解析几何易错题集(如皋教研室编)
易错点09 解析几何(解析版)-备战2021年高考数学一轮复习易错题
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 ,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
样直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，
则半径为 ＝3，
即得所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
【错因】因为忽视结论的检验，没有注意到点C是直角三角形的顶点，即C点不能在直线AB上，因此造成错解．
【正解】设C(x，y)，由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，如图所示，则半径为 ＝3，即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.但是顶点C不能在直线AB上，因此y≠0，也就是要除去两个点，即(－2,0)，(4,0)，因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(除去点(－2,0)，(4,0))．
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
例2（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =________．
易错点09解析几何
—备战2021年高考数学一轮复习易错题
【典例分析】
例1（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知曲线 .（）
高考复习资料-数学解析几何错题精选
高考复习易做易错题优选分析几何1. 若直线 yk(x 1) 与抛物线 yx 2 4x 3 的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________. 解答： (-3, 0)易错原由：找不到确当的解答方法。
此题最好用数形联合法。
2. 若双曲线x2y 21 的离心率为5，则两条渐近线的方程为a 2b 24XY 0 BX Y CX Y 0 DX Y 0A16160 344 399解答： C易错原由：审题不仔细，混杂双曲线标准方程中的 a 和题目中方程的a 的意义。
3. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆的中心到其准线的距离是85B4C8 D4 3A5 335答： D 53 解易错原由：短轴长误以为是b4．过定点（ 1， 2）作两直线与圆 x 2y 2 kx 2 yk 2150 相切，则 k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3 或 k>2 D以上皆不对解答： D易错原由：忽视题中方程一定是圆的方程，有些学生不考虑D 2E 24F 05．设双曲线x 2 y 2 1(a b 0) 的半焦距为 C ，直线 L 过 (a,0),(0, b) 两点，已知原点到a2b2直线 L 的距离为3C ，则双曲线的离心率为4A2B2或2 3C2 D2 333解答： D易错原由：忽视条件a b 0 对离心率范围的限制。
6．已知二面角l的平面角为，PA， PB ， A ， B 为垂足，且 PA=4， PB=5，A B到二面角的棱 l 的距离为别为 x, y，当变化时，点 ( x, y) 的轨迹是以下图形中设 、的A B C D解答： D易错原由：只注意找寻x, y 的关系式，而未考虑实质问题中x, y 的范围。
7．已知点 P 是抛物线y22x 上的动点，点P 在 y 轴上的射影为M，点 A的8．若曲线y x2 4 与直线y k ( x2) +3有两个不一样的公共点，则实数k的取值范围是A0 k 1 B0 k 3C 1 k3D 1 k 0 44解答： C易错原由：将曲线y x2 4 转变为x2y24时不考虑纵坐标的范围；此外没有看清过点 (2,-3)且与渐近线 y x 平行的直线与双曲线的地点关系。
高考数学复习易做易错题精选 解析几何
高考数学复习易做易错题精选 解析几何1. 若直线(1)y k x =-与抛物线243y x x =++的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________.解 答： (-3, 0)易错原因：找不到确当的解答方法。
本题最好用数形结合法。
2. 若双曲线22221x y a b-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为 A 0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y ±= 解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
3. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是A B C D 解 答：D易错原因：短轴长误认为是b4．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +-> 5．设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 的距离，则双曲线的离心率为A 2B 2或3 C D 解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
6．已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
7．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影为M ，点A 的8．若曲线y =(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤C 314k -<≤D 10k -<≤ 解 答：C易错原因：将曲线y =转化为224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
江苏省歌风中学(如皋办学)届高三数学复习专题解析几何第一讲直线与方程【含答案】
