八年级二次根式
八年级数学二次根式教学设计6篇
八年级数学二次根式教学设计6篇二次根式的混合运算（1）教学目的：会进行二次根式的加减、乘混合运算。
重点：二次根式的加减乘混合运算。
难点：运算法则的综合运用。
关键：掌握混合运算顺序和步骤。
教学过程：复习提问：1．叙述二次根式加减法的两个步骤。
2．填空：当a≥0，b≥0时，；3．叙述单项式乘以多项式运算顺序；4．叙述多项式乘以多项式的运算法则。
二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）二次根式的除法：（a≥0，b>0）新课：形如的式子，表示什么？a需要满足什么条件？根据平方根的定义，当a≥0时，表示a的算术平方根，是一个非负数，它的平方等于a；当a16.1第一课时二次根式的概念教学目标：1、解决实际问题，体会学习二次根式是实际的需要。
2、通过二次根式概念的学习，经历观察、概括的思维过程，理解二次根式的概念。
3、通过二次根式概念的建立，理解二次根式中被开方数中字母的取值范围。
教学重点：二次根式概念的理解。
教学难点：二次根式概念的理解。
教学方法:自主学习问题启发相结合。
教学手段：多媒体课件、学案。
教学过程：一、复习1、式子（﹣3）2中，-3叫2叫2、求数4，5，10，49，0的平方根和算术平方根，4的立方根是3、-4有没有算术平方根？我们已经学习了平方根和算术平方根的定义，引进了一个新的符号word/media/image1_1.png。
今天我们学习一个和前面的算术平方根有关的知识：二次根式2、探究定义1、观察：完成课本第二页“思考”的内容。
观察word/media/image2_1.png，word/media/image3_1.png，word/media/image4_1.png，word/media/image5_1.png这些式子在形式上有什么共同特点？2、思考：（1）都含有word/media/image1_1.png（2）被开方数都是非负数（S表示面积，h是高度。
)。
3、归纳：二次根式的定义形如word/media/image6_1.png（a≥0）的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数。
二次根式(课件)八年级数学下册(苏科版)
2
+ −13 ＝11 + 13＝24．
课堂练习
用代数式表示：
10．
（1）面积为 S 的圆的半径；
（2）面积为 S 且两条邻边的比为 2∶3 的长方形的长和宽．
解：（1）设圆的半径为 r，则
所以 S＝πr²，则 r ＝±
思考：当a＜0时， a 2 = -a ？
a(a＜0) 平方
运算
-2
-0.1
2
...3
a2
4
算术平
方根
0.01
4
...9
观察两者有什么关系？
a2
2
0.1
2
...3
探究新知
的性质：
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
典型例题
例2 化简：
1
3
2 4 ；
3
3
探究新知
( a ) 2 ( a 0) 的性质：
2
(
a
)
一般地，
＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 a 有
意义的前提条件.
典型例题
例1 计算：
2
(2)( 5) 2
3
1 2
(1)( )
2
(2)可以用到幂
的哪条基本性
质呢？
”．
典型例题
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32;
(2) 6;
(3)
(5)
xy x, y异号 ; (6)
12;
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
八年级上册数学二次根式
本章知识
1.二次根式的概念：
形如 a（a 0）的代数式叫做二次根式.
（即一个 非负数 的算术平方根叫做二次根式）
本章知识 2.二次根式的性质：
1 .a( )2a
2 . a2 a
( a 0 )
a （a 0）
0 （a 0）
a （a 0）
3a . bab ( a 0b 0)
4 .a b
如图是由两个等腰直角三角形拼成的四边形， 已知：AB=2cm，求四边形ABCD的面积。
要使人造地球卫星能绕地球运转，必须使它的 速度超过一定的数值才能摆脱地球万有引力的 束缚，这个速度我们称为第一宇宙速度。计算 这一速度的公式是，其中g为重力加速度，取值 为9.8m/，R为地球半径约是米，请你尝试着计 算第一宇宙速度（结果用科学记数法表示，保 留两个有效数字）。
）仍然适用.
