【6套】辽宁大连市第二十四中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析【冲刺实验班】
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷(文科) (含解析)
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x≤1}，则满足A∩B=A的集合B可以是A. {x|x≤0}B. {x|x≤2}C. {x|x≥0}D. {x|x≥2}2.设复数z满足|z−2i|=|z+1|，z在复平面内对应的点为(x,y)，则()A. 2x−4y−3=0B. 2x+4y−3=0C. 4x+2y−3=0D. 2x−4y+3=03.等差数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于()A. 0B. 9C. 12D. 184.已知甲、乙、丙三人中，一人是学霸，一人是班长(显然不是学霸)，一人是diao丝。
若纯从“颜值”分来看，乙比diao丝大；丙和学霸不同；学霸比甲小，则下列判断正确的是()A. 班长最漂亮B. 甲是diao丝C. 丙最漂亮D. 学霸最丑5.下列说法正确的是()A. 命题“∃x∈R，使得x2+2x+3<0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3>0”.B. “p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件．C. a∈R，“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件．D. 命题p:“∀x∈R,sinx+cosx≤√2”，则﹁p是真命题．6.已知平面向量a⃗=(2,0)，b⃗ =(−1,√3)，则a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角为()A. 2π3B. π2C. π3D. π67.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为()A. 6.25％B. 7.5％C. 10.25％D. 31.25％8. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m//α，m//β，则α//βC. m//α，α⊥β，则m ⊥βD. 若m//n ，m ⊥α，则n ⊥α9. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F 1,F 2是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为( ) A. √33 B. √32 C. √22 D. 12 10. 已知f(x)=x 2+ax +3ln x 在(1,+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−2√6]B. [−2√6,+∞)C. (−∞,√62]D. [−5,+∞)11. 在直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以线段AB 为直径的圆C 与直线x +y −4=0相切，则圆C 面积的最小值为( )A. 4πB. 2πC. πD. 12π 12. 下列函数的解析式中，满足f(x +1)=12f(x)的是 ( )A. f(x)=12(x +1)B. f(x)=x +14 C. f(x)=2xD. f(x)=2−x 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设函数f(x)={3+lg(x +1),x ≥01+2lg(−x),x <0，则f(3)+f(−5)=________． 14. 若点P(cosα,sinα)在直线y =−2x 上，则cos (2α+3π2)的值等于______ ．15. 已知数列{a n }是等比数列，满足a 2=2，a 2+a 4+a 6=14，则a 6=________16. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c−bc−a =sinAsinC+sinB．(1)求角B的大小；(2)如果b=2，求△ABC面积的最大值．18.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，E，F分别为AB，B1C1的中点．(Ⅰ)求证：B1E//平面ACF；(Ⅱ)求三棱锥B1−ACF的体积．19.2014年11月10日APEC会议在北京召开，某服务部需从大学生中招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试两部分，把参加笔试的60名大学生按成绩分组：第1组[75,80)有3人，第2组[80,85)有21人，第3组[85,90)有18人，第4组[90,95)有12人，第5组[95,100)有6人．(1)现决定在笔试成绩较高的第3、4、5组中用分层抽样抽取12人进行面试．则第3、4、5各组多少人？(2)已知甲和乙的成绩均在第5组，在(1)的条件下，求甲、乙至少有1人进入面试的概率．20.函数(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程；(2)求函数y=f(x)在区间[e,e2]上的最小值．21. 已知椭圆C ：x 22+y 2=1，点A(1,12)，B(1,2)． (Ⅰ)若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且A 为线段MN 的中点，求直线MN 的斜率；(Ⅱ)若直线l 2：y =2x +t(t ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△BPQ 面积的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．23. 已知函数f(x)=|x −2a|−|x −a|，a ∈R ．(1)若f(1)>1，求a 的取值范围；(2)若a <0，对x ，y ∈(−∞,a]，都有不等式f(x)≤|y +2020|+|y −a|恒成立，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集定义、集合间的基本关系，考查运算求解能力，是基础题．根据交集的定义对于选项逐一判断即可求解．解：因为A∩B=A，所以A⊆B，在A中，A∩B={x|x≤0}=B，不符合题意，在B中，A∩B={x|x≤1}=A，符合题意，在C中，A∩B={x|0≤x≤1}，不符合题意，在D中，A∩B=⌀，不符合题意．故选：B．2.答案：B解析：本题考查复数的代数表示及其几何意义，由z在复平面内对应的点为(x,y)，可得z=x+yi，然后根据|z−2i|=|z+1|，即可得解．解：∵z在复平面内对应的点为(x,y)，∴z=x+yi，所以z−2i=x+(y−2)i，z+1=x+1+yi，因为|z−2i|=|z+1|，所以x2+(y−2)2=(x+1)2+y2，解得2x+4y−3=0．故选B．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．解：∵等差数列{a n}：x，3x+3，6x+6，…，∴2(3x+3)=x+6x+6，解得x=0．∴此数列的首项a1=0，公差d=3．∴a4=0+3×(4−1)=9．故选：B．4.答案：A解析：本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．推导出乙是学霸，且乙比甲小，比diao丝大，得到甲不是diao丝，从而甲是班长，乙是学霸，丙是diao丝．解：由乙比diao丝大，得乙不是diao丝；由丙学霸不同，得到丙不是学霸；由学霸比甲小，得到甲不是学霸．从而得到乙是学霸，由乙比甲小，比diao丝大，得到甲不是diao丝，从而甲是班长，乙是学霸，丙是diao丝．故选A．5.答案：C解析：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定及充分条件与必要条件的概念的应用，属于中档题．利用命题的否定判断A、D，利用充分条件与必要条件的概念判断B、C，即可得到答案．解：对于A，命题“∃x∈R使得x2+2x+3<0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故A 错误；对于B，“p∧q为真命题”⇒“p∨q”是真命题，即充分性成立，反之，则不成立，即“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；对于C，1a <1”不能⇒“a>1”，例如a=−1，1−1<1，但−1<1，即充分性不成立；反之，若a>1，则1a <1，即必要性成立，故“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件，即C正确；对于D，命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤√2”，则￢p是：“∃x0∈R，sinx0+cosx0>√2”，为假命题，故D错误；综上所述，说法正确的是C．故选C．6.答案：C解析：解：设a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角为θ，a⃗+b⃗ =(1,√3)，∴cosθ=a⃗ ⋅(a⃗ +b⃗)|a⃗ ||a⃗ +b⃗|=2×√12+(√3)2=12，∴θ=π3．故选：C．利用向量夹角公式即可得出．本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力由于计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：本题考查了直方图和折线图，是基础题．根据水费开支占息开支的百分比为250250+450+100×20%可以得出答案．解：水费开支占息开支的百分比为250250+450+100×20%=6.25%．故选A．8.答案：D解析：解：A同时平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，也可能是异面直线，∴A错误．B.同时平行于同条直线的两个平面，不一定平行，可能相交，∴B错误．C.当m//α，α⊥β，则m⊥β不一定成立，可能相交，可能平行，∴C错误．D.若m//n，m⊥α，则根据直线平行的性质可知，n⊥α成立，∴D正确．。
2020年辽宁省大连二十四中高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年辽宁省大连二十四中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={1,3，5}，N ={2,3，5}，则M ∪N = ( )A. {3,5}B. {1,2，3}C. {2,3，5}D. {1,2，3，5}2. 如果复数(1+i)(2−ai)(a ∈R)为纯虚数，则a =( )A. 2B. 1C. 0D. −23. 已知命题p:“∀x ∈R ，都有x 2−2x +3>0”，则命题¬p 为( )A. ∀x ∈R ，都有x 2−2x +3≤0B. ∃x 0∈R ，使得x 02−2x 0+3≤0 C. ∀x ∈R ，都有x 2−2x +3<0D. ∃x 0∈R ，使得x 02−2x 0+3>04. 在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 6=17，且a 3，a 11，a 43成等比数列，则d =( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知随机变量X 满足D(X)=3，则D(3X +2)=( )A. 2B. 27C. 18D. 206. 在△ABC 中，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 先将函数y =−2sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y =g(x)的图象．则下列说法正确的是( )A. 函数y =g(x)的最小正周期2πB. 函数y =g(x)的图象的一条对称轴为x =π4 C. 函数y =g(x)的图象的一个对称中心为(π2,0) D. 函数y =g(x)为偶函数8. 若数列{a n }满足a 1=2,a n+1=1+an1−a n，则a 2018的值为( )A. 2B. −3C. −12D. 139. 已知A(−1,0)，B(2,3)，则|AB|=( )A. 3B. √2C. 3√2D. 2√210.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60∘，且AA1=3，则A1C的长为()A. √5B. 2√2C. √14D. √1711.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F是为圆心过点A的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，若|PQ|不小于双曲线的虚轴长，则该双曲线的离心率的取值范围是()A. (1,2]B. (1,√3]C. (1,3]D. R12.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有f′(x)=e x(2x+3)+f(x)，f(0)=1，则不等式f(x)<5e x的解集为()A. (−4,1)B. (−1,4)C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=alnx+bx2在点(1,1)处的切线方程为y=4x+m，则a+b=______．14.已知S n是数列{a n}的前n项和，且S n+1=S n+a n+3，a4+a5=23，则S7=_____15.已知点A(0,2)抛物线C：y2=4x的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=______ ．16.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AS=AB=1，BC=√3，则球O的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面积等于15√34，D为边长BC上一点．(1)求BC的长；(2)当AD=158时，求cos∠CAD的值．18.如图，已知四棱锥E−ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60∘，AB=EC=2，AE=BE=√2．(1)求证：平面EAB⊥平面ABCD；(2)求二面角A−EC−D的余弦值．19.在2019年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球的游戏，在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球则不用表演节目．(1)求该同学摸球三次后停止摸球的概率；(2)记X为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和期望．20. 已知C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，圆E ：x 2+y 2=a 2+b 2椭圆C 的离心率为√32，P 为椭圆上任意一点F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且△PF 1F 2为面积最大值为√3． (1)求椭圆C 的方程(2)斜率为k(k ≠0)的直线l 与椭圆C 相切于点M ，与园E 交于A ，B 两点，问AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 是否成立？请说明理由21. 已知函数f(x)=2a 2lnx −12x 2−ax(a ∈R)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a >0时，若f(x)在(1,e)上有零点，求实数a 的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤a<π)，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设C与l交于M、N两点(异于O点)，求|OM|+|ON|的最大值．23.设函数f(x)=|x+1|+|x−a|．(1)当a=1时，求关于x的不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤4在[0,2]上恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题．由M与N，求出两集合的并集即可．解：由集合M={1,3，5}，N={2,3，5}，得M∪N={1,2，3，5}，故选D．2.答案：D解析：本题考查了复数的四则运算，属于基础题．利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．解：(1+i)(2−ai)=2+a+(2−a)i，因为(1+i)(2−ai)为纯虚数，所以2+a=0，解得a=−2．故选D．3.答案：B解析：本题考查全称命题的否定，由全称命题的否定为特称命题即可求解．解：因为命题p:“∀x∈R，都有x2−2x+3>0”为全称命题，所以它否定为特称命题，即¬p为：∃x0∈R，使得x02−2x0+3≤0．故选B．解析：本题主要考查了等差数列的通项公式、等比数列的性质，属于基础题． 根据等差数列的通项公式、等比数列的性质列方程组求解即可． 解：设等差数列的首项为a 1，由题意得到{a 6=a 1+5d =17(a 1+10d )2=(a 1+2d )(a 1+42d ), 又d ≠0，解得d =3，a 1=2． 故选C ．5.答案：B解析：本题考查方差的求法，属于基础题，解题时要认真审题，注意方差的性质的合理运用． 利用方差的性质直接求解． 解：∵随机变量X 满足D(X)=3， ∴D(3X +2)=32D(X)=9×3=27． 故选B ．6.答案：C解析：本题考查向量基本定理运用，考查向量的加法、减法、数乘运算，属于基础题． 利用向量的加法法则进行计算即可； 解：∵DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ．7.答案：D解析：本题主要考查诱导公式、函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，以及正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．解：函数y=−2sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得，图象向右平移π4个单位长度，可得，则g(x)的最小正周期为，故A错误，令x=π4，求得g(x)=0，可得(π4,0)是g(x)的一个对称中心，故排除B；令x=π2，求得g(x)=−1，可得x=π2是g(x)的图象的一条对称轴，故排除C；，∴g(x)是偶函数，故选D．8.答案：B解析：【试题解析】本题考查了数列递推式及数列的周期性，属于基础题．由a1=2,a n+1=1+a n1−a n 求得a2=−3，a3=−12，a4=13，a5=2，……，可得：a n+4=a n，利用周期性即可得出．解：∵a1=2,a n+1=1+a n1−a n，∴a2=1+a11−a1=−3，同理可得：a3=−12，a4=13，a5=2，………，可得a n+4=a n，则a2018=a504×4+2=a2=−3．故选B．9.答案：C解析：本题考查两点间的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础． 直接利用两点间的距离公式，即可得出结论． 解：∵A(−1,0)，B(2,3)，∴|AB|=√(2+1)2+(3−0)2=3√2． 故选：C ．10.答案：A解析：本题考查了空间向量的应用，属于基础题．用空间向量解答，由A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2展开可得答案． 解：∵A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2,即A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗=1+9+1−2×3×1×cos60°+0 −2×3×1×cos60°=1+9+1−3−3=5， ∴A 1C =√5． 故选 A ．11.答案：C解析： 解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(c,0)，左顶点A(−a,0)，圆F ：(x −c)2+y 2=(a +c)2，则双曲线的一条渐近线方程为y=bax，圆心F(c,0)到渐近线bx−ay=0的距离为d=√a2+b2=bcc=b，则|PQ|=2√(a+c)2−b2≥2b，即有(a+c)2≥2b2=2(c2−a2)，即为c2−2ac−3a2≤0，由离心率e=ca，得e2−2e−3≤0，解得−1≤e≤3；又e>1，所以1<e≤3．故选：C．根据题意写出圆的标准方程，求出圆心到渐近线的距离，运用弦长公式求得弦长|PQ|，再由题意|PQ|不小于2b，结合a，b，c的关系和离心率公式即可求出离心率的取值范围．本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用问题，也考查了直线和圆的应用问题，是综合性题目．12.答案：A解析：本题考查了利用导数研函数的性质、方程与不等式的解法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．可令g(x)=f(x)e x，再设g(x)=x2+3x+c，根据f(0)=1，解得c=1，即可求出g(x)，由不等式f(x)< 5e x可得x2+3x+1<5，解不等式即可．解：令g(x)=f(x)e x，∴g′(x)=f′(x)−f(x)e x =e x(2x+3)e x=2x+3，∴g(x)=x2+3x+c，∵g(0)=f(0)e0=1，∴c=1，∴g(x)=x2+3x+1，∵f(x)<5e x，∴f(x)e x<5，∴x 2+3x +1<5，即x 2+3x −4<0，解得−4<x <1， 故选A ．13.答案：3解析：本题考查利用切线方程求参数的值，解题时要抓住以下两点：①切点处的导数值等于切线的斜率；②切点为函数与切线的公共点.考查计算能力，属于基础题．根据题意得出{f (1)=1f′(1)=4，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个量，即可得出a +b 的值．解：∵f (x )=alnx +bx 2，则f′(x )=ax +2bx ，由于函数f (x )=alnx +bx 2在点(1,1)处的切线方程为y =4x +m ， 则{f (1)=b =1f′(1)=a +2b =4，解得{a =2b =1，因此，a +b =3． 故答案为3．14.答案：70解析：本题考查了数列的递推公式和等差数列的求和，属基础题．由S n+1=S n +a n +3可得a n+1−a n =3，可得数列{a n }是一个等差数列，然后由求和公式即可得S 7． 解：∵S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n+1=S n +a n +3， ∴a n+1−a n =3，∴数列{a n }是一个首项为a 1，公差为3的等差数列， 由a 4+a 5=23，∴2a 1+7d =2a 1+21=23，得a 1=1， ∴S 7=7a 1+7×62d =7+63=70．故答案为：70．15.答案：1：√5解析：解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，点A坐标为(0,2)，∴抛物线的准线方程为l：x=−1，直线AF的斜率为k=−2，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠NMP=−k=2，∴|PN||PM|=2，可得|PN|=2|PM|，得|MN|=√|PN|2+|PM|2=√5|PM|因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：√5．故答案为：1：√5．求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=2.过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|.Rt△MPN中，根据tan∠NMP=−k=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=√5|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．16.答案：5π解析：本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、四面体的性质及构造法的合理应用．四面体S−ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径，由此求出球O的表面积．解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S−ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径，∵SA=AB=1，BC=√3，∴2R=√SA2+AB2+BC2=√5，即R=√52，∴球O的表面积S=4πR2=5π．故答案为：5π．17.答案：解：(1)在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面积等于12⋅AC⋅AB⋅sin∠BAC=12⋅3⋅AB ⋅√32=15√34， ∴AB =5，再由余弦定理可得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =25+9−2×5×3×(−12)=49， ∴BC =7． (2)由题意可得cosC =CA 2+CB 2−AB 22CA⋅CB=1114，sinC =5√314． D 为边长BC 上一点，当AD =158时，△ACD 中，利用正弦定理可得ADsinC =ACsin∠ADC ，即1585√314=3sin∠ADC，求得sin∠ADC =4√37，∴cos∠ADC =±√1−sin 2∠ADC =±17．当cos∠ADC =17，cos∠CAD =−cos(C +∠ADC)=−cosC ⋅cos∠ADC +sinC ⋅sin∠ADC =−1114⋅17+5√314⋅4√37=12．当cos∠ADC =−17，cos∠CAD =−cos(C +∠ADC)=−cosC ⋅cos∠ADC +sinC ⋅sin∠ADC =−1114⋅(−17)+5√314⋅4√37=7198．解析：(1)由条件利用余弦定理、三角形的面积公式先求得AB 的值，可得BC 的值．(2)利用正弦定理求得sin∠ADC 的值，可得cos∠ADC 的值，再利用两角和的余弦公式，求得cos∠CAD =−cos(C +∠ADC)的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用、三角形的面积公式，两角和差的三角函数，属于中档题．18.