北师大初二上数学第一章勾股定理培优练习题(含答案解析)
勾股定理培优练习题
一、单选题
1. 如图，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则
DN+MN的最小值为（）．
A、3
B、4
C、5
D、
2. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD＝CD＝4，AB=1，F为AD的中点，则F到BC的距离是（）．
A、1
B、2
C、4
D、8
3. 一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为（）
A、60
B、30
C、24
D、12
4. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）
A、3
B、4
C、5
D、6
5. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°
B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°
D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
6. 下列结沦中，错误的有（）①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c ，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy ．
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
7. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°
B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°
D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
二、填空题
8. 若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h ，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b ，c+h ，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以, , 的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为．
9. 如图，正方形ABCD，AC、BD交于点O，点E、F分别在AB、BC上，且∠EOF=90°，则下
列结论①AE=BF，②OE=OF，③BE+BF=AD，④AE2+CF2=2OE2中正确的有（只写序
号）．
三、综合题
10. 根据直角三角形的判定的知识解决下列问题
转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；
(2). 如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP 绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．
11. 请完成下列题目：
转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°.
(2).
如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B 点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明
12. 如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
(1). 出发2秒后，求△ABP的周长．
(2). 问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？
(3). 另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度
为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点
时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分
成相等的两部分？
13. 完成题目：
(1). 如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2). 如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
(3). 运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，
AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．
14. 如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点
B、C分别在AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
(1). 如图②，
i）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，线段BD与线段CF的数量关系是；直
线BD与直线CF的位置关系是．
ii）请利用图②证明上述结论．
(2). 如图③，当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，延长DB交CF于点H，若AB= ，AD=3时，求线段FC的长．
参考答案1 C
2、B
4、D
5、C
7、C 8、
14。
2019年北师大版八年级上册数学第1章《勾股定理》培优专题训练含答案
2019年北师大版八年级上册第1章《勾股定理》培优专题训练一．选择题1．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，若AB＝10，AO＝6，则OB长为（）A．5 B．6 C．8 D．102．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．6 B．9 C．18 D．363．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝6：8：10C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c24．一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为2cm，高为8cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（）c m．A．8 B．9 C．10 D．125．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CD＝2，则AB长为（）A．6 B．C． +2 D． +26．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S12+S22＝S32B．S1+S2＞S3C．S1+S2＜S3D．S1+S2＝S37．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，则CD的值是（）A．0.72 B．2.0 C．1.125 D．不能确定8．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（）A．AB＝5 B．∠C＝90°C．AC＝2D．∠A＝30°9．如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为（）A．8 B． 9.6 C．10 D．4 510．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．30二．填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，连结AD，若AC＝6，BC＝8，则CD的长为．12．禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入元．13．如图，一个无盖的正方体，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，经过计算发现，它的最短路径是20cm，则这个正方体的棱长为cm．14．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为cm．15．在△ABC中，如果AB＝5cm，AC＝4cm，BC边上的高线AD＝3cm，那么BC的长为cm．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，则△ABD的面积为．17．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为．18．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝，∠ABC＝°．三．解答题19．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5．（1）求证：AD⊥BC；（2）求CD的长．20．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？21．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，A、B、D三点在同一直线上，EF∥AD，∠CAB＝∠EDF＝90°，∠C＝45°，∠E＝60°，量得DE＝8．（1）试求点F到AD的距离．（2）试求BD的长．22．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．23．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B 出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．那么运动几秒时，它们相距15cm？25．[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．[定理表述]请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．参考答案一．选择题1．解：∵在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，AB ＝10，AO ＝6，∴OB ＝，故选：C ．2．解：∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ACE ＝∠ACB ，∠ACF ＝∠ACD ，即∠ECF ＝（∠ACB +∠ACD ）＝90°， 又∵EF ∥BC ，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ECB ＝∠MEC ＝∠ECM ，∠DCF ＝∠CFM ＝∠MCF ， ∴CM ＝EM ＝MF ＝3，EF ＝6，由勾股定理可知CE 2+CF 2＝EF 2＝36， 故选：D ．3．解：A 、∵∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，∴∠C ＝，所以不是直角三角形，正确；B 、∵（6x ）2+（8x ）2＝（10x ）2，∴是直角三角形，错误；C 、∵∠C ＝∠A ﹣∠B ， ∴∠C +∠B ＝∠A ，∴∠A ＝90°，是直角三角形，故本选项错误； D 、∵b 2＝a 2﹣c 2，∴是直角三角形，错误； 故选：A ．