专题 解析几何：第一讲 直线与方程活动一：基础检测1．已知2x ＋y ＋5＝0，则x 2＋y 2的最小值是________2．(2009·上海)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．3．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第________象限．4．已知直线l 的方向向量与向量a ＝(1,2)垂直，且直线l 过点A (1,1)，则直线l 的方程为______________．5、（宿迁市2015届高三11月摸底考试）已知光线通过点()3,4M -，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线通过点()2,6N ， 则反射光线所在直线的方程是6、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试）已知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线()2350x b y +-+=互相平行，则23a b +的最小值为 活动二：探究点一 倾斜角与斜率【例1】►若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．【训练1】 直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．探究点二 直线的方程例2 过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程．变式迁移2 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．探究点三直线方程的应用例3过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时l的方程；(2)PA·PB最小时l的方程．变式迁移3 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？探究点四距离问题【例4】►(2011·北京东城区模拟)若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.变式迁移4 已知点P (2，－1)．求：(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．探究点五 对称问题【例5】►光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．【训练5】 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是________．活动三：自主检测一、填空题(每小题6分，共48分)1．若直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y －1＝0互相垂直，则a 的值是________． 2．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是________．3．点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，那么2x ＋4y的最小值是________． 4．(2011·淮安期末)点A (a ＋b ，ab )在第一象限内，则直线bx ＋ay －ab ＝0一定不经过第________象限．5．经过点P (2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程为________．6．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝________.7．过点P (－1,2)，且方向向量为a ＝(－1,2)的直线方程为______________．8．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA ＝PB ，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________．二、解答题(共42分)9．(2011·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，定义：d (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|.已知点B (1,0)，点M 为直线x －2y ＋2＝0上的动点，求使d (B ，M )取最小值时点M 的坐标．10．(14分)已知线段PQ 两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求m 的范围．11．(14分)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 (k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．12、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,4)A -，(9,0)B ，若C ,D 分别为线段OA ,OB 上的动点，且满足AC BD =． 若4AC =，求直线CD 的方程13、已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．14、设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________和________．第一讲 直线与方程答案基础检测1. 52. 3或53.三4. x ＋2y －3＝0 5、660x y --=、6、25 课堂活动区【例1】►若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．[审题视点] 确定直线l 过定点(0，－3)，结合图象求得．解析 由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y ＝tan α的单调性求k 的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．【训练1】 直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合．答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 例2 解题导引 (1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况． (2)求直线方程常用方法——待定系数法．待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数．解 方法一 过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴，它和两已知直线的交点分别是⎝⎛⎭⎪⎫0，103和(0,8)，显然不满足中点是点M (0,1)的条件．故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，与两已知直线l 1、l 2分别交于A 、B 两点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0， ① ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，②由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2.∵点M 平分线段AB ，∴x A ＋x B ＝2x M ，即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14. 故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.方法二 设所求直线与已知直线l 1、l 2分别交于A 、B 两点． ∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )． 又M (0,1)是AB 的中点，由中点坐标公式，得A (－t,2t －6)． ∵A 点在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， ∴(－t )－3(2t －6)＋10＝0，解得t ＝4. ∴B (4,0)，A (－4,2)，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.