动态规划习题答案
5动态规划演算法习题答案
5动态规划演算法习题答案1．最大子段和问题：给定整数序列，求该序列形如的子段和的最大值：1)已知一个简单演算法如下：int maxsum(int n,int a,int}试分析该演算法的时间複杂性。
2) 试用分治演算法解最大子段和问题，并分析演算法的时间複杂性。
3)试说明最大子段和问题具有最优子结构性质，并设计一个动态规划演算法解最大子段和问题。
分析演算法的时间複杂度。
（提示：令）解：1）分析按照第一章，列出步数统计表，计算可得 2）分治演算法：将所给的序列a[1:n]分为两段 a [1:n/2]、a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有三种可能：①a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同；②a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同；③a[1:n]的最大子段和为两部分的栏位和组成，即；intmaxsubsum ( int *a, int left , int right)int s2 =0;int right_sum =0;for ( int i = center +1; i sum)sum = b;j=i；end}return sum;}自行推导，答案：时间複杂度为o（n）。
2.动态规划演算法的时间複杂度为o（n）（双机排程问题）用两台处理机a和b处理个作业。
设第个作业交给机器a处理时所需要的时间是，若由机器b来处理，则所需要的时间是。
现在要求每个作业只能由一台机器处理，每台机器都不能同时处理两个作业。
设计一个动态规划演算法，使得这两台机器处理完这个作业的时间最短（从任何一台机器开工到最后一台机器停工的总的时间）。
以下面的例子说明你的演算法：解：（思路一）在完成前k个作业时，设机器a工作了x 时间，则机器b此时最小的工作时间是x的一个函式。
设f[k][x]表示完成前k个作业时，机器b最小的工作时间，则其中对应第k个作业由机器b来处理（完成k-1个作业时机器a工作时间仍是x，则b在k-1阶段用时为）；而对应第k个作业由机器a处理（完成k-1个作业，机器a工作时间是x-a[k]，而b完成k阶段与完成k-1阶段用时相同为）。
动态规划练习题及解答1
动态规划练习题[题1] 多米诺骨牌（DOMINO）问题描述：有一种多米诺骨牌是平面的，其正面被分成上下两部分，每一部分的表面或者为空，或者被标上1至6个点。
现有一行排列在桌面上：顶行骨牌的点数之和为6+1+1+1=9；底行骨牌点数之和为1+5+3+2=11。
顶行和底行的差值是2。
这个差值是两行点数之和的差的绝对值。
每个多米诺骨牌都可以上下倒置转换，即上部变为下部，下部变为上部。
现在的任务是，以最少的翻转次数，使得顶行和底行之间的差值最小。
对于上面这个例子，我们只需翻转最后一个骨牌，就可以使得顶行和底行的差值为0，所以例子的答案为1。
输入格式：文件的第一行是一个整数n（1〈=n〈=1000〉，表示有n个多米诺骨牌在桌面上排成一行。
接下来共有n行，每行包含两个整数a、b（0〈=a、b〈=6，中间用空格分开〉。
第I+1行的a、b分别表示第I个多米诺骨牌的上部与下部的点数（0表示空）。
输出格式：只有一个整数在文件的第一行。
这个整数表示翻动骨牌的最少次数，从而使得顶行和底行的差值最小。
[题2] Perform巡回演出题目描述:Flute市的Phlharmoniker乐团2000年准备到Harp市做一次大型演出,本着普及古典音乐的目的,乐团指挥L.Y.M准备在到达Harp市之前先在周围一些小城市作一段时间的巡回演出,此后的几天里,音乐家们将每天搭乘一个航班从一个城市飞到另一个城市,最后才到达目的地Harp市(乐团可多次在同一城市演出).由于航线的费用和班次每天都在变,城市和城市之间都有一份循环的航班表,每一时间,每一方向,航班表循环的周期都可能不同.现要求寻找一张花费费用最小的演出表.输入: 输入文件包括若干个场景.每个场景的描述由一对整数n(2<=n<=10)和k(1<=k<=1000)开始,音乐家们要在这n个城市作巡回演出,城市用1..n标号,其中1是起点Flute市,n是终点Harp市,接下来有n*(n-1)份航班表,一份航班表一行,描述每对城市之间的航线和价格,第一组n-1份航班表对应从城市1到其他城市(2,3,...n)的航班,接下的n-1行是从城市2到其他城市(1,3,4...n)的航班,如此下去.