2017版《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：4.3三角恒等变换
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第四章 三角函数、解三角形2 理
第二节 三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关2.(2016·四川，3)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度3.(2016·北京，7)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( ) A.t ＝12，s 的最小值为π6 B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π34.(2016·全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.55.(2016·全国Ⅱ，7)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C.x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 6.(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位7.(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π68.(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位10.(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 11.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B.πC.2πD.4π12.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 .13.(2016·全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到.14.(2015·浙江，11)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.15.(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m25－1.16.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值.17.(2015·重庆，18)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性.18.(2014·上海，1)函数y ＝1－2cos 2(2x )的最小正周期是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·长沙模拟)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A.1B.2C.4D.82.(2016·郑州检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )A.2或0B.－2或2C.0D.－2或03.(2016·衡阳模拟)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ，ω∈(－3，0)，若f (x )的最小正周期为π，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π4.(2016·山东师大附中模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π65.(2015·烟台模拟)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上随机取一个数x ，则使得tan x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，3的概率为( )A.13B.2πC.12D.236.(2015·广东江门模拟)函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是( )A.0B.π2C.πD.3π27.(2015·朝阳区模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期是2πB.图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C.图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D.函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π2上是增函数 8.(2016·上海静安二模)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.B [因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－ cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B.]2.D [由题可知,y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6,则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，选D. 3.A [点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.]4.B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]5.B [由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.] 