12.易错专题：分式与分式方程中的易错题
2023八年级数学上册第十二章分式和分式方程12
10
= -1的解为x=4.
+1 +1
(1)⑤
6
12
⑥+1=+1-1的解为x=5.
2
(2)第n个方程:+1=+1-1的解为x=n-1.
验证:方程两边同乘x+1,得n=2n-(x+1),
解得x=n-1.
经检验,x=n-1是原分式方程的解.
一题练透
分式方程的解与字母参数
−3
1
已知关于x的分式方程 −2 +1=2−.
答案
4.a≥1且a≠2
方程两边同乘x-1,得a-2=x-1,解得x=a-1,由方程的解为非负数,得a-1≥0,
解得a≥1,因为x≠1,所以a-1≠1,所以a≠2,所以a的取值范围是a≥1且a≠2.
2−
−2+
5. [2021达州中考]若分式方程 −1 -4= +1 的解为整数,则整数a=
−2 16
依题意,令+2- 2 −4=1,
方程两边同乘(x+2)(x-2),
得(x-2)2-16=(x+2)(x-2),
解得x=-2.
检验:当x=-2时,(x+2)(x-2)=0.
所以x=-2不是原分式方程的解,
所以原分式方程无解,
−2 16
所以不存在数x,使得式子+2- 2 −4的值等于1.
答案
7.解:(1)方程两边同乘(x+2)(x+1),
得x(x+1)-(x+2)=(x+2)(x+1),
化简,得x2-2=x2+3x+2,
4
解得x=-3.
(易错题精选)初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编含答案
（易错题精选）初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编含答案一、选择题1．已知关于x 的分式方程213x m x -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤B ．3m <C ．3m >-D ．3m ≥- 【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可【详解】 213x m x -=-， 方程两边同乘以3x -，得23x m x -=-，移项及合并同类项，得3x m =-，Q 分式方程213x m x -=-的解是非正数，30x -≠， 30(3)30m m -≤⎧∴⎨--≠⎩， 解得，3m ≤，故选：A ．【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值2．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x 个零件，根据题意可列方程为（ ）A ．60045025x x=- B ．60045025x x =- C ．60045025x x =+ D ．60045025x x =+ 【答案】C【解析】【分析】 原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程.【详解】由题意得：现在每天生产（x+25）个，∴60045025x x =+， 故选：C.【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.3．方程24222x x x x =-+-- 的解为（ ） A ．2B ．2或4C ．4D ．无解 【答案】C【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：2x=（x ﹣2）2+4，分解因式得：（x ﹣2）[2﹣（x ﹣2）]=0， 解得：x=2或x=4，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4，故选C ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．若 x=3 是分式方程2102a x x --=- 的根，则 a 的值是 A ．5B ．-5C ．3D ．-3 【答案】A【解析】把x=3代入原分式方程得，210332a --=-，解得，a=5，经检验a=5适合原方程. 故选A.5．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ）A ．4 1.2540800x x ⨯-=B ．800800402.25x x -= C ．800800401.25x x-= D ．800800401.25x x -= 【答案】C【解析】【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．【详解】小进跑800米用的时间为8001.25x 秒，小俊跑800米用的时间为800x秒， ∵小进比小俊少用了40秒， 方程是800800401.25x x-=， 故选C ．【点睛】 本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．6．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a ，则数a 使关于x 的不等式组()1242122123x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩至少有四个整数解，且关于x 的分式方程233a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ．29 B ．13 C ．49 D ．59【答案】C【解析】【分析】先解出不等式组，找出满足条件的a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a 的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a 的个数除以总数即可求出概率．【详解】解不等式组得：7x a x ≤⎧⎨>-⎩ ， 由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3，∴a 的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5，分式方程去分母得：﹣a ﹣x+2＝x ﹣3，解得：x ＝52a - ， ∵分式方程有非负整数解，∴a ＝5、3、1、﹣3，则这9个数中所有满足条件的a 的值有4个，∴P＝4 9故选：C．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．7．若关于x的分式方程233x mx x-=--有增根，则m的值是（）A．1-B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据分式方程的增根的定义得出x-3=0，再进行判断即可．【详解】去分母得：x-2=m，∴x=2+m∵分式方程233x mx x-=--有增根，∴x-3=0，∴x= 3，∴2+m=3，所以m=1，故选：B．【点睛】本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程x-3=0是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．8．方程22111x xx x-=-+的解是（）A．x＝12B．x＝15C．x＝14D．x＝14【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2x2+2x＝2x2﹣3x+1，解得：x ＝15， 经检验x ＝15是分式方程的解， 故选B ．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．9．关于x 的方程m 3+=1x 11x--解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且B ． 2 B 3m m >≠C ．m<2m 3≠且D ．m>2 【答案】B【解析】【分析】首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有1x ≠.【详解】方程两边同乘以()1x -，得2x m =-∴210x m x =-⎧⎨-≠⎩解得2m >且3m ≠故选：B.【点睛】此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题.10．在阳明山国家森林公园举行中国·阳明山“和”文化旅游节暨杜鹃花会期间,几名同学包租一辆车前去游览,该车的租价为180元,出发时,又增加了两名同学,结果每名同学比原来少分摊了3元车费.设参加游览的学生共有x 人,则可列方程为（ ）A ．18018032x x +=- B ．18018032x x -=- C ．18018032x x +=- D ．18018032x x -=- 【答案】D【解析】【分析】 设参加游览的同学共x 人，则原有的几名同学每人分担的车费为：1802x -元，出发时每名同学分担的车费为：180x元，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系． 【详解】设参加游览的同学共x 人，根据题意得：1801802x x-=-3． 故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．11．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x 米，所列方程正确的是（ ）A ．1000100030x x -+=2 B ．1000100030x x -+=2 C ．1000100030x x --=2 D ．1000100030x x --=2 【答案】A【解析】分析：设原计划每天施工x 米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可． 详解：设原计划每天施工x 米，则实际每天施工（x+30）米， 根据题意，可列方程：1000100030x x -+=2， 故选A ．点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．12．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A ．1010253x x-= B ．1010253x x -= C ．10105312x x -= D ．10105312x x -= 【答案】D【解析】【分析】 设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程．【详解】解：设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x 由题意得：10105312x x -= 故答案为D ．【点睛】本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．13．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--有增根，则m 的值为（ ）．A ．3B ．CD ．【答案】D【解析】 解关于x 的方程2233x m x x -=--得：26x m =-， ∵原方程有增根，∴30x -=，即2630m --=，解得：m =故选D.点睛：解这类题时，分两步完成：（1）按解一般分式方程的步骤解方程，用含待定字母的式子表示出方程的根；（2）方程有增根，则把（1）中所得的结果代入最简公分母中，最简公分母的值为0，由此即可求得待定字母的值.14．2017年，全国部分省市实施了“免费校车工程”．小明原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．已知小明家距学校5千米，若校车速度是他骑车速度的2倍，设小明骑车的速度为x 千米/时，则下面所列方程正确的为( )A ．5x ＋16＝52xB ．5x ＝52x ＋16C ．5x ＋10＝52xD ．5x－10＝52x 【答案】B【解析】【分析】 设小明骑车的速度为x 千米/小时，校车速度为2x 千米/小时，等量关系为：小明骑车所走的时间减去校车所走的时间=10分钟，据此列方程．【详解】设小明骑车的速度为x 千米/小时，校车速度为2x 千米/小时，由题意得,5x ＝52x ＋16所以答案为B.【点睛】 本题考查了分式方程，解题的关键是根据实际问题列出分式方程.15．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列方程为（ ）A ．900900213x x ⨯=+- B ．900900213x x =⨯+- C ．900900213x x ⨯=-+ D ．900900213x x =⨯-+ 【答案】A【解析】【分析】设规定时间为x 天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程．【详解】解：设规定时间为x 天，则慢马需要的时间为（x +1）天，快马的时间为（x -3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍 ∴900900213x x ⨯=+- 故选A ．【点睛】 本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．16．关于x 的分式方程26344ax x x -+=---的解为正数，且关于x 的不等式组1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞-5，找出-5＜a ＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论．【详解】 解分式方程26344ax x x -+=---得：x=43a -， 因为分式方程的解为正数， 所以43a -＞0且43a-≠4， 解得：a ＜3且a≠2， 解不等式1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，得：x≤a+7，∵不等式组有解，∴a+7＞1，解得：a＞-6，综上，-6＜a＜3，且a≠2，则满足上述要求的所有整数a的绝对值的和为：|-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组有解，找出-6＜a＜3且a≠2是解题的关键．17．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（）A．3212x x+=-B．32212x x x++=-C．3+2212x x+=-D．3112()12x x x++=-【答案】A【解析】【分析】设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据甲队施工5个月的工程量+乙队施工2个月的工程量=总工程量1列出方程，然后依次对各方程的左边进行变形即可判断．【详解】解：设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据题意，得：5212x x+=-；A、3212x x+=-，与上述方程不符，所以本选项符合题意；B、32212x x x++=-可变形为5212x x+=-，所以本选项不符合题意；C、3+2212x x+=-可变形为5212x x+=-，所以本选项不符合题意；D、3112()12x x x++=-的左边化简得5212x x+=-，所以本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了分式方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．18．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）A ．1201508x x =- B ．1201508x x =+ C ．1201508x x =- D ．1201508x x =+ 【答案】D【解析】【分析】 首先用x 表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.【详解】解：∵甲每小时做x 个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件，∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴1201508x x =+， 故选D.【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.19．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：23a b a ab⊗=-，这里等式右边是通常的四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 【答案】B【解析】【分析】利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可．【详解】 根据题中的新定义化简得：339342x x=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，经检验x =﹣1是分式方程的解．故选B ．【点睛】本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．分式方程22111x x x -=--，解的情况是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝2 C ．x ＝﹣1 D ．无解【答案】D【解析】【分析】观察式子确定最简公分母为（x+1）（x﹣1），再进一步求解可得．【详解】方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得：x（x+1）﹣（x2﹣1）＝2，解方程得：x＝﹣1，检验：把x＝﹣1代入x+1＝0，所以x＝﹣1不是方程的解．故选：D．【点睛】此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键。
中考数学真题专项汇编解析—分式与分式方程
中考数学真题专项汇编解析—分式与分式方程一．选择题1．（2022·天津）计算1122a a a ++++的结果是（ ） A ．1 B ．22a + C ．2a + D ．2a a + 【答案】A【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可． 【详解】解：1121222a a a a a +++==+++．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则． 2．（2022·浙江杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式()111v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（ ） A ．fvf v -B ．f vfv-C ．fvv f- D ．v ffv-【答案】C【分析】利用分式的基本性质，把等式()111v f f u v =+≠恒等变形，用含f 、v 的代数式表示u ．【详解】解：∵()111v f f u v =+≠，∵111f u ν=+，即111u f ν=-，∵1f uf νν-=，∵f u fνν=-，故选：C ． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 3．（2022·四川眉山）化简422a a +-+的结果是（ ） A ．1 B ．22a a +C ．224a a -D ．2a a + 【答案】B【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．【详解】解：422a a +-+244=22-+++a a a 2=2+a a ．故选：B【点睛】本题考查分式的混合运算法则，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 4．（2022·湖南怀化）代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．【详解】分母中含有字母的是224x +，1x ，12x x ++，∵分式有3个，故选：B ． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 5．（2022·四川凉山）分式13x+有意义的条件是（ ） A ．x ＝－3 B ．x ≠－3 C ．x ≠3 D ．x ≠0【答案】B【分析】根据分式的分母不能为0即可得．【详解】解：由分式的分母不能为0得：30x +≠，解得3x ≠-， 即分式13x+有意义的条件是3x ≠-，故选：B ． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．6．（2022·四川南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）AB ．CD ．【答案】B【分析】先将分式进件化简为a bb a+-，然后利用完全平方公式得出a b -=a b +，代入计算即可得出结果．【详解】解：2221111a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222a b b a ab a b +-⎛⎫=÷ ⎪⎝⎭()()()22222a b a b a b b a b a +=⨯+-a b b a +=-，∵223a b ab +=，∵222a ab b ab -+=，∵()2a b ab -=， ∵a>b>0，∵a b -=∵223a b ab +=，∵2225a ab b ab ++=，∵()25a b ab +=，∵a>b>0，∵a b +=，∵原式=，故选：B ． 【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键． 7．（2022·云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x 棵．则下列方程正确的是（ ） A ．40030050x x=- B ．