每份航班又一个整数d(1<=d<=30)开始,表示航班表循环的周期,接下来的d个非负整数表示1,2...d天对应的两个城市的航班的价格,价格为零表示那天两个城市之间没有航班.例如"3 75 0 80"表示第一天机票价格是75KOI,第二天没有航班,第三天的机票是80KOI,然后循环:第四天又是75KOI,第五天没有航班,如此循环.输入文件由n=k=0的场景结束.输出:对每个场景如果乐团可能从城市1出发,每天都要飞往另一个城市,最后(经过k天)抵达城市n,则输出这k个航班价格之和的最小值.如果不可能存在这样的巡回演出路线,输出0.样例输入: 样例输出：3 6 4602 130 150 03 75 0 807 120 110 0 100 110 120 04 60 70 60 503 0 135 1402 70 802 32 0 701 800 0[题3] 复制书稿（BOOKS）问题描述：假设有M本书（编号为1，2，…M），想将每本复制一份，M本书的页数可能不同（分别是P1，P2，…PM）。
动态规划习题答案汇编
2.某公司有资金4百万元向A,B和C3个项目追加投资，各个项目可以有不同的投资额（百万元计），相应的效益如表所示。
问怎样分配资金，使总效益值最大？##表8－47解：设S1－A,B,C项目的总投资额，S2－B、C项目的总投资额S3－C项目的投资额；X k－k项目的投资额；（X1－A项目的投资额，X2－B项目的投资额，X3－C项目的投资额）W k（S k,X k）－对K项目投资X k后的收益：W k（S k,X k）＝W k (X k)T k (S k,X k)－S k+1=S k-X kf k (S k)－当K至第3项目允许的投资额为S k时所能获得的最大收益。
为获得最大利润，必须将4百万全部投资，假设有4阶段存在，有S4＝0，建立递归方程f4 (S k)=0f k (S k)=max{ W k (X k)+f k +1(S k+1)} k=3,2,1X k∈D k(S k)第一步，K=3f4(S4)=0f3 (S3)=max{W3 (X3)+f4 (S4)}X3∈D3(S3)S4=S3-X3第二步：K=2 f2 (S2)=max{W2 (X2)+f3 (S3)}X2∈D2(S2)S3=S2-X2W2 (X2)+f3 (S2-X2)第三步：K=1 f1 (S1) =max {W1 (X1)+ f2 (S2)}X1∈D1(S1)S2= S1- X1W1 (X1)+ f2 (S1- X1)S1=4 →S2=1 →S3=1↓↓↓X1*=3 X2*=0 X3*=1A投资3百万，B不投资C投资1百万。
总收益164百万元。
3.（最优分配问题）有一个仪表公司打算向它的3个营业区设立6家销售店。
每个营业区至少设一家，所获利润如表。
问设立的6家销售店数应如何分配，可使总利润最大？解：s k——对k#,…,3#营业区允许设立的销售店数x k——对k#营业区设立的销售店数w k (s k,x k)——对k#营业区设立x k销售店后的利润：w k (s k,,x k)= w k (x k)T k (s k, x k)——s k +1= s k - x kf k (s k)——当第k至第3个营业区允许设立的销售店数为s k 时所能获得的最大利润递归方程：f4(s4)=0f k (s k)=max ｛wk (xk)+ fk+1(sk+1)｝, k=3,2,1 xk∈Dk(sk)k=3时，有方程f4 (s4)=0f3(s3)= max ｛w3(x3)+ f4(s4) ｝x3∈D3(s3)s3=s2—x2k=2,有方程f2(s2)= max ｛w2(x2)+ f3(s3) ｝x2∈D2(s2)s3=s2—x2k=1,有方程f1(s1)= max｛w1(x1)+ f2(s2) ｝ x1∈D1(s1) s2=s1—x1s1=6 → s2=3 → s3=2 ↓ ↓ ↓x1*=3 x2*=1 x3*=2分别A1、A2、A3营业区设立3家、1家、2家销售店，最大利润为7704．