答案：(I)证明：取AB 的中点O ，连接EO ，CO ，∵△AEB 中，AE =EB =√2,AB =2，∴AE 2+EB 2=4=AB 2，得△AEB 为等腰直角三角形， ∴EO ⊥AB ，EO =1，又∵△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =60°， ∴△ACB 是等边三角形，得CO =√32AB =√3，又∵EC =2，∴在△ECO 中，EC 2=4=EO 2+CO 2，得EO ⊥CO ， ∵AB ∩CO =O ，AB ，CO ⊂平面ABCD ， ∴EO ⊥平面ABCD ，又∵EO ⊂平面EAB ， ∴平面EAB ⊥平面ABCD ；(II)解：以AB 中点O 为坐标原点，以OC 所在直线为x 轴，以OB 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,−1,0),C(√3,0,0),D(√3,−2,0),E(0,0,1) ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0), EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−1),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)， 设平面DCE 的法向量n⃗ =(x,y,1) ∴{EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{√3x −1=02y =0，解得{x =√33y =0， ∴n ⃗ =(√33,0,1)，设平面EAC 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b,1)， ∴{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，即{√3a +b =0√3a −1=0，解得{a =√33b =−1， ∴m ⃗⃗⃗ =(√33,−1,1)，∵根据空间向量的夹角公式， 得cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√77， ∴二面角A −EC −D 的余弦值为2√77．解析：本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了空间线面垂直、面面垂直的判定与性质和利用空间向量的方法求面面所成角的知识，属于中档题．(I)取AB 的中点O ，连接EO ，CO.由题意，可得△AEB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，得EO ⊥AB ，再由等边三角形△ACB的高线CO =√3，得到平方关系：EC 2=EO 2+CO 2，得EO ⊥CO ，所以EO ⊥平面ABCD ，从而得到平面EAB ⊥平面ABCD ；(II)以AB 中点O 为坐标原点，以OB 、OE 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系，求出A 、C 、D 、E 各点的坐标，从而得到向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法，建立方程组并解之，分别可求得平面DEC 和平面EAC 的法向量n ⃗ 、m ⃗⃗⃗ 的坐标，最后利用空间向量的夹角公式，可算出二面角A −EC −D 的余弦值．19.答案：解：(1)设“1名同学摸球3次后停止摸球”为事件A ，则P(A)=34×23×12，故1名同学摸球3次停止摸球的概率为14． (2)随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4， P(X =0)=14；P(X =1)=2A 42=16；P(X =2)=1A 42+A 22A 43=16； P(X =3)=C 21A 22A 43=16；P(X =4)=A 33A 44=14，所以随机变量X 的分布列：E (X )=0×14+1×16+2×16+3×16+4×14=2．解析：本题考查古典概型的计算与应用，分布列和期望，在处理随机变量所代表的事件的时候，要做到不重不漏．属于中档题．(1)三次后停止，说明第三次摸到黑球，即前两次摸到其它颜色的球．设“1名同学摸球3次后停止摸球”为事件A ，所有基本事件可理解为从4个球中选出三个排在前三个位置，有A 43种，事件A 包含的基本事件可以理解为：从除黑球外的三个球中选出两个排在前两个位置，第三位置拍黑球，有A 32种．代入概率公式即可．(2)X 的取值分别为0，1，2，3，4.当x =0时，代表第一次就摸到黑球，X =1代表第一次摸到黄球或白球，第二次摸到黑球，X =2代表前两次摸出黄球和白球，第三次摸到黑球或者第一次摸到红球第二次摸到黑球，X =3代表前两次摸到红球和黄球，或红球和白球，第三次摸到黑球．X =4代表第四次摸到黑球．分别求出其概率，即可列出随机变量X 的分布列并求出期望．20.答案：解：(1)椭圆C 的离心率为√32，则e =c a =√32，① ∵△PF 1F 2为面积最大值为√3，∴bc =√3，② 又a 2=b 2+c 2，③由①②③解得a =2，b =1，c =√3， 故椭圆方程为x 24+y 2=1，(2)由(1)知，圆E 的方程为x 2+y 2=5，其圆心为原点O ． ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M(x 0,y 0) ∴方程组{y =kx +mx 24+y 2=1(∗) 有且只有一组解．由(∗)得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0．从而△=(8km)2−4(1+4k 2)(4m 2−4)=0，化简得m 2=1+4k 2，则m ≠0 ∴x 0=−8km2(1+4k 2)=−4km1+4k 2=−4km ， y 0=k ×(−4km )+m =m 2−4k 2m=1m ，∴点M 的坐标为(−4k m ,1m )，∴k OM =−14k∴k OM ×k =−14≠−1．∴OM 与AB 不垂直．) ∴点M 不是线段AB 的中点． ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 不成立解析：(1)利用椭圆的离心率，△PF 1F 2为面积最大值为√3，然后求解，即可得到椭圆C 的方程． (2)求出圆E 的圆心为原点O ，利用直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，联立方程组，通过韦达定理结合直线的斜率关系判断即可．本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=2a 21x −x −a =−(x−a )(x+2a )x，由f ′(x)=0得x =a 或x =−2a ．当a =0时，f ′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间． 当a >0时，由f ′(x)>0得0<x <a ，f(x)为增函数， 由f ′(x)<0得x >a ，f(x)为减函数，所以f(x)的单调递增区间是(0,a)，单调递减区间是(a,+∞). 当a <0时，由f ′(x)>0得0<x <−2a ，f(x)为增函数， 由f ′(x)<0得x >−2a ，f(x)为减函数，所以f(x)的单调递增区间是(0,−2a)，单调递减区间是(−2a,+∞);综上所述，当a =0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间. 当a >0时，f(x)的单调递增区间是(0,a)，单调递减区间是(a,+∞); 当a <0时，f(x)的单调递增区间是(0,−2a)，单调递减区间是(−2a,+∞); (Ⅱ)当a >0时，f(x)的单调递增区间是(0,a)，单调递减区间是(a,+∞)， f(1)=−12−a <0，故a >1．当e ≤a 时，f(x)在(1,e)为增函数，f(x)在(1,e)上有零点，则f(e)>0， 所以4a 2−2ea −e 2>0，所以a <1−√54e 或a >1+√54e ，所以a ≥e;当1<a <e 时，f(x)在(1,a)递增，在(a,e)递减， 因为f(1)<0，所以f(a)≥0，即2a 2lna −12a 2−a 2≥0， 所以lna ≥34，所以e 34≤a <e ， 综合得：实数a 的取值范围为[e 34,+∞)．解析：本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查了运算能力和转化能力和分类讨论的能力，属于难题．(Ⅰ)先求出函数的定义域，再求导，分类讨论，即可求出函数的单调区间;(Ⅱ)a >0，f(x)在(1,e)上有零点，利用(Ⅰ)的结论，讨论a 与区间(1,e)的关系，得到区间(1,e)的单调性，求满足条件的a 的范围．22.答案：解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =2cosβy =2+2sinβ (β为参数)，∴消去参数β，得曲线C 的普通方程为x 2+(y −2)2=4， 化简得x 2+y 2=4y ，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ；(2)∵直线l 的参数方程为{x =tcosαy =2+tsinα(t 为参数，0≤α<π)，∴由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0,2)，也就是圆C 的圆心，则∠MON =π2， 不妨设M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+π2)，其中θ∈(0,π2)， 则|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4sinθ+4sin(θ+π2) =4(sinθ+cosθ)=4√2sin(θ+π4)，所以当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为4√2．解析：本题考查曲线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． (1)曲线C 的参数方程消去参数β，得曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程； (2)由直线l 的参数方程可知，直线l 必过圆C 的圆心(0,2)，则∠MON =π2，设M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+π2)，则|OM|+|ON|=4√2sin(θ+π4)，当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为4√2． 23.答案：解：(1)a =1时，f(x)=|x +1|+|x −1|={−2x,x <−12,−1≤x <12x,x ≥1，故f(x)≥3是解集是(−∞,−32]∪[32,+∞)； (2)∵x ∈[0,2]，∴x +1+|x −a|≤4， 即|x −a|≤3−x ，则−3≤−a ≤3−2x ， 故1≤a ≤3．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于基础题． (1)代入a 的值，求出f(x)的分段函数的形式，求出不等式的解集即可； (2)问题转化为−3≤−a ≤3−2x ，根据x 的范围，求出a 的范围即可．。
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷(理科)
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若集合A ＝{x|x ≤1}，则满足A ∩B ＝A 的集合B 可以是（ ） A.{x|x ≤0} B.{x|x ≤2} C.{x|x ≥0} D.{x|x ≥2}2. 设复数z 满足|z −i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x, y)，则（ ）A.(x +1)2+y 2＝1B.(x −1)2+y 2＝1C.x 2+(y −1)2＝1D.x 2+(y +1)2＝13. 等差数列x ，3x +3，6x +6，…的第四项等于（ ） A.0 B.9 C.12 D.184. 2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么（ ） A.国防大学，研究生 B.国防大学，博士C.军事科学院，学士D.国防科技大学，研究生5. 下列说法正确的是（ ）A.a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件B.“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C.命题“∃x ∈R 使得x 2+2x +3<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x +3>0”D.命题p ：“∀x ∈R ，sin x +cos x ≤√2”，则￢p 是真命题6. 已知平面向量a →=(3, 0)，a →+2b →=(1, 2√3)，则a →与b →的夹角等于（ ） A.π6 B.π3C.2π3D.5π67. 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A.6.25%B.7.5%C.10.25%D.31.25%8. 若抛物线y 2＝4x 通径为MN （其中M 是第一象限点），当点P(cos α, sin α)是OM 上的点时，则cos (2α+π2)的值等于（ ） A.45 B.−45C.43D.−439. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60∘时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A.√3 B.√2C.2√33D.210. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE(A 1∉平面ABCD)，若M 、O 分别为线段A 1C 、DE 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A.与平面A 1DE 垂直的直线必与直线BM 垂直B.异面直线BM 与A 1E 所成角是定值C.一定存在某个位置，使DE ⊥MOD.三棱锥A 1−ADE 外接球半径与棱AD 的长之比为定值11. 定义在(1, +∞)上的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x ∈(1, +∞)恒有f(2x)=2f(x)成立； (2)当x ∈(1, 2]时，f(x)=(2−x)2；记函数g(x)=f(x)−k(x −1)，若函数g(x)恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.[1, 2)B.[43, 2]C.(43, 2)D.[43, 2)12. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C:x 2+y 2＝1+|x|y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上存在到原点的距离超过√2的点； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中所有正确结论的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）.在(1−x)5+(1−x)6+(1−x)7+(1−x)8的展开式中，含x 5的项的系数是________．函数y =2sin (π6−2x),x ∈[−π,0]的单调递增区间为________．已知函数f(x)＝x(x 5−16x 2+x −4)，且f(x)≥f(x 0)对x ∈R 恒成立，则曲线y =f(x)x在点(x 0, f(x 0)x 0)处的切线的斜率为________．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c cos B =a −12b 且c =√3． （1）求角C 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求ab 的取值范围．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知四边形AA 1C 1C 为矩形，AA 1＝6，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝∠BAA 1＝60∘，∠A 1AC 的角平分线AD 交CC 1于D ． (Ⅰ)求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； (Ⅱ)求二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值．2019年女排世界杯（第13届女排世界杯）是由国际排联(FIVB)举办的赛事，比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行，共有12支参赛队伍．本次比赛启用了新的排球用球MIKASA −V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布N(270, 52)．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分．第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p <1)． （1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260, 270)内的排球个数（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p 0，并以p 0作为p 的值，解决下列问题．(i)在第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列；(ii)已知第10轮美国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．参考数据：X ∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)≈0.9973．设函数f(x)=x −1x ，g(x)＝t ln x(t ∈R)，（1）讨论函数ℎ(x)＝f(x)+g(x)的单调区间；（2）若当x∈(0, 1)时f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求正实数t的取值范围．已知动直线l与椭圆C:x26+y24=1交于P(x1, y1)，Q(x2, y2)两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=√6，其中O为坐标原点．(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值；(Ⅱ)设线段PQ的中点为M，求|OM|⋅|PQ|的最大值；（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−ty=t1−t2（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．选做题已知函数f(x)＝x|x−a|，a∈R．（1）若f(1)+f(−1)>1，求a的取值范围；（2）若a>0，对∀x，y∈(−∞, a]，都有不等式f(x)≤|y+54|+|y−a|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】满足A∩B＝A，A⊆B，根据选项判断即可．【解答】满足A∩B＝A，A⊆B，根据选项，B成立，2.【答案】C【考点】轨迹方程复数的代数表示法及其几何意义【解析】由z在复平面内对应的点为(x, y)，可得z＝x+yi，然后根据|z−i|＝1即可得解．【解答】∵z在复平面内对应的点为(x, y)，∴z＝x+yi，∴z−i＝x+(y−1)i，∴|z−i|=√x2+(y−1)2=1，∴x2+(y−1)2＝1，3.【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】∵等差数列{a n}:x，3x+3，6x+6，…，∴2(3x+3)＝x+6x+6，解得x＝0．∴此数列的首项a1＝0，公差d＝3．∴a4＝0+3×(4−1)＝9．4. 【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】由①③得到丙来来自于军事科学院；由②和④得到甲是博士；由⑤得到乙来自于国防科技大学，且乙是研究生，由此能求出结果．【解答】由①甲不是军事科学院的，得到甲来自于国防大学或国防科技大学；由③乙不是军事科学院的，得到乙来自于国防大学、国防科技大学；由①③得到丙来来自于军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士和④乙不是博士学位，得到甲是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，得到乙来自于国防科技大学，且乙是研究生，由此得到甲来自于国防大学，且甲是博士，从而得到丙是来自军事科学院，学位是学士．5.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】A．根据不等式的关系进行判断即可．B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断．D．根据三角函数的性质进行判断．【解答】A．由1a<1得a>1或a<0，则“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件，正确，B．若p∧q为真命题，则p，q都是真命题，此时p∨q为真命题，即充分性成立，反之当p假q真时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误，C．命题“∃x∈R使得x2+2x+3<0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故C错误，D．∵sin x+cos x=√2sin(x+π4)≤√2恒成立，∴p是真命题，则￢p是假命题，故D错误，6.【答案】C【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】根据条件即可求出向量b→的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos<a→,b→>的值，从而得出a→与b→的夹角的值．【解答】b →=12(a →+2b →−a →)=12(−2,2√3)=(−1,√3)，且a →=(3,0)， ∴ cos <a →,b →>=a →⋅b→|a →||b →|=−32×3=−12，且0≤<a →,b →>≤π，∴ a →与b →的夹角等于2π3． 7. 【答案】 A【考点】频率分布直方图 【解析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+450+100＝800（万元），共中水费支出250（万元），由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比． 【解答】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%， 由条形图得去年水、电、交通支出合计为： 250+450+100＝800（万元）， 共中水费支出250（万元）， ∴ 去年的水费开支占总开支的百分比为：250800×20%=6.25%． 8.【答案】 B【考点】 抛物线的性质 【解析】利用已知条件求出M 的坐标，通过三角函数求出cos α，sin α，然后化简求解cos (2α+π2)的值．【解答】抛物线y 2＝4x 通径为MN （其中M 是第一象限点），可得M(1, 2)， 点P(cos α, sin α)是OM 上的点，所以：cos α1=sin α2，又cos 2α+sin 2α＝1，解得cos α=√55，sin α=2√55， cos (2α+π2)=−sin 2α＝−2sin αcos α＝−2×√55×2√55=−45，9.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 双曲线的离心率 【解析】设F 1P ＝m ，F 2P ＝n ，F 1F 2＝2c ，由余弦定理4c 2＝m 2+n 2−mn ，设a 1是椭圆的长半轴，a 1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m +n ＝2a 1，m −n ＝2a 2，由此能求出结果． 【解答】设F 1P ＝m ，F 2P ＝n ，F 1F 2＝2c ，由余弦定理得(2c)2＝m 2+n 2−2mn cos 60∘， 即4c 2＝m 2+n 2−mn ，设a 1是椭圆的长半轴，a 2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m +n ＝2a 1，m −n ＝2a 2， ∴ m ＝a 1+a 2，n ＝a 1−a 2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a 22−4c 2+a 12=0， a 1＝3a 2，e 1⋅e 2=c a 1⋅ca 2=(c a 2)23=1，解得e 2=√3． 10.【答案】 C【考点】二面角的平面角及求法 【解析】对于A ，延长CB ，DE 交于H ，连接A 1H ，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM // 平面A 1DE ，即可判断A ；对于B ，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B ； 对于C ，连接A 1O ，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC 与DE 垂直，即可判断C ； 对于D ，由直角三角形的性质，可得三棱锥A 1−ADE 外接球球心为O ，即可判断D ． 【解答】对于A ，延长CB ，DE 交于H ，连接A 1H ，由E 为AB 的中点，可得B 为CH 的中点，又M 为A 1C 的中点，可得BM // A 1H ，BM ⊄平面A 1DE ，A 1H ⊂平面A 1DE ，则BM // 平面A 1DE ，故与平面A 1DE 垂直的直线必与直线BM 垂直，则A 正确； 对于B ，设AB ＝2AD ＝2a ，过E 作EG // BM ，G ∈平面A 1DC ， 则∠A 1EG ＝∠EA 1H ，在△EA 1H 中，EA 1＝a ，EH ＝DE =√2a ，A 1H =√a 2+2a 2−2⋅a ⋅√2a ⋅(−√22)=√5a ，则∠EA 1H 为定值，即∠A 1EG 为定值，则B 正确；对于C ，连接A 1O ，可得DE ⊥A 1O ，若DE ⊥MO ，即有DE ⊥平面A 1MO ， 即有DE ⊥A 1C ，由A 1C 在平面ABCD 中的射影为AC ， 可得AC 与DE 垂直，但AC 与DE 不垂直．则不存在某个位置，使DE ⊥MO ，则C 不正确；对于D ，连接OA ，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得 三棱锥A 1−ADE 外接球球心为O ，半径为√22a ，即有三棱锥A 1−ADE 外接球半径与棱AD 的长之比为定值．