山东省潍坊市2020-2021学年高三上学期期末统考数学试题及答案

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山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期期末统考化学试题

山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期期末统考化学2022.11.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考生号、座号填写在相应位置。

2.选择题答案必须使用2B铅笔( 按填涂样例)正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

保持卡面清洁，不折叠、不破损。

可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O18 F19 Cl35.5.一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1.化学与生活、生产密切相关。

下列说法错误的是A.利用植物油的加成反应可制得人造黄油B.借助红外光谱，可以获得有机化合物的相对分子质量C.甲醇作为21世纪具有竞争力的清洁燃料之一，可以与汽油混合作为汽车燃料D.市售漂白粉含有Ca(OH)2，工业上使用漂白粉常加入少量稀盐酸除去Ca( OH)2以增强漂白效果2.下列实验操作正确的是A.蒸馏时，温度计的水银球应插入液面以下B.常压蒸馏时，加入液体的体积不超过蒸馏烧瓶容积的C.中和滴定实验时，用待测液润洗锥形瓶D.将苯和浓硝酸混合后加热制备硝基苯3.X、Y、Z、W为原子序数依次增大的短周期元素。

X与Y可以形成多种化合物，X的基态原子的最高能级中未成对电子数等于Y原子最外层电子数的一半，Z的基态原子的p轨道电子数与s轨道电子数相等，Z与W 同周期，W是地壳中含量最高的金属元素。

下列说法正确的是A.简单离子半径：Y>W>ZB.第一电离能：I1(Y)>I1(X) >I1(Z)C. XY2-的空间构型为V形D.W的最高价氧化物对应水化物能溶于X的气态氢化物的水溶液4. NaCl 是一种化工原料，可以制备一系列物质(见下图)。

下列说法正确的是A.用阳离子交换膜法电解饱和食盐水时，阴极得到NaOH和H2B. BrCl 与Cl2性质相似，BrCl 可与Cl2反应得到Br2C.工业上制取NaHCO3时，向精制饱和食盐水中先通入CO2后通入NH3D.工业上制取NaHCO3时，过滤得到NaHCO3沉淀后的母液，经吸氨、降温冷析后，加NaCl盐析，可得到NaHCO3沉淀5. 是一种新型医用胶分子。

2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析专题05 三角函数与解三角形(原卷版)

专题5 三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225︒= （）A ．12-B ．2-C ．D ．1-2．（2020届山东省泰安市高三上期末）“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（）A ．10B ．10C ．2 D ．104．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20195．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（） A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π66．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．787．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数8．（2020届山东省九校高三上学期联考）如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OA OB r ==，弧AB 长为l （l r <）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥CD ，其中34OC OA =，34OD OB =.已知1(0,)2x ∈时，3sin 3!x x x ≈-，则廊桥CD 的长度大约为（）A ．323432r r l - B ．323432l l r - C ．32324l l r-D ．32324r r l-9．（2020·武邑县教育局教研室高三上期末（理））已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（） A ．-7B ．7C ．1D ．-110．（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位11．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．-1C D ．12．（2020届山东省济宁市高三上期末）在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r,则ABC ∆的面积为( )A ．12B ．1CD ．213．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π2414．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（） A ．13B ．16C ．43D ．5615．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是A ．1B C ．2D ．416．（2020届山东省烟台市高三上期末）若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-17．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（） A ．1B ．2C ．3D ．418．（2020届山东实验中学高三上期中）已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（） A ．-7B ．7C ．1D ．-119．（2020届山东省济宁市高三上期末）函数22cos cos 1y x x =-++，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．20．（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（） A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m21．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 23f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π22．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 二、多选题23．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（） A ．π-是()f x 的一个周期 B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 24．（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+25．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为26．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点27．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称28．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知()()22210f x cos x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（） A ．2ω= B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心29．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（） A ．a ，b ，c 依次成等差数列B C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列 D ．3a ，3b ，3c 依次成等差数列30．（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( )A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 31．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()()()sin 0,023f x x f x ππωϕωϕ⎛⎫=+><<- ⎪⎝⎭，为的一个零点，6x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()()0f x π在，上有且仅有7个零点，下述结论正确．．的是（） A ．=6πϕB ．=5ωC ．()()0f x π在，上有且仅有4个极大值点D ．()042f x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增32．（2019·山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+33．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象三、填空题34．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin 2x =______. 35．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为______.36．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知1tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα-+的值为________．37．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点1tan,1tan1212P ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是α终边上一点，则α的值是________. 38．（2020·全国高三专题练习（文））已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.39．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 40．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数()9sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,10x π∈时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则()12n n S x x -+=______.41．（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,||2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的最大值2π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，则当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为______.42．（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______．四、解答题43．（2020届山东省临沂市高三上期末）在①3cos 5A =，cos C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =o，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC V 的面积S . 44．（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x图象关于原点对称；②向量),cos 2m x x ωω=u r，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭r u r r ；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）若02πθ<<，且sin θ=()f θ的值；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．45．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积.46．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间；（2）若[0,2]x πÎ函数()f x 的最大值和最小值.47．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值：（2）求sin C 的值．48．（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.49．（2020届山东省泰安市高三上期末）如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠=o ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．50．（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .51．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23sin 2cos02A CB +-=. （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为3ABC ∆的周长.52．（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①2633()b a ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③6a =④2b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）53．（20203(cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin 3sin2A Cb A a += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，23,b =4a c +=，求ABC ∆的面积.54．（2020届山东师范大学附中高三月考）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2c A a C a +=．（1）求a b的值；（2）若1a =，7c =，求ABC V 的面积． 55．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.已知4a =，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ，求：（1）tan tan tan tan A A B C+的值；（2）BC 边上的中线AD 的长.56．（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程()10f x -=在(0,)π内有两个零点12,x x ，求12x x +的值；（2）若把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x 在[,]33ππ-上的最值. 57.（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;②252B C bsinasinB +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，32a =.(1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积58．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =，ABC ∆的面积为15，求b ，c 的值；（2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，求实数k 的取值范围.59．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数()()23sin cos sin 10f x x x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且6AC =，31CD =-，求三角形ABC 的面积.60．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知()()23sin sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. (1)若1210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭,求2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别,,a b c ,若有()2cos cos a c B b C -=,求角B 的大小以及()f A 的取值范围.61．（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.已知AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.62．（2020·全国高三专题练习（文））在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )(3sin sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③3=c b 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积.63．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()23sin cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求实数a 的值；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.64．（2020届山东实验中学高三上期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.。