用动态规划方法求解下列模型：maxf=10X1+4X2+5X3s.t. 3X1+5 X2+4 X3≤150≤X1≤2 0≤X2≤2 X3≥0 ，X j为整数j=1,2,3解：收费C1=10 C2=4 C3=5X1为货物1的装载件数X2为货物2的装载件数X3为货物3的装载件数分3阶段S1为货物1、2、3允许的装载重量（3X1+5 X2+4 X3的允许值）S2为货物2、3允许装载的重量（5 X2+4 X3的允许值）S3 为货物3允许装载的重量（4 X3的允许值）第一步：K=3f4(S4)=0f3(S3)= max{5X3+ f4(S4)| X3∈D3（S3）}S4= S3 -4 X3第二步：K=2f2(S2)= max{4X2+ f3(S3)| X2∈D2（S2）} S3= S2 -5 X2划分点：第三步：K=1f1(S3)= max{10X1+ f2(S2)| X1∈D1（S1）}S2= S1-3 X110X1+ f2(S1-3 X1)顺序追踪：最优策略为S1=15 →S2=9 →S3=9↓↓↓X1*=2 X2*=0 X3*=2最优装载方案为：货物1装2件；货物2不装；货物3装2件装载收费为30元5.用动态规划方法解下列0—1背包问题：Max f =12x1+12x2+9x3+16x4+30x5；s.t. 3x1+4x2+3x3+4x4+6x5≤12;x j=0,1, j=1,……，5解：本问题分为5个阶段。
动态规划习题答案
动态规划习题答案2.某公司有资金4百万元向A,B和C3个项目追加投资，各个项目可以有不同的投资额（百万元计），相应的效益如表所示。
问怎样分配资金，使总效益值最大？##表8－47解：设S1－A,B,C项目的总投资额，S2－B、C项目的总投资额S3－C项目的投资额；X k－k项目的投资额；（X1－A项目的投资额，X2－B项目的投资额，X3－C项目的投资额）W k（S k,X k）－对K项目投资X k后的收益：W k（S k,X k）＝W k (X k)T k (S k,X k)－S k+1=S k-X kf k (S k)－当K至第3项目允许的投资额为S k时所能获得的最大收益。
为获得最大利润，必须将4百万全部投资，假设有4阶段存在，有S4＝0，建立递归方程f4 (S k)=0f k (S k)=max{ W k (X k)+f k +1(S k+1)} k=3,2,1X k?D k(S k)第一步，K=3f4(S4)=0f3 (S3)=max{W3 (X3)+f4 (S4)}X3?D3(S3)S4=S3-X3第二步：K=2 f2 (S2)=max{W2 (X2)+f3 (S3)} X2?D2(S2)S3=S2-X2W2 (X2)+f3 (S2-X2)第三步：K=1 f1 (S1) =max {W1 (X1)+ f2 (S2)} X1?D1(S1)S2= S1- X1W1 (X1)+ f2 (S1- X1)S1=4 →S2=1 →S3=1↓↓↓X1*=3 X2*=0 X3*=1A投资3百万，B不投资C投资1百万。
总收益164百万元。
3.（最优分配问题）有一个仪表公司打算向它的3个营业区设立6家销售店。
每个营业区至少设一家，所获利润如表。
问设立的6家销售店数应如何分配，可使总利润最大？解：s k——对k#,…,3#营业区允许设立的销售店数x k——对k#营业区设立的销售店数w k (s k,x k)——对k#营业区设立x k销售店后的利润：w k (s k,,x k)= w k (x k)T k (s k, x k)——s k +1= s k - x kf k (s k)——当第k至第3个营业区允许设立的销售店数为s k 时所能获得的最大利润递归方程：f4(s4)=0f k (s k)=max ｛wk (xk)+ fk+1(sk+1)｝, k=3,2,1 xk?Dk(sk)k=3时，有方程f4 (s4)=0f3(s3)= max ｛w3(x3)+ f4(s4) ｝x3?D3(s3)s3=s2—x2k=2,有方程f2(s2)= max ｛w2(x2)+ f3(s3) ｝x2?D2(s2)s3=s2—x2k=1,有方程f1(s1)= max ｛w1(x1)+ f2(s2) ｝x1?D1(s1)s2=s1—x1s1=6 → s2=3 → s3=2↓↓↓x1*=3 x2*=1 x3*=2分别A1、A2、A3营业区设立3家、1家、2家销售店，最大利润为7704．用动态规划方法求解下列模型：maxf=10X1+4X2+5X3s.t. 3X1+5 X2+4 X3≤150≤X1≤2 0≤X2≤2 X3≥0 ，X j为整数j=1,2,3解：收费C1=10 C2=4 C3=5X1为货物1的装载件数X2为货物2的装载件数X3为货物3的装载件数分3阶段S1为货物1、2、3允许的装载重量（3X1+5 X2+4 X3的允许值）S2为货物2、3允许装载的重量（5 X2+4 X3的允许值）S3 为货物3允许装载的重量（4 X3的允许值）第一步：K=3f4(S4)=0f3(S3)= max{5X3+ f4(S4)| X3?D3（S3）}S4= S3 -4 X3第二步：K=2f2(S2)= max{4X2+ f3(S3)| X2?D2（S2）} S3= S2 -5 X2划分点：第三步：K=1f1(S3)= max{10X1+ f2(S2)| X1?D1（S1）} S2= S1-3 X110X1+ f2(S1-3 X1)顺序追踪：最优策略为S1=15 →S2=9 →S3=9↓↓↓X1*=2 X2*=0 X3*=2最优装载方案为：货物1装2件；货物2不装；货物3装2件装载收费为30元5.用动态规划方法解下列0—1背包问题：Max f =12x1+12x2+9x3+16x4+30x5；s.t. 3x1+4x2+3x3+4x4+6x5≤12;x j=0,1, j=1,……，5解：本问题分为5个阶段。
