小学数学《染色问题》ppt
第五讲 立体图形染色问题
第五讲立体图形染色问题
姓名成绩
【例1】一个正方体棱长7cm，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，三面涂红色的、两面涂红色的、1面涂红色的各有多少个？没有涂成红色的有多少个？
【例2】一个长方体长9cm，宽4cm，高8 cm，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，三面涂红色的、两面涂红色的、1面涂红色的各有多少个？没有涂成红色的有多少个？
〖练习1〗一个正方体，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，期中一面涂色的有216个小正方体，这个正方体的体积是多少？
〖练习2〗一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是________。
综合试题
1、某学生语文和数学平均分为90分，语文和英语的平均分为94分，英语和数学平均分为91分。
这位学生语文考（）分，数学考（）分。
2、甲仓库有大米95.8吨，乙仓库有大米54.5吨。
要从甲仓库中运（）吨到乙仓库后，乙仓库中的大米吨数是甲仓库中的2倍。
3、有一组数据如下图排列：
一二三四五
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
······如此规律，1991排在第（）列。
4、一个长方体，如果长减少2厘米，宽、高不变，它的体积减少48立方厘米，如果宽增加3厘米，长、高都不变，它的体积增加99立方厘米，如果高增加4厘米，长、宽都不变，它的体积增加352立方厘米，求原长方体的表面积是多少平方厘米？。
数学中的染色问题
表丁（乙） 11 2 4 19 8 5 24 7 18 20 2 19 3 6 25 1
数学中的染色问题
❖ 这样，每一次操作中字母的置换就相当于 下面的置换：1 2，2 3，…，25 26，
❖26 1.显然，每次操作不改变这16个数字 和的奇偶性，但是表丙、表丁16个数字和 分别为213,174，它们的奇偶性不同，故表 丙不能变成表丁，即表甲不能变成表乙。
0 1 0 10 1 0 1 01 0 1 0 10 1 0 1 01 0 1 0 10 A
数学中的染色问题
1234 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A
数学中的染色问题
❖例2 下面给出表甲表乙 0154
3267 8455 2046
❖…，最后字母Z变成A），问：能否经过若 干次操作，使甲表变成乙表？如果能，请 写出变化过程，如不能，说明理由。
数学中的染色问题
❖表甲 ❖S O B R ❖T Z F P ❖H O C N ❖A D V X
表乙 KBDS HEXG RTBS CFYA
给甲乙表上字母用字母表的序号代替
❖表丙（甲 ） ❖19 15 2 18 ❖20 26 6 16 ❖8 15 3 14 ❖1 4 22 24
数学中的染色问题
❖例题4 试证：任意6个人中，一 定有3个人或者互相认识，或者 互相都不认识。
数学中的染色问题
❖证明：用6个点
A1，A2，A3，A4，A5，A6
❖代表6个人，若人认识就用红线段 相连接，否则用黑线段相连接。
❖
数学中的染色问题
❖
A2
❖
A3
❖ A1
❖
6第四十六章 染色与覆盖问题
第四十六章染色与覆盖问题概念本讲我们将一起学习染色与覆盖。
而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。
而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。
9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。
因为从A格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A格出去又要回到A格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A格为白格，所以不可以。
三、结点问题分析与路径问题相似，只不过我们这回染得不再是小格而是点，染成黑白相间的点。
我们会发现一共14个点，6个黑点8个白点，每次的路线仍是从黑点走到白点或者从白点走到黑点，所以若想每个点不重复的都走一遍的话必须黑白相等或相差1个，但本题黑白差2个，所以不可以。