则D 正确． 11. 【答案】 D【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题中的条件得到函数的解析式为：当x∈(1, 2]时，f(x)=(2−x)2；f(x)=2(2−x2)2，x∈(2, 4],f(x)=4(2−x4)2，x∈(4, 8]，…，又y=k(x−1)的函数图象是过定点(1, 0)的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可．【解答】解：因为对任意的x∈(1, +∞)恒有f(2x)=2f(x)成立，且当x∈(1, 2]时，f(x)=(2−x)2；f(x)=2(2−x2)2，x∈(2, 4]，f(x)=4(2−x4)2，x∈(4, 8]，由题意得y=k(x−1)的函数图象是过定点P(1, 0)的直线，其中A(2, 2)，B(4, 4)，如图所示直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合），k PA=2−02−1=2，k PB=4−04−1=43，所以可得k的范围为43≤x<2．故选D．12.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】用(−x, y)替换曲线方程中的(x, y)，方程不变，所以曲线C关于y轴对称，根据对称性结合曲线右侧的图形即可判断各个结论的真假．【解答】用(−x, y)替换曲线方程中的(x, y)，方程不变，所以曲线C关于y轴对称，当x≥0时，x2+y2＝1+|x|y，即为，x2+y2＝1+xy≤1+x2+y22，可得x2+y2≤2，所以曲线经过点(0, 1)，(0, −1)，(1, 0)，(1, 1)，再根据对称性可知，曲线还经过点(−1, 0)，(−1, 1)，故曲线恰好经过6个整点，①正确；由上可知，当x≥0时，x2+y2≤2，即曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过√2，再根据对称性可知，曲线C上的所有点到原点的距离都不超过√2，②错误；因为在x轴上方，图形面积大于四点(−1, 0)，(1, 0)，(1, 1)，(−1, 1)围成的矩形面积1×2＝2，在x轴下方，图形面积大于三点(−1, 0)，(1, 0)，(0, −1)围成的等腰直角三角形的面积12×2×1=1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）.【答案】−84【考点】二项式定理及相关概念【解析】利用二项式定理求得x5的项的系数的表达式，再利用组合数公式求得结果．【解答】由题知：含x5的项的系数为C55(−1)5+C65(−1)5+C75(−1)5+C85(−1)5＝−84．【答案】[−2π3, −π6]【考点】正弦函数的单调性【解析】求y＝2sin(π6−2x)在[−π, 0]上的递增区间，就是y＝sin(2x−π6)，x∈[−π, 0]的递减区间，利用正弦函数的单调性质即可求得答案．【解答】∵y＝2sin(π6−2x)＝−sin(2x−π6)，x∈[−π, 0]，∴y＝2sin(π6−2x)在[−π, 0]上的递增区间，就是y＝sin(2x−π6)，x∈[−π, 0]的递减区间，由π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+3π2(k∈Z)，得kπ+π3≤x≤kπ+5π6(k∈Z)，当k＝−1时，−2π3≤x≤−π6，∴y＝2sin(π6−2x)，x∈[−π, 0]的递增区间为[−2π3, −π6]．【答案】17【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】由已知结合导数可求x 0，然后结合导数的几何意义即可求解． 【解答】因为f(x)＝x(x 5−16x 2+x −4)＝x 6−16x 3+x 2−4x ＝(x 3−8)2−(x −2)2−68， ∴ 当x ＝2时，函数取得最小值即x 0＝2， ∵ (f(x)x)′＝5x 4−32x +1，∴ 则曲线y =f(x)x在点(x 0, f(x 0)x 0)处的切线的斜率k ＝5×24−32×2+1＝17．【答案】 20,32−16√23【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】直接由对称性可得该几何体面的个数；该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，两个四棱柱的体积和为V ＝2×2×2×4＝32，交叉部分的体积为四棱锥S −ABCD 的体积的2倍，由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD 为边长为√6的棱形，设AC 的中点为H ，连结BH ，SH ，由题意得SH 为四棱锥S −ABCD 的高，求出四棱锥S −ABCD 的体积，由此能求出这个几何体的体积． 【解答】由对称性可知，该几何体共有20个面； 该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积， 两个四棱柱的体积和为：V ＝2×2×2×4＝32， 交叉部分的体积为四棱锥S −ABCD 的体积的2倍，在等腰△ABS 中，SB ＝2√2，SB 边上的高为2，则SA =√6，∴ 由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD 为边长为√6的棱形， 设AC 的中点为H ，连结BH ，SH ，由题意得SH 为四棱锥S −ABCD 的高， 在Rt △ABH 中，BH =√AB 2−AH 2=√6−2=2， 又AC ＝SB ＝2√2，∴ S 四边形ABCD ＝2×12×2√2×2＝4√2，∵ BH ＝SH ，∴ V S−ABCD =13×S 四边形ABCD ×2=13×4√2×2=8√23， ∴ 这个几何体的体积为V ＝32−8√23×2=32−16√23． 三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分． 【答案】由正弦定理得，sin C cos B =sin A −12sin B ， 所以sin C cos B =sin (B +C)−12sin B ，所以sin C cos B =sin B cos C +cos B sin C −12sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos C =12，所以C =π3；根据正弦定理，可得asin A=b sin B=c sin C=√3√32=2⇒{a =2sin Ab =2sin B，所以ab =4sin A sin B =4sin A sin (2π3−A)=4(√32sin A cos A +12sin 2A)， =2(√32sin 2A +1−cos 2A2)=2sin (2A −π6)+1，因△ABC 为锐角三角形：{0<A <π2#/DEL/#0<2π3−A <π2#/DEL/#⇒π6<A <π2则π6<2A −π6<5π6⇒12<sin (2A −π6)≤1⇒ab ∈(2,3]．【考点】 正弦定理 【解析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos C ，进而可求C ；（2）由已知结合正弦定理可表示a ，b ，然后代入ab 后，结合角A 的范围及正弦函数的性质可求． 【解答】由正弦定理得，sin C cos B =sin A −12sin B ， 所以sin C cos B =sin (B +C)−12sin B ，所以sin C cos B =sin B cos C +cos B sin C −12sin B ，因为sin B ≠0，所以cos C =12，所以C =π3； 根据正弦定理，可得asin A =bsin B =csin C =√3√32=2⇒{a =2sin Ab =2sin B，所以ab =4sin A sin B =4sin A sin (2π3−A)=4(√32sin A cos A +12sin 2A)， =2(√32sin 2A +1−cos 2A2)=2sin (2A −π6)+1，因△ABC 为锐角三角形：{0<A <π2#/DEL/#0<2π3−A <π2#/DEL/#⇒π6<A <π2则π6<2A −π6<5π6⇒12<sin (2A −π6)≤1⇒ab ∈(2,3]．【答案】（1）如图，过点D 作DE // AC 交AA 1于E ，连接CE ，BE ， 设AD ∩CE ＝O ，连接BO ，∵ AC ⊥AA 1，∴ DE ⊥AE ，又AD 为∠A 1AC 的角平分线，∴ 四边形AEDC 为正方形，∴ CE ⊥AD ，又∵ AC ＝AE ，∠BAC ＝∠BAE ，BA ＝BA ，∴ △BAC ≅△BAE ，∴ BC ＝BE ， 又∵ O 为CE 的中点，∴ CE ⊥BO ，又∵ AD ，BO ⊂平面BAD ，AD ∩BO ＝O ，∴ CE ⊥平面BAD ． 又∵ CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴ 平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ．（2）在△ABC 中，∵ AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝60∘，∴ BC ＝4，在Rt △BOC 中，∵ CO =12CE =2√2，∴ BO =2√2，又AB ＝4，AO =12AD =2√2，∵BO 2+AO 2＝AB 2，∴ BO ⊥AD ， 又BO ⊥CE ，AD ∩CE ＝O ，AD ，CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴ BO ⊥平面AA 1C 1C ， 故建立如图空间直角坐标系O −xyz ，则A(2, −2, 0)，A 1(2, 4, 0)，C 1(−2, 4, 0)，B 1(0,6,2√2)， ∴ C 1B 1→=(2,2,2√2)，AC 1→=(−4,6,0)，C 1A 1→=(4,0,0)， 设平面AB 1C 1的一个法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)， 则{m →⊥C 1B 1→m →⊥AC 1→ ，∴ {−4x 1+6y 1=02x 1+2y 1+2√2z 1=0 ， 令x 1＝6，得m →=(6,4,−5√2)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)，则{n →⊥C 1B 1→n →⊥C 1A 1→ ，∴ {4x 2=02x 2+2y 2+2√2z 2=0 ，令y 2=√2，得n →=(0,√2,−1)， ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=9√2√102⋅√3=3√1717，故二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值为3√1717．【考点】二面角的平面角及求法 平面与平面垂直【解析】(Ⅰ)过点D 作DE // AC 交AA 1于E ，连接CE ，BE ，设AD ∩CE ＝O ，连接BO ，推导出DE ⊥AE ，四边形AEDC 为正方形，CE ⊥AD ，推导出△BAC ≅△BAE ，从而BC ＝BE ，CE ⊥BO ，从而CE ⊥平面BAD ，由此能证明平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ．(Ⅱ)推导出BO ⊥AD ，BO ⊥CE ，从而BO ⊥平面AA 1C 1C ，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值． 【解答】（1）如图，过点D 作DE // AC 交AA 1于E ，连接CE ，BE ， 设AD ∩CE ＝O ，连接BO ，∵ AC ⊥AA 1，∴ DE ⊥AE ，又AD 为∠A 1AC 的角平分线，∴ 四边形AEDC 为正方形，∴ CE ⊥AD ，又∵ AC ＝AE ，∠BAC ＝∠BAE ，BA ＝BA ，∴ △BAC ≅△BAE ，∴ BC ＝BE ，又∵ O 为CE 的中点，∴ CE ⊥BO ，又∵ AD ，BO ⊂平面BAD ，AD ∩BO ＝O ，∴ CE ⊥平面BAD ． 又∵ CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴ 平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ．（2）在△ABC 中，∵ AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝60∘，∴ BC ＝4， 在Rt △BOC 中，∵ CO =12CE =2√2，∴ BO =2√2，又AB ＝4，AO =12AD =2√2，∵ BO 2+AO 2＝AB 2，∴ BO ⊥AD ， 又BO ⊥CE ，AD ∩CE ＝O ，AD ，CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴ BO ⊥平面AA 1C 1C ， 故建立如图空间直角坐标系O −xyz ，则A(2, −2, 0)，A 1(2, 4, 0)，C 1(−2, 4, 0)，B 1(0,6,2√2)， ∴ C 1B 1→=(2,2,2√2)，AC 1→=(−4,6,0)，C 1A 1→=(4,0,0)， 设平面AB 1C 1的一个法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)， 则{m →⊥C 1B 1→m →⊥AC 1→，∴ {−4x 1+6y 1=02x 1+2y 1+2√2z 1=0 ， 令x 1＝6，得m →=(6,4,−5√2)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)，则{n →⊥C 1B 1→n →⊥C 1A 1→，∴ {4x 2=02x 2+2y 2+2√2z 2=0 ，令y 2=√2，得n →=(0,√2,−1)， ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=9√2√102⋅√3=3√1717，故二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值为3√1717．【答案】∵ ξ服从正态分布N(270, 52)，∴ P(260<ξ<270)=0.95452=0.47725．∴ 质量指标在(260, 270)内的排球个数约为1000×0.47725＝477.25≈477个；f(p)=C 32p 3(1−p)=3p 3(1−p)，因此f′(p)＝3[3p 2(1−p)+p 3(−1)]＝3p 2(3−4p)． 令f′(p)＝0，得p =34，当p ∈(0,34)时，f′(p)>0，f(p)在(0,34)上为增函数；当p ∈(34,1)时，f′(p)<0，f(p)在(34,1)上为减函数． ∴ f(p)的最大值点p 0=34． 从而p =34；(i)X 的可能取值为3，2，1，0，P(X ＝3)=(34)3+C 32⋅(34)3⋅(1−34)=189256，P(x ＝2)=C 42⋅(34)2⋅(1−34)2⋅34=81256， P(X ＝1)=C 42⋅(34)2⋅(1−34)2⋅(1−34)=27512，P(X ＝0)＝1−189256−81512−27512=13256．∴ X 的分布列：(ii)若X ＝3，则中国队10轮后的总积分为29分，美国队即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，29>28，∴ 中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为P(X =3)=189256． 【考点】正态分布的密度曲线离散型随机变量及其分布列【解析】（1）由已知结合2σ原则求得P(260<ξ<270)，乘以1000求得质量指标在(260, 270)内的排球个数； （2）写出概率函数，利用导数求最值即可得到f(p)的最大值点p 0；(i)求出X 的可能取值为3，2，1，0，再求出相应的概率，可得X 的分布列；(ii)若X ＝3，可得中国队10轮后的总积分为29分，美国队即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，由此可得中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为P(X =3)=189256． 【解答】∵ ξ服从正态分布N(270, 52)，∴ P(260<ξ<270)=0.95452=0.47725．∴ 质量指标在(260, 270)内的排球个数约为1000×0.47725＝477.25≈477个；f(p)=C 32p 3(1−p)=3p 3(1−p)，因此f′(p)＝3[3p 2(1−p)+p 3(−1)]＝3p 2(3−4p)． 令f′(p)＝0，得p =34，当p ∈(0,34)时，f′(p)>0，f(p)在(0,34)上为增函数； 当p ∈(34,1)时，f′(p)<0，f(p)在(34,1)上为减函数．∴ f(p)的最大值点p 0=34．从而p =34；(i)X 的可能取值为3，2，1，0，P(X ＝3)=(34)3+C 32⋅(34)3⋅(1−34)=189256，P(x ＝2)=C 42⋅(34)2⋅(1−34)2⋅34=81256，P(X ＝1)=C 42⋅(34)2⋅(1−34)2⋅(1−34)=27512，P(X ＝0)＝1−189256−81512−27512=13256．∴ X 的分布列：(ii)若X ＝3，则中国队10轮后的总积分为29分，美国队即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，29>28，∴ 中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为P(X =3)=189256． 【答案】ℎ(x)=f(x)+g(x)=x −1x +t ln x(x >0)，则ℎ(x)=1+1x 2+tx =x 2+tx+1x 2(x >0)，①当t ≥0时，ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)单调增区间是(0, +∞)，无减区间；②当t <0时，令H(x)＝x 2+tx +1，△＝t 2−4，10:△≤0，即−2≤t <0时，H(x)≥0，即ℎ′(x)≥0； ∴ ℎ(x)单调增区间是(0, +∞)，无减区间20:△>0时，即t <−2：设x 1=−t−√t 2−42，x 2=−t+√t 2−42，∵ x 1+x 2＝−t >0，x 1x 2＝1>0，∴ 0<x 1<x 2，∴ (0, x 1)∪(x 2, +∞)时H(x)>0，即ℎ′(x)>0∴ ℎ(x)的单调增区间是(0, x 1)，(x 2, +∞)， 同理：单调减区间是(x 1, x 2)，综上：①当t ≥−2时，ℎ(x)单调增区间是(0, +∞)，无减区间，②当t <−2时，ℎ(x)的单调增区间是(0, x 1)，(x 2, +∞)，单调减区间是(x 1, x 2) 其中：x 1=−t−√t 2−42，x 2=−t+√t 2−42⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯因为函数f(x)的图象恒在g(x)的图象的下方，所以f(x)−g(x)=x −1x −t ln x <0在区间(0, 1)上恒成立． 设F(x)=x −1x −t ln x ，其中x ∈(0, 1)， 所以F ′(x)=1+1x 2−tx =x 2−tx+1x 2，其中△＝t 2−4，t >0．①当t 2−4≤0，即0<t ≤2时，F′(x)≥0，所以函数F(x)在(0, 1)上单调递增，F(x)<F(1)＝0， 故f(x)−g(x)<0成立，满足题意．……………………………②当t 2−4>0，即t >2时，设φ(x)＝x 2−tx +1(0<x <1)，则φ(x)图象的对称轴x =t2>1，φ(0)＝1，φ(2)＝2−t <0，所以φ(x)在(0, 1)上存在唯一实根，设为x 1，则x ∈(x 1, 1)，φ(x)<0，F′(x)<0， 所以F(x)在(x 1, 1)上单调递减，此时F(x)>F(3)＝0，不合题意． 综上可得，实数t 的取值范围是(0, 2]．……………………………【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】（1）求出ℎ(x)的导数，通过讨论t 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为f(x)−g(x)=x −1x −t ln x <0在区间(0, 1)上恒成立，设F(x)=x −1x −t ln x ，其中x ∈(0, 1)，根据函数的单调性确定t 的范围即可． 【解答】ℎ(x)=f(x)+g(x)=x −1x +t ln x(x >0)， 则ℎ(x)=1+1x2+tx=x 2+tx+1x 2(x >0)，①当t ≥0时，ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)单调增区间是(0, +∞)，无减区间；②当t <0时，令H(x)＝x 2+tx +1，△＝t 2−4，10:△≤0，即−2≤t <0时，H(x)≥0，即ℎ′(x)≥0； ∴ ℎ(x)单调增区间是(0, +∞)，无减区间20:△>0时，即t <−2：设x 1=−t−√t 2−42，x 2=−t+√t 2−42，∵ x 1+x 2＝−t >0，x 1x 2＝1>0，∴ 0<x 1<x 2，∴ (0, x 1)∪(x 2, +∞)时H(x)>0，即ℎ′(x)>0∴ ℎ(x)的单调增区间是(0, x 1)，(x 2, +∞)， 同理：单调减区间是(x 1, x 2)，综上：①当t ≥−2时，ℎ(x)单调增区间是(0, +∞)，无减区间，②当t <−2时，ℎ(x)的单调增区间是(0, x 1)，(x 2, +∞)，单调减区间是(x 1, x 2) 其中：x 1=−t−√t 2−42，x 2=−t+√t 2−42⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯因为函数f(x)的图象恒在g(x)的图象的下方，所以f(x)−g(x)=x −1x −t ln x <0在区间(0, 1)上恒成立． 设F(x)=x −1x −t ln x ，其中x ∈(0, 1)， 所以F ′(x)=1+1x −tx =x 2−tx+1x ，其中△＝t 2−4，t >0．①当t 2−4≤0，即0<t ≤2时，F′(x)≥0，所以函数F(x)在(0, 1)上单调递增，F(x)<F(1)＝0， 故f(x)−g(x)<0成立，满足题意．……………………………②当t 2−4>0，即t >2时，设φ(x)＝x 2−tx +1(0<x <1)， 则φ(x)图象的对称轴x =t2>1，φ(0)＝1，φ(2)＝2−t <0，所以φ(x)在(0, 1)上存在唯一实根，设为x 1，则x ∈(x 1, 1)，φ(x)<0，F′(x)<0， 所以F(x)在(x 1, 1)上单调递减，此时F(x)>F(3)＝0，不合题意． 综上可得，实数t 的取值范围是(0, 2]．…………………………… 【答案】解(Ⅰ)(1)当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以：x 1＝x 2，y 1＝−y 2 ∵ P(x 1, y 1)在椭圆上，∴ x 26+y 24=1①，又∵ S △OPQ =√6，∴ |x 1||y 1|=√6②由①②得|x 1|=√3，|y 1|=√2． 此时x 12+x 22=6，y 12+y 22=4；（2）当直线l 的斜率存在时，是直线l 的方程为y ＝kx +m(m ≠0)，将其代入x 26+y 24=1得：(3k 2+2)x 2+6kmx +3(m 2−4)＝0，△＝36k 2m 2−12(3k 2+2)(m 2−4)>0，即6k 2+4>m 2． 又x 1+x 2=−6km3k 2+2，x 1⋅x 2=3(m 2−4)3k 2+2，∴ |PQ|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2×√6k 2+4−m 23k 2+2．∵ 点O 到直线l 的距离为d =√1+k 2， S △OPQ =12×√1+k 2×2√6×√6k 2+4−m 23k +2×2=√6×√6k 2+4−m 2⋅|m|3k +2，由于S △OPQ =√6， 整理得3k 2+2＝m 2，此时x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(−6km 3k 2+2)2−2×3(m 2−4)3k 2+2=36k 2+24m 2−6=6，y 12+y 22=23(6−x 12)+23(6−x 22)=4综上所述x 12+x 22=6，y 12+y 22=4结论成立． （2）（1）当直线l 的斜率不存在时， 由(Ⅰ)知：|OM|=|x 1|=√3，|PQ|=2|y 1|=2√2， 因此|OM||PQ|=2√6．（2）当直线l 的斜率存在时，由(Ⅰ)知x 1+x 22=−3km ，y 1+y 22=k ×x 1+x 22+m =2m ．|OM|2=(x 1+x 22)2+(y 1+y 22)2=9k 2m 2+4m 2=3−2m 2，|PQ|2=(1+k 2)×(6k 2+4−m 2)(3k 2+2)2=1+m 23⋅24m 2=8(1+1m 2)．所以：|OM|2|PQ|2=4(3−2m 2)(2+2m 2)≤(3−2m 2+2+2m 2)2=25． 故：|OM||PQ|≤5．当且仅当3−2m 2=2+2m 2，即m ＝±2时，等号成立． 综合（1）（2）得|OM||PQ|的最大值为5； 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)(1)利用分类讨论思想的应用对直线的方程进行应用，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出结果． (Ⅱ)利用中点坐标公式的应用和直线和曲线的位置关系的应用和基本不等式和的应用求出结果． 【解答】解(Ⅰ)(1)当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以：x 1＝x 2，y 1＝−y 2 ∵ P(x 1, y 1)在椭圆上，∴ x 26+y 24=1①，又∵ S △OPQ =√6， ∴ |x 1||y 1|=√6②由①②得|x 1|=√3，|y 1|=√2． 此时x 12+x 22=6，y 12+y 22=4； （2）当直线l 的斜率存在时，是直线l 的方程为y ＝kx +m(m ≠0)，将其代入x 26+y 24=1得：(3k 2+2)x 2+6kmx +3(m 2−4)＝0，△＝36k 2m 2−12(3k 2+2)(m 2−4)>0，即6k 2+4>m 2． 又x 1+x 2=−6km3k 2+2，x 1⋅x 2=3(m 2−4)3k 2+2，∴ |PQ|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2×√6k 2+4−m 23k +2．