高三教学质量检测(一)理科数学试题答案

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宁夏回族自治区银川市2023届高三下学期学科教学质量检测(一模)数学试卷及答案

银川市2023年普通高中学科教学质量检测理科数学考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{}*5A x x x =∈≤N 且，()(){}130B x x x =+->，则U A C B = （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,32．在复平面内，已知复数11z i =-对应的向量为1OZ ，现将向量1OZ绕点O 逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量2OZ ，设2OZ 对应的复数为2z ，则21zz =（）A ．2iB．C ．2D．3．a b >的一个充要条件是（）A ．11a b<B ．22ac bc>C ．22log log a b >D ．1.7 1.7a b>4．已知函数2()121xf x =-+，则（）A ．()f x 是偶函数且是增函数B ．()f x 是偶函数且是减函数C ．()f x 是奇函数且是增函数D ．()f x 是奇函数且是减函数5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点，O 是AC 与BD 的交点，以下命题中正确的是（）A ．1//BC 平面AECB ．1B O ⊥平面AECC ．1DB ⊥平面AECD ．直线1A B 与直线AE 所成的角是60°6．在△ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC =，D 是AC 边的中点，点E 满足13BE BA = ，则CE 与BD的夹角为（）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°7．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，现将角α的终边绕原点O逆时针方向旋转6π与单位圆交点的纵坐标为35，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．725-B ．725C ．1825-D ．18258．已知圆锥SO ，其侧面展开图是半圆，过SO 上一点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱PO 的侧面积与圆锥SO 的侧面积的比为34，则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比为（）A ．38B ．12C ．58D ．349．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为()(),2,!0,1k P K e k k x λλ-=== ，其中e 为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．当n 很大且p 很小时，二项分布近似于泊松分布，其中np λ=．一般地，当20n ≥而0.05p ≤时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量()~1000,0.001X B ，()2P X ≥的近似值为（）A ．11e-B ．21e-C ．14e -D ．211e -10．已知函数()2sin()(0,2f x x πωϕωϕ=+<>的部分图象如图所示，将()f x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列判断正确的是（）A ．()g x 的最小正周期为4πB ．()g x 的图象关于直线23x π=对称C ．()g x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过原点O 作斜率为()0k k >的直线交C 于点A ，取OA 的中点B ，过点B 作斜率为k -的直线l 交x 轴于点D ，则AF OD -=（）A ．1B ．2C ．4D ．与k 值有关12．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)(1)2f x f x ++-=，(2)(2)f x f x +=-，()f x 在[]0,1单调递减，则不等式1(1)12f x -<在区间[]8,8-所有整数解的和为（）A ．10B ．12C ．14D ．16第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．点(),0F c 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，圆()222:F x c y a -+=与双曲线C 的一条渐近线交于A 、B ，若△ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为________．14．在△ABC 中，120BAC ∠=︒，2AB =，BC =D 为BC 边上一点，且AB AD ⊥，则△ABD 的面积等于________．15．某校在“校园艺术周”活动中，安排了同时进行的演讲、唱歌、跳舞三项比赛，现准备从包括甲在内的五名同学中随机选派三名同学分别参加三项比赛，则甲不能参加演讲比赛的概率为________．16．关于x 的不等式log (01)x a a x a a ≥>≠且恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年．“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程．国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到2025年全国水产品年产量达到6900万吨．2018年至2021年全国水产品年产量y （单位：千万吨）的数据如下表：年份2018201920202021年份代号x 1234年产量y6.466.486.556.69（1）求y 关于x 的线性回归方程，并预测2025年水产品年产量能否实现目标；（2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了2019年全国32个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过90万吨的地区有14个，有渔业科技推广人员高配比（配比=渔业科技推广人员总数:渔业从业人员总数）的地区有16个，其中年产量超过90万吨且高配比的地区有4个，能否有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆy x βα=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121ˆniii nii x ynxy xnx β==-=-∑∑，ˆˆy x αβ=-，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.841 6.63510.828参考数据 6.545y =4165.83i ii x y==∑18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足211233333n n n a a a a n -++++=⋅ ．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若________，求数列{}n b 的前n 项和n T ．在①2n a n n S b n =+，②1n nb S =，③1(1)2n n n b a -=-⋅这三个条件中任是一个补充在第（2）问中，并求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA PC =，AB BC =．（1）求证：PB AC ⊥；（2）若平面PCD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，且22AB CD ==，90ABC ∠=︒，二面角P BC D --大小为45°，点E 是线段AP 上的动点，求直线EB 与平面PAD 所成角的正弦值的最小值，并说明此时点E 的位置．20．（本小题满分12分）21()ln (1)2f x ax x a x =+-+．（1）当4a =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0a >时，设()()f x g x x=，若()g x 既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+>>=的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E 过(2,1)T ，直线:l y x m =+与椭园E 交于A 、B ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线TA 、TB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：120k k +=；（3）直线l '是过点T 的椭圆E 的切线，且与直线l 交于点P ，定义PTB ∠为椭圆E 的弦切角，PAB ∠为弦TB 对应的椭圆周角，探究椭圆E 的弦切角PTB ∠与弦TB 对应的椭圆周角TAB ∠的关系，并证明你的论．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程12112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 是以(2,)2π为圆心，且过点23M π的圆．（1）求曲线C 的极坐标方程与直线l 的普通方程；（2）直线l 过点(1,1)P 且与曲线C 交于A ，B 两点，求22PA PB +的值．23．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数()221f x x x =+--．（1）求不等式()3f x ≥-的解集；（2）若(],,1a b ∈-∞且满足()()f a f b >，记c 是()f x 的最大值，证明：2122()a cb a b +≥+-．银川市2023年普通高中学科教学质量检测理科数学参考答案选择题答案123456789101112C ADCBCAABCAB填空题答案13．621415．4516．1,e e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17．（1）解：由题意知：1(1234) 2.54x =+++=， 6.545y =4165.83iii x y==∑4222221123430ii x==+++=∑所以414221465.834 2.5 6.5450.076304 2.54iii ii x yxyxx β==--⨯⨯===-⨯-∑∑，6.5450.076 2.5 6.35ˆ5ˆay x β-⨯==-=故y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.076 6.355yx =+．当8x =时，ˆ0.0768 6.355 6.963 6.9y=⨯+=>6分所以根据线性回归模型预测2025年水产品年产量可以实现目标．（2）列联表渔业年产量超过90万吨的地区渔业年产量不超过90万吨的地区合计有渔业科技推广人员高配比的地区41216没有渔业科技推广人员高配比的地区10616合计141832222()32(461012) 4.571 3.841()()()()16161418n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯>⨯⨯故有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．12分18．解：因为211233333n n n a a a a n -++++=⋅ 当2n ≥时2211231333(1)3n n n a a a a n ---++++=-⋅ 相减得11133(1)33(21)n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+得21n a n =+3分当1n =时，13a =满足上式4分综上：21n a n =+22n S n n=+6分（2）选①2n a nn S b n=+解：由（1）可知：21n a n =+22n S n n=+∴2212122222na n n n n S n nb n n n+++=+=+=++∵1231n n nT b b b b b -=+++++ ∴3(32)2(14)(5)8(41)21423n n n n n n n T ++-+-=+=+-12分选②1n nb S =解：由（1）可知：22n S n n=+∴11111((2)22n n b S n n n n ===-++∵1231n n nT b b b b b -=+++++ 111111111111111111()()()(((21322423524621122n T n n n n =-+-+-+-+++-++ 111113111(()212124212n n n n =+--=-+++++12分选③1(1)2n n n b a -=-⋅解：由（1）可知：21n a n =+∴1(1)22n n n n b a n -=-⋅=⋅∵1231n n nT b b b b b -=+++++ 则1231122232(1)22n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 于是得23122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得231112(12)222222(1)2112n nn n n n T n n n +++--=+++-⋅=-⋅=-⋅-- ，所以1(1)21n n T n +=-⋅+．12分19．（1）证明：取AC 的中点O ，连接OB ，OP∴OP AC ⊥①同理可得，OB AC ⊥②∵平面OP OB O = ，∴AC ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ∴PB AC⊥5分（2）以C 为原点，以CD 为x 轴，以CB 为y 轴，建立如图所示的坐标系平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，又90ABC ∠=︒，//AB CD ，所以BC CD ⊥，所以BC ⊥面PCD ，所以BC PC⊥PCD ∠二面角P BC D --的平面角，45PCD ∠=︒，22AB CD ==，所以P （2，0，2），A （2，2，0），B （0，2，0），D （1，0，0）设(),,E x y z ，()0,2,2PA =- ，()2,,2PE x y z =--，设PE PAλ= 解得()2,2,22P λλ-，所以()2,22,22PB λλ=--设平面PAD 的一个法向量为(),,n x y z =()0,2,2PA =- ，()1,2,0PD =22020y z x y -=⎧⎨-=⎩令1y =，∴2x =，1z =()2,1,1n =直线EB 与平面PAD 所成角的正弦值sin cos ,3<>PB n θ===≥，min 2sin 3θ=，此时0λ=，E 与P 重合．12分20．解析：21()ln (1)2f x ax x a x =+-+当4a =-时，2()2ln 3f x x x x=-++所以21431(41)(1)()430x x x x f x x x x x-++---'-++==>=解得1x >所以()f x 在（0，1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减所以()f x 在1x =处取得极大值(1)1f =，无极小值．5分()1ln ()(1)2f x xg x ax a x x==+-+有两个极值点，所以22211ln 11ln 2()02ax xx g x a x x +--'=+==有两个不等正根所以21()1ln 02h x ax x =+-=有两个不等正根．211()0ax h x ax x x-'-=>=解得x >所以()f x在上单调递减，在)+∞上单调递增当0h <，即11102a a +-<，解得3a e -<10分当x ∈时，令0min x ⎧⎪=⎨⎪⎩，易知，当0x x <，()0h x >当)x ∈+∞又因为ln 1x x <-，ln 1x x ->-+所以2211()1ln 222h x ax x ax x =>+-+-令2122y ax x =+-，当140a ∆=-≤，21202y ax x =+-≥恒成立所以存在0)x ∈+∞，当0x x >，()0h x >当140a ∆=->，21202y ax x =+-=有根1114a x a =，2114a x a +=所以存在02x x >时，当0x x >，()0h x y >>由零点存在定理，21()1ln 02h x ax x =+-=有两个不等正根．综上30a e -<<12分21．解析：（1）由题意知2b c a ==所以222a b=又椭圆经过T （2，1），所以22411a b+=解得26a =，23b =，所以椭圆方程为22163x y +=2分（2）联立直线与椭圆方程得2226y x mx y =+⎧⎨+=⎩∴222()6x x m ++=，∴2234260x mx m ++-=又因为有两个交点，所以221612(26)0m m ∆=->-，解得33m -<<又1243mx x +=-，212263m x x -=121212121211112222y y x m x m k k x x x x --+-+-+=+=+----1212122121112(1)(2222x m x m m x x x x -++-++=+=+++----1212121212442(1)2(1)(2)(2)2()4x x x x m m x x x x x x +-+-=++=++---++2442(3)32(1)2(1)0264(1)(3)2()433mm m m m m m m --+=++=-+-++--+得证8分（3）椭圆E 的弦切角PTB ∠与弦TB 对应的椭圆周角TAB ∠相等设切线方程为()12y k x -=-221226y kx k x y =+-⎧⎨+=⎩∴222(12)6x kx k ++-=∴222(12)4(12)2(12)60k x k k x k ++-+--=0∆=∴1k =-设切线与x 轴交点为Q ，TA 、TB 分别与x 交于C ，D12 0k k +=，所以TCD TDC ∠=∠，又TQD AMC ∠=∠，TCD TAB AMC ∠=∠+∠，TDC PTB POD ∠=∠+∠所以PTB BAT ∠=∠证毕．12分22．（1）解：∵直线l 的参数方程312112x t y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）∴直线l的普通方程为10x --=由cos x ρθ=，sin y ρθ=得，C （0，2），(M ，半径2CM =∴曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=5分（2）由（1）可知：曲线C 的普通方程为2240x y y +-=，将直线l 的参数方程312112x t y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的的普通方程为2240x y y +-=整理得21)20t t +--=设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则有121212t t t t +=-=-⎧⎪⎨⎪⎩由参数t的几何意义可得：222222121212()2(12(2)8PA PB t t t t t t +=+=+-=-⨯-=-10分23．（1）解：由题意知：4,2,3,21,4, 1.x x y x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩作出函数()221f x x x =+--的图象，它与直线3y =-的交点为()1,3--和()7,3-．由图象可知：不等式()3f x ≥-的解集[]1,7-．5分（2）由（1）可知：当1x =时，()y f x =取得最大值3，即3c =∵()y f x =在(],1-∞上单调递增，且()()f a f b >∴a b >，即0a b ->∵2221112(2)2()3()()3()()()a cb a b a b a b a b a b a b +-+=-+=-+-+----30≥-=（当且仅当21()a b a b -=-时取等号）∴2122()a cb a b +≥+-即证之10分银川市2023年普通高中学科教学质量检测文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