例1 求下列二次根式中字母的取值范围
（1）
x 5
1 3x
（2） (x - 2)2
说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中 字母的取值范围常转化为不等式（组）
练习：求下列二次根式中字母的取值范围
5a
2
1-a
当a_____时， 5 2a 有意义，
当a_____时， 2a 5 有意义，
当a_____时，5 2a 2a 5 有意义。
计算或化简：
1
6 216
—6——
计算或化简：
52 42 __3______
化简下列各式
(3)2 (3 2)2
计算或化简：
2 7362
计算 (2 3 6)2
(22 33 )3 (3 22 )
?Байду номын сангаас
八年级数学下册第16章 微专题1 二次根式化简的六种常用方法
＝
x＋y y＝
y(x＋y) x＋y .
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微专题1 二次根式化简的六种常用方法
方法4 根据隐含条件化简含有字母的二次根式 4．已知 x＋y＝－10，xy＝8，求 xy＋ xy的值． 解：∵x＋y＝－10，xy＝8，∴x＜0，y＜0.
∴
xy＋
xy＝
xyy2 ＋
xxy2＝－
yxy－
xy x
＝－1y－1x xy＝－x＋ xyy xy＝180× 8＝522.
第十六章 二次根式 微专题1 二次根式化简的六种常用方法
微专题1 二次根式化简的六种常用方法
方法1 直接应用二次根式性质法则化简 1．【教材改编】把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) 3×9；
解： 3×9＝ 3× 9＝3 3；
(2) 1.5； 解： 1.5＝
32＝
3＝ 2
3× 2×
2＝ 2
26；
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微专题1 二次根式化简的六种常用方法
(2)化简： (x－2)2－ x2－2x＋1. 解：原式＝ (x－2)2－ (x－1)2＝|x－2|－|x－1|， 当 x＜1 时，原式＝2－x－(1－x)＝2－x－1＋x＝1； 当 1≤x≤2 时，原式＝2－x－(x－1)＝2－x－x＋1＝3－2x； 当 x＞2 时，原式＝x－2－(x－1)＝x－2－x＋1＝－1.
∴
xy＋
xy的值为5
2
2 .
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微专题1 二次根式化简的六种常用方法
方法 5 巧用整体思想进行计算与求值
5．(2021·包头)若 x＝ 2＋1，则代数式 x2－2x＋2 的值为( C )
A．7
B．4
C．3
D．3－2 2
八年级上册数学“二次根式”知识点
八年级上册数学“二次根式”知识点
八年级上册数学“二次根式”知识点
1.二次根式：式子(≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：
(1)最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式;③分母中不含根式。
(2)最简二次根式必须同时满足下列条件：
①被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;
②被开方数中不含分母;
③分母中不含根式。
3.同类二次根式(可合并根式)：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
4.二次根式的性质
(1)非负性：是一个非负数.
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.
(2).
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
(3)
注意：①字母不一定是正数.
②能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.
③可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.
(4)公式与的区别与联系：
①表示求一个数的平方的算术根，a的`范围是一切实数.
②表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.
③和的运算结果都是非负的.
【八年级上册数学“二次根式”知识点】。
北师大版八年级上册数学第7讲《二次根式》知识点梳理
a aa baba ÷b aa 2a2a2a2【学习目标】北师大版八年级上册数学第 7 讲《二次根式》知识点梳理1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：≥0，（a≥0），（a≥0），（a≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质1. ≥0，（a≥0）；2. （a≥0）；3. .4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，=(或=÷ b )即（a ≥0，b >0）.要点诠释：（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即a = ( a )2(a≥0）.（2）与( a )2 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，( a )2 中a ≥0，中a 为任意值。