30040050x x=- C ．40030050x x=+ D ．30040050x x=+ 【答案】B【分析】设实际平均每天植树x 棵，则原计划每天植树（x -50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设现在平均每天植树x 棵，则原计划每天植树（x -50）棵， 根据题意，可列方程：30040050x x=-，故选：B ． 【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．8．（2022·山东泰安）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x 天，下面所列方程中错误的是（ ） A ．2x1xx 3+=+ B ．23x x 3=+ C ．11x 221x x 3x 3-⎛⎫+⨯+= ⎪++⎝⎭ D ．1x1x x 3+=+ 【答案】D【分析】设总工程量为1，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为1x；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为1x 3+，根据甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．【详解】解：设规定日期为x 天，由题意可得，11x 221xx 3x 3-⎛⎫+⨯+= ⎪++⎝⎭， 整理得2x 1x x 3+=+，或2x 1x x 3=-+或23x x 3=+． 则ABC 选项均正确，故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 9．（2022·四川德阳）关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a ≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a ≠－2 【答案】D【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案. 【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x -1，得2x+a=x -1.解得：x=-a -1且x 为正数．所以-a -1＞0，解得a ＜-1，且a≠-2.（因为当a=-2时，方程不成立.） 【点睛】本题难度中等，易错点：容易漏掉了a≠-2这个信息． 10．（2022·四川遂宁）若关于x 的方程221mxx =+无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．4或6 C ．6 D ．0或4【答案】D【分析】现将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当40m -=时，当40m -≠时，0x =或210x +=，进行计算即可．【详解】方程两边同乘(21)x x +，得2(21)x mx +=，整理得(4)2m x -=， 原方程无解，∴当40m -=时，4m =； 当40m -≠时，0x =或210x +=，此时，24x m =-，解得0x =或12x =-，当0x =时，204x m ==-无解； 当12x =-时，2142x m ==--，解得0m =； 综上，m 的值为0或4；故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．11．（2022·浙江丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（ ） A ．足球的单价 B ．篮球的单价 C ．足球的数量 D ．篮球的数量【答案】D 【分析】由50004000302x x=-的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x 的含义． 【详解】解：由50004000302x x=-可得： 由50002x 表示的是足球的单价，而4000x表示的是篮球的单价， x 表示的是购买篮球的数量，故选D【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键． 二．填空题12．（2022·湖北黄冈）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是________． 【答案】1x ≠【分析】根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式21x -有意义，∵10x -≠， 解得1x ≠．故答案为：1x ≠．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．13．（2022·浙江湖州）当a ＝1时，分式1a a+的值是______． 【答案】2【分析】直接把a 的值代入计算即可． 【详解】解：当a =1时，11121a a ++==．故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可． 14．（2022·湖南怀化）计算52x x ++﹣32x +＝_____． 【答案】1【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可． 【详解】解：52x x ++﹣32x +=532122x x x x +-+==++故答案为：1． 【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子相加减，异分母相加减时，先通分变为同分母分式，再加减．15．（2022·四川自贡）化简：22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++ ＝____________． 【答案】2a a + 【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．【详解】22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++=2a 3(a 2)(a 2)2a 3a 2(a 2)-+-⋅+-++ 22222a a a a a -=+=+++故答案为2a a + 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键． 16．（2022·四川泸州）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】1a <-【分析】先解分式方程得1x =，再把1x =代入不等式计算即可． 【详解】33122x x x-+=--去分母得：323x x -+-=-解得：1x = 经检验，1x =是分式方程的解 把1x =代入不等式()230-->a x 得：230a -->解得1a <-故答案为：1a <-【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．17．（2022·浙江宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11ba b a⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x ，则x 的值为___________． 【答案】12-【分析】根据新定义可得221(1)x x x x x ++⊗=+，由此建立方程22121x x x x x++=+解方程即可． 【详解】解：∵11ba b a ⊗=+，∵()211121(1)11x x x x x x x x x x x ++++⊗=+==+++， 又∵21(1)++⊗=x x x x ，∵22121x x x x x++=+，∵()()()221210x x x x x ++-+=，∵()()2210x x x x +-+=，∵()2210x x +=，∵21(1)++⊗=x x x x即0x ≠，∵210x +=，解得12x =-， 经检验12x =-是方程22121x x x x x++=+的解，故答案为：12-． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x 的方程是解题的关键．18．（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x 人，则可列分式方程为__________． 【答案】16014010xx =- 【分析】先表示乙每小时采样（x -10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．【详解】根据题意可知乙每小时采样（x -10）人，根据题意，得16014010xx =-． 故答案为：16014010xx =-． 【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键． 19．（2022·浙江金华）若分式23x -的值为2，则x 的值是_______． 【答案】4【分析】根据题意建立分式方程，再解方程即可； 【详解】解：由题意得：223x =- 去分母：()223x =- 去括号：226x =- 移项，合并同类项：28x = 系数化为1：4x =经检验，x =4是原方程的解， 故答案为：4；【点睛】本题考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键． 20．（2022·四川成都）分式方程31144x x x-+=--的解是_________． 【答案】3x =【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x 的系数化为1，求出x 的值，将求出的x 的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解：31144x x x-+=-- 解：化为整式方程为：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是原方程的解， 故答案为：3x =．【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键．21．（2022·重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________． 【答案】35【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可．【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x 、3x 、9x ．甲、乙两山需红枫数量2a 、3a ． ∵425336x a x a +=+，∵3a x =，故丙山的红枫数量为()742955x a x x +-=，设香樟和红枫价格分别为m 、n ．∵()()()()()16695161 6.25%120%695125%mx x x x n x m x x x n +++=-⋅-+++⋅+，∵:5:4m n =，∵实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为()()()()161 6.25%120%3695125%5x mx x x n ⋅-⋅-=++⋅+，故答案为：35．【点睛】本题考查未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键．22．（2022·湖南衡阳）计算：2422a a a +=++_________． 【答案】2【分析】分式分母相同，直接加减，最后约分． 【详解】解：2422a a a +++242a a +=+()222a a +=+2= 【点睛】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键． 23.（2022·浙江台州）如图的解题过程中，第∵步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____．先化简，再求值：314xx -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4xx x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-【答案】5【分析】根据题意得到方程3114xx -+=--，解方程即可求解． 【详解】解：依题意得：3114x x -+=--，即3204xx -+=-， 去分母得：3-x +2(x -4)=0， 去括号得：3-x +2x -8=0， 解得：x =5，经检验，x =5是方程的解， 故答案为：5．【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． 24．（2022·四川成都）已知2272a a -=，则代数式2211a a a a a --⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值为_________． 【答案】72【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；【详解】解：2211a a a a a --⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭＝22211a a a a a a ⎛⎫---÷ ⎪⎝⎭＝22211a a a a a -+-÷ ＝22(1)1a a a a -⨯-＝(1)a a -＝2-a a ． 2272a a -=，移项得2227a a -=，左边提取公因式得22()7a a -=， 两边同除以2得272a a -=， ∵原式＝72．故答案为：72．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．（2022·湖南常德）方程()21522x x x x +=-的解为________． 【答案】4x =【分析】根据方程两边同时乘以()22x x -，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．【详解】解：方程两边同时乘以()22x x -，()()222252x x ⨯-+=⨯-482510x x -+=-解得4x =经检验，4x =是原方程的解 故答案为：4x =【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验． 三．解答题26．（2022·江苏宿迁）解方程：21122x x x =+--． 【答案】x ＝﹣1【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：21122x x x =+--， 2x ＝x ﹣2+1， x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是原方程的解， 则原方程的解是x ＝﹣1．【点睛】本题考查解分式方程，得出方程的解之后一定要验根．27．（2022·四川泸州）化简：22311(1).m m m m m-+-+÷ 【答案】11m m -+ 【分析】直接根据分式的混合计算法则求解即可．【详解】解：22311(1)m m m m m-+-+÷ ()()231`11m m m m m m m÷++=--+()()2211`1m m m mm m -+=⋅+-()()()21`11mm mm m +⋅--=11m m -=+． 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．28．（2022·新疆）先化简，再求值：22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅⎪-+--+⎝⎭，其中2a =． 【答案】1【分析】根据平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把a 值代入求解即可．【详解】解：22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅⎪-+--+⎝⎭()()()2331113121a a a a a a a ⎡⎤+--=⋅-⋅⎢⎥--+-⎢⎥⎣⎦311112a a a a +⎛⎫=-⋅⎪--+⎝⎭ 2112a a a +=⋅-+ 11a =-， ∵2a =， ∵原式111121a ===--． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．29．（2022·四川乐山）先化简，再求值：211121xx x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x = 【答案】1x +1【分析】先将括号内的通分、分式的除法变乘法，再结合完全平方公式即可化简，代入x 的值即可求解． 【详解】21(1-)121xx x x ÷+++ 21121(-)11x x x x x x+++=⨯++ 211(1)1x x x x+-+=⨯+ 1x =+，∵x∵原式=11x +=．【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键． 30．（2022·湖南邵阳）先化简，再从－1，0，1x 值代入求值．211111x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭．【答案】11x + 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x 的值代入计算即可求出值． 【详解】解：211111x x x x ⎛⎫+÷⎪+--⎝⎭11(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x ⎡⎤-=+÷⎢⎥+-+--⎣⎦1(1)(1)x x x x x-=⋅+-=11x +， ∵x +1≠0，x -1≠0，x ≠0，∵x ≠±1，x ≠0当x=【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．31．（2022·陕西）化简：212111a a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭． 【答案】1a +【分析】分式计算先通分，再计算乘除即可．【详解】解：原式211112a a a a a++--=⋅-2(1)(1)12a a a a a +-=⋅-1a =+． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确地计算能力是解决问题的关键． 32．（2022·湖南株洲）先化简，再求值：2111144x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+++⎝⎭，其中4x =． 【答案】12x +，16 【分析】先将括号内式子通分，再约分化简，最后将4x =代入求值即可． 【详解】解：2221111111441114241(2)2x x x x x x x x x x x x x x +++⎛⎫+⋅=⋅=⋅= ⎪+++++++++⎝⎭+++， 将4x =代入得，原式1112426x ===++． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和完全平方公式是解题的关键．33．（2022·江苏扬州）计算：(1)(02cos 45π︒+ (2)22221121m m m m +⎛⎫+÷⎪--+⎝⎭【答案】(1)1 (2)12m - 【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式进行计算即可； （2）先合并括号里的分式，再对分子和分母分别因式分解即可化简； (1)解：原式=21-1 (2)解：原式=()()21211121m m m m m --⎛⎫+⋅ ⎪--+⎝⎭=()()211121m m m m -+⋅-+=12m -． 【点睛】本题主要考查分式的化简、特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式的计算，掌握相关运算法则是解题的关键．34．（2022·江西）以下是某同学化筒分式2113422x x x x +⎛⎫-÷⎪-+-⎭的部分运算过程： (1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)∵(2)见解析【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可． (1)第∵步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为：∵； (2)解：原式＝112(2)(2)23x x x x x ⎡⎤+--⨯⎢⎥+-+⎣⎦122(2)(2)(2)(2)3x x x x x x x ⎡⎤+--=-⨯⎢⎥+-+-⎣⎦122(2)(2)3x x x x x +-+-=⨯+-32(2)(2)3x x x -=⨯+-12x =+ 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 35．（2022·重庆）计算：(1)()()(2)x y x y y y +-+-；(2)2244124m m m m m -+⎛⎫-÷⎪⎝⎭-+． 【答案】(1)22x y -(2)22m - 【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； （2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可． (1)解：()()(2)x y x y y y +-+-=2222x y y y -+-=22x y -(2)解： 2244124m m m m m -+⎛⎫-÷⎪⎝⎭-+ =()()()222222m m m m m m -+-÷++- =()()()222222m m m m +-⨯+- =22m - 【点睛】本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．