变式迁移2 解 (1)方法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0，设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为：y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.(2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.例3 解题导引 先设出A 、B 所在的直线方程，再求出A 、B 两点的坐标，表示出△ABO 的面积，然后利用相关的数学知识求最值．确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．解 设直线的方程为x a ＋y b＝1 (a >2，b >1)， 由已知可得2a ＋1b＝1.(1)∵22a ·1b ≤2a ＋1b＝1，∴ab ≥8.∴S △AOB ＝12ab ≥4.当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)由2a ＋1b ＝1，得ab －a －2b ＝0，变形得(a －2)(b －1)＝2，PA ·PB ＝－a 2＋－2·－2＋－b 2＝－a 2＋－b 2＋4] ≥a －b －. 当且仅当a －2＝1，b －1＝2，即a ＝3，b ＝3时，PA ·PB 取最小值4. 此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.变式迁移3 解 如图所示建立直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴线段EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝PQ ·PR ＝(100－m )(80－n )．又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20(1－m30)． ∴S ＝(100－m )(80－20＋23m )＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时EP PF ＝30－55＝5.所以当矩形草坪的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分EF 成5∶1时，草坪面积最大．【例4】►(2011·北京东城区模拟)若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________.[审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a .解析 由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a4，即4a －a 2＋6＝±6，解之得a ＝0或－2或4或6.检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6. 答案 －2或4或6变式迁移4 解 (1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件．此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线．【例5】►光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程． [审题视点] 设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则直线A ′D ′经过点B 与C . 解 作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为10x －3y ＋8＝0.解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．【训练5】 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是________．解析 l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，得{ x ＝－1，y ＝－1.即(1,0)、(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2方程为x －2y －1＝0. 答案 x －2y －1＝0自主检测1. 2或02. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 3.4 24．三解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0，ab >0，即a >0，b >0.由bx ＋ay －ab ＝0知y ＝－bax ＋b .∴该直线的斜率k <0且在y 轴上的截距b >0，故该直线一定不经过第三象限． 5．2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0解析 当截距不等于零时，设l 的方程x a ＋y2a＝1， ∵点P 在l 上，∴2a －12a ＝1，则a ＝32.∴l 的方程为2x ＋y ＝3.当截距等于零时，设l 的方程为y ＝kx ，又点P 在l 上，∴k ＝－12.∴x ＋2y ＝0.综上，所求直线l 的方程为2x ＋y ＝3或x ＋2y ＝0. 6．－27．2x ＋y ＝0解析 由已知方向向量得直线斜率k ＝－2，∴由点斜式方程得2x ＋y ＝0. 8．x ＋y －5＝0解析 易知A (－1,0)， ∵PA ＝PB ，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上． ∴B (5,0)．∵PA 、PB 关于直线x ＝2对称， ∴k PB ＝－1.∴l PB ∶y －0＝－(x －5)． ∴x ＋y －5＝0.9．解析 设M (x 0，y 0)，则x 0－2y 0＋2＝0，d (B ，M )＝|x 0－1|＋|y 0|＝|x 0－1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋22＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x 0x ≤－，2－x 02－2＜x，32x 0x ＞，所以当x 0＝1时，d (B ，M )取最小值32，此时y 0＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 10.解 方法一 直线x ＋my ＋m ＝0恒过A (0，－1)点．(4分)k AP ＝－1－10＋1＝－2，k AQ ＝－1－20－2＝32，(8分)则－1m ≥32或－1m ≤－2，∴－23≤m ≤12且m ≠0.(12分)又m ＝0时直线x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，(13分)∴所求m 的范围是－23≤m ≤12.(14分)方法二 过P 、Q 两点的直线方程为y －1＝2－12＋1(x ＋1)．(5分)即y ＝13x ＋43，代入x ＋my ＋m ＝0，整理得：x ＝－7m m ＋3，由已知－1≤－7mm ＋3≤2，(12分)解得：－23≤m ≤12.