnx﹣x+1，假设函数g〔x〕=f〔x〕+mx有7个零点，那么实数m的取值范围为〔〕A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定函数为偶函数那么其周期为T=2，函数在x∈[1，2]为减函数，作出函数的图象，得出当x＜0时，要使符合题意那么，根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意那么．即可得出结论．【解答】解：因为函数f〔2﹣x〕=f〔x〕可得图象关于直线x=1对称，且函数为偶函数那么其周期为T=2，又因为，当x∈[1，2]时有f'〔x〕≤0，那么函数在x∈[1，2]为减函数，作出其函数图象如下图：其中，当x＜0时，要使符合题意那么根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意那么．综上所述，实数m的取值范围为，应选A．二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．在多项式〔1+2x〕6〔1+y〕5的展开式中，xy3项的系数为120．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出．【解答】解：根据题意〔1+2x〕6〔1+y〕5=，∴xy3的系数为=120，故答案为：120．14．单位向量的夹角为，，那么在上的投影是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量投影的定义，利用数量积的运算求出对应的值即可．【解答】解：单位向量的夹角为，，那么在上的投影是：||cos＜，＞==•=〔2﹣〕•=2﹣•=2﹣1×1×1×cos=．故答案为：．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，假设将直角梯形绕BC边旋转一周，那么所得几何体的外表积为．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为1，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案．×2×【解答】解：由图中数据可得：，S圆柱侧=π1=2π，．所以几何体的外表积为．故答案为：．16．x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，推导出．从而等差数列后三项和为．法一：设x=2cosα，y=2sinα，利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．法二：令z=x+3y，那么x+3y﹣z=0，当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，由此能求出这个等差数列后三项和的最大值．【解答】解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，那么x+y=a+c=2b，∴．那么等差数列后三项和为=．〔另解：由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，所以．〕方法一：因为x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，所以．方法二：令z=x+3y，那么x+3y﹣z=0，所以当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，此时，即，∴．故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；，求数列{b n}的前2n项和T2n．〔Ⅱ〕令b n=〔﹣1〕n﹣1a n a n+1【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】〔Ⅰ〕设等差数列{a n}的公差为d，根据题意、等差数列的性质以及通项公式列出方程，求出公差d，由等差数列的通项公式求出a n；〔Ⅱ〕由〔I〕化简b n=〔﹣1〕n﹣1a n a n，利用并项求和法和等差数列的前n项和+1公式求出数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：〔Ⅰ〕设等差数列{a n}的公差为d，由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即3a2=a5，那么3〔1+d〕=1+4d，解得d=2﹣﹣﹣﹣﹣所以a n=1+〔n﹣1〕×2=2n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以=4[12﹣22+32﹣42+…+〔2n﹣1〕2﹣〔2n〕2]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=﹣4〔1+2+3+4+…+2n﹣1+2n〕=﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表〔假设该区域空气质量指数不会超过300〕：空气质量指数〔0，50]〔50，100]〔100，150]〔150，200]〔200，250]〔250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2021年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．〔Ⅰ〕请估算2021年〔以365天计算〕全年空气质量优良的天数〔未满一天按一天计算〕；〔Ⅱ〕该校2021年6月7、8、9日将作为高考考场，假设这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】〔I〕利用直方图的性质即可得出．〔Ⅱ〕由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：〔Ⅰ〕由直方图可估算2021年〔以365天计算〕全年空气质量优良的天数为：〔0.1+0.2〕×365=0.3×365=109.5≈110〔天〕．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔Ⅱ〕由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣那么：，，，，，，．∴X的分布列为X0100002000030000400005000060000P﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=9000〔元〕．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．〔Ⅰ〕求证：BD⊥平面PAD；〔Ⅱ〕设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】〔Ⅰ〕在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，推导出AD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．〔Ⅱ〕以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值．【解答】证明：〔Ⅰ〕在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，如下图：有∴在△ABD中，有AB2=AD2+BD2，即AD⊥BD又因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，∴BD⊥平面PAD．﹣﹣﹣﹣﹣解：〔Ⅱ〕由平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，得PE⊥平面ABCD．