4．解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A 、B 的最短距离为线段AB 的长． 在RT △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝8cm ，AC 为底面半圆弧长，AC ＝2π＝6cm ，所以AB ＝＝10cm ．故选：C ．5．解：在Rt △ACD 中，∠A ＝45°，CD ＝2， 则AD ＝CD ＝2，在Rt △CDB 中，∠B ＝30°，CD ＝2，则BD ＝2，故AB ＝AD +BD ＝2+2． 故选：D ．6．解：设直角三角形的三边从小到大是a ，b ，c ．则S 1＝b 2，S 2＝a 2，S 3＝c 2．又a 2+b 2＝c 2， 则S 1+S 2＝S 3． 故选：D ．7．解：∵AB ＝1.5，BC ＝0.9，AC ＝1.2，∴AB 2＝1.52＝2.25，BC 2+AC 2＝0.92+1.22＝2.25， ∴AB 2＝BC 2+AC 2， ∴∠ACB ＝90°，∵CD 是AB 边上的高，∴S △ABC ＝，1.5CD ＝1.2×0.9， CD ＝0.72， 故选：A ．8．解：A 、由勾股定理得：AB ＝＝5，故此选项正确；B 、∵AC 2＝22+42＝20，BC 2＝12+22＝5，AB 2＝52＝25， ∴AB 2＝BC 2+AC 2， ∴∠C ＝90°，故此选项正确；C 、AC ＝＝2，故此选项正确；D 、∵BC ＝，AB ＝5， ∴∠A ≠30°， 故此选项不正确； 本题选择错误的结论， 故选：D ．9．解：作AD ⊥BC 于D ，如图所示：则∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴BD ＝BC ＝6，由勾股定理得：AD ＝＝8，当BM ⊥AC 时，BM 最小， 此时，∠BMC ＝90°，∵△ABC 的面积＝AC •BM ＝BC •AD ，即×10×BM ＝×12×8，解得：BM ＝9.6， 故选：B ．10．解：设每个小直角三角形的面积为m ，则S 1＝4m +S 2，S 3＝S 2﹣4m ， 因为S 1+S 2+S 3＝60，所以4m +S 2+S 2+S 2﹣4m ＝60， 即3S 2＝60， 解得S 2＝20． 故选：C ．二．填空题（共8小题）11．解：∵DE 是AB 的中垂线，∴DA ＝DB ，设AD ＝x ，则DB ＝x ，CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣x ， 在Rt △ACD 中，∵AC 2+CD 2＝AD 2， ∴62+（8﹣x ）2＝x 2，解得x ＝，∴CD ＝8﹣x ＝，故答案为：．12．解：在Rt △ABC 中，∵AC 2＝AB 2+BC 2＝32+42＝52， ∴AC ＝5．在△DAC 中，CD 2＝132，AD 2＝122， 而122+52＝132， 即AC 2+AD 2＝CD 2， ∴∠DAC ＝90°，S 四边形ABCD ＝S △BAC +S △DAC ＝•BC •AB +DC •AC ，＝×4×3+×12×5＝36．所以需费用：36×300＝10800（元）． 故答案为：10800．13．解：如图，将正方体展开， 则线段AB 即为最短的路线， 设这个正方体的棱长为xcm ，∴AB ＝＝x ＝20，∴x ＝4，∴这个正方体的棱长为4cm ，故答案为：4．14．解：如图，在Rt △ABC 中，AB ＝4cm ，BC ＝4cm ，由勾股定理知，AC ＝＝＝4．设AC 边上的高的长度为hcm ，则AB •BC ＝AC •h ，∴h ＝＝＝2（cm ）．故答案是：2．15．解：（1）如图1，当点D 落在BC 上时，∵AB ＝5，AD ＝3，AC ＝4，∴BD ＝＝＝4，CD ＝＝＝，则BC ＝BD +CD ＝4+；（2）如图2，当点D 落在BC 延长线上时，∵AB ＝5，AD ＝3， AC ＝4，∴BD ＝＝＝4，CD ＝＝＝，则BC ＝BD ﹣CD ＝4﹣；综上，BC 的长的为（4+）或（4﹣）cm ．16．解：作DE ⊥AB 于E ，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，∴AB ＝＝13，由基本作图可知，AD 是∠CAB 的平分线， 在△ACD 和△AED 中，，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AE ＝AC ＝12，DE ＝DC ，∴BE ＝AB ﹣AE ＝1，BD ＝5﹣CD ＝5﹣DE ，在Rt △DEB 中，DE 2+BE 2＝BD 2，即DE 2+12＝（5﹣DE ）2，解得，DE ＝，∴△ABD 的面积＝×AB ×DE ＝，故答案为：．17．解：由题意：S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形E ， S 正方形D ﹣S 正方形C ＝S 正方形E ，∴S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形D ﹣S 正方形C∵正方形B ，C ，D 的面积依次为4，3，9∴S 正方形A +4＝9﹣3，∴S 正方形A ＝2故答案为2．18．解：连接AC ．根据勾股定理可以得到：AB 2＝12+32＝10，AC 2＝BC 2＝12+22＝5，∵5+5＝10，即AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°．故答案为：10，45．三．解答题（共7小题）19．解：（1）在△ABD 中，∵AD 2+BD 2＝122+52＝169，AB 2＝132＝169，∴AD 2+BD 2＝AB 2，∴△ABD 是直角三角形，其中∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ；（2）∵AD⊥BC，∴∠AD C＝90°，在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，即122+CD2＝152，解得：CD＝9或CD＝﹣9（舍）．20．解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，梯子距离地面的高度AE＝＝24米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米，∴BD+BE＝DE＝＝＝15，∴DE＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．21．解：（1）如图，过点F作FM⊥AD于点M，在△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝60°，DE＝8，则∠DFE＝30°，故EF＝2DE＝16，DF＝＝＝8，∵AB∥EF，∴∠FDM＝∠DFE＝30°，在Rt△FMD中，MF＝DF＝8×＝4，即点F与AD之间的距离为：4；（2）在Rt△FMD中，DM＝＝＝12，∵∠C＝45°，∠CAB＝90°，∴∠CBA＝45°，又∵∠FMB＝90°，△FMB是等腰直角三角形，∴MB＝FM＝4，∴BD＝MD﹣FM＝12﹣4．22．解：根据题意得；AC ＝30海里，AB ＝40海里，BC ＝50海里；∵302+402＝502，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，∴180°﹣90°﹣35°＝55°，∴乙船的航行方向为南偏东55°．23．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC ＝CA ．设AC 为x ，则OC ＝9﹣x ，由勾股定理得：OB 2+OC 2＝BC 2，又∵OA ＝9，OB ＝3，∴32+（9﹣x ）2＝x 2，解方程得出x ＝5．∴机器人行走的路程BC 是5cm ．24．解：设运动x 秒时，它们相距15cm ，则CP ＝xcm ，CQ ＝（21﹣x ）cm ，依题意有x 2+（21﹣x ）2＝152，解得x 1＝9，x 2＝12．故运动9秒或12秒时，它们相距15cm ．25．定理表述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．证明：∵S 四边形ABCD ＝S △ABE +S △AED +S △CDE ，＝×2+，又∵S 四边形ABCD ＝＝，∴＝×2+， ∴（a +b ）2＝2ab +c 2，∴a 2+2ab +b 2＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2．。
北师大版八年级第一章勾股定理练习题【带答案解析】
北师⼤版⼋年级第⼀章勾股定理练习题【带答案解析】第⼀章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理⼀、求边长问题. ★★★题型⼀：已知直⾓三⾓形的两边，求第三边.1、【基础题】求出下列两个直⾓三⾓形中x和y边的长度.、【基础题】（1）求斜边长为17 cm，⼀条直⾓边长为15 cm的直⾓三⾓形的⾯积.（2）已知⼀个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平⽅是________.、【综合Ⅰ】已知⼀个等腰三⾓形的两腰长为5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三⾓形的⾯积.、【综合Ⅰ】如图，有两棵树，⼀棵⾼10⽶，另⼀棵⾼4⽶，两树相距8⽶，⼀只⼩鸟从⼀棵树的树梢飞到另⼀棵树的树梢，问⼩鸟⾄少飞⾏（）A．8⽶ B．10⽶C．12⽶D．14⽶、【综合Ⅰ】强⼤的台风使得⼀根旗杆在离地⾯9⽶处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12⽶处，求旗杆折断之前有多⾼？、【综合Ⅱ】如图，某储藏室⼊⼝的截⾯是⼀个半径为 m的半圆形，⼀个长、宽、⾼分别是 m、1 m、 m的箱⼦能放进储藏室吗？题型⼆：⽤“勾股定理 + ⽅程”来求边长.2、【综合Ⅱ】⼀个直⾓三⾓形的斜边为20 cm，且两直⾓边的长度⽐为3∶4，求两直⾓边的长.【综合Ⅱ】如图，⼩明想知道学校旗杆的⾼，他发现旗杆顶端的绳⼦垂到地⾯还多1⽶，当他把绳⼦的下端拉开5⽶后，下端刚好接触地⾯，求旗杆AC的⾼度.、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了⼀个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有⼀个边长是10尺的正⽅形⽔池，在⽔池正中央有⼀根芦苇，它⾼出⽔⾯1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的⽔⾯，请问这个⽔池的深度和这根芦苇的长度各是多少？【综合Ⅲ】如右上图，有⼀块直⾓三⾓形纸⽚，两直⾓边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直⾓边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．【提⾼题】（2011年北京市竞赛题）两张⼤⼩相同的纸⽚，每张都分成7个⼤⼩相同的矩形，放置如图所⽰，重合的顶点记作A，顶点C在另⼀张纸的分隔线上，若BC＝28，则AB的长是 ______ ．类型三：“⽅程＋等⾯积”求直⾓三⾓形斜边上的⾼.3、直⾓三⾓形两直⾓边分别为5、12，则这个直⾓三⾓形斜边上的⾼为（）.（A）6 （B）（C）（D）⼆、⾯积问题. ★4、【基础题】求出左下图中A、B字母所代表的正⽅形的⾯积.、【综合Ⅰ】如右上图，所有的四边形都是正⽅形，所有的三⾓形都是直⾓三⾓形，请在图中找出若⼲图形，使它们的⾯积之和等于最⼤正⽅形1的⾯积，尝试给出两种⽅案.则正⽅形A ，B ，C ，D 的⾯积之和为___________cm 2.、【综合题】如右上图2，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直⾓三⾓形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的⾯积为（）.