习题难度的划分
数学一数学二数学三的习题类型及难度分析
数学一数学二数学三的习题类型及难度分析数学一、数学二和数学三是高中阶段的数学课程，涵盖了广泛的数学知识和技能。
这些课程的习题类型和难度是学生学习数学的重要指标之一。
本文将对数学一、数学二和数学三的习题类型及其难度进行分析和总结。
一、数学一的习题类型及难度分析数学一是高中一年级的数学课程，主要包括代数、几何、函数与方程三个部分。
以下是数学一常见的习题类型及其难度分析：1. 代数题：主要包括整式的运算、因式分解、方程与不等式的解法等内容。
难度一般较低，多为基础性的应用题。
2. 几何题：主要包括平面图形的性质、相似与全等、三角形及其相关概念等内容。
难度逐渐增加，需要学生熟练掌握几何定理和推理方法。
3. 函数题：主要包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等的性质和应用。
难度适中，需要学生理解函数的概念和特性，并能进行简单的函数分析和图像绘制。
4. 统计与概率题：主要包括数据的收集与整理、图表分析、概率计算等内容。
难度相对较低，多为实际问题的应用。
二、数学二的习题类型及难度分析数学二是高中二年级的数学课程，主要包括平面向量、三角函数与解三角形、立体几何和数列等内容。
以下是数学二常见的习题类型及其难度分析：1. 平面向量题：主要包括平面向量的运算、平面向量的定位与变换等内容。
难度一般较低，要求学生熟练掌握向量的性质和运算规则。
2. 三角函数与解三角形题：主要包括三角函数的性质、三角方程的解法、三角形的面积和高等内容。
难度逐渐增加，需要学生熟练掌握三角函数的公式和解题技巧。
3. 立体几何题：主要包括立体图形的性质、空间位置关系、立体的体积和表面积等内容。
难度适中，要求学生能够运用几何知识解决空间几何问题。
4. 数列题：主要包括等差数列、等比数列和数列的应用等内容。
难度相对较低，多为数学应用题。
三、数学三的习题类型及难度分析数学三是高中三年级的数学课程，主要包括微积分、数理统计与数学思维等内容。
以下是数学三常见的习题类型及其难度分析：1. 微积分题：主要包括函数的极限、导数、定积分等内容。
中英初中数学教科书难易程度的比较研究--以中国“人教版”和英国《数学连接》为例
画．概念、命题的呈现方式主要分为 3 级指标：直观描述、
归纳、演绎，对这 3 级指标赋值依次为“ 1、2、3” ，将其作
为权重，对每个知识主题所涉及的概念和命题进行加权平
均． SCi (i = 1, 2, 3, 4, 5) 表示中国人教版教科书中第 i 个知识 主题内容深度的加权平均值， SEi (i = 1, 2, 3, 4, 5) 表示英国 《数学链接》教科书中第 i 个知识主题内容深度的加权平均
关键词：初中数学教科书；教科书难度；数学连接 中图分类号：G40-059.3 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2013）03–0018–06
1 问题的提出
纵观世界各国的教育改革运动，几乎每一次首当其冲的 都是数学课程改革，数学课程的改革大多都会对数学教科书 进行变动，教什么永远比怎么教更重要[1]．研究者普遍认为， 教师在日常教学中相当依赖教科书，在很大程度上依据所使 用的教科书而决定教什么、怎么教以及给学生布置哪些习题 等[2]．因此，选择中国和英国两个国家初中数学教科书作为 研究对象，从教科书难度角度进行比较分析，以期对中国数 学教科书的编写与使用提供一定的借鉴与参考，对中国正在 进行的数学课程改革具有重要的参考价值．
表 1 各难度因素的不同水平划分
难度因素
等级水平
权重赋值
单个知识点
1
两个知识点
2
知识点数量
3 个知识点
3
3 个以上知识点
4
无背景
1
个人生活
2
背景
公共常识
3
科学背景
4
模仿
1
数学一数学二数学三的习题难度如何递增