高三数学第一次教学质量检测试题理含解析试题

中学2021届高三数学第一次教学质量检测试题理〔含解析〕〔考试时间是是：120分钟满分是：150分〕考前须知1.在答题之前，必须在答题卡和答题卷规定的地方填写上本人的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第一卷时，每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第二卷时，必须使用毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹明晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域答题，超出答题区域书写之答案无效，在试题卷、草纸上答题无效.第一卷〔满分是60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分.在每一小题给出的四个选项里面，只一项是哪一项符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．假设{}1A B ⋂=，那么B =( ) A. {}1,3- B. {}1,0C. {}1,3D. {}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，应选C2.z 是z 的一共轭复数，假设()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，那么z =〔〕 A. 1i + B. 1i --C. 1i -+D. 1i -【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=，故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数的四那么运算上,经常由于忽略而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合一共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四那么运算中,只对加法和乘法法那么给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.那么以下各数中与MN最接近的是〔参考数据：lg3≈0.48〕 A. 1033B. 1053C. 1073D. 1093【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，应选D.【名师点睛】此题考察了转化与化归才能，此题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进展求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.4.奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.假设0.82(log 5.1),(2),(3)a g b g c g =-==，那么,,a b c 的大小关系为〔〕A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D.b c a <<【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数()f x 在R 上是增函数可得()g x 为偶函数且在[)0,+∞上为增函数，从而可判断,,a b c 的大小.【详解】()g x 的定义域为R .()()()()()g x xf x x f x xf x g x -=--=--==⎡⎤⎣⎦，故()g x 为偶函数.因为()f x 为R 上的奇函数，故()00f =，当0x >时，因为()f x 为R 上的增函数，故()()00f x f >=.设任意的120x x ≤<，那么()()120f x f x ≤<，故()()1122x f x x f x <，故()()12g x g x <，故()g x 为[)0,+∞上的增函数，所以 ()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，而0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，故()()()0.823log 5.12g g g >>，所以c a b >>.应选C.【点睛】此题考察函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比拟，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比拟应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.5.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，那么不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是〔〕A. {}|10x x -<≤B. {}|11x x -≤≤C. {}|11x x -<≤D. {}|12x x -<≤【答案】C 【解析】试题分析：如以下图所示，画出2()log (1)g x x =+的函数图象，从而可知交点(1,1)D ，∴不等式()()f x g x ≥的解集为(1,1]-，应选C ．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．1，l 2分别是函数f(x)=ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，那么△PAB 的面积的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2)C. (0,+∞)D. (1,+∞)【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -〔不妨设121,01x x ><<〕，那么由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A xB x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，应选A ．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.7.〔2021新课标全国Ⅲ理科〕圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为 A. π B.3π4 C.π2D. π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如下图，由题意可得：11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径2213122r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ1π24V r h ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，应选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或者线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或者只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体量的关系，列方程(组)求解.8.〔2021新课标全国I 理科〕记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．假设4524a a +=，648S =，那么{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C 4 D. 8【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，应选C. 点睛:求解等差数列根本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，假设m n p q +=+，那么m n p q a a a a +=+.9.设,m n 为非零向量，那么“存在负数λ，使得λ=m n 〞是“0m n ⋅<〞的〔〕 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】通过非零向量,m n 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<，而λ=m n 不成立，可判断出结论. 【详解】解：,m n 为非零向量，存在负数λ，使得λ=m n ，那么向量,m n 一共线且方向相反，可得0m n ⋅<.反之不成立，非零向量,m n 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<，而λ=m n 不成立.∴,m n 为非零向量，那么“存在负数λ，使得λ=m n 〞是0m n ⋅<〞的充分不必要条件. 应选：A.【点睛】此题考察了向量一共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的断定方法，考察了推理才能与计算才能，属于根底题.10.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩那么z ＝2x ＋y 的最小值是〔〕A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A 【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z ＝2x ＋y ，当直线经过B 〔－6，－3〕时，获得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目的函数的几何意义得函数在点B 〔－6，－3〕处获得最小值z min ＝－12－3＝－15.应选：A【点睛】此题考察二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目的函数表示的直线求得最值.11.椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y n n-=>的焦点重合，1e 、2e 分别为1C 、2C 的离心率，那么〔〕 A. m n >且121e e >B. m n >且111e e <C. m n <且121e e >D. m n <且121e e <【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合得出222m n -=，可得出m 、n 的大小，再由离心率公式可得出12e e 与1的大小关系，进而可得出结论.【详解】由于椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合，那么2211m n -=+，那么2220m n -=>，1m >，0n >，m n ∴>.21m e m ==，2e ==，121e e ∴====>，应选：A.【点睛】此题考察利用椭圆和双曲线的焦点求参数的大小关系，同时也考察了两曲线的离心率之积的问题，考察计算才能，属于中等题. 12.假设2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，那么()f x 的极小值为〔〕．A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'，因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e -=--，故()()212x f x x x e --'=+，令()0f x '>，解得2x <-或者1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减，所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，应选A ．【名师点睛】〔1〕可导函数y ＝f (x )在点x 0处获得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；〔2〕假设f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或者减的函数没有极值．第二卷〔非选择题一共90分〕本卷包括必考题和选考题两局部，第〔13〕题~第〔21〕题为必考题，每个试题考生都必须答题.第〔22〕题、第〔23〕题为选考题，考生根据要求答题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 . 【答案】7 【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=一共7个考点：三角函数图像14.如图，三棱锥A BCD -中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，那么异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是________．【答案】78【解析】如以下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，那么可知即为异面直线，所成角〔或者其补角〕易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.xoy 中，假设曲线2b y ax x=+〔,a b 为常数〕过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，那么a b += . 【答案】3- 【解析】曲线2b y ax x=+过点(2,5)P -，那么452b a +=-①，又2'2by ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,{2,a b =-=-所以3a b +=-．【考点】导数与切线斜率．16.如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B 〔在的上方〕，且2AB =．〔Ⅰ〕圆C 的HY 方程为；〔Ⅱ〕过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，以下三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是．〔写出所有正确结论的序号〕【答案】〔Ⅰ〕22(1)(2)2x y -+-=；〔Ⅱ〕①②③ 【解析】〔Ⅰ〕依题意，设〔为圆的半径〕，因为，所以，所以圆心，故圆的HY 方程为．〔Ⅱ〕联立方程组，解得或者，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，因为，，所以NA MA NBMB=．所以2221(21)22222NB MA NA MB -==-=-+， 222121222222NB MA NAMB+===-+ 正确结论的序号是①②③．考点：圆的HY 方程，直线与圆的位置关系．三、解答题：本大题一一共6小题，满分是70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17.某同学用“五点法〞画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了局部数据，如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ35π6sin()A x ωϕ+0 55-〔Ⅰ〕请将上表数据补充完好，填写上在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；〔Ⅱ〕将()y f x =图象上所有点向左平行挪动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．假设()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．【答案】〔Ⅰ〕π()5sin(2)6f x x =-；〔Ⅱ〕π6．【解析】〔Ⅰ〕根据表中数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表： x ωϕ+π2 π 3π2 2πxπ12 π37π125π613π12sin()A x ωϕ+ 055-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ获得最小值π6．考点：“五点法〞画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18. 某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见局部如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高.【答案】〔1〕25；〔2〕0.016.【解析】试题分析：解题思路：〔1〕通过茎叶图得出数据即可求解；〔2〕观察频率直方图中的各个矩形的高与面积即可.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考察频率直方图、茎叶图、频率分布表给出.试题解析：(1)分数在[50,60)的频率为0.00810＝0.08，由茎叶图知：分数在 [50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中 [80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016. .考点：1.茎叶图；2.频率直方图.19.如图，几何体是圆柱的一局部，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点.(1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小.【答案】〔1〕30；〔2〕60【解析】试题分析: (1)第(1)问,直接证明BE⊥平面ABP得到BE⊥BP,从而求出∠CBP的大小. (2)第〔2〕问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解.试题解析：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)方法一：如图，取EC的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC22+=3213取AG的中点M，连接EM，CM，EC，那么EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC为所求二面角的平面角．-=.又AM＝1，所以EM＝CM13123在△BEC中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，所以EC＝3为等边三角形，故所求的角为60°. 方法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系B －xyz.由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(133)，C(－13，0)，故AE ＝(2,0，－3)，AG ＝(13，0)，CG ＝(2,0,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量，由00m AE m AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得111123030x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(332)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得222230230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(33，－2)．所以cos 〈,m n 〉＝||||m n m n ⋅＝12.故所求的角为60°.点睛：此题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，必须仔细认真.20.椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>以抛物线28y x =的焦点为顶点，且离心率为12.〔1〕求椭圆E 的方程；〔2〕假设直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP OA OB =+〔其中O 为坐标原点〕，试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ⋅为定值？假设存在，求出点T 的坐标及OP TQ ⋅的值；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕存在，且定点T 的坐标为()1,0-. 【解析】【分析】〔1〕求出抛物线的焦点坐标可得出a 的值，由椭圆E 的离心率可得c 的值，进而可得出b 的值，由此可求得椭圆E 的方程；〔2〕设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出点P 的坐标，由点P 在椭圆E 上得出22443m k =+，并求出点Q 的坐标，设点(),0T t ，计算出OP TQ ⋅，由OP TQ ⋅为定值求出t ，由此可求得定点T 的坐标. 【详解】〔1〕抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，由题意可知2a =，且12c e a ==，1c ∴=，那么b == 因此，椭圆E 的方程为22143x y +=；〔2〕设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2224384120k x kmx m +++-=，由韦达定理得122843kmx x k +=-+，那么()121226243m y y k x x m k +=++=+， ()12122286,,4343kmm OP OA OB x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭，即点2286,4343kmm P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由于点P 在椭圆E 上，那么222281611434433km m k k ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22443m k =+，联立4y kx m x =+⎧⎨=-⎩，得44x y m k =-⎧⎨=-⎩，那么点()4,4Q m k --，设在x 轴上是否存在一点(),0T t ，使得OP TQ ⋅为定值，()4,4TQ t m k =---，()()()22284642188634342km t m m k k t ktm km m OP TQ k m m ++-+++⋅===++为定值，那么10t +=，得1t =-，因此，在x 轴上存在定点()1,0T -，使得OP TQ ⋅为定值.【点睛】此题考察椭圆方程的求解，同时也考察了椭圆中存在定点满足某条件问题的求解，考察计算才能，属于中等题.21.函数()2ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.〔1〕求a ；〔2〕证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.【答案】〔1〕a=1；〔2〕见解析. 【解析】【分析】〔1〕通过分析可知f 〔x 〕≥0等价于h 〔x 〕＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，进而利用h ′〔x 〕＝a 1x-可得h 〔x 〕min ＝h 〔1a〕，从而可得结论；〔2〕通过〔1〕可知f 〔x 〕＝x 2﹣x ﹣xlnx ，记t 〔x 〕＝f ′〔x 〕＝2x ﹣2﹣lnx ，解不等式可知t 〔x 〕min ＝t 〔12〕＝ln 2﹣1＜0，从而可知f ′〔x 〕＝0存在两根x 0，x 2，利用f 〔x 〕必存在唯一极大值点x 0及x 012＜可知f 〔x 0〕14＜，另一方面可知f 〔x 0〕＞f 〔1e〕21e =．【详解】〔1〕解：因为f 〔x 〕＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ＝x 〔ax ﹣a ﹣lnx 〕〔x ＞0〕，那么f 〔x 〕≥0等价于h 〔x 〕＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，求导可知h ′〔x 〕＝a 1x-．那么当a ≤0时h ′〔x 〕＜0，即y ＝h 〔x 〕在〔0，+∞〕上单调递减，所以当x 0＞1时，h 〔x 0〕＜h 〔1〕＝0，矛盾，故a ＞0．因为当0＜x 1a ＜时h ′〔x 〕＜0、当x 1a＞时h ′〔x 〕＞0，所以h 〔x 〕min ＝h 〔1a〕，又因为h 〔1〕＝a ﹣a ﹣ln 1＝0，所以1a=1，解得a ＝1；另解：因为f 〔1〕＝0，所以f 〔x 〕≥0等价于f 〔x 〕在x ＞0时的最小值为f 〔1〕，所以等价于f 〔x 〕在x ＝1处是极小值，所以解得a ＝1；〔2〕证明：由〔1〕可知f 〔x 〕＝x 2﹣x ﹣xlnx ，f ′〔x 〕＝2x ﹣2﹣lnx ，令f ′〔x 〕＝0，可得2x ﹣2﹣lnx ＝0，记t 〔x 〕＝2x ﹣2﹣lnx ，那么t ′〔x 〕＝21x-，令t ′〔x 〕＝0，解得：x 12=，所以t 〔x 〕在区间〔0，12〕上单调递减，在〔12，+∞〕上单调递增，所以t 〔x 〕min ＝t 〔12〕＝ln 2﹣1＜0，从而t 〔x 〕＝0有解，即f ′〔x 〕＝0存在两根x 0，x 2，且不妨设f ′〔x 〕在〔0，x 0〕上为正、在〔x 0，x 2〕上为负、在〔x 2，+∞〕上为正，所以f 〔x 〕必存在唯一极大值点x 0，且2x 0﹣2﹣lnx 0＝0，所以f 〔x 0〕20x =-x 0﹣x 0lnx 020x =-x 0+2x 0﹣220x =x 020x -，由x 012＜可知f 〔x 0〕＜〔x 020x -〕max 2111224=-+=；由f ′〔1e 〕＜0可知x 0112e ＜＜，所以f 〔x 〕在〔0，x 0〕上单调递增，在〔x 0，1e 〕上单调递减，所以f 〔x 0〕＞f 〔1e 〕21e=；综上所述，f 〔x 〕存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f 〔x 0〕＜2﹣2．【点睛】此题考察利用导数研究函数的极值，考察运算求解才能，考察转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题答题.注意：只能做所选定的题目，假如多做，那么按所做的第一个题目计分，答题时，请需要用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．〔Ⅰ〕以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；〔Ⅱ〕直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩〔t 为参数〕,l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】〔Ⅰ〕212cos 110ρρθ++=；〔Ⅱ〕. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简即可求解；〔Ⅱ〕先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=，再利用根与系数的关系和弦长公式进展求解.试题解析：〔Ⅰ〕化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=. ()221212124144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-. 由10AB =得23cos 8α=，15tan 3α=±. 所以l 的斜率为153或者153-. 23.函数()123f x x x =+--.〔I 〕在答题卡图中画出()y f x =的图像；〔II 〕求不等式()1f x >的解集．【答案】〔I 〕见解析〔II 〕()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【解析】试题分析：〔Ⅰ〕化为分段函数作图；〔Ⅱ〕用零点分区间法求解试题解析：〔Ⅰ〕如下图：〔Ⅱ〕()413{3212342x x f x x x x x -≤-=--<<-≥，，，()1f x >当1x ≤-，41x ->，解得5x >或者3x <1x ∴≤- 当312x -<<，321x ->，解得1x >或者13x < 113x ∴-<<或者312x << 当32x ≥，41x ->，解得5x >或者3x < 332x ∴≤<或者5x > 综上，13x <或者13x <<或者5x > ()1f x ∴>，解集为()()11353⎛⎫-∞⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭，，，考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法创作人：历恰面日期： 2020年1月1日。