∵ 点O 到直线l 的距离为d =√1+k 2， S △OPQ =12×√1+k 2×2√6×√6k 2+4−m 23k 2+2×√1+k 2=√6×√6k 2+4−m 2⋅|m|3k 2+2，由于S △OPQ =√6， 整理得3k 2+2＝m 2，此时x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(−6km3k 2+2)2−2×3(m 2−4)3k 2+2=36k 2+24m 2−6=6，y 12+y 22=23(6−x 12)+23(6−x 22)=4综上所述x 12+x 22=6，y 12+y 22=4结论成立． （2）（1）当直线l 的斜率不存在时， 由(Ⅰ)知：|OM|=|x 1|=√3，|PQ|=2|y 1|=2√2， 因此|OM||PQ|=2√6．（2）当直线l 的斜率存在时，由(Ⅰ)知x 1+x 22=−3k m，y 1+y 22=k ×x 1+x 22+m =2m．|OM|2=(x 1+x 22)2+(y 1+y 22)2=9k 2m 2+4m2=3−2m 2，|PQ|2=(1+k 2)×(6k 2+4−m 2)(3k 2+2)2=1+m 23⋅24m 2=8(1+1m 2)．所以：|OM|2|PQ|2=4(3−2m 2)(2+2m 2)≤(3−2m 2+2+2m 2)2=25． 故：|OM||PQ|≤5．当且仅当3−2m 2=2+2m 2，即m ＝±2时，等号成立．综合（1）（2）得|OM||PQ|的最大值为5；（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分. 【答案】曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t1−t 2（t 为参数）．转化为直角坐标方程为x 2−4y 2＝1， 直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54．转化为直角坐标方程为：12x −√32y =√54．由于直线与x 轴的交点坐标为(√52,0)，所以直线的参数方程为{x =√52+√32t y =12t（t 为参数）， 代入x 2−4y 2＝1得到：t 2−2√15t −1=0， 所以：t 1+t 2=2√15，t 1⋅t 2＝−1， 则：1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=8．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果． 【解答】曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t1−t 2（t 为参数）．转化为直角坐标方程为x 2−4y 2＝1， 直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54．转化为直角坐标方程为：12x −√32y =√54． 由于直线与x 轴的交点坐标为(√52,0)，所以直线的参数方程为{x =√52+√32t y =12t（t 为参数），代入x 2−4y 2＝1得到：t 2−2√15t −1=0， 所以：t 1+t 2=2√15，t 1⋅t 2＝−1， 则：1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=8．选做题【答案】f(1)+f(−1)＝|1−a|−|1+a|>1，若a ≤−1，则1−a +1+a >1，得2>1，即a ≤−1时恒成立， 若−1<a <1，则1−a −(1+a)>1，得a <−12，即−1<a <−12，若a ≥1，则−(1−a)−(1+a)>1，得−2>1，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是(−∞,−12)．由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ， 当x ∈(−∞, a]时，f(x)=−x 2+ax,[f(x)]max =f(a2)=a 24，因为|y +54|+|y −a|≥|a +54|，所以当y ∈[−54,a]时，[|y +54|+|y −a|]min =|a +54|=a +54，即a 24≤a +54，解得−1≤a ≤5，结合a >0，所以a 的取值范围是(0, 5]．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）利用f(1)+f(−1)＝|1−a|−|1+a|>1，通过a ≤−1，−1<a <1，a ≥1，分别求解即可． （2）要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可． 【解答】f(1)+f(−1)＝|1−a|−|1+a|>1，若a ≤−1，则1−a +1+a >1，得2>1，即a ≤−1时恒成立， 若−1<a <1，则1−a −(1+a)>1，得a <−12，即−1<a <−12， 若a ≥1，则−(1−a)−(1+a)>1，得−2>1，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是(−∞,−12)．由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ，当x ∈(−∞, a]时，f(x)=−x 2+ax,[f(x)]max =f(a2)=a 24，因为|y +54|+|y −a|≥|a +54|，所以当y ∈[−54,a]时，[|y +54|+|y −a|]min =|a +54|=a +54， 即a 24≤a +54，解得−1≤a ≤5，结合a >0，所以a 的取值范围是(0, 5]．。
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷(理科)
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x≤1}，则满足A∩B=A的集合B可以是()A. {x|x≤0}B. {x|x≤2}C. {x|x≥0}D. {x|x≥2}2.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则()A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.等差数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于()A. 0B. 9C. 12D. 184.2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若己知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么()A. 国防大学，研究生B. 国防大学，博士C. 军事科学院，学士D. 国防科技大学，研究生5.下列说法正确的是()A. a∈R，“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件B. “p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C. 命题“∃x∈R使得x2+2x+3<0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3>0”D. 命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤√2”，则￢p是真命题6.已知平面向量a⃗=(3,0)，a⃗+2b⃗ =(1,2√3)，则a⃗与b⃗ 的夹角等于()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π67.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为()A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%8.若抛物线y2=4x通径为MN(其中M是第一象限点)，当点P(cosα,sinα)是OM上的点时，则cos(2α+π2)的值等于()A. 45B. −45C. 43D. −439.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A. √3B. √2C. 2√33D. 210.如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是()A. 与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B. 异面直线BM与A1E所成角是定值C. 一定存在某个位置，使DE⊥MOD. 三棱锥A1−ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值11.定义在(1,+∞)上的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x∈(1,+∞)恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)当x∈(1,2]时，f(x)=(2−x)2；记函数g(x)=f(x)−k(x−1)，若函数g(x)恰有两个零点，则实数k的取值范围是()A. [1,2)B. [43,2]C. (43,2)D. [43,2)12. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2=1+|x|y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上存在到原点的距离超过√2的点； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中所有正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(1−x)5+(1−x)6+(1−x)7+(1−x)8的展开式中，含x 5的项的系数是______． 14. 函数y =2sin(π6−2x),x ∈[−π,0]的单调递增区间为______ ．15. 已知函数f(x)=x(x 5−16x 2+x −4)，且f(x)≥f(x 0)对x ∈R 恒成立，则曲线y =f(x)x在点(x 0,f(x 0)x 0)处的切线的斜率为______．16. 如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有______个面，其体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ccosB =a −12b 且c =√3．(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求ab 的取值范围．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知四边形AA1C1C为矩形，AA1=6，AB=AC=4，∠BAC=∠BAA1=60°，∠A1AC的角平分线AD交CC1于D．(Ⅰ)求证：平面BAD⊥平面AA1C1C；(Ⅱ)求二面角A−B1C1−A1的余弦值．19.2019年女排世界杯(第13届女排世界杯)是由国际排联(FIVB)举办的赛事，比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行，共有12支参赛队伍．本次比赛启用了新的排球用球MIKASA−V200W，已知这种球的质量指标ξ(单位：g)服从正态分布N(270,52).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下(比赛采取5局3胜制)：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分．第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1)．(1)如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260,270)内的排球个数(计算结果取整数)(2)第10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p0，并以p0作为p的值，解决下列问题．(i)在第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列；(ii)已知第10轮美国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．参考数据：X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973．20.设函数f(x)=x−1x，g(x)=tlnx(t∈R)，(1)讨论函数ℎ(x)=f(x)+g(x)的单调区间；(2)若当x∈(0,1)时f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求正实数t的取值范围．21.已知动直线l与椭圆C：x26+y24=1交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=√6，其中O为坐标原点．(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值；(Ⅱ)设线段PQ的中点为M，求|OM|⋅|PQ|的最大值；22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t1−t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．(1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值．23. 已知函数f(x)=x|x −a|，a ∈R ．(1)若f(1)+f(−1)>1，求a 的取值范围；(2)若a >0，对∀x ，y ∈(−∞,a]，都有不等式f(x)≤|y +54|+|y −a|恒成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：满足A∩B=A，A⊆B，根据选项，B成立，故选：B．满足A∩B=A，A⊆B，根据选项判断即可．考查集合的关系，基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的模，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．由z在复平面内对应的点为(x,y)，可得z=x+yi，然后根据|z−i|=1即可得解．【解答】解：∵z在复平面内对应的点为(x,y)，∴z=x+yi，∴z−i=x+(y−1)i，∴|z−i|=√x2+(y−1)2=1，∴x2+(y−1)2=1，故选C．3.【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}：x，3x+3，6x+6，…，∴2(3x+3)=x+6x+6，解得x=0．∴此数列的首项a1=0，公差d=3．∴a4=0+3×(4−1)=9．故选：B．利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由①甲不是军事科学院的，得到甲来自于国防大学或国防科技大学；由③乙不是军事科学院的，得到乙来自于国防大学、国防科技大学；由①③得到丙来来自于军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士和④乙不是博士学位，得到甲是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，得到乙来自于国防科技大学，且乙是研究生，由此得到甲来自于国防大学，且甲是博士，从而得到丙是来自军事科学院，学位是学士．故选：C．由①③得到丙来来自于军事科学院；由②和④得到甲是博士；由⑤得到乙来自于国防科技大学，且乙是研究生，由此能求出结果．本题考查丙是来自哪个的院校及学位的判断，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，全称命题的否定，复合命题的真假的判定，比较基础．【解答】解：A.由1a <1得a>1或a<0，则“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件，正确，B.若p∧q为真命题，则p，q都是真命题，此时p∨q为真命题，即充分性成立，反之当p假q真时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误，C.命题“∃x∈R使得x2+2x+3<0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故C错误，D.∵sinx+cosx=√2sin(x+π4)≤√2恒成立，∴p是真命题，则￢p是假命题，故D错误，故选A．6.【答案】C【解析】解：b⃗ =12(a⃗+2b⃗ −a⃗ )=12(−2,2√3)=(−1,√3)，且a⃗=(3,0)，∴cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=−32×3=−12，且0≤<a⃗,b⃗ >≤π，∴a⃗与b⃗ 的夹角等于2π3．故选：C．根据条件即可求出向量b⃗ 的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos<a⃗,b⃗ >的值，从而得出a⃗与b⃗ 的夹角的值．本题考查了向量坐标的减法和数乘运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查折线图、条形图等基础知识，是基础题．由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+ 450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比．【解答】解：由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为：250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，∴去年的水费开支占总开支的百分比为：250800×20%=6.25%．故选：A．8.【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x通径为MN(其中M是第一象限点)，可得M(1,2)，点P(cosα,sinα)是OM上的点，所以：cosα1=sinα2，又cos2α+sin2α=1，解得cosα=√55，sinα=2√55，cos(2α+π2)=−sin2α=−2sinαcosα=−2×√55×2√55=−45，故选：B．利用已知条件求出M的坐标，通过三角函数求出cosα，sinα，然后化简求解cos(2α+π2)的值．本题考查抛物线的简单性质的应用，三角函数的定义的应用，诱导公式以及二倍角公式的应用，是基本知识的考查．9.【答案】A【解析】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得(2c)2=m2+n2−2mncos60°，即4c2=m2+n2−mn，设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义得m+n=2a1，m−n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1−a2，将m、n代入4c2=m2+n2−mn，得3a22−4c2+a12=0，令e1=c a1,e2=ca2，且e1=1e2，则3e22+e22−4=0，解得e2=√3．故选A．设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2−mn，设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m−n=2a2，由此能求出结果．本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“相关曲线”的概念．10.【答案】C【解析】解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BM//A1H，BM⊄平面A1DE，A1H⊂平面A1DE，则BM//平面A1DE，故与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直，则A正确；对于B，设AB=2AD=2a，过E作EG//BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG=∠EA1H，在△EA1H中，EA1=a，EH=DE=√2a，A1H=√a2+2a2−2⋅a⋅√2a⋅(−√22)=√5a，则∠EA1H为定值，即∠A1EG为定值，则B正确；对于C，连接A1O，可得DE⊥A1O，若DE⊥MO，即有DE⊥平面A1MO，即有DE⊥A1C，由A1C在平面ABCD中的射影为AC，可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直．则不存在某个位置，使DE⊥MO，则C不正确；对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得三棱锥A1−ADE外接球球心为O，半径为√22a，即有三棱锥A1−ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值．则D正确．故选：C．对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM//平面A1DE，即可判断A；对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；对于C，连接A1O，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC与DE垂直，即可判断C；对于D，由直角三角形的性质，可得三棱锥A1−ADE外接球球心为O，即可判断D．本题考查命题的真假判断与应用，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，是中档题．11.【答案】D【解析】解：因为对任意的x∈(1,+∞)恒有f(2x)=2f(x)成立，且当x∈(1,2]时，f(x)=(2−x)2；f(x)=2(2−x2)2，x∈(2,4]，f(x)=4(2−x4)2，x∈(4,8]，…由题意得y=k(x−1)的函数图象是过定点P(1,0)的直线，其中A(2,2)，B(4,4)，如图所示直线与线段AB相交即可(可以与B点重合但不能与A点重合)，k PA=2−02−1=2，k PB=4−04−1=43，≤x<2．所以可得k的范围为43故选：D．)2，x∈(2,4]，f(x)=根据题中的条件得到函数的解析式为：当x∈(1,2]时，f(x)=(2−x)2；f(x)=2(2−x2)2，x∈(4,8]，…，又y=k(x−1)的函数图象是过定点(1,0)的直线，再结合函数的图象根据题意求4(2−x4出参数的范围即可．解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学数学，是解决数学问题的必备的解题工具．12.【答案】B【解析】【分析】用(−x,y)替换曲线方程中的(x,y)，方程不变，所以曲线C关于y轴对称，根据对称性结合曲线右侧的图形即可判断各个结论的真假．本题主要考查利用曲线的方程研究曲线图象的性质，属于中档题．【解答】解：用(−x,y)替换曲线方程中的(x,y)，方程不变，所以曲线C关于y轴对称，，可得x2+y2≤2，当x≥0时，x2+y2=1+|x|y，所以x2+y2=1+xy≤1+x2+y22当且仅当x=y=1时取等，所以曲线经过点(0,1)，(0,−1)，(1,0)，(1,1)，再根据对称性可知，曲线还经过点(−1,0)，(−1,1)，故曲线恰好经过6个整点，①正确；由上可知，当x≥0时，x2+y2≤2，即曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过√2，再根据对称性可知，曲线C上的所有点到原点的距离都不超过√2，②错误；因为在x轴上方，图形面积大于四点(−1,0)，(1,0)，(1,1)，(−1,1)围成的矩形面积1×2=2，×2×1=1，在x轴下方，图形面积大于三点(−1,0)，(1,0)，(0,−1)围成的等腰直角三角形的面积12所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误．故选：B．13.【答案】−84【解析】解：由题知：含x 5的项的系数为C 55(−1)5+C 65(−1)5+C 75(−1)5+C 85(−1)5=−84．故填：−84．利用二项式定理求得x 5的项的系数的表达式，再利用组合数公式求得结果． 本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．14.【答案】[−2π3,−π6]【解析】解：∵y =2sin(π6−2x)=−sin(2x −π6)，x ∈[−π,0]，∴y =2sin(π6−2x)在[−π,0]上的递增区间，就是y =sin(2x −π6)，x ∈[−π,0]的递减区间， 由π2+2kπ≤2x −π6≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得kπ+π3≤x ≤kπ+5π6(k ∈Z)，当k =−1时，−2π3≤x ≤−π6，∴y =2sin(π6−2x)，x ∈[−π,0]的递增区间为[−2π3,−π6].故答案为：[−2π3,−π6].求y =2sin(π6−2x)在[−π,0]上的递增区间，就是y =sin(2x −π6)，x ∈[−π,0]的递减区间，利用正弦函数的单调性质即可求得答案．本题考查复合三角函数的单调性，着重考查正弦函数的单调性质，将所求转化为求y =sin(2x −π6)，x ∈[−π,0]的递减区间是关键，也是易错之处，考查转化思想．15.【答案】17【解析】解：因为f(x)=x(x 5−16x 2+x −4)=x 6−16x 3+x 2−4x =(x 3−8)2−(x −2)2−68， ∴当x =2时，函数取得最小值即x 0=2， ∵(f(x)x)′=5x 4−32x +1，∴则曲线y =f(x)x在点(x 0,f(x 0)x 0)处的切线的斜率k =5×24−32×2+1=17．故答案为：17由已知结合导数可求x 0，然后结合导数的几何意义即可求解．本题主要考查了导数的几何意义及最值的求解，考查了推理与论证的能力．16.【答案】20 32−16√23【解析】解：由对称性可知，该几何体共有20个面； 该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积， 两个四棱柱的体积和为：V =2×2×2×4=32， 交叉部分的体积为四棱锥S −ABCD 的体积的2倍，在等腰△ABS 中，SB =2√2，SB 边上的高为2，则SA =√6，∴由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD 为边长为√6的棱形， 设AC 的中点为H ，连结BH ，SH ，由题意得SH 为四棱锥S −ABCD 的高， 在Rt △ABH 中，BH =√AB 2−AH 2=√6−2=2， 又AC =SB =2√2，∴S 四边形ABCD =2×12×2√2×2=4√2，∵BH =SH ，∴V S−ABCD =13×S 四边形ABCD ×2=13×4√2×2=8√23， ∴这个几何体的体积为V =32−8√23×2=32−16√23． 故答案为：20；32−16√23．