数学一数学二数学三的习题难度如何递增在学习数学的过程中，习题是检验自己对知识掌握程度的关键环节。
对于不同年级的数学课程，习题的难度递增往往是必不可少的。
本文将着重探讨数学一、数学二和数学三的习题难度如何递增，并分析背后的原因。
1. 数学一习题难度的特点在初中阶段的数学学习中，数学一是首次接触到较为系统的数学知识。
相对而言，数学一的习题难度相对较低，主要着重培养学生对基本概念和运算的理解和掌握。
数学一的习题主要包括基本的四则运算、一元一次方程与不等式、二元一次方程组与不等式组、图形的认识与计算等内容。
这些习题较为简单，题目设置较为明确，解题步骤相对呆板，主要考察学生对基础知识的熟练程度。
2. 数学二习题难度的提高随着学生进入高中，数学二的习题难度相较于数学一有明显的提升。
数学二主要涉及到二次根式、函数、平面向量、三角函数等内容，题目的难度逐渐增加，解题的思路也需要更多的灵活性和创造性。
数学二的习题要求学生能够通过建立数学模型、运用数学知识解决实际问题。
例题的设置也更加灵活多样，需要学生理解问题的本质，并找到合适的方法进行求解。
数学二习题的难度提高，旨在培养学生的分析与推理能力，使其逐渐适应高中数学的学习方法。
3. 数学三习题难度的进一步提升数学三是高中数学学习的高阶阶段，习题的难度相较于数学二有明显的进一步提升。
数学三的内容主要包括微积分、线性代数、概率统计等，题目的难度更加复杂，解题的过程需要更高的抽象思维和推理能力。
数学三的习题不仅需要学生熟练掌握概念和定理，还需要能够灵活运用基本的数学方法和工具解决问题。
习题的设计往往更具挑战性，需要学生能够综合运用各种数学知识和技巧，形成对问题的完整理解，提出合理的解决方案。
4. 数学习题难度递增的原因数学习题难度的递增遵循了数学学科的逻辑与发展规律。
分阶段地提高习题难度，旨在培养学生的学习兴趣、能力和进阶思维。
首先，递增的习题难度可以激发学生的学习兴趣，让他们在解决更为复杂的问题过程中获得成就感和满足感。
现行初中数学教科书习题难度的比较分析--以人教版和湘教版＂数与
数学教育研究
２０１４ 年 第 ３ 期
现行初中数学教科书习题难度的比较分析
———以人教版和湘教版“数与代数”内容为例
陈 洪 武 （重庆师范大学 数学学院，重庆 ４０１３３１）
关于教科书的比较研究以往集中于具体内容的比 较，如知识点 的 多 少、知 识 的 呈 现 方 式 等，却 忽 略 了 教 科书中的习题．习 题 是 中 学 数 学 教 科 书 中 重 要 的 组 成 部分，习题配备得好不好，直 接 影 响 到 教 师 教 学 和 学 生 学习质量的高低．所以，对教 科 书 中 的 习 题 进 行 研 究 是 一项十分有意 义 的 工 作．本 文 对 人 教 版 和 湘 教 版 两 版 本初中数学教科书中“数与 代 数”部 分 的 习 题 难 度 和 一 致性两个方面进行比较分析．
∑ （∑ 犱犻 ＝
狀犻犼犱犻犼
犼
狀
狀犻犼 ＝狀；犻＝１，２，３，４，５；犼＝１，
犼
） ２…
其中，犱犻（犻＝１，２，３，４，５）依次 分 别 表 示“探 究”、“背 景”、“运算”、“推 理 ”和 “知 识 含 量 ”五 个 难 度 因 素 上 的
取值；犱犻犼 以 为 第犻 个 难 度 因 素 的 第犼 个 水 平 的 权 重 （依 次水平分别取犾，２，３，…）；狀犻犼 则 表 示 这 组 题 目 中 属 于 第 犻 个难度因素的第犼 个水平 的 题 目 的 个 数，其 总 和 等 于 该 组 题 目 的 总 数 狀．
１ 习 题 难 度 的 比 较 分 析
本文借用鲍 建 生 教 授 在 其 博 士 论 文 《中 英 两 国 初 中数学期望课 程 综 合 难 度 的 比 较 》中 设 计 出 的 数 学 题 综合难度模型对两个版本 教 科 书 中 “数 与 代 数”部 分 的 习题难度进行 比 较 分 析，其 提 出 的 数 学 题 综 合 难 度 模 型 如 下 图 １：
高等数学教材课后习题难度