2020-2021学年山东省潍坊市高三上学期期末考试英语试卷及答案

2020-2021学年山东省潍坊市高三上学期期末考试英语试卷及答案第一部分阅读（共两节，满分50分）第一节（共15小题；每小题2.5分，满分37.5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。

ABefore the December holiday craze and celebrations start,November is an ideal time to visit the southeast states to enjoy mild temperatures and unique festivals and events.South Carolina Pecan Festival in FlorenceHead to downtown Florence for this popular annual community event held the first Saturday of November.There are stages with live music,over250food and craft vendors,art exhibitions,amusement rides,antique tractor show,car show,and pecan cooking competition with celebrity judges.Seagrove Pottery Festival in North CarolinaThis yearly festival features hand-made pottery,colonial crafts,and pottery-making demonstrations. Pottery collectors can pick up some limited-edition pieces signed and dated by local potters.Always the weekend before Thanksgiving,the event starts on Friday,with a duration of three days.Mule Day in Calvary,GeorgiaLabeled as the largest one—day festival in southwest Georgia,this annual event,always held the first Saturday in November,features a sunrise breakfast,mule parade（骡子游行），fleamarket with hundreds of booths,a barbecue and fish fry,regional entertainment,and more.Mule Day celebrates the mules'significant contribution to the area's agriculture.Veterans Day Parade in Birmingham,AlabamaVeterans Day,a federal and state holiday in the United States,is always celebrated on November11th.There are events throughout the Southeast,including parades and ceremonies on or close to Veterans Day.1.What can people do at Pecan Festival?A.Appreciate art works.B.Watch music shows on screen.C.Drive modem tractors and cars.D.Buy food cooked by celebrities.2.Why is Mule Day celebrated?A.To boost the local market.B.To advocate cooking skills.C.To enhance the importance of economy.D.To honor mules for their role in agriculture.3.Which festival falls on November11th?A.Pecan Festival.B.Pottery Festival.C.Mule Day.D.Veterans Day.BCOLOMBO,Sri Lanka(AP)—During his leisure time,Mahinda Dasanayaka packs his motorbike with books and rides his mobile library—across mostly muddy roads running through tea-growing mountain areas—to underprivileged children in backward rural parts of Sri Lanka.Having witnessed the hardships faced by children whose villages have no library facilities, Dasanayaka,a child protection officer for the government,was looking for ways to help them.Then three years ago,he launched his program,called"Book and Me”.He purchased a second-hand Honda motorbike for30,000Sri Lankan rupees($162),On his off days—mostly during weekends—he rides his motorbike,which is fixed with a steel box to hold books,to rural villages and distributes the reading material to children free of charge.He began the pro gram in2017with150books—some of his own and others donated by friends colleagues and well-wishers.His collection includes about3,000books on a variety of subjects.So far,he said,his program has benefited more than1,500children,as well as about150adults.“I wanted to do something for children who are burdened with an exam-centered education...And to change the way kids look at society,to change their perspectives and broaden their imagination,M he said.Apart from giving away books,Dasanayaka also speaks to the children for a few minutes,usually under a roadside tree,highlighting the value of reading,books and authors.He then conducts a discussion on books the children have read,with the aim of eventually forming reading clubs.While Dasanayaka spends his own money on his program,he is not wealthy,with a take-home income of20,000rupees($108)a month from his job.He said he spends about a quarter of that on gasoline for his mobile library.4.How did Dasanayaka start"Book and Me”?A.With a large sum of money.B.With a used motorbike and150books.C.By subscribing to books for children.D.By borrowing a steel box from his workmate.5.What do we know about Dasanayaka from his words in Paragraph5?A.He is uncertain about his program.B.He is trying to better kids'living conditions.C.He is seeking to change kids'ways of thinking.D.He is optimistic about the existing schooling system.6.Why does Dasanayaka hold discussions on books kids read?A.To keep in touch with them.B.To prepare to start reading clubs.C.To check their reading assignments.D.To know about their preferences of books.7.What is the best title for the text?A.A Reading ProgramB.An Education OfficerC.A Library on WheelsD.A Motorbike on RoadCYou've likely encountered the humblebrag before-boasting（吹嘘）disguised as a complaint,such as："I'm having such a stressful day.I got two job offers and I don't know what to do.”This is a typical example of humblebragging,a term coined by comedic writer Harris Wittels referring to“a specific type of boast that allows the offender to broadcast their achievements without the necessary