② a ≥0 时，( a )2 = =a ；a <0 时，( a )2 无意义，= -a .要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；1 3 - 3 (- 1)23 1- x x -1 x + 2 3 - 2x -32 (-0.3)2 -2 x（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2） 含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1. 当 x 为实数时，下列各式有个. 【答案】 3.x 2 , x 2 -1, x , x 3 , (-x )2, ， ， ， 属二次根式的【解析】 x 2 , x , 这三个式子满足无论 x 取何值，被开方数都大于或等于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0．举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.（1） ；（2） ； （3） -A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B.；（4） 3 8 ； （5） ；（6） （ x > 1 ）2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1） y = ； （2）y= － ；【答案与解析】 （1） x -1≥0，所以 x ≥1.3（2） x + 2 ≥0,3 - 2x ≥0,所以-2 ≤x ≤ 2 ； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）.A. B. C. D.(-x )2x 2 +1(- 3)2 4 (3.14 -π)2(m +1)2 2 5 【答案】B.类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：-2 ⨯ (1) (2) 【答案与解析】(1)原式=-2 ⨯ =- 3 2 . (2) 原式= 3.14-π=π-3.14 .【总结升华】 二次根式性质的运用.举一反三：【变式】（1）（2） a - 2 - ( = . 2 - a )2 =.【答案】(1) 10； (2) 0.4. （ 2015• 蓬溪县校级模拟） 已知： 实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示， 化简：﹣|a ﹣b|．【答案与解析】解：从数轴上 a 、b 的位置关系可知：﹣2＜a ＜﹣1，1＜b ＜2，且 b ＞a ，故 a+1＜0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，原式=|a+1|+2|b ﹣1|﹣|a ﹣b|=﹣（a+1）+2（b ﹣1）+（a ﹣b ）=b ﹣3．【总结升华】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题.举一反三：= m +1,且m <, 【变式】若整数m 满足条件则m 的值是 .【答案】m =0 或m =-1. 3 4 (-2 5 )2 21 5 0.1 15 12 类型三、最简二次根式5. （2016•濉溪县校级月考） 下列根式中，最简二次根式共有 个. 【思路点拨】最简二次根式要满足两个条件（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.【答案与解析】【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1) 被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.举一反三：【变式】（2015•东莞二模）下列各式中,是最简二次根式的是（ ）A ．B ．C ． D.2【答案】C.。
人教版数学八年级下册：二次根式(含答案)
《二次根式》1．二次根式的概念(1)一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．(2)对于a(a≥0)的讨论应注意下面的问题：①二次根号“”的根指数是2，二次根号下的a叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等．②式子a只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是a为二次根式的前提条件．式子－2就不是二次根式，但式子(－2)2是二次根式．③a(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果．④4是二次根式，虽然4＝2，但2不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．二次根式有两个要素：一是含有二次根号“”；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的，否则无意义．【例1－1】当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？a＋10，|a|，a2，a2－1，a2＋1，(a－1)2.分析：因为a为实数，而|a|≥0，a2≥0，a2＋1＞0，(a－1)2≥0，所以|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．因为a是实数时，并不能保证a＋10，a2－1是非负数，即a＋10，a2－1可能是负数．如当a＜－10时，a＋10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，a＋10，a2－1不是二次根式．解：|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．【例1－2】x是怎样的实数时，式子x－3在实数范围内有意义？分析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x－3是非负数，式子x－3有意义．解：由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3时，式子x－3在实数范围内有意义．2．二次根式的性质(1)a(a≥0)是一个非负数．．．a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a ≥0(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性．【例2－1】若a＋3＋(b－2)2＝0，则a b的值是__________．解析：由题意可知a＋3＝0，(b－2)2＝0，所以a＋3＝0，b－2＝0，则a＝－3，b＝2.所以a b＝(－3)2＝9.答案：9(2)(a)2＝a(a≥0)由于a(a≥0)是一个非负数，表示非负数a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，即(a)2＝a(a≥0)．