(完整版)人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，_ _ D_ A_ P_ N _ B_ M0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.C 1 B 1 A 1B A3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42B ．32C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥. （1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ _ A_S_ F_ B参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，EN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去）， 111,.A C C BD ∴=⊥1CD 时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示_ C_ D_ A_P_ N _ B_ M _ EA1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0） A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有13(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a =，1(0,02)AA a =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.13(,2)22a AC a a =-，(0,2)2aAM a =， ∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=∴<1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法 新 课 标 第 一网1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t =设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向， 可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)3,0),3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,3BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，），303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DS a =，平面DAC 的一个法向量600a OS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且2626),(0,)DS CS ==（. 设,CE tCS = 则226((1)BE BC CE BC tCS t =+=+=-，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.作 者 于华东 责任编辑 庞保军_ C_ A_S_ F_ BO。
数学选修2-1空间向量与立体几何练习题含答案
24.已知向量 ， ，若向量 与 共线，则 ________；若 ，则 ________．
25.在正方体 中：
（1）分别给出直线 ， 的一个方向向量；
（2）分别给出平面 ，平面 ，平面 的一个法向量．
26.如图，边长为 的正方形 中， ， 分别是边 ， 上的点， .将 ， 分别沿着 ， 折起，使 ， 重合于点 ，且二面角 为直二面角.
B
【考点】
平面的法向量
向量方法证明线、面的位置关系定理
直线的方向向量
【解析】
由已知可得： ，因此 ，再利用线面垂直的判定即可得出．
【解答】
解：∵直线 的方向向量为 ，
平面 的法向量 ， ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
11.
【答案】
【考点】
空间直线的向量参数方程
直线的方向向量
【解析】
设直线 的一个方向向量为 ，运用向量垂直的条件：数量积为 ，化简可得所求向量．
【解答】
解：设直线 的一个方向向量为 ，
由两平面 与 分别以 与 为其法向量，
可得 ， ，
可得 ， ，
可设 ，则 ， ，
可得 ．
故答案为： .
16.
【答案】
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
数学选修2-1空间向量与立体几何练习题含答案
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
1.已知 是空间的一组单位正交基底，而 是空间的另一组基底．若向量 在基底 下的坐标为 ，则向量 在基底 下的坐标为（）
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高三数学选修2-1第3章空间向量与立体几何专项练习（带答案）
空间向量与立体几何知识点是高中必考知识点之一，以下是第3章空间向量与立体几何专项练习，希望对大家有帮助。
一、填空题
1.判断下列各命题的真假：
①向量AB的长度与向量BA的长度相等;
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同;
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量;
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为________.
2.已知向量AB，AC，BC满足|AB|=|AC|+|BC|，则下列叙述正确的是________.(写出所有正确的序号)
1。
高中数学选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题(含答案)
这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________．解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝1－x2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎪⎫x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：8714．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， 易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63.答案：63设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．又∵PF →与CD →所成的角为60°，|2－t ·2|2－t2＋2－t 2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)． 故点P 为AC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。
高二数学人教版选修2-1(第03章 空间向量与立体几何) Word版含解析