（A ）9 （B ）3 （C ）（D ）5、【综合Ⅲ】如图，在直线l 上依次摆放着七个正⽅形，已知斜放置的三个正⽅形的⾯积分别是1、2、3，正放置的四个正⽅形的⾯积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1S ＋2S ＋3S ＋4S ＝________三、证明问题 6、【综合Ⅲ】1876年，美国总统加菲尔德利⽤右图验证了勾股定理，你能利⽤左下图验证勾股定理吗？说⼀说这个⽅法和本节的探索⽅法的联系.7、【提⾼题】如右上图，在Rt △ABC 中，∠A ＝ 90，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF ＋＝.8、【提⾼题】如图，AD 是△ABC 的中线，证明：）＋（＝＋22222CD AD AC AB的尺⼨如图所⽰，这个零件符合要求吗？并求出四边形ABCD 的⾯积. 、【综合Ⅰ】如左下图，6个三⾓形分别标号，哪些三⾓形是直⾓三⾓形，哪些不是，请说明理由.、【综合Ⅰ】如右上图，在正⽅形ABCD 中，4＝AB ，2＝AE ，1＝DF ，图中有⼏个直⾓三⾓形，说明理由. 10、【基础题】下列各组中，不能构成直⾓三⾓形三边长度的是（）（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 （D ）9，40，41 、【基础题】（1）如果将直⾓三⾓形的三条边长同时扩⼤⼀个相同的倍数，得到的三⾓形还是直⾓三⾓形吗？（2）下表中第⼀列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗？任意、【综合Ⅰ】如图，直⾓三⾓形ABC 的周长为24，AB 是斜边且AB ：BC=5：3，则AC ＝（）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12第三节勾股定理的应⽤11、【综合Ⅰ】如左下图，有⼀个圆柱，⾼是12 cm，底⾯半径是3 cm，在圆柱下底⾯的A点有⼀只蚂蚁，它想吃到上底⾯与A点相对的B点处的⾷物，那么它沿圆柱侧⾯爬⾏的最短路程是多少？（的值取3）、【综合Ⅰ】如右上图，有⼀圆柱形油罐，底⾯周长为24 m，⾼为10 m，从A处环绕油罐建梯⼦，梯⼦的顶端正好到达A点的正上⽅B点，问所建梯⼦最短需多长？12、【综合Ⅰ】如左下图，⼀个⽆盖的长⽅体盒⼦的长、宽、⾼分别为8 cm、8 cm、12cm，⼀只蚂蚁想从盒底的A点沿长⽅体的表⾯爬到盒顶的B点，请问蚂蚁爬⾏的最短路程是多少？、【综合Ⅱ】如右上图，长⽅体的长为15，宽为10，⾼为20，点B离点C的距离是5，⼀只蚂蚁如果要沿着长⽅体的表⾯从点A 爬到点B，需要爬⾏的最短路程是多少？13、【基础题】⼀艘帆船由于风向的原因先向正东⽅向航⾏了160千⽶，然后向正北⽅向航⾏了120千⽶，这时它离出发点有多远？、【基础题】甲、⼄两位探险者到沙漠进⾏探险，某⽇早晨8：00甲先出发，他以6 km／h 的速度向正东⾏⾛，1⼩时后⼄出发，他以5 km／h的速度向正北⾏⾛，上午10：00时，甲⼄⼆⼈相距多远？14、【基础题】如左下图，⼀座城墙⾼⽶，墙外有⼀条宽为9⽶的护城河，那么⼀个长为15⽶的云梯能否到达墙的顶端？、【综合Ⅰ】如右上图，⼀架云梯长25⽶，如图斜靠在⼀⾯墙上，梯⼦底端离墙7⽶.（1）这个梯⼦的顶端距地⾯有多⾼？（2）如果梯⼦的顶端下滑了4⽶，那么梯⼦的底部在⽔平⽅向也滑动了4⽶吗？、【综合Ⅰ】如右上图，在四边形ABCD 中，AD ＝4 cm ，CD ＝3 cm ，AD ⊥CD ，AB ＝12 cm ，BC ＝13 cm ，求四边形ABCD 的⾯积. 16、【综合Ⅲ】如图，Rt△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（） A.35 B. 25C. 4D. 517、【综合Ⅰ】将⼀根长24 cm 的筷⼦置于底⾯直径为5 cm 、⾼为12 cm 的圆柱形⽔杯中，那么筷⼦露在⽔杯外⾯的长度 h （cm ）的取值范围是、【提⾼题】装修⼯⼈购买了⼀根装饰⽤的⽊条，乘电梯到⼩明家安装，如果电梯的长、宽、⾼分别是 m 、 m 、 m ，那么能放⼊电梯内的⽊条的最⼤长度⼤约是多少⽶？你能估计出装修⼯⼈买的⽊条⾄少是多少⽶吗？、【综合Ⅰ】如图，⼩⽅格是边长为1的正⽅形，求ABCD的⾯积.19、【提⾼题】如右上图，是由5个边长相同的⼩正⽅形组成的⼗字，A、B、C均在顶点上，则∠BAC＝．⼀、求边长问题. ★★★题型⼀：已知直⾓三⾓形的两边，求第三边. 1、【答案】 x ＝10，y ＝12 【总结】知道直⾓三⾓形的两边，可以求出第三边，这是勾股定理最常见的应⽤，也是基本的题型。
北师大版数学八年级上册第一章勾股定理专项练习(含答案)
北师大版数学八年级上册第一章勾股定理专项练习（含答案）练习一1. 如图字母B 所代表的正方形的面积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 1942.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远 的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和 岸边的水平刚好相齐,河水的深度为( ). A.2m B.2.5cm C.2.25m D.3m3.△ABC 中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△A BC 的周长是( ) A.42 B.32 C.42或32 D.37或334、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一 个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A 、5B 、25C 、7D 、155. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( )A. ab=h 2B. a 2+b 2=2h 2C. a 1+b 1=h 1D. 21a +21b =21h6.已知，如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，AC PE ⊥于E ，BD PF ⊥于F ，如果AB=3，AD=4，那么（ ） A.512=+PF PE ； B. 512＜PF PE +＜513； C. 5=+PF PE D. 3＜PF PE +＜47．（1）在Rt△ABC 中，∠C=90°．①若AB=41，AC=9，则BC=_______；②若AC=1.5，BC=2，则AB=______，△ABC 的面积为________．8.在布置新年联欢会的会场时,小虎准备把同学们做的拉花用上,•他搬来了一架高为2.5米的梯子,要想把拉花挂在高2.4米的墙上,•小虎应把梯子的底端放在距离墙________米处.9.在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C 点出发，以每分20cm 的 速度沿CA-AB-BC 的路径再回到C 点，需要______分的时间.10.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ， A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的 食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是_________B16925第6题11.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0， 则第三边长为＿＿＿＿＿＿.12.如图7所示,Rt△ABC 中,BC 是斜边,将△A BP 绕点A 逆时针旋转后,能与 △ACP′重合,如果AP=3,你能求出PP′的长吗?13.如图4为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的 长度至少需要多少米?14.如图2，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面 用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积15．如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积．CBA D16.如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•则这条小路的面积是多少?5米3米317、4个全等的直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c ．现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中 的道理吗？请试一试．b18. 如图3,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M 在CH 上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?19．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h ．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻 刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m 处，过了2s •后，测得小汽车 与车速检测仪间距离为50m ．这辆小汽车超速了吗？小汽车观察点小汽车C A20．如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想 一想，此时EC 有多长？BCB EF21.有一块三角形的花圃ABC,现可直接测得∠A=30,AC=40m,BC=25m,请你求出这 块花圃的面积.22.如图所示,△AB C 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于D,且AB+BC=18cm,若要求出CD •和AC 的长,还需要添加什么条件?DCA23.四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11 a ，按上述方法所作的正方形的边长依次为n a a a a ,,,,432 ，请求出432,,a a a 的值；⑵根据 以上规律写出n a 的表达式．24.已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC 长为3 p ，BB l 是∠ABC 的平分线交AC 于点B 1，过B 1作B 1B 2⊥AB 于点B 2，过B 2作B 2B 3∥BC 交AC 于点B 3，过B 3作B 3B 4⊥AB 于点B 4，过B 4作B 4B 5∥BC 交AC 于点B 5，过B 5作B 5 B 6⊥AB 于点B 6，…，无限重复以上操作．设b 0=BB l ，b 1=B 1B 2，b 2=B 2B 3，b 3=B 3B 4，b 4=B 4B 5，…，bn=BnBn +1，…．(1)求b 0，b 3的长；(2)求bn 的表达式(用含p 与n 的式子表示，其中n 是正整数)25、已知：在Rt△ABC 中，∠C＝900，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为l ． ⑴填表：⑵如果a ＋b －c ＝m ，观察上表猜想：S l＝__________(用含有m 的代数式表示)． ⑶证明⑵中的结论．26．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．