【例2－2】化简：①(23)2＝__________；②(x －3)2(x ≥3)＝__________.解析：①直接利用公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(23)2＝23；②因为x ≥3，所以x －3≥0，所以由公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(x －3)2＝x －3(x ≥3)．答案：①23②x －3(3)a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).由算术平方根的定义，可得a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).a 2＝a (a ≥0)表示非负数a 的平方的算术平方根等于a .【例2－3】计算： (1)(－1.5)2；(2)(a －3)2(a ＜3)；(3)(2x －3)2(x ＜32)．解析：错解正解(1)(－1.5)2＝－1.5；(2)(a －3)2＝a －3； (3)(2x －3)2＝2x －3. (1)(－1.5)2＝|－1.5|＝1.5；(2)(a －3)2＝|a －3|＝3－a (a ＜3)；(3)(2x －3)2＝|2x －3|＝3－2x (x ＜32)．错因剖析：本题对性质(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |应用混淆，需特别注意被开方数是非负数时，a 2＝a (a ≥0).思路分析：根据a 2＝|a |，首先去掉根号，然后利用绝对值的定义求解.(1)(a )2＝a 的前提条件是a ≥0；而a 2＝|a |中的a 为一切实数．(2)a (a ≥0)，|a |，a 2是三个重要的非负数，即a (a ≥0)≥0，|a |≥0，a 2≥0，在解题时应用较多．(3)a 2＝(a )2成立的条件是a ≥0，否则不成立．(4)(a )2＝a (a ≥0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式．(5)在利用a 2进行化简时，要先得出|a |，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方．3．求二次根式中被开方数字母的取值范围由二次根式的意义可知，a 的取值范围是：a ≥0.即当a ≥0时，a 有意义，是二次根式；当a ＜0时，a 无意义，不是二次根式．(1)确定形如a 的式子中的被开方数中的字母取值范围时，可根据式子a 有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可．(2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零．求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义a (a ≥0)得被开方数必须是非负数，即把问题转化为解不等式．【例3】当字母取何值时，下列各式为二次根式． (1)a 2＋b 2； (2)－3x ；(3)12x ； (4)－32－x.分析：必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时，分母不能为0，根据这些要求列不等式解答即可．解：(1)因为a ，b 为任意实数时，都有a 2＋b 2≥0， 所以当a ，b 为任意实数时，a 2＋b 2是二次根式．(2)－3x ≥0，x ≤0，即当x ≤0时，－3x 是二次根式．(3)12x≥0，且x ≠0，所以x ＞0. 当x ＞0时，12x 是二次根式．(4)－32－x ≥0，故x －2≥0且x －2≠0，所以x ＞2. 当x ＞2时，－32－x 是二次根式． 4．二次根式非负性的应用(1)在实数范围内，我们知道式子a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：①a ≥0；②a ≥0.运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可以解决一些算术平方根问题．巧记要点：二次根式，内外一致；即二次根式根号下和根号外一致为非负数． (2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式： ①|a |≥0；②a 2≥0；③a ≥0(a ≥0)．【例4－1】已知x ，y 都是实数，且满足y ＝5－x ＋x －5＋3，求x ＋y 的值．分析：式子中有两个二次根式，它们的被开方数都应该是非负数，由此可得关于x 的不等式组．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ≥0，x －5≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥5，∴x ＝5.当x ＝5时，y ＝5－5＋5－5＋3＝3.∴x ＋y ＝5＋3＝8.两个算术平方根，当被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个式子才能都有意义．【例4－2】已知x ，y 为实数，且y ＝12＋8x －1＋1－8x ，则x ∶y ＝__________.解析：因为y 为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负数．实际上，若a 和－a 都有意义，则a ＝0.即依题意得⎩⎪⎨⎪⎧8x －1≥0，1－8x ≥0.解得x ＝18，于是y ＝12＋0＋0＝12.故x ∶y ＝1∶4.答案：1∶4,5．式子(a )2的意义和运用二次根式的一个性质是：(a )2＝a (a ≥0)．因为2＝(2)2，35＝(35)2，所以上面的性质又可以写成：a ＝(a )2(a ≥0)．可见，利用这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式．二次根式中的23表示2×3，这与带分数212表示2＋12是不一样的，因此，以后遇到32×3应写成323，而不能写成1123.【例5－1】计算：(1)(23)2；(2)(－212)2；(3)(－5×3)2.解：(1)(23)2＝22×(3)2＝12. (2)(－212)2＝(－2)2×(12)2＝2. (3)(－5×3)2＝(－1)2×(5×3)2＝15.