最新动态规划习题答案
2.某公司有资金4百万元向A,B和C3个项目追加投资，各个项目可以有不同的投资额（百万元计），相应的效益如表所示。
问怎样分配资金，使总效益值最大？##表8－47解：设S1－A,B,C项目的总投资额，S2－B、C项目的总投资额S3－C项目的投资额；X k－k项目的投资额；（X1－A项目的投资额，X2－B项目的投资额，X3－C项目的投资额）W k（S k,X k）－对K项目投资X k后的收益：W k（S k,X k）＝W k (X k)T k (S k,X k)－S k+1=S k-X kf k (S k)－当K至第3项目允许的投资额为S k时所能获得的最大收益。
为获得最大利润，必须将4百万全部投资，假设有4阶段存在，有S4＝0，建立递归方程f4 (S k)=0f k (S k)=max{ W k (X k)+f k +1(S k+1)} k=3,2,1X k∈D k(S k)第一步，K=3f4(S4)=0f3 (S3)=max{W3 (X3)+f4 (S4)}X3∈D3(S3)S4=S3-X3第二步：K=2 f2 (S2)=max{W2 (X2)+f3 (S3)}X2∈D2(S2)S3=S2-X2W2 (X2)+f3 (S2-X2)第三步：K=1 f1 (S1) =max {W1 (X1)+ f2 (S2)}X1∈D1(S1)S2= S1- X1W1 (X1)+ f2 (S1- X1)S1=4 →S2=1 →S3=1↓↓↓X1*=3 X2*=0 X3*=1A投资3百万，B不投资C投资1百万。
总收益164百万元。
3.（最优分配问题）有一个仪表公司打算向它的3个营业区设立6家销售店。
每个营业区至少设一家，所获利润如表。
问设立的6家销售店数应如何分配，可使总利润最大？解：s k——对k#,…,3#营业区允许设立的销售店数x k——对k#营业区设立的销售店数w k (s k,x k)——对k#营业区设立x k销售店后的利润：w k (s k,,x k)= w k (x k)T k (s k, x k)——s k +1= s k - x kf k (s k)——当第k至第3个营业区允许设立的销售店数为s k 时所能获得的最大利润递归方程：f4(s4)=0f k (s k)=max ｛wk (xk)+ fk+1(sk+1)｝, k=3,2,1 xk∈Dk(sk)k=3时，有方程f4 (s4)=0f3(s3)= max ｛w3(x3)+ f4(s4) ｝x3∈D3(s3)s3=s2—x2k=2,有方程f2(s2)= max ｛w2(x2)+ f3(s3) ｝x2∈D2(s2)s3=s2—x2k=1,有方程f1(s1)= max ｛w1(x1)+ f2(s2)｝ x1∈D1(s1) s2=s1—x1s1=6 → s2=3 → s3=2↓ ↓ ↓x1*=3 x2*=1 x3*=2分别A1、A2、A3营业区设立3家、1家、2家销售店，最大利润为7704．用动态规划方法求解下列模型：maxf=10X1+4X2+5X3s.t. 3X1+5 X2+4 X3≤150≤X1≤2 0≤X2≤2 X3≥0 ，X j为整数j=1,2,3解：收费C1=10 C2=4 C3=5X1为货物1的装载件数X2为货物2的装载件数X3为货物3的装载件数分3阶段S1为货物1、2、3允许的装载重量（3X1+5 X2+4 X3的允许值）S2为货物2、3允许装载的重量（5 X2+4 X3的允许值）S3 为货物3允许装载的重量（4 X3的允许值）第一步：K=3f4(S4)=0f3(S3)= max{5X3+ f4(S4)| X3∈D3（S3）}S4= S3 -4 X3第二步：K=2f2(S2)= max{4X2+ f3(S3)| X2∈D2（S2）} S3= S2 -5 X2划分点：第三步：K=1f1(S3)= max{10X1+ f2(S2)| X1∈D1（S1）}S2= S1-3 X110X1+ f2(S1-3 X1)顺序追踪：最优策略为S1=15 →S2=9 →S3=9↓↓↓X1*=2 X2*=0 X3*=2最优装载方案为：货物1装2件；货物2不装；货物3装2件装载收费为30元5.用动态规划方法解下列0—1背包问题：Max f =12x1+12x2+9x3+16x4+30x5；s.t. 3x1+4x2+3x3+4x4+6x5≤12;x j=0,1, j=1,……，5解：本问题分为5个阶段。