2015年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学试题带答案及评分标准

2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理科） 2015.1本试卷共4页,21小题,满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1i3++等于( ) A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2-D ．i 2+2．已知集合{}02M x x =∈<<R ,{}1N x x =∈>R ,则()R MN =ð( )A ．[)1,2B ．()1,2C ．(]0,1D ．[)0,1 3．已知两个单位向量12,e e 的夹角为45︒,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是( )A ．1 BCD ．2 4. 已知,a b ∈R ,则“1a b >>”是“log 1a b <”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5．已知,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2 6．下列函数中,可以是奇函数的为( )A ．()()=-f x x a x ,a ∈RB ．2()1=++f x x ax ,a ∈RC ．()2()log 1=-f x ax ,a ∈RD ．()cos =+f x ax x ,a ∈R 7．已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题: ①存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥； ②存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥；③存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确．．．的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38. 有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( ) A . 45 B . 55 C . 10! D . 1010二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分． (一)必做题(9～13题)9．如果()1,1sin ,1x f x x x ì£ïï=íï>ïî,那么()2f f =⎡⎤⎣⎦ . 10.不等式13x x a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .11.已知点()2,0A -、()0,4B 到直线l :10x my +-=的距离相等,则实数m 的值为__________. 12.某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取4个家庭,则这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了《南方都市报》的概率为__________.13.如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据:2CD =,CE =45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲)如图2,P 是圆O 外一点,PA 、PB 是圆O 的两条切线,切点分别为A 、B ,PA 中点为M ,过M 作圆O 的一条割线交圆O 于C 、D 两点,若PB =1MC =,则CD = . 15.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线1C:)sin 1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0a >)的一个交点在极轴上,则a =______. C图1O DCA MPB图22013年11月份AQI 数据频率分布直方图2014年11月份AQI 数据频率分布表表2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0ω>,x ∈R )的最小正周期为π.(Ⅰ) 求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； (Ⅱ) 在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭17.(本小题满分12分)某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数(AQI )(单位:3g /m μ)资料如下:(Ⅰ) 请填好2014年11月份AQI 数据的频率分布表．．．．．并完成频率分布直方图．．．．．．．；(Ⅱ) 该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当AQI 100<时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点? 图32014年11月份AQI 数据频率分布直方图2014年11月份AQI 数据表118.(本小题满分14分)如图6,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是ABC ∠=60︒的菱形,M 为棱PC 上的动点,且PMPCλ=([λ∈(Ⅰ) 求证:△PBC 为直角三角形；(Ⅱ) 试确定λ的值,使得二面角P AD M --19.(本小题满分14分)数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知112a =，2(1)n n S n a n n =--(n ∈*N ). (Ⅰ) 求23,a a ；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项； (Ⅲ)设+11n n n b S S =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <(*n ∈N ).20.(本小题满分14分)已知曲线E :2211x y m m +=-. (Ⅰ) 若曲线E 为双曲线,求实数m 的取值范围；(Ⅱ) 已知4m =,()1,0A -和曲线C :()22116x y -+=.若P 是曲线C 上任意一点,线段PA 的垂直平分线为l ,试判断l 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.21.(本小题满分14分)已知函数()()ln x a f x x-=. (Ⅰ) 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；(Ⅱ) 若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值； (Ⅲ) 若0x >,证明:()ln 1e 1x x xx +>-(其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数). 图68π3π2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．[必做题] 9．1 10．(][),24,-∞-+∞ 11．112-或 12．96625(或0.1536) 13[选做题] 14．2 15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.【解析】(Ⅰ)依题意得2ππω=,解得2ω=,所以()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,………………2分所以sin sin cos cos sin 6343434f πππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224-⨯=.………4分 (Ⅱ)因为2x ππ-≤≤,所以532x πππ-≤-≤,列表如下:……………………6分画出函数()y f x =在区间,⎡⎤-上的图像如图所示!由图象可知函数()y f x =在,22-⎪⎝⎭上的单调递减区间为,28-- ⎪⎝⎭,,82 ⎪⎝⎭.…………12分 17.【解析】(Ⅰ) 频率分布表(3分)；频率分布直方图(6分) (Ⅱ) 支持,理由如下:2013年11月的优良率为:119200.0050.0050.0150.010330⎛⎫⨯⨯+++= ⎪⎝⎭, …………8分2014年11月的优良率为:3026, …………9分 ………8分2014年11月份AQI 数据频率分布直方图2014年11月份AQI 数据频率分布表因此2619723.3%20%303030-=≈> …………11分所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”.…………………12分18.【解析】(Ⅰ)取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OCOP O =,OC ⊂平面POC ,OP ⊂平面POC , 所以AD ⊥平面POC ,又PC ⊂平面POC ,所以AD PC ⊥,因为//BC AD ,所以BC PC ⊥,即90PCB ∠=︒,从而△PBC 为直角三角形.………………5分说明:利用PC ⊥平面AMD 证明正确,同样满分! (Ⅱ)[向量法]由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面平面PAD 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面ABCD .………………6 以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(P ,()0,1,0A -,()0,1,0D ,)C,(3,0,PC =………………7分由PM PC λλ==可得点M 的坐标为),………………9分所以()3AM =,()3,DM =-,设平面MAD 的法向量为(),,x y z =n ,则00AM DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即))00x y z x y z ++=-+= 解得10x z y λλ-⎧=⎪⎨⎪=⎩,令z λ=,得()1,0,λλ=-n ,………………11分显然平面PAD 的一个法向量为()3,0,0OC =,………………12分依题意cos ,5OC OC OCλ⋅===n n n ,解得13λ=或1λ=-(舍去), 所以,当13λ=时,二面角P AD M --的余弦值为5.………………14分[传统法]由(Ⅰ)可知AD ⊥平面POC ,所以AD OM ⊥,AD OP ⊥, 所以POM ∠为二面角P AD M --的平面角,即cos POM ∠=,………………8分在△POM 中,sin POM ∠=,PO =,4OPM π∠=,所以sin sin 4PMO POM π⎛⎫∠=∠+ ⎪⎝⎭sin cos cos sin 44POM POM ππ=∠+∠=,………10分由正弦定理可得sin sin PM PO POM PMO =∠∠,510=,解得PM =………………12分又PC =,所以13PM PC λ==, 所以,当13λ=时,二面角P AD M --………………14分19.【解析】(Ⅰ)当2n =时,2242S a =-,解得256a =； ……………………………………1分当3n =时,3396S a =-, 解得31112a =； …………………………………………2分(Ⅱ)方法一：当2n ≥时，()21(1)n n n S n S S n n -=---，整理得()2211(1)n n n S n S n n --=+-，即()1111n n n S nS nn -+-=- ……………………………………………5分所以数列()1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. ……………………………………………6分所以()1n n S n n +=，即21n n S n =+ ……………………………………………7分代入2(1)n n S n a n n =--中可得()111n a n n =-+. ……………………………………………8分方法二：由(Ⅰ)知:1231511,,2612a a a ===,猜想()111n a n n =-+,…………………………………4分下面用数学归纳法证明: ①当1n =时，()1112111n a ==-⨯+，猜想成立； ……………………………………………5分 ②假设()*n k k =∈N ,猜想也成立,即()111k a k k =-+,则当1n k =+时,有()()()22111111k k k k k a S S k a k k k a k k +++=-=+-+-+-P AB C DMO整理得()122k k k a ka ++=+，从而()()1112212211k k k a ka k k k k k +⎛⎫+=+=-+=+- ⎪ ⎪++⎝⎭，于是()()11112k a k k +=-++ 即1n k =+时猜想也成立.所以对于任意的正整数n ,均有()111n a n n =-+. ……………………………………………8分(Ⅲ) 由(Ⅱ)得21n n S n =+,()221n n b n n +=+, …………………………………………9分当2k ≥时，()2221121121(1)(1)(1)1k k k k k b k k k k k k k k k k k k +++⎛⎫==⋅≤⋅==- ⎪+++++⎝⎭………11分当1=n 时,13522T =<成立； …………………………………………………12分当2n ≥时,所以31111115252223341212n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 综上所述,命题得证. ………………………………………………………………………………14分 20.【解析】(Ⅰ) 因为曲线E 为双曲线,所以()10m m -<,解得01m <<, 所以实数m 的取值范围为()0,1.…………………………………………………4分 (Ⅱ)结论:l 与曲线E 相切.………………………5分证明:当4m =时,曲线E 为22143x y +=,即223412x y +=, 设()00,P x y ,其中()2200116x y -+=,……………………………………6分线段PA 的中点为001,22x y Q -⎛⎫⎪⎝⎭,直线AP 的斜率为001y k x =+,………………………………7分当00y =时，直线l 与曲线E 相切成立.当00y ≠时，直线l 的方程为00001122y x x y x y +-⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,即2200000112x x y y x y y ++-=-+,…9分因为()2200116x y -+=,所以220001214x y x +-=+,所以000017x x y x y y ++=-+,………………10分代入223412x y +=得220000173412x x x x y y ⎡⎤+++-=⎢⎥⎣⎦, 化简得()()()()2222200000041381747120x y x x x x x y ⎡⎤++-++++-=⎣⎦,…………12分即()()()()222000078171610x x x x x x +-++++=,所以()()()()222200006417471610x x x x ∆=++-+⨯+=所以直线l 与曲线E 相切.……………………………………………………14分说明:利用参数方程求解正确同等给分!21.【解析】(Ⅰ)当1a =-时,函数()f x 的定义域是()()1,00,-+∞,………………1分对()f x 求导得()()2ln 11xx x f x x -++'=,………………………………………………2分令()()ln 11xg x x x =-++,只需证:0x >时,()0g x ≤. 又()()()22110111xg x x x x '=-=-<+++,………………………………3分故()g x 是()0,+∞上的减函数,所以()()0ln10g x g <=-=…………………………5分所以()0f x '<,函数()f x 是()0,+∞上的减函数. …………………………………………………6分 (Ⅱ)由题意知,()11x f x ='=,…………………………………………7分即()1ln 111a a --=-,()ln 101a a a--=-…………………………………8分令()()ln 1,11a t a a a a =--<-,则()()211011t a aa '=+>--,…………………………………9分故()t a 是(),1-∞上的增函数,又()00t =,因此0是()t a 的唯一零点,即方程()ln 101aa a--=-有唯一实根0,所以0a =,…………………………………10分 [说明]利用两函数1xy x=-与()ln 1y x =-图象求出0a =(必须画出大致图象),同样给至10分.(Ⅲ)因为()ln e 11ln e e 1e 1e 1x x x x x x -+==---,故原不等式等价于()()ln e 11ln 1e 1xxx x -++>-,………11分由(Ⅰ)知,当1a =-时,()()ln 1x f x x+=是()0,+∞上的减函数,…………………………………12分故要证原不等式成立,只需证明:当0x >时,e 1xx <-,令()e 1x h x x =--,则()e 10xh x '=->,()h x 是()0,+∞上的增函数,…………………………13分所以()()00h x h >=,即e 1xx <-,故()()1e x f x f >-,即()()ln e 11ln 1e 1e 1xx xx x x -++>=--…………………………………………………………14分2015届佛山一模理科数学评分细则(补充)第16题三角函数(Ⅰ) ① ……4…得4分； ② 2ω=,得2分； ③ 2ππω=，得1分； ④ sin 634f πππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得1分； ⑤ sin 34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开正确得1分；(Ⅱ) ① 图形画对得6分； ② 有列表或图象有描对1,2个点或有曲线的趋势,得1分； ③ 图象不完整,大部分对得3分； ④ 画成折线,趋势都对,扣1分； ⑤ 单调区间无论开闭都不扣分；⑥ 写成“”或“或”扣1分；⑦ 列出一个单调区间得1分.第17题统计(Ⅰ) 分布表:频率填写成近似值不扣分(0.067,0.233,0.400,0.167,0.033,0.100)① 只要填对一个给1分；② 填错不超过一半给2分； ③ 填错超过一半给1分；④ 全对给3分. 直方图:只要六个方图作出来,高度不太离谱给3分. ① 只要作正确一个给1分； ② 错误不超过一半给2分. (Ⅱ) ① 只要有计算式,给1分；19300.633≈,只要在0.6~0.7均给2分； ②260.86730≈,只要在0.8~0.9给1分； ③ 若没有用增长率不给分!730只要在23%~24%给2分.只要有答不扣分.第18题立体几何第19题数列第20题解析几何(Ⅱ) ① 判断出相切给2分；第 11 页共 11 页由题意得曲线E :22143x y +=,设CP 与直线l 的交点为(),Q x y ,由中垂线性质知QA QP =, 所以4QA QC QP QC R AC +=+==>,所以Q 点轨迹是以,A C 为焦点,长轴为4的椭圆,易得Q 点轨迹方程为22143x y +=. 所以Q 为曲线E 上的点,即l 与曲线E 有交点.假设l 与曲线E 还有其他交点M , 同理可得24MA MC MP MC a R CP +=+====,所以,,C M P 三点共线,故,M Q 重合, 故l 与曲线E 有唯一交点,即l 与曲线E 的位置关系是相切,得证！第21题函数导数(Ⅰ) 第一问给分说明:① 定义域正确必得1分；② 求导正确给至2分(有无定义域都是2分)；③ 构造()()()1ln 1g x x x x =-++,然后正确证明同样给满分.(Ⅱ) 第二问给分说明:① 得出1x =处导数值为1得1分；整理后再得1分.③ 得出0a =但没理由支撑扣1分；但整道题只是给给出0a =只能得1分.(Ⅲ) 第三问给分说明:若纯粹用图形得到1e xx +<扣1分.。