绝密★启用前人教版选修2-1 第3章 空间向量与立体几何一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【题文】向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1,－2y ,9)，若a 与b 共线，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝12-C ．x ＝16，y ＝32-D ．x ＝16-，y ＝232．【题文】已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．33．【题文】设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．124．【题文】若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【题文】在△ABC 中，AB =c ，AC =b .若点D 满足2BD DC =，则AD =( )A.2133+b cB.5233-c bC.2133-b cD.1233+b c6．【题文】已知a ，b ，c 是空间的一个基底，设p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，则下列向量中可以与p ，q 一起构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对7．【题文】已知△ABC 的三个顶点A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．647D ．6578．【题文】与向量a ＝(2,3,6)共线的单位向量是( )A ．236,,777⎛⎫⎪⎝⎭B ．236,,777⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．236,,777⎛⎫-- ⎪⎝⎭和236,,777⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．236,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭和236,,777⎛⎫--- ⎪⎝⎭9．【题文】已知向量a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6且a ⊥b ，则x ＋y 为( ) A ．－3或1 B ．3或－1 C ．－3 D ．110．【题文】已知a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( )A ．x >4B ．x <－4C ．0<x <4D ．－4<x <0.11．【题文】已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30° B．45° C．60° D．90°12．【题文】已知二面角α－l －β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．【题文】已知{i ，j ，k }为单位正交基底，且a ＝－i ＋j ＋3k ，b ＝2i －3j －2k ，则向量a ＋b 与向量a －2b 的坐标分别是________，________.14．【题文】在△ABC 中，已知AB ＝(2,4,0)，BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.15．【题文】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所成角的大小为 ．16．【题文】在下列命题中：①若a ，b 共线，则a ，b 所在的直线平行；②若a ，b 所在的直线是异面直线，则a ，b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ，其中不正确的命题为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）【题文】如图，空间四边形OABC 中，E ，F 分别为OA ，BC 的中点，设=OA a ，OB =b ，OC =c ，试用a ，b ，c 表示EF .18．（本题满分12分）【题文】已知{},,i j k 是单位正交基底，设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝ －2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝aa 1＋ba 2＋ca 3 成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．19．（本题满分12分）【题文】四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝5，AD ＝3，AA ′＝7，∠BAD ＝60°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝45°，求AC ′的长．20．（本题满分12分）【题文】如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，AB ＝2，PC 与平面ABCD 所成角是45°，F 是AD 的中点，M 是PC 的中点． 求证：DM ∥平面PFB .21．（本题满分12分）【题文】如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC . (1)证明：A 1C ⊥平面BED ； (2)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．22．（本题满分12分）【题文】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.人教版选修2-1 第3章空间向量与立体几何答题卡注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名和班级填写在答题卡上。
人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何练习题及答案
第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §.1.2空间向量的数乘运算1.下列命题中不正确的命题个数是 （）①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有 AB +BC + CD +DA =0 ；A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .4r 4 * r 4 t 44.已知四边形 ABCD 中，AB =a — 2C , CD =5 a +6 b — 8C ，对角线AC 、BD 的中点分别为 E 、F ，则EF = __________5.已知矩形 ABCD , P 为平面ABCD 外一点，且 PA 丄平面 ABCD , M 、N 分别为 PC 、PD 上的点，且 M N 分PD 成定比1，求满足 MN =xAB - yAD - zAP 的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱 ABCD-ABC 1D 1中，AA = 2AB , E 为AA 重点，则异面直线BE 与C0所形成角的(x , y , z ) 为（)A . ( 1,1 1)B . ( 3 ,-,-)C .( 1 1I ) D .(2 ,2 2) 4 444 4 43 3333 3T T T3 •在平行六面ABC D—EFGHAG 二 xAC yAFzAH , 则x + y + z =2.设OABC 是四面体，G i 是厶ABC 的重心，G 是OG i 上一点，且OG=3GG i,若 10 A . 10 13.10 B . C . 5 10 3 D .52•如图，设 A , B , C , D 是空间不共面的四点， 且满足 丿 ABR ,余弦值为（） ②对空间任意点0与不共线的三点A 、B 、C ,若 OP =x OA +y OB +z OC（其中 x 、y 、z € R ）,则 P 、OG =x OA +y OB +z OC ,分PC 成定比2,NACAD.0 , ABAD =0,则厶BCD 的形状是（）A .钝角三角形B •锐角三角形C •直角三角形D .不确定的 3.