36．（2022·江苏连云港）化简：221311x x x x -+--． 【答案】11x x -+ 【分析】根据异分母分式的加法计算法则求解即可．【详解】解：原式2221311x x xx x +-=+-- 22131x x x x ++-=-22211x x x -+=-22(1)1x x -=- 2(1)=(1)(1)x x x -+- 11x x -=+． 【点睛】本题主要考查了异分母分式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键．37．（2022·四川达州）化简求值：222112111a a a a a a a ⎛⎫-+÷+ ⎪-+--⎝⎭，其中31a．【答案】11a +【分析】先将分子因式分解，再进行通分，然后根据分式减法法则进行计算，最后再根据分式除法法则计算即可化简，再把a 的值代入计算即可求值．【详解】解：原式＝()()()2211111a a a a a a a -+++÷+-- ()()()()2211111a a a a a +--=⋅-+1=1a +；当31a=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则以及正确的计算是解题的关键．38．（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数） (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n +1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n +1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明． (1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++， 第三个式子()11111452041441=+=+++，……∵第（n +1）个式子1111(1)n n n n =+++； (2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n++=+==+++++=左边， ∵1111(1)n n n n =+++． 【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．39．（2022·四川凉山）先化简，再求值：524(2)23m m m m-++⋅--，其中m 为满足－1＜m ＜4的整数．【答案】26--m ，当0m =时，式子的值为6-；当1m =时，式子的值为8-．【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定m 的值，代入计算即可得．【详解】解：原式(2)(2)52(2)223m m m m m m+--⎡⎤=+⋅⎢⎥---⎣⎦ 2452(2)()223m m m m m --=+⋅---292(2)23m m m m--=⋅--(3)(3)2(2)23m m m m m +--=⋅--2(3)m =-+26m =--， 20,30m m -≠-≠，2,3m m ∴≠≠，又m 为满足14-<<m 的整数，0m ∴=或1m =，当0m =时，原式262066m =--=-⨯-=-， 当1m =时，原式262168m =--=-⨯-=-，综上，当0m =时，式子的值为6-；当1m =时，式子的值为8-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．40．（2022·山东滨州）先化简，再求值：2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭，其中10(1tan 45π2)a -=︒+-【答案】22a a -+，0 【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a ，最后代入计算．【详解】解：2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭()22213111a a a a a +⎛⎫-=-÷ ⎪---⎝⎭()222411a a a a +-=÷--()()()222112a a a a a +--=⋅-+22a a -=+； ∵101tan 45π122)2(1a -=︒+-=+-=，∵原式2220222a a --===++． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．41．（2022·重庆）计算：(1)()()224x x x ++-；(2)2212a a bb b -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭．【答案】(1)224x +(2)2a b+ 【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解． (1)解：原式22444x x x x =+++-224x =+ (2)解：原式2()()a b b b a b a b -=⨯+-2a b=+ 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．42．（2022·山东泰安）（1）若单项式14m n x y -与单项式33812m n x y --是一多项式中的同类项，求m 、n 的值；（2）先化简，再求值：211111xx x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中1x =． 【答案】（1）m =2，n =-1；（2）21x +，4-【分析】（1）根据同类项的概念列二元一次方程组，然后解方程组求得m 和n 的值； （2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值． 【详解】解：（1）由题意可得33814m n m n -=⎧⎨-=⎩①②，∵-∵3⨯，可得：55n -=，解得：1n =-， 把1n =-代入∵，可得：(1)3m --=，解得：2m =，m ∴的值为2，n 的值为1-；（2）原式(1)(1)[](1)(1)(1)(1)x x x x x x x -++=⋅+-+-21(1)(1)(1)(1)x x x x x x x -++=⋅+-+-21x =+，当1x 时，原式21)12114=+=-+=-【点睛】本题考查同类项，解二元一次方程组，分式的化简求值，二次根式的混合运算，理解同类项的概念，掌握消元法解二元一次方程组的步骤以及完全平方公式222()2a b a ab b +=++的结构是解题关键．43．（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【答案】摩托车的速度为40千米/时【分析】设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时， 依题意，得：2020101.560x x -=，解得：x =40， 经检验，x =40是所列方程的根，且符合题意， 答：摩托车的速度为40千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 44．（2022·湖南怀化）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售． 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】(1)每件雨衣40元，每双雨鞋35元(2)()600.954052705600.848305a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩(3)最多可购买6套 【分析】（1）根据题意，设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，列分式方程求解即可； （2）根据题意，按套装降价20%后得到每套60元，根据费用=单价×套数即可得出结论； （3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式4830320a +≤，求解后根据实际意义取值即可．(1)解：设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，则4003505x x=+，解得35x =， 经检验，35x =是原分式方程的根，540x ∴+=，答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元；(2)解：根据题意，一套原价为354075+=元，下降20%后的现价为()75120%60⨯-=元，则()600.954,052705600.84830,5a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩； (3)解：320270>，∴购买的套数在5a ≥范围内，即4830320a +≤，解得145 6.04224a ≤≈， 答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套．【点睛】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．45．（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．【答案】(1)24/千米时(2)18千米/时【分析】（1）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲、乙恰好同时到达B地列方程求解即可．(1)解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，由题意得：0.5 1.20.52x x⨯=+，解得：20x，则1.224x=（千米/时），答：甲骑行的速度为24千米/时；(2)设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，由题意得：301303 1.2x x-=，解得15x=，经检验15x=是分式方程的解，则1.218x=（千米/时），答：甲骑行的速度为18千米/时．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．46．（2022·重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？【答案】(1)100米(2)90米【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x 米，原来每天修建()20x -米，根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x 的一元一次方程，解方程即可得出答案；（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y 米，技术更新后每天修建()120y +％米，根据水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y 的分式方程，解方程即可得出答案．(1)解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x 米，原来每天修建()20x -米，则有()5202600x x -+=解得100x =∵甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．(2)∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同∵两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y 米，技术更新后每天修建()120y +％米，即1.2y 米 则有5403609001.2100y y +=解得90y =经检验，90y=是原方程的解，符合题意∵乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题意，正确设出未知数，并列出方程，是解题的关键．47．（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【答案】张老师骑车的速度为15千米/小时【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．【详解】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车速度是3x千米/小时，根据题意得：454523x x=+，解之得15x=，经检验15x=是分式方程的解，答：张老师骑车的速度为15千米/小时．【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．48．（2022·江苏扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？【答案】每个小组有学生10名．【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设每个小组有学生x名，。
分式典型易错题难题
分式典型易错题难题并①分母不为0 (B HO ) ②分分(B =o)③分式值为0: 分④分子分母同号（ 分分值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方分式的概念一般地，如果心3表示两个整式, 那么式子4叫做分式・B整式与分式统称为有理式.⑴分式的分母中必然含有字母;⑵分式的分母的值不为0 ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开. 与分式有关的条件⑥ 分式值为仁分子分母值相等（A 二B ）⑦ 分式值为-仁 分子分母值互为相反数（A+B=O ）增根的意义:（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的程的根。
分式一在理解分式的概念时, 注意以下三点:一、分式的基本概念【例I】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式?X 2-2X +1x-12x + 4 5a宀9 --- — 9 2m 9 x 2⑸ 二f +y⑵要使【例2】代数式召+ |,字,亡1,畔丄，牛甞中分式有（）3 2x x + 1 2 y 23A.1个B.1个C・1个D.1个练习：下列代数式中：岑一”窖,五，是分式的有:兀 2 Qa + b x + y x-y二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：（1）丄（2）丄（3）_心（4）亠x x + 3 2a-b ?.»r +1（6）_^ ⑺耳x — 2x— 8 x + 3【例4】（1人为何值时，分式―一有意义?1 + —!—分式斗芋没有意义，余】的值.【例5】x为何值时，分式—有意义?X为何值2+右【例3】时，分式—丄〒有意义?2 +x ----------2 +x【例4】若分式X ：50有意义，贝y x ___________________________ ；1+亦若分式亠讐无意义，则X ______________________________1 + ----------250 x【例5】⑴若分式有意义，则x ________________ ；_____（x _3）（x +4）7⑵若分式需无意义，则（|x| —3）（x +4）7■X ______________ ； ____练习：当x有何值时，下列分式有意义仁（1）::（2）売（3）右（4）£（5）七十% _丄x2、要使分式互有意义，则x须满足的条件为x _3 73、若各有意义，则二（）.3 - a 3_aA.无意义B. 有意义C.为0D.以上答案都不对4、x为何值时，分式豊有意义?三、分式值为零的条件【例6】当x为何值时，⑴2^1x 下列分式的值为⑵耳x+10?2⑷」x +7(8)2⑸X »x -1-2x -32x - 4x2 2x (x 1)(x 2)【例7】如果分式2x -3x 2x -1的值是零，那么的取值是【例8】x为何值时，分式x2 93 x分式值为零?(5)2x -1 x 3(6)lx" 2x -5x —6(7)2x -16x 2 3x - 4(8)8x x 8(9)25 -x 2 (x-5)2(10)(x _8)(x 1)x -1(二)原方程化去分母后的练习：1、 若分式口的值为0,则x 的值为 _______ ・X I2、 当x 取何值时，下列分式的值为 0.2(1)泞(2)岁(3)( 4 )X +3X -4x —5x —625—x 2~2x -6x^5四、关于分式方程的增根与无解它包含两种情形：(一)原方程化去分母后的整式方程无解; 整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为 0,它是原方程的增根，从而原方程无解•现举例说明如下:【例9】解方程&売吩【例10】解方程丹只2-【例11】例3若方程汙专无解，则2-.【例12】(1)当a为何值时，关于x的方程二吕二二会产生x—2 x 一4 x+2增根(2)若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：a为何值时，关于x的方程土壬二弋无解？x-2 x -4 x + 2练习：1、当k为何值时，方程匸卜-\会出现增根？X — 3 X — 32、已知分式方程3 9=2有增根，求a的值。
中考分式方程组易错题50题含答案解析
中考分式方程组易错题50题含答案解析一、单选题1．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x 个零件，下列方程正确的是（ ） A ．240280130x x=- B ．240280130x x=-C ．240280130x x += D ．240280130x x-= 2．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月的水费是15元，今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多35m ．设该市去年居民用水的价格为x 元3/m ，根据题意下列方程正确的是（ ） A ．15305113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．15305113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．去分母解关于x 的方程322x mx x -=--产生增根，则m 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．把分式方程132x x=-转化成整式方程时，方程两边同乘（ ） A ．xB ．2xC ．()2x x -D ．()32x x -5．下列方程中，无实数解的是( ) A ．2+x ＝0B ．2﹣x ＝0C ．2x ＝0D ．2x＝06．一艘轮船在静水中的最大航速为40/km h ，它以最大航速沿河顺流航行100km 所用时间，和它以最大航速沿河逆流航行80km 所用时间相等，设河水的流速为/v km h ，则可列方程为（ ） A ．100804040v v =+- B ．100804040v v =-+ C ．100804040v v=+-D ．100804040v v=-+ 7．如果关于x 的方程3111a x x=---无解，则a ＝（ ） A 1B 3C 1D 138．某施工队挖掘一条长96米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则依题意列出正确的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．9．相距S 千米的两个港口A 、B 分别位于河的上游和下游，货船在静水中的速度为a 千米/时，水流的速度为b 千米/时，一艘货船从A 港口出发，在两港之间不停顿地往返一次所需的时间是（ ） A ．2Sa b+小时 B ．2Sa b -小时 C ．S S a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭小时D ．S S a b a b ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭小时10．下列分式方程有解的是（ ）． A ．210x x+=B ．123x -＝0 C ．2111x x x x +=-- D ．11x -＝1 11．若整数k 关于x 的一元一次不等式组422x x x k +<+⎧⎨>⎩的解集是2x >，且使关于y 的分式方程24111y k y y y---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数k 的值之和为（ ） A ．4-B ．2-C ．1-D ．012．若关于x 的方程211-=--x mxx x无解，则m =（ ） A ．1-B ．1或1-C ．1D ．1-或53-13．若关于x 的方程233x m x x -=--有正数解，则( )． A ．m ＞0且m ≠3 B ．m ＜6且m ≠3 C ．m ＜0 D ．m ＞614．分式方程21x -－31x +=0的解为（ ） A ．x =3B ．x =－5C ．x =5D ．无解15．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是 （ ） A ．B ．C ．D ．16．下列说法中，正确的是（ ） A ．若24x =，则2x =±B ．方程()2121x x x -=-的解为1x =C ．若分式222x xx ++的值为0，则0x =或2-D ．当12k =时，方程()222110k x k x +-+=的两个根互为相反数17．若关于aa 为整数，若关于x 的分式方程1122x a x x+-=---的解为正数，则满足条件的所有a 的值的和为（ ） A ．