运筹学 动态规划-作业及答案
1
第五章 动态规划作业题及答案
1．用动态规划法求解求最短路径
从起点A 到终点E 之间各点的距离如图所示。
求A 到E 的最短路径。
B A
C B
D B C D E
C 21
23
12
31
2
5
11214
10610
41312113
96
5810
5
2
2．用动态规划法求解资源分配问题
有资金4万元，投资A 、B 、C 三个项目，每个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。
三个项目A 、B 、C 的投资效益（万吨）和投入资金（万元）的关系见下表：
用动态规划法求解对三个项目的最优投资分配，使总投资效益最大。
3．用动态规划法求解生产库存问题
一个工厂生产某种产品，1～7月份生产成本和产品需求量的变化情况如下表：
为了调节生产生产和需求，工厂设有一个产品仓库，库容量H=9。
已知期初库存量为2，要求期末（七月低）库存量为0。
每个月生产的产品在月末入库，月初根据当月需求发货。
求七个月的生产量，能满足各月的需求，并使生产成本最低。
4．用动态规划法求解背包问题
第i 种每件价值c 1=65，c 2=85，c 3=40元; 第i 种物品每件重量为:w 1=2，w 2=3，w 3=1公斤;现有一只可装载重量为5公斤的背包，求各种物品应各取多少件放入背包，使背包中物品的价值最高。
动态规划题目
动态规划总结1.POJ 1160Post OfficeTime Limit: 1000MS Memory Limit: 10000KTotal Submissions: 17936 Accepted: 9655DescriptionThere is a straight highway with villages alongside the highway. The highway is represented as an integer axis, and the position of each village is identified with a single integer coordinate. There are no two villages in the same position. The distance between two positions is the absolute value of the difference of their integer coordinates.Post offices will be built in some, but not necessarily all of the villages. A village and the post office in it have the same position. For building the post offices, their positions should be chosen so that the total sum of all distances between each village and its nearest post office is minimum.You are to write a program which, given the positions of the villages and the number of post offices, computes the leastpossible sum of all distances between each village and its nearest post office.IntputYour program is to read from standard input. The first line contains two integers: the first is the number of villages V, 1 <= V <= 300, and the second is the number