（1）求图（一）中四边形ABCD 的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．DCBA图（一） 图（二）练习二1. 有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32,42,52， 以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.42.三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( ) A.6 B.4.5 C.2.4 D.83.下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成 直角三角形的有（ ）A 、5组；B 、4组；C 、3组；D 、2组4.在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB 翻折后得到 △ABC′，则CC′的长等于（ ） A 、125 ； B 、135 ； C 、56 ； D 、2455、下列说法中, 不正确的是 ( )A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形6、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能 构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A. CD 、EF 、GHB. AB 、EF 、GHC. AB 、CD 、GHD. AB 、CD 、EF7.如图4所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D 的面积的和是_______cm 2.7cmDCB A8．已知2条线段的长分别为3cm 和4cm ，当第三条线段的长为_______cm 时，这3条线段能组成一个直角三角形．9、在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________．（第6题）10. 传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________11．小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方法吗？12.给出一组式子:32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262……(1)你能发现上式中的规律吗?(2)请你接着写出第五个式子.13．观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41……这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究．如果132=b+c，则b、c的值可能是多少14．如图，是一块由边长为20cm的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A 处，它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？15．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，点D 在BC 上，AD=12，BD=5，试问AD 平分∠BAC 吗？为什么？CAB16．如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB=3cm ，BC=12cm ，CD=13cm ，AD=4cm ，东东由此认为这个四边形中∠A 恰好是直角， 你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果 你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A 是直角？DCA B17. 学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足a 2+b 2=c 2, 或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验!(1)画出任意一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a=______mm;b=_______mm;较长的一条边长c=_______mm. 比较a 2+b 2=______c 2(填写’’>’’ , ”<’’, 或’’=’’); (2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a=______mm;b=_______mm;较长的一条边长c=_______mm.比较a 2+b 2=______c 2(填写’’>’’ , ”<’’, 或’’=’’); (3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题,你猜想的结论是:_________________. 对你猜想22a b 与2c 的两个关系，利用勾股定理证明你的结论．(1)B A(2)CB A(3)CBA18.如图（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图（2）所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？ （2）试比较立体图中BAC ∠与平面展开图中B A C '''∠的大小关系？AC B 第17题图(1) 第17题图(2) A ' C 'B ' 第17题图(1)A ' C 'B 'D ' 第17题图(2) A ' C 'B '练习一答案1.C2.A3.C4.C5.D6.A7．（1）①40；②2.5；1.58.0.7 9. 12 10.25dm11.22或13或5 12.PP′=3. 13. 7米 14. 100平方米 15．12.516.=∴EC=84-80=4(m),∴S 阴=4×60=240(m 2).17．由图可知，边长为a 、b 的正方形的面积之和等于边长为c 的正方形的面积18. 25cm19．超速，经计算的小汽车的速度为72km/h20．由条件可以推得FC=4，利用勾股定理可以得到EC=3cm ．21.提示:分锐角、钝角三角形两种情况:(1)S △ABC 2;(2)S △ABC 2.22.提示:可给特殊角∠A=∠BCD=30°,也可给出边的关系,如BC:AB=1:2等等. 23解：⑴11=a ;211222=+=a ()()222223=+=a ;2222224=+=a⑵12-=n n a∵12111==-a ;22122==-a ;22133==-a222144==-a ∴12-=n n a24．(1)b0=2p在Rt△B 1B 2中，b 1=P ．同理．b 2=3 p/2b 3=3p/4(2)同(1)得：b 4=(3 /2)2p ．∴bn=(3 /2)n-1(n 是正整数)．25、⑴填表：⑵S l ＝m 4⑶证明：∵a＋b －c ＝m ，∴a＋b ＝m ＋c ， ∴a 2＋2ab ＋b 2＝m 2＋c 2＋2mc ．∵a 2＋b 2＝c 2，∴2ab＝m 2＋2mc∴ab 2＝14m(m ＋2c) ∴S l ＝12ab a ＋b ＋c ＝14m(m ＋2c)m ＋c ＋c ＝m 426解：（1）方法一：S ＝12×6×4 ＝12方法二：S ＝4×6－12×2×1－12×4×1－12×3×4－12×2×3＝12 （2）（只要画出一种即可）练习二答案1.C2.D3.B4.D5.B6.B7.49 8．5cmcm 9. 108 10. 6,6,10 勾股定理的逆定理11．方法不惟一．如：•分别测量三角形三边的长a 、b 、c （a≤b≤c），然后计算是否有a 2+b 2=c 2，确定其形状12.(1)(n 2-1)2+(2n)2=(n 2+1)2(n>1).(2)352+122=372.13．•其中的一个规律为（2n+1）=2n （n+1）+[2n （n+1）+1]．当n=6时，2n （n+1）、[2n （n+1）+1]的值分别是84、•8514．AB=5cm ，BC=13cm ．•所以其最短路程为18cm15．AD 平分∠BAC．因为BD 2+AD 2=AB 2，所以AD⊥BC，又AB=AC ，所以结论成立16．不正确．增加的条件如：连接BD ，测得BD=5cm ．17.解：若△ABC 是锐角三角形，则有222a b c +>若△ABC 是钝角三角形，C ∠为钝角，则有222a b c +<．当△ABC 是锐角三角形时，a cb DC BA证明：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，设CD 为x ，则有BD ＝a x -根据勾股定理，得22222()b x AD c a x -==--即222222b x c a ax x -=-+-．∴2222a b c ax +=+∵0,0a x >>，∴20ax >．∴222a b c +>．当△ABC 是钝角三角形时，a cb D C BA证明：过B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ．设CD 为x ，则有222BD a x =-根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=．即2222a b bx c ++=．∵0,0b x >>，∴20bx >，∴222a b c +<．18解：（1如图（1）中的A C ''，在A C D '''Rt △中13C D A D ''''==，，由勾股定理得：A C ''∴==答：这样的线段可画4条（另三条用虚线标出）．（2）立体图中BAC ∠为平面等腰直角三角形的一锐角， 45BAC ∴∠=．在平面展开图中，连接线段B C ''，由勾股定理可得：A B B C ''''==又222A B B C A C ''''''+=，由勾股定理的逆定理可得A B C '''△为直角三角形． 又A B B C ''''=，A B C '''∴△为等腰直角三角形．45B A C '''∴∠=． 所以BAC ∠与B A C '''∠相等． D '。