直接由对称性可得该几何体面的个数；该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，两个四棱柱的体积和为V =2×2×2×4=32，交叉部分的体积为四棱锥S −ABCD 的体积的2倍，由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD 为边长为√6的棱形，设AC 的中点为H ，连结BH ，SH ，由题意得SH 为四棱锥S −ABCD 的高，求出四棱锥S −ABCD 的体积，由此能求出这个几何体的体积． 本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由正弦定理得，sinCcosB =sinA −12sinB ，所以sinCcosB =sin(B +C)−12sinB ，所以sinCcosB =sinBcosC +cosBsinC −12sinB ， 因为sinB ≠0，所以cosC =12，所以C =π3； (2)根据正弦定理，可得asinA =bsinB =csinC =√3√32=2⇒{a =2sinAb =2sinB ，所以ab =4sinAsinB =4sinAsin(2π3−A)=4(√32sinAcosA +12sin 2A)，=2(√32sin2A +1−cos2A2)=2sin(2A −π6)+1，因△ABC 为锐角三角形：{0<A <π20<2π3−A <π2⇒π6<A <π2则π6<2A −π6<5π6⇒12<sin(2A −π6)≤1⇒ab ∈(2,3]．【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos C ，进而可求C ；(2)由已知结合正弦定理可表示a ，b ，然后代入ab 后，结合角A 的范围及正弦函数的性质可求． 本题主要考查了正弦定理，和差角公式在三角函数求值中的应用，属于中档试题．18.【答案】解：(Ⅰ)如图，过点D 作DE//AC 交AA 1于E ，连接CE ，BE ，设AD ∩CE =O ，连接BO ，∵AC ⊥AA 1，∴DE ⊥AE ，又AD 为∠A 1AC 的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，∴CE ⊥AD ， 又∵AC =AE ，∠BAC =∠BAE ，BA =BA ，∴△BAC≌△BAE ，∴BC =BE ，又∵O 为CE 的中点，∴CE ⊥BO ，又∵AD ，BO ⊂平面BAD ，AD ∩BO =O ，∴CE ⊥平面BAD ． 又∵CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴平面BAD ⊥平面AA 1C 1C .(Ⅱ)在△ABC 中，∵AB =AC =4，∠BAC =60°，∴BC =4， 在Rt △BOC 中，∵CO =12CE =2√2，∴BO =2√2，又AB =4，AO =12AD =2√2，∵BO 2+AO 2=AB 2，∴BO ⊥AD ， 又BO ⊥CE ，AD ∩CE =O ，AD ，CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴BO ⊥平面AA 1C 1C ， 故建立如图空间直角坐标系O −xyz ，则A(2,−2,0)，A 1(2,4，0)，C 1(−2,4，0)，B 1(0,6,2√2)， ∴C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,2√2)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,6,0)，C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,0)， 设平面AB 1C 1的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{m ⃗⃗⃗ ⊥C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ m ⃗⃗⃗ ⊥AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{−4x 1+6y 1=02x 1+2y 1+2√2z 1=0，令x 1=6，得m ⃗⃗⃗ =(6,4,−5√2)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{n ⃗ ⊥C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n ⃗ ⊥C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{4x 2=02x 2+2y 2+2√2z 2=0，令y 2=√2，得n ⃗ =(0,√2,−1)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2√102⋅√3=3√1717，故二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值为3√1717．【解析】(Ⅰ)过点D 作DE//AC 交AA 1于E ，连接CE ，BE ，设AD ∩CE =O ，连接BO ，推导出DE ⊥AE ，四边形AEDC 为正方形，CE ⊥AD ，推导出△BAC≌△BAE ，从而BC =BE ，CE ⊥BO ，从而CE ⊥平面BAD ，由此能证明平面BAD ⊥平面AA 1C 1C .(Ⅱ)推导出BO ⊥AD ，BO ⊥CE ，从而BO ⊥平面AA 1C 1C ，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算南求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)∵ξ服从正态分布N(270,52)，∴P(260<ξ<270)=0.95452=0.47725．∴质量指标在(260,270)内的排球个数约为1000×0.47725 =477.25≈477个；(2)f(p)=C 32p 3(1−p)=3p 3(1−p)，因此f′(p)=3[3p 2(1−p)+p 3(−1)]=3p 2(3−4p)． 令f′(p)=0，得p =34，当p ∈(0,34)时，f′(p)>0，f(p)在(0,34)上为增函数； 当p ∈(34,1)时，f′(p)<0，f(p)在(34,1)上为减函数． ∴f(p)的最大值点p 0=34． 从而p =34；(i)X 的可能取值为3，2，1，0，P(X =3)=(34)3+C 32⋅(34)3⋅(1−34)=189256，P(x =2)=C 42⋅(34)2⋅(1−34)2⋅34=81256， P(X =1)=C 42⋅(34)2⋅(1−34)2⋅(1−34)=27512，P(X =0)=1−189256−81512−27512=13256．∴X 的分布列：(ii)若X =3，则中国队10轮后的总积分为29分，美国队即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，29>28，∴中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为P(X =3)=189256．【解析】本题着重考查离散型随机变量的分布列，考查利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题． (1)由已知结合2σ原则求得P(260<ξ<270)，乘以1000求得质量指标在(260,270)内的排球个数； (2)写出概率函数，利用导数求最值即可得到f(p)的最大值点p 0；(i)求出X 的可能取值为3，2，1，0，再求出相应的概率，可得X 的分布列；(ii)若X =3，可得中国队10轮后的总积分为29分，美国队即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，由此可得中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为P(X =3)=189256．20.【答案】解(1)ℎ(x)=f(x)+g(x)=x −1x +tlnx(x >0)，则ℎ′(x)=1+1x 2+tx=x 2+tx+1x 2(x >0)，①当t ≥0时，ℎ′(x)≥0，∴ℎ(x)单调增区间是(0,+∞)，无减区间；②当t <0时，令H(x)=x 2+tx +1，△=t 2−4，10：△≤0，即−2≤t <0时，H(x)≥0，即ℎ′(x)≥0； ∴ℎ(x)单调增区间是(0,+∞)，无减区间20：△>0时，即t <−2：设x 1=−t−√t2−42，x 2=−t+√t2−42，∵x 1+x 2=−t >0，x 1x 2=1>0，∴0<x 1<x 2，∴(0,x 1)∪(x 2,+∞)时H(x)>0，即ℎ′(x)>0∴ℎ(x)的单调增区间是(0,x 1)，(x 2,+∞)， 同理：单调减区间是(x 1,x 2)，综上：①当t ≥−2时，ℎ(x)单调增区间是(0,+∞)，无减区间，②当t <−2时，ℎ(x)的单调增区间是(0,x 1)，(x 2,+∞)，单调减区间是(x 1,x 2) 其中：x 1=−t−√t 2−42，x 2=−t+√t2−42………………………………(5分)(2)解：因为函数f(x)的图象恒在g(x)的图象的下方， 所以f(x)−g(x)=x −1x −tlnx <0在区间(0,1)上恒成立． 设F(x)=x −1x −tlnx ，其中x ∈(0,1)， 所以F′(x)=1+1x 2−tx=x 2−tx+1x 2，其中△=t 2−4，t >0．①当t 2−4≤0，即0<t ≤2时，F′(x)≥0， 所以函数F(x)在(0,1)上单调递增，F(x)<F(1)=0，故f(x)−g(x)<0成立，满足题意．………………………………(8分) ②当t 2−4>0，即t >2时，设φ(x)=x 2−tx +1(0<x <1)，则φ(x)图象的对称轴x =t2>1，φ(0)=1，φ(1)=2−t <0，所以φ(x)在(0,1)上存在唯一实根，设为x 1，则x ∈(x 1,1)，φ(x)<0，F′(x)<0， 所以F(x)在(x 1,1)上单调递减，此时F(x)>F(1)=0，不合题意． 综上可得，实数t 的取值范围是(0,2].………………………………(12分)【解析】(1)求出ℎ(x)的导数，通过讨论t 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为f(x)−g(x)=x −1x −tlnx <0在区间(0,1)上恒成立，设F(x)=x −1x −tlnx ，其中x ∈(0,1)，根据函数的单调性确定t 的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.【答案】解(Ⅰ)(1)当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以：x 1=x 2，y 1=−y 2∵P(x 1,y 1)在椭圆上，∴x 26+y 24=1 ①，又∵S △OPQ =√6， ∴|x 1||y 1|=√6 ②由①②得|x 1|=√3，|y 1|=√2．此时x 12+x 22=6，y 12+y 22=4；(2)当直线l 的斜率存在时，是直线l 的方程为y =kx +m(m ≠0)，将其代入x 26+y 24=1得：(3k 2+2)x 2+6kmx +3(m 2−4)=0，△=36k 2m 2−12(3k 2+2)(m 2−4)>0，即6k 2+4>m 2． 又x 1+x 2=−6km3k +2，x 1⋅x 2=3(m 2−4)3k 2+2，∴|PQ|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2×√6k 2+4−m 23k 2+2．∵点O 到直线l 的距离为d =√1+k 2， S △OPQ =12×√1+k 2×2√6×√6k 2+4−m 23k +22=√6×√6k 2+4−m 2⋅|m|3k +2，由于S △OPQ =√6， 整理得3k 2+2=m 2，此时x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(−6km3k 2+2)2−2×3(m 2−4)3k 2+2=36k 2+24m 2−6=6，y 12+y 22=23(6−x 12)+23(6−x 22)=4综上所述x 12+x 22=6，y 12+y 22=4结论成立．(Ⅱ)(1)当直线l 的斜率不存在时，由(Ⅰ)知：|OM|=|x 1|=√3，|PQ|=2|y 1|=2√2， 因此|OM||PQ|=2√6．(2)当直线l 的斜率存在时，由(Ⅰ)知x 1+x 22=−3km ，y 1+y 22=k ×x 1+x 22+m =2m ．|OM|2=(x 1+x 22)2+(y 1+y 22)2=9k 2m 2+4m 2=3−2m 2，|PQ|2=(1+k 2)×(6k 2+4−m 2)(3k 2+2)2=1+m 23⋅24m 2=8(1+1m 2)．所以：|OM|2|PQ|2=4(3−2m 2)(2+2m 2)≤(3−2m 2+2+2m 2)2=25． 故：|OM||PQ|≤5．当且仅当3−2m 2=2+2m 2，即m =±2时，等号成立． 综合(1)(2)得|OM||PQ|的最大值为5；【解析】(Ⅰ)(1)利用分类讨论思想的应用对直线的方程进行应用，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出结果．(Ⅱ)利用中点坐标公式的应用和直线和曲线的位置关系的应用和基本不等式和的应用求出结果． 本题考查的知识要点：直线与曲线的位置关系式的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数).转化为直角坐标方程为x 2−4y 2=1，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54.转化为直角坐标方程为：12x −√32y =√54．(2)由于直线与x 轴的交点坐标为(√52,0)，所以直线的参数方程为{x=√52+√32t y =12t(t 为参数)，代入x 2−4y 2=1得到：t 2−2√15t −1=0， 所以：t 1+t 2=2√15，t 1⋅t 2=−1， 则：1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=8．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(1)+f(−1)=|1−a|−|1+a|>1，若a ≤−1，则1−a +1+a >1，得2>1，即a ≤−1时恒成立， 若−1<a <1，则1−a −(1+a)>1，得a <−12，即−1<a <−12， 若a ≥1，则−(1−a)−(1+a)>1，得−2>1，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是(−∞,−12)．(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ， 当x ∈(−∞,a]时，f(x)=−x 2+ax,[f(x)]max =f(a2)=a 24，因为|y +54|+|y −a|≥|a +54|，所以当y ∈[−54,a]时，[|y +54|+|y −a|]min =|a +54|=a +54， 即a 24≤a +54，解得−1≤a ≤5，结合a >0，所以a 的取值范围是(0,5]．【解析】(1)利用f(1)+f(−1)=|1−a|−|1+a|>1，通过a ≤−1，−1<a <1，a ≥1，分别求解即可． (2)要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用．。
【冲刺实验班】广东湛江一中2020中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析
绝密★启用前重点高中提前招生模拟考试数学试卷（1）第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，每题4分）1．下列等式中，不一定成立的是（）A．=2B．C．a=﹣D．2．中国人民银行授权中国外汇交易中心公布，2014年1月14日银行间外汇市场人民币汇率中间价为：1美元对人民币6.0930元，某上市公司持有美元资产为980万美元，用科学记数法表示其美元资产折合成人民币为（）元（保留两位有效数字）A．5.97×107 B．6.0×107C．5.97×108 D．6.0×1083．如图，一条信息可通过网络线由上（A点）往下（沿箭头方向）向各站点传送，例如信息要到b2点可由经a1的站点送达，也可由经a2的站点送达，共有两条传送途径，则信息由A 点传达到d3的不同途径中，经过站点b3的概率为（）A．B．C．D．4．已知x+y=，|x|+|y|=5，则x﹣y的值为（）A．B．C．D．5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示（a、b、c为常数），则函数y=（4ac﹣b2）x+abc和y=在同一平面直角坐标系中的图象，可能是（）A．B．C．D．6．关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的同号实数根，则m的取值范围是（）A．m且m≠0 B．﹣C．﹣且m≠0 D．07．由于货源紧缺，小王、小李两名商贩连续两次以不同的价格在同一公司购进了A型香米，两次的购买单价分别为a、b（a＜b，单位：元/千克），小王的采购方式为：每次购进c 千克大米；小李的采购方式为：每次购进d元的大米（d＞c），若只考虑采购单价，下列结论正确的是（）A．小王合算 B．小李合算C．一样合算 D．无法确定谁更合算8．函数y=|x2+2x﹣3|图象的草图如图所示，则关于x的方程|x2+2x﹣3|=a（a为常数）的根的情况，描述错误的是（）A．方程可能没有实数根B．方程可能有三个互不相等的实数根C．若方程只有两个实数根，则a的取值范围为：a=0D．若方程有四个实数根，记为x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=﹣49．如图，DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且EF=2DF，BF的延长线交AC于点H，CF的延长线交AB于点G，则S四边形AGFH：S△BFC=（）A．1：10 B．1：5 C．3：10 D．2：510．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G，EH为⊙O的切线，交AC的延长线于H，AF=3，FB=，则tan∠DEH=（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共10小题，每题4分）11．计算：（π﹣3.14）0﹣2﹣2×+（tan60°﹣2）2013（4sin30°+）2014+=．12．已知实数x，y满足方程（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）=10，则y x=．13．如图，正方体（图1）的展开图如图2所示，在图1中M、N分别是FG、GH的中点，CM、CN、MN是三条线段；请在图2中画出CM、CN、MN这三条线段．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连结CE交DB、DF于G、H，则EG：GH：HC=．15．已知直线l1：y=x﹣a﹣3和直线l2：y=﹣2x+5a相交于点A（m，n），其中a为常数，且m＞n＞0，化简|1﹣a|﹣=．16．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，4），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为．17．若y关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣2（2a﹣1）x+a（a为常数）的图象与坐标轴只有两个不同交点，则a可取的值为．18．如图，已知圆O的面积为3π，AB为圆O的直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD的最小值是．19．已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内的点P1、P2、P3、…、P2015在反比例函数y=的图象上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2015，纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015的长度是．20．将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是．三．解答题（共6小题，共70分）21．若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．22．跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．23．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围；（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．24．如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B在y轴的正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ（0o≤θ≤45o）．（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过的面积；（2）若线段AB与y轴的交点为M（如图2），线段BC与直线y=x的交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆的半径；（3）设△MNB的周长为l，试判断在正方形OABC旋转的过程中l值是否发生变化，并说明理由．25．（1）已知n=﹣那么1+2+3+…+n=﹣+﹣+﹣+…+﹣，即1+2+3+…+n=﹣=．模仿上述求和过程，设n2=﹣，确定a与b的值，并计算12+22+32+…+n2的结果．（2）图1中，抛物线y=x2，直线x=1与x轴围成底边长为1的曲边三角形，其面积为S，现利用若干矩形面积和来逼近该值．①将底边3等分，构建3个矩形（见图2），求其面积为S3；②将底边n等分，构建n个矩形（如图3），求其面积和S n并化简；③考虑当n充分大时S n的逼近状况，并给出S的准确值．（3）计算图4中抛物线y=2x2与直线y=2x+4所围成的阴影部分面积．26．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD 交AB于点D．（1）求点B的坐标；（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且，求这时点P的坐标．重点高中提前招生模拟考试数学试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列等式中，不一定成立的是（）A．=2B．C．a=﹣D．【考点】65：分式的基本性质；73：二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、左边==2=右边，故本选项正确；B、当c=0时，无意义，故本选项错误；C、左边=a=a=﹣=右边，故本选项正确；D、左边===右边，故本选项正确．故选：B．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．2．中国人民银行授权中国外汇交易中心公布，2014年1月14日银行间外汇市场人民币汇率中间价为：1美元对人民币6.0930元，某上市公司持有美元资产为980万美元，用科学记数法表示其美元资产折合成人民币为（）元（保留两位有效数字）A．5.97×107 B．6.0×107C．5.97×108 D．6.0×108【考点】1L：科学记数法与有效数字．【分析】根据汇率可求980万美元折合成人民币的钱数，再保留两位有效数字即可求解．【解答】解：980万美元=980000美元，980000×6.0930≈6.0×107元．故选：B．【点评】此题考查了科学记数法与有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．3．如图，一条信息可通过网络线由上（A点）往下（沿箭头方向）向各站点传送，例如信息要到b2点可由经a1的站点送达，也可由经a2的站点送达，共有两条传送途径，则信息由A点传达到d3的不同途径中，经过站点b3的概率为（）A．B．C．D．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】根据题意画出树状图，进而利用概率公式，求出答案．【解答】解：画树状图得：所以共有6种情况，则经过站点b3的概率为：．故选：A．【点评】本题考查树状图法求概率，关键是得到到达目的地应走的路口，列齐所有的可能情况．4．已知x+y=，|x|+|y|=5，则x﹣y的值为（）A．B．C．D．【考点】28：实数的性质．【分析】根据绝对值的性质，可得答案．【解答】解：当x＞0，y＞0时，x+y=5与x+y=2矛盾，当x＜0，y＜0时，x+y=﹣5与x+y=2矛盾，当x＞0，y＜0时，x﹣y=5，当x＜0，y＞0时，x﹣y=﹣5，故选：D．【点评】本题考查了实数的性质，利用绝对值得性质是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示（a、b、c为常数），则函数y=（4ac﹣b2）x+abc和y=在同一平面直角坐标系中的图象，可能是（）A．B．C．D．【考点】F3：一次函数的图象；G2：反比例函数的图象；H2：二次函数的图象．【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线与y轴交于x轴下方得c＜0，由抛物线的对称轴得b＜0，所以abc＞0；根据抛物线与x轴有2个交点可得4ac﹣b2＜0，得出一次函数的图象经过第一、二、四象限；利用对称轴的位置和不等式性质即可得到2a+b＞0，得出反比例函数的图象位于第一、三象限；即可得出结论．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴交于（0，c），∴c＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∴abc＞0；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0；∴函数y=（4ac﹣b2）x+abc经过第一、二、四象限；∵0＜﹣＜1，而a＞0，∴﹣b＜2a，即2a+b＞0，∴函数y=的图象位于第一、三象限；故选：C．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．当△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的同号实数根，则m的取值范围是（）A．m且m≠0 B．﹣C．﹣且m≠0 D．0【考点】AA：根的判别式．【分析】根据方程有两个不相等的同号实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的同号实数根，∴，解得：0＜m＜．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合根与系数的关系找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．7．