如下图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D 平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由条件AD=DC=BC=2，那么AE=DE=1，，．那么D〔0，0，0〕，E〔1，0，0〕，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在等腰梯形ABCD中，过点C作BD的平行线交AD延长线于点F如下图：那么在Rt△CDF中，有，DF=1，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔另解：可不作辅助线，利用求点C坐标〕∴，，设平面PDC的法向量那么，取，那么y1=1，z1=﹣1，∴面PDC的法向量．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣同理有，，设平面PBE的法向量那么，取y2=1，那么，z2=0，∴面PBE的法向量．﹣﹣设平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角为θ，∴．即平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．椭圆C：=1〔a＞b＞0〕的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B〔4，0〕，F2为线段A1B的中点．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕假设过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，直线A1M 与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？假设是，请求出定直线的方程；假设不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】〔Ⅰ〕设点A1〔﹣a，0〕，F2〔c，0〕，由题意得a=4﹣2c，由椭圆的离心率，得a=2c，求出a，b，由此能示出椭圆C的方程．〔Ⅱ〕法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，联立直线和直线可得点，猜测点G在直线x=1上，对猜测给予证明，得到点G在定直线上x=1上．法二：设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，G〔x3，y3〕，由B，M，N三点共线，得：2x1x2﹣5〔x1+x2〕+8=0，再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．法三：设l的方程为y=k〔x﹣4〕，M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕．由得〔3+4k2〕x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．【解答】解：〔Ⅰ〕设点A1〔﹣a，0〕，F2〔c，0〕，由题意可知：，即a=4﹣2c①又因为椭圆的离心率，即a=2c②联立方程①②可得：a=2，c=1，那么b2=a2﹣c2=3所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解：〔Ⅱ〕解法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，那么联立直线和直线可得点据此猜测点G在直线x=1上，下面对猜测给予证明：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，联立方程可得：〔3+4k2〕x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0由韦达定理可得，〔*〕﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为直线，，联立两直线方程得〔其中x为G点的横坐标〕即证：，即3k〔x1﹣4〕•〔x2﹣2〕=﹣k〔x2﹣4〕•〔x1+2〕，即证4x1x2﹣10〔x1+x2〕+16=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将〔*〕代入上式可得此式明显成立，原命题得证．所以点G在定直线上x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法二：设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，G〔x3，y3〕，x1，x2，x3两两不等，因为B，M，N三点共线，所以，整理得：2x1x2﹣5〔x1+x2〕+8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又A1，M，G三点共线，有：①又A2，N，G三点共线，有：②，将①与②两式相除得：即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将2x1x2﹣5〔x1+x2〕+8=0即代入得：解得x3=4〔舍去〕或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法三：由题意知l与x轴不垂直，设l的方程为y=k〔x﹣4〕，M〔x1，y1〕，N 〔x2，y2〕．由得〔3+4k2〕x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，G〔x3，y3〕，x1，x2，x3两两不等，那么，，，由A1，M，G三点共线，有：①由A2，N，G三点共线，有：②①与②两式相除得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得x3=4〔舍去〕或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．函数f〔x〕=〔2x﹣4〕e x+a〔x+2〕2〔x＞0，a∈R，e是自然对数的底〕．〔Ⅰ〕假设f〔x〕是〔0，+∞〕上的单调递增函数，求实数a的取值范围；〔Ⅱ〕当时，证明：函数f〔x〕有最小值，并求函数f〔x〕最小值的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】〔Ⅰ〕求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；〔Ⅱ〕根据函数的单调性求出f〔x〕的最小值，从而求出最小值的范围即可．【解答】解：〔Ⅰ〕f'〔x〕=2e x+〔2x﹣4〕e x+2a〔x+2〕=〔2x﹣2〕e x+2a〔x+2〕，依题意：当x＞0时，函数f'〔x〕≥0恒成立，即恒成立，记，那么=，所以g〔x〕在〔0，+∞〕上单调递减，所以，所以；﹣﹣﹣〔Ⅱ〕因为[f'〔x〕]'=2xe x+2a＞0，所以y=f'〔x〕是〔0，+∞〕上的增函数，又f'〔0〕=4a﹣2＜0，f'〔1〕=6a＞0，所以存在t∈〔0，1〕使得f'〔t〕=0且当a→0时t→1，当时t→0，所以t的取值范围是〔0，1〕．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又当x∈〔0，t〕，f'〔x〕＜0，当x∈〔t，+∞〕时，f'〔x〕＞0，所以当x=t时，．且有由〔Ⅰ〕知，在〔0，+∞〕上单调递减，又，g〔1〕=0，且，故t∈〔0，1〕，∴，t∈〔0，1〕﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣记h〔t〕=e t〔﹣t2+t﹣2〕，那么h'〔t〕=e t〔﹣t2+t﹣2〕+e t〔﹣2t+1〕=e t〔﹣t2﹣t﹣1〕＜0，所以h〔1〕＜h〔t〕＜h〔0〕，即最小值的取值范围是〔﹣2e，﹣2〕．