shame and guilt that should normally accompany such claims.”In simpler terms,it's a way to disguise a boast with some humility.Humblebragging comes in two different forms.The first is humility-based,an example being,"can't believe I got the highest grade in my class”.The second type comes mixed with a bit of complaint,for example,"I can't believe that shopkeeper asked me for ID.I'm 25!”People don't like when others humblebrag because they find they are lacking in sincerity. Sincerity is a critical dimension of social evaluation,which is viewed as fundamental to people's identity. In fact,people prize sincerity even above competence and warmth in others,according to Dr.Sezer.If humblebragging doesn't work,and no one likes it,why do we still do it?We all want to highlight our positive qualities without seeming proud.By speaking in a complaint or an expression of humility,we hope we'll somehow land on the“sweet spot"of self-presentation：promoting ourselves while also conveying likability.In addition,research suggests that people may experience positive emotions while humblebragging.Considering that we're all likely to feel the urge to humblebrag,at least to some extent,the proper response when we hear a friend doing it may be to simply let it go-because ultimately we're going to do it ourselves,and who really wants to be called out on it?8.Which of the following remarks is an example of humblebragging?A.How I hate hearing my voice on TV!B.I'm thrilled to be awarded the first prize.C.I'm the only person to get promoted in the firm.D.How I dislike doing the same thing every day!9.Which can best describe people's impression of humblebraggers?A.Honest.B.Humble.C.Insincere.D.Incapable.10.Why do people humblebrag?A.To lift up their spirits.B.To express their complaints.C.To improve their moral qualities.D.To show off without bringing annoyance.11.What are people advised to do when hearing humblebragging from a friend?A.Follow it up.B.Leave it alone.C.Turn against it.D.Get to the root of it.DThe twilight zone（朦胧地带）contains the largest and least explored fish stocks（储备）of the world's oceans.Ranging from just below200metres to1,000metres deep,it is an interface between the well-studied sea life in the sunlit zone above and the ecosystems of the darkest territory below.It has a major role in removing carbon dioxide from the atmosphere and storing it for centuries or longer.The twilight zone is also known to the largest migration on Earth.Huge numbers of fishes and zooplankton（浮游动物）move hundreds of metres towards the surface each night to feed,before withdrawing back down at dawn.Yet the zone is poorly understood—physically,biogeochemically and ecologically.Even the number of organisms that live there remains a mystery,let alone their diversity and function.It is alarming,then,that this vast ocean domain is at risk in three ways-even before any of the potential consequences are understood.First,the world's growing population has an increasing need for food.Second,sea-floor mining for minerals and metals could release waste into the region.And third, climate change is varying temperature,acidification and oxygen levels in ways that are likely to affect life there.The twilight zone is hard Io study.Its organisms are difficult to sample and analyse,being thinly distributed,almost invisible and often fragile.They also live at pressures of up to100atmospheres,which poses problems for laboratory-based investigations.Critics might argue that walers near coasts and above shelves are more deserving of study,given the huge environmental pressures there,as well as their importance to societies.And,of course,they need attention.Sadly,however,it is too late to avoid widespread environmental damage to these inshore regions. Instead,research efforts and local policies must aim at minimizing the worst effects.By contrast,the twilight zone is almost left in its original condition.Moreover,the majority of it lies beyond national administration.This makes it of common interest and responsibility,and means that global agreement is necessary to manage it.12.What can we learn about the twilight zone?A.It has the least fish stocks.B.It reduces atmosphere's carbon dioxide.C.It lies at the bottom of sea.D.Il is located above the sunlit zone.13.What does Paragraph3mainly tell us?A.Where global warming leads us.B.Why high food consumption arises.C.How the twilight zone is threatened.D.What impacts pollution has on ocean.14.What does the underlined word"it”in the last paragraph refer to?A.The twilight zone.B.The inshore area.C.Its original condition.D.National administration.15.Which statement does the author agree with?A.International cooperation is essential.B.Inshore regions deserve more attention.C.Global agreement has been reached.D.Study on the twilight zone is out of the question.第二节（共5小题;每小题2.5分，满分12.5分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。