(14分)11．(1)证明 直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1， ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分)(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－21＋2k ≥1，解之得k >0；(7分)当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(9分)(3)解 由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.(11分)11 ∵S ＝12·OA ·OB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·＋2k 2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.(14分) 12、(1) 因为(3,4)A -，所以5OA ==，…………………………………1分又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -，…………………………………3分 由4BD =，得(5,0)D ，所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， …………………5分 所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=．…………………………6分13．解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18. 14.22、 12解析 ∵d ＝|a －b |2，d 2＝12[(a ＋b )2－4ab ] ＝12(1－4c )， 又0≤c ≤18，∴d 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.∴12≤d ≤22.。
解析几何易错题(教师版)
解析几何易错题练习例1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。
错解：设所求直线方程为1=+bya x 。
∵（2，1）在直线上，∴112=+ba ， ①又4ab 21＝，即ab = 8 ， ② 由①、②得a = 4，b = 2。
故所求直线方程为x + 2 y = 4 。
剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。
上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x 轴和y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。
事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为21b a ，而不是21ab 。
故所求直线方程应为：x + 2 y = 4，或（2+1）x - 2（2-1）y – 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。
例2 已知三角形的三个顶点为A （6，3），B （9，3），C （3，6），求∠A 。
错解：∵ k AB = 0 ，k AC =6336-- = -1，∴ tan ∠A=AB AC AC k k k k ⋅+-1AB =)1(01)1(0-⋅+--=1.又0＜∠A ＜1800，∴ ∠A=450。
剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。
事实上，所求角应是直线AB 到AC （注意：AC 到AB ）的角。
因此，∴ tan ∠A=ABAC ABAC k k k k ⋅+-1= - 1，∠A=1350。
例3 求过点A （-4，2）且与x 轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。
错解：设直线斜率为k ，其方程为y – 2 = k （x + 4），则与x 轴的交点为（-4-k2，0）， ∴5124=---k ，解得k = -51。
故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。
剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A 且垂直于x 轴的直线，落入“陷阱”。
解析几何易错题3
二填空题：1．若直线(1)y k x =-与抛物线243y x x =++的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________.解 答： (-3, 0)易错原因：找不到确当的解答方法。
本题最好用数形结合法。
2．双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到点(0,5-)的距离_______。
错解 设双曲线的两个焦点分别为)0,5(1-F ,)0,5(2F ,由双曲线定义知8||||||21=-PF PF所以5.16||1=PF 或5.0||1=PF剖析 由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,所以5.0||1=PF 不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P 的存在情况，然后再求解。
如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P 只能在右支上，所求5.16||1=PF3．直线xCosx+y —1=0的倾斜角θ的取值范围为__________。
正确答案：θ∈[0，4π]∪[43π，π] 错误原因：由斜率范围求倾角范围在三角知识上出现错误；或忽视直线倾角的定义范围而得出其它错误答案。
4．已知直线l 1：x+y —2=0 l 2：7x —y+4=0 则l 1与l 2夹角的平分线方程为______。
正确答案：6x+2y —3=0错语原因：忽视两直线夹角的概念多求了夹角的邻补角的平分线方程。
5．过点(3，—3)且与圆(x —1)2+y 2=4相切的直线方程是：___________。
正确答案：5x+12y+21=0或x=3错误原因：遗漏了斜率不存在的情形造成漏解。
6．已知双曲线的右准线为x=4，右焦点F(10，0)离心率e=2，则双曲线方程为______。
正确答案：14816)2(22=--y x 错误原因：误认为双曲线中心在原点，因此求出双曲线的标准方程而出现错误。
7．过点(0，2)与抛物线y 2=8x 只有一个共点的直线有______条。
解析几何易错题集