已知ABCD — A 1B 1C 1D 1为正方体，则下列命题中错误的命题为I F I Q F Q①(A 1A+A 1 D 1+A 1B 1)2 =3(A 1 B )2;②AC (A|B _AiA)=O;③向量AD 与向量A |B 勺夹角为60 ; ④立方体ABCD-/AB 1C 1D 1的体积为|ABAA AD4. 如图，已知：平行六面体 ABCD — A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且/ CQB = / C 1CD= / BCD=60 °（1）证明：C 1C 丄 BD ;CD（2）当2CD 的值为多少时,CC 15.如图，正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1的底边长为a ,侧棱长为.2 a .建立适1 .已知向量 OA = (2 ,§.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示OB = （x , 1 -y , 4z ）, -2, 3), 且平行四边形OACB 的对角线的中点31坐标为M (0, ,)，则(X ,2 2 A . (-2,-4, -1)B . (-2,一4, 1) C. (-2, 4,-1)D . (2, -4, -1)2 .已知 a = (2, - 2, 4) , b = (1,-1, 2), c = (-6.6,-12)，则向量 a 、b> c ()A •可构成直角三角形 C •可构成钝角三角形B •可构成锐角三角形D .不能构成三角形3 .若两点的坐标是 A （3cos a3sin a 1), B (2cos 0 2sin,01）,则| AB |的取值范围是（） A . [0, 5] B . [1 , 5]4.设点 C (2a+1 , a+1 , 2)在点 的值为 ________________ . C . (1 , 5)P (2, 0, 0)、A (1 , — 3,D . [1 , 25]2 )、B ( 8, -1, 4）确定的平面上，则 a能使 A i C 丄平面C i BD ?请给出证明.当的坐标系，⑴写出A, B, A1, B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角.B13.2立体几何中的向量方法1到一定点(1 , 0, 1)的距离小于或等于 2的点的集合为()A • {(x,y,z)|(x —1)2y 2 (z —1)2 乞4}B - {(x,y,z)|(x-1)2 y 2 (z-1)2 =4}C • {(x,y,z)|(x —1)2 y 2 (z —1)2 乞 2}D • {(x,y,z)|(x-1)2y 2 (z_1)2 =2}2. 正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面4 二3 .3 3 "2"3. 已知斜三棱柱 ABC-A 1B 1C 1,BCA=90* , AC 二 BC = 2 , A在底面ABC 上的射影恰为 AC 的中点D ，又知BA — AC 1.(1) 求证：AG _平面ABC ; (2) 求C 1到平面A,AB 的距离；4.如图，在直三棱柱 ABC-ABG 中，AB=1 , AC 二 AA =、3 , / ABC=60 °(1)证明：AB_AC ;(2)求二面角A — AC — B 的大小.5.如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P 为侧棱SD 上的点.A 1BD 所成角的余弦值为()(3)求二面角A - AB - C 余弦值的大小.BC1C(1)求证：AC丄SD;(2)若SD丄平面PAC,求二面角P-AC-D的大小(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E, 使得BE //平面PAC.若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由.FDCD2(2)设x, CD =2,则 CC=,CC 1 x』2寸・彳*彳24 2.A 〔C GD = (a b c) (a - c)二 a a b - b c - c 5 6 ,x x4 2 2 2 令飞6=0，则 3x 「x -2 € ,解得 x = 1，或 x = -一x 2 x3（舍去），CD 1时，能使AQ _平面GBD. CC f§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 §3.1.5空间向量运算的 坐标表示参考答案第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §.1.2空间向量的数乘运算 3 4 4 1. A 2.A 3. 4.3a +3b — 5C25.如图所示，取 PC 的中点E ,连结NE ,则MN =EN —EM . 1 i i h••• EN 二 CD 二 BA= — AB ,2 2 2 21 1 _1 EN =PM _PE = _PC PC PC ,连结A C ,则^ _P C A C_ A P1(AB AD —AP) 621 1 …x , y , z .366§3.1.3空间向量的数量积运算 T 彳 T 彳 —H 轉 叫 呻1.C2.B3.③④4. (1)设 CB = a, CD = b,CC 〔 =c ，贝V |a|=|b| ,BD=CD —CB 绪二，所以BDCC^(b -a)c =b c —a c =|b||c|cos60 -|a||c|cos60 =0, BD _ CG 即 BD _ CC 1 ;BD _A 〔C , 只须求 x 满足：AC GD =0 ,A BADBD 一 面AA1C C ,■A A = a, AD =b, DC =c, A|C =ab21. A2.D3.B4.165. (1 )建系如图，贝U A (0, 0, 0) B ( 0, a , 0)(2)解法一：在所建的坐标系中，取 a *-于是 M (0, _, J2a ),连结 AM , MC 12则有2,0,0) AB=(0,a,0), 胃=(0,0、、2a),2二 MQ AB = 0, MC 1 AA =0, 所以，M6丄平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是 AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法 新课标第一网3.取 AB 的中点E ，贝U DE // BC ,以DE, DC,DA 1为x, y,z 轴建立空间坐标系, 则 A 0, -1,0，C 0,1,0，B 2,1,0 ,A 0,0,t , C 0,2,t ,R -HA i ( 0, 0,■… 2 a), C 1|,Z )A iB i 的中点M ,ACi =( 亍,2，池,)爲“j,忌),9a 2.AC 1 AM，而 || AC4AC 1 AM -3| AG ||AM 「2 ,由 cos< AC 1, AM >= < AC 1, AM >=30 °••• AC 1与侧面 ABB 1A 1所成的角为30°1 .A 2. C (1)如右图,所以DE _ AC ，又AD _平面ABC ，AG=(0,3,t ), BA=(-2,-1,t ),T > TCB 二2,0,0 ，由AC CB = 0，知AC — CB ,又BA丄AG,从而AC1丄平面ABC.(2)由AC1 BA = -3 + t2设平面 AAB 的法向量为 n= x, y,z , A A^ = 0,1,3 , "AB 二 2,2,0，所以•竺二y 、3z =o ，设乙=i ，则 n 二；3, _、、3,1，n AB' = 2x 2y = 0(3)再设平面 A|BC 的法向量为m= x, y, z ， CA , 所以m CA = -y ^3z = 0，设 z =1，则 m = 0, ■. 3,1 ，m CB = 2x = 0故 cos ：：：m, n 1 二二，根据法向量的方向,7可知二面角A-AB-C 的余弦值大小为 -74. (1) T 三棱柱ABC-AB iG 为直三棱柱,二 AB 丄 AA , AC 丄 AA ，Rt ：ABC ，AB =1, AC 二，3, ABC = 60， 由正弦定理/ACB= 300. . BAC =90° 即 AB _ AC如右图，建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0B, (1,0,0) (0^3,小，(0,0, 3).A^ = (1,0,0), AC = (0^.3/. 