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题(带解析)北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题（带解析） 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 分卷I 分卷I 注释 一、单选题(注释) 1、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 A ．b 2=c 2－a 2…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○……………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○学校：___________姓名：___________班级：___________考号：_________…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○A ．b 2=c 2－a 2 B ．a∶b∶c=3∶4∶5 C ．∠C=∠A－∠B D ．∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15 更多功能介绍/zt/ 6、小红要求△ABC 最长边上的高，测得AB=8cm ，AC=6cm ，BC=10cm ，则可知最长边上的高是 A ．48cm B ．4.8cm C ．0.48cm D ．5cm 分卷II 分卷II 注释 评卷人 得分 二、填空题(注释) 7、如图：隔湖有两点A 、B ，为了测得A 、B 两点间的距离，从与AB 方向成直角的BC 方向上任取一点C ，若测得CA="50" m,CB="40" m ，那么A 、B 两点间的距离是_________.8、有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距________海里.9、某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取________米.10、阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC 的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC 的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4①∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②∴c2=a2+b2 ③∴△ABC是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状. 12、若△ABC 的三边长为a,b,c ，根据下列条件判断△ABC 的形状. （1）a 2+b 2+c 2+200=12a+16b+20c （2）a 3－a 2b+ab 2－ac 2+bc 2－b 3=0 13、等边三角形ABC 内一点P ，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数. 14、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 15、设三角形的三边分别等于下列各组数： ①7，8，10 ②7，24，25 ③12，…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………35，37 ④13，11，10 请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？ 16、作一个三角形，使三边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，哪条边所对的角是直角？为什么？ 17、如图：△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且满足关系：a 2+b 2=c 2. 请作一个三角形A′B′C′,使∠C′=90°,B′C′=a,A′C′=b. （1）△A′B′C′是否全等于△ABC？为什么？ （2）∠C′是否等于∠C？ （3）由以上你能判定△ABC 是直角三角形吗？请你想一想，三角形三条边长满足什么关系，这个三角形一定是直角三角形？…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………cm,BC="10" cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 19、如图：要修建一个育苗棚，棚高h="1.8" m,棚宽a="2.4" m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 20、在△ABC 中，∠C="90°,AC=2.1" cm,BC="2.8" cm （1）求这个三角形的斜边AB 的长和斜边上的高CD 的长； （2）求斜边被分成的两部分AD 和BD 的长. 21、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和10 cm ，求这个三角形的面积. 22、下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………两条直角边的边长分别为a 、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a+b 的正方形内. ①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？ ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？ 23、请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………于42+72？ 24、如下图，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点.求B 点到入射点的距离. 25、如下图所示，△ABC 中，AB="15" cm ，AC="24" cm ，∠A=60°，求BC 的长.试卷答案1.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理依次分析各项即可.A、由b2=c2-a2得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是故是直角三角形；D、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．故选D．考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 2.【解析】∵（m2-1）2+（2 m）2=（m2+1）2，∴三角形为直角三角形，且斜边长为m2+1，故选A.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 3.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理列出方程解即可．根据勾股定理的逆定理列出方程解则可，有42是斜边或者x2是斜边两种情况．当42是斜边时，32+x2=42，x2=42-32=7；当x2是斜边时，x2=32+42=52，故选D．考点：本题考查了勾股定理的逆定理点评：在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，然后进行计算．注意本题有两种情况．4.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………A 、，B 、，D 、，均不能组成直角三角形； C 、，能组成直角三角形，本选项正确. 考点：本题考查的是勾股定理的逆定理 点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 5.【解析】 试题分析：根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理依次分析各项即可. A 、由b 2=c 2-a 2得c 2=a 2+b 2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B 、由a ：b ：c=3：4：5得c 2=a 2+b 2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； C 、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A -∠B 解得∠A=90°，故是故是直角三角形； D 、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形． 故选D ．…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………形的内角和定理 点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 6.【解析】 试题分析：先根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据面积法求解． ： ∵AB 2+AC 2=62+82=100，BC 2=102=100， ∴三角形是直角三角形． 根据面积法求解： 即 解得 故选B. 考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形的面积公式 点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………7.【解析】 试题分析：根据勾股定理即可求得结果. 由题意得 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 8.【解析】 试题分析：首先根据方位角知该三角形是一个直角三角形．再根据路程=速度×时间．分别计算两条直角边是16×1.5=24，12×1.5=18．再根据勾股定理即可求得结果. 因为东南和东北方向互相垂直， 根据题意两条直角边为16×1.5=24，12×1.5=18， 根据勾股定理得，两船相距海里. 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 9.【解析】 试题分析：根据勾股定理即可得到结果。
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合培优测试题(附答案详解)
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合培优测试题（附答案详解）1．直角三角形两直角边长为a ，b ，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（ ） A ．ab=h 2 B ．a 2+b 2=2h 2 C ．111a b h += D ．222111a b h += 2．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，已知 AB=5，AD=3，则 BC 的长为（ ）A ．5B ．4C ．10D ．83．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，AB 边如图所示，则使△ABC 是直角三角形的点C 有( )A ．12个B ．10个C ．8个D ．6个4．如图，△ABC 中∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（ ）A ．222AC DC AD +=B ．222AD DE AE -=C ．222AD DE AC =+ D ．22214BD BE BC -= 5．有以下三角形：①三角形三边之比为2：3：2；②三角形的三边为3，4，5；③三角形三个角分别为20°，70°，90°；④三角形三个角的比为1：2：3．其中不是直角三角形的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．46．如图，一只蚂蚁从A 点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B 点处，如果圆柱的高为8cm ，圆柱的半径为6πcm，那么最短路径AB的长为（）A．8cm B．6cm C．10πcm D．10cm7．如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方差，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断8．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（）A．37B．13C．37或者13D．37或者1379．在△ABC中，a、b、c分别为三边，给出下列各组条件：①∠A:∠B:∠C=3:4:5；②a:b:c=3:4:5；③a=16，b=63，c=65；④1123A B C ∠=∠=∠；其中，能判定△ABC是直角三角形的有_______个。
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理测试卷(附答案)
13.在
中， ∠ , ∠ , ∠ 的对边分别是 、 、 ，若 2 + 2 = 25, 2 − 2 = 7 ，又 = 5 ，则
最大边上的高为________.