潍坊市2020-2021学年高一上学期期中数学试题(解析版)

【详解】解：不等式组解得，所以不等式组的解集是，
关于的不等式解集包含，令，
，解得，
故选：．
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9.下列命题中是假命题的是（）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
举反例即可判断选项A、C，解方程即可判断选项B、D.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先求得集合A，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；
（2）分集合C为空集和不是空集两种情况分别建立不等式（组），可求得所求的范围.
【详解】解：（时，满足，即，解得．
【详解】对于A选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，A选项中的函数不合乎要求；
对于B选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上为减函数，B选项中的函数合乎要求；
对于C选项，当时，，则，
当时，，则，
又，所以，函数为奇函数，
当时，函数单调递减；当时，函数单调递减.
由于函数在上连续，所以，函数在上为减函数，C选项中的函数合乎要求；
画出函数的图象，如图所示：
对于：根据函数的图象，的定义域为，值域为，故错误；

山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题

高三数学2022． 1注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷，答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2. 回答选择题时，选出每小题答案后．用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共 8 小题，毎小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集 U =R ，集合 {}2|280A x x x =--，则 C U A ＝A ． []2,4-B ． []4,2-C ． ()(),42,∞∞--⋃+D ． ()(),24,∞∞--⋃+2. 如图，已知角 α 的顶点与坐标原点重合，始边为 x 轴正半轴，点 P 是角 α 终边上的一点，则 cos2α=A ． 5B ． 45- C ． 35- D ． 25- 3. 2021 年 12 月 9 日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的地面课堂同步进行．假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为 5:3，其中香港课堂女生占 35，澳门课堂女生占 13．若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是A ． 18B ． 38C ． 12D ． 584. "04x π<< "是 “ 0sin 4x π<< "的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 如图，某类共享单车密码锁的密码是由 4 位数字组成，所有密码中，恰有三个重复数字的密码个数为A ． 90B ． 324C ．360D ． 4006. 已知 1122212log ,3log ,log 3ca b a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A ．a b c <<B ． b a c <<C ． c a b <<D ． c b a <<7. 已知正方形ABCD 的边长为2，MN 是它的内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是A ．[0，1]B．⎡⎣ C ．[1，2]D ．[1,1]-8. 斐波那契数列又称"黄金分割数列"，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列{a n }可以用如下方法定义*12(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈12 1.a a == 则()22120220221,2,,2022i i a i a ==∑ 是数列 {}n a 的第几项?A ． 2020B ． 2021C ．2022D ． 2023 二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有须符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分．9. 已知曲线 22:(0)2x C y λλ-=<，则 A ．双曲线 C 的实轴长为定值B ．双曲线C 的焦点在 y 轴上C ．双曲线 C 的离心率为定值D ．双曲线 C 的渐进线方程为 2y x =± 10. 已知函数 ()x xx xe ef x e e --+=-，则下列结论中正确的是 A ． ()f x 的定义域为 RB ． ()f x 是奇函数()C.f x 在定义域上是减函数 D ． ()f x 无最小值，无最大值11. 已知函数 ()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭，现有如下四个命题：甲：该函数的最小值为；乙：该函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 π；丙：该函数的一个零点为23π；丁：该函数图像可以由 sin2cos2y x x =+ 的图像平移得到．如果有且只有一个假命题，那么下列说法正确的是A ．乙一定是假命题B ． ϕ 的值可唯一确定C ．函数 ()f x 的极大值点为 ()6k k Z ππ+∈ D ．函数 ()f x 图像可以由 cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 图像伸缩变换得到 12. 如图， ABCD 是边长为 5 的正方形，半圆面 APD ⊥ 平面 ABCD ．点 P 为半圆弧 AD 上一动点(点 P 与点 ,A D 不重合)．下列说法正确的是A ．三棱锥 P ABD - 的四个面都是直角三角形B ．三棱锥 P ABD - 体积的最大值为 1254C ．异面直线 PA 与 BC 的距离为定值D ．当直线 PB 与平面 ABCD 所成角最大时，平面 PAB 截四棱锥P ABCD - 外接球的截面面积为 (25324π三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．13. 复数 z 满足 i 2i z =- (其中 i 为虚数单位)．则 z =________．14. 已知圆锥的高为 1 ，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为________．15. 