3)， AB _ AC .I⑵ 如图可取m =AB =(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量,设平面A 1BC 的法向量为n =(l,m, n)， 则B C n =0, AC n =0,又 BC =( —1,73,0)，所以点G 到平面AAB 的距离d 二AC 1n2.21-1八 3 , CB 二 2,0,0 ,=1 0 0 .3 0 (一、、3)=0，丨 J 、、3m = 0_ _ . ^ </3m, n =m. 3m - x 3 n = 0不妨取m =1,则门=(13,1,1)，m ncos £ m, n >= ----- :—=m ，n,3 11 01 0 .15I 2 12 12 J 2 02 025j 15 二面角 A _AC -BD 的大小为arccos .'P55. ( 1)连结BD ，设AC 交于BD 于O ， 由题意知SO _平面ABCD .以O 为坐标原点,OB,OC,OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立坐标系O -xyz 如右图.D设底面边长为a ，则高SO 二—2a .于是 S(0,0,6a),D( 2a,0,0)，C(0^-2 a,0)2 2 2OC =(0仝a,0)，SD -( 2a,0, 6a)，OC S ^-0 2 2 2 ，故OC 丄SD 从而AC 丄SD .7 ■2 • 6 ⑵由题设知，平面PAC 的一个法向量DS=( a,0, a)，平面DAC 的一个法向量 2 2 OS =(0,0,6a )，设所求二面角为6，则cos 日=笃笛=庚，得所求二面角的大小为 30 ° 2 |OS||DS| 2 ,6a 2 (3)在棱 SC 上存在一点E 使BE//平面PAC .由(2 )知DS 是平面PAC 的一个法向量，且f a)丘® -予,予).设 CE =tCS,____ ______________________________ if Q / Q jf O则 BE = BC CE =BC tCS =(— a,二 a(1 -1),2—at)，而2 2 2t 二1 .即当 SE: EC =2:1 时，BE _ DS .而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE// 平面 PAC . 3作 者于华东 责任编辑庞保军。
高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几_知识点+习题+答案
空间向量与立体几何1、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．4、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB+A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA +OB +O ++=．9、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则∠A O B 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 10、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．11、已知两个非零向量a 和b ，则c o s ,a b ab 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即c o s ,a b a bab ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．12、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 13、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．14、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．15、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．16、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．17、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．18、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．19、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()721a a a x =⋅=+()82cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =20、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．21、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点． 22、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置． 23、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 24、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．25、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．26、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．27、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．28、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．29、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．30、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 31、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．32、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．空间向量与立体几何练习题1一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是A.－21a +21b +c B.21a +21b +c C.21a －21b +c D.－21a －21b +c2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是A.--=23B.OC OB OA OM 513121++=C.0=+++D.0=++3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则⋅等于A.41B.41-C.43D.43- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设)2,1,1(-=，)8,2,3(=，)0,1,0(=，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A.213 B.253 C.453D.4536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A.9πB.10πC.11πD.12π8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与CB 1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为55210.