﹣7 B ．﹣10 C ．﹣12 D ．﹣1518．如果关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，且关于x 的分式方程233x a a x x-+=--有整数解，则 符合条件的整数a 有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．519．若整数a 使得关于x 的分式方程()16244ax x x x +=--有正整数解，且使得关于y 的不等式组11123132y y y a +-⎧->⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩有解，那么符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．23B ．20C ．16D ．1020．要使关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个实数根，且使关于x 的分式方程2244x a x x++=--的解为非负数的所有整数a 的个数为（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个二、填空题 21．若代数式62x +与4x的值相等，则x =_________. 22．分式方程1222x x x +=--的解是__________． 23．若51544x x x--=--有增根，则增根为______． 24．为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际每天施工多少平方米？设原计划平均每天施工x 平方米，则可列出方程为_______．25．用换元法解方程221321x xx x +-=+，若设21x y x+=，则原方程可化为关于y 的整式方程是_________．26．若分式方程231x x --1m x -=1有增根，则m 的值为_________27．分式方程233x x=-的解是______． 28．若关于x 的分式方程233a x x x +=--有增根，则a 的值_____． 29．关于x 的分式方程223111kx x x x +=--+会产生增根，则k =______． 30．分式方程123x x-=的解x 等于______ 31．分式方程321x -＝1的解是______． 32．用换元法解分式方程225111x x x x++=+时，若设21x y x =+，则原方程可以化为整式方程_____． 33．分式方程321xx =+的解为x =______． 34．若关于x 的方程232x mx +=-的解是非负数，则m 的取值范围是________． 35．方程12022x x-=-的解是______． 36．清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若设实际参加游览的同学，一共有x 人则可列分式方程________．37．一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红蓝黄色球若干个，其中红色球有6个，黄色球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色球的概率为25，那么随机摸出一个为红球的概率为____．38．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．已知去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是______元． 39．若关于x 的分式方程211x ax +=-的解为正数，则a 的取值范围为________．40．若2x =是方程113x a x -=+的解，则a =____．三、解答题41．甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，求甲平均每分钟打字的个数． 42．解方程 (1)1311x x x =+++ (2)22403191x x -=-- 43．一个盒子里有3个红球，2个绿球和4个黄球，球的大小、质地完全相同，搅均匀后从盒中随机地摸出1个球．(1)“摸到红球”是 事件， “摸到黑球”是 事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”)(2)如果要使摸到盒子里黄球的概率为12，则需要往盒内再放入多少个黄球？(3)盒内球的数量不变，你怎样改变各色球的数目，使得每种颜色球被取出的可能性一样大？说明理由．44．台风“天鸽”登录珠海，距离珠海市180千米处的某武警部队立即派车前往救灾，按原计划速度匀速行驶60千米后，接上级通知，需紧急赶往目的地．于是以原速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前12分钟到达，求原计划的行驶速度． 45．解方程： (1)321x x =+ (2)11322xx x-=--- 46．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天?47．某幼儿园计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的价格与一件乙种玩具的价格的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的价格分别是多少元？（2）该幼儿园计划用3500元购买甲、乙两种玩具，由于采购人员把甲、乙两种玩具的件数互换了，结果需4500元，求该幼儿园原计划购进甲、乙两种玩具各多少件？ 48．解方程：21333x x x-+=-- 49．分式方程2212212x x x x--=-的解为多少？50．解方程和不等式组：⑴ 212112x x x =--- ⑴ 4111123x xx x +>-⎧⎪⎨≤+⎪⎩（）参考答案：1．A【分析】设甲每天做x 个零件，根据甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相同，列出方程即可．【详解】解：设甲每天做x 个零件，根据题意得：240280130x x =-， 故选：A ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率． 2．B【分析】利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m 3，进而得出等式即可．【详解】设去年居民用水价格为x 元3/m ，根据题意列方程： 30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键． 3．D【分析】先把分式方程化为整式方程，由于原分式方程有增根，则有x−2＝0，得到x ＝2，即增根只能为2，然后把x ＝2代入整式方程即可得到m 的值． 【详解】解：方程两边乘（x−2）得，x−3＝m ， ⑴分式方程有增根， ⑴x−2＝0，即x ＝2， ⑴2−3＝m ， ⑴m ＝−1． 故选：D ．【点睛】本题考查了根据分式方程有增根，求方程中的参数，掌握增根的定义是解题关键． 4．C【分析】根据最简公分母的确定方法确定分式132x x-、的最简公分母即可解答．【详解】解：⑴分式132x x-、的最简公分母()2x x-，⑴把分式方程132x x=-转化成整式方程时，方程两边同乘()2x x-．故选C．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5．D【分析】根据解方程，可得答案．【详解】解：A、x+2＝0，解得x＝﹣2，故A正确；B、2﹣x＝0，解得x＝2，故B正确；C、2x＝0，解得x＝2，故C正确；D、2x，方程无解，故D错误；故选D．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．6．C【分析】分析题意，由江水的流速为vkm/h，可知顺水速度为(40+v)km/h，逆水速度为(40-v)km/h；根据题意可得等量关系：以以最大航速沿河顺流航行100km所用时间和它以最大航速沿河逆流航行80km所用时间相等，根据顺流时间=逆流时间，列出方程即可.【详解】设水的流速为vkm/h，根据题意得：10080 4040v v=+-【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，根据路程、速度、时间的关系，找出等量关系是解题的关键．7．B【分析】先去分母，化成整式方程，令x-1=0，确定x的值，回代x＝4－a，得a值．【详解】⑴3111ax x=---，⑴去分母，得3=x-1+a，整理，得x＝4－a，令x-1＝0，得x=1，⑴4－a ＝1， ⑴a ＝3． 故选B ．【点睛】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解的意义是解题的关键． 8．C【详解】设原计划每天挖x 米，原来所用时间为，开工后每天比原计划多挖2米，现在所用时间为， 可列出方程：﹣=4．故选C ．9．D【分析】先分别算出顺水和逆水的速度,再根据时间=路程÷速度,算出往返时间. 【详解】依据顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度, 则顺水速度为a b +,时间为Sa b +,逆水速度为a b -,时间为S a b-, 所以往返时间为S S a b a b++-. 故选D【点睛】本题主要考查了列代数式，熟练掌握顺水逆水速度,以及时间、路程、速度三者直接的关系是解题的关键. 10．D【分析】分别按照解分式方程的步骤去分母，解整式方程可判断方程的解的情况． 【详解】A 、方程两边都乘以x 得：x 2+1=0，此整式方程无解，故原分式方程无解； B 、方程两边都乘以2x -3得：1=0，不成立，故方程无解；C 、方程两边都乘以x -1得：2x =x +1，解得x =1，而x =1时分母x -1=0，故原分式方程无解；D 、方程两边都乘以x -1得：x -1=1，解得x =2，当x =2时，分母x -1=1≠0，x =2是原分式方程的解； 故选：D ．【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 11．B【分析】根据不等式组的解集确定k 的取值范围，再根据分式方程有非负整数解得出k 的所有可能的值，再进行计算即可．【详解】解：解不等式422x x +<+得：2x >，⑴整数k 使关于x 的一元一次不等式组422x x x k +<+⎧⎨>⎩的解集是2x >，⑴2k ≤， 解分式方程24111y k y y y ---=--得： 32y k =+， 则32k +是非负整数， ⑴1k =或1k =-或3k =-，当1k =-时，1y =是方程的增根，舍去， ⑴1k =或3k =-，⑴符合条件的所有整数k 的值之和为132-=-， 故选：B ．【点睛】本题考查分式方程的整数解，解一元一次不等式组，掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，理解分式方程的整数解的意义是正确解答的前提． 12．B【分析】方程无解，说明原方程分母为零或化为整式方程后，x 的系数为0，分别解出m 的值即可． 【详解】解：211-=--x mxx x去分母，方程两边同时乘以（x ﹣1），得 2﹣x ＝﹣mx ∵方程211-=--x mxx x无解， ∴原分式方程分母为零或整式方程无解， ①当x ﹣1＝0时，则x ＝1是方程的增根， ∴2﹣1＝﹣m ， ∴m ＝﹣1；②当整式方程2﹣x ＝﹣mx 无解时， ﹣x +mx + 2＝0，（m -1）x ＝-2，m -1＝0，m ＝1，∴m 的值为1或1-．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根问题，计算时要小心，容易丢解，明确增根是令分母等于0的值．13．B【分析】首先根据解分式方程的方法求出x 的值，然后根据解为正数以及x ≠3求出m 的取值范围．【详解】解：将方程的两边同时乘以(x -3)可得：x -2(x -3)=m ，解得：x =6-m ，根据解为正数可得：0x >且3x ≠，则：60m ->且63m -≠，解得：6m <且3m ≠．故选B ．【点睛】本题主要考查的就是解含有参数的分式方程以及分式的增根问题．在解决这个问题的时候很多同学容易忽视这个增根，从而导致答案错误.如果本题将正数解改为负数解，对于增根我们就没有必要再去考虑，所以同学们一定要注意增根是否在给出的解的范围之内，从而进行解答．14．C【分析】方程两边同时乘以()()11x x -+去掉分母，在解一元一次方程求出x 的值，最后检验即可得答案． 【详解】21x -－31x +=0 方程两边同时乘以()()11x x -+得()()21310x x +--=，去括号得:22330x x +-+=，移项合并同类项可得：5x -=-，解得5x=，经检验可得5x=是原分式方程的根，故选：C．【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程主要是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程，最后要检验，避免有增根．15．A【详解】试题解析：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，⑴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，⑴提前5天完成任务，⑴﹣=5，故选A.考点：由实际问题抽象出分式方程．16．A【分析】根据解一元二次方程、分式方程的方法进行判断，根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式判定方程根的关系．【详解】A、运用直接开平方法解，得x=±2．故此选项正确；B、运用因式分解法，得x=1或12．故此选项错误；C、当x=-2时，x+2=0，是分式方程的增根，则原方程的根是x=0．故此选项错误；D、当k=12时，有方程12x2+1=0，此方程没有实数根．故此选项错误．故选A．【点睛】此题综合考查了一元二次方程的解法、分式方程的解法以及运用一元二次方程的根与系数的关系的结论时，前提是方程必须有实数根．17．C50a-≤<，再根据分式的解12ax-=为正数，可得1a>，确定a的取值范围，当2x=时的情形除外，求得所有正数解a，再求其和即可【详解】⑴. 500a a +≥⎧∴⎨->⎩50a ∴-≤< ⑴1122x a x x+-=--- 12x a x ++=-+解得 12a x -= 102a -> 1a ∴<2x ≠122a -∴≠ 3a ≠-综合⑴⑴：50,3a a -≤<≠-50,3a a -≤<≠-，a 为整数5,4,2,1a ∴=----，其和为542112----=-故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，分式方程的解法，不等式的整数解，解题的关键是综合运用以上知识．18．B【分析】由一元二次方程根的判别式求得a 的取值范围，再解分式方程，利用解为整数分析得出答案．【详解】解：因为：关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，所以：244(3)0a -⨯-≥，且0a ≠，解得：43a ≥-且0a ≠，因为：233x a a x x-+=--， 所以：23x a ax a -+=-，所以：(1)22a x a -=+，当1a =时，方程无解，当1a ≠时，方程的解为224211a x a a +==+--， 因为x 为整数且3x ≠，所以1a -是4的约数，所以11,12,14,a a a -=±-=±-=±所以a 的值为：3,1,0,2,3,5--， 又因为：43a ≥-且0a ≠，1,a ≠ 3x ≠，所以3,0,5a a a =-==不合题意舍掉，所以a 的值为：1,2,3,-．故选B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解的情况，掌握知识点并能注意到分式方程的增根是解题关键．19．C【分析】解不等式组和分式方程，得出关于y 的范围及x 的值，根据不等式组有解和分式方程的解为正整数解，得出a 的范围，进而可得整数a ，再把整数a 相加即可． 【详解】解：11123132y y y a +-⎧->⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩①②， 解不等式①得：1y >，解不等式②得：25y a ≤-，⑴不等式组有解，⑴不等式组的解为：125y a <≤-，⑴125a <-，解得：3a >；()16244a x x x x +=-- 解得：82x a =-， ⑴分式方程有正整数解，⑴2a -是8的约数，且8 42a ≠-，802a ≠-，2a ≠，解得：3a =或6或10，又⑴3a >，⑴符合条件的所有整数a 为6、10，⑴符合条件的所有整数a 和为：61016+=．故选：C【点睛】本题考查了分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于a 的范围是解本题的关键．20．B【分析】根据一元二次方程根的情况得到0a ≠且()224?10a ∆=--≥解得：1a ≥-且0a ≠，再把分式方程化简求值得：6x a =-+，因为解为非负数，60a -+≥且64a -+≠即6a ≤且2a ≠，所以16a -≤≤且0,2a a ≠≠，即可得出满足题意的整数解．【详解】解：关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个实数根则2024(1)0a a ≠⎧⎨∆=--⎩1a ∴≥-且0a ≠关于x 的分式方程2244x a x x++=-- 去分母得：(2)2(4)x a x -+=-解得：6x a =-+分式方程的解为非负数60a ∴-+≥且64a -+≠即6a ≤且2a ≠16a ∴-≤≤且0,2a a ≠≠∴满足题意的整数a 的值为1,1,3,4,5,6-故答案为：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、分式方程的解，注意二次项系数不为0及分式方程的解要有意义，这是此题的易错点．21．4 【分析】根据代数式62x +与4x的值相等，列出等式，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：642x x=+，去分母得：64(2)x x =+，移项合并同类项得：28x =，解得：4x =．经检验，x =4是原方程的解，故答案为：4．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键在于根据题意列出方程，解方程时注意按步骤进行，并且需要验根．22．x 53= 【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】两边同乘以2x -去分母得：﹣x +1=2x ﹣4，解得：x 53=， 经检验x 53=是分式方程的解． 故答案为：x 53=． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．4x =【分析】根据分式方程增根的定义：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使分式的分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根，即可求出.【详解】解：⑴51544x x x--=--有增根 ⑴40x -=解得：4x =故答案为：4x =.【点睛】此题考查的是分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义是解决此题的关键. 24．3300033000111.2x x -= 【分析】设原计划平均每天施工x 平方米，则实际平均每天施工(120%)x +平方米，由题意列出分式方程即可【详解】设原计划平均每天施工x 平方米，则实际平均每天施工(120%)x +平方米，根据题意得：3300033000111.2x x -=． 故答案为：3300033000111.2x x-=． 【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．2230y y --= 【分析】把21x y x+=代入原方程，去分母化简即可． 【详解】解：把21x y x+=，代入原方程得，32y y -=， 去分母，得2230y y --=．故答案为：2230y y --=．【点睛】本题考查了换元法解方程，解题关键是熟练运用代入法进行换元，准确化简方程．26．3 【详解】试题分析：先把分式方程231x x --1m x -=1去分母得，再根据增根的定义可得，最后把代入方程即可求得结果. 方程231x x --1m x -=1去分母得由分式方程231x x --1m x -=1有增根 所以，解得.考点：分式方程的增根点评：解题的关键是熟练掌握使分式方程的最简公分母等于0的根就是分式方程的增根. 27．9x =【分析】观察可得最简公分母是x （x -3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘x （x -3），得3x -9=2x ，解得x =9．检验：把x =9代入x （x -3）=54≠0．⑴原方程的解为：x =9．故答案为：x =9．【点睛】本题考查了解分式方程，掌握节分是方程的方法和步骤是解题的关键． 28．3【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到30x -=，据此求出x 的值，代入整式方程求出a 的值即可．【详解】解：去分母，得：2(3)a x x -+=-，由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程，可得：3a =．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．29．4-或6##6或-4【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k 的值．