of post offices P, 1 <= P <= 30, P <= V. The second line contains V integers in increasing order. These V integers are the positions of the villages. For each position X it holds that 1 <= X <= 10000. outputThe first line contains one integer S, which is the sum of all distances between each village and its nearest post office. Sample input10 51 2 3 6 7 9 11 22 44 50Sample output9题目大意：用数轴描述一条高速公路，有V个村庄，每一个村庄坐落在数轴的某个点上，需要选择P个村庄在其中建立邮局，要求每个村庄到最近邮局的距离和最小。
运筹学动态规划习题
一、某工厂购进100台机器，准备生产A、B 两种产品。如生产产品A，每台机器每年可 收入45万元，损坏率为65%；若生产产品B， 每台机器每年可收入35万元，损坏率为 35%；估计三年后有新机器出现，旧的机 器将全部淘汰。试问每年应然后安排生产， 使在三年内收入最多？
答案： 第一年将100台机器全部生产产品B，第二年 将余下的机器生产产品B，第三年把所有的 机器生产产品A。三年的总收入为7676.25 万元。
二、某厂有100台机床，能够加工两种零件， 要安排4个月的任务，根据以往经验，用这 些机床加工第一种零件，一个月后损坏率 为1/3；加工第二种零件时，一个月后损坏 率为1/10。又已知机床加工第一种零件时一 个月的受益为10万元，机床加工第二种零 件时一个月的受益为7万元。现安排4个月 的任务，使总收益为最大。
பைடு நூலகம்
• 答案： • 设每个月为一个阶段，共4个阶段。每个阶 段可投入生产的机床数为状态变量SK，加 工第一种零件的机床数为决策变量UK，加 工第二种零件的机床数为SK-UK，阶段指标 函数为DK=7SK+3UK，SK+1=9/10SK-7/30UK。 用逆序的递推方法求解：前两月全部加工 第二种零件，后两月全部加工第一种零件。 其最大收益为2680
• 首先建立动态规划的模型 • 划分成3个阶段，每个阶段决策一个项目 的投资额，每个阶段决策的投资时可以使 用的资金作为状态变量，利润为阶段的指 标函数。 • 利用基本递推方程从第3阶段开始求解 • 给企业的投资额为 95万元 在城市购买房 地产的投资额为 105万元 • 最大利润为 681万元
三、某公司有资金200万元，打算全部参与三 个方面的投资。（1）参与一个企业投资， 当投资额为X1（万元）时，可得利润为 J1=4X1-2（万元）；（2）参与一个电视片 制作，当投资额为X2（万元）时，可得利 润为J2=1/16X2-1/5X2-2（万元）；（3）在 城市购买房地产，当投资额为X3（万元） 时，可得利润为J3=3X3-10（万元）。又知 投资额的上限为X1≤95万元；X2≤50万元。 用动态规划法决策使总利润最大？
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2.某公司有资金4百万元向A,B和C3个项目追加投资，各个项目可以有不同的投资额（百万元计），相应的效益如表所示。
问怎样分配资金，使总效益值最大？##表8－47解：设S－A,B,C项目的总投资额，S－B、C项目的总投资额21S－C 项目的投资额；3X－k项目的投资额；k（X－A项目的投资额，X－B项目的投资额，X－C项目的投资额）312W（S,X）－对K项目投资X后的收益：W（S,X）＝W (X) kkkkkkkkk T (S,X)－S=S-X kk+1kkkk f (S)－当K至第3项目允许的投资额为S时所能获得的最大收益。
kkk为获得最大利润，必须将4百万全部投资，假设有4阶段存在，有S＝0，建立递归方程4f(S)=0k4f (S)=max{ W (X)+f(S)} k=3,2,1 k+1kk +1kkk X∈D(S)kkk第一步，K=3f(S)=044 f (S)=max{W (X)+f (S)} 434333X∈D(S) 333S=S-X334第二步：)} f (S (X (S)=max{W)+f K=2 322322) X∈D(S 222-X =S S232W (X)+f (S-X)22322第三步：)} (S (X) =max f (S {W)+ f K=1 211121) DX∈(S111- X S= S 121)(X- X)+ f (SW1 12 11S=4 →S=1 →S=1 312↓↓↓X*=3 X*=0 X*=1312百万。