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为A.5B.41C.4D.52二、填空题（每小题5分，共20分）11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy .12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A BC D -是正方体，其中2,AB PA ==，则1B 到平面PAD 的距离为 .三、解答题（共80分）俯视图正(主)视图 侧(左)视图15.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,． （1）试用c b a ,,表示出向量BM ；（2）求BM 的长．16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG..17.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F，正视图MPD C BA分别是AB BD ，的中点．求证： （1）直线//EF 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ． 18.（本小题满分14分）如图，已知点P 在正方体''''D C B A ABCD -的对角线'BD 上，∠PDA=60°.（1）求DP 与'CC 所成角的大小；（2）求DP 与平面D D AA ''所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论;D 'C 'B'A'PD C BA俯视图侧视图正视图ED CBA P （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD所成最大角的正切值为2，求二面角E AF C --的余弦值．参考答案 一、选择题PBECDFA1.)(21111A B B ++=+==c +21(－a +b )=－21a +21b +c ，故选A.2.1),,(=++∈++=⇔z y x R z y x OC z OB y OA x OM C B A M 且四点共面、、、由于C B A --=⇔=++∴0由于都不正确、、选项.)()()(共面使所以存在y x y x ,,,1,1∴+==-=四点共面，、、、为公共点由于C B A M M ∴故选D. 3.∵的中点分别是AD AB F E ,,,BD EF BD EF 21,21//=∴=∴且, 41120cos 1121,210-=⨯⨯⨯>=<=⋅=⋅∴DC BD DC BD DC EF 故选B.4.B5.B6.D7.D8.D9.D 10.4,cos ==><=AC AB ，5==,故选A二、填空题 11.9 12.313.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则++=θθcos 6)180,0,0,2530-=-⋅=⋅=⋅===DB AC DB CD CD AC0022222120,1800 .21cos ),cos 600(2253)112()(2)(=∴≤≤-=∴--+++=∴⋅+⋅+⋅+++=++=θθθθ由于AC DB DB CD CD AC DB CD AC14.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系 设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =，(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离15B A m d m⋅==三、解答题15.解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([21)(21BM -+=+=c b a a c b 212121)]([21++-=-+= （2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于),(21c b a ++-=BM 由于23)]110(2211[41)](2[41)(412222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=c b c a b a c b a c b a2626的长为，BM ∴=. 16.解：（1）如图（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=． （3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，连结AD '，则AD BC ''∥． 因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥， 从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，所以BC '∥面EFG ．17.证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵AD ⊂面ACD ，EF ⊄面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .18.解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -． 则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．A C D E F GA 'B 'C 'D '在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ． 设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，， 由cos DA DH DA DH DA DH =<>，，可得2m = 解得2m=，所以21DH ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭．（1）因为0011cos DH CC ++⨯'<>==， 所以45DH CC '<>=，，即DP 与CC '所成的角为45．（2）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos 2DH DC +⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，，可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30．19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2.