【例5－2】把多项式n 5－6n 3＋9n 在实数范围内分解因式．分析：按照因式分解的一般步骤，先对多项式n 5－6n 3＋9n 提取公因式，得n (n 4－6n 2＋9)，再利用完全平方公式分解，得n (n 2－3)2，要求在实数范围内分解，所以可以将3写成(3)2，再运用平方差公式进行因式分解．解：n 5－6n 3＋9n ＝n (n 4－6n 2＋9)＝n (n 2－3)2＝n (n ＋3)2(n －3)2.6．二次根式与相反数和绝对值的综合应用(1)二次根式具有非负性，一个数的绝对值，完全平方数也是一个非负数，因此可以把这几者结合出题．(2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数，即：|a |≥0，b ≥0(b ≥0)，c 2≥0.非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零．即：|a |＋b ＝0⇒a ＝0，b ＝0； |a |＋c 2＝0⇒a ＝0，c ＝0； b ＋c 2＝0⇒b ＝0，c ＝0； |a |＋b ＋c 2＝0⇒a ＝0， b ＝0，c ＝0.【例6－1】若|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数，则(a ＋b )2 011＝______.解析：|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数，∴|a －b ＋1|＋a ＋2b ＋4＝0.而|a －b ＋1|≥0，a ＋2b ＋4≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋1＝0，a ＋2b ＋4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴(a ＋b )2 011＝(－2－1)2 011＝(－3)2 011＝－32 011. 答案：－32 011【例6－2】若a 2＋b －2＝4a －4，求ab 的值．分析：通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式，即(a －2)2＋b －2＝0，由二次根式的性质可知b －2≥0，由完全平方数的意义可知(a －2)2≥0，而它们的和为零，则a －2＝0，b －2＝0，从而可求出a ，b 的值．解：由a 2＋b －2＝4a －4，得a 2－4a ＋4＋b －2＝0，即(a －2)2＋b －2＝0.∵(a －2)2≥0，b －2≥0且(a －2)2＋b －2＝0，∴a －2＝0，b －2＝0，解得a ＝2，b ＝2. ∴ab ＝2，即ab 的值为2.7．二次根式(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |的区别、运用(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据．(1)正确理解(a )2与a 2的意义学习了二次根式的定义以后，我们知道a ≥0(a ≥0)，即a 是一个非负数，a 是非负数a 的算术平方根，那么(a )2就是非负数a 的算术平方根的平方，但只有当a ≥0时，a 才能有意义．对于a 2，则表示a 2的算术平方根，由于a 2中的被开方数是一个完全平方式，所以a 无论取什么值，a 2总是非负数，即a 2总是有意义的．(2)(a )2与a 2的区别和联系区别：①表示的意义不同．(a )2表示非负实数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②运算的顺序不同．(a )2是先求非负实数a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而a 2则是先求实数a 的平方，再求a 2的算术平方根．③取值范围不同．在(a )2中，a 只能取非负实数，即a ≥0；而在a 2中，a 可以取一切实数．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤结果不同．(a )2＝a (a ≥0)，而a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＞0)，0(a ＝0)，－a (a ＜0).联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0. ③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2.如果先做二次根式运算，后做平方运算，只有一种可能；如果先做平方运算，再做二次根式运算，答案需分情况讨论．___________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________【例7－1】已知x ＜2，则化简x 2－4x ＋4的结果是( )． A ．x －2 B ．x ＋2 C ．－x －2 D ．2－x 解析：x 2－4x ＋4＝(x －2)2＝(2－x )2，因为x ＜2,2－x ＞0，所以x 2－4x ＋4＝2－x . 答案：D【例7－2】化简1－6x ＋9x 2－(2x －1)2得( )． A ．－5x B ．2－5x C ．x D ．－x解析：错解正解原式＝(1－3x )2－(2x －1)＝(1－3x )－(2x －1)＝2－5x ，故选B. 由2x －1，知2x －1≥0，得x ≥12，从而有3x －1≥0，所以原式＝(1－3x )2－(2x －1)＝(3x －1)2－(2x －1)＝(3x －1)－(2x －1)＝x .故选C. 错因剖析：本题错在忽视了二次根式成立的隐含条件．题目中2x －1有意义，说明隐含了条件2x －1≥0，即x ≥12，可知3x －1≥0.思路分析：本题主要应用二次根式的性质：(1)a 2＝|a |＝()()0,0.a a a a ≥⎧⎪⎨⎪⎩－＜ (2)(a )2＝a (a ≥0) .正确应用二次根式的性质是解决本题的关键. 答案：C【例7－3】若m 满足关系式3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝x －199＋y ·199－x －y ，试确定m 的值．分析：挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性，并在解题过程中有机地配合应用，是解决本题的关键．