由于货源紧缺，小王、小李两名商贩连续两次以不同的价格在同一公司购进了A型香米，两次的购买单价分别为a、b（a＜b，单位：元/千克），小王的采购方式为：每次购进c千克大米；小李的采购方式为：每次购进d 元的大米（d＞c），若只考虑采购单价，下列结论正确的是（）A．小王合算 B．小李合算C．一样合算 D．无法确定谁更合算【考点】6C：分式的混合运算．【专题】11：计算题；513：分式．【分析】分别表示出小王与小李两次购买香米的平均价格，利用作差法比较即可．【解答】解：根据题意得：小王两次购买香米的平均价格为=元/千克，小李两次购买香米的平均价格为=元/千克，∴﹣==，∵（a﹣b）2＞0，2（a+b）＞0，∴﹣＞0，即＞，则小李的购买方式合算．故选：B．【点评】此题考查了分式的混合运算，以及作差法比较大小，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．函数y=|x2+2x﹣3|图象的草图如图所示，则关于x的方程|x2+2x﹣3|=a （a为常数）的根的情况，描述错误的是（）A．方程可能没有实数根B．方程可能有三个互不相等的实数根C．若方程只有两个实数根，则a的取值范围为：a=0D．若方程有四个实数根，记为x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=﹣4【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【分析】关于x的方程|x2+2x﹣3|=a可视为函数y=|x2+2x﹣3|与函数y=a 的交点问题，且函数y=|x2+2x﹣3|的顶点坐标为（﹣1，4），再根据a的取值范围即可得出结论．【解答】解：如图所示，关于x的方程|x2+2x﹣3|=a可视为函数y=|x2+2x ﹣3|与函数y=a的交点问题，且函数y=|x2+2x﹣3|的顶点坐标为（﹣1，4），由函数图象可知，当a＜0时，y=|x2+2x﹣3|与函数y=a没有交点，故原方程没有实数根，故A正确；当a=4时，函数y=|x2+2x﹣3|与函数y=a有三个交点，故方程有三个不相等的实数根，故B正确；当a=0或a＞4时，函数y=|x2+2x﹣3|与函数y=a有两个交点，故方程有两个互不相等的实数根，故C错误；当0＜a＜4时，函数y=|x2+2x﹣3|与函数y=a有四个交点，故方程有四个互不相等的实数根，根据函数的对称性可知，x1+x2+x3+x4=﹣2﹣2=﹣4，故D正确．故选：C．【点评】此题考查的是二次函数与一次函数的交点问题，根据函数交点的个数可判断相应方程解的情况，特别注意函数图形的正确性，把方程看作是两个函数图象的交点是解答此题的关键．9．如图，DE 是△ABC 的中位线，F 为DE 上一点，且EF=2DF ，BF 的延长线交AC 于点H ，CF 的延长线交AB 于点G ，则S 四边形AGFH ：S △BFC =（ ）A ．1：10B ．1：5C ．3：10D ．2：5【考点】KX ：三角形中位线定理；S9：相似三角形的判定与性质． 【专题】11：计算题．【分析】设DF=x ，EF=2x ，S △GDF =S ，则DE=3x ，由三角形中位线性质得BC=2DE=6x ，先证明△GDF ∽△GBC ，利用相似三角形的性质得S △GBC =36S ，则利用三角形面积公式得到S △BGF =6S ，S △BFC =30S ，接着利用====得到==，则S △CFH =S △BCF =15S ，所以S △BCH =45S ，然后利用同样方法计算出S △BAH =S △BCH =15S ，于是得到S 四边形AGFH =9S ，然后计算S 四边形AGFH ：S △BFC 的值．【解答】解：设DF=x ，EF=2x ，S △GDF =S ， 则DE=3x ，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴BC=2DE=6x ， ∵DE ∥BC ， ∴△GDF ∽△GBC ，==，∴=（）2，即=（）2=，∴S △GBC =36S ， ∵==，∴S △BGF =6S ， ∴S △BFC =30S ， ∵EF ∥BC ， ∴====，∴==，∴S △CFH =S △BCF =15S ， ∴S △BCH =45S ， 而AE=CE ， ∴AH ：HC=1：3， ∴S △BAH =S △BCH =15S ，∴S 四边形AGFH =S △BAH ﹣S △BGF =15S ﹣6S=9S ， ∴S 四边形AGFH ：S △BFC =9S ：30S=3：10． 故选：C ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在应用相似三角形的性质时，主要利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了三角形面积公式．10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是的中点，弦DE ⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G，EH为⊙O的切线，交AC的延长线于H，AF=3，FB=，则tan∠DEH=（）A．B．C．D．【考点】M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；MC：切线的性质；T7：解直角三角形．【分析】连接OE，如图2，根据切线的性质得OE⊥EH，则∠OEF+∠DEH=90°，而∠OEF+∠FOE=90°，根据等角的余角相等得∠FOE=∠DEH，求出OF、EF，在Rt△OEF中，根据tan∠DEH=tan∠EOF=计算即可．【解答】解：连接OE，如图2，∵EH为⊙O的切线，∴OE⊥EH，∴∠OEF+∠DEH=90°，而∠OEF+∠FOE=90°，∴∠FOE=∠DEH，∵AF=3，FB=，∴AB=AF+BF=，∴OB=AB=，∴OF=OB﹣FB=，在Rt△OEF中，OE=，OF=，∴EF===2．∴tan∠DEH=tan∠EOF===．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和解直角三角形．二．填空题（共10小题）11．计算：（π﹣3.14）0﹣2﹣2×+（tan60°﹣2）2013（4sin30°+）2014+=1．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据实数的混合运算法则和运算顺序计算即可．【解答】解：原式=1﹣×（﹣4）+（﹣2）2013×（4×+）2014+=1+1+（﹣2）2013×（+2）2013（+2）+1+=2﹣2﹣+1+=1，故答案为：1【点评】本题主要考查实数的混合运算、立方根的运算、绝对值的化简及特殊锐角的三角函数值、实数的大小比较等，正确掌握基本的运算法则是解题的关键．12．已知实数x，y满足方程（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）=10，则y x=．【考点】AF：高次方程．【专题】17：推理填空题．【分析】根据（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）=10，可得：[（x﹣2）2+2][（3y+1）2+5]=10，据此求出x、y的值各是多少；然后应用代入法，求出y x的值是多少即可．【解答】解：∵（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）=10，∴[（x﹣2）2+2][（3y+1）2+5]=10，∴x﹣2=0，3y+1=0，解得x=2，y=﹣，∴y x==．故答案为：．【点评】此题主要考查了高次方程的解法和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是灵活应用完全平方公式．13．如图，正方体（图1）的展开图如图2所示，在图1中M、N分别是FG、GH的中点，CM、CN、MN是三条线段；请在图2中画出CM、CN、MN这三条线段．【考点】I6：几何体的展开图．【分析】先分别找到M、N、C在正方体的展开图中的对应点，再在展开图中连接即可．【解答】解：作图如下：故答案为：．【点评】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体平面展开图的特征是解决此类问题的关键．注意找准M、N、C在正方体的展开图中的对应点．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连结CE交DB、DF于G、H，则EG：GH：HC=5：4：6．【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】过点G作GP∥BC交DF于P，设GH=2a，则由平行线的性质得出，进而即可得出结论．【解答】解：过点G作GP∥BC交DF于P，如图所示：则，设GH=2a，则HC=3a，∴EG=a，∴EG：GH：HC=5：4：6．故答案为：5：4：6．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质以及正方形的一些性质问题，要求学生能够利用其性质求解一些简单的计算问题．15．已知直线l1：y=x﹣a﹣3和直线l2：y=﹣2x+5a相交于点A（m，n），其中a为常数，且m＞n＞0，化简|1﹣a|﹣=1．【考点】73：二次根式的性质与化简；FF：两条直线相交或平行问题．【分析】由直线l1：y=x﹣a﹣3和直线l2：y=﹣2x+5a相交于点A（m，n），即可得出关于m、n的二元一次方程，解方程即可得出m、n的值，再结合m＞n＞0，即可得出a的取值范围，进而即可得出代数式|1﹣a|﹣的值．【解答】解：根据题意得：，解得：，∵m＞n＞0，∴，∴a＞2，∴|1﹣a|﹣=a﹣1﹣（a﹣2）=1．故答案为：1．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题以及二次根式的性质与化简，根据m、n之间的关系找出a的取值范围是解题的关键．16．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，4），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为（﹣2，0）．【考点】D5：坐标与图形性质；PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】利用轴对称图形的性质可作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，点M即为所求．【解答】解：作点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′（﹣1，1），作直线A′B交x轴于点M，由对称性知：MA′=MA，∴MB﹣MA=MB﹣MA′=A′B，若N是x轴上异于M的点，则NA′=NA，这时NB﹣NA=NB﹣NA′＜A′B=MB﹣MA′，所以，点M就是使MB﹣MA的值最大的点，MB﹣MA的最大值是A′B，设直线A′B的解析式为：y=kx+b，把A′（﹣1，1），B（2，4）代入得：，解得：，∴直线A′B的解析式为y=x+2，∵点M为直线A′B与x轴的交点，当y=0时，x+2=0，x=﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．【点评】本题是求最值问题，考查了在直线上求作一点，使到直线两侧点的距离差最大，涉及待定系数法求一次函数的解析式及在三角形中任意两边之差小于第三边的应用，正确作出一个点的对称点是解题的关键．17．若y关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣2（2a﹣1）x+a（a为常数）的图象与坐标轴只有两个不同交点，则a可取的值为2或0．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【分析】分二次函数或一次函数两种情形讨论即可．【解答】解：①如果是二次函数则无解．②如果是一次函数则a﹣2=0，∴a=2，a=0时，函数为y=﹣2x2+x与坐标轴只有两个交点，综上所述a=2或0时，y关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣2（2a﹣1）x+a（a为常数）的图象与坐标轴只有两个不同交点．故答案为2或0．【点评】本题考查一次函数、二次函数与坐标轴的交点，记住△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，是解题的关键是，属于中考常考题型．18．如图，已知圆O的面积为3π，AB为圆O的直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD的最小值是3．【考点】M5：圆周角定理；PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出r的值，再作点C 关于AB的对称点C′，连接OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由轴对称的性质得出∠AOC′的度数，故可得出∠BOC′的度数，再由锐角三角函数的定义即可得出DC′的长．【解答】解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πr2，即r=．作点C关于AB的对称点C′，连接OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵∠AOC=80°，∴∠AOC=∠AOC′=80°，∴∠BOC′=100°，∵∠BOD=20°，∴∠DOC′=∠BOC′+∠BOD=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查的是圆周角定理及轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出点C关于直线AB的对称点是解答此题的关键．19．已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内的点P1、P2、P3、…、P2015在反比例函数y=的图象上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2015，纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015的长度是．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据点P2015的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点P2015的坐标，由P2015Q2015∥y轴结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点Q2015的坐标，由此即可得出线段P2015Q2015的长度．【解答】解：∵点P2015的纵坐标为2×2015﹣1=4029，点P2015的在反比例函数y=的图象上，∴点P2015的坐标为（，4029），∵P2015Q2015∥y轴，∴点Q2015的坐标为（，），∴P2015Q2015=4029﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点P2015的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点P2015、Q2015的坐标是解题的关键．20．将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是85．【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】先根据第一行的第一列的数，以及第二行的第二列的数，第三行的第三列的数，第四行第四列的数，进而得出变化规律，由此得出第七行第七列的，从而求出答案．【解答】方法一：解：第一行第一列的数是 1；第二行第二列的数是 5=1+4；第三行第三列的数是 13=1+4+8；第四行第四列的数是 25=1+4+8+12；…第n行第n列的数是 1+4+8+12+…+4（n﹣1）=1+4[1+2+3+…+（n﹣1）]=1+2n（n﹣1）；∴第七行第七列的数是 1+2×7×（7﹣1）=85；故答案为：85．方法二：n=1，s=1；n=2，s=5；n=3，s=13，设s=an2+bn+c，∴，∴，∴s=2n2﹣2n+1，把n=7代入，s=85．方法三：，，，，，，∴a7=25+=85．【点评】此题考查了数字的变化类，这是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．三．解答题（共20小题）21．若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式组，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解，在确定字母的取值范围即可．【解答】解：由①得：x＜21，由②得：x＞2﹣3a，∵不等式组只有4个整数解，∴不等式组的解集为：2﹣3a＜x＜21，即不等式组只有4个整数解为20、19、18、17，且满足16≤2﹣3a＜17，∴﹣5＜a≤﹣．【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．22．跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【专题】12：应用题；22：方案型．【分析】（1）关键语是“用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同”可根据此列出方程．（2）本题中“根据进两种零件的总数量不超过95个”可得出关于数量的不等式方程，根据“使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元”看俄得出关于利润的不等式方程，组成方程组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．【解答】解：（1）设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为（x ﹣2）元．由题意得：．解得：x=10．检验：当x=10时，x（x﹣2）≠0∴x=10是原分式方程的解．每个甲种零件进价为：x﹣2=10﹣2=8答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．（2）设购进乙种零件y个，则购进甲种零件（3y﹣5）个．由题意得：解得：23＜y≤25∵y为整数∴y=24或25．∴共有2种方案．方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．本题要注意（2）中未知数的不同取值可视为不同的方案．23．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围；（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连接OQ．欲证明RQ是⊙O的切线，只要证明∠OQR=90°．（2）求出两个特殊位置的∠B的值即可解决问题．（3）如图2中，延长AO交⊙于M．由PA•PM=PB•PQ（相交弦定理，也可以连接BM、AQ证明△PBM∽△PAQ得到），推出（OB﹣OP）（OB+OP）=PB•PQ，可得OB2﹣OP2=PB•PQ．【解答】（1）证明：连接OQ．∵OA⊥OB，∴∠2+∠B=90°，∵OB=OQ，∴∠B=∠4，∵RP=RQ，∴∠1=∠3=∠2，∴∠3+∠4=90°，∴OQ⊥RQ，∴RQ是⊙O的切线．（2）解：如图1中，①当点R与A重合时，易知∠B=45°．②当AR=OA时，在Rt△ORQ中，∵∠OQR=90°，OR=2OQ，∴∠R=30°，∵RQ=RP，∴∠RPQ=∠RQP=75°，∴∠OPB=75°，∴∠B=90°﹣∠OPB=15°，综上所述，15°≤∠B＜45°．（3）如图2中，延长AO交⊙于M．∵PA•PM=PB•PQ（相交弦定理，也可以连接BM、AQ证明△PBM∽△PAQ得到），∴（OB﹣OP）（OB+OP）=PB•PQ，∴OB2﹣OP2=PB•PQ．即OB2=PB•PQ+OP2．【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、等腰三角形的性质、相交弦定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．24．如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B在y 轴的正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ（0o≤θ≤45o）．（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过的面积；（2）若线段AB与y轴的交点为M（如图2），线段BC与直线y=x的交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆的半径；（3）设△MNB的周长为l，试判断在正方形OABC旋转的过程中l值是否发生变化，并说明理由．。
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷(理科) (1)
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若集合A ＝{x|x ≤1}，则满足A ∩B ＝A 的集合B 可以是（ ） A.{x|x ≤2} B.{x|x ≤0} C.{x|x ≥0} D.{x|x ≥2}2. 设复数z 满足|z −i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x, y)，则（ ）A.(x −1)2+y 2＝1B.(x +1)2+y 2＝1C.x 2+(y −1)2＝1D.x 2+(y +1)2＝13. 等差数列x ，3x +3，6x +6，…的第四项等于（ ） A.9 B.0 C.18 D.124. 2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么（ ） A.国防大学，博士B.国防大学，研究生C.国防科技大学，研究生D.军事科学院，学士5. 下列说法正确的是（ ）A.“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件B.a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件C.命题p ：“∀x ∈R ，sin x +cos x ≤√2”，则￢p 是真命题D.命题“∃x ∈R 使得x 2+2x +3<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x +3>0”6. 已知平面向量a →=(3, 0)，a →+2b →=(1, 2√3)，则a →与b →的夹角等于（ ） A.π3 B.π6C.5π6D.2π37. 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A.7.5%B.6.25%C.31.25%D.10.25%8. 若抛物线y 2＝4x 通径为MN （其中M 是第一象限点），当点P(cos α, sin α)是OM 上的点时，则cos (2α+π2)的值等于（ ） A.−45 B.45C.43D.−439. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60∘时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A.√2 B.√3C.2D.2√3310. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE(A 1∉平面ABCD)，若M 、O 分别为线段A 1C 、DE 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A.异面直线BM 与A 1E 所成角是定值B.与平面A 1DE 垂直的直线必与直线BM 垂直C.一定存在某个位置，使DE ⊥MOD.三棱锥A 1−ADE 外接球半径与棱AD 的长之比为定值11. 定义在(1, +∞)上的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x ∈(1, +∞)恒有f(2x)=2f(x)成立； (2)当x ∈(1, 2]时，f(x)=(2−x)2；记函数g(x)=f(x)−k(x −1)，若函数g(x)恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.[43, 2]B.[1, 2)C.(43, 2)D.[43, 2)12. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C:x 2+y 2＝1+|x|y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上存在到原点的距离超过√2的点； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中所有正确结论的个数是（ ）A.1B.0C.2D.3二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）.在(1−x)5+(1−x)6+(1−x)7+(1−x)8的展开式中，含x 5的项的系数是________．函数y =2sin (π6−2x),x ∈[−π,0]的单调递增区间为________．已知函数f(x)＝x(x 5−16x 2+x −4)，且f(x)≥f(x 0)对x ∈R 恒成立，则曲线y =f(x)x在点(x 0, f(x 0)x 0)处的切线的斜率为________．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c cos B =a −12b 且c =√3． （1）求角C 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求ab 的取值范围．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知四边形AA 1C 1C 为矩形，AA 1＝6，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝∠BAA 1＝60∘，∠A 1AC 的角平分线AD 交CC 1于D ． (Ⅰ)求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； (Ⅱ)求二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值．2019年女排世界杯（第13届女排世界杯）是由国际排联(FIVB)举办的赛事，比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行，共有12支参赛队伍．本次比赛启用了新的排球用球MIKASA −V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布N(270, 52)．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分．第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p <1)． （1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260, 270)内的排球个数（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p 0，并以p 0作为p 的值，解决下列问题．(i)在第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列；(ii)已知第10轮美国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．参考数据：X ∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)≈0.9973．设函数f(x)=x −1x ，g(x)＝t ln x(t ∈R)，（1）讨论函数ℎ(x)＝f(x)+g(x)的单调区间；（2）若当x∈(0, 1)时f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求正实数t的取值范围．已知动直线l与椭圆C:x26+y24=1交于P(x1, y1)，Q(x2, y2)两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=√6，其中O为坐标原点．(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值；(Ⅱ)设线段PQ的中点为M，求|OM|⋅|PQ|的最大值；（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−ty=t1−t2（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．选做题已知函数f(x)＝x|x−a|，a∈R．（1）若f(1)+f(−1)>1，求a的取值范围；（2）若a>0，对∀x，y∈(−∞, a]，都有不等式f(x)≤|y+54|+|y−a|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】进行简根的合情亮理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】数量来表示冷个向让又夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】频率都着直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】抽象函表及声应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）. 【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正弦函射的单调长【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】棱使、求族非棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法平面因平面京直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正态分来的密稳曲线离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭明的钾用直线与椭常画位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分. 【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化圆的较坐标停程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答选做题【答案】此题暂无答案【考点】不等式三成立的最题绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷(文科)