高等数学教材课后习题难度高等数学是大学数学教学中的一门重要课程，它涵盖了微积分、数学分析等多个领域。
在学习高等数学的过程中，课后习题是必不可少的一部分。
然而，许多学生常常对课后习题的难度抱怨不已。
本文将探讨高等数学教材课后习题的难度，并提出相应的建议。
一、课后习题的难度高首先，高等数学的课后习题难度普遍较高。
这主要体现在以下几个方面：1. 抽象性与推理性：高等数学的概念与推理常常较为抽象，需要学生具备较高的逻辑思维能力和推理能力。
而课后习题往往要求学生运用这些概念与推理解决问题，这对很多学生来说是一大挑战。
2. 难度递进：高等数学课程通常是按照一定的逻辑顺序进行教学，前面所学的知识会为后面的内容打下基础。
然而，课后习题的难度常常会有递进性，要求学生能够灵活运用已掌握的知识，这对学生来说是一种考验。
3. 复杂计算与符号运算：高等数学中的计算与运算往往较为复杂，还需要运用大量的符号表示和变换。
这要求学生具备良好的计算能力和对数学符号的理解，但很多学生在这方面存在困难。
二、应对策略虽然高等数学教材课后习题的难度较高，但学生们可以采取一些有效的策略来应对：1. 建立扎实的基础：高等数学的难度往往源自于对基础知识的理解和掌握不足。
因此，建议学生在学习高等数学之前先夯实基础，熟悉相关的预备知识。
2. 理解题目要求：在解决课后习题时，学生应仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
有时，题目中的关键信息可能隐藏在文字之中，只有全面理解题目，才能有针对性地解答。
3. 分析解题方法：在遇到困难的课后习题时，学生应尝试分析问题背后的数学原理和解题思路。
可以回顾教材中相关的例题和定理，借助教师和同学的讨论来激发思路。
4. 多做练习：高等数学是需要反复练习的学科，通过多做练习可以加深对知识的理解和掌握。
学生可以多使用教材中的习题作为练习，也可以寻找其他参考书籍和在线资源进行补充。
5. 寻求帮助：如果学生在解决课后习题时遇到了困难，应该主动寻求帮助。
摭谈小学数学练习的“四度”
好家长 / 小学教育研究摭谈小学数学练习的“四度”江苏省睢宁县岚山镇高集小学/鲍陆峰减轻学生的作业负担是素质教育的要求，在小数教学中，要加强学生“双基”的训练，强化他们对知识的理解，掌握、运用，必须要注重减轻学生的作业负担，克服重复练习，避免“题海战术”，注重精练巧练，做到减量不减质。
如何提高训练的效果呢？笔者认为，应结合教材特点和学生的认知规律，优化学习全过程，努力实施“精练巧练”，切实抓好以下“四个度”：一、练习要有深度所谓“深度”，是指练习的内容要针对目标，逐步达成，要突出重难点，抓住主要矛盾，避免出现肤浅、机械的练习。
练习要有深度，主要应抓住几点：首先，要抓知识的重难点。
只有抓住知识的重难点，紧扣重点知识，把握难点知识，问题才会迎刃而解，才能提高练习的效益。
如在应用题教学中，数量关系是问题的关键，应设计一定的数量关系的练习，让学生理清彼此间的关系，提高孩子们的辨析能力和解题水平，这样应用题的解答就能轻松自如了。
其次，要抓住易出错、易迷惑的知识点，提高学生的思辨能力。
如在正反比例教学中，两个变量比例关系的判定，既是易出错的知识点，也是学生疑惑不清的知识点，所以，应设计一定数量比例关系的判断练习，让学生在练习中找差别、辨正反。
最后，还要注重各知识点的相互联系。
前后知识的衔接过程，是学生最容易出错的地方，为避免学生照搬旧方法，要结合新知识的引入，找出它们间的区别与联系，进行专项训练。
如教学圆锥体积计算时，总有一些学生套用圆柱体积的计算公式来计算圆锥体积。
所以，要针对两者的区别，进行针对性练习。
二、练习要有广度练习的“广度”，是指练习应根据数学的知识结构及学生的不同类型面向各种类型学生，开展灵活多样的练习。
教育心理学专家研究认为，如果练习形式单一，涉及的知识面就越窄，刺激强度就会大大减弱，学生就容易产生倦怠、疲劳心里。