14.如图，H 是△ABC 内一点，BH⊥CH，AH＝6，CH＝3，BH=4，D、E、F、G 分别是 AB、AC、CH、BH 的 中点，则四边形 DEFG 的周长是________.
理由如下：连接 OD． ∵OA=OD ∴∠ODA=∠A 又∵∠BDE=∠A ∴∠ODA=∠BDE ∵AB 是⊙O 直径 ∴∠ADB=90° 即∠ODA+∠ODB=90° ∴∠BDE+∠ODB=90° ∴∠ODE=90° ∴OD⊥DE ∴DE 与⊙O 相切； （2）∵R=5， ∴AB=10， 在 Rt△ABC 中
BC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径的⊙O 与 AC 边交于点 D，过点 D 的直线交 BC 边于点 E， ∠BDE=∠A． （1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由． （2）若⊙O 的半径 R=5，tanA=34 ， 求线段 CD 的长．
15.已知 △
，
延长线于 G，连接
= ， ⊥ ，点 F 在 上，作 ⊥ ， ∠ = 2∠ ， = = 2 ，则
，直线 交 于 E，交 的长为________．
三、解答题（共 7 题；共 55 分）
16.如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanC=
1 2
，AC=3
5 ，AB=4，求△ABC 的周长．
19.如图，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动 后停在 DE 的位置上，测得 BD 长为 0.2 米，求梯子顶端 A 下落了多少米？
北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】
1.1、【基础题】 (1)求斜边长为17 cm , —条直角边长为15 cm 的直角三角形的面积(2)已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是1.2、【综合I 】已知一个等腰三角形的两腰长为 5 cm ,底边长6 cm ，求这个等腰三角形的面积1.3、【综合I 】 如图，有两棵树，一棵高 10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )A . 8 米B . 10 米C . 12 米D . 14 米1.4、【综合I 】强大的台风使得一根旗杆在离地面 9米处折断倒下,之前有多高?1.5、【综合n 】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为 m 的箱子能放进储藏室吗？1.2 m 的半圆形，一个长、宽、高分别是 1.2 m 、1 m 、0.8题型二：用“勾股定理 +方程”来求边长2、【综合n 】 一个直角三角形的斜边为 20 cm ，且两直角边的长度比为 3 : 4,求两直角边的长2.1【综合n 】 如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC 的高度.第一章勾股定理分节练习 第1节探索勾股定理一、求边长问题.★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边1、【基础题】 求出下列两个直角三角形中 x 和y 边的长度.1米，当他把绳子的下端2.2、【综合n 】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有一个边长是 10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.3【综合川】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6 cm , BC = 8 cm ,现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与AE 重合，求CD 的长.2.4【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示,重合的顶点记作 A ，顶点C 在另一张纸的分隔线上，若BC^/28，则AB 的长是 ___________ .13二、面积问题. ★4、【基础题】求出左下图中 A 、B 字母所代表的正方形的面积4.1、【综合I 】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使 它们的面积之和等于最大正方形1的面积，尝试给出两种方案.类型三:“方程+等面积”求直角三角形斜边上的高3、直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为(A ) 6 (B ) 8.5（C ）20134.2、【综合I 】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm ，则正方形 A , B ，C , D 的面积之和为 ______________________ cm 2.Si A$2 ◊A Si三、证明问题6、【综合川】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗？说一说这个 方法和本节的探索方法的联系 •8、【提高题】 如图，AD 是厶ABC 的中线，证明： AB 2+ AC 2=2( AD 2+ CD 2)4.3、【综合题】如右上图 2，以Rt A ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边 则图中阴影部分的面积为()•99(A ) 9( B ) 3(C )( D -4 2AB = 3，5、【综合川】如图，在直线 I 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、 S 3、S 4，则 S i + S 2 + S 3 + S 4 = _____________7、【提高题】 如右上图，在 Rt A ABC 中，/ A = 90 ，D 为斜边BC 的中点，DE 丄DF ，求证:EF 2= BE 2+ CFA第2节 一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示， 按规定这个零件中/ A 和/ DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边 的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？并求出四边形ABCD 的面积.10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是（）(A) 9, 12, 15 (B ) 15, 32, 39 (C ) 16, 30, 3410.1、【基础题】（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？ （2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的 2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗？任意正整数倍呢？说说你的理由。
北师大版数学八年级上册第一章《勾股定理》单元培优练习题卷(解析版)
《勾股定理》单元培优练习卷一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12．AC＝16，则AB的长为（）A．26 B．18 C．20 D．212．若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比可以为（）A．2：3：4 B．7：24：25 C．5：12：14 D．4：6：103．已知直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（）A．5 B．3 C．1.2 D．2.44．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（）A．15cm2B．30cm2C．60cm2D．65cm25．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则斜边BD的长是（）A．B．C．a+b D．a﹣b6．在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝9，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7．如图，△ABC中，∠ACB＝135°，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝6，BD＝20，则CD的长为（）A．B．C．D．48．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2+b2＝c2D．a2﹣b2＝c29．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（）A．8 B．10 C．24 D．4810．如图，公园里有一块草坪，已知AB＝3米，BC＝4米， CD＝12米，DA＝13米，且AB ⊥BC，这块草坪的面积是（）A．24平方米B．36平方米C．48平方米D．72平方米二．填空题11．△ABC中，∠C＝90°，a＝8，c＝10，则b＝．12．如图，一棵大树在离地面4米高的B处折断，树顶A落在离树底端C的5米远处，则大树折断前的高度是米．（结果保留根号）13．如图，△A BC中，AC＝6cm，AB＝8cm，BC＝10cm，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC 的周长为cm．14．如图所示：分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S 3表示，若S1＝25，S3＝9，则BC的长为．15．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．16．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，一条直角边为3，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于．三．解答题17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AB上一点，且CD＝12cm，BD＝8cm．（1）求证：△ADC是直角三角形；（2）求BC的长18．小东拿着一根长竹竿进一个宽为5米的矩形城门，他先横着拿但进不去；又竖起来拿，结果竹竿比城门还高1米，当他把竹竿左右斜着拿时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？19．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）20．如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）△ABC的周长；（2）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；（3）△ABC的面积；（4）点C到AB边的距离．21．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°，求BD 及CD的长．22．为了积极响应国家新农村建设，长沙市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为800米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝30cm，点P 从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当∠PQC＝150°时，求t的值；（2）当PQ＝CD时，求t的值．