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合A ＝{x|x ≤1}，则满足A ∩B ＝A 的集合B 可以是（ ） A.{x|x ≤0} B.{x|x ≤2} C.{x|x ≥0} D.{x|x ≥2}2. 设复数z 满足|z −i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x, y)，则（ ）A.(x +1)2+y 2＝1B.(x −1)2+y 2＝1C.x 2+(y −1)2＝1D.x 2+(y +1)2＝13. 等差数列x ，3x +3，6x +6，…的第四项等于（ ） A.0 B.9 C.12 D.184. 2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么（ ） A.国防大学，研究生 B.国防大学，博士C.军事科学院，学士D.国防科技大学，研究生5. 下列说法正确的是（ ）A.a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件B.“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C.命题“∃x ∈R 使得x 2+2x +3<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x +3>0”D.命题p ：“∀x ∈R ，sin x +cos x ≤√2”，则￢p 是真命题6. 已知平面向量a →=(3, 0)，a →+2b →=(1, 2√3)，则a →与b →的夹角等于（ ） A.π6 B.π3C.2π3D.5π67. 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A.6.25%B.7.5%C.10.25%D.31.25%8. m ，n 为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A.若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B.若α // β，m ⊂α，n ⊂β，则m // n C.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D.若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β9. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60∘时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A.√3 B.√2 C.2√33D.210. 已知f(x)＝2a ln x +x 2，若对于∀x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>4，则a 的取值范围是（ ）A.(1, +∞)B.[1, +∞)C.(0, 1)D.(0, 1]11. 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线3x +y −3＝0相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A.45π B.109πC.34πD.940π12. 定义在(1, +∞)上的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x ∈(1, +∞)恒有f(2x)=2f(x)成立； (2)当x ∈(1, 2]时，f(x)=(2−x)2；记函数g(x)=f(x)−k(x −1)，若函数g(x)恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A.[1, 2)B.[43, 2]C.(43, 2)D.[43, 2)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．设f(x)={a x,x≥0log2(x2+a2),x<0且f(2)＝4，则f(−2)＝________．若点P(cosα, sinα)在直线y＝2x上，则cos(2α+π2)的值等于________．已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n=log2a n，且b1+b2+b3＝12，则a4＝________．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．△ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos C sin B =bsin B+ccos C．（1）求角B；（2）若b=√2，当△ABC的面积最大值．已知平面多边形PABCD中，AP＝PD，AD＝2DC＝2CB＝4，AD // BC，AP⊥PD，AD⊥DC，E为PD的中点，现将三角形APD沿AD折起，使PC＝2√2．（1）证明：CE // 平面PAB；（2）求三棱锥P−BCE的体积．某高校在2017年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：（1）请写出频率分布表中a，b，c的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替，请估计全体考生的平均成绩；（2）为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名考生进入第二轮面试．①求第3、4、5组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试；②在（2）的前提下，学校要求每个学生需从A、B两个问题中任选一题作为面试题目，求第三组和第五组中恰好有两个学生选到问题B的概率．已知函数f(x)＝x ln x−1，g(x)＝(k−1)x−k(k∈R)．（1）若直线y＝g(x)是曲线y＝f(x)的一条切线，求k的值；（2）当x>1时，直线y＝g(x)与曲线y＝f(x)+1无交点，求整数k的最大值．已知动直线l与椭圆C:x26+y24=1交于P(x1, y1)，Q(x2, y2)两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=√6，其中O 为坐标原点．(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值；(Ⅱ)设线段PQ的中点为M，求|OM|⋅|PQ|的最大值；选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−t2y=t1−t2（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．已知函数f(x)＝x|x−a|，a∈R．（1）若f(1)+f(−1)>1，求a的取值范围；（2）若a>0，对∀x，y∈(−∞, a]，都有不等式f(x)≤|y+54|+|y−a|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】满足A∩B＝A，A⊆B，根据选项判断即可．【解答】满足A∩B＝A，A⊆B，根据选项，B成立，2.【答案】C【考点】轨迹方程复数的代数表示法及其几何意义【解析】由z在复平面内对应的点为(x, y)，可得z＝x+yi，然后根据|z−i|＝1即可得解．【解答】∵z在复平面内对应的点为(x, y)，∴z＝x+yi，∴z−i＝x+(y−1)i，∴|z−i|=√x2+(y−1)2=1，∴x2+(y−1)2＝1，3.【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】∵等差数列{a n}:x，3x+3，6x+6，…，∴2(3x+3)＝x+6x+6，解得x＝0．∴此数列的首项a1＝0，公差d＝3．∴a4＝0+3×(4−1)＝9．4. 【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】由①③得到丙来来自于军事科学院；由②和④得到甲是博士；由⑤得到乙来自于国防科技大学，且乙是研究生，由此能求出结果．【解答】由①甲不是军事科学院的，得到甲来自于国防大学或国防科技大学；由③乙不是军事科学院的，得到乙来自于国防大学、国防科技大学；由①③得到丙来来自于军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士和④乙不是博士学位，得到甲是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，得到乙来自于国防科技大学，且乙是研究生，由此得到甲来自于国防大学，且甲是博士，从而得到丙是来自军事科学院，学位是学士．5.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】A．根据不等式的关系进行判断即可．B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断．D．根据三角函数的性质进行判断．【解答】A．由1a<1得a>1或a<0，则“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件，正确，B．若p∧q为真命题，则p，q都是真命题，此时p∨q为真命题，即充分性成立，反之当p假q真时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误，C．命题“∃x∈R使得x2+2x+3<0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故C错误，D．∵sin x+cos x=√2sin(x+π4)≤√2恒成立，∴p是真命题，则￢p是假命题，故D错误，6.【答案】C【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】根据条件即可求出向量b→的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos<a→,b→>的值，从而得出a→与b→的夹角的值．【解答】b →=12(a →+2b →−a →)=12(−2,2√3)=(−1,√3)，且a →=(3,0)， ∴ cos <a →,b →>=a →⋅b→|a →||b →|=−32×3=−12，且0≤<a →,b →>≤π，∴ a →与b →的夹角等于2π3． 7. 【答案】 A【考点】频率分布直方图 【解析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+450+100＝800（万元），共中水费支出250（万元），由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比． 【解答】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%， 由条形图得去年水、电、交通支出合计为： 250+450+100＝800（万元）， 共中水费支出250（万元）， ∴ 去年的水费开支占总开支的百分比为：250800×20%=6.25%． 8.【答案】 D【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系 空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据线线，线面，面面的有关定理和性质判断各选项的真假． 【解答】对A ，根据面面垂直的性质定理可知，m 与n 不一定垂直，A 错误； 对B ，若α // β，m ⊂α，n ⊂β，则m // n 或者m 与n 异面，B 错误； 对C ，根据面面垂直的判定定理可知，α与β不一定垂直，C 错误； 对D ，若m ⊥n ，m ⊥α，则存在直线l ⊂α，使得l // n ， 又n ⊥β，所以l ⊥β，而l ⊂α，所以α⊥β，D 正确． 9.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 双曲线的离心率 【解析】设F 1P ＝m ，F 2P ＝n ，F 1F 2＝2c ，由余弦定理4c 2＝m 2+n 2−mn ，设a 1是椭圆的长半轴，a 1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m +n ＝2a 1，m −n ＝2a 2，由此能求出结果． 【解答】设F 1P ＝m ，F 2P ＝n ，F 1F 2＝2c ，由余弦定理得(2c)2＝m 2+n 2−2mn cos 60∘， 即4c 2＝m 2+n 2−mn ，设a 1是椭圆的长半轴，a 2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m +n ＝2a 1，m −n ＝2a 2， ∴ m ＝a 1+a 2，n ＝a 1−a 2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a 22−4c 2+a 12=0， a 1＝3a 2，e 1⋅e 2=c a 1⋅ca 2=(c a 2)23=1，解得e 2=√3． 10.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】 假设x 1<x 2，把f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>4化为f(x 1)−f(x 2)<4(x 1−x 2)，构造函数g(x)＝f(x)−4x ，根据函数的单调性利用g(x)的导数g ′(x)≥0，求出a 的取值范围． 【解答】任取x 1、x 2∈(0, +∞)，且x 1<x 2， ∵f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>4，∴ f(x 1)−f(x 2)<4(x 1−x 2)， 构造函数g(x)＝f(x)−4x ，由题意g(x)在(0, +∞)是单调递增函数， ∴ g ′(x)＝f′(x)−4≥0；即2ax +2x −4≥0； ∴ a ≥(2−x)x ，设函数t ＝2x −x 2＝−(x −1)2+1≤1， ∴ a ≥1；∴ a 的取值范围是[1, +∞)． 11.【答案】 D【考点】 圆的切线方程 【解析】由O 向直线3x +y −3＝0做垂线，垂足为D ，当D 恰为圆与直线的切点时，圆C 的半径最小，此时圆的直径为O(0, 0)到直线3x +y −3＝0的距离，由此能求出圆C 面积最小值． 【解答】∵ AB 为直径，∠AOB ＝90∘，∴O点必在圆C上，由O向直线3x+y−3＝0做垂线，垂足为D，则当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，此时圆的直径为O(0, 0)到直线3x+y−3＝0的距离d=√10，∴此时圆的半径r=12d=2√10，∴圆C面积最小值S min＝πr2＝π⋅(2√10)2=940π．12.【答案】D【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题中的条件得到函数的解析式为：当x∈(1, 2]时，f(x)=(2−x)2；f(x)=2(2−x2)2，x∈(2, 4],f(x)=4(2−x4)2，x∈(4, 8]，…，又y=k(x−1)的函数图象是过定点(1, 0)的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可．【解答】解：因为对任意的x∈(1, +∞)恒有f(2x)=2f(x)成立，且当x∈(1, 2]时，f(x)=(2−x)2；f(x)=2(2−x2)2，x∈(2, 4]，f(x)=4(2−x4)2，x∈(4, 8]，由题意得y=k(x−1)的函数图象是过定点P(1, 0)的直线，其中A(2, 2)，B(4, 4)，如图所示直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合），k PA=2−02−1=2，k PB=4−04−1=43，所以可得k的范围为43≤x<2．故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】3【考点】函数的求值求函数的值【解析】由已知得f(2)＝a2＝4，由a是对数的底数，得a＝2，由此能求出f(−2)．【解答】∵f(x)={ax,x≥0log2(x2+a2),x<0且f(2)＝4，∴f(2)＝a2＝4，解得a＝±2，∵a是对数的底数，∴a≠−2，∴a＝2，∴f(−2)＝log2(4+4)＝3．【答案】−45【考点】任意角的三角函数【解析】根据点P在直线上，得到sinα和cosα之间的关系，利用同角三角函数基本关系式公式和诱导公式化简得出答案．【解答】∵点P(cosα, sinα)在直线y＝2x上，∴sinα＝2cosα，又sin2α+cos2α＝1，解得：cos2α=15；∴cos(2α+π2)＝−sin2α＝−2sinαcosα＝−4cos2α=−45．【答案】256【考点】等比数列的通项公式【解析】由已知结合对数的运算性质及等比数列的性质和通项公式即可求解．【解答】因为数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n=log2a n，且b1+b2+b3＝log2a1+log2a2+log2a3＝12，所以log2(a1a2a3)＝12即a1a2a3＝212，因为数列{a n}为等比数列，所以a1a2a3=a23=212，所以a2＝16，q＝4，则a4＝256．【答案】20,32−16√23【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】直接由对称性可得该几何体面的个数；该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，两个四棱柱的体积和为V＝2×2×2×4＝32，交叉部分的体积为四棱锥S−ABCD的体积的2倍，由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD为边长为√6的棱形，设AC的中点为H，连结BH，SH，由题意得SH为四棱锥S−ABCD的高，求出四棱锥S−ABCD的体积，由此能求出这个几何体的体积．【解答】由对称性可知，该几何体共有20个面；该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，两个四棱柱的体积和为：V＝2×2×2×4＝32，交叉部分的体积为四棱锥S−ABCD的体积的2倍，在等腰△ABS中，SB＝2√2，SB边上的高为2，则SA=√6，∴由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD为边长为√6的棱形，设AC的中点为H，连结BH，SH，由题意得SH为四棱锥S−ABCD的高，在Rt△ABH中，BH=√AB2−AH2=√6−2=2，又AC＝SB＝2√2，∴S四边形ABCD ＝2×12×2√2×2＝4√2，∵BH＝SH，∴V S−ABCD=13×S四边形ABCD×2=13×4√2×2=8√23，∴这个几何体的体积为V＝32−8√23×2=32−16√23．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【答案】根据题意，△ABC中，acos C sin B =bsin B+ccos C，即acos C sin B=b cos C+c sin Bsin B cos C，即a＝b cos C+c sin B，由正弦定理可得：sin A＝sin B cos C+sin C sin B，则有sin(B+C)＝sin B cos C+sin C sin B，变形可得：sin B cos C+cos B sin C＝sin B cos C+sin C sin B，化简可得：sin B＝cos B，所以tan B=1,B=π4；由（1）的结论，B=π4，由余弦定理可得：b2＝a2+c2−2ac cos B，则有2＝a2+c2−√2ac，即有2+√2ac＝a2+c2，又由a2+c2≥2ac，则有2+√2ac≥2ac，变形可得：ac≤2−√2=2+√2，则S=12ac sin B=√24ac≤√2+12．即△ABC的面积最大值为√2+12．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）根据题意，将acos C sin B=bsin B+ccos C变形可得acos C sin B=b cos C+c sin Bsin B cos C，结合正弦定理变形可得sin A＝sin B cos C+ sin C sin B，进而可得sin B cos C+cos B sin C＝sin B cos C+sin C sin B，即sin B＝cos B，分析可得tan B＝1，分析可得B的值，（2）根据题意，由余弦定理可得b2＝a2+c2−2ac cos B，即2＝a2+c2−√2ac，变形可得2+√2ac＝a2+c2，结合基本不等式的性质可得ac≤2−√2=2+√2，由三角形面积公式计算可得答案．【解答】根据题意，△ABC中，acos C sin B=bsin B+ccos C，即acos C sin B=b cos C+c sin Bsin B cos C，即a＝b cos C+c sin B，由正弦定理可得：sin A＝sin B cos C+sin C sin B，则有sin(B+C)＝sin B cos C+sin C sin B，变形可得：sin B cos C+cos B sin C＝sin B cos C+sin C sin B，化简可得：sin B＝cos B，所以tan B=1,B=π4；由（1）的结论，B=π4，由余弦定理可得：b2＝a2+c2−2ac cos B，则有2＝a2+c2−√2ac，即有2+√2ac＝a2+c2，又由a2+c2≥2ac，则有2+√2ac≥2ac，变形可得：ac≤2−√2=2+√2，则S=12ac sin B=√24ac≤√2+12．即△ABC的面积最大值为√2+12．【答案】证明：取PA 中点H ，连接HE ，∵ E 为PD 的中点，∴ HE 为△PAD 的中位线， ∴ HE // AD ，HE =12AD ，又BC // AD ，BC =12AD ，∴ HE // BC ，HE ＝BC ．则四边形BCEH 为平行四边形，则CE // BH ． ∵ BH ⊂平面ABP ，CE ⊄平面ABP ， ∴ CE // 平面ABP ；由题意，△PAD 为等腰直角三角形，ABCD 为直角梯形， 取AD 中点F ，连接BF ，PF ，∵ AD ＝2BC ＝4，∴ PF ＝BF ＝2， ∵ PF ⊥AD ，BF ⊥AD ，PF ∩BF ＝F ， ∴ DF ⊥平面PBF ，则BC ⊥平面PBF ， ∵ PB ⊂平面PBF ，∴ BC ⊥PB ，∴ 在直角三角形PBC 中，PC =2√2，BC ＝2，得PB ＝2， ∴三角形PBF 为等边三角形．取BF 的中点O ，则PO ⊥BF ，PO ⊥DF ，又BF ∩DF ＝F ，∴ PO ⊥平面ABCD ，PO =√3．∵ E 为PD 的中点，∴ E 到平面PBC 的距离等于D 到平面PBC 的距离的一半，∴ V P−BCE =V E−PBC =12V D−PBC =12V P−BCD =12×13S △BCD ⋅PO =12×13×12×2×2×√3=√33．【考点】直线与平面平行棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】（1）取PA 中点H ，连接HE ，由三角形中位线定理结合已知证明四边形BCEH 为平行四边形，则CE // BH ，再由线面平行的判定可得CE // 平面ABP ；（2）由题意，△PAD 为等腰直角三角形，ABCD 为直角梯形，取AD 中点F ，连接BF ，PF ，由已知证明BC ⊥PB ，求解三角形得三角形PBF 为等边三角形．