解：由算术平方根的被开方数的非负性，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －199＋y ≥0，199－x －y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥199，x ＋y ≤199.∴x ＋y ＝199. ∴x －199＋y ·199－x －y ＝0. ∴3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝0.再由算术平方根的非负性及两个非负数的和为零，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y －2－m ＝0，2x ＋3y －m ＝0.①②由①－②，得x ＋2y ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝199，x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝396，y ＝－197.∴m ＝2x ＋3y ＝2×396＋3×(－197)＝201.点拨：(1)运用二次根式的定义得出：x ≥a 且x ≤a ，故有x ＝a ，这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法，在前面的解题中已用到．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝0推出a ＝b ＝0，这也是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一．。
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5.1二次根式（1）【学习目标】：1. 知道二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件.2. 会运用二次根式的性质进行化简和计算.【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第155、156、1571.什么是二次根式？根号下的数称作什么？2.公式()20,a a =≥为什么要求0a ≥？3.()0a a =≥中，若将括号内的条件改为0a <二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.当取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义.（1） （2） 2.计算：（1）（2）（3）253⎪⎭⎫⎝⎛（4三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 1.当取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义. （1） （2）x2（3）x x 23-x x -+()2.10()232-x 12+x x 21-2.化简：（1）（2）3.若，求22y x +的值.【当堂检测】：1.当取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义. （1 （2）2.计算:（1）()29-（2）(2-3.计算:（1 （21)x <【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【课后精练】： 1.当x 在实数范围内有意义？2.计算：（1= ；（2）(2-= .3.12a =-，则a 应满足的条件是 .4.)a b <= .5.=，求y x b a 75-++的值.()23π-()2442<+-x x x 032532=--+--y x y x x5.1二次根式（2）【学习目标】：1.会推导并运用积的算术平方根的性质.2.知道什么是最简二次根式及如何将一个二次根式化成最简二次根式. 【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第157、158、159页的内容，自主探究，回答下列问题：1.)0,0a b =≥≥中的条件0,0a b ≥≥可以省去吗？为什么？ .2.二次根式要成为最简二次根式，必须满足的条件是什么？请举出一个最简二次根式.二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A. 2.化简下列二次根式：（1 （2）419（3 （4)0,0x y >≥3.已知若52<<x三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 1.把根号外的因式移到根号内：（1）= （2）= 2. 化简：3x -【当堂检测】：1.化简下列二次根式：（1 （22.化简下列二次根式：（1)0x ≥ （20)x ≥3.计算：（1 （2【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【课后精练】：1.化简下列二次根式：（1）2581（2 （30)x y >>2.设0,0a b ≥≥，化简下列二次根式：（1 （2）32b 8a b a 2916)3(3.请将二次根式xx 1-中根号外的x 移到根号内.5.2二次根式的乘法和除法（1）【学习目标】：1.会由积的算术平方根性质推导出二次根式的乘法公式.2.会运用二次根式的乘法公式解答相关问题.【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第161、162页的内容，自主探究，思考：1.二次根式的乘法运算公式与积的算术平方根的性质，二者有怎样的关系？2.怎样进行含有系数的二次根式的乘法运算？3.)0,0a b =≥≥中，为什么规定0,0a b ≥≥？二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.判断下列计算是否正确，错的请更正.(1) （2）676)7(2-=⨯-(3) = (4) 2===2.计算:（1）153⨯ （2）10223⨯（3）ab a 32⋅；()0,0≥≥b a （4）ba ab 33⋅()0,0>>b a三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：1.)0n <.2.