【详解】解：方程两边同时乘以(1)(1)x x +-，得：2(1)+3(1)x kx x +=-，即(1)5k x -=-最简公分母为(1)(1)x x +-原方程的增根为1x =±将1x =代入整式方程得：4k =-，将=1x -代入整式方程得：6k =，故答案为：4-或6，【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：⑴化分式方程为整式方程；⑴把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握分式方程增根的含义是解题的关键．30．【详解】解方程：去分母得： 移项得： 系数化为1得：31．x=2．【分析】本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为（x+1）方程去分母后化为整式方程求解． 【详解】解：321x -＝1 3=21x -x=2经检验x=2是原方程的解故答案为：x=2．【点睛】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键，注意分式方程结果要检验．32．2510y y +-=【分析】本题考查用换元法化分式方程为整式方程的能力，注意观察方程中分式与y 的关系，代入换元． 【详解】解：设21x y x =+，则2551x y x =+，211x x y +=， 代入原方程得151y y+=， 整理得，2510y y +-=．故答案为：2510y y +-=．【点睛】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．33．2【分析】去分母，移项、合并同类项，再对所求的根进行检验即可求解． 【详解】解：321x x =+， 322=+x x ，2x =， 经检验2x =是方程的解．故答案为：2．【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．34．6m ≥-且4m ≠-【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m 的范围，但是必须保证分母不为零即可．【详解】解：分式方程去分母得：2x +m =3x -6，解得：x =m +6，由分式方程的解是非负数，得到m +6≥0，且m +6≠2，解得：6m ≥-且4m ≠-，故答案为：6m ≥-且4m ≠-．【点睛】本题考查分式方程的解，分式方程有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．35．25x = 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：240x x --=， 解得：25x =， 检验：把25x =代入得：220x x -≠（）， ∴分式方程的解为25x =． 故答案为：25x =． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 36．600600105x x-=- 【分析】关键描述语是：“每个同学比原来少分摊了10元车费”；等量关系为：原有的同学每人分担的车费－实际每人分担的车费＝20；据此列出分式方程即可．【详解】解：设实际参加游览的同学一共有x 人， 由题意得：600600105x x -=-， 故答案为：600600105x x-=-． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．37．625【详解】设蓝色球有x 个，由题意得2695x x =++ ， 解之得10x =⑴随机摸出一个为红球的概率为66691025=++ . 38．4【分析】由去年这种水果批发销售总额为10000元，可得今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为（x +1）元，可列出方程：12000100010001x x -=+，求得x 即可 【详解】解：设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为（x +1）元 今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元 ⑴120001000010001x x -=+ 整理得x 2-x -12=0解得x =4或x =-3经检验x =4或-3都是分式方程的解（x =-3不合题意，舍去）．故这种水果今年每千克的平均批发价是4元．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 39．1a <-且2a ≠-##a ≠-2且a ＜-1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数确定出a 的范围即可．【详解】解：去分母得：21x a x +=- ，解得：1x a =-- ，由分式方程的解为正数，得到10a --＞ ，且11a --≠ ， 解得：a ＜-1且a ≠-2，故答案为：1a <-且2a ≠-．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．40．1【分析】把2x =代入方程113x a x -=+，解一元一次方程可得. 【详解】把2x =代入方程113x a x -=+，得 21213a -=+， 去分母，得6-3a=3解得a=1故答案为1【点睛】考核知识点：分式方程的解.解一元一次方程是关键.41．甲平均每分钟打60个字．【详解】分析：设甲平均每分钟打x 个字，则乙平均每分钟打（x ＋20）个字，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．详解：设甲平均每分钟打x 个字，则乙平均每分钟打（x+20）个字， 根据题意得：135x =18020x +， 解得：x=60，经检验，x=60是原分式方程的解．答：甲平均每分钟打60个字．点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 42．(1)2x =-(2)无解【分析】（1）去分母化为整式方程即可解决问题，最后检验；（2）去分母化为整式方程即可解决问题，最后检验．【详解】（1）1311x x x =+++ 方程两边同乘()1x +，得：()131x x =++解得：2x =-检验：当2x =-时，()10x +≠所以，原分式方程的解为：2x =-．（2）22403191x x -=-- 方程两边同乘()()3131x x +-，得：()23140x +-=， 解得：13x =， 检验：当13x =时，()()31310x x +-=，因此13x =不是原分式方程的解， 所以，原分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．43．(1)随机，不可能(2)需要往盒子里再放入1个黄球(3)将1个黄色球换成绿色球，理由见解析【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的定义即可得出答案；（2）当黄球个数是总数的一半时，摸到盒子里黄球的概率为12，由此可解；（3）让每种颜色球的个数变成一样即可．(1)解：盒子里有红球、绿球和黄球，因此“摸到红球”是随机事件，“摸到黑球”是不可能事件，故答案为：随机，不可能；(2)解：设需要往盒内再放入x 个黄球,根据题意得：413242x x +=+++ 解得：x =1，经检验：x =1为原方程的解，答：需要往盒子里再放入1个黄球．(3)。
中考分式方程组易错题50题-含答案
中考分式方程组易错题50题含答案解析一、单选题1．在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少10%．设甲队每小时检测x 人，根据题意，可列方程为（ ） A ．()600500110%15x x =⨯-- B ．()600500110%15x x ⨯-=- C ．()600500110%1515x x =⨯--- D ．()600500110%15x x⨯-=- 2．如果分式方程555x mx x =--无解，那么m 的值为（ ） A ．0B ．-1C ．5D ．13．若3x =是分式方程2522x m x x-=--的解，则m 的值为（ ）A．B ．C ．2 D ．04．已知方程3233x x x=---有增根，则这个增根一定是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．若关于x 的方程2-3-x x m x+=2的解为x=4,则m= ( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．66．某企业车间生产一种零件，3位工人同时生产，1位工人恰好能完成组装，若车间共有工人60人，如何分配工人才能使生产的零件及时组装好．设分配x 名工人生产，由题意列方程，下列选项错误的是（ ） A ．x +3x =60B ．1603x x -=C ．6013x x -= D ．x =3（60-x ）7．学校用24000元和15000元分别购买了相同本数的科普类图书和文学类图书．已知科普类图书平均每本价格比文学类图书的平均每本价格多9元．设文学类图书的平均每本价格为x 元，则下列列出的方程中正确的是（） A ．24000150009x x =- B ．24000150009x x =- C ．24000150009x x=+ D ．24000150009x x=+ 8．已知关于x 的分式方程433x kx x-=--的解为非负数，则k 的取值范围是（ ）A ．12k ≤-且3k ≠-B ．12k ≥-且3k ≠-C ．12k >-且3k ≠-D ．12k <-9．若关于x 的分式方程3233x a a x x+=--无解，则a 的值为（ ） A ．1a =B ．12a = C ．1或12D ．1-或12-10．关于x 的分式方程4111ax x x =+--有增根，则a 的值是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．1或411．对于非零实数a 、b ，规定a *b ＝11b -﹣11a +，若（2x ﹣1）*2＝2（ ） A ．﹣2B ．12C ．﹣12D ．不存在12．把分式方程211xxx -=+化为整式方程正确的是( ) A ．22(1)1+-=x x B ．22(1)1++=x x C ．22(1)(1)+-=+x x x xD ．22(1)(1)-+=+x x x x13．炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．14．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部需x 个月，则根据题意可列方程中错误的是（ ）A ．311212x x x ⎛⎫++= ⎪-⎝⎭B ．32212x x x ++=- C ．32212x x ++=- D ．3212x x +=- 15．已知关于x 的分式方程311x xm +--＝1的解是非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜4B ．m ＜4，且m ≠3C ．m ≤4D ．m ≤4，且m ≠316．若关于x 的方程x a cb x d-=-有解,则必须满足条件( ) A ．c≠d B ．c≠-dC ．bc≠-ad C ．a≠b17．方程130x 2x-=-的解为A ．x=2B ．x=－2C ．x=3D ．x=－318．若关于x 的分式方程11222k x x-+=--的解为非负整数，且关于y 的不等式组13(42)122523y y k y y -≤+-<+⎧⎪⎨⎪⎩至少有五个整数解，则所有满足条件的整数k 的个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个19．分式方程﹣2=的解是（ ） A ．x=±1B ．x=﹣1+C ．x=2D ．x=﹣120．已知关于x 的方程22x mx +-＝3的解是正数，则m 的取值范围为( ) A ．m ＞－6 B ．m ＜－6且m≠－4 C ．m ＜－6D ．m ＞－6且m≠－4二、填空题21．一个不透明的袋子中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.33附近，则估计袋子中的红球有________个． 22．关于x 的方程244x ax x -=++有增根，则a 的值为______． 23．分式方程：31122x x x +=++的解为_______． 24．分式方程5302x x-=-的根为_____ 25．若关于x 的分式方程1x x -－1m x-＝3有增根，则这个增根是_____． 26．方程1544xx x --=--的解是________． 27．已知分式方程2213712x x x x -+=-，设21x y x-=，那么原方程可以变形为__________28．若关于x 的分式方程322133x nxx x--+=---无解． 则常数n 的值是______． 29．方程2111xx x+=-+的解是______． 30．已知甲、乙两地间的铁路长1480千米，列车大提速后，平均速度增加了70千米/时，列车的单程运行时间缩短了3小时．设原来的平均速度为x 千米/时，根据题意，可列方程为______________．31．若分式方程1x x a++=2的一个解是x =1，则a =____． 32．有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x 千克，则根据题意列出的方程是______________________33．端午将至，吃粽子是中华民族的传统．粽子馅料有很多品种，比如素馅，肉馅，甜味馅．去年某商人抓住商机，购进素馅，肉馅，甜味馅三种粽子．已知销售每袋素馅粽子的利润率为10%，每袋肉馅粽子的利润率为20%，每袋甜味馅粽子的利润率为30%，当售出的三种馅料粽子的袋数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的三种馅料粽子的袋数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%，那么当售出的三种馅料粽子的袋数之比为2：3：4时，这个商人得到的总利润率为__．34．有四张正面分别标有数学﹣3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a ，则使关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有正整数解得概率为___________ 35．若121x -与1(4)3x +互为倒数，则x=_______. 36．若关于x 的分式方程222x m x x=---的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为____________.37．已知12322kx x x x --=--为分式方程，有增根，则k =_____． 38．若关于x 的分式方程22x －2ax +＝1的解为负数，则a 的取值范围是____________． 39．要使关于x 的方程121(2)(1)x x ax x x x +-=+-+-的解是正数，a 的取值范围是___．. 40．若关于x 的分式方程21x mx -+=3的解是负数，则字母m 的取值范围是 ___________ .三、解答题41．某超市为了促销，将本来售完后可得1800元的奶糖和900元的水果糖混合后配成杂拌糖出售.这种糖每千克比奶糖便宜4元，比水果糖贵6元.已知这两种糖混合前后质量相同，不混合卖出的总钱数与混合后卖出的总钱数也相同，求杂拌糖的单价.42．某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：若用1800元购进甲种商品的件数与用900元购进乙种商品的件数相同．（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？（2）若超市销售甲、乙两种商品共100件，其中销售甲种商品为a件（a≥40），设销售完100件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w 的最小值．43．在疫情期间，某药店用4000元购进若干包医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，购进的包数是第一批的1.5倍，但每包的进价比第一批进价多1元，请解答下列问题：(1)求购进第一批医用口罩有多少包？(2)若两批医用口罩按相同的价格售出，且售完后总利润不高于3500元，那么每包口罩的最高售价是多少元？44．某市在道路改造过程中，需要甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．问甲、乙两个工程队每天各能铺设多少米？45．计算：(1)解不等式组：()3125212132x xx x⎧-<-+⎪⎨-+->⎪⎩①②(2)化简：22 11112aa a a-⎛⎫-⋅⎪-+⎝⎭(3)分解因式：3224129a ab ab-+(4)解分式方程：311 44xx x-+= --46．某化工厂用A，B两种型号的机器人搬运化工原料，已知每个A型机器人比每个B型机器人每小时多搬运30kg，每个A型机器人搬运900kg所用的时间与每个B型机器人搬运600kg所用的时间相等．(1)求A，B两种机器人每个每小时分别搬运多少化工原料？(2)某化工厂有4500kg化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由8个A 型机器人搬运2小时，再增加若干个B 型机器人一起搬运，问至少增加多少个B 型机器人才能按要求完成任务？ 47．解下列分式方程： (1)2236 111x x x +=+-- (2)12222x x x+=--． 48．解分式方程： （1）5x ＝72x - （2）13x -＝2+3xx- 49．解分式方程 (1)21233x x x -=--- (2)26124x x x -=-- 50．为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A 、B 两种型号的学习用品共1000件．已知B 型学习用品的单价比A 型学习用品的单价多10元，用180元购买B 型学习用品的件数与用120元购买A 型学习用品的件数相同． （1）求A 、B 两种学习用品的单价各是多少元？（2）若购买这批学习用品的费用不超过28000元，则最多购买B 型学习用品多少件？参考答案：1．A【分析】设甲队每小时检测x 人，则乙队每小时检测()15x -人，甲队检测600人的时间为600x 小时，乙队检测500人的时间为50015x -小时，再根据甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少10%列出方程即可．【详解】解：设甲队每小时检测x 人，则乙队每小时检测()15x -人， 由题意得()600500110%15x x =⨯--， 故选A ．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 2．D【分析】先解出分式方程的解，然后根据分式方程无解得出5x = ，代入分式方程的解中即可求出m 的值．【详解】解分式方程为5x m = ∵分式方程555x mx x =--无解 ∵5x = ∵55m = 解得1m = 故选：D ．【点睛】本题主要考查分式方程无解问题，掌握分式方程无解问题的解法是解题的关键． 3．A【分析】去分母，得到整式方程，再把x=3代入即可求解. 【详解】去分母得，25x m =-， ∵分式方程的解为3x =，∵235m =-，解得m = 故选A.【点睛】此题主要考查分式方程的解，解题的关键是熟知分式方程去分母的方法. 4．B【分析】根据增根是使最简公分母为0的x的值，找到最简公分母即可求出相应的增根．【详解】分式方程的最简公分母为3x-，∵分式方程有增根，30x∴-=，解得3x=，故选：B．【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程的增根是如何产生的是解题的关键．5．A【分析】把x=4代入原方程，再解出m即可.【详解】把x=4代入原方程得，4+24m-=2，解得m=3，故选A.【点睛】此题主要考查分式方程的解.6．A【分析】设分配x名工人生产，由题意可知，完成组装的工人有（60-x）人，根据生产工人数和组装工人数的倍数关系，可列方程．【详解】解：设分配x名工人生产，由题意可知，完成组装的工人有（60-x）人，由3位工人生产，1位工人恰好能完成组装，可得：x=3（60-x）∵故D正确；将∵两边同时除以3得：60-x=13x，则B正确；将∵两边同时除以3x得：60xx-=13，则C正确；A选项中，x为生产工人数，而生产工人数是组装工人数的3倍，而不是相反，故A错误．综上，只有A不正确．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，明确题中的数量关系，是解题的关键．7．D【分析】根据购买了相同本数的科普类图书和文学类图书列分式方程即可解答． 【详解】解：由科普类图书平均每本价格比文学类图书的平均每本价格多9元，可知科普类图书平均每本（x+9）元，依题意得， 24000150009x x=+ 故选：D ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，是重要考点，找准等量关系，列出方程是解题关键． 8．B【分析】先把分式方程化为整式方程，然后得出分式方程的解，进而问题可求解． 【详解】解：由分式方程433x k x x -=--可得：123kx +=， ∵该分式方程的解为非负数， ∵1203k +≥，且1233k+≠， 解得：12k ≥-且3k ≠-； 故选B ．【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的解法是解题的关键． 9．