安徽省滁州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测理科数学答案

安徽省滁州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测理科数学试题参考答案1．B 【思路点拨】首先解出两个集合，再根据交集的定义求A B【解析】22660x x x x >-⇔--<，解得：23x -<<，即{}23A x x =-<<，5222x<=，解得：52x <，即52B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，52,2AB ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.故选：B2．D 【思路点拨】由复数除法化简复数为代数形式，然后由复数的分类求解．【解析】2()(2)222122(2)(2)555a i a i i a ai i i a a i i i i ++++++-+===+--+，它为纯虚数，则2105a -=且205a +≠，解得12a =．故选：D ．3．B 【思路点拨】模拟程序运行，确定变量的值，判断循环条件得出结论．【解析】程序运行时变量值在循环体变化如下：1,1,1a S n ===，判断不满足4?n >；3,4,2a S n ===，判断不满足4?n >；5,9,3a S n ===，判断不满足4?n >；7,16,4a S n ===，判断不满足4?n >；9,25,5a S n ===，满足4?n >，输入25S =．故选：B ．4．C 【思路点拨】频率分布直方图中求出频率0.5对应的数值即可得．【解析】由频率分布直方图在区间[10,60)上的频率为(0.0040.012)250.4+⨯=，中位数在[60,85)上，设中位数为x ，600.50.4250.01625x --=⨯，解得66.25x =．故选：C ．5．D 【思路点拨】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，即可判断各选项是否正确.【解析】对于A ，若//m α，n ⊂α，则直线,m n 可以平行，也可以异面，所以A 错误；对于B ，因为αβ⊥不一定能成立，所以当m αβ=，n β⊂，n m ⊥时，n α⊥不一定成立，所以B 错误；对于C ，若//m α，//n β，//m n ，则//αβ，或平面α与平面β相交，所以C 错误；选项D ：若m α⊥，n β⊥，n m ⊥，则αβ⊥成立，所以D 正确. 故选:D.【名师指导】本题考查了空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判断，对空间想象能力要求较高，属于中档题.6．B 【思路点拨】先分配甲，按甲分到D 班和不分到D 班分类讨论．再分配丁，最后考虑乙和丙即可得．【解析】甲分到D 班，有336A =种方法；甲分到B 或C 班，有方法数1122228C C A =，总共有方法数为6814+=种．故选：B ．【名师指导】关键点点睛：本题考查排列组合的综合运算，解题关键是确定完成事件的方法，对于特殊元素特殊位置需优先安排．本题完成分配方案可先安排甲，然后安排丁，最后安排乙和丙，安排甲时需分类讨论：甲安排在D 班时，另外三人随便安排即可，甲安排在BC 两班之一，由丁只有两个班可安排，最后再安排乙丙，由此应用乘法原理和加法原理可得结论． 7．B 【思路点拨】由函数()()x f x ωϕ=+()()0,0,ωϕπ>∈的最小正周期为2π可计算出4ω=，然后根据三角函数图象的平移变换规律及三角函数的图象与性质得到关于ϕ的方程，即可得解．【解析】由题意得242πωπ==，故()()4f x x ϕ=+，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数24463y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，由243y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数得232k ππϕπ-+=+，k ∈Z 得76k πϕπ=+，k ∈Z ， ()0,ϕπ∈，6π=ϕ，故选：B ．【名师指导】本题是基础性题目，属于课程学习情境，具体是数学推理学习情境．考查逻辑思维能力和运算求解能力． 8．B 【思路点拨】计算出12c =，然后由指数函数和幂函数的性质比较,a b 与12的大小．【解析】91log 32c ==，121553422933b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又11554119322b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴c b a <<．故选：B ．【名师指导】本题考查幂和对数的大小，掌握对数函数、指数函数、幂函数的单调性是解题关键．能利用函数单调性的利用单调性比较，不能利用函数的单调性的或不同类型的数的可以与中间值如0或1等比较，本题对数值为12，然后把幂与12比较可得． 9．C 【思路点拨】由10AF =求出A 点坐标，求出O 关于准线的对称点P ，线段PA 的长就是所求最小值．【解析】易知抛物线28x y =的焦点为(0,2)F ，准线为:2l y =-，设(,)A x y ，不妨设0x >，210AF y =+=，8y =，则2864x y ==，8x =，O 关于准线l 的对称点为(0,4)P -，MA MO MA MP AP +=+≥，当且仅当,,A M P 三点共线时，等号成立，AP ==所以|MA |+|MO |的最小值为故选：C ．【名师指导】关键点点睛：本题考查抛物线的性质，考查直线上动点到两定点距离和的最小值问题，根据是平面上两点间线段最短，解题方法是利用对称性求出其中一个定点关于定直线的对称点，然后求出这个对称点与另一定点的距离即为最小值．10．C 【思路点拨】确定函数()f x 的性质，作出函数()f x 的图象，解方程(())30f f x +=时，先确定()3=-f t 的解t ，并确定解的范围，然后再研究()f x t =的解，这样可得结论．注意数形结合思想的应用．【解析】作出函数()f x 的图象，0x <时，1()2f x x x=+≤-（1x =-时取等号），(,1)-∞-上()f x 递增，(1,0)-上()f x 递减，(0,)+∞上()f x 递增，由图象可知()3=-f t 有三个解123,,t t t ，不妨设12310t t t <-<<<，由于1(2)232f -=-->-，因此12t <-，于是1()f x t =有3个解，2()f x t =有1个解，3()f x t =有一个解，共5个解．故选：C ．【名师指导】关键点点睛：本题考查方程的根与函数零点个数问题，解题方法是用换元法把方程的解的个数转化转化为函数图象与直线交点个数，转化是解决这类问题的关键．11．C 【思路点拨】分析出等差数列{}n a 的公差大于零，由87<1a a -分析出70a <，780a a +>，可得出130S <，140S >，进而可得出结果.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，87<1a a -，所以，8787710a a aa a ++=<，可得()7780a a a +<，由于等差数列的前n 项和n S 有最小值，且2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则02>d，即0d >，所以，78a a <，若70a >，则870a a >>，这与()7780a a a +<矛盾，所以，70a <，780a a +>，则()113137131302a a S a +==<，()()114147814702a a S a a +==+>，因此，当0n S <时，n 的最大值为13.故选：C.【名师指导】方法点睛：对于等差数列前n 项和的最值，可以利用如下方法求解：（1）将n S 表示为有关n 的二次函数，结合二次函数图象的开口方向与对称轴来处理；（2）从项的角度出发：①若n S 有最大值，只需将数列{}n a 中所有的非负项全部相加； ②若n S 有最小值，只需将数列{}n a 中所有的非正项全部相加.12．A 【思路点拨】利用导数确定函数是减函数，证明()(2)1f x f x +-=，这样不等式可化为12()()f x f x ≤形式再利用单调性可解．【解析】22111()()22x xx x e f x eee e --'=--+=-++，212x x e e e e+≥=，（当且仅当21xx e e e=，即1x =时等号成立），所以21()02f x e '≤-+<．所以()f x 是减函数．2211()(2)(2)22x x x x f x f x e e x e e x ---+-+-=-++-+-1=，即1()(2)f x f x -=-，不等式(2020)(20212)1f x f x ++-≤化为(20212)1(2020)(22020)f x f x f x -≤-+=--，又()f x 递减，所以2021222020x x -≥--，解得4039x ≤．故选：A ．【名师指导】方法点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的性质，首先利用导数确定函数的单调性，然后对函数式进行变形得()(2)1f x f x +-=，这是解题的关键．由此性质不等式可化为(20212)(2018)f x f x -≤--，这样再利用单调性解出不等式．13【思路点拨】求出a b -，再由模的坐标表示计算．【解析】由题意(3,5)a b -=--==14．17【思路点拨】设角α为锐角，利用同角三角函数的基本关系可求得sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可求得0cos x α=的值. 【解析】不妨设α为锐角，即02πα<<，所以，5336πππα，所以，sin 314πα⎛⎫+==⎪⎝⎭ 所以，01cos cos cos 33233x ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11112147⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：17.15．【思路点拨】设12,AF m AF n ==，由余弦定理得出,m n 的一个关系式，然后由双曲线的定义又得一个，两者结合可求得mn ，从而得三角形面积．【解析】由已知224,8a b ==，所以4823c =+=，即12(23,0),(23,0)F F -，设12,AF m AF n ==，∵1,3F AB π∠=所以22222122cos483F F m n mn m n mn π=+-=+-=，而24m n a -==，所以2()48m n mn -+=，248432mn =-=， 12113sin 32832322AF F S mn π==⨯⨯=△．故答案为：83．【名师指导】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，由于涉及到焦点三角形问题，可设焦半径为,m n ，利用余弦定理，双曲线的定义可求得,m n （只要求得mn ），然后由面积公式计算出面积．16．20π．【思路点拨】证明EF ⊥平面ADF ，从而得EF AF ⊥，再由90ABE ∠=︒，得AE 的中点O 是三棱锥F ABE -的外接球的球心，求出球半径后可得表面积．【解析】∵BE EF ⊥，//AD BE ，∴EF AD ⊥，又EF FD ⊥，AD FD D =，,AD FD ⊂平面ADF ，∴EF ⊥平面ADF ，∵AF ⊂平面ADF ，∴EF AF ⊥，而90ABE ∠=︒，∴AE 的中点O 到四点,,,A B E F 的距离相等，即为三棱锥F ABE -的外接球的球心，AE 为球直径，又22224225AE AB BE =+=+=，∴外接球表面积为()22445202AE S πππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：20π．【名师指导】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是找到外接球球心，求得球的半径．一般三棱锥外接球球心一定在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．如果三棱锥的面是直角三角形，则外心更易找到，从而外接球球心也易找到． 17．【思路点拨】（1）首先根据正弦定理，边角互化，可得22212a b c -=，再结合余弦定理求得ac ，最后计算ABC 的面积；（2）首先将正切化为正余弦，再利用正余弦定理化为边，最后代入22212a b c -=，化简求值. 【解析】（1）因为2222sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理，22222b c a +=，即22212a b c -=，若3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222b a c ac =+-，又22212a b c -=，所以232ac c =，而2c =，所以6ac =，所以1sin 22ABCSac B ==. （2）由22212a b c -=，知222222222222223tan sin cos 2231tan sin cos 22a c b c A A B a a c b ac b c a B B A b b c a c bc+-+-=====+-+-. 