6.B [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位.] 7.D [易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1，由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.]8.A [A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.] 9.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，故选C.]10.B [将y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，故选B.]11.B [∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.]12. 7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.]13.2π3 [y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.]14.π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32， ∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .]15.解 法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z ). (2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5).②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第四章 三角函数、解三角形3 理
3sin x ＋φ ⎪＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()⎛⎛1 3⎫ A. k π － ，k π ＋ ⎪，k ∈ZB. 2k π － ，2k π ＋ ⎪，k ∈Z⎛ 1 ⎛1 3⎫ C. k － ，k ＋ ⎪，k ∈ZD. 2k － ，2k ＋ ⎪，k ∈Z为 π ，当 x ＝ 时，函数 f (x )取得最小值，则下列结论正确的是()4.(2015·天津，15)已知函数 f (x )＝sin 2x －sin 2x － ⎪，x ∈R. (2)求 f (x )在区间⎢－ ， ⎥上的最大值和最小值.4 4⎭ 4⎭第三节 y ＝Asin ω x ＋φ 的图象和性质及其综合应用A 组 三年高考真题（2016～2014 年）1.(2015·陕西，3)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y ＝⎛π ⎫ ⎝ 6 ⎭A.5B.6C.8D.102.(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数 f (x )＝cos(ω x ＋φ )的部分图象如图所示，则 f (x )的单调递减区间为()⎝⎝ 4 4⎭⎝ 4⎝4 4⎭ 3.(2015·安徽，10)已知函数 f (x )＝A sin(ω x ＋φ )(A ，ω ，φ 均为正的常数)的最小正周期2π3A.f (2)<f (－2)<f (0)B.f (0)<f (2)<f (－2)C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2)⎛ π ⎫ ⎝ 6 ⎭(1)求 f (x )的最小正周期；⎡ ππ ⎤ ⎣ 3 4 ⎦5.(2015·湖北，17)某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<⎪在某ωx＋φ0ππ3πy＝g(x)图象的一个对称中心为⎛5π，0⎪，求θ的最小值.关系：f(t)＝10－3cos t－sin t，t∈[0,24).1.(2016·河北衡水中学模拟)若函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且OM·ON＝0，则A·ω＝A. B. C.π D.π2.(2016·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ) A＞0，ω＞0，|φ|＜⎪的部分⎛π⎫⎝2⎭一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：222πxA sin(ωx＋φ)0π355π6－50(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若⎫⎝12⎭6.(2014·湖北，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数ππ1212(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？