单板滑雪 U 型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进人决赛阶段的 12 名运动员控照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分．最终取每站三次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在 2021 赛季单板滑雪 U 型池世界杯分站比赛成绩如下表：分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第 2 次第 3 次第 1 次第 2 次第 3 次第1站 80．20 86.20 84.03 80.11 88.40 0假如从甲、乙 2 人中推荐 1 人参加 2022 年北京冬奧会单板滑雪 U 型池比赛，根据以上数据信息，你推荐________运动员参加，理由是________． (第一空 1 分，第二空 4 分)附：方差 ()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中 x 为 12,,,n x x x 的平均数．16. 过直线 40x y --= 上一点 (P 点 P 不在 x 轴上) 作抛物线 24x y = 的两条切线，两条切线分别交 x 轴于点 ,G H ，则 GHP 外接圆面积的最小值为________．四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (10分)已知公差不为 0 的等差数列 {}22116933,,3+=15n a a a a a a a =+，记[lg ]n n b a =，其中x 【】表示不超过 x 的最大整数，如 ][0.70,1.91⎡⎤==⎣⎦．(1) 求数列 {}n a 的通项公式；(2) 求数列 {}n b 前101项和．18. (12 分)已知 ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,,,63a b c A a π==，且sin sin B C += sin B C ⋅(1) 证明： 112b c +=； (2) 求 ABC 的面积．19. (12 分)我国脱贫攻坚经过 8 年奋斗，取得了重大胜利．为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了 10 件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38,70,50,43,48,53,49,57,60,69．经计算知上述样本质量指标平均数为 53.7，标准差为 9.9．生产合同中规定：所有农产品优质品的占比不得低于 15% (已知质量指标在 63 分以上的产品为优质品)．(1) 从这 10 件农产品中有放回地连续取两次，记两次取出优质品的件数为 X ，求 X 的分布列和数学期望．(2) 根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布 ()2,N μσ，其中 μ 近似为样本质量指标平均数， 2σ 近似为方差，那么这种农产品是否满足生产合同的要求? 请说明理由．附：若 ()2,X N μσ~，则 (22)0.9545,()0.6827P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=．20. (12 分)如图，在四棱锥 P ABCD - 中， AC BD O ⋂=，底面四边形ABCD 为菱形， 2,60AB ABC ∠==，异面直线 PD 与 AB 所成的角为 60．试在①PA BD ⊥， ②PC AB ⊥，③PA PC = 三个条件中选两个条件，使得 PO ⊥ 平面 ABCD 成立，请说明选择理由，并求平面 PAB 与平面 PCD 所成角的余弦值．21. (12 分)已知函数 ()()()221332x f x a x x x x e a -⎛⎫=++++∈ ⎪⎝⎭R ．(1) 当 1a =- 时，求曲线 ()y f x = 在点 ()()0,0f 处的切线方程；(2) 若函数 ()f x 有三个极值点 123,,x x x ，且 321x x x <<．证明： 3121120x x x ++>．22. (12 分)已知 ()()122,0,2,0A A - 分别为椭圆 2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的左、右顶点，点31,2H ⎛⎫⎪⎝⎭ 在椭圆上．过点 1,02D ⎛⎫⎪⎝⎭ 的直线交椭圆于两点 (,,P Q P Q 与顶点12,A A 不重合 )，且直线 1A P 与 21,A Q A Q 与 2A P 分别交于点 ,M N ．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设直线 1A P 的斜率为 1k ，直线 1A Q 的斜率为 2k ．①证明： 12k k ⋅ 为定值；②求 DMN 面积的最小值．。

第28讲正弦定理、余弦定理得应用(解析版)

2ab
4
6、(多选)下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC 中，若 A＞B，则 sin A＞sin B
B．在锐角三角形 ABC 中，不等式 sin A＞cos B 恒成立
C．在△ABC 中，若 acos A＝bcos B，则△ABC 必是等腰直角三角形
D．在△ABC 中，若 B＝60°，b2＝ac，则△ABC 必是等边三角形
＝2B 或 2A＝π－2B，故 A＝B 或 A＝π－B，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故 C 错误；对于 D，在 2
△ABC 中，若 B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以 ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2
＝0，解得 a＝c.又 B＝60°，所以△ABC 必是等边三角形，故 D 正确．故选 A、B、D.
方向，需 14.7 分钟才能追上走私船．
变式 3、如图，在某港口 A 处获悉，其正东方向距离 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西 30°距港口 10 海里的 C 处，救援船接到救援命令立即从 C 处沿直线前往 B 处营救渔船．
(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离； (2)试问救援船在 C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援？(已知 cos49°＝ 21)
3、(2019 苏锡常镇调研（一））在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 5a＝8b，A＝2B， A－π
则 sin 4 ＝________．【答案】、 17 2
50
2 / 21
【解析】、因为 5a＝8b，所以由正弦定理可得 5sinA＝8sinB，即 sinA＝8sinB，因为 A＝2B，所以 sinA＝sin2B 5