取BF 的中点O ，证明PO ⊥平面ABCD ，并求得PO =√3，由E 为PD 的中点，可得E 到平面PBC 的距离等于D 到平面PBC 的距离的一半，然后利用等积法求三棱锥P −BCE 的体积． 【解答】证明：取PA 中点H ，连接HE ，∵ E 为PD 的中点，∴ HE 为△PAD 的中位线，∴ HE // AD ，HE =12AD ，又BC // AD ，BC =12AD ，∴ HE // BC ，HE ＝BC ． 则四边形BCEH 为平行四边形，则CE // BH ． ∵ BH ⊂平面ABP ，CE ⊄平面ABP ， ∴ CE // 平面ABP ；由题意，△PAD 为等腰直角三角形，ABCD 为直角梯形， 取AD 中点F ，连接BF ，PF ，∵ AD ＝2BC ＝4，∴ PF ＝BF ＝2， ∵ PF ⊥AD ，BF ⊥AD ，PF ∩BF ＝F ， ∴ DF ⊥平面PBF ，则BC ⊥平面PBF ， ∵ PB ⊂平面PBF ，∴ BC ⊥PB ，∴ 在直角三角形PBC 中，PC =2√2，BC ＝2，得PB ＝2， ∴ 三角形PBF 为等边三角形．取BF 的中点O ，则PO ⊥BF ，PO ⊥DF ，又BF ∩DF ＝F ，∴ PO ⊥平面ABCD ，PO =√3．∵ E 为PD 的中点，∴ E 到平面PBC 的距离等于D 到平面PBC 的距离的一半，∴ V P−BCE =V E−PBC =12V D−PBC =12V P−BCD =12×13S △BCD ⋅PO =12×13×12×2×2×√3=√33．【答案】由频率分布表知：{50.05=30a=bc5+35+30+b +10=100，解得a ＝0.3，b ＝20，c ＝0.2， ∴ 估计全体考生的平均成绩为： x ¯=150×0.05+160×0.35+170×0.3+180×0.2+190×0.1＝169.5． ①第3、4、5组共60名学生，现抽取6名， ∴ 第三组抽取的人数为660×30=3人，第四组抽取的人数为660×20=2人， 第五组抽取的人数为660×10=1人．②所有基本事件如下：(A, A, A, A)，(B, A, A, A)，(A, B, A, A)，(A, A, B, A)，(A, A, A, B)，(B, B, A, A)，(B, A, B, A)，(B, A, A, B)，(A, B, B, A)， (A, B, A, B)，(A, A, B, B)，(B, B, B, A)，(B, B, A, B)，(B, A, B, B)，(A, B, B, B)，(B, B, B, B)．基本事件总数有16个，其中第三组和第五组恰有两个学生选到问题B 的基本事件如下： (B, B, A, A)，(B, A, B, A)，(B, A, A, B)，(A, B, B, A)， (A, B, A, B)，(A, A, B, B)，共包含6个基本事件．故第三组和第五组中恰好有两个学生选到问题B 的概率P =616=38．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】（1）由频率分布表列出方程组，能求出a ，b ，c ，由此能估计全体考生的平均成绩．（2）①第3、4、5组共60名学生，现抽取6名，利用分层抽样的性质能求出第3、4、5组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试．②利用列举法能求出第三组和第五组中恰好有两个学生选到问题B 的概率． 【解答】由频率分布表知：{50.05=30a=bc5+35+30+b +10=100，解得a ＝0.3，b ＝20，c ＝0.2， ∴ 估计全体考生的平均成绩为： x ¯=150×0.05+160×0.35+170×0.3+180×0.2+190×0.1＝169.5． ①第3、4、5组共60名学生，现抽取6名， ∴ 第三组抽取的人数为660×30=3人，第四组抽取的人数为660×20=2人，第五组抽取的人数为660×10=1人．②所有基本事件如下：(A, A, A, A)，(B, A, A, A)，(A, B, A, A)，(A, A, B, A)，(A, A, A, B)，(B, B, A, A)，(B, A, B, A)，(B, A, A, B)，(A, B, B, A)， (A, B, A, B)，(A, A, B, B)，(B, B, B, A)，(B, B, A, B)，(B, A, B, B)， (A, B, B, B)，(B, B, B, B)．基本事件总数有16个，其中第三组和第五组恰有两个学生选到问题B 的基本事件如下： (B, B, A, A)，(B, A, B, A)，(B, A, A, B)，(A, B, B, A)， (A, B, A, B)，(A, A, B, B)，共包含6个基本事件．故第三组和第五组中恰好有两个学生选到问题B 的概率P =616=38． 【答案】由题意知f′(x)＝ln x +1，设切点为P(x 0, x 0ln x 0−1)，在点P 处的切线方程为y −(x 0ln x 0−1)＝(1+ln x 0)(x −x 0)． 整理得y ＝(1+ln x 0)x −(x 0+1)．由{1+ln x 0=k −1,k =x 0+1 ⇒{ln x 0=k −2,x 0=k −1 ⇒ln x 0＝x 0−1．令ℎ(x)＝ln x −x +1，ℎ′(x)=1x −1=1−x x．当0<x <1，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, 1)上单调递增；当x >1，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减． 所以ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝0，即x 0＝1，故k ＝2．令F(x)＝x ln x −(k −1)x +k ，F′(x)＝ln x +2−k ＝ln x −(k −2)．(x >1) ①当k −2≤0时，F′(x)>0，所以f(x)在(1, +∞)上单调递增． 所以F(x)>F(1)＝1，即F(x)在(1, +∞)上无零点． ②当k −2>0时，由F′(x)＝0，得x ＝e k−2．当1<x <e k−2，F′(x)<0，所以F(x)在(1, e k−2)上单调递减； 当x >e k−2，F′(x)>0，所以F(x)在(e k−2, +∞)上单调递增． F(x)的最小值为F(e k−2)＝(k −1)e k−2−k(e k−2−1)＝k −e k−2． 令m(k)＝k −e k−2，则m′(k)＝1−e k−2<0， 所以m(k)在(2, +∞)上单调递减，而m(2)＝2−1＝1，m(3)＝3−e >0，m(4)＝4−e 2<0，因此k 的最大值为3． 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出导函数f′(x)＝ln x +1，设切点为P(x 0, x 0ln x 0−1)，求出在点P 处的切线方程，推出ln x 0＝x 0−1．令ℎ(x)＝ln x −x +1，ℎ′(x)=1x −1=1−x x．判断函数的单调性求解函数的最值即可．（2）令F(x)＝x ln x −(k −1)x +k ，F′(x)＝ln x +2−k ＝ln x −(k −2)(x >1)，通过①当k −2≤0时，②当k −2>0时，判断函数的单调性，求解函数的最值，推出结果即可． 【解答】由题意知f′(x)＝ln x +1，设切点为P(x 0, x 0ln x 0−1)，在点P 处的切线方程为y −(x 0ln x 0−1)＝(1+ln x 0)(x −x 0)． 整理得y ＝(1+ln x 0)x −(x 0+1)．由{1+ln x 0=k −1,k =x 0+1 ⇒{ln x 0=k −2,x 0=k −1 ⇒ln x 0＝x 0−1．令ℎ(x)＝ln x −x +1，ℎ′(x)=1x −1=1−x x．当0<x <1，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, 1)上单调递增；当x >1，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减． 所以ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝0，即x 0＝1，故k ＝2．令F(x)＝x ln x −(k −1)x +k ，F′(x)＝ln x +2−k ＝ln x −(k −2)．(x >1) ①当k −2≤0时，F′(x)>0，所以f(x)在(1, +∞)上单调递增． 所以F(x)>F(1)＝1，即F(x)在(1, +∞)上无零点． ②当k −2>0时，由F′(x)＝0，得x ＝e k−2．当1<x <e k−2，F′(x)<0，所以F(x)在(1, e k−2)上单调递减； 当x >e k−2，F′(x)>0，所以F(x)在(e k−2, +∞)上单调递增． F(x)的最小值为F(e k−2)＝(k −1)e k−2−k(e k−2−1)＝k −e k−2． 令m(k)＝k −e k−2，则m′(k)＝1−e k−2<0， 所以m(k)在(2, +∞)上单调递减，而m(2)＝2−1＝1，m(3)＝3−e >0，m(4)＝4−e 2<0，因此k 的最大值为3． 【答案】解(Ⅰ)(1)当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以：x 1＝x 2，y 1＝−y 2∵ P(x 1, y 1)在椭圆上，∴ x 26+y 24=1①，又∵ S △OPQ =√6，∴ |x 1||y 1|=√6②由①②得|x 1|=√3，|y 1|=√2． 此时x 12+x 22=6，y 12+y 22=4；（2）当直线l 的斜率存在时，是直线l 的方程为y ＝kx +m(m ≠0)，将其代入x 26+y 24=1得：(3k 2+2)x 2+6kmx +3(m 2−4)＝0，△＝36k 2m 2−12(3k 2+2)(m 2−4)>0，即6k 2+4>m 2． 又x 1+x 2=−6km3k 2+2，x 1⋅x 2=3(m 2−4)3k 2+2，∴ |PQ|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2×√6k 2+4−m 23k 2+2．∵ 点O 到直线l 的距离为d =√1+k 2， S △OPQ =12×√1+k 2×2√6×√6k 2+4−m 23k 2+2×√1+k 2=√6×√6k 2+4−m 2⋅|m|3k 2+2， 由于S △OPQ =√6， 整理得3k 2+2＝m 2，此时x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(−6km 3k 2+2)2−2×3(m 2−4)3k 2+2=36k 2+24m 2−6=6，y 12+y 22=23(6−x 12)+23(6−x 22)=4综上所述x 12+x 22=6，y 12+y 22=4结论成立． （2）（1）当直线l 的斜率不存在时， 由(Ⅰ)知：|OM|=|x 1|=√3，|PQ|=2|y 1|=2√2， 因此|OM||PQ|=2√6．（2）当直线l 的斜率存在时，由(Ⅰ)知x 1+x 22=−3km ，y 1+y 22=k ×x 1+x 22+m =2m ．|OM|2=(x 1+x 22)2+(y 1+y 22)2=9k 2m 2+4m 2=3−2m 2，|PQ|2=(1+k 2)×(6k 2+4−m 2)(3k 2+2)2=1+m 23⋅24m 2=8(1+1m2)． 所以：|OM|2|PQ|2=4(3−2m 2)(2+2m 2)≤(3−2m 2+2+2m 2)2=25． 故：|OM||PQ|≤5． 当且仅当3−2m2=2+2m2，即m ＝±2时，等号成立．综合（1）（2）得|OM||PQ|的最大值为5； 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)(1)利用分类讨论思想的应用对直线的方程进行应用，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出结果．(Ⅱ)利用中点坐标公式的应用和直线和曲线的位置关系的应用和基本不等式和的应用求出结果． 【解答】解(Ⅰ)(1)当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以：x 1＝x 2，y 1＝−y 2 ∵ P(x 1, y 1)在椭圆上，∴ x 26+y 24=1①，又∵ S △OPQ =√6，∴ |x 1||y 1|=√6②由①②得|x 1|=√3，|y 1|=√2． 此时x 12+x 22=6，y 12+y 22=4；（2）当直线l 的斜率存在时，是直线l 的方程为y ＝kx +m(m ≠0)，将其代入x 26+y 24=1得：(3k 2+2)x 2+6kmx +3(m 2−4)＝0，△＝36k 2m 2−12(3k 2+2)(m 2−4)>0，即6k 2+4>m 2． 又x 1+x 2=−6km 3k 2+2，x 1⋅x 2=3(m 2−4)3k 2+2，∴ |PQ|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2×√6k 2+4−m 23k 2+2．∵ 点O 到直线l 的距离为d =√1+k 2， S △OPQ =12×√1+k 2×2√6×√6k 2+4−m 23k 2+2×√1+k2=√6×√6k 2+4−m 2⋅|m|3k 2+2， 由于S △OPQ =√6，整理得3k 2+2＝m 2，此时x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(−6km3k 2+2)2−2×3(m 2−4)3k 2+2=36k 2+24m 2−6=6，y 12+y 22=23(6−x 12)+23(6−x 22)=4综上所述x 12+x 22=6，y 12+y 22=4结论成立． （2）（1）当直线l 的斜率不存在时， 由(Ⅰ)知：|OM|=|x 1|=√3，|PQ|=2|y 1|=2√2， 因此|OM||PQ|=2√6．（2）当直线l 的斜率存在时，由(Ⅰ)知x 1+x 22=−3k m，y 1+y 22=k ×x 1+x 22+m =2m．|OM|2=(x 1+x22)2+(y 1+y 22)2=9k 2m +4m =3−2m ，|PQ|2=(1+k 2)×(6k 2+4−m 2)(3k 2+2)2=1+m 23⋅24m 2=8(1+1m 2)．所以：|OM|2|PQ|2=4(3−2m2)(2+2m2)≤(3−2m2+2+2m 2)2=25．故：|OM||PQ|≤5．当且仅当3−2m 2=2+2m 2，即m ＝±2时，等号成立．综合（1）（2）得|OM||PQ|的最大值为5；选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．【答案】第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t1−t 2 （t 为参数）．转化为直角坐标方程为x 2−4y 2＝1， 直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54．转化为直角坐标方程为：12x −√32y =√54． 由于直线与x 轴的交点坐标为(√52,0)，所以直线的参数方程为{x =√52+√32t y =12t（t 为参数），代入x 2−4y 2＝1得到：t 2−2√15t −1=0， 所以：t 1+t 2=2√15，t 1⋅t 2＝−1， 则：1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=8．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果． 【解答】曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t1−t 2（t 为参数）．转化为直角坐标方程为x 2−4y 2＝1， 直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54．转化为直角坐标方程为：12x −√32y =√54． 由于直线与x 轴的交点坐标为(√52,0)，所以直线的参数方程为{x =√52+√32t y =12t （t 为参数）， 代入x 2−4y 2＝1得到：t 2−2√15t −1=0， 所以：t 1+t 2=2√15，t 1⋅t 2＝−1， 则：1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=8．【答案】f(1)+f(−1)＝|1−a|−|1+a|>1，若a ≤−1，则1−a +1+a >1，得2>1，即a ≤−1时恒成立， 若−1<a <1，则1−a −(1+a)>1，得a <−12，即−1<a <−12， 若a ≥1，则−(1−a)−(1+a)>1，得−2>1，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是(−∞,−12)．由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ， 当x ∈(−∞, a]时，f(x)=−x 2+ax,[f(x)]max =f(a2)=a 24，因为|y +54|+|y −a|≥|a +54|，所以当y ∈[−54,a]时，[|y +54|+|y −a|]min =|a +54|=a +54，即a 24≤a +54，解得−1≤a ≤5，结合a >0，所以a 的取值范围是(0, 5]．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）利用f(1)+f(−1)＝|1−a|−|1+a|>1，通过a ≤−1，−1<a <1，a ≥1，分别求解即可． （2）要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可． 【解答】f(1)+f(−1)＝|1−a|−|1+a|>1，若a ≤−1，则1−a +1+a >1，得2>1，即a ≤−1时恒成立， 若−1<a <1，则1−a −(1+a)>1，得a <−12，即−1<a <−12， 若a ≥1，则−(1−a)−(1+a)>1，得−2>1，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是(−∞,−12)．由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ， 当x ∈(−∞, a]时，f(x)=−x 2+ax,[f(x)]max =f(a2)=a 24，因为|y +54|+|y −a|≥|a +54|，所以当y ∈[−54,a]时，[|y +54|+|y −a|]min =|a +54|=a +54， 即a 24≤a +54，解得−1≤a ≤5，结合a >0，所以a 的取值范围是(0, 5]．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中学自主招生数学试卷 一、选择题 1. 某车间2019年4月上旬生产零件的次品数如下(单位:个):0，2，0，2，3，0，
2，3，1，2，则在这10天中该车间生产零件的次品数的 【 】 A.众数是4 B.中位数是1.5 C.平均数是2 D.方差是1.25 2. 如图所示，A,B,C均在⊙O上，若∠OAB=40O ，ACB是优弧，则∠C的度数
为 【 】 A. 40O B.45O C. 50O D. 55O 3. 若二次函数y=ax2+bx+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1+x2
时，函数值为 【 】 A. a+c B. a - c C. - c D. c 4. 已知在锐角△ABC中，∠A=550 ，AB﹥BC。则∠B的取值范围是 【 】
A.35o ﹤∠B﹤55o B. 40o ﹤∠B﹤55o C. 35o ﹤∠B﹤70o D. 70o ﹤∠B﹤90o 5. 正比例函数y1=k1x（k1＞0）与反比例函数22kyx （k2＞0）部分图象如图所示， 则不等式k1x＞2kx的解集在数轴上表示正确的是 【 】
A. B. C. D. 6. 定义运算符号“*”的意义为 （a、b均不为0）.下面有两个结论： ①运算“*”满足交换律； ②运算“*”满足结合律 其中 【 】 A.只有①正确 B. 只有②正确 C. ①和②都正确 D. ①和②都不正确
7. 已知00xy，且22231xxyyxy，那么2xy的值为 【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D.5 8. 如图，点A的坐标为（0,1），点 B是 x轴正半轴上的一动点，以 AB为边作
等腰直角 △ABC ，使BAC=90O，设点 B的横坐标为 x，点 C的纵坐标为 y，能表示 y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A B C D 9．已知△ABC是⊙O的内接正三角形，△ABC的面积为a，DEFG是半圆O的
内接正方形，面积等于b，那么ab的值为 【 】 A. 2 B. 62 C. 335 D. 15316 10. 横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数1236xxy的图象上整点的个数是【 】 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题 11.如图，五边形ABCDE是正五边形，若12//ll， 则12 ．
12.实数a、b、c满足a2-6b= 17,b2+8c= 23,c2+2a=14,则a+b+c=_______ 13.把抛物线2yxbxc的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是221yxx，则b=_______，c=________ 14.对于正数x，规定21()21xfxx，则122018()()()______201920192019fff 15.如图，在△ABC内的三个小三角形的面积分别 是10、16、20，若△ABC的面积S，则S=_____ 16.工人师傅在一个长为25cm、宽为18cm的矩形铁皮上剪去一个和三边都相切的⊙A后，在剩余部分的废料上再剪出一个最大的⊙B，则圆B的半径是___cm 三、解答题 17. （本题满分10分） 甲、乙两船从河中A地同时出发，匀速顺水下行至某一时刻，两船分别到达B地和C地．已知河中各处水流速度相同，且A地到B地的航程大于A地到C地的航程.两船在各自动力不变情况下，分别从B地和C地驶回A地所需的时间为t1和t2．试比较t1和t2的大小关系．
18. （本题满分10分） 关于三角函数有如下的公式： sinsincoscossin①
coscoscossinsin②
tantantan1tantan01tantan其中③
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如： 2
tan45tan6013tan105tan45601tan45tan6013134232321313ooooooo
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题： 如图所示，直升机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角为60o，底端C点的俯角为75 o，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高。
19. （本题满分12分） 某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表． 校本课程 频数 频率
A 36 0.45 B 0.25 C 16 b D 8 合计 a 1 （图1） （图2） 请您根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计表中的a= ，b= ； （2）“D”对应扇形的圆心角为 度； （3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数； （4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
20.（本题满分12分） 阅读以下的材料：
（1）如果两个正数a，b，即a>0，b>0，有下面的不等式：
当且仅当a=b时取到等号，我们把叫做正数的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具。 （2）茎叶图是一个与直方图相类似的特殊工具，但又与直方图不同，茎叶图保留原始资料的资讯，直方图则失去原始资料的讯息。茎叶图的思路是将一组数中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。例如：将2、10、15、20、23、27这6个数据用茎叶图表示如右图。
下面举两个例子： 例1：已知x>0，求函数的最小值。
解：令a=x，，则有，得，当且仅当即x=2时，函数有最小值，最小值为2。 例2：已知a>0,b>0,且121abab，则的最小值是_______.
解：因为a>0,b>0，所以 1223232322baababababbaab
当且仅当 2=baab即21,22ab 时取等号,322ab的最小值是 根据上面回答下列问题： ①已知x>1，则当x=______时，函数41yxx取到最小值，最小值为______； ②为保障中考期间的食品安全，某县城对各考点进行食品检查，如图所示是某食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.5，若m>0,n>0
且m+n=a+b求41mn的最小值； ③已知x>0，则自变量x取何值时，函数 224xyxx取到最大值， 最大值为多少？ 21.（本题满分12分） 如此巧合！ 下面是小刘对一道题目的解答. 题目：如图，RtABC△的内切圆与斜边AB相切于点D， 3AD，4BD，求ABC△的面积.
解：设ABC△的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x. 根据切线长定理，得3AEAD，4BFBD，CFCEx. 根据勾股定理，得2223434xx.整理，得2712xx. 所以12ABCSACBC△1342xx217122xx11212212. 小刘发现12恰好就是34，即ABC△的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗? 请你帮他完成下面的探索. 已知：ABC△的内切圆与AB相切于点D，ADm，BDn. 可以一般化吗？ （1）若90C，求证：ABC△的面积等于mn. 倒过来思考呢？ （2）若2ACBCmn，求证90C. 改变一下条件…… （3）若60C，用m 中学自主招生数学试卷
一、选择题 1. 某车间2019年4月上旬生产零件的次品数如下(单位:个):0，2，0，2，3，0，
2，3，1，2，则在这10天中该车间生产零件的次品数的 【 】 A.众数是4 B.中位数是1.5 C.平均数是2 D.方差是1.25 2. 如图所示，A,B,C均在⊙O上，若∠OAB=40O ，ACB是优弧，则∠C的度数
为 【 】 A. 40O B.45O C. 50O D. 55O 3. 若二次函数y=ax2+bx+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1+x2
时，函数值为 【 】 A. a+c B. a - c C. - c D. c 4. 已知在锐角△ABC中，∠A=550 ，AB﹥BC。则∠B的取值范围是 【 】