B组两年模拟精选(2016～2015年)π2→→()π7π7761263⎛π⎫⎝2⎭图象如图所示，则f(x)的递增区间为()A. －＋2kπ，＋2kπ⎪，k∈ZB. －＋kπ，＋kπ⎪，k∈ZC. －＋2kπ，＋2kπ⎪，k∈ZD. －＋kπ，＋kπ⎪，k∈Z5π5π12125π5π66A.y＝sin x＋⎪B.y＝sin 2x－⎪C.y＝cos 4x－⎪D.y＝cos 2x－⎪⎛1⎫⎛1⎫⎛π⎫4.(2015·辽宁丹东模拟)设函数f(x)＝sin x＋θ⎪－3cos x＋θ⎪|θ|<⎪，且其图象⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎛3π⎫⎝⎝2⎭⎝2⎝2⎭A. 0，⎪ B. ，π⎪ C. －，－⎪ D. ，2π⎪5.(2015·河北正定模拟)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) ω>0，－<φ<⎪的图象关于直线π⎫π⎫6⎭6⎭3⎭x＝2π对称，它的周期为π，则(⎛1⎫A.f(x)的图象过点 0，⎪B.f(x)在⎢π，2π⎤上是减函数⎛5π⎫C.f(x)的一个对称中心是 ，0⎪6.(2016·辽宁五校协作体模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象⎛⎝6⎭⎪⎛π⎫⎛π⎫⎝12⎭⎝12⎭⎛π⎫⎛π⎫⎝6⎭⎝6⎭3.(2016·四川成都模拟)下列函数中，图象的一部分如图所示的是()⎛π⎫⎛⎛⎛π⎫⎝⎝⎝⎝6⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭关于y轴对称，则函数y＝f(x)的一个单调递减区间是()2⎭4⎭⎛ππ⎫⎝22⎭3)⎝2⎭⎣123⎦⎝12⎭D.将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到y＝2sinωx的图象π2如图，令a n＝fnπ⎫，则a1＋a2＋a3＋…＋a2014＝.⎛1⎫图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，则f ⎪的值为. 8.(2016·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝A cos2(ωx＋φ)＋1 A>0，ω>0，0<φ<⎪的最大(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及g(x)2.D[由图象知＝－＝1，∴T＝2.由选项知D正确.]3.A[由于f(x)的最小正周期为π,∴ω＝2,即f(x)＝A sin(2x＋φ),又当x＝时,2x＋φ＝＋φ＝2kπ－，∴φ＝2kπ－，又φ>0，∴φ＝，故f(x)＝A sin 2x＋⎪.6⎝6⎭1⎛π⎫⎛⎛13π⎫于是f(0)＝A，f(2)＝A sin 4＋⎪，f(－2)＝A sin －4＋⎪＝A sin －4⎪，π5ππ7ππ⎛π⎫又∵－<－4<<4－<，其中f(2)＝A sin 4＋⎪6⎭6⎭7.(2016·北京昌平区模拟)已知偶函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分⎝3⎭⎛π⎫⎝2⎭值为3，f(x)的图象与y轴交点坐标为(0，2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝.9.(2015·皖南八校三模)已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋23sinωx cosωx－1(ω＞0)的图象的两相邻交点之间的距离为π.(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；π4取得最大值时x的取值集合.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.C[由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.∴ymax＝k＋3＝8.]T512442π3 4ππ11π326minπ⎛π⎫2⎝⎝⎝6⎭26662⎝6⎭⎡ ⎛ π ⎫⎤ ⎛5π ⎫ ⎛13π ⎫＝A sin ⎢π － 4＋ ⎪⎥＝A sin －4⎪，f (－2)＝A sin －4⎪－4⎪⎥＝A sin 4－7π ⎫ ＝A sin ⎢π － ⎡ ⎛13π ⎫⎤ ⎛⎝ 6 ⎭⎦ ⎝6 ⎭ ⎪.又 f (x )在 － ， ⎪单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选 A.]1－cos 2x － ⎪f (x )＝ － ＝ cos 2x ＋ sin 2 x ⎪－ cos 2x ＝ sin 2x － cos＝ sin 2x － ⎪.所以 f (x )的最小正周期 T ＝2π ＝π .(2)因为 f (x )在区间⎢－ ，－ ⎥上是减函数，在区间⎢－ ， ⎥上是增函数，6 ⎭⎦ 3 ⎭ 1⎛1 π ⎤ 6 ⎦ f － ⎪＝－ ，f － ⎪＝－ ,f ⎪＝ 所以 f (x )在区间⎢－ ， ⎥上的最大值为 ，最小值为－ .ω ＝2，φ ＝－ .数据补全如下表：⎣ ⎝ ⎝ 6 ⎭ ⎝ 6 ⎭⎣⎛ ππ ⎫ ⎝ 2 2 ⎭4.解 (1)由已知，有⎛π ⎫ 1－cos 2x ⎝ 3 ⎫ 13 1 2 2 2⎝2 2 ⎭ 24 42x1 ⎛ π ⎫2 ⎝6 ⎭2⎡ π ⎡ ππ ⎤ ⎣ 3 ⎣ 6 4 ⎦⎝3⎭4⎝6⎭2⎝4⎭⎛ π ⎫ 1 ⎛ π ⎫ 1⎛π ⎫ 3 4，⎡ π π ⎤ 3 1 ⎣ 3 4 ⎦4 212且函数表达式为 f (x )＝5sin 2x － ⎪.(2)由(1)知 f (x )＝5sin 2x － ⎪，得 g (x )＝5sin 2x ＋2θ － ⎪.令 2x ＋2θ － ＝k π ，解得 x ＝ ＋ －θ ，k ∈Z.