1投资C 不投资B 百万，3投资A．总收益164百万元。
3.（最优分配问题）有一个仪表公司打算向它的3个营业区设立6家销售店。
每个营业区至少设一家，所获利润如表。
问设立的6家销售店数应如何分配，可使总利润最大？利润营业区A k (x) wA A A k321180 200 1 210230 2 220 280 销售260 3 330 225 店数x2803404 230解：## ,3营业区允许设立的销售店数s——对k,…k#营业区设立的销售店数——对k x k x销售店后的利润：)——对k#营业区设立 w(s,x kkk k)(x (sw,,x)= w kkkk k = s - x) T (s x——s kkk,kkk +1s3个营业区允许设立的销售店数为至第) f (s——当第k kkk时所能获得的最大利润递归方程：)=0(sf44．f (s)=max ｛wk (xk)+ fk+1(sk+1)｝, k=3,2,1 kk xk∈Dk(sk)k=3时，有方程f (s)=044f3(s3)= max ｛w3(x3)+ f4(s4) ｝x∈D3(s3) 3s3=s2—x2k=2,有方程｝｛f2(s2)= max w2(x2)+ f3(s3)D2(s2) ∈x2x2 —s3=s2k=1,有方程｝f1(s1)= max ｛w1(x1)+ f2(s2)D1(s1) x1∈x1 s2=s1—s3=2 s2=3 s1=6 →→↓↓↓*=2 *=3 xx*=1 x321家销售店，最大利润为2家、1家、3营业区设立A3、A2、A1分别7704．用动态规划方法求解下列模型：maxf=10X+4X+5X 321≤15+4 Xs.t. 3X+5 X312≤2 0≤X≤2 X≥0 ，X为整数≤0Xj=1,2,3 j321解：收费C=10 C=4 C=5 312X为货物1的装载件数1X为货物2的装载件数2X为货物3的装载件数3分3阶段S为货物1、2、3允许的装载重量（3X+5 X+4 X的允许值）3121S为货物2、3允许装载的重量（5 X+4 X的允许值）322S为货物3允许装载的重量（4 X的允许值）33第一步：K=3f(S)=044f(S)= max{5X f(S)| X∈D（S）} 3333+4433S S -4 X334=S0~34~78~1112~15D(S) {0}{0,1}{0,1,2}{0,1,2,3}33S X=0 X=1 X=2 X=3 f (S) X* 3333333300~3 0+0__________________0+0 5+0 ______ ______ 4~7 5 10+0 5+0 8~11 10+0 ______ 10 20+0 5+0 10+0 15+0 12~15 15 3第二步：K=2f(S)= max{4X f(S)| X∈D（S）} 2222+3322S= S -5 X210~15 0~45~9S2{0,1,2} {0,1}) {0}D (S22划分点：第三步：K=1f(S)= max{10X f(S)| X∈D（S } ）11+132211．S= S-3 X 11210X f(S-3 X) 11+12顺序追踪：最优策略为=9 S S=9 →S=15 →312↓↓↓*=2X *=0 X*=2 X 321装不装；货物32件最优装载方案为：货物1装2件；货物2 装载收费为30元5.用动态规划方法解下列0—1背包问题：Max f =12x+12x+9x+16x+30x；52143s.t.3x+4x+3x+4x+6x≤12; 53241x=0,1, j=1,……，5 j解：本问题分为5个阶段。
令sax+…+ax的允许值4k4kk——x第k阶段x取值，x=0，1kkk——w(s, x)——x产生的价值：w(s, x)=cx kkkkkk kkkT(s, x)——s=s- ax kkkk+1kkk f(s)——在ax+…+ ax≤s的条件下，cx+…+cx能4 4kkkkk44 kk取得的最大值。