【名师指导】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．18．【思路点拨】（1）首先计算城市中，偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校个数，再补全22⨯列联表，并根据参考数据计算2K ，和临界数据比较，作出判断；（2）首先根据列联表分析，在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，再利用超几何分析求分布列和数学期望.【解析】（1）设城市中，偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校个数为n ，则1604n n =+，解得：20n =，再根据22⨯列联表依次补全表格()22160204040603210.6677.8791006080803K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关.（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则X 的可能取值为0，1，2.()0242261015C C P X C ===，()1142268115C C P X C ===，()204226225C C P X C ===. 所以X 的分布列为：X 的数学期望()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=. 【名师指导】关键点点睛：本题第二问的关键是根据列联表，可知偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，然后可知抽取的6人中的农村和城市学校个数，再按照超几何分布列表计算.19．【思路点拨】（1）要证明面面垂直，首先SAC 中求SA ，利用边长证得SA AC ⊥，再利用三角形全等，可证明SA ⊥平面ABC ；（2）方法一，向量坐标法，以A 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，分别求平面ABD 和SAB 的法向量,m n，利用公式cos ,m n m n m n⋅=求解；方法二，几何法，利用垂直关系作出二面角的平面角，直接求正弦值.【解析】（1）因为4SC =，点D 为SC 的中点，所以2SD DC ==，又2AC DA ==，所以ADC 是等边三角形，所以3DCA π∠=，所以SA =，所以222SC SA AC SA AC =+⊥，.又SAB SAC ≌，得SA AB ⊥，又AB AC A ⋂=，所以SA ⊥平面ABC ，又SA ⊂平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABC .（2）以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，在平面ABC 内过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，AS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，3,0)C ，3)S ，所以13(3)22D ，，所以(2,0,0)AB =，13322AD =(，). 设(,,)m x y z =为平面ABD 的法向量，由0,0.m AB m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，20,1330.22x yx z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令1z =,得()0,2,1m =-.而平面SAB 的一个法向量(0,1,0)n =，所以25cos ,5m n m n m n⋅==-. 设二面角S AB D --的平面角为θ，则5sin 5θ=. 方法2：取AC 中点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，过点E 作EF AB ⊥于F ，连接DF ，DFE ∠为二面角D AB C --的平面角.在Rt DEF △中，3DE =32EF =，152DF =，所以5cos EF DEF DF ∠==，因为二面角S AB D --的平面角与二面角D AB C --的平面角互余，所以二面角S AB D --5【名师指导】方法点睛：本题考查面面垂直的证明，本题的关键是第一问，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.20．【思路点拨】（1）分别求,b c ，再利用222a b c =+，求椭圆方程；（2）首先设直线l 方程为：+1y kx =，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用两点间距离表示22221122112222x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再化简，代入根与系数的关系求k . 【解析】（1）由已知得24b =，得2b =，4c =，22220a b c =+=，所以椭圆C 的方程为221204x y +=. （2）易知直线l 斜率存在，设直线l 方程为：+1y kx =. 联立2212041x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(15)10150k x kx ++-=，则2400600k ∆=+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221015k x x k +=-+，1221515x x k =-+. ∵OP OQ =，∴22221122112222x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即：[]12121212()()()()4x x x x k x x k x x -+=--++.∵12x x ≠，∴21212()()40x x k x x k ++++=， ∴3221010401515k k k k k --+=++，解得10k =，2k =，3k = 所以满足条件的直线l 方程为：1y =、1y x =+和1y x =+. 【名师指导】关键点点睛：本题考查直线与圆锥曲线相交问题，常规步骤是直线与椭圆联立后得到根与系数的关系后，利用两点距离得到22221122112222x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简是关键，利用平方差公式和点在直线上化简，求值.21．【思路点拨】（1）求出导函数()'f x ，按0a ≥和0a <分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）0x ≥时不等式成立，在0x <时，首先217()232f x x ++作为a 的函数是递减的，只要证明1a =时不等式成立即可，为此令()217232x h x e x x =+++（0x <），求出导函数()h x '，为了确定它的正负，需要对其进行再次求导（再引入一个函数，求导），由零点存在定理确定()h x '的零点0x 的范围，得min 0()()h x h x =，再证明最小值0()0h x >，可能要对0x 进一步缩小，才可得证．【解析】（1）解：函数()f x 的定义域为R ，()e xf x a '=+. ①当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，由()0f x '=得()ln x a =-，且()ln x a <-时()0f x '<，()f x 单调递减；()ln x a >-时()0f x '>，()f x 单调递增.综上，0a ≥时，()f x 在R 上单调递增；0a <时，()f x 在()(),ln a -∞-单调递减，在()()ln ,a -+∞单调递增. （2）证明：①当0x ≥时，显然有()2170232f x x ++>； ②当0x <时，令()()221717232232x g a f x x xa e x =++=+++在01a ≤≤时单调递减，所以只需证明()10g >，即2170232x e x x +++>. 令()217232x h x e x x =+++（0x <），则()()1x x h x e x ϕ'==++，显然()x ϕ单调递增（()10xx e ϕ'=+>），()20ϕ-<，()10ϕ->，所以存在唯一()02,1x ∈--，使()00x ϕ=，且()0,x x ∈-∞时()0x ϕ<，()h x 单调递减；()0,x x ∈+∞时()0x ϕ>，()h x 单调递增，所以()()0h x h x ≥.因为()00x ϕ=，所以0010x e x ++=，即()001xe x =-+，所以()()()0222000000017171251232232232x h x h x e x x x x x x ≥=+++=-++++=-. 又因为5ln 42ln 220.6934=≈⨯>，所以544e <，所以54511044e ϕ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，从而052,4x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以220125152502322432x ⎛⎫->⨯--= ⎪⎝⎭. 所以()0h x >，故待证不等式成立.【名师指导】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立．解题关键是转化．首先分类，0x ≥时不等式恒成立，在0x <时，先把参数a 作为主元，讨论后发现只要1a =时不等式成立即可，1a =时，引入新函数，求其最小值，证明最小值大于0，证明时由于最小值点不能求出，因此设为0x ，由零点存在定理得出0x 的范围，然后证明出结论．22．【思路点拨】（1）把参数方程化为普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程；（2）设2C上的动点为,sin M αα），求出点M 到直线的距离，利用三角函数知识可得取值范围．【解析】（1）∵直线1C 的参数方程为24x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）， ∴消去参数t ，得1C 的普通方程为60x y +-=．∵曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)3ρθ-=，22222cos sin )3ρρθθ∴--=（，2C ∴的直角坐标方程为22222)()3x y x y +--=（，即2213x y +=．（2）曲线2C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），设2C上的动点为,sin M αα），则2C 上的动点到1C距离|2sin()6|d πα+-==．∵[]2sin()2,23πα+∈-，则2C 上的动点到1C距离的最大值是∴2C 上的动点到1C距离的取值范围是⎡⎣．【名师指导】方法点睛：本题参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，涉及到椭圆上的点到定直线的距离的最值问题时可用椭圆的参数方程，设出点的坐标（对22221x y a b+=可设cos ,sin x a y b αθ==），由点到直线的距离公式把问题转化为三角函数的最值．23．【思路点拨】（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后可解不等式；（2）分类讨论去绝对值符号后求得函数()f x 的最小值，然后解关于m 的不等式，注意按分母m 的正负分类求解．【解析】（1）由不等式()6f x ≥可得：()2|1||2|6f x x x =-++≥，可化为：22226x x x ≤-⎧⎨---≥⎩或212226x x x -<<⎧⎨-++≥⎩或12226x x x ≥⎧⎨-++≥⎩解得：2x -≤或2x ≥，所以原不等式的解集为(][),22,-∞-+∞．（2）因为()3,2212=4,213,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=-++-+-<<⎨⎪≥⎩，所以()f x 在(),1-∞上单调递减，在[)1+∞，上单调递增，所以min ()(1)3f x f ==．要()2f x m m ≥+对任意R x ∈恒成立，只需23m m ≥+，即：2320m m m-+≤，所以()()1200m m m ⎧--≤⎨>⎩或()()1200m m m ⎧--≥⎨<⎩，解得：12m ≤≤或0m <，所以，实数m 的取值范围为()[],01,2-∞⋃．【名师指导】方法点睛：本题考查解含绝对值的不等式，绝对值不等式恒成立问题．解含绝对值的不等式的常用方法是利用绝对值的定义分类讨论去绝对值符号，然后解不等式．而不等式恒成立，在解关于参数m 的不等式时注意分式不等式的分类讨论求解．。