只有达到一定“广度”的练习，才能诱发学生练习的热情，让学生更容易掌握数学的知识结构。
从认知发展角度看六年级数学计算习题集的内容与难度设置
从认知发展角度看六年级数学计算习题集的内容与难度设置数学是一门需要逻辑思维和计算能力的学科，而六年级作为小学最后一个学年，对于学生的数学能力的提高起着至关重要的作用。
因此，六年级的数学计算习题集的内容与难度设置需要根据学生的认知发展水平进行合理设计。
本文将从认知发展角度探讨六年级数学计算习题集的内容与难度设置。
一、认知发展阶段背景在探讨六年级数学计算习题集的内容与难度设置时，我们需要了解六年级学生的认知发展阶段。
根据Jean Piaget的认知发展理论，六年级学生正处于具体运算阶段。
在这个阶段，学生开始具备一些抽象思维的能力，能够进行逻辑推理和运算操作。
二、计算能力与认知发展的关系六年级数学计算习题集的内容与难度设置应该与学生的认知发展水平相适应。
在具体运算阶段，学生已经掌握了基本的计算技巧，能够进行简单而熟练的运算。
因此，习题集应该包含一定数量的基础运算题，以巩固学生的计算能力。
此外，六年级学生开始具备逻辑思维的能力，他们能够进行简单的推理和解决问题。
因此，习题集的内容可以适度增加一些逻辑思维题，以促进学生的思维发展和解决问题的能力。
三、针对不同认知水平的设置由于六年级学生的认知发展水平各不相同，习题集的内容与难度设置需针对不同认知水平的学生进行。
对于认知发展较快的学生，可以加入更复杂的计算题，并增加一些拓展题，以提升他们的挑战性。
这些习题可以考察学生的创新思维和解决问题的能力，激发他们对数学的兴趣。
对于认知发展较慢的学生，应该重点强化基础计算能力的训练，通过反复练习，不断巩固计算技巧。
同时，可以适度减少难度较高的题目，避免给学生造成太大的压力。
四、培养学生的数学思维除了基础的计算能力，六年级数学计算习题集的内容与难度设置还应该注重培养学生的数学思维。
数学思维包括抽象思维、逻辑思维、推理思维等，是学生发展数学能力的关键所在。
习题集可以设置一些探究性的问题，引导学生运用已学知识解决复杂问题。
这些问题可以不仅仅是计算题，还可以涉及到图形、几何等方面，既能增加学生对数学的兴趣，又能培养他们的数学思维能力。
练习题的分层设计满足不同学生的学习需求
练习题的分层设计满足不同学生的学习需求在教学过程中，练习题是一种常用的辅助教学工具，它能够帮助学生巩固和应用所学的知识。
然而，由于学生的学习能力和水平各不相同，同一种练习题在不同学生之间可能具有不同的难度。
为了满足不同学生的学习需求，我们可以采用分层设计的方法，根据学生的能力水平划分不同层次的练习题。
分层设计的思想源于教育差异化的原则，即根据学生的能力和特点，给予不同的教育内容和方式。
在练习题的设计中，分层设计可以分为三个层次，即基础练习、提高练习和拓展练习。
下面将对这三个层次进行详细介绍。
基础练习是针对学生基础知识薄弱的情况设计的。
这类练习题通常难度较低，目的在于帮助学生巩固基本的知识和技能。
例如，在数学学科中，基础练习可以包括简单的运算题和基本概念的理解题。
基础练习的难度较低，要求学生能够熟练掌握基本的知识点，为后续的学习打下坚实的基础。
提高练习是考虑到学生已经具备一定基础知识的情况下设计的。
这类练习题难度适中，旨在帮助学生进一步的理解和应用所学的知识。
例如，在语文学科中，提高练习可以包括阅读理解题和写作题，要求学生能够通过阅读和写作来提高语言的运用能力。
提高练习的目的在于帮助学生提升对知识的理解和应用能力，为进一步的学习做好准备。
拓展练习是针对学生已经掌握基本知识并具备较高能力的情况下设计的。
这类练习题难度较大，要求学生能够运用所学的知识解决复杂的问题。
例如，在科学学科中，拓展练习可以包括实验设计题和开放性问题，要求学生能够进行科学思维和创新性思维的拓展。
拓展练习的目的在于激发学生的创造力和创新性思维，培养学生解决问题的能力。
通过分层设计的方法，我们可以根据学生的能力和学习需求，为他们提供恰当难度的练习题。