参考答案一．选择题1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12．AC＝16，∴AB＝＝＝20，故选：C．2．解：A、（2x）2+（3x）2＝13x2，（4x）2＝16x2，（2x）2+（3x）2≠（4x）2，不能组成直角三角形；B、（7x）2+（24x）2＝625x2，（25x）2＝625x2，（7x）2+（24x）2＝（25x）2，能组成直角三角形；C、（5x）2+（12x）2＝169x2，（14x）2＝196x2，（5x）2+（12x）2≠（14x）2，不能组成直角三角形；D、4+6＝10，不能组成三角形；故选：B．3．解：设斜边上的高为h，由勾股定理得，三角形的斜边长＝＝5，则×3×4＝×5×h，解得，h＝2.4，故选：D．4．解：由勾股定理得，AC＝＝12，∵BD是AC边上的中线，∴CD＝AD＝6，∴△BCD的面积＝×5×6＝15（cm2），故选：A．5．解：设CD＝x，则DE＝a﹣x，∵HG＝b，∴AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x，∴x＝，∴BC＝DE＝a﹣＝，∴BD2＝BC2+CD2＝（）2+（）2＝，∴BD＝，故选：B．6．解：∵72+82＞92，∴这个三角形是锐角三角形，故选：A．7．解：作BH⊥AC交AC的延长线于H，设BH＝x，∵∠ACB＝135°，∴∠HCB＝45°，∴CH＝x，由勾股定理得，BC＝x∴CD＝＝，AH＝＝，∵∠ADC＝∠AHB，∠A＝∠A，∴△ADC∽△AHB，∴＝，即＝，解得，x＝4，∴CD＝＝4，故选：D．8．解：根据题意得：S＝（a+b）（a+b），S＝ab+ab+c2，∴（a +b ）（a +b ）＝ab +ab +c 2，即（a +b ）（a +b ）＝ab +ab +c 2，整理得：a 2+b 2＝c 2．故选：C ．9．解：设另一直角边长为x ，则斜边长为（x +2），由勾股定理得，x 2+62＝（x +2）2， 解得，x ＝8，∴该三角形的面积＝×6×8＝24，故选：C ．10．解：则由勾股定理得AC ＝5米，因为AC 2+DC 2＝AD 2，所以∠ACD ＝90°． 这块草坪的面积＝S Rt △ABC +S Rt △ACD ＝AB •BC +AC •DC ＝（3×4+5×12）＝36米2． 故选：B ．二．填空题11．解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，c ＝10，∴b ＝＝＝6，故答案是：6．12．解：设这棵大树在折断之前的高度为x 米，根据题意得，42+52＝（x ﹣4）2，∴x ＝4+或x ＝4﹣＜0（舍）∴这棵大树在折断之前的高度为（4+）米， 故答案为：（4+）．13．解：∵DE 是边AB 的垂直平分线，BC ＝10cm ，AC ＝6cm ，∴AD ＝BD ，∴△ADC 的周长＝AD +DC +AC ＝BD +DC +AC ＝BC +AC ＝16cm ；故答案为：16．14．解：设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ，∴S 1＝a 2＝25，S 1＝b 2，S 3＝c 2＝9，∵△ABC 是直角三角形，∴c 2+b 2＝a 2，即S 3+S 2＝S 1，∴S2＝S1﹣S3＝25﹣9＝16，∴BC＝4，故答案为：4．15．解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：BC＝＝5，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．16．解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；若直角边BC为3，“有趣中线”为AC边上的中线，有趣中线”的长＝3；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，BC＝3，如图所示：设BD＝2x，则CD＝x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，即（2x）2＝32+x2，解得：x＝，则△ABC的“有趣中线”的长＝2；综上所述，这个三角形“有趣中线”的长等于3或2．三．解答题（共7小题）17．（1）证明：∵AB＝13c cm，BD＝8cm，∴AD＝AB﹣BD＝5cm，∴AC＝13cm，CD＝12cm，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形；（2）解：在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，BD＝8cm，CD＝12cm，由勾股定理得：BC＝＝＝4（cm），即BC的长是4cm．18．解：设竹竿长x米，则城门高（x﹣1）米，根据题意得：x2＝（x﹣1）2+52，解得：x＝13答：竹竿长13米．19．解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝15（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10（米），∴AD＝＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米．20．解：（1）根据勾股定理知，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝，故△ABC的周长＝AB+BC+AC＝++；（2）△ABC不是直角三角形，理由如下：由（1）可知，BC＝，AC＝，AB＝，AC＜BC＜AB，∵A C2+BC2＝AB2，∴△ABC不是直角三角形；（3）如图，S△ABC ＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3＝；（3）设点C到AB的距离是h．由（3）知，三角形ABC的面积是，则AB•h＝，即×h＝，解得，h＝，即点C到AB的距离为．21．解：作DE⊥BC于E，在Rt△ABD中，BD＝＝＝2，在Rt△DEB中，∠CBD＝30°，∴DE＝BD＝1，在Rt△EDC中，∠C＝45°，∴EC＝DE＝1，由勾股定理得，CD＝＝＝．22．解：（1）村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，∴村庄能听到宣传；（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，则AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，∴BP＝BQ＝＝600米，∴PQ＝1200米，∴影响村庄的时间为：1200÷300＝4分钟，∴村庄总共能听到4分钟的宣传．23．解：（1）作PE⊥BC于E，由题意得，AP＝t，QC＝3t，则BE＝AP＝t，∴QE＝30﹣4t，∵∠PQC＝150°，∴∠PQE＝30°，∴QE＝PE，即30﹣4t＝8，解得，t＝﹣2；（2）∵当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，则PQ＝CD，∴24﹣t＝3t，解得，t＝6（s）；当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD．设运动时间为t秒，则有AP＝tcm，CQ＝3tcm，∴BQ＝30﹣3t，作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则NC＝BC﹣AD＝30﹣24＝6．∵梯形PQCD为等腰梯形，∴NC＝QM＝6，∴BM＝（30﹣3t）+6＝36﹣3t，∴当AP＝BM，即t＝36﹣3t，解得t＝9，∴t＝9s时，四边形PQCD为等腰梯形．综上所述t＝6s或9s时，PQ＝CD．。
北师大版八年级(上册)数学第一章勾股定理练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题（带解析）考试围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1. 答题前填写好自己的、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释 一、单选题(注释)1、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是A ．b 2=c 2－a 2B ．a∶b∶c=3∶4∶5C ．∠C=∠A－∠BD ．∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶152、如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2m ，m 2+1(m ＞1)那么A ．△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1 B ．△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC ．△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D ．△ABC 不是直角三角形3、若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是A ．42B ．52C ．7D ．52或74、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是 A ．5，6，7 B ．1，4，9 C ．5，12，13 D ．5，11，125、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是A ．b 2=c 2－a 2B ．a∶b∶c=3∶4∶5C ．∠C=∠A－∠BD ．∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15 更多功能介绍www.ykw18./zt/6、小红要求△ABC 最长边上的高，测得AB=8cm ，AC=6cm ，BC=10cm ，则可知最长边上的高是 A ．48cm B ．4.8cm C ．0.48cm D ．5cm分卷II分卷II 注释评卷人得分二、填空题(注释)7、如图：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC 方向上任取一点C，若测得CA="50" m,CB="40" m，那么A、B两点间的距离是_________.8、有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距________海里.9、某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取________米.10、阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4①∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②∴c2=a2+b2 ③∴△ABC是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.11、已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.12、若△ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c（2）a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=013、等边三角形ABC一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.14、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？