C【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【详解】解：3233x aa x x+=-- 分式方程两边同乘以（3-x ）得：32(3)x a a x -+=-(21)3a x a -=要使原分式方程无解，则有以下两种情况： 当210a -=时，即12a =，整式方程无解，原分式方程无解．当210a -≠时，则321ax a =-，即3321a a =-，原分式方程无解产生增根． 解得1a =综上所述可得：1a =或12时，原分式方程无解． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了分式方程无解求参数的值，熟知分式方程无解的两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解是解决本题的关键． 10．C【分析】增根是指代入分式方程后分母的值为0的根，因此可将原方程去分母，然后将增根代入求a 的值．【详解】解：去分母，得 ax =4+x -1∵， ∵方程有增根， 所以x -1=0， ∵x =1是方程的增根， 将x =1代入∵得， a =4+1-1， ∵a =4， 故选C ．【点睛】本题考查了分式方程的增根，正确理解分式方程增根的含义是解题的关键． 11．C【分析】根据新定义将所求式子化为普通方程，求出方程的解即可得到x 的值． 【详解】解：∵a *b ＝11b -﹣11a +， ∵（2x ﹣1）*2＝2， ∵1﹣12x=2， 去分母得：2x ﹣1＝4x ， 解得：x ＝﹣12，经检验x ＝﹣12是分式方程的解．故选：C．【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．12．C【详解】方程两边同乘最简公分母x(x+1)，得：2（x+1）-x2=x（x+1），故选C.13．D【详解】试题分析：关键描述语为：“两队同时开工且恰好同时完工”，那么等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间．解：乙队用的天数为：，甲队用的天数为：．则所列方程为：．故选D．考点：由实际问题抽象出分式方程．14．D【分析】设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据甲队施工5个月的工程量+乙队施工2个月的工程量=总工程量1列出方程，然后依次对各方程的左边进行变形即可判断．【详解】解：设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据题意，得：5212x x+=-；A．3112()12x x x++=-的左边化简得5212x x+=-，所以本选项不符合题意；B．32212x x x++=-可变形为5212x x+=-，所以本选项不符合题意；C．3+2212x x+=-可变形为5212x x+=-，所以本选项不符合题意；D．3212x x+=-，与上述方程不符，所以本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找准相等关系“工作效率⨯工作时间=工作量”列方程，是解题的关键．15．D【分析】首先去分母，计算出x＝4﹣m，再根据解是非负数可得4﹣m≥0，x﹣1≠0，进而可得4﹣m≠1，再解即可．【详解】解：311x xm+--＝1，31 x-﹣1mx-＝1，3﹣m＝x﹣1，x＝4﹣m，∵解是非负数，∵x≥0，∵4﹣m≥0，∵m≤4，∵x﹣1≠0，∵x≠1，∵4﹣m≠1，∵m≠3，∵m≤4，且m≠3，故选：D．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，关键是注意分式方程有解时，最简公分母不为零．16．A【详解】方程变形为(c+d)x=ad+bc，所以当c+d≠0，即c≠d时，原方程有解，故选A. 17．C【详解】分析：首先去掉分母，观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解：去分母，得：x－3（x－2）＝0，即x－3x＋6＝0，解得：x＝3，经检验x＝3是原方程的解．故选C．18．A【分析】求出方程的解，由方程的解为非负整数，得到k的取值范围；解不等式组，由不等式组至少有五个整数解，得到不等式，求出k的取值范围，由此得到答案．【详解】解：方程11222kx x-+=--两边都乘以x-2，得1+2（x-2）=k-1，解得22kx+ =，∵方程11222kx x-+=--的解为非负整数，∵202k +≥，且222k +≠， 解得2k ≥-，且2k ≠； 解不等式13(42)122y y -≤+，得4y ≤， 解不等式523k y y -<+，得37k y ->， ∵不等式组13(42)122523y y k y y -≤+-<+⎧⎪⎨⎪⎩至少有五个整数解， ∵347k y -<≤，且最少的五个整数解分别为0、1、2、3、4、， ∵307k -<， 解得k <3，∵23k -≤<，且2k ≠，∵方程11222k x x-+=--的解22k x +=为非负整数， ∵所有满足条件的整数k 为-2，0，共2个，故选：A ．【点睛】此题考查了由分式方程的解求参数，由不等式组解集的情况求参数，正确掌握解分式方程及解不等式组的法则是解题的关键．19．D【详解】试题分析：﹣2=，(2)2(1)(2)3,x x x x +--+=21x =，1,x =± 当x=1是，分母为0，所以是增根，所以x=-1，故选D ．考点：分式方程的解．20．D【详解】解关于x 的方程232x m x +=-得：6x m =+， ∵原方程的解为正数， ∵62060m m +-≠⎧⎨+>⎩，解得：6m >-且4m ≠-. 故选D.点睛：关于x 的方程232x m x +=-的解为正数，则字母“m”的取值需同时满足两个条件：（1）60x m =+>；（2）6x m =+不能是增根，即620m +-≠.21．12【分析】根据口袋中有6个白球和若干个红球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．【详解】解：∵通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.33附近，∵从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.33，设袋子中红球有x 个， 根据题意，得：61=+63x ， 解得x =12，经检验：x =12是分式方程的解，∵估计袋子中的红球有12个，故答案为：12．【点睛】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．22．6-【分析】先根据方程有增根求出x 的值，再将原分式方程去分母，最后将4x =-代入求值即可．【详解】解：关于x 的方程244x a x x -=++有增根，则4x =-是增根， 将原分式方程去分母得， 2x a -=，而4x =-是方程2x a -=的解，所以6a =-，故答案为：6-．【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：∵让最简公分母为0确定增根；∵化分式方程为整式方程；∵把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x =-4，将x =-4代入整式方程计算即可求出a 的值．23．14x =##0.25x = 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2223x x ++=， 解得：14x =， 检验：把14x =代入得：2(1)0x +≠， ∴分式方程的解为14x =． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是掌握解分式方程注意要检验．24．x =-3 【详解】解：5302x x-=-， 去分母得：5x -3(x -2)=0，解得：x =-3，检验：当x =-3时，x (x -3)≠0，所以，原分式方程的解为x =-3，故答案是：x =-3．25．x =1.【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先让最简公分母x-1=0,得到x=1【详解】∵原方程有增根∵最简公分母x-1=0解得x=1故答案为:x=1.【点睛】此题考查分式方程的增根，难度不大26．6x =【分析】观察可得最简公分母是（x −4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，注意不要忘记检验．44x x---1=5-x解得x＝6．检验：把x＝6代入（x−4）≠0．∵x＝6是原方程的根，故答案为：x=6．【点睛】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．27．372 yy+=【分析】把原分式方程中的21xx-整体换成y即可得到答案．【详解】解：设21xyx-=，则分式方程21xx-+231xx-=72，可以变形为3yy+=72故答案为：372yy+=．【点睛】本题主要考查了分式方程，利用整体代入的方法求解是解题的关键．28．1或5 3【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解，使原方程的分母等于0．【详解】解：两边都乘（x−3），得3−2x＋nx−2＝−x＋3，解得x＝21n-，n＝1时，整式方程无解，分式方程无解；∵当x＝3时分母为0，方程无解，即21n-＝3，∵n＝53时，方程无解；故答案为：1或53．【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，掌握知识点是解题关键．29．3x=-【分析】先去分母，去括号，然后移项合并，再进行检验，即可求出方程的解．11x x-+去分母，得2(1)(1)(1)(1)x x x x x ++-+=-，去括号，得22221x x x x ++-=-，移项合并，得3x =-；检验：把3x =-代入(1)(1)x x -+，则(1)(1)0x x -+≠；∵3x =-是原方程的解；故答案为：3x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤和方法． 30．14801480370x x =++ 【详解】试题解析：设原来的平均速度为x 千米/时，列车大提速后平均速度为x+70千米/时，根据走过相同的距离时间缩短了3小时，列方程：1480x ＝148070x +＋3， 故答案为1480x ＝148070x +＋3. 31．0【详解】把1x =代入方程12,x x a +=+ 得112,1a +=+ 解得：0.a =经检验，a=0是方程的解，故答案为：0.32．150********x x =+． 【分析】设第一块试验田每亩的产量为x 千克，则第二块试验田每亩的产量为（x+200）千克，根据两块地的面积相同，列出分式方程.【详解】设第一块试验田每亩的产量为x 千克，则第二块试验田每亩的产量为（x+200）千克， 由题意得，150********x x =+． 33．25%【分析】设每袋素馅粽子的成本是a 元，售价是A 元；每袋肉馅粽子的成本是b 元，售价是B 元；每袋甜味馅粽子的成本是c 元，售价是C 元；根据题意得：A ＝1.1a ，B ＝1.2b ，C＝1.3c，设最后一种情况的利润率是x，根据条件建立方程组，解方程组即可．【详解】解：设每袋素馅粽子的成本是a元，售价是A元；每袋肉馅粽子的成本是b元，售价是B元；每袋甜味馅粽子的成本是c元，售价是C元；根据题意得：A＝1.1a，B＝1.2b，C＝1.3c，∵设最后一种情况的利润率是x，得到()()()()33 1.223232 1.2 2342341A B C a b cA B C a b cA B C a b c x⎧++=++⨯⎪++=++⨯⎨⎪++=++⨯+⎩∵，将条件∵代入方程组∵可以解得23b ac a=⎧⎨=⎩，∵2341 1.25234A B Cxa b c+++==++，解得：x＝0.25＝25%；故答案为：25%．【点睛】本题主要考查分式方程的应用及三元一次方程组的应用，熟练掌握分式方程的应用及三元一次方程组的应用是解题的关键．34．【详解】解分式方程得：x=，能使该分式方程有正整数解的只有0（a=1时得到的方程的根为增根），∵使关于x的分式方程有正整数解的概率为．故答案为．35．7 5【分析】根据互为倒数的两数之积为1可列出方程，然后求解即可．【详解】根据题意得：121x-×()143x+＝1去分母、去括号得：x＋4＝6x−3移项合并同类项得：5x＝7系数化为1得：x＝75．故答案为75【点睛】此题考查了分式方程的应用与倒数的定义，解题的关键在于根据题意列出等式，有一定的难度，要注意读准题意．36．1或3【分析】先根据分式方程的解法求出x 的表达式，然后根据题意求出m 的范围即可求出答案．【详解】解：x=2（x-2）+m ，x=2x-4+m ，x=4-m ，将x=4-m 代入x-2≠0，∵m≠2，∵x ＞0，∵m ＜4，∵m 是正整数，∵0＜m ＜4且m≠2，∵m=1或3.故答案为1或3.【点睛】本题考查分式方程的解法，解题的关键是求出m 的范围．37．1【分析】去分母得(2)2k x -=-，根据有增根即可求出k 的值．【详解】去分母得，123kx x -=-(2)2k x -=-，当20k -≠时，22x k =--为增根， 222k ∴-=- 21k -=-1k =故答案为：1．【点睛】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．38．a ＞0且a ≠2【详解】试题分析：首先左右两边同乘以（x+2），求出x 的值.然后根据解为负数且x≠－2求出a 的取值范围.解分式方程得：x=－a ，根据题意得：－a ＜0且－a≠－2 解得：a ＞0且a≠2.考点：解分式方程.39．1a <-且a≠-3.【详解】分析：解分式方程，用含a 的式子表示x ，由x ＞0，求出a 的范围，排除使分母为0的a 的值. 详解：()()12121x x a x x x x ---＋＝＋＋， 去分母得，(x ＋1)(x －1)－x (x ＋2)＝a ，去括号得，x 2－1－x 2－2x ＝a ，移项合并同类项得，－2x ＝a ＋1，系数化为1得，x ＝12a --. 根据题意得，12a --＞0，解得a ＜－1. 当x ＝1时，－2×1＝a ＋1，解得a ＝－3；当x ＝－2时，－2×(－2)＝a ＋1，解得a ＝3.所以a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－3.故答案为a ＜－1且a ≠－3.点睛：本题考查了由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，这种问题的一般解法是：∵根据未知数的范围求出字母的范围；∵把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；∵综合∵∵，求出字母系数的范围.40．m>-3且m≠-2【分析】先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求m 的取值范围．【详解】原方程整理得：2x-m=3（m+1），解得：x=-(m+3)，∵x<0，∵-（m+3）<0，即m>-3，∵原方程是分式方程，∵x≠-1，即-（m+3）≠-1，解得：m≠-2，综上所述：m 的取值范围是m>-3，且m≠-2，故答案为m>-3，且m≠-2【点睛】此题考查了分式方程的解，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，熟练掌握解分式方程的方法及分式有意义的条件是解题关键.41．36元【分析】设杂拌糖的单价为x 元, 则奶糖的单价为(x+4) 元, 水果糖的单价为(x-6) 元,根据这两种糖混合前后质量相同列出方程,解方程即可.【详解】解：设杂拌糖的单价为x 元, 则奶糖的单价为(x+4)元,水果糖的单价为(x-6)元,根据题意得:180********+=x+4x-6x, 解得:x=36.经检验,x=36是原方程的解.答:杂拌糖的单价为36元.【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键. 42．（1）甲120元，乙60元；（2）W ＝404000(40)a a +≥；W 最小值＝5600元【分析】（1）根据题意列出分式方程，求解并检验即可；（2）利用总利润=甲的利润 +乙的利润即可得出答案，然后利用一次函数的性质求最小值即可．【详解】（1）根据题意有180090060x x=+， 解得60x =，经检验，60x =是原分式方程的解，∵60120x +=，∵甲商品的进价是120元，乙商品的进价是60元；（2）根据题意有，(200120)(10060)(100)404000w a a a =-+--=+， 400>∵w 随着a 的增大而增大，40a ≥ ，∵当40a =时，w 最小，此时404040005600w =⨯+=（元） ．【点睛】本题主要考查分式方程和一次函数的应用，掌握分式方程的解法和一次函数的性质是解题的关键．43．(1)第一批医用口罩有1000包(2)每包医用口罩的售价为6元【分析】（1）设第一批口罩有x 包，则第二批有1.5x 包，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；（2）设每包口罩的售价为a 元，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． （1）设第一批口罩有x 包，则第二批有1.5x 包， 根据题意有：400075001 1.5x x+=， 解得x =1000，经检验，x =1000是原方程的解，即第一批口罩有1000包，答：第一批医用口罩有1000包；（2）设每包口罩的售价为a 元，在（1）中已求得第一批医用口罩有1000包，则第二包口罩有：1.5x =1500（包），根据题意，有：()()15001000750040003500x +-+≤，解得：6x ≤，即每包口罩的最高售价为6元，答：每包医用口罩的售价为6元．【点睛】本题主要考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，明确题意，找准等量关系列出分式方程是解答本题的关键．44．甲工程队每天能铺设70米，乙工程队每天能铺设50米．【详解】试题分析：设乙工程队每天能铺设x 米．根据甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同，列方程求解．解：设乙工程队每天能铺设x 米；则甲工程队每天能铺设（x+20）米，依题意，得=，解得x=50， 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意．答：甲工程队每天能铺设70米，乙工程队每天能铺设50米．考点：分式方程的应用．45．(1)227x -<<(2)1a a+- (3)()223a a b -(4)3x =【分析】（1）根据一元一次不等式组的解法可进行求解；（2）先算括号内，然后再利用分式的乘法法则进行求解即可；（3）先提公因式，然后再用完全平方公式因式分解即可；（4）先去分母，然后再进行求解整式方程即可．（1）解：()3125212132x x x x ⎧-<-+⎪⎨-+->⎪⎩①② 由∵可得：2x >-，由∵可得：27x <， ∵原不等式组的解集为227x -<<； （2）解：原式=()()()21111a a a a a +--⋅- =1a a+-； （3）解：原式=()224129a a ab b -+ =()223a a b -；。
北师大版数学八年级下册期末备考：第五章《分式与分式方程》实际应用之选择易错试题(一)