由于函数 y ＝g (x )的图象关于点5π，0⎪成中心对称，令k π ＋ －θ ＝5ππ ⎫6 ⎭π 6ω x ＋φ0 π 2π 3π 22πxA sin(ω x ＋φ )π 120 π 35 7π 120 5π 6－513π⎛ π ⎫ ⎝6 ⎭⎛ ⎛ π ⎫ ⎝⎝ 6 ⎭因为 y ＝sin x 的对称中心为(k π ，0)，k ∈Z.π k π π 6212⎝ 12 ⎭21212⎫ π ，5－ ，k ∈Z.由 θ >0 可知，当 k ＝1 时，θ 取得最小值 .6.解 (1)因为 f (t )＝10－2cos ＋ sin12 212 ⎭⎝2 12⎝3 ⎭ －1≤sin t ＋ ⎪≤1.＋ ＝1；3 ⎭⎝12当 t ＝14 时，sin t ＋ ⎪＝－1.＋ ，故有 10－2sin t ＋ >11，即 sin t ＋ <－ . ⎪ ⎪ ⎪由OM ·ON ＝0，得 3 11π π 3π π⎛11 ⎫ ∵|φ |＜ ，∴φ ＝－ .所以 f (x )＝2sin 2x － ⎪，又 x ＝ 时，y ＝sin 2× ＋α ⎪＝1，∴ ＋α ＝2k π ＋ (k ∈Z)，解得 θ ＝k ππ ⎫⎛ 3 π ⎛π t ⎪＝10－2sin t ＋ ⎪， 又 0≤t <24，所以 ≤ t ＋ < ，由(1)得 f (t )＝10－2sin ⎛π t π ⎫ 又 0≤t <24，因此 < t ＋ < ，即 10<t <18.T π π ⎛π ⎫ ⎛ 7 ⎫ 1.C [由题中图象知 ＝ － ，∴T ＝π ，∴ω ＝2.则 M ，A ⎪，N π ，－A ⎪，2＝A ，∴A ＝ π ，∴A ·ω ＝π .故选 C.] 2.B [A ＝2， T ＝ － ＝ ，所以 T ＝π ，ω ＝2.由 f π ⎪＝－2 得 φ ＝2k π － π 5π ⎫π ⎛ ⎛由 2x － ∈ 2k π － ，2k π ＋ ⎪(k ∈Z)，得 x ∈ k π － ，k π ＋ ⎪(k ∈Z).] 3.D [设 y ＝sin(ω x ＋α )，ω >0，α ∈ － ， ⎪，T π⎛π ⎫ π 2π 由 ＝ － － ⎪＝ ，解得 T ＝π ，∴ω ＝ ＝2， ⎛ ⎪2 2 ⎭ππ 2 3 6tπ π π 7π3 12 3 3⎛π π ⎫⎝12 3 ⎭当 t ＝2 时，sin π t π ⎫⎛π π ⎫ ⎝12 3 ⎭于是 f (t )在[0，24)上取得最大值 12，取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为 12℃，最低温度为 8℃，最大温差为 4℃.(2)依题意，当 f (t )>11 时实验室需要降温.⎛π π ⎫ ⎛π π ⎫ 1⎝12 3 ⎭ ⎝12 3 ⎭ ⎝123 ⎭ 27π π π 11π6 12 3 6故在 10 时至 18 时实验室需要降温.B 组 两年模拟精选(2016～2015 年)4 3 12 ⎝12 ⎭ ⎝12 ⎭→ →7π 2 7 7 122 12 64 12 6 4 ⎝12 ⎭ 3(k ∈Z)，π π ⎛π ⎫ 2 3 ⎝3 ⎭3 ⎝⎝12 12 ⎭⎛ ππ ⎫ ⎝ 2 2 ⎭4 12 ⎝ 6 ⎭ 4 Tπ ⎛ π ⎫π π 12 ⎝ 12 ⎭ 6 2又 α ∈ － ， ⎪，∴α ＝ ，∴y ＝sin 2x ＋ ⎪＝cos 2x － ⎪，故选 D.]⎛1 ⎫ ⎛1 ⎫ ⎛1 π ⎫ 4.C [因为 f (x )＝sin x ＋θ ⎪－ 3cos x ＋θ ⎪＝2sin x ＋θ － ⎪的图象关于 y 轴对π π1 ⎛ π π ⎫ 称且|φ |< ，所以 θ ＝－ ，所以 f (x )＝－2cos x 在 － ，－ ⎪递减，故选 C.]5.C [因为设函数 f (x )＝2sin(ω x ＋φ )(ω >0，－ <φ < )的图象关于直线 x ＝ 对π π ⎛5π ⎫ 6 6 ⎝ 12 ⎭＝0，所以 f (x )的一个对称中心是 ⎛5π ，0⎪，故选 C.]6.0 [ T ＝ － ＝ ，T ＝π ，故 ω ＝ ＝ ＝2，则 f (x )＝sin(2x ＋φ )，又 f (x )⎛π ⎫ 图象过点 ，1⎪.∴1＝sin 2× ＋φ ⎪，又|φ |< ，∴φ ＝ ，∴f (x )＝sin 2x ＋ ⎪，∴a 1＝sin 2× ＋ ⎪＝1， a 2＝sin 2×＋ ⎪＝ ， a 3＝sin 2× ⎛ π π ⎫ ⎛ 2π π ⎫ 1 ⎛ 3π π ⎫ 1 6 6 ⎭6 6 ⎭ 2 6 6 ⎭ 2 ＋ ⎪＝－ ， a 4＝sin2×⎛ 4π π ⎫ ⎛ 5π π ⎫ 1 ⎛ 6π π ⎫ 1＋ ⎪＝－1， a ＝sin 2× ＋ ⎪＝－ ， a ＝sin 2× ＋ ⎪＝ ，⎝6 6 ⎭ ⎝ ⎝ 6 6 ⎭ 2 a 7＝sin 2× ＋ ⎪＝1， a 8＝sin 2×⎛ 7π π ⎫ ⎛ 8π π ⎫ 1 6 6 ⎭6 6 ⎭ 2 ＋ ⎪＝ ， ……7. △[ KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，所以 A ＝ ，T ＝2，ω ＝ ＝ π ⎫π 3 ⎭3 π π 6 2 6 π 1 ⎛ ⎛1⎫ 1 ，∴ f (x )＝ sin π x ＋ ⎪，所以 f ⎪ ＝ 2 ⎭ ⎛π π ⎫ 1 ⎝ 3 2 ⎭ 48. 4030 [ 函数 f (x ) ＝ A cos 2(ω x ＋ φ ) ＋ 1＝ cos(2ω x ＋ 2φ ) ＋ ＋ 1(A >0， ω >0 ，0<φ < )的最大值为 3，所以 A ＝2，其相邻的两条对称轴的距离为 2，所以 ω ＝，所以 f (x ) ＝cos x ＋2φ ⎪＋2(A >0，ω >0，0<φ < )，又 f (x )的图象与 y 轴交点坐标为(0，2)，所以⎛ π π ⎫ ⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ 2 2 ⎭ ⎝ ⎝