河北省石家庄市第二中学2020届高三教学质量检测数学(理)试题(含答案)

河北省石家庄二中高三教学质量检测试卷
数学（理科）
（时间：120 分钟分值：150 分）第 I 卷选择题（共 60 分）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A {x | 1 2x 4}, B {y | y lg x, x 1 } ，则 A B （）
点 P 在 x 轴上的投影为 E ，直线 QE 与椭圆 C 的另一个交点为 G ，若 PQG 为直角三角形，则椭圆 C 的离
心率为
16. 若函数 f (x) 的导函数 f '(x) Acos(x )(A 0, 0,| | ) ， 2
f '(x) 部分图象如图所示，则
，函数 g(x) f (x ) ， 12
GAC, GBC 的概率分别记为 P1, P2, P3, 则（）
A． P1 P2 P3
B． P1 P2 P3
C． P1 P2 P3
11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，
现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵 77cm ，横 53cm ．油画挂
在墙壁上的最低点处 B 离地面 237cm （如图所示）．有一身高为175cm 的
当
x1
,
x2
[
12
,
3
]
时，
|
g
(
x1
)
g
(
x2
)
|
的最大值为

．
三．解答题（共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）
（一）必考题（共 60 分）

高三教学质量检测(一)理科数学试题

2013年普通高中高三教学质量检测（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回．参考公式：①柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． ②锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． ③标准差(n s x x =++-x 为样本12,,,n x x x 的平均数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55--2．命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是A ．2,11x x ∀∈+<RB ．2,11x x ∃∈+≤RC ．2,11x x ∃∈+<RD ．2,11x x ∃∈+≥R3．已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k = A ．2 B ．8 C ．2- D ．8-4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．2325．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是 A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 C．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛第5题图11 正视图侧视图俯视图第4题图6．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．3-B ．12C ．5D ．6 7．已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<< ,且()2,MN b =,则a b +=A ．6B ．7C ．8D ．98．对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是 A ．(0,1) B ． (0,2) C ．15(,)22 D ．(1,3)二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()f x =2log x ，则1(())4f f 的值等于． 10．已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是_____． 11．函数sin sin 3y x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最小正周期为，最大值是． 12．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A 等级的概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望ξE 的值为______________. 13．观察下列不等式：1<<<；… 则第5个不等式为．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为． 15．（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ．若3AD AE =，则:AF FC = ．第15题图F ABCD E Ml三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，45C ∠=，D 为BC 中点，2BC =. 记锐角ADB α∠=．且满足7cos 225α=-．（1）求cos α；（2）求BC 边上高的值． 17．（本题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-，数列{}n b 是首项为1a ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且1311,,b b b 成等比数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本题满分14分）如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O上一点，且BC =．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =．（1）求证：PA CD ⊥；（2）求二面角C PB A --的余弦值．第18题图第16题图CA19．（本题满分14分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35, (06)814, (6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =．（1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 20．（本题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率e =过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =．（1）求椭圆的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同于,A B ）与直线2x =交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论． 21．（本题满分14分）设()xg x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<．（1）求函数()f x 的极值；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式11x e a x--<成立；（3）设12,λλ∈+R ，且121λλ+=，证明：对任意正数21,a a 都有：12121122a a a a λλ≤λ+λ．。

陕西省汉中市2024届高三一模数学(理)试题(教师版)

汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）本试卷共23小题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,0,1,2,023A B x x =-=<-<，则A B = （）A.{0,1}B.{1,0}- C.{1,0,1}- D.{0,1,2}【答案】A 【解析】【分析】将集合B 化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.【详解】将集合B 化简可得{}12B x x =-<<，则{}0,1A B = 故选:A2.已知()2i 1z +=，则复数z 的虚部为（）A.15-B.15 C.1i5- D.1i 5【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可.【详解】由()2i 1z +=可得12i 21i 2i 555z -===-+，即虚部为15-.故选：A3.已知向量(2,)m λ= ，(2,4)n λ=-- ，若m与n共线且同向，则实数λ的值为（）A.2B.4C.2- D.2-或4【答案】C 【解析】【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(2,)m λ= ，(2,4)n λ=--，∵m 与n共线且同向∴(2)80λλ-+=，解得2λ=-或4λ=，当4λ=时，m与n共线且反向，舍去，故选：C ．4.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（）A.67.5πB.πC.πD.【答案】A 【解析】【分析】将两个几何体合并成一个完整的圆柱，再计算体积即可.【详解】将两个几何体可以合并成一个完整的圆柱，则体积为()21π310567.5π2V =⨯⨯⨯+=.故选：A 5.已知2tan 3α=，则sin 2cos(2)απα--=（）A.713B.1113C.73D.1713【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合二倍角公式与同角的三角函数关系，构造齐次式即可求解.【详解】2222222sin cos cos sin 2tan 1tan 17sin 2cos(2)sin cos tan 113αααααααπαααα+-+---==++．故选：D.6.将数据1,3,5,7,9这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）A.15B.310C.25D.12【答案】C 【解析】【分析】计算出所有的随机删去两个数的方法，再求出剩下数据的平均数大于5的删去方法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】从5个数中随机删去两个数有(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9)共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是(1,3),(1,5),(1,7),(3,5)共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为42105P ==，故选：C7.下列说法正确的是（）A.“a b ≥”是“22am bm ≥”的充要条件B.“,4k x k π=∈Z ”是“tan 1x =”的必要不充分条件C.命题“0001,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”D.“1xy=”是“lg lg 0x y +=”的充分不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A 的正误，利用正切函数的性质判断B 的正误，利用命题的否定形式判断C 的正误，利用对数的定义判断D 的正误.【详解】对A ，若22am bm ≥中，0m =时a b <也成立，故A 错；对B ，当34x π=时，tan 1x =-，故tan 1x ≠，若tan 1x =，则(41)4k x π+=，故B 对；对C ，存在量词命题的否定是1,2x x x∀∈+<R ，故C 错；对D ，若1,,xy x y =均为负数，则lg ,lg x y 无意义，故D 错.8.已知双曲线221mx y +=的一条渐近线的斜率为2，则m =（）A .－4B.4C.14-D.14【答案】A 【解析】【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出m 的值.【详解】根据221mx y +=,得到2211x y m-=-,则焦点在y轴，故渐近线为y =，2=，故4m =-.故选：A9.下列函数中，既是偶函数，又在(),0∞-上是增函数的是（）A.()22x x f x -=- B.()23f x x =- C.()2ln =-f x xD.()cos3=f x x x【答案】C 【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD 错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B 错误，C 正确即可.【详解】选项A 中，()22xxf x -=-，定义域R ，()()()2222xx x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项D 中，()cos3=f x x x ，定义域R ，()()()cos 3cos3f x x x x x f x -=--=-=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项B 中，()23f x x =-，定义域R ，()()()2233f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数，但二次函数()23f x x =-在(),0∞-上是减函数，在()0,∞+上是增函数，故不符合题意；选项C 中，()2ln =-f x x ，定义域为(),0∞-()0,+∞ ，()()2ln 2ln f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数.当()0,x ∈+∞时，()2ln f x x =-是减函数，所以由偶函数图象关于y 轴对称可知，()f x 在(),0∞-上是增函数，故符合题意.故选：C.【点睛】方法点睛：定义法判断函数()f x 奇偶性的方法：（1）确定定义域关于原点对称；（2）计算()f x -；（3）判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数；若两者均不成立，则()f x 是非奇非偶函数.10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数4sin()y x ωϕ=+π0,||2ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上，且图象过点π,224⎛⎫ ⎪⎝⎭，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则使得函数单调递增的区间的是（）A.ππ,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.π5π,824⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.5π3π,248⎡⎤⎢⎣⎦ D.5π3π,84⎡⎤⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据已知得出函数的周期，求出ω，根据点的坐标，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值.然后得出函数的单调区间，即可得出答案.【详解】由已知可得，π22T =，所以πT =，2π2Tω==，()4sin 2y x ϕ=+.又图象过点π,224⎛⎫⎪⎝⎭，所以有π4sin 212ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，π1sin 122ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π2ϕ<，所以5ππ7π121212ϕ-<+<，所以ππ126ϕ+=，所以π12ϕ=，π4sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,2122k x k k -+≤+≤+∈Z 可得，7π5πππ,2424k x k k -+≤≤+∈Z ，所以，函数的单调递增区间为7π5ππ,π,2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .当1k =-时，单调递增区间为31π19π,2424⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，单调递增区间为7π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当1k =时，单调递增区间为17π29π,2424⎡⎤⎢⎣⎦；对于A 项，19ππ7π24324-<-<-，故A 项错误；对于B 项，因为7ππ5π24824-<<，故B 项正确；对于C 项，因为5π3π17π24824<<，故C 项错误；对于D 项，因为5π5π17π24824<<，故D 项错误.故选：B.11.如图，已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N .若四边形OCMN 的面积等于8，则E 的方程为（）A.22y x =B.24y x =C.23y =D.28y x=【答案】B 【解析】【分析】根据1AB k =求出M 的坐标，然后得MC 的方程，令0y =，得C 的坐标，利用直角梯形的面积求出p ，可得抛物线方程.【详解】易知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p y x =-，四边形OCMN 为直角梯形，且//FC NM .设()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)M x y ，则1212221212122122AB y y y y pk y y x x y y p p--====-+-，所以122y y p +=，所以0y p =，00322p p x y =+=，∴3,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭.所以MC 直线方程为32p y p x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭，∴令0y =，∴52p x =，∴5,02p C ⎛⎫⎪⎝⎭.所以四边形OCMN 的面积为1538222p p p ⎛⎫⨯+⨯= ⎪⎝⎭，∴2p =.故抛物线E 的方程为24y x =.故选：B.12.已知函数2e ()2x k f x x kx x =+-，若1x =是()f x 在区间(0,)+∞上的唯一的极值点，则实数k 的取值范围是（）A.2e ,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.3e ,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C.2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.3e ,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】求出函数导数221()(e )x x f x kx x-'=+⨯，由题可知需使得()2e x h x kx =+在(0,)+∞上没有变号零点，因此分离参数2e x k x -=，令2e ()(0)x g x x x =>，利用导数求得其最小值，则可得2e 4k -≤，即可求得答案.【详解】由题意得2222e e e 1()()(1)(e )x x x x x xf x kx k k x kx x x x--'=+-=+-=+⨯，由题意可得1x =是函数()f x '在区间(0,)+∞上唯一变号的零点，令()2e xh x kx =+，则需满足()h x 在(0,)+∞上没有变号零点；令()2e 0xh x kx =+=，得2e x k x -=，令2e ()(0)x g x x x =>，则3(2)()e xx g x x'-=，当2x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当02x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故当2x =时()g x 取得最小值2e(2)4g =，其大致图象如图：要使()h x 没有变号零点，则需2e 4k -≤，即2e4k ≥-，即实数k 的取值范围是2e ,)4[-+∞.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间(0,)+∞上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数221()(e )xx f x kx x-'=+⨯后，需使得()2e x h x kx =+在(0,)+∞上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.【答案】4【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1rn =ð（3x ）r ＝3r rn ðx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =ð54，可得2n =ð6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则2(3)(log 3)f f -+=__________.【答案】11【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】依题意2(3)(log 3)f f -+=()2222log 32log 3log 32222log 134log 22222311++=+=+=+=.故答案为：11【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.15.已知ABC 中，=3AB ，=2AC ，60A ∠=︒，则ABC 的外接圆面积为___________.【答案】7π3【解析】【分析】利用余弦定理求解边长BC ，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.【详解】解：根据题意，由余弦定理可得2222cos 7BC AB AC AB AC A BC =+-⨯⨯=⇒=，该ABC 的外接圆的半径为r ，则由正弦定理得：2221217π2πsin 333BCr r S r A===⇒=⇒==.故答案为：7π3.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.【答案】163##153【解析】【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为2464V R ππ==球，所以正三棱锥外接球半径4R =，如图所示，设外接球圆心为O ，过PO 向底面作垂线垂足为D ，(04)OD a a =≤<，要使正三棱锥体积最大，则底面ABC 与P 在圆心的异侧，因为-P ABC 是正三棱锥，所以D 是ABC 的中心，所以4,OP OA AD ====，又因为23ADB π∠=，所以AB BC AC ===⨯，()2133sin 16234ABC S AB AC a π=⨯⨯⨯=-△，所以()()232116(4)41664344P ABC ABC V S PD a a a a a -=⨯⨯=⨯-⨯+=--++△，令32()41664,(04)f a a a a a =--++≤<，2()3816(34)(4)0f a a a a a =--+=--+='解得4a =-或43，当40,3a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0f a '>；当4,43a ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，()0f a '<，所以()f a 在40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭递增，在4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故当43a =时，正三棱锥的体积P ABC V -最大，此时正三棱锥的高为416433a OP +=+=，故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为163.故答案为：163三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足38a =，572S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()112nn n n b a +=-+，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）31n a n =-（2）1344n n ++-【解析】【分析】（1）由等差数列前n 项和以及通项公式结合已知联立方程组，求出基本量1,a d 即可.（2）由分组求和法以及等比数列公式法即可求解.【小问1详解】设{}n a 公差为d ，依题意得()11154526228a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=⎩,解得123a d =⎧⎨=⎩,所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-，()*Nn ∈．【小问2详解】因为()112n n n n b a +=-+，()*N n ∈，所以()()()()232122143221222n n n n T a a a a a a +-=-+-+⋯+-+++⋯+()22221212332434412n n n n n n ++-=⨯+=+⨯-=+--．18.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号x1234不戴头盔人数y 125010501000900（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y 与年度序号x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；（2）交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,n n i i i i i i n n i i i i x y nxyx x y y b ay bx xnx xx ====---===---∑∑∑∑()2P K k ≥0.100.050.0250.0100.005k2.7063.841 5.024 6.6357.879()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++【答案】（1）ˆ1101325yx =-+，775（2）能有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）先求出x 与y ，代入公式后求出ˆb ，ˆa ，得到回归直线方程；（2）代入公式求出2 4.6875K =，与3.841比较，显然有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.【小问1详解】1234542x +++==，12501050100090010504y +++==，1222151250210030003600410502ˆ11051491642n i i i n i i x y nxy b xnx ==-+++-⨯⨯===-⎛⎫-+++-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，5ˆˆ105011013252a y bx =-=+⨯=，回归直线方程为ˆ1101325yx =-+5x =时，ˆ5501325775=-+=y【小问2详解】2250(727313)10402030 4.6875 3.841K ⨯⨯-⨯=>⨯⨯=⨯，故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，19.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为4的正三角形，侧棱1AA =1A 在平面ABC 上的射影为BC 边的中点O.（1）求证：平面1AOA ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角11C A B O --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13.【解析】【分析】（1）先证明出BC ⊥面1AOA ，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以O 为原点，1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【小问1详解】因为ABC 是边长为4的正三角形，BC 边的中点O ，所以BC OA ⊥.因为顶点1A 在平面ABC 上的射影为O ，所以1OA ⊥平面ABC ,1OA BC ⊥.因为1OA Ì面1AOA ，OA ⊂面1AOA ，1OA OA O = ,所以BC ⊥面1AOA .所以BC ⊂面11BCC B ，所以平面1AOA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】以O 为原点，1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.因为ABC 是边长为4的正三角形，O 为BC 边的中点，所以3sin 6042OA AB =︒=⨯=.在直角三角形1OAA中，16OA ==.所以()0,0,0O ，()A ，()0,2,0B ，()0,2,0C-，()10,0,6A .所以()AB =- ,()2,0AC =-- .在三棱柱111ABC A B C -中，由11AB A B =，()10,0,6A 可求得：()12,6B -.同理求得：()12,6C --.所以()11A B =- ，()10,2,6CA = ,()10,0,6OA = .设(),,m x y z = 为平面11OA B 的一个法向量，n 为平面11CA B 的一个法向量.因为11100A B m OA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2000060y z ⎧-++=⎪⎨++=⎪⎩，不妨设1x =，则()m = .同理可求：33n ⎛=- ⎝⎭ .设θ为二面角11C A B O --的平面角，由图可知：θ为锐角，所以,239cos cos ,13m n m n m n θ===⨯ .即二面角11C A B O --.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2A ⎛ ⎪⎝⎭，点()1,0F 为椭圆C 的右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0F 作两条斜率都存在且不为0的互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与椭圆相交1A 、1B ，直线2l 与椭圆相交2A 、2B 两点，求四边形1212A A B B 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）169【解析】【分析】（1）根据已知条件列式求出,a b 可得椭圆C 的方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出11||A B 和22||A B ，求出S 后，根据基本不等式求出最值可得解.【小问1详解】由题意可得2222212141a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=.【小问2详解】设直线1l 的方程为()10x ty t =+≠，联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222210t y ty ++-=，22244(2)8(1)0t t t ∆=++=+>,设()111,A x y ，()122,B x y ，则12222t y y t +=-+，12212y y t =-+，所以11A B =====)2212tt+=+，同理可得)2222221111212t tA Btt⎫⎛⎫-+⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫-+⎪⎝⎭，则()()()()22221122222224141116||||292212212t tS A B A Bt t t t++=⋅=≥=++⎛⎫+++⎪⎝⎭，当且仅当22212t t+=+，即1t=±时取等号.所以四边形1212A AB B的面积S的最小值为169.21.已知函数()lnf x x x=，()()21f xg x xx x=-+．（1）求函数()g x的单调区间；（2）若方程()f x m=的根为1x、2x，且21x x>，求证：211ex x m->+．【答案】（1）单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()g x的解析，从而求出导函数，即可得到函数的单调区间；（2）求导分析()f x的单调性，()1lnf x x'=+，推出()f x x<-，设直线y x=-与y m=的交点的横坐标为3x，则13x x m<=-，证明当1,1ex⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e1f x x<--，即可得证．【小问1详解】解：因为()lnf x x x=，()()21f xg x xx x=-+，所以()l1n2xg x xx=-+定义域为()0,∞+，()()222221212110xx xg x xx x x---+-'=--==≤，所以()g x在()0,∞+上单调递减，即()g x的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；【小问2详解】证明：()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当10e x <<时()0f x '<，当1ex >时()0f x ¢>所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()min 11e e f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，当01x <<时，()ln 0f x x x =<，所以12101x x e <<<<，且10em -<<，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()f x x <-，设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则1311ln x x m x x <=-=-，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--，设l e 111()ln (1)(n )11e ()e 1h x x x x x x x =--=-+---，11()ln 1e (1e )m x x x=-+--，则22e 11(1)1(e )(1))e (1x m x x x x --'=-=--，当11e e 1x <<-时，()0m x '<，当11e 1x <<-时，()0m x '>，所以()m x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上增函数，又因为10e m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10m =，所以当11ex <<时，()0m x <，()0h x <，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--，设直线1(1)1y x e =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则241(e 1)x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系：xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足3OP OM = ，P 点的轨迹为曲线2C ．（Ⅰ）求2C 的参数方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线3y x =与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，将曲线1C 、2C 的方程转化为极坐标方程后，求AB ．【答案】（Ⅰ）3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程和直角坐标方程进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：（Ⅰ）设(),P x y 由于P 点满足3OP OM = ，所以,33x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于点M 在1C 上，所以cos 31sin 3x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2C 的参数方程3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）曲线1C 的参数方程转换为极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程转换为极坐标方程为6sin ρθ=，直线3y x =转换为极坐标方程为π6θ=．所以2sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1A ρ=，同理6sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3B ρ=，故312A B AB ρρ=-=-=．【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用，其中涉及到轨迹方程的求解、极坐标中两点间的距离求解，难度一般.极坐标系中，极角相同的两点间的距离等于极径差的绝对值.[选修4－5：不等式选讲]23.设函数()|21|||,f x x x a a R=-++∈（1）当1a =时，解不等式()3f x ≥；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1x ≥或1x ≤-；（2）14a .【解析】【分析】（1）当1a =时，利用零点法进行分类，求出不等式()3f x ≥的解集；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，即min |1|()a f x - ，根据1,2a -之间的大小关系，进行分类，最后求出a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时，1()211322113x f x x x x x ⎧⎪=-++⇔⎨⎪-++⎩ ，或1121123x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-⎩ 或11213x x x -⎧⎨---⎩ ，即121x x ⎧⎪⎨⎪⎩ ，或1121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-⎩ ，或11x x -⎧⎨-⎩ ，即1x ≥或1x ≤-.（2）即min |1|()a f x - ，当12a =-时，min 1(),()|1|2f x f f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 恒成立；当12a >-时，31,1()1,2131,2x a x a f x x a a x x a x ⎧⎪-+--⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-⎪⎩，可知min 11()22f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，得1142a >- ；当12a <-时，131,21()1,231,x a x f x x a x a x a x a ⎧-+-⎪⎪⎪=--<<-⎨⎪+--⎪⎪⎩，同理min 11()22f x f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，得12a <-.综上，a 的取值范围为14a .【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了不等式存在性问题，正确的分类是解题的关键.21。