这种个性化的教学方式能够满足不同学生的学习需求，提高学习效果。
然而，要实施分层设计，教师需要充分了解学生的能力和特点，并根据学生的实际情况进行细致的分层设计。
在设计练习题时，我们可以采用以下几个步骤。
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题库类产品如何计算题目的难度值
一、引言
题库类产品（如猿题库、易题库等）的一个标配功能是预测用户未来要进行的某项考试得分，我们称之为目标考试预测分。
以猿题库高考为例，即将参加高考的学生通过在题库上做大量练习，练习的效果会以学生的高考预测分呈现出来，这是学生最关注的指标，也是整个题库产品中最关键的数据。
为了让“预测分”数据更加准确，我们引入了能力评估模型，通过测算用户在所有知识点上的能力水平，并将其量化成为一个数值。
能力评估模型中有两个重要参数：题目难度值、用户答题的正确率。
简化为：
A＝f(a n,d)
其中A表示能力值，a n表示所做n道题目的难度值，d表示用户做这n道题目的正确率。
参数d的值是可轻易计算得出，而a n的值决定于这n道题每一道题的难度值。
于是，单题难度值的计算成为准确预测用户预测分的关键因素。
二、什么样的题目才算“难题”
我们这样定义“难题”：解题的逻辑、思路迂回复杂，所关联的知识点综合性强。
有一些情形，表面上似乎能证明这是一道“难题”，但并不属于我们考虑的范围：
•基础易错题：考察概念性、定义类的基础知识题目，但题目会设置若干干扰性强的易错项。
•多知识点平行考查：考查多个知识点，但知识点之间的关联性小，在题目内的综合度低。
•“超纲题”：答题者觉得“难”并不是因为这是一道逻辑复杂的题，而是解答此题需要用到的知识并不在答题者的所学范围以内；如二元一次方程的题目出现在一元一次方程的课后
习题里。
这些因素会在后续计算难度系数时剔除掉。
三、如何给一道“难题”确定难度系数
难度系数反映题目的难易程度，描述考生在答题时的失分情况。
一般地，难度系数的计算公式为：L=1-X/W
其中，L为难度系数，X为样本平均得分，W为试卷总分（对于单题而言，W为该题的分值）。
这是在有足够答题数据的前提下建立的难度计算公式，而题库类的产品中题目被作答的次数是有一个累积的过程，对于新入库的题目，这个计算公式并不适用。
针对题库产品的特性以及题目难度系数计算公式的适用问题，我们按以下步骤来确定并校准题目的难度系数：
1.人工标记题目初始难度
新题目在录入、解析的环节中，由教研人员根据一定的标准（如上述第二部分中“难题”的标准），给题目录入一个初始难度值，难度值的范围为1～10共10个等级，这个值越大代表这道题的难度越大。
2.题目被大量作答后，提取正确率并计算难度系数
根据公式L=1-X/W计算该题难度系数。
3.比对步骤1和步骤2中产生的难度值，确定题目的最终难度系数
如果难度值为1～3，而难度系数为0.7～0.9，则用人工初始难度值转化为该题的难度系数，并把这道题交由教研人员重新评估题目的难度值，并检查此题是否出现在了超纲的位置。
此外的其他情形，都用新计算出来的难度系数来取代初始难度值。
4.步骤3中教研人员重新评估题目难度值的环节中如果发现严重的偏差，则在修正后用难
度系数来取代初始难度值。
四、小结
引入经典的难度系数计算公式，再通过与人工标记的难度值进行比对修正，使得题目的难度量化更加合理，为能力评估模型提供更准确的参数。
1．信度
试卷的信度是表示试卷作为测试工具的可靠程度的指标.试卷的信度高说明考生分数不易受偶然因素的影响,考生分数可以比较真实地反映考生的实际水平。
影响试卷信度的因素有:
①试题的难度.过难或过易的试题都会降低试卷的信度.
②题目的数量.试卷题目数量越多,信度越高,因为题目数量增多,尤其是同质题目增多,在每道题目上的随机误差将会互相抵消.虽然测评受到内容和时间的限制,题目数量不能太多,但可尽量把大题化小,增加题目数量,以提高信度.