15、设三角形的三边分别等于下列各组数：①7，8，10 ②7，24，25 ③12，35，37 ④13，11，10请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？16、作一个三角形，使三边长分别为3cm，4cm，5cm，哪条边所对的角是直角？为什么？17、如图：△ABC的三个角∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，且满足关系：a2+b2=c2.请作一个三角形A′B′C′,使∠C′=90°,B′C′=a,A′C′=b.（1）△A′B′C′是否全等于△ABC？为什么？（2）∠C′是否等于∠C？（3）由以上你能判定△ABC是直角三角形吗？请你想一想，三角形三条边长满足什么关系，这个三角形一定是直角三角形？18、如图，已知长方形ABCD中AB="8" cm,BC="10" cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.19、如图：要修建一个育苗棚，棚高h="1.8" m,棚宽a="2.4" m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？20、在△ABC中，∠C="90°,AC=2.1" cm,BC="2.8" cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长；（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.21、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.22、下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？23、请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？24、如下图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点.求B点到入射点的距离.25、如下图所示，△ABC中，AB="15" cm，AC="24" cm，∠A=60°，求BC的长.试卷答案1.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理及三角形的角和定理依次分析各项即可.A、由b2=c2-a2得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是故是直角三角形；D、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．故选D．考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的角和定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.2.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理即可判断.∵（m2-1）2+（2 m）2=（m2+1）2，∴三角形为直角三角形，且斜边长为m2+1，故选A.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.3.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理列出方程解即可．根据勾股定理的逆定理列出方程解则可，有42是斜边或者x2是斜边两种情况．当42是斜边时，32+x2=42，x2=42-32=7；当x2是斜边时，x2=32+42=52，故选D．考点：本题考查了勾股定理的逆定理点评：在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，然后进行计算．注意本题有两种情况．4.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各项即可.A、，B、，D、，均不能组成直角三角形；C、，能组成直角三角形，本选项正确.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.5.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理及三角形的角和定理依次分析各项即可.A、由b2=c2-a2得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是故是直角三角形；D、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．故选D．考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的角和定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.6.【解析】试题分析：先根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据面积法求解．：∵AB2+AC2=62+82=100，BC2=102=100，∴三角形是直角三角形．根据面积法求解：即解得故选B.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形的面积公式点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.7.【解析】试题分析：根据勾股定理即可求得结果.由题意得考点：本题考查的是勾股定理的应用点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.8.【解析】试题分析：首先根据方位角知该三角形是一个直角三角形．再根据路程=速度×时间．分别计算两条直角边是16×1.5=24，12×1.5=18．再根据勾股定理即可求得结果.因为东南和东北方向互相垂直，根据题意两条直角边为16×1.5=24，12×1.5=18，根据勾股定理得，两船相距海里.考点：本题考查的是勾股定理的应用点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.9.【解析】试题分析：根据勾股定理即可得到结果。
北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】
第一章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理一、求边长问题•★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边1、【基础题】求出下列两个直角三角形中x和y边的长度.8、【基础题】（1）求斜边长为17 cm , —条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.（2）已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是______________、【综合I】已知一个等腰三角形的两腰长为 5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三角形的面积、【综合I】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米,只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A. 8 米B . 10 米 C. 12 米D. 14 米、【综合I】强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断之前有多咼、【综合n】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为别是m、1 m、m的箱子能放进储藏室吗题型二：用“勾股定理+方程”来求边长2、【综合n】一个直角三角形的斜边为20 cm ,且两直角边的长度比为 3 : 4,求两直角边的长m的半圆形，一个长、宽、高分【综合n】如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC的高度.、【综合n】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有一个边长是10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少1尺，如果把这根芦苇【综合川】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的AC= 6 cm BC= 8 cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示, 重合的顶点记作A,顶点C在另一张纸的分隔线上，若BC= J28，则AB的长是__________类型三: “方程+等面积”求直角三角形斜边上的高3、直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为(A) 6(B)(C)田13(D)6013、面积问题•★4、【基础题】求出左下图中A、B字母所代表的正方形的面积U、【综合I 】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使它们的面积之和等于最大正方形 1的面积，尝试给出两种方案•、【综合I 】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm,2 则正方形 A , B, C , D 的面积之和为 ______________ cm.、【综合题】如右上图 2，以Rt △ ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB= 3,则图中阴影部分的面积为( )• 99 (A ) 9 ( B ) 3 (C ) ( D -42三、证明问题5、【综合川】如图，在直线I 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置 的四个正方形的面积依次是 S 3、S 4，则 S i + S 2 + S 3 + S 4 = ____________6、【综合川】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗说一说这个方 法和本节的探索方法的联系&【提高题】 如图，AD 是厶ABC 的中线，证明： AB 2+ AC 2=2(AD 2+ CD 2)7、【提高题】如右上图，在 Rt △ ABC 中，/ A = 90 , D 为斜边BC 的中点，DE ± DF,求证:EF 2= BE 2+ CF第2节 一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中/A 和/ DBC 都应为 直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗并求出四边形ABCD 勺面积. 、【综合I 】如左下图，6个三角形分别标号，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，请说明理由、【综合I】如右上图，在正方形ABCD中，AB = 4, AE = 2 , DF =1，图中有几个直角三角形，说明理由10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是（）（A）9，12，15 （B）15，32，39 （C）16，30，34、【基础题】（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗任意正整数倍呢说说你的理由。