高考必考题—几何体中与球有关的切、接问题(含解析)

几何体中与球有关的切、接问题球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为r ＝R 2－d 2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 一、题型选讲题型一、几何体的外接球解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π例2、【2020年高考天津】若棱长为 A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π例3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知四棱锥P ABCD -的体积是ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为（）A ．BCD ．例5、（2020届山东省德州市高三上期末）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD =ED =P ADE -的外接球的体积为，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______.题型二、几何体的内切球求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．例6、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．例7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．二、达标训练1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（） A ．16πB ．20πC ．32πD ．64π2、【2020年高考全国II 卷理数】已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D 3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为A ．B ．C ．D ．5、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．6、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.若三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.7、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图，在三棱锥P -ABC 中，,PA AB ⊥PC BC ⊥，,AB BC ⊥22,AB BC ==PC =，则PA 与平面ABC 所成角的大小为________；三棱锥P -ABC 外接球的表面积是________.8、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为__________；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是__________．9、（2020届山东省滨州市高三上期末）在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC=________，该四面体外接球的表面积为________.10、（2020届山东省济宁市高三上期末）下图是两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形-的外接球的体积为ABCD，现将四边形ABCD沿BD折成直二面角A BD C--，则三棱锥A BCDcm．__________3一、题型选讲题型一、几何体的外接球解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r π=π=∴，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A.本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.例2、【2020年高考天津】若棱长为 A ．12π B ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=. 故选：C ．本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 例3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C【解析】边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,12R ==2452S ππ==，故选C.例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知四棱锥P ABCD -的体积是ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为（）A ．BCD ．【答案】A【解析】设AB 的中点为Q ，因为PAB ∆是等边三角形，所以PQ AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PQ ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的体积是13AB AB PQ =⨯⨯⨯13AB AB AB =⨯⨯，所以边长6AB =，PQ =OH x =，OM x =，()(222222R OA OM AM x==+=+，2222223R OP OH PH x ==+=+，x =2212321R =+=343V R π==球.故选：A.例5、（2020届山东省德州市高三上期末）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD =ED =P ADE -的外接球的体积为，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______.【答案】20π 【解析】四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥，即AD CE ⊥，且AD =ED =，所以，ADE ∆的外接圆半径为122AE r ===设鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，则3143R π=，解得12R =.PA ⊥平面ADE ，1R ∴=2PA ==PA ∴=正方形ABCD 的外接圆直径为22r AC ==22r ∴=，PA ⊥平面ABCD ，所以，阳马P ABCD -的外接球半径2R ==因此，阳马P ABCD -的外接球的表面积为22420R ππ=.故答案为：20π. 题型二、几何体的内切球求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．例6、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：2r，其体积：343V r =π=.故答案为：3. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.例7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．【解析】（1）因为16(12S =⨯⨯=. （2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，每个三角形面积是4，六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是6. 由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为R ，所以16()6349R R =⨯⨯⨯⇒=，所以球的体积334433V R ππ===.故答案为：. 二、达标训练1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（） A ．16π B ．20πC ．32πD ．64π【答案】D【解析】如图所示，因为正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则263AE ==6SE ===, 又由球心O 到四个顶点的距离相等，在直角三角形AOE 中，,6AO R OE SE SO R ==-=-，又由222OA AE OE =+，即222(6)R R =+-，解得4R =，所以球的表面积为2464S R ππ==，故选D.2、【2020年高考全国II 卷理数】已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D 【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则2416R π=π，解得：2R =.设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC △21224a ∴⨯=，解得：3a =，2233r ∴===，∴球心O 到平面ABC 的距离1d ==.故选：C ．本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，2R ==即344π33R V R =∴=π==，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴===， AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，，，PA PB PC ∴=== 又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D.本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为 A． B ． C．D ．【答案】B【解析】如图所示，设点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===，2ABC S AB ==△，6AB ∴=,点M 为三角形ABC 的重心，23BM BE ∴==，Rt OBM ∴△中，有2OM ==，426DM OD OM ∴=+=+=，()max 163D ABC V -∴=⨯= B.5、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2. 【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥，因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，1D E =，所以||EP ===所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E ，因为||||EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得22FG π==.. 6、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.若三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 【答案】13π【解析】如图：SA ⊥平面ABC ，则SBA ∠为直线SB 和平面ABC 所成的角，即3SBA π∠=在Rt SAB ∆中：tan3SA AB π=== 如图，设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心，连结,,,,OA OB GA GB OG ，则必有OG ⊥面ABC 在ABC ∆，2222cos 312162AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+-=，则1AC = 其外接圆半径122,1sin sin 6AC r r ABC π====∠，又1322OG SA ==，所以三棱锥S ABC -外接球半径为R ===该球的表面积为21344134S R πππ==⨯=, 故答案为：13π.7、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图，在三棱锥P -ABC 中，,PA AB ⊥PC BC ⊥，,AB BC ⊥22,AB BC ==PC =，则PA 与平面ABC 所成角的大小为________；三棱锥P -ABC 外接球的表面积是________.【答案】45︒ 6π【解析】如图，作平行四边形ABCD ，连接PD ，由AB BC ⊥，则平行四边形ABCD 是矩形．由BC CD ⊥，BC PC ⊥，PCCD C =，∴BC ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴BC PD ⊥，同理可得AB PD ⊥，又AB BC B ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,CD AB PC ===1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．由,PA AB ⊥PC BC ⊥知PB 的中点到,,,A B C P 的距离相等，PB 是三棱锥P -ABC 外接球的直径．由BC ⊥平面PCD 得BC PC ⊥，PB ===24()62PB S ππ==．故答案为：45︒；6π．8、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为__________；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是__________．【答案】52π 4π【解析】（1）由题,根据勾股定理可得AC AB ⊥,则可将三棱锥P ABC -可放入以,,AP AC AB 为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,即2r ==则r =,所以球的表面积为224452r πππ=⨯=；（2）由题,因为Rt ABC ,所以D 为底面ABC 的外接圆圆心,当DO ⊥截面时,截面面积最小,即截面为平面ABC ,则外接圆半径为2,故截面面积为224ππ⨯=故答案为：（1）52π；（2）4π9、（2020届山东省滨州市高三上期末）在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =________，该四面体外接球的表面积为________.【答案】68π【解析】因为2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =AB ==，因此222BC AC AB +=，则AC BC ⊥；取AB 中点为O ，连接OS ，OC ，则OA OB OC OS ====，所以该四面体的外接球的球心为O ，半径为OC=所以该四面体外接球的表面积为248S ππ=⋅=；又因为SA SB =，所以SO AB ⊥；因为底面三角形ABC 的面积为定值122AC BC ⋅=，SO ，因此，当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，为136ABC V S SO =⋅=.故答案为：(1).6(2). 8π10、（2020届山东省济宁市高三上期末）下图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________3cm ．【答案】【解析】由题设可将该三棱锥拓展成如图所示的正方体，则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为2l R ==即球的半径R =该球的体积343V R π==，应填答案．。