定义一种新运算：a b *=36*的值.3.等腰梯形ABCD 的底角为 60，上底CD 长为3cm ，下底AB 长为5cm ，求：①等腰梯形DE 的高；②等腰梯形的面积.【当堂检测】： 1.计算:（1） （2）⎛ ⎝ 2.计算:（1)0x ≥ （2）)0,0x y >≥3.，求此直角三角形的斜边长.【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【课后精练】： 1.计算:（1） （2⎛ ⎝ 2.计算:（10)a > （2()0,0a b ⎛>≥ ⎝3.已知矩形的长为，宽为，求矩形的面积.5.2二次根式的乘法和除法（2）【学习目标】：1.会推导并记住商的算术平方根的性质和二次根式的除法法则.2.会灵活运用二次根式的乘法法则和除法法则解决有关问题.【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第162、163、164页的内容，自主探究，回答下列问题： 1.商的算术平方根具有怎样的性质？用式子表示.2.二次根式的除法法则是什么？用式子表示.3.怎样将二次根式分母中的根号去掉？二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.下列运算是否正确？若不正确，请改正.（1=（2=（3= （42===2.计算：（1（2）)0,0a b >>3.计算：（1 （2三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：1. 等腰梯形ABCD 的面积为2103cm ，高为cm 5，一条腰长为cm 3，求等腰梯形的上、下底的长.6.已知3a b +=-，2ab =【当堂检测】： 1.计算：（1（2）(3 2.计算：（1)0x > （2)0a >3. 如图，在Rt △ABC 中，=∠ACB 90°，△ABC 的面积为182cm ，BC 的长为cm 3， CD ⊥AB 与点D ，求AC 和CD 的长.【拓展链接】：分母有理化分母有理化又称"有理化分母".通过适当的运算，把分母变为有理数的过程. 分母有理化的两种基本类型：（1） 分母由一项组成时：==； （2） 分母由多项组成时：2233-====-. 【课后精练】：1.计算：（1 （2） 1528032.计算：（1)0,0x y ≥>（2)0,0a b >≥3.先化简，再求值，其中4,3==b a . （1）23abb a （2）5520aab5.3二次根式的加法和减法（1）【学习目标】：1.知道二次根式加、减法的基本法则.2.会运用二次根式加、减法的基本法则进行运算.【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第167页的内容，自主探究，回答问题：1.通过阅读教材“做一做”和“动脑筋”部分，你能归纳总结出二次根式加减法的基本步骤吗？2.二次根式的加减运算与我们之前学过的什么运算类似？二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1. 下列运算是否正确？若不正确，请说明理由.（1== （2==（3 （43===（5）2= （6=2.计算：（1）545357-+ （2）27233-（3） （4）20412512457+-三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 1.计算：（1（2）22.已知a b -=b c -222a b c ab bc ac ++---的值.【当堂检测】：1.计算： （1） 4832743112+- （2）811987121472+--2.计算： （1）x x x x 211862⋅-⋅ （2）xx x x 45350182+-3. ，求此三角形的周长.【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【课后精练】：1.如果最简二次根式83-a 与a 217-的被开方数相同，那么62-a 的值是 .2.计算：（1 （23.计算：（1)0,0x y ≥≥ （2）2132-⎛⎫- ⎪⎝⎭4. ，求它的另一边的长.5.3二次根式的加法和减法（2）【学习目标】：1.类比实数的混合运算顺序归纳出二次根式的混合运算顺序.2.会进行二次根式的混合运算，灵活解决二次根式的综合问题.【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第169、170、171页的内容，自主探究，思考：1.二次根式的混合运算类似于实数的混合运算，其运算顺序是怎样的？2.阅读例3、例4，二次根式的乘法运算类似于多项式的乘法运算，那么在例4中分别运用 了什么乘法公式？二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：1.选择：（1）已知a =2b =，则a 与b 的关系是( ) A.a b = B.0a b += C.1a b= D.1ab =（2( )A. B.3 C.32.计算：（1）24)8322(⨯+ （2）)323)(232(--（3）1)（4）|21|)21(18)14.3(10---++--π3.计算：（1） )623)(623(--- （2） )223)(223(---+（3） 22)23()23(--+ （4） 20122013三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：1.已知52+-=a ， 52--=b .（1）求a b ab ++的值.（2）求22a b - 的值. (3)求a b的值.2.先化简，再求值：2222223a b a b a a ab a ⎛⎫-+÷-+ ⎪-⎝⎭，其中a =b =【当堂检测】： 1.计算:（1）（2（2）(2.求这个直角三角形的周长与面积.【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【拓展链接】：试在表格中填上恰当的数（不能重复）使得表中每一行、每一列、每一条对角线上3个数字的乘积都等于1，你还能找到一个数，使得表中每一行、每一列、每一条对角线上3个数字的乘积都等于这个数吗？【课后精练】： 1.计算：（1） （22.若三角形的面积是121，求该边所对应的高长是多少？3.解方程：())311x x +=-.。