解析几何易错题集一、选择题：1. （如中）若双曲线22221x y ab-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A 0916X Y ±= B0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y ±=解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2. （如中）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是ABCD解 答：D易错原因：短轴长误认为是b 4．（如中）设双曲线22221(0)x y a b ab-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 的距离为4，则双曲线的离心率为A 2B 23C D解 答：D易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．（如中）已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D 解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
6．（如中）若曲线y =(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤ C 314k -<≤D 10k -<≤解 答：C易错原因：将曲线y =224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
7．（石庄中学）P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR ︱＋︱RQ ︱最小，则m=（ ）A21 B 0 C –1 D -34正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。
12．（石庄中学）平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为（ ）A y 2=2xB y 2=2x 和 ⎩⎨⎧≤=00x yC y 2=4xD y 2=4x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y正确答案：D 错因：学生只注意了抛物线的第二定义而疏忽了射线。
高考复习资料-数学解析几何错题精选
高考复习易做易错题精选解析几何1. 若直线(1)y k x =-与抛物线243y x x =++的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________.解 答： (-3, 0)易错原因：找不到确当的解答方法。
本题最好用数形结合法。
2. 若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为 A 0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y ±= 解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
3. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是A B C D 解 答：D易错原因：短轴长误认为是b4．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +-> 5．设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L ，则双曲线的离心率为A 2B 2或3CD 解 答：D易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
6．已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
7．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影为M ，点A 的8．若曲线y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤C 314k -<≤D 10k -<≤ 解 答：C易错原因：将曲线y =224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
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解析几何一、选择题：1. （如中）若双曲线22221x y a b-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y±= 解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2. （如中）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是AB C D 解 答：D易错原因：短轴长误认为是b3．（如中）过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +->4．（如中）设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 的距离为，则双曲线的离心率为A 2B 2C D解 答：D易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．（如中）已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D 解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
6．（如中）若曲线y =(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤C 314k -<≤ D 10k -<≤解 答：C易错原因：将曲线y =转化为224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
7．（石庄中学）P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR ︱＋︱RQ ︱最小，则m=（ ）A21 B 0 C –1 D -34正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。
8．（石庄中学）能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰好有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的一个值为（ ）A 2 B5 C 3 D 35正确答案： C 错因：学生不能借助圆心到直线的距离来处理本题。
9．（石庄中学）P 1(x 1,y 1)是直线L ：f(x,y)=0上的点，P 2(x 2 ,y 2)是直线L 外一点，则方程f(x,y)+f(x 1,y 1)+f(x 2,y 2)=0所表示的直线（ ）A 相交但不垂直B 垂直C 平行D 重合 正确答案： C 错因：学生对该直线的解析式看不懂。
10．（石庄中学）已知圆()3-x 2+y 2=4 和 直线y=mx 的交点分别为P 、Q 两点，O 为坐标原点， 则︱O P ︱·︱OQ︱=( )A 1+m 2B215m+ C 5 D 10 正确答案： C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱O P ︱·︱OQ ︱等于切线长的平方来解题。