③题目用语的准确性.题目用语不标准、不准确也会降低试卷的信度.试卷的信度值必须在考后才能计算出来,而且计算过程比较复杂,因此为提高试卷的信度,教师在命题时应尽量排除上述因素的干扰,使试卷的信度值尽可能高.
2．效度
试卷的效度是衡量考试结果与预定要达到的考试目标相符合的程度,效度反映了试卷的有效程度.如果测试的结果与学生平时学习的情况基本一致,这样的试卷有较高的效度,说明试卷内容恰恰是需要考查的内容；如果试卷的效度低,则说明所要考查的内容没有完全考查到.初学者数学学业考试中主要关注试卷的内容效度和结构效度,内容效度反映的是试卷是否按《数学课程标准》的要求,使各部分内容特别是教学重点内容得到合理的分配；结构效度反映的是试卷中的图文结构、题型结构和试卷的排版印刷质量是否合理等.
提高试卷的效度要注意三个方面的问题:一是考试的目标要明确,明确是要考查学生对基础知识的掌握,还是要考查学生应用数学知识进行推理判断的能力,或是两者兼而有之；二是试题的设计要有效地体现考试目标,填空题、选择题一般用来考查学生对基础知识的掌握,解答题则用来考查学生的数学运用能力；三是试卷的要求与《数学课程标准》的要求要一致,试卷内容要涉及数学教科书中的重点部分,排除与考试无关的内容,试卷中不要出现偏题、怪题,试卷内容要兼顾知识与能力两个方面.
3．难度
难度是指试题或试卷的难易程度,是试题或试卷考查学生知识和能力水平适合程度的指标.
1.试题的难度
数学试题一般分为三种形式:选择题、填空题和解答题.计算试题难度的方法有两种:
①选择题、填空题的难度计算公式为P=.(P为某试题的难度,R为做对该题的人数,N为参加考试的总人数.)
②解答题难度的简易计算公式为P=.(P为某试题的难度,为参加考试的学生对该题的平均得分,X为该题的满分数.)
从上述的计算公式可以知道,试题难度过大或过小,都不能区分学生的学习水平,所以掌握试题的难易程度。
2.试卷的难度
全卷难度计算公式为P=.(为考生的总平均分,w为全卷满分.)
通常对难度范围的划分如表1所示.
试卷难度应该根据考试的目的来选定,单元测验、期中考试、期末考试等检查性的考试,难度不宜过大,一般控制在0.8-0.9为宜；初中毕业学业考试全卷难度一般为0.75左右；对于选拔性考试,全卷平均难度在0.6左右能够产生较好的选拔效果；而数学竞赛试卷,难度应控制在0.3-0.5为宜.
因为试卷的难度值要在考试结束后才能统计得到,所以命题时必须对试卷做出比较准确的估计.一方面教师要钻研课程标准,精通教材；另一方面要了解学生的学习情况,只有这样才能编制出难度适当的试卷.
一般地,难度适当的试卷分数的分布应呈近似正态分布。
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4．区分度
区分度是旨试题或试卷对学生实际水平的区分程度或鉴别能力.区分度是反映学生掌握知识水平差异能力的指标.区分度高的试卷能对不同知识水平和能力的学生加以区分,使能力
强的学生得高分,能力弱的学生得低分.如果水平高和水平低的学生得分相差不大或没有规律可循,那么这样的试卷的区分度就低.
试卷的区分度和难度有着密切的关系,区分度的提高主要是通过控制试题难度来实现的.如果试题太难,优生和差生都答不出来,就没有区分度可言；如果试卷太容易,优生和差生都能答出来,同样没有区分度.只有合适的难度才会有很好的区分度.实践证明,难度值为0.5的试题具有最好的区分度.但在实际编制试卷时,不可能要求所有题目的难度值均为0.5.一般说来,较难的试题对高水平的考生区分度高,较易的试题对低水平的考生区分度高,中等难度的试题对中等水平的老先生区分度高.所以,当我们要求考生的成绩呈正态分布时,试题难度与特别容易的试题较少,接近中等难度的试题较多,此时全卷难度接近0.5,这样的试卷才具有较高的区分度.。