四、一般覆盖将这14个小格染成黑白相间的，那么7个相邻两方格应该是一黑一白的，所以如果能覆盖的话，14为454，所以例题1.2.(第2×23.（29-4（2）.试证明mn必是8的倍数.4.（1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识.5.?（1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.6.?(第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.7.8.段.9.?6格，形如的弯角板与1的矩形10.?11.?有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.12.?如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？为什么？13.?设n=6（r-2）+3（r≥3），求证：如果有n名科学家，每人至多会讲3种语言，每3名中至少有2名能通话，那么其中必有????r名能用同一种语言通话.14.?（1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.15.?（首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的.16.?为什么？17.(1)(2)18.19.20.所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来？21.在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？22.右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马.众所周知，马是走“日”字的.请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？23.右图是由14个大小相同的方格组成的图形.试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？24.右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？25.26.用和27.28.929.30.31.右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上.开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘，每次可以转动90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？32.有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份．应该怎样分？33.有一位老人，他有三个儿子和十七匹马.他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分.”老人去世后，三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得1/2,次子得1/3,给幼子1/9,不许流血，不许杀马.你们必须遵从父亲的遗愿！”请你帮助他们分分马吧！34.8个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）？35.936.103斤油.要把这37.38..39.40.老师在黑板上画了9个点，要求同学们用一笔画出一条通过这9个点的折线(只许拐三个弯儿)．你能办到吗?41.如右图所示，将1～12顺次排成一圈.如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置.例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置.问：a是多少时，可以走到7的位置？42.对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？43.一只电动老鼠从左下图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。
正方体染色切拼问题PPT课件
“两面涂色”与 棱 有关：1×12=12（块）
“一面涂色”与 面 有关：1×6 =6（块）
没有涂色的：总块数 -（ 8 + 12 + 6） = 27- （ 8 + 12 + 6） = 1（块）
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拓展
把一个六面都涂上颜色的正 方体木块，切成64块大小相同的 小正方体。表面涂色的小正方体 有 56 块。
“两面涂色”与 棱 有关：（棱长-2）× 12条棱 = （块）
“一面涂色”与 面 有关：（棱长-2） 2 × 6个面 = （块）
“没有涂色”的小正方体：（棱长–2）3 = （块）
“表面涂色”的小正方体：棱长3 -（棱长–2）3 = （块）
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大竹县杨通乡中心小学：xxx
第5页/共6页
感谢您的一个正方体，表面涂上颜色，刚好切
成125个棱长1cm的小正方体。
三面涂色的小正方体有_____个， 两面涂色的小正方体有_____个， 一面涂色的小正方体有_____个， 没有涂色的小正方体有_____个； 表面涂色的小正方体有_____个。
“三面涂色”与顶点有关：1 × 8个顶点 = 8（块）
西师版数学五年级下册第三单元
正方体“染色切拼”问题
大竹县杨通乡中心小学：xxx
第1页/共6页
例 一个大正方体由27个小正方体搭成(如 图)，把它的表面涂上颜色后，再散开： 三面涂色的小正方体有___8__个， 两面涂色的小正方体有__1__2_个， 一面涂色的小正方体有___6__个， 没有涂色的小正方体有___1__个．
方法一：
“三面涂色”：1×8=8（块） “两面涂色”：2×12=24（块） “一面涂色”：4×6=24（块） “表面涂色”：8+24+24
《正方体染色切拼问题》课件
02
01
正方体的所有面都是相等的
正方形。
03
正方体的所有棱长都相等。
04
05
正方体的所有顶点都在同一 个平面上。
正方体的几何结构
总结词：正方体的几何 结构
01
正方体有8个顶点，每 个顶点都是三条棱的交
点。
03
正方体的体对角线是三 个顶点的连线，且长度
等于棱长的√3倍。
05
正方体有12条棱，这些 棱连接着相对的顶点。
可分为单一目标和多目标两类。单一目标是指通过切拼得到一个新的 几何体，多目标是指同时满足多个条件或达到多个目标。
06
正方体切拼问题的解决方法
切拼问题的解析解法
解析解法定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过数学公式和逻辑推理 ，将问题转化为可计算的 形式，从而得到精确解的 方法。
应用场景
适用于规则简单、约束条 件明确的问题，可以快速 得到答案。
几何变换
研究几何体的变换，如旋 转、平移、对称等，以及 这些变换对几何体的影响 。
组合数学
研究组合问题的方法和技 巧，如排列、组合、概率 等。
切拼问题的分类
按切割方式分类
可分为直线切割和曲线切割两类。
按拼接方式分类
可分为平面拼接和立体拼接两类。
按染色方式分类
可分为单色染色和多色染色两类。
按目标分类
染色问题的定义
染色问题
在几何形状的表面进行染色，使 得相邻的面或区域有不同的颜色 ，且相邻的面或区域的颜色不同 。
正方体染色问题
在正方体的表面进行染色，使得 相邻的面或区域有不同的颜色。
染色问题的数学模型
数学模型
通过建立数学模型，将染色问题转化为数学问题，以便进行求解和分析。
小学五年级竞赛 第十二讲 染色问题
第十二讲染色问题一、课前热身：1、如果用红、黄、绿三种颜色给下列两幅图涂色，共有几种不同的涂色方法。
（要求：相邻的部分不能涂相同的颜色）2、图中的网格是由6个相同的小正方形构成，将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形，经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有多少种不同的涂色方法？二、典例精析：3、如图，用红、黄、蓝、绿四种颜色给小方块涂色（每个小方块涂一种颜色），且每种颜色都要用上，共有多少种涂法？4、小明想要对图中的每个小三角形进行染色，要求任意一个三角形的三边都是一条染红色、一条染绿色、一条染蓝色。
图中给出了某些边的颜色，则AB边应该染色。
5、用五种颜色染下面的图形，相邻两块不同色，有种方法。
6、在3×3的方格纸上（如图1），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法．例如图2和图3是相同类型的涂法。
回答最多有多少种不同类型的涂法？7、如图，在5×5的方格表中，涂黑若干个小方格，使得在任意3×3的正方形内恰好有4个黑格。
请画出黑格最多和最少的涂法，并说明理由。
8、有一个正方体木块，外表全部涂上红色后将它切成27个小正方体（如图），切好后：涂有1面红色的小正方体有块；涂有2面红色的小正方体有块；涂有3面红色的小正方体有块。
9、如图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体，它的底层由5×4个小正方体构成，如果把它的外表面（包括底面）全部涂成红色，那么当这个几何体被拆开后，有3个面是红色的小正方体有块。
10、把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为1的小立方体．其中，两面有红色的小立方块有40块，一面有红色的小立方块有66块，那么这个长方体的体积是多少？三、竞赛真题：11、（2010•华罗庚金杯）如图，对A，B，C，D，E，F，G七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域着不同的颜色．那么有种不同的着色方法。
《正方体染色切拼问题》课件
解决方法
解决正方体染色切拼问题的方法有多种。其中一种常用的方法是使用图论和组合数学的知识，通过建立 模型和应用算法来找到最优解。
实际应用
正方体染色切拼问题在许多领域都有实际应用，如计算机图形学、工程设计 和游戏开发等。它可以帮助我们了解空间配置和模型的设计原理。
挑战与难点
尽管正方体染色切拼问题看起来简单，但其中存在着许多挑战和难点。其中一些挑战包括确定染色和切 割的顺序以及解决可能导致无解的特殊情况。
研究成果与讨论
许多学者和数学爱好者对正方体染色切拼问题进行了深入的研究，并取得了许多有趣的发现和讨论。这 些研究成果可以方体染色切拼问题不仅具有理论意义，还能激发我们的思维和创造力。希望这个PPT课件能为大家带 来启发，并促进对这个问题的更深入探索。
《正方体染色切拼问题》 PPT课件
这个PPT课件将带你进入正方体染色切拼问题的神奇世界。
背景介绍
正方体染色切拼问题是一个有趣而有挑战性的数学问题，它涉及将一个正方 体进行染色和拼接，探索其中的规律和特性。
定义与规则
我们首先来定义正方体染色切拼问题。它是指给定一个正方体，通过染色其 中的面并切割和拼接，使每个面的颜色相同以及相邻面颜色不同的一系列操 作。
探索图形——正方体表面涂色问题PPT课件可编辑全文
每个面中间位置的正方体露出1个面，一面涂色的个数与 面 有关，一个
面上1面涂色的小正方体个数（有n-2）² 个，正方体有6个面，所以1 面涂色的小正方体个数为6：x（n-2）² 个。
2021
17
导入
思 考：
（1）三面涂色的小正方体有多少块？
8个
（2）两面涂色的小正方体有多少块？
12 x（10-2）=96（个）
8
探索规律2 2面涂色的小正方体有多少个？
2021
9
探索规律2 2面涂色的小正方体有多少个？
棱等分 的份数
3
2面涂色 的位置
棱上
1条棱上有几个两 面涂色的正方体
（列式）
3—2=1
2面涂色的个数 （列式）
12x（3-2）=12
2021
10
探索规律2 2面涂色的小正方体有多少个？
棱等分 的份数
4
2面涂色 的位置
顶点处 顶点处 顶点处 顶点处
三面涂色的个数
8 8 8 8
2021
7
探索规律1
棱等分的 份数
2 3 4 5
n
三面涂色的位置
顶点处 顶点处 顶点处 顶点处 顶点处
三面涂色的个数
8 8 8 8
8
在顶点位置的正方体露出 3 个面，三面涂色的个数与顶点数相
同，无论是哪一种情况，三面涂色的个数都是8个 。
2021
棱上
1条棱上有几个两 面涂色的正方体
（列式）
4—2=2
2面涂色的个数 （列式）
12x（4-2）=24
2021
11
探索规律2 2面涂色的小正方体有多少个？
棱等分 的份数
5
2面涂色 的位置
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自主猜想
用红、黄两种颜色把下列长 方形中的每个小方格都随意染 成一种颜色。引导得出结论： 不管怎么涂色必有两列的涂色 方式完全相同。
好好思考一下
每列只有两格，而这上下两格的染色 方法之一以下四种：
红黄
红黄
红
黄
黄
红
❖题中所有的方格共有5列，根 据抽屉原理，有5个苹果要放 到4个抽屉中，则至少有一个 抽屉中放两个，所以至少有两 列的染色方式完全相，现要对 这7个区域着色，要求用红、黄、蓝、 绿、紫5种颜色对这7个区域着色，任意 相邻的两个区域涂上不同的颜色。现在 分男女两组，哪组涂得最快最准确，就 可以寻找其中的宝物。
地图
给出一种涂色情况：A---红色，B---黄色， C---蓝色，D---黄，E---绿，F---蓝 G---紫
解决染色问题往往要用到抽屉原 理，抽屉原理是指：把N+1个元 素，任意放入n个抽屉，则其中 必有一个抽屉里至少有2个元素. 应用抽屉原理来解一些数学题目， 往往会起到较好的效果。
你知道吗？
❖ “抽屉原理”又称“鸽笼 原理”，最先是由19世纪德国 数学家狄利克雷提出来的，所 以又称“狄利克雷原理”。
在一个3行7列的小方格中每一小格染成 红色或蓝色。试证：一定存在一个矩形，
它的四个角上的小方格颜色相同。
课堂小结：
通过今天学习，你有什么 收获？和老师同学一起分享。
课后延伸
调查我们生活中哪些能用 今天所学的知识来解决的，其 中一个写一篇数学日记。
谢谢
❖抽屉原理较简单的一个应用如：在 任意3名同学中，至少有2名同学的 性别相同.我们不妨将男、女性别视 为两个抽屉，3名同学视为3个元素， 依据抽屉原理，其中必有一个抽屉 里至少有2个元素，即至少有2名同 学的性别相同。
智慧城堡
加油啊！
有7个不同的区域。现要对这7个区域 着色，要求用红、黄、蓝、绿4种颜 色对这7个区域着色。任意相邻的两 个区域涂上不同的颜色。可以怎样涂？