∴1233P ABCD ABCD V S PC -=⋅=(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC又ACPC C =∴BD ⊥平面PAC∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DG ⊥AE 于G ，连结BG∵CD=CB,EC=EC ，∴Rt ECD ∆≌Rt ECB ∆，∴ED=EB ∵AD=AB ，∴△EDA ≌△EBA ，∴BG ⊥EA ∴DGB ∠为二面角D －EA －B 的平面角 ∵BC ⊥DE ，AD ∥BC ，∴AD ⊥DE在R ｔ△ADE 中AD DE DG AE ⋅==BG在△DGB 中，由余弦定理得212cos 222-=⋅-+=∠BG DG BD BG DG DGB∴DGB ∠=23π，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 解法2：以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ,从而(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1)DE DA BA BE =-===- 设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为(,,),(',',')m a b c n a b c ==由法向量的性质可得：0,0a c b -+==，'0,''0a b c =-+= 令1,'1c c ==-，则1,'1a b ==-，∴(1,0,1),(0,1,1)m n ==-- 设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则1cos 2||||m n m n θ⋅==-⋅∴23πθ=，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 20.（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PAAD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥．（2）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，． 由（1）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt EAH △中，AE = 所以当AH 最短时，EHA ∠最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．此时tan AE EHA AH ∠===因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=，所以2PA =．解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，在Rt AOE△中，3sin302EO AE==3cos302AO AE==，又F是PC 的中点，在Rt ASO△中，3sin454 SO AO==，又SE==Rt ESO△中，cos SOESOSE∠===即所求二面角的余弦值为5．解法二：由（1）知AE AD AP，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又EF，分别为BC PC，的中点，所以(000)10)(020)A B C D-，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以31(300)12AE AF⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，，，，，．设平面AEF的一法向量为111()x y z=，，m，则AEAF⎧=⎪⎨=⎪⎩，，mm因此1111122x y z=++=⎪⎩，．取11z=-，则(021)=-，，m，因为BD AC⊥，BD PA⊥，PAAC A=，所以BD⊥平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量．又(0)BD=，，所以cos55BDBDBD<>===，mmm．因为二面角E AF C--为锐角，所以所求二面角的余弦值为5．空间向量与立体几何2B一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g 2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b aλ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（ ） A ．19 B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（ ）A ．21B ．22 C ．－21 D ．07．设n m 、表示直线，βα、表示平面，则下列命题中不正确．．．的是（ ）． A ．βα⊥⊥m ,m ，则α//β B ．m//n ,=βαα ，则m//n C ．α⊥m ,β//m , 则βα⊥ D ．n //m ,α⊥m , 则 α⊥n8．在棱长均为2的正四面体BCD A -中，若以三角形ABC 为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（ ）． A ．3 B ．362 C ．2 D ．22 9、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD 在原正方体中的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直ABC DDCABC ． 异面D ．相交成60°10、点P 在平面ABC 外，若PA=PB=PC ，则点P 在平面ABC 上的射影 是△ABC 的 （ ）A ．外心 B.重心 C.内心 D.垂心11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）（A）2（B）12 （C）22+ （D）112、已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ） （A ）2对 （B ）3对 （C ）4对 （D ）5对二、填空题（每小题4分，共24分）13．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a，则(23)(2)a b a b -+=__________________。
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》典型练习题(含答案)
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》典型练习题一、选择题1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a ρρB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d c ρρC ．)0,0,0(),0,3,2(==f e ρρD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g ρρ2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a ρρλ，且a ρ与b ρ的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A ρ取最小值时，x 的值等于（ ）A ．19B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC u u u r u u u r>的值是（ ）A ．21B ．22C ．－21D ．0二、填空题1．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ，则(23)(2)a b a b -+=r r rr g __________________。
2．若向量,94,2k j i b k j i a ρρρρρρρρ++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________。
3．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ，若a ⊥r b ρ，则=x ______；若//a r b ρ则=x ______。
高二数学人教版选修2-1习题第3章空间向量与立体几何3.1.5Word版含答案
二、填空题
7．已知 a＝ (2，－ 3,0)、 b＝ (k,0,3)， <a，b>＝ 120 °，则 k＝ ________.
[答案 ] － 39
[解析 ] ∵ a·b＝ 2k， |a|＝ 13， |b|＝ k2＋ 9，
∴cos120°＝
2k
，
13× k2＋ 9
∴k＝－ 39.