期末备考：第五章《分式与分式方程》实际应用之选择易错试题（一）1．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑自行车速度的2倍，现在小军乘班车上学可以从家晚出发10分钟，结果与原来到校的时间相同，那么校车的速度是（）A．12千米/小时B．15千米/小时C．18千米/小时D．36千米/小时2．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元．若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（）A．117元B．118元C．119元D．120元3．某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用56秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用（）A．32秒B．38秒C．42秒D．48秒4．甲、乙两个清洁队参加了某社区“城乡清洁工程”，甲队单独做2天完成了工程的三分之一，这时乙队加入，两队又共同做了1天，完成了全部工程．则乙队单独完成此项工程需要（）A．6天B．4天C．2天D．3天5．某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍这种计算器，于是又用2580元购进所需计算器，由于量大每个进价比上次优惠1元，该店仍按每个50元销售，最后剩下4个按九折卖出．这笔生意该店共盈利（）元．A．508 B．520 C．528 D．5606．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成7．甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后50分钟到达B，甲乙的速度之比为（）A．2：3 B．3：5 C．3：2 D．3：48．某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（）A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务9．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．＝B．C．＝﹣40 D．＝11．在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座450m高的山，乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少15min．如果设甲组的攀登速度为xm/min，那么下面所列方程中正确的是（）A．＝+1.2 B．＝﹣15C．＝1.2×D．＝+1512．一艘轮船在静水中的最大航速为50km/h，它以最大航速沿河顺流航行80km所用时间和它以最大航速沿河逆流航行60km所用时间相等，设河水的流速为xkm/h，则可列方程（）A．＝B．＝C．＝D．＝13．2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（）A．﹣＝6 B．﹣＝6C．﹣＝6 D．﹣＝614．甲乙两港口相距50千米，一艘轮船从甲港口顺流航行至乙港口，又立即从乙港口逆流返回甲港口，共用去8小时，已知水流速度为4km/h，若设该轮船在静水中的速度为xkm/h，则可列方程（）A．B．C．D．15．某工厂计划x天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产3件，因此提前2天完成计划，列方程为（）A．B．C．D．16．当前，国内多地呈现新冠零星散发病例、局部聚集性疫情连发态势，市教育局紧急对全市初一、初二学生15万人进行核酸检测，由于志愿者的加入，实际每天检测人数比原计划多50%，结果提前3天完成任务，设原计划每天检测x万人，则依题意列出的方程是（）A．＝3 B．＝3C．+3＝D．＝317．某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元．设每箱凉茶有x罐，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．18．某果品分拣车间有甲、乙两组工人负责将猕猴桃装箱，已知每小时甲组比乙组少装16箱，甲组装260箱与乙组装340箱所用的时间相等，设甲组每小时装x箱，所列方程正确的是（）A．B．C．D．19．某童装店有几件不同款式的衣服，每件衣服的原价一样，6月1日儿童节那天，全场打7折，某宝妈在儿童节那天去购买该款式的衣服时发现：平时花350元购买到的衣服件数比现在少2件，设原价是x元，则根据题意可列出方程（）A．＝B．＝C．﹣2＝D．＝﹣220．某校组织540名学生去外地参观，现有A，B两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆．设A型客车每辆坐x人，根据题意可列方程（）A．﹣＝6 B．﹣＝6C．﹣＝6 D．﹣＝6参考答案1．解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则校车的速度为2x千米/小时，根据题意得：﹣＝，解得：x＝7.5，经检验，x＝7.5是原方程的解，且符合题意，则2x＝15，即校车的速度为15千米/小时，故选：B．2．解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+13），根据题意列方程得：＝，解得：x＝117，经检验：x＝117是原方程的解．故选：A．3．解：设楼上到楼下的路程为1，∴人的速度为﹣，∴（﹣）x＝1，解得x＝42．故选：C．4．解：设乙队单独完成此项工程需要的时间为x天，由题意，得×1+×1＝1﹣，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的根．∴x＝2．故选：C．5．解：设第一次购进计算器x个，则第二次购进计算器3x个，根据题意得：＝+1，解得：x＝20，经检验x＝20是原方程的解，则这笔生意该店共盈利：[50×（20+60﹣4）+4×50×90%]﹣（880+2580）＝520（元）；故选：B．6．解：设实际每天铺设管道x米，原计划每天铺设管道（x﹣10）米，方程，则表示实际用的时间﹣原计划用的时间＝15天，那么就说明实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成任务．故选：C．7．解：设甲的速度为v1千米/时，乙的速度为v2千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为v1千米，到B的路程为v2千米，从而有方程：，化简得：，解得：，﹣是负数，应该舍去故选：A．8．解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，∵所列分式方程为﹣＝30，∴为实际工作时间，为原计划工作时间，∴省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务．故选：C．9．解：设江水的流速为x千米/时，由题意得：＝，故选：D．10．解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，依题意得：＝．故选：D．11．解：设甲组的攀登速度为xm/min，则乙组的攀登速度为1.2xm/min，依题意得：﹣15＝．故选：B．12．解：设河水的流速xkm/h，则以最大航速沿江顺流航行的速度为（50+x）km/h，以最大航速逆流航行的速度为（50﹣x）km/h，根据题意得，＝，故选：C．13．解：设A型客车每辆坐x人，则B型客车每辆坐（x+15）人，依题意得：﹣＝6．故选：A．14．解：设该轮船在静水中的速度为xkm/h，根据题意得，，故选：A．15．解：设该工厂计划x天内生产120件零件，则实际生产了（x﹣2）天，依题意得：＝+3．故选：B．16．解：由题意可得，＝3，故选：A．17．解：由题意可得，＝0.5，故选：B．18．解：设甲组每小时装x箱，则乙组每小时装（x+16）箱，依题意得：＝．故选：B．19．解：设原价是x元，则打折后的价格为0.7x元，依题意得：＝﹣2．故选：D．20．解：由题意可得：﹣＝6，故选：B．。
中考分式方程组易错题50题-含答案解析
中考分式方程组易错题50题含答案解析一、单选题 1．解分式方程11x -+1=0，正确的结果是（ ） A ．x=0B ．x=1C ．x=2D ．无解2．甲，乙两个工程队，甲队修路600米与乙队修路800米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20米．若可列方程60080020x x =+表示题中的等量关系，则方程中x 表示（ ）A ．甲队每天修路的长度B ．乙队每天修路的长度C ．甲队修路300米所用天数D ．乙队修路400米所用天数3．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意得（ ） A ．()253010180%60x x -=+ B ．()253010180%x x-=+ C ．()302510180%60x x -=+D ．()302510180%x x-=+4．把分式方程132x x=-转化成整式方程时，方程两边同乘（ ） A ．xB ．2xC ．()2x x -D ．()32x x -5．下列方程中,有实数解的方程的是( )A 20=B ．2230x x ++=C 0x =D ．222=--x x x 6．方程2216124x x x ++=---的解为（ ） A ．2x = B ．2x =-C ．3x =D ．无解7．分式方程3111x x x +=--的解是（ ） A ．1x =B ．2x =-C ．34x =D ．2x =8．关于x 的分式方程3122x mx x=---无解，则m 的值是（ ）9．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用的时间与原计划生产450台机器所用的时间相同．若设原计划平均每天生产x 台机器，则可列方程为( ) A ．600x ＝45050x + B ．600x ＝45050x - C ．60050x +＝450x D ．60050x -＝450x 10．若关于y 的不等式组12y13a y 0-⎧<⎪⎨⎪-≥⎩至少有两个整数解，且关于x 的分式方程有x 3ax3x 33x ++=--非负整数解，求符合条件的所有整数a 的值之和为( ) A ．14B ．15C ．16D ．1711．以下说法： ①关于x 的方程的解是x=c （c≠0）； ①方程组63,{23.xy yz xz yz +=+= 正整数的解有2组；①已知关于x ，y 的方程组，其中﹣3≤a≤1，当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解；其中正确的有（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①12．某施工队挖一条240米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前2天完成任务．若设原计划每天挖x 米，则所列方程正确的是（ ） A ．240240220x x -=+ B ．240240202x x -=+ C ．240240220x x-=-D ．240240202x x-=- 13．若数a 使关于x 的分式方程1133x ax x++=--有非负整数解，且使关于y 的不等式组3212623y y y y a++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣5 B ．﹣3 C ．0 D ．214．要使关于x 的分式方程12a ax x =-有整数解，且使关于x 的不等式组25x x a≥-⎧⎨<⎩恰好有两个整数解，则满足条件a 的个数为（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个15．在下列方程中，关于x 的分式方程的个数有( ).①2124023x x -+= ①.4x a = ①4;a x =①.291;3x x -=+①16;2x =+ ①112x x a a --+=.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．若关于x 的不等式组3862342x x x a x +⎧≤+⎪⎨⎪+>-⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程8122a yy y --=++有负整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．2217．分式方程3122x x x =++的解是（ ） A ．32x =B ．32x =-C ．23x =-D ．23x =18．关于x 的不等式组22143x m x m >-⎧⎨-+≥-⎩有解，且使关于x 的分式方程1222m xx x --=--有非负整数解的所有m 的值的和是（ ） A ．-1B ．2C ．-6D ．019．某乡镇改造农村电网，需重新架设4000米长的电线．为了减少施工对农户用电造成的影响，施工时每天的工作效率比原计划提高13，结果提前2天完成任务，问实际施工中每天架设多长电线如果设原计划每天架设x 米电线，那么列出的方程是( ) A ．400013x x+―4000x =2 B ．4000x ―400013x x +=2 C ．400013x +―4000x =2D ．4000x ―400013x +=2二、填空题20．某质检部门抽取甲､乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率比乙厂高5%，求甲厂的合格率． 21．现有6000米的钢轨需要铺设，为确保通车时间，实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米． （1）根据题意，可列分式方程为______； （2）实际施工时每天铺设钢轨的长度为______米．22．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x 米，则所列方程是____________________． 23．为了帮助地震灾区重建家园，某学校号召师生自愿捐款．第一次捐款总额为20 000元，第二次捐款总额为56 000元，已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元．求第一次捐款的人数是多少？若设第一次捐款的人数为x ，则根据题意可列方程为_____． 24．若关于x 的方程2133m x x =---无解，则m =_________． 25．对于任意非零实数m 、n ，规定n m n m ⊗=，例如：3232⊗=，则()21-⊗______()12⊗-（填“>”，或“<”或“=”）若()()314x x ⊗=-⊗-，则x =______．26．方程()112x --=的解是_________． 27．已知2x y x y -+=12，则x y=_____． 28．在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的6个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是70%，则袋子中有_____________个黑球． 29．分式方程2111111x x x -=-+-去分母时，两边都乘以________. 30．方程1235x x =+的解为__． 31．分式方程133x m x x +=--有增根，则m ＝_____________． 32．请你给x 选择一个合适的值，使方程2112x x =--成立，你选择的x ＝__. 33．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意可列出方程_____． 34．若分式方程2114-416k x x x +=+-有增根，则k 的值为_______． 35．方程()()()()2121221x xx x x x -=+-+-的根是______.36．若关于x 的方程21122x mx x +-=++有增根，则m 的值为________． 37．若等式35311x n x x -=+++对于任意x （x ≠－1）都成立，则n 的值是_________． 38．若m 为常数，当m 为_____时，方程233x mx x -=--有解． 39．分式方程212112x x x=---的解是______．三、解答题40．王老师家在商场与学校之间，离学校1千米，离商场2千米．元旦前王老师骑车到商场买奖品后再到学校，结果比平常步行直接到校迟20分钟．已知骑车速度为步行速度的2.5倍，买奖品时间为10分钟，求骑车的速度．41．（1+（2）解方程：311xx x+= +42．某学校需要购进甲、乙两种电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．求每台甲种电脑价格．43．阅读材料，并完成下列问题：已知分式方程：①2xx+＝3，①x+6x＝5，①x+12x＝7．其中，方程①的解有2个：x＝1或x＝2；方程①的解有2个：x＝2或x＝3；方程①的解有2个：x＝3或x＝4．（1）观察上述方程的特点，再观察方程的2个解与方程左边分式的分子、右边常数的关系，猜想方程x+30x＝11的解是．（2）关于x的方程x+2020x＝101+100m有2个解，它们是x＝101或x＝100m，根据所猜想的规律，求m的值．44．“军运会”期间，某纪念品店老板用5000元购进一批纪念品，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用6000元购进同样数目的这种纪念品，但第二次每个进价比第一次每个进价多了2元．（1）求该纪念品第一次每个进价是多少元？（2）老板以每个15元的价格销售该纪念品，当第二次纪念品售出35时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于900元，剩余的纪念品每个售价至少要多少元？45．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km.一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？46．（1）解方程：21133xx x=---；（2112cos452-︒⎛⎫+-⎪⎝⎭．47．（1）计算：2041)13π-⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）解方程：42xx-﹣1＝32x-．48．长春外国语学校为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元.已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？49．甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工35个玩具，设甲每天加工x个玩具：（1）乙每天加工个玩具（用含x的代数式表示）；（2）求甲乙两人每天各加工多少个玩具？参考答案：1．A【分析】先去分母化为整式方程,再求解即可. 【详解】11x -+1=0， 1+x-1=0， x=0，经检验：x=0是原方程的根， 故选A.考点：解分式方程. 2．A【分析】根据题意，由甲队修路600米与乙队修路800米所用的时间相等的等量关系列出的方程即可得到结论．【详解】解：方程中x 表示甲队每天修路的长度， 故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 3．A【分析】由题意分析知，平均路线2的车速比线路一提高80％，故线路2是=()0.8 1.8x x x +=，则有，线路一和二的时间为1t =25x ，2t =301.8x进而列出式子即可． 【详解】解：由题意可得，可设线路2是=()0.8 1.8x x x +=，则线路一和二的时间分别为1t =25x ，2t =301.8x， 故12253010(180%)60t t x x -=-=+， 故选A ．【点睛】本题考查了代数式的分析，解决本题的关键是通过设未知数找出等式的中间项，进而列出方程式求解． 4．C【分析】根据最简公分母的确定方法确定分式132x x-、的最简公分母即可解答．【详解】解：①分式132x x-、的最简公分母()2x x -， ①把分式方程132x x=-转化成整式方程时，方程两边同乘()2x x -． 故选C ．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 5．C【分析】利用二次根式的非负性对A 进行判断；利用根的判别式的意义对B 进行判断；解无理方程对C 进行判断；解分式方程对D 进行判断．【详解】解：A 2=-，，所以原方程没有实数解，所以A 选项错误；B 、因为△＝22−4×3＝−8＜0，所以原方程没有实数解，所以B 选项错误；C 、x -，方程两边同时平方得：232x x -=，化为一般形式为：2230x x +-=，解得x 1=1，x 2=-3，经检验x 1=1时不满足原方程，所以x=-3，所以C 选项正确；D 、解方程得x=2，经检验当x=2时分母为零，所以原方程无实数解，所以D 选项错误． 故选C ．【点睛】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．也考查了一元二次方程和分式方程． 6．D【分析】先去分母，把分式方程转化为整式方程，然后求解即可． 【详解】解：2216124x x x ++=--- 去分母得22(2)164x x -++=-， 解得2x =，经检验，2x =是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． 故选D ．【点睛】本题主要考查分式方程的求解，熟练掌握分式方程的求解是解题的关键．7．D【分析】先去分母，然后再进行求解方程即可．【详解】解：3111 xx x+=--13x x+-=，①2x=，经检验：2x=是原方程的解；故选D．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．8．C【分析】先得到分式方程的解，然后根据题意可求解m的值．【详解】解：解分式方程3122x mx x=---得：22mx-=，①该分式方程无解，①2x=，①222m-=，解得：6m=；故选C．【点睛】本题主要考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解是解题的关键．9．C【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间＝原计划生产450台时间．【详解】解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．依题意得：60050x+＝450x．故选：C．【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．10．B【分析】不等式组整理后，由题意确定出a的范围，根据分式方程非负整数解，确定出a 的值，即可求解.【详解】不等式组整理得：1y y a>-⎧⎨≤⎩由不等式组至少有两个整数解得到,1a ≥，分式方程去分母得：()333x ax x +-=-， 解得：122x a =+， 当a =1时，x =4；当a =2时，x =3舍去； a =4时，x =2；a =10时，x =1； 则满足题意a 的值之和为1+4+10=15. 故选:B.【点睛】考查分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握分式方程以及一元一次不等式组的解法是解题的关键. 11．A【详解】试题分析：①关于x 的方程的解是x=c 或x=1c（c≠0），故此选项错误； ①方程组63,{23.xy yz xz yz +=+=的正整数解有2组，方程组63{23xy yz xz yz +=+=①②，①x 、y 、z 是正整数， ①x+y≥2①23只能分解为23×1 方程①变为（x+y ）z=23 ①只能是z=1，x+y=23 将z=1代入原方程转化为63{23xy y x y ③④+=+=，解得x=2、y=21或x=20、y=3①这个方程组的正整数解是（2，21，1）、（20，3，1），故此选项正确； ①已知关于x ，y 的方程组，其中﹣3≤a≤1，当a=1时，则x+y=3，故方程组的解也是方程x+y=4﹣a=3的解，此选项正确． 故选A ．考点：1.分式方程的解2.二元一次方程组的解．12．A【分析】设原计划每天挖x 米，根据“每天比原计划多挖20米，结果提前2天完成任务”可列出方程．