11．（石庄中学）在圆x 2+y 2=5x 内过点（25，23）有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列首项a 1,最长弦长为a n ，若公差d ∈⎥⎦⎤⎝⎛31,61，那么n 的取值集合为（ ）A {}654、、B {}9876、、、C {}543、、D {}6543、、、正确答案：A 错因：学生对圆内过点的弦何时最长、最短不清楚，不能借助d 的范围来求n.12．（石庄中学）平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为（ ）A y 2=2x B y 2=2x 和 ⎩⎨⎧≤=0x yC y 2=4x D y 2=4x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y正确答案：D 错因：学生只注意了抛物线的第二定义而疏忽了射线。
13．（石庄中学）设双曲线22a x －22b y ＝1与22by －22a x ＝1（a ＞0,b ＞0）的离心率分别为e 1、e 2，则当a 、 b 变化时，e 21+e 22最小值是（ ）A 4B 42C 2D 2正确答案：A 错因：学生不能把e 21+e 22用a 、 b 的代数式表示，从而用基本不等式求最小值。
14．（石庄中学）双曲线92x －42y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ）A 8x-9y=7B 8x+9y=25C 4x-9y=16D 不存在正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。
15．（石庄中学）已知α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=51则方程x 2sin α－y 2cos α=1表示（ ） A 焦点在x 轴上的双曲线 B 焦点在y 轴上的双曲线 C 焦点在x 轴上的椭圆 D 焦点在y 轴上的椭圆 正确答案：D 错因：学生不能由sin α+cos α=51判断角α为钝角。
16．（石庄中学）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线交抛物线于M ﹑N 两点,则M ﹑N ﹑F 三点A 共圆B 共线C 在另一条抛物线上D 分布无规律 正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。
17．(磨中)曲线xy=1的参数方程是( )A x=t 21 B x=Sin α C x=cos α D x=tan α 21- y=csc α y=See α y=cot α正确答案：选D错误原因：忽视了所选参数的范围，因而导致错误选项。
18．(磨中)已知实数x ，y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是( ) A 、29B 、4C 、5D 、2 正确答案：B错误原因：忽视了条件中x 的取值范围而导致出错。
19．（城西中学）双曲线x 2n －y 2=1(n>1)的焦点为F 1、F 2，，P 在双曲线上 ，且满足：｜PF 1|+|PF 2|=2n+2 ，则ΔPF 1F 2的面积是A 、1B 、2C 、4D 、12正确答案： A错因：不注意定义的应用。
20．（城西中学）过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条 正确答案：C错解：设直线的方程为1+=kx y ，联立⎩⎨⎧+==142kx y x y ，得()x kx 412=+，即：01)42(22=+-+x k x k ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。
21．（城西中学）已知动点P （x ,y ）满足 ，则P 点的轨迹是 （ ） A 、直线 B 、抛物线 C 、双曲线 D 、椭圆 正确答案：A|1143|)2()1(522-+=-+-y x y x错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。
22．（城西中学）在直角坐标系中，方程()()02312=--+-+y x x y x 所表示的曲线为（ ） A ．一条直线和一个圆 B ．一条线段和一个圆 C ．一条直线和半个圆 D ．一条线段和半个圆 正确答案：D错因：忽视定义取值。
23．（城西中学）设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA OB ⋅=（ ）A ．34 B ．34- C ．3 D ．-3 正确答案：B 。
错因：向量数量积应用，运算易错。
24．（城西中学）直线134=+y x 与椭圆191622=+y x 相交于A 、B 两点，椭圆上的点P 使PAB ∆的面积等于１２，这样的点P 共有（ ）个A ．１B ．２C ．３D ．４ 正确答案：D错因：不会估算。
25．（一中）过点（1，2）总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是（ ） A 2k > B 32k -<< C 3k <-或2k > D 都不对 正确答案：D26．（一中）已知实数x ，y 满足250x y ++=ABC． D． 正确答案：A27．（一中）若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是A ． [2,2]-B ． [0,2] C． D ．[-正确答案：D 28．（一中）设ｆ(x )= x 2+ax+b ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则点(a ，b )在aOb 平面上的 区域的面积是 A ．12 B ．1 C ．2 D ．92正确答案：B29．（一中）当x 、y 满足约束条件0,,20x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数）时，能使3z x y =+的最大值为12的k 的值为A ．－9B ．9C ．－12D ．12 正确答案：A30．（一中）已知关于t 的方程20t tx y ++=有两个绝对值都不大于1的实数根，则点(,)P x y 在坐标平面内所对应的区域的图形大致是正确答案：A31．（一中）能够使得圆222410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于1的c 的一个值为（ ） A ．2C ．3 D．正确答案：C 32．（蒲中）抛物线y=4x 2的准线方程为（ ）A 、x=－1B 、y=－1C 、x=161-D 、y=161- 答案：D点评：误选B ，错因把方程当成标准方程。
33．（蒲中）对于抛物线C ：y 2=4x ，称满足y 02<4x 0的点M(x 0，y 0)在抛物线内部，若点M(x 0，y 0)在抛物线内部，则直线l ：y 0y=2(x+x 0)与曲线C （ ）A 、恰有一个公共点B 、恰有两个公共点C 、可能有一个公共点也可能有2个公共点D 、无公共点 答案：D点评：条件运用不当，易误选C 。
34．（江安中学）直线l 过点，那么直线l 倾斜角α的取值范围是（ ）。
A. [0,π)B. [0,4π] (2π, π) C. [4π,π] D. [0,4π] (2π, π)正解：B),1(),1,2(2m B A 02>m∴ 点A 与射线y x (1=≥0)上的点连线的倾斜角，选B 。
误解：选D ，对正切函数定义域掌握不清，故2π=x 时，正切函数视为有意义。
35．（江安中学）设F1和F2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）。