8．已知 a＝ (2，－ 1，3)、b＝ (－ 1,4，－ 2)、c＝ (7,7，λ)，若 a、b、c 共面， 则实数 λ＝________. [答案 ] 9
z)，A→C＝ (－
1,0,2)，D→C
＝
(－ x，－y,2－ z)，
A→B＝ (－ 1,1,0) ．
因为 D→B ∥ A→C， D→C∥ A→B，
－ x， 1－ y，－ z ＝ m －1， 0， 2
所以
，
－ x，－ y， 2－ z ＝ n － 1，1， 0
x＝－ 1 解得 y＝ 1 .
z＝ 2
即 D (－ 1,1,2) ． (2)依题意 A→B＝( －1,1,0) 、 A→C＝ (－ 1,0,2) 、B→C＝ (0，－ 1,2)， 假设存在实数 α、 β，使得 A→C ＝ αA→B＋ βB→C成立，则有 (－ 1,0,2)＝ α(－ 1,1,0)＋ β(0，－ 1,2) ＝ (－ α， α－ β， 2β)，
∴O→C＝ 23(－ 3,7，－ 5)＝
－ 2，14，－ 10
3
3
.
故选 B.
2．设
M
(5，－
1,2)
、
A(4,2，－
1)，若
→ OM
＝
A→B，则点
B 应为 (
)
(完整word版)高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(含详解)(精华版)
高中数学选修2-1第三章+空间向虽与立体几何+测试题（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的）1.向量a=(2x,1,3),b=(1, — 2y,9), 若a 与b 共线， 则（）- 1 1A . x= 1, y= 1B . x= 2， y= — 2- 1312C. x= 0, 6v= — 2D . x=— 6, v=3解析由 a// b 知，a ：=?b,2x=入1 = 一2 入 ys,= 9 入. 、 1 1. .灯a ，x =6. 3V= — 2答案 C2. 已知 a = (- 3,2,5), b = (1, x, - 1)，且 a b= 2,贝U x 的值是( )A . 6B . 5C . 4D . 3解析 ab=— 3 + 2x — 5 = 2, •■- x= 5. 答案 B3. 设11的方向向量为a = (1,2,— 2), 12的方向向量为b = (-2,3, m),若11± 12,则实数m 的值为()-1 A . 3 B.2 C. 1D.2解析 • hJ_ 12, aJ_ b, a b = 0, — 2+ 6 — 2m= 0, m= 2.答案 B4 .若a, b 均为非零向量，贝U a b = |a||b|是a 与b 共线的()A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析 a b = |a||b|cos 〈a, b 〉，而 a b= |a||b|.cos 〈a, b> = 1,〈a, b 〉= 0.•■- a 与b 共线.反之，若 a 与b 共线，也可能ab=— |a| |b|,因此应选B.答案 B3 67, 一 3)5 .在△ ABC 中，AB= c, AC= b.若点 D 满足 BD = 2DC ，贝U AD =(21A.gb+ 3c / 1 一 Cgb - 3c12D .3b +3c367, 一 3)64A . 2B . 3 C. 7解析 BC 的中点D 的坐标为(2,1,4),•• AD = (- 1, —2,2).• - |AD |= —1 + 4 + 4= 3.答案 B8.与向量a= (2,3,6)共线的单位向量是解析如图，AD = AB + BD2八= AB+ -BC … 2 一… = AB+ -(AC- AB) 12=-AB+ -AC =3c +$.答案 A6.已知a, b, c 是空间的一个基底，设 p = a+ b, q = a- b,则下列向量中可以与p, q起构成空间的另一个基底的是(D.以上都不对解析a, b, c 不共面,c 不共面, •••p, q, c 可构成空间的一个基底.答案 C7 .已知△ ABC 的三个顶点A(3,3,2), B(4, —3,7),C(0,5,1)，贝U BC 边上的中线长为(3 67, 一 3)2 3 6A • (7，-，7)2B. (-7,2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 3 6 C•(7,一〒-7)和(-7 7，7) D.(7, 7)和(--)解析|a|=寸22 + 32 + 62 = 7, .••与a共线的单位向量是号(2,3,6),故应选D.