高考常考题—函数单调性的综合运用(含解析)

函数单调性的综合运用一、题型选讲题型一、运用构造法研究函数的单调性通过构造函数，研究函数的单调性，特别注意构造打方法要研究函数的形式特点，构造适当的函数，对于形式不明显的要给与变式。

例1、【2020年高考全国I 卷理数】若242log 42log a ba b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <例2、（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（） A ． B ．C ．D ．例3、（2018徐州二模）已知函数()e +1e x x f x -=-（e 为自然对数的底数），若2(21)42)(f x f x +->-，则实数x 的取值范围为．题型二、给定区间的单调性已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意已知函数()f x 单调递增（减）时，其导函数()'0f x ≥（0≤），勿忘等号。

例4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数. 若在上是单调递增函数，求的取值范围；例5、(2018无锡期末）若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．R ()f x ()()22f x f x +=-2x >()()()()2,11xf x f x f x f ''+>=若()12f x x <-(2,3)(),1-∞()()1,22,3⋃()(),13,-∞⋃+∞()()245x af x x x a R e=-+-∈()f x (),-∞+∞a例6、(2018苏州暑假测试）已知函数f(x)＝(ax 2＋x)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . 若f (x )在[－1，1]上是单调递增函数，求a 的取值范围；题型三含参区间的讨论求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解。