【详解】设原计划每天挖x 米，根据题意得：24024020x x -=+2 故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是根据“每天比原计划多挖20米，结果提前2天完成任务”列方程求解．13．D【分析】解不等式组，根据题意确定a 的范围；解出分式方程，根据题意确定a 的范围，根据题意计算即可． 【详解】解：3212623y y y y a ++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞①②，解不等式①得：y ＞﹣8，解不等式①得：y ≤a ，①原不等式组的解集为：﹣8＜y ≤a ，①不等式组至少有3个整数解，①a ≥﹣5，1133x a x x++=--， 去分母得①1﹣x ﹣a ＝x ﹣3，解得：x 42a -=， ①分式方程有非负整数解，①x ≥0（x 为整数）且x ≠3， ①42a -为非负整数，且42a -≠3， ①a ≤4且a ≠﹣2，①符合条件的所有整数a 的值为：﹣4，0，2，4，①符合条件的所有整数a 的和是：2，故选：D ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．14．C【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解为整数确定出a 的值，表示出不等式组的解集，由不等式组恰好有两个整数解，得到a 的值即可．【详解】解：分式方程有整数解， 解分式方程得：32a x =， 解不等式组25x x a≥-⎧⎨<⎩得：25a x -≤<， ①不等式组恰好有两个整数解， ①105a -<≤， ①50a -<≤，①x ≠0，则a ≠0，①a 的值为-4，-2，共2个，故选C ．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．15．B【分析】根据分式方程的定义:分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.【详解】①212x -x+4=023、①x =4a 、①x-1x-1+=2a a 的分母中不含有未知数,它们是整式方程,不是分式方程; ①a =4x 、①2x -9=1x+3、①1=6x+2的分母中含未知数x ,故是分式方程. 所以B 选项是正确的.【点睛】本题考查了分式方程的定义.判断一个方程是否为分式方程,主要是依据分式方程的定义,也就是看分母中是否含有未知数(注意:仅仅是字母不行,必须是表示未知数的字母). 16．A【分析】根据不等式组求得a 的取值范围，再根据分式方程确定a 的取值，然后求解即可． 【详解】解：3862342x x x a x +⎧≤+⎪⎨⎪+>-⎩①②，由①可得：4x ≤，由①可得：2x a <+，①不等式组3862342x x x a x +⎧≤+⎪⎨⎪+>-⎩的解集为4x ≤，①24a +>，即2a >． 由8122a y y y --=++可得210y a =-， 分式方程8122a y y y --=++有负整数解，则0y <，且2y ≠-， ①100a -<，且为2的倍数，且104a -≠-．又①2a >，①210a <<，6a ≠，且a 为偶数，①a 的取值为4，8，和为12．故选A ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的求解，分式方程的求解，解题的关键是根据题意确定a 的取值．17．A【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2x ＝3，系数化为1得：32x =， 检验：把32x =代入得：2（x ＋1）≠0， ①分式方程的解为32x =． 故选：A ．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 18．C【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于m 的不等式，求得m 的解集，再解分式方程得出x ，根据x 是非负整数得出m 所有的m 的和． 【详解】解：关于x 的不等式组22143x m x m >-⎧⎨-+≥-⎩有解， 由2143x m -+≥-可得：22x m ≤-222m m ∴-<-， 解得43<m ， 由1222m x x x --=--解得53m x +=， 分式方程1222m x x x --=--有非负整数解， 53m x +∴=是非负整数， 43m <， 15m ∴=-，，2-，1526∴--=-，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解和不等式的解集，求得m 的取值范围以及解分式方程是解题的关键．19．B【分析】关键描述语是；提前2天完成任务，等量关系为：原来所用时间-现在所用时间=2．【详解】原来所用时间为：. 4000x ,现在所用的时间为：400013x x +=.所列方程为：4000x ―400013x x +=2. 故选B.【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找准等量关系.20．甲厂的合格率为80%．【分析】设甲厂产品的合格率为x %，则乙厂产品的合格率为（x -5）%，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设甲厂产品的合格率为x %，则乙厂产品的合格率为（x -5）%，根据题意，得4845%(5)%x x=-，解得：x=80，经检验：x=80是原方程的根且符合题意，答：甲厂产品的合格率为80%．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意找出等量关系列出分式方程是本题的关键．21．60006000215x x-=400【分析】（1）分析出等量关系，实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，以及结果提前15天完成任务，根据等量关系列出方程即可；（2）解出分式方程，即可算出实际施工时每天铺设钢轨的长度．【详解】解：设原计划每天铺设钢轨x米，则实际施工时每天铺设的长度为2x米，得：60006000215x x-=解得x=200，经检验：x=200是原方程的解，实际施工时每天铺设钢轨的长度：2x=2×200=400米，故（1）答案为：60006000215x x-=；（2）答案为：400．【点睛】本题考查了分式方程的应用题，根据题意找出等量关系列出方程是本题的关键．22．7207202(120%)x x-=+【解析】略23．560002000020 2x x-=【详解】关键描述语为：“人均捐款额比第一次多20元”；等量关系为：第二次人均捐款数﹣第一次人均捐款数=20．解：第二次人均捐款数为：560002x，第一次人均捐款数为：20000x．所列方程为：5600020000202x x-=．24．2-【分析】先去分母得到整式方程，由于关于x 的方程2133m x x =---无解，则x -3=0，即x =3，然后把x =3代入即可求出m 的值．【详解】解：去分母得()23x m =--，解得5x m =+，①关于x 的方程2133m x x =---无解. ①x =3，①53m +=①m =2-.故答案为2-. 【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答.25． > 37【分析】直接利用新定义分别计算()21-⊗与()12⊗-，再比较大小即可，分别按新定义计算()()3,14x x ⊗-⊗-，建立分式方程求解即可． 【详解】解：n m n m⊗=， ∴ ()121,2-⊗=-()2122,1-⊗-==- 12,2--＞ ∴ ()21-⊗＞()12⊗-．故答案为：＞．()()314x x ⊗=-⊗-，34,1x x -∴=- 433,x x ∴-=-73,x ∴=3,7x ∴= 经检验：37x =是原方程的根，故答案为：3.7【点睛】本题考查了有理数的除法运算及有理数的大小比较，同时考查了分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．26．32x = 【分析】由题意利用负指数幂的性质得出分式方程进而进行求解即可．【详解】解：()112x --=，即121x =-，则有112x -=解得32x =，代入检验可得32x =即方程的解． 故答案为：32x =． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握负指数幂的性质以及分式方程的解法是解题的关键，注意检验是否为增根的情况．27．4【分析】已知条件是一个二元一次方程，可以将x 看做未知数，y 看做已知数，用含y 的式子表示x 的值，代入x y即可求值． 【详解】解：在等式两边同时乘2(2)x y +得：222x y x y -=+，4x y =， ∴x y =4y y=4， 故答案为4．【点睛】本题主要考查了解二元一次分式方程，可用含y 的式子表示x ，即可表示出x y ，同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零．28．14【分析】设袋子中有x 个黑球，然后依据概率计算公式列出方程求解即可．【详解】解：设袋子中有x 个黑球， 由题意得70%6x x=+， 解得14x =，经检验14x =是原方程的解，①袋子中有14个黑球，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了已知概率求数量，解分式方程，熟知概率计算公式是解题的关键．29．()()11x x +-【分析】把方程右边分母分解因式，即可找到最简公分母．【详解】①分式方程2111111x x x -=-+- 可化为：11111(1)(1)x x x x -=-++-， ①去分母时，方程两边应都乘以：(1)(1)x x +-，分式方程即化为整式方程．故答案为：()()11x x +-．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程时方程两边乘最简公分母，这样分式方程化为了整式方程，确定最简公分母是关键．30．1x =．【分析】通过去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解．【详解】去分母得：56x x +=，移项，合并同类项，得：55=x ，解得：1x =，经检验：1x =是分式方程的解．故答案为：1x =．【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1，解分式方程，是解题的关键．31．3【详解】分式方程去分母得：x +x ﹣3=m ， 根据分式方程有增根得到x ﹣3=0，即x =3， 将x =3代入整式方程得：3+3﹣3=m ，则m =3，故答案为：332．3【详解】试题解析：方程两边可同乘(x −1)(x −2)，得2(x −2)=x −1，解得x =3.经检验x =3是原方程的解.故答案为3.33．80060050x x=+ 【分析】根据题意可知现在每天生产（x +50）台机器，而现在生产800台所需时间和原计划生产600台机器所用时间相等，从而列出方程即可．【详解】设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意得：80060050x x=+． 故答案为80060050x x =+． 【点睛】本题考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题的关键．34．8 或-8【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x +4）（x -4）=0，得到x =-4或4，然后代入化为整式方程的方程算出a 的值．【详解】解：方程两边都乘（x +4）（x -4），得（x -4）+（x +4）=k ，①原方程有增根，①最简公分母（x +4）（x -4）=0，解得x =-4或4，当x =-4时，k =-8， 当x =4时，k =8，故k 的值是-8或8．故答案为-8或8；．【点睛】本题主要考查分式方程增根问题，解决本题的关键是要熟练掌握分式增根的意义. 35．2x =【分析】对原方程移项化简，即可求出x ，然后再检验即可.【详解】解：()()()()2121221x x x x x x -=+-+- ()()21212x x x x -=+- ()()(1)1212x x x x -=+-122x x =+ x=2，经检验x=2是分式方程的解.【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键.36．3-；【分析】先将m 视为常数求解分式方程，得出方程关于m 的解，再根据方程有增根判断m 的值． 【详解】21122x m x x +-=++ 去分母得：2x+1-x-2=m解得：x=m+1①分式方程有增根①x=－2①m+1=－2解得：m=－3故答案为；－3．【点睛】本题考查解分式方程增根的情况，注意当方程中有字母时，我们通常是将字母先视为常数进行计算，后续再讨论字母的情况．37．-8【详解】分析：将等式左右两边通分，分子整理，与等式左边的分子进行比价，即可求出n 的值. 详解：33333,1111n x n x n x x x x ++++=+=++++ 即3533,11x x n x x -++=++ 则：3 5.n +=-解得：8.n =-故答案为8.-点睛：考查了分式的加减运算的运用，可以用待定系数法求解.38．3m ≠【详解】试题分析：有解，即x-3≠0，则x≠3.把方程去分母得x-2（x-3）=m ，即-x+6-m=0，所以x=6-m ，则6-m≠3，解得m≠3 考点：分式方程点评：本题难度中等，主要考查学生对分式方程知识点的掌握，求出分母x-3的取值范围为解题关键.39．x=﹣1．【详解】试题分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．试题解析：去分母得：x=2x ﹣1+2，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．考点：解分式方程．40．骑车的速度为15千米/时【分析】设步行的速度为x 千米/时，则骑车速度为2.5x 千米/时，然后根据元旦前王老师骑车到商场买奖品后再到学校，结果比平常步行直接到校迟20分钟．已知骑车速度为步行速度的2.5倍，买奖品时间为10分钟列出方程求解即可．【详解】解：设步行的速度为x 千米/时，则骑车速度为2.5x 千米/时． 由题意得221101202.56060x x +++=+． 解得6x =．经检验6x =是原方程的根．当6x =时，2.515x =．答：骑车的速度为15千米/时．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列出方程求解．41．（1（2）32x =- 【分析】（1）根据二次根式的除法以及分母有理化进行计算即可求解．（2）方程两边同时乘以()1x x +，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】（1+=（2）解：方程两边同时乘以()1x x +，得()()2311x x x x ++=+2233x x x x ++=+即23x =-，解得：32x =-． 经检验32x =-，是原方程的解． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解分式方程，掌握二次根式的运算法则以及解分式方程是解题的关键．42．0.3万元【分析】设甲种电脑价格为x 万元，则乙为x +0.2万元，再根据“12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同”，列出方程，求解即可．【详解】解：设每台甲种电脑的价格为x 万元，由题意，得12200.2x x =+， 解得0.3x =，经检验0.3x =是原分式方程的解，且符合题意，答：每台甲种电脑的价格为0.3万元．【点睛】本题主要考查了分式方程解决实际问题知识，找到等量关系列方程是解决问题的关键．43．（1）x ＝5或x ＝6；（2）5【分析】（1）观察阅读材料中求方程解的方法得出所求即可；（2）根据得出的规律列出方程，求出解即可得到m 的值． 【详解】解：（1）①①()21211131x x x x⨯++=+=⨯+=，①()62221251x x x x ⨯++=+=⨯+=，①()331122317x x x x⨯++=+=⨯+=，其中，方程①的解有2个：x ＝1或x ＝2；方程①的解有2个：x ＝2或x ＝3；方程①的解有2个：x ＝3或x ＝4．①可得()121n n x n x++=+的解有2个：x n =或1x n =+， ①1130x x +=即()115552x x =+⨯⨯++的解为x ＝5或x ＝6； 故答案为：x ＝5或x ＝6；（2）①方程1001012020x x m +=+的解是x ＝101或100x m =； 根据规律()121n n x n x ++=+的解有2个：x n =或1x n =+， ①可得1001012020m⨯=， 解这个方程，得m ＝5，经检验，m ＝5是所列方程的根．①m 的值为5．【点睛】本题主要考查了分式相关的规律性问题，解分式方程，解题的关键在于能够根据题意找到规律进行求解．44．（1）10元；（2）至少要12元．【分析】（1）设该纪念品第一次每个进价是x 元，则第二次每个进价是（x +2）元，再根据等量关系：第二次进的个数＝第一次进的个数即可列出方程，解方程即得结果；（2）设剩余的纪念品每个售价y 元，由利润＝售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于900元即可列出关于y 的不等式，解不等式即得结果．【详解】解：（1）设该纪念品第一次每个进价是x 元，由题意得：500060002x x =+，解得：x ＝10， 经检验x ＝10是分式方程的解，答：该纪念品第一次每个进价是10元；（2）设剩余的纪念品每个售价y 元，由（1）知，第二批购进600012＝500（个）， 根据题意，得：15×500×35+y ×500×25﹣6000≥900，解得：y ≥12． 答：剩余的纪念品每个售价至少要12元．【点睛】本题考查了分式方程的应用和不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、找。
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易错专题：分式与分式方程中的易错题◆类型一分式值为0时求值，忽略分母不为0
1．若分式x2－16
x－4
的值为零，则x的值为( )
A．0 B．4 C．±4 D．－4
2．若分式
x2－9
x2＋x－12
＝0，则x的值是( )
A．3或－3 B．－3 C．3 D．9
◆类型二自主取值再求值时，忽略分母或除式不为0
3．先化简，再求值：x－2
x2－1
·
x＋1
x2－4x＋4
＋
1
x－1
，其中x是从－1、0、1、2
中选取的一个合适的数．
4．先化简x2－4
x2－9
÷
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1＋
1
x－3
，再从不等式2x－3<7的正整数解中选出使原式
有意义的数代入求值．
◆类型三解分式方程不验根
5．解方程：1－x
x－2
＝
1
2－x
－2.【易错9】
◆类型四无解时忽略分式方程化为一次方程后未知数系数为0的情况【易错10】
6．★若关于x的分式方程2m＋x
x－3
－1＝
2
x
无解，则m的值为( )
A．－1.5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5
7．已知关于x的分式方程
a
x＋1
－
2a－x－1
x2＋x
＝0无解，求a的值．
◆类型五已知方程根的情况求参数的取值范围时忽略分母为0时参数的值【方法18】
8．若关于x的分式方程
x
x－2
＝2－
m
2－x
的解为正数，则满足条件的正整数m
的值为( )
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
9．已知关于x的分式方程a－x
x＋1
＝1的解为负数，求a的取值范围．
参考答案与解析
1．D 2.B
3．解：原式＝x －2（x ＋1）（x －1）·x ＋1（x －2）2＋1x －1＝1（x －1）（x －2）
＋1x －1＝x －1（x －1）（x －2）＝1x －2.当x ＝0时，原式＝－12
(x 不能取－1、1、2)． 4．解：原式＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）·x －3x －2＝x ＋2x ＋3
.解不等式2x －3<7，得x<5，其正整数解为1，2，3，4.∵x＋3≠0且x －2≠0且x －3≠0，∴x≠－3且x≠2
且x≠3，∴x＝1或4.当x ＝1时，原式＝34；当x ＝4时，原式＝67
. 5．解：去分母，得1－x ＝－1－2(x －2)，解得x ＝2.检验：当x ＝2时，x －2＝0.∴x＝2不是原分式方程的解，故原分式方程无解．
6．D 解析：分式方程化简得(2m ＋1)x ＝－6.当2m ＋1＝0，即m ＝－0.5时，原分式方程无解；当2m ＋1≠0时，x ＝－62m ＋1
，当x ＝3时，原分式方程无解，即－62m ＋1＝3，解得m ＝－1.5；当x ＝0时，原分式方程无解，即－62m ＋1
＝0，此方程也无解．综上所述，m 为－0.5或－1.5，故选D.
7．解：去分母，得ax －2a ＋x ＋1＝0，分两种情况讨论：①分式方程有增根，∴x(x＋1)＝0，得x ＝－1或0.当x ＝－1时，－a －2a －1＋1＝0，解得a
＝0；当x ＝0时，－2a ＋1＝0，解得a ＝12
. ②方程ax －2a ＋x ＋1＝0无解，即(a ＋1)x ＝2a －1无解，∴a＋1＝0，a ＝
－1.综上可知，a ＝0或12
或－1. 8．C 解析：方程两边都乘以x －2，得x ＝2(x －2)＋m ，解得x ＝4－m.由题意得⎩⎨⎧x ＞0，x －2≠0，即⎩⎨⎧4－m ＞0，4－m －2≠0，
解得m ＜4且m≠2，∴满足条件的正整数m
的值为1和3.故选C.
9．解：由a－x
x＋1
＝1，解得x＝
a－1
2
.由题意得
⎩⎪
⎨
⎪⎧a－12<0，
a－1
2
＋1≠0，
∴a<1且a≠－
1.。