答案 D 9.已知向量a= (2,4 , x), b = (2, y,2)，若|a|= 6 且a±b，则x + y 为( ) A . - 3 或1 B . 3 或—1 C. - 3 D. 1解析由|a|= 6, a±b,4+ 16+ x2= 36, x= 4, 得解得4+ 4y+ 2x = 0, y=- 3,x= — 4, 或y= 1.x+ y= 1,或一3.答案A10.已知a= (x,2,0), b= (3,2 — x, x2)，且a与b的夹角为钝角，贝U实数x的取值范围是( )A . x>4B . x<- 4C . 0<x<4 D. - 4<x<0.解析〈a, b〉为钝角,a b= |a||b|cos〈a, b> <0，即3x+ 2(2 — x)<0 , x< — 4.答案B11.已知空间四个点A(1,1,1), B(-4,0,2), C(- 3, —1, 0), D( — 1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析设平面ABC的一个法向量为n= (x, y, z),. AB= (-5, - 1,1), AC= (-4, -2, - 1),由n AB = 0 及n AC = 0,得—5x — y+ z= 0,令z= 1,—4x — 2y— z= 0,得x = 2 y=—3 n = (；, - I，1).又AD = (-2, - 1,3)，设AD与平面ABC所成的角为0,则sin 0= f 』3 -|AD n|_ T+ 2+ 3“ 一一14M14 x-|AD||n| 14 212'••• 0= 30°.答案 A12 .已知二面角 a- l - 6的大小为50 °, P 为空间中任意一点，则过点 P 且与平面a 和平面6所成的 角都是25°的直线的条数为（ ）解析 过点P 分别作平面 a, 6的垂线l i 和12,贝U 11与12所成的角为130。
(人教版)高中数学选修2-1检测第3章 空间向量与立体几何3.2.1 Word版含答案
第三章(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．若直线的方向向量为＝(－，－)，平面α的法向量为＝()，则( )．⊥α．∥α．与α斜交．⊂α解析：＝－，∴∥，∴⊥α.答案：．若两个不同平面α，β的法向量分别为＝(，－)，＝(－，－)，则( )．α⊥β．α∥β．α，β相交但不垂直．以上均不正确解析：∵＝－，∴α∥β，故选.答案：．若直线的方向向量为，平面α的法向量为，则能使∥α(或⊂α)的是( )．＝()，＝(－)．＝()，＝()．＝()，＝(－，－)．＝(，－)，＝()解析：∵∥α，∴⊥，经验证只有中＝(，－)，＝()，满足⊥，这是因为×＋(－)×＋×＝.答案：．已知＝(，－)，＝(，)，若⊥，＝(－，，－)，且⊥平面，则向量等于( )解析：·＝＋－＝，故＝，由·＝－＋＋＝，且·＝(－)＋－＝，得＝，＝－＝.答案：二、填空题(每小题分，共分)．有以下结论：①若直线，的方向向量分别为＝(，－)，＝(－)，则⊥.②若平面α、β的法向量分别为＝(，－)，＝(－)，则α⊥β.③若直线的方向向量为＝(，－)，平面α的法向量为＝(－)，则⊥α.④已知平面α、β的法向量分别为＝(，－)，＝(－，，)，若α∥β，则·＝－.以上结论正确的序号为．(把你认为正确的序号都填上)解析：对于①：因为·＝，∴⊥，①正确；对于②：因为·＝，所以α⊥β，②正确；对于③：因为·＝，所以⊂α或∥α，③错误；对于④：因为α∥β，所以∥，∴＝＝，∴＝－，＝，·＝－，④正确．答案：①②④．已知点()，()，()，且四边形是平行四边形，则顶点的坐标为．解析：方法一：设点的坐标为(，，)，根据题意，＝(－，－－)，＝(－)，由于四边形是平行四边形，所以＝.所以(－－－)＝(－)，解得＝，＝，＝.所以点的坐标为()．方法二：由于四边形是平行四边形，所以其对角线互相平分．设的中点为，坐标为(，，)，则(，，)＝[()＋()]＝()＝.又设点的坐标为(，，)，[(，，)＋()]＝，即＝，∴＝，＝，＝，即点的坐标为()．答案：()三、解答题(每小题分，共分)．()设，分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：①＝(－，－)，＝；②＝()，＝(－)；③＝(，－)，＝(，－)．()设是平面α的法向量，是直线的方向向量，根据下列条件判断α与的位置关系：①＝(，－)，＝(－)；②＝(，－)，＝(，－)；③＝()，＝(－)．解析：()①∵＝(－，－)，＝，∴·＝－＋＋＝，∴⊥，∴α⊥β.。