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在第〔22〕、〔23〕两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P〔a，1〕，其参数方程为〔t为参数，a∈R〕．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．〔Ⅰ〕求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；〔Ⅱ〕曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】〔Ⅰ〕利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；〔Ⅱ〕根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．【解答】解：〔Ⅰ〕曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔Ⅱ〕设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，那么，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，实数a的值为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．〔Ⅰ〕假设不等式f〔x〕≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；〔Ⅱ〕当a＜2时，函数f〔x〕的最小值为3，求实数a的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】〔Ⅰ〕由绝对值的几何意义知，由不等式f〔x〕≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；〔Ⅱ〕当a＜2时，〔x〕在单调递减，在单调递增，利用函数f〔x〕的最小值为3，求实数a的值．【解答】解：〔Ⅰ〕由题f〔x〕≤2﹣|x﹣1|，即为．而由绝对值的几何意义知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由不等式f〔x〕≤2﹣|x﹣1|有解，∴，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0，4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔Ⅱ〕函数f〔x〕=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图可知f〔x〕在单调递减，在单调递增，∴，得a=﹣4＜2〔合题意〕，即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2021年3月15日。
江西省南昌市进贤县第一中学2021届高三数学入学调研考试试题理三 【含答案】
f (e) 2 f (e) 1
f (e) 1
【解析】由题意得
x ，∴
e ，∴
e．
6．若 f (tan x) sin 2x ，则 f (2) （ ）
A． 2
【答案】B
4 B． 5
C． 3
3 D． 5
f (tan x) sin 2x 2 tan x
f (x) 2x
f (2) 4
【解析】
构造函数
f (x) (x 0) g(x)
x3
，
xf (x) 3 f (x) x4
x2 x4
1 x2
0
，
所以 g(x) 在 (, 0) 上单调递增，
由
g(x
2014)
g (2)
，可得
x
x
2014 2014
0 2
x
2016
，故选
D．
f (x) 2sin(2x π )
π
12．将函数
6 的图象向左平移 12 个单位，再向上平移1个单位，得到
依题意，当 x [2,3) 时， f (x) 3log2 (x 1) ； 当 x [3, 4) 时， f (x) 9 log2 (x 2) ； 当 x [4,5) 时， f (x) 27 log2 (x 3) ； 当 x [5, 6) 时， f (x) 34 log2 (x 4) ； 当 x [6, 7) 时， f (x) 35 log2 (x 5) ；
A． 【答案】D
{x 0 x 1}
B．
{x 0 x 1}
C．
{x 0 x 1}
D．
A {x
【解析】
x 1 0} {1 x 1
x 1} B
，
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绝密★启用前
江西省南昌市进贤一中
2021届高三毕业班上学期暑期摸底考试
数学(理)试题
一、单选题
1．已知函数()lg(1)f x x =-的定义域为M ，函数1()g x x
=的定义域为N ，则M N =（ ）
A ．{}1x x ≤
B ．{1x x ≤且0}x ≠
C ．{1}x x >
D ．{1x x <且0}x ≠ 2．若复数2(1i z i i =
-是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --
3
．二项式61)x
的展开式中的常数项为（ ） A ．－15 B ．20 C ．15 D ．－20 4．已知()0,1x ∈,令log 5x a =,cos b x =,3x c =,那么a b c ，，之间的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
5．已知实数,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩
,则3z x y =+的最小值为（ ）
A ．11
B ．9
C ．8
D ．3 6．“4
3m =”是“直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7：50～8：30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8：50～9：30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ）
A ．15
B ．14
C ．13
D ．12 8．在ABC ∆中,5sin 13A =,3cos 5B =,则cos C （ ） A ．5665 B ．3365- C ．5665或1665- D ．1665
-
9．某几何体的三视图如图所示,则它的体积为（ ）
A ．23
B ．
43 C ．13 D ．16 10．定义1
n
i i n
u =∑为n 个正数123,,,n u u u u ⋅⋅⋅的“快乐数”.若已知正项数列{}n a 的前n 项的“快乐数”为131n +,则数列136(2)(2)n n a a +⎧⎫⎨⎬++⎩⎭
的前2019项和为（ ） A ．20182019 B ．20192020 C ．20192018 D ．20191010
11．已知点1F 是抛物线2:2C x py =的焦点,点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点,过2F 作抛物线C 的切线,设其中一个切点为A ,若点A 恰好在以12,F F 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为（ ）
A ．21-
B ．221-
C ．21+
D ．622
+ 12．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭恰有两个极值点,则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭
二、填空题
13．已知,a b 均为单位向量,若23a b -=,则a 与b 的夹角为________. 14．若2()21
x f x a =-+是奇函数,则a =_______.。