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山东省潍坊市2020—2021学年高三上学期期末统考
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．若(i)i 1i a b -=+(a ，b ∈R)，则1
i
a b +＝ A ．
1i 2+ B ．1i 2- C ．1i 2-+ D ．1i
2
-- 2．命题“0a ∀>，1
2a a +≥”的否定是
A ．0a ∃≤，12a a +<
B ．0a ∃>，1
2a a +<
C ．0a ∀≤，12a a +≥
D ．0a ∀>，1
2a a
+<
3．函数()e x f x =在点(0，(0)f )处的切线方程是
A ．y x =
B ．1y x =-
C ．1y x =+
D ．2y x =
4．音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声
音的公式是形如Asin y x ω=的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图1，2，3三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为
A ．()0.06sin10000.02sin15000.01sin3000f t t t t πππ=++
B ．()0.06sin5000.02sin 20000.01sin3000f t t t t πππ=++
C ．()0.06sin10000.02sin 20000.01sin3000f t t t t πππ=++
D ．()0.06sin10000.02sin 25000.01sin3000f t t t t πππ=++
5．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)的函数关系表达式为M
2000ln(1)v m
=+．如果火箭的最大速度达到12km/s ，则燃料的质量与火箭的质量的关系是
A ．6M e m =
B ．6M e 1m =-
C ．lnM ln 6m +=
D ．6
M e 1m
=- 6．已知某圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为
A B C ． D ．2π 7．已知抛物线C 1：212y x =，圆C 2：22(3)1x y -+=，若点A ，B 分别在上C 1，C 2上运动，点M(1，1)，
则AM AB +的最小值为
A ． 2
B ．5
C ．22
D ．3
8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)f x f x =-，当x ∈ ﹣1，1]时，()3f x x =，若函数
()()(2)g x f x k x =--的所有零点为i x (i ＝1，2，3，…，n )，当3
17k <<时，1
n
i i x =∑＝
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．设全集为U ，如图所示的阴影部分用集合可表示为 A ．A B B ．
U
A B C ．
U
(A B) B D ．
U
A B
第9题
第15题第16题
10．某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽
检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z 服从正态分布N(200，224)，则（附：224≈14.97，若Z~N(μ，2σ)，则P(μσ-＜Z ＜μσ+)＝0.6826，P(2μσ-＜Z ＜2μσ+)＝0.9544）
A ．P(185.03＜Z ＜200)＝0.6826
B ．P(200≤Z ＜229.94)＝0.4772
C ．P(185.03＜Z ＜229.94)＝0.9544
D ．任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间(185.03，229.94)内的件数约为8185件
11．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移
6
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，则以下说法正确的是 A ．函数()g x 在(0，6
π)上单调递增 B ．函数()y g x =的图象关于点(6π
-，0)对称
C ．()()2g x g x π-=-
D ．()()6
g g x π
≥
12．已知数列{}n a 满足：11n n n a a a +=+，11a =，设ln n n b a =(n N *∈)，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则下列选
项正确的是（ln2≈0.693，ln3≈1.099）
A ．数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减
B ．1ln3n n b b ++≤
C ．2020693S >
D ．212n n b b ->
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知a ＝(1，1)，b ＝2，且(a ＋b )·a ＝4，则向量a 与b 的夹角为．
14．已知双曲线2
221x y a
-=(a ＞0)的右焦点为F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，△OPF 的面积为
，则该双曲线的离心率为．
15．通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英
文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示．其中序号的编码规则为：①由10个阿拉伯数字和除I ，O 之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个英文字母．则采用5位序号编码的鲁V 牌照最多能发放的汽车号牌数为万张．（用数字作答）
16．如图，在底面边长为2，高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且
与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在①点(n a ，n S )在直线210x y --=上，②12a =，122n n S S +=+，③0n a >，11a =，
22112320n n n n a a a a +++-=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，．（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求n S ，并判断1S -，n S ，1n S +是否成等差数列，并说明理由．
18．（本小题满分12分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cosC ﹣c sinA ．（1）求A ；
（2）若c ＝2，且BC b ．
19．（本小题满分12分）
已知正方形ABCD 的边长为2，沿AC 将△ACD 折起到PAC 位置（如图），G 为△PAC 的重心，点E 在边BC 上，GE ∥平面PAB ．（1）若CE ＝λEB ，求λ的值；
（2）若GE ⊥PA ，求平面GEC 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为r (0＜r ＜1)，它们之间相互不影响．
（1）要使系统的可靠度不低于0.992，求r 的最小值；（2）当r ＝0.9时，求能正常工作的设备数X 的分布列；（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元．请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策?
21．（本小题满分12分）
已知点B 是圆C ：(x ﹣1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F(﹣1，0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）设曲线E 与x 轴的两个交点分别为A 1，A 2，Q 为直线x ＝4上的动点，且Q 不在x 轴上，OA 1与E 的另一个交点为M ，QA 2与E 的另一个交点为N ，证明：△FMN 的周长为定值．
22．（本小题满分12分）
已知函数1()e x f x ax -=-(a ∈R)在区间(0，2)上有两个不同的零点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：121x x a
>．。