．递归方程为f(s)=066 f(s)=max{cx+f(s)},k=5,4,3,2,1k+1kkkkk+1k=5f(s}55x∈D(s)555(3055==0~5000—1306~1230f(s)=max{16x+f(s)} 54454k=4 ) D(s∈x444s=s-4x 44 5f(s)=max{9x+f(s)}k=3 43433x∈D(s)333 s=s -3x 3 43)}(sf(s)=max{12x+f32223k=2 x∈D(s)222s=s -4x 232*2k=1f(s)=max{12x+f(s)}21121x∈D(s)111s=s-3x s=121211sf(s) x* )(s3xf12x1-11+21111x=0x=11112+391510+46 12s=12 s=9 s=9 s=6 s=654321x=1x*=0 x*=1 x*=0 x*=1*5142311．今设计一种由4个元件串联而成的部件，为提高部件的可靠性，每一元件可以由1个、2个或3个并联的单位元件组成。
关于元件K （K=1，2，3，4）配备j个并联单位元件（j=1，2，3）后的可靠性R和成本C由表给出，假设该部件的总成本允许为15个单位，试kjkj 问如何确定各元件的单位元件配备数目，使系统的可靠性最高？解：逆序解法。
S ——仪表上配备k#，…，4#元件时允许使用的费用 k X ——K#元件所选用的单位元件 k W （S ，X ）——K#元件采用单位元件时的可靠性，有 kkk W （S ，X ）=Rx kkkk k T （S ，X ）——S SCx kkkk - kk+1=k fS ——在费用限额为S 元件串联时相应3#，…，k#的条件下，k ）k （k 部分可获得的最大可靠性递归方程 fS=1 （）54 fS max ｛W （S ，X ）﹒fS ｝，K=4,3,2,1. ）k+1kk （k （k ）=kk+1第一步，对K=4,第二步:S f（S）X*Rx﹒CxfS3232）31（33 –33=1 X36 0.9×0.8 0.72 11 0.8 0.727 0.9×1 0.820.7388 ×0.91×9 0.90.820.738第三步，对K=2,S f（S）X*xRx﹒fSC2222）22–3（2 22=2 =1XX228 0.6×0.72 0.432 1 —1 0.4320.69 —×0.72第四步，对K=4, fS= max｛Rx﹒fS｝）（34（4）434S SCxS=1544 –43=，4S CxRx﹒fS1）1141–2（11X* f（S）114=3X =2 =1 X X 11115 0.7×0.576 0.75×0.576 0.85×0.432 0.432 2SSSS=3=6 →=10 →=15 →1231↓↓↓↓X*=2 X*=2 X*=1 X*=1 4132元件1为2个，元件2为2个，元件3为1个，元件4为1个，可靠性为0.432。
顺序解法：S——仪表上配备1#，…，K#元件时允许使用的费用k X——K#元件所选用的单位元件k W（S，X）——K#元件采用单位元件时的可靠性，有kkk W（S，X）=Rx kkkk k T（S，X）——S SCx kkkk-1=kk -k fS——在费用限额为S的条件下，1#，…，K#元件串联时相应kk）k（部分可获得的最大可靠性递归方程fS=1（）00fS max｛W（S，X）﹒fS｝，K=1，2，3，4 ）k）kk-1kk-1=（kk（第一步，对K=1, fS= max｛Rx｝11（）114＜＝S＜＝7 1S=｛4，5，6，7｝1S 4 5 6 7 1｛1,2,3｝｛1,2｝SD ｛1｝｛1,2｝）11（S f（S）X*Rx111111=3 X=1XX=2 1110.7 ——4 1 0.72 —0.75 0.750.752 —0.750.76 0.7530.80.7570.70.8第二步，对K=2, fS= max｛Rx﹒fS｝）2（2（12）12S SCx2–1= 2 26＜＝S＜＝9 2S=｛6，7，8，9｝21 —0.450.6×7 0.752 8 0.750.560.8×0.70.6×20.80.60.69 ××0.750.8第三步，对K=3, fS= max｛Rx﹒fS｝）3（（）32233S SCx33 –2=39＜＝S12＜＝2．S=｛9，10，11，12｝21 ×10 0.90.45 0.4051 0.911 ×0.560.504112×0.60.540.9第四步，对K=4, fS= max｛Rx﹒fS｝）4（34）3（44S SCxS=1544–3=4 ，4S f（S）X*Rx﹒fSCx4444）43（4 –444=2XX=14415 0.8×0.54 0.82×0.405 0.432 1SSSS=5=9 =12 →→=15 →1324↓↓↓↓X*=1 X*=1 X*=2 X*=2 1423元件1为2个，元件2为2个，元件3为1个，元件4为1个，可靠。