2013年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学试题答案-推荐下载

∴ ACO 为等边三角形，从而 CD AO ．-----------------3 分
∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D ，
∴ PD 平面 ABC ，又 CD 平面 ABC ， ∴ PD CD ，-----------------5 分
由 PD AO D 得， CD 平面 PAB ，

1 2n1
2
)

3 2n1
3n 1 2n
b3 a3
2Tn

bn an

3n 1 2n

解析：（Ⅰ）法 1：连接 CO ，由 3AD DB 知，点 D 为 AO 的中点，
又∵ AB 为圆 O 的直径，∴ AC CB ，
由 3AC BC 知， CAB 60 ，
D
O
C -----------------6 分
B
∴ BD BC 3 ，则 BDC ∽ BCA ， BC AB 2
∴ BCA BDC ，即 CD AO ． ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D ， ∴ PD 平面 ABC ，又 CD 平面 ABC ， ∴ PD CD ，
3
B
4
C
11． 2 （2 分）， 3 （3 分）
14． 2 sin( ) 1（或 2 cos( ) 1、 cos 3 sin 1 ）
6
3
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分 12 分）
解析：（1）∵ cos 2 2 cos2 1 7 ，∴ cos2 9 ，
∵ (0, ) ，∴ cos 3 ．

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第6页共6页佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B C A C A C D B 二、填空题（每题5分，共30分）

9． 10．8，70 11．12 12．12 13．4 14．(2,2)3k 15．92 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）4cos,5B且(0,180)B，∴23sin1cos5BB．-------------------------------2分 coscos(180)cos(135)CABB ------------------------------- 3分

2423cos135cossin135sin2525BB2

10． -------------------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2227sin1cos1()21010CB． -------------------------------8分由正弦定理得sinsinBCABAC，即10722102AB，解得14AB． -------------------------------10分

在BCD中，7BD， 22247102710375CD，所以37CD． -------------------------------12分 17．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3，所以高为0.30.065．频率直方图

如下：

-------------------------------2分第一组的人数为1202000.6，频率为0.0450.2，所以20010000.2n．

由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300，所以1950.65300p．第四组的频率为0.0350.15，所以第四组的人数为10000.15150，所以1500.460a．第6页共6页

-------------------------------5分（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人． -------------------------------6分随机变量X服从超几何分布．

031263185(0)204CCPXC，12126318

15(1)68CCPXC，

2112631833(2)68CCPXC，30126318

55(3)204CCPXC． -------------------------------10分

所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3

P 5204 1568 3368 55204 -------------------------------12分

∴数学期望5153355012322046868204EX． -------------------------------14分 18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵11Sa

，212122Saaa，3123136Saaaa，-------------------------------2分

由123,,SSS成等差数列得，2132SSS，即11122236aaa，解得11a，故21nan； ---------------------------------------4分（Ⅱ）211(21)()222nnnnnanbn， ---------------------------------------5分法1：12311111()3()5()(21)()2222n

nTn， ①

①12得，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222nnnTnn， ② ①②得，2311111112()2()2()(21)()222222nnnTn

11111(1)113121222(21)()12222212nnnnnn





， ---------------------------------------10分

∴4212333222nnnnnnT． ---------------------------------------12分法2：121112222nnnnnnanbn

，

设112nnkkkF，记11()()nkkfxkx，第6页共6页

则1111(1)()1(1)nnnnkknkkxxnnxxfxxxxx， ∴114(2)2nnFn， ---------------------------------------10分故111(1)1123224(2)13122212nnnnnnnTFn． ---------------------------------------12分 19．（本题满分14分）解：法1：（Ⅰ）连结BD，

∵PA平面ABCD，BD平面ABCD，∴PABD，又∵BDAC，ACPAA， ∴BD平面PAC，又∵E，F分别是BC、CD的中点，∴//EFBD， ∴EF平面PAC，又EF平面NEF， ∴平面PAC平面NEF；---------------------------------------4分（Ⅱ）连结OM， ∵//PC平面MEF，平面PAC平面MEFOM， ∴//PCOM， ∴14PMOCPAAC，故:1:3PMMA -------------------------------8分（Ⅲ）∵EF平面PAC，OM平面PAC，∴EFOM，在等腰三角形NEF中，点O为EF的中点，∴NOEF， ∴MON为所求二面角MEFN的平面角， ---------------------------------------10分 ∵点M是PA的中点，∴2AMNC，

所以在矩形MNCA中，可求得42MNAC，6NO，22MO， --------------------12分

在MON中，由余弦定理可求得22233cos233MOONMNMONMOON，

∴二面角MEFN的余弦值为3333． ---------------------------------------14分法2：（Ⅰ）同法1；（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,4)P，(4,4,0)C，(4,2,0)E，(2,4,0)F， ∴(4,4,4)PC，(2,2,0)EF，第6页共6页

设点M的坐标为(0,0,)m，平面MEF的法向量为(,,)nxyz，则(4,2,)MEm，所以00nMEnEF，即420220xymzxy，令1x，则1y，6zm，故6(1,1,)nm， ∵//PC平面MEF，∴0PCn，即24440m，解得3m，故3AM，即点M为线段PA上靠近P的四等分点；故:1:3PMMA --------------------------8分（Ⅲ）(4,4,2)N，则(0,2,2)EN，设平面NEF的法向量为(,,)mxyz，

则00mENmEF，即220220yzxy，令1x，则1y，1z，即(1,1,1)m，当M是PA中点时，2m，则(1,1,3)n，

∴11333cos,33311mn， ∴二面角MEFN的余弦值为3333．-------14分 20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222xyb

，

∵直线20xy与圆相切，∴22db，即2b， ---------------------------------------1分

又33cea，即3ac，222abc，解得3a，1c，所以椭圆方程为22132xy． ---------------------------------------3分（Ⅱ）设000(,)(0)Pxyy， (3,0)A，(3,0)B，则2200132xy，即2200223yx，则0103ykx，0203ykx， ---------------------------------------4分

即22200012222000222(3)2333333xxykkxxx， ∴12kk为定值23． ---------------------------------------6分（Ⅲ）设(,)Mxy，其中[3,3]x．