青岛市中考数学探究题经典例题

问题提出：
如图①，将一直角三角形纸片△ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.
知识运用：
（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；
（3）若一个锐角三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？结合图③，说明理由。

拓展应用：
（4）如果一个四边形一定能折成"叠加矩形",那么它必须满足的条件是什么？
23．（本小题满分10分）
提出问题：如图①，在四边形ABCD 中，点E 、F 是AD 的n 等分点中最中间2个，点G 、H 是BC 的n 等分点中最中间2个，（其中n 为奇数），连接EG 、FH ，那么S 四边形EFHG 与S 四边形
之间有什么关系呢？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
(1).如图②：四边形ABCD 中，点E 、F 是AD 的3等分点，点G 、H 是BC 的3等分点，连接EG 、FH ，那么S 四边形EFHG 与S 四边形ABCD 之间有什么关系呢？
如图③，连接EH 、BE 、DH ，
因为△EGH 与△EBH 高相等，底的比是1:2，
所以S △EGH =
2
1
S △EBH 因为△EFH 与△DEH 高相等，底的比是1:2，
所以S △EFH =
2
1
S △DEH 所以S △EGH +S △EFH =21S △EBH +21
S △DEH
即S 四边形EFHG =2
1
S 四边形EBHD
连接BD ，
因为△ABE 与△ABD 高相等，底的比是1：3， 所以S △ABE =
3
1
S △ABD 因为△CDH 与△BCD 高相等，底的比是1：3，
所以S △CDH =3
1
S △BCD 所以S △ABE +S △CDH =31S △ABD +31S △BCD =31(S △ABD +S △BCD )=31
S 四边形ABCD
所以S 四边形EBHD =32
S 四边形ABCD
所以S 四边形EFHG =21S 四边形EBHD =21×3
2S 四边形ABCD =31
S 四边形ABCD
图③
图
① 图
②
（1）如图④：四边形ABCD 中，点E 、F 是AD 的5等分点中最中间2个，点G 、H 是BC 的5等分点中最中间2个，连接EG 、FH ，猜想：S 四边形EFHG 与S 四边形ABCD 之间有什么关系呢
验证你的猜想：
问题解决：如图①，在四边形ABCD 中，点E 、F 是AD 的n 等分点中最中间2个，点G 、H 是BC 的n 等分点中最中间2个，连接EG 、FH ，（其中n 为奇数）
那么S 四边形EFHG 与S 四边形ABCD 之间的关系为： （不必写出求解过程）
问题拓展：仿照上面的探究思路，若n 为偶数，请再给出一个一般性结论。

（画出图形，不必写出求解过程）
图④
模拟试题4
23．在图1﹣5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上．
操作示例：
当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG=b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB 并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．
思考发现：
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连接CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．
实践探究：
（1）正方形FGCH的面积是_________ ；（用含a，b的式子表示）
（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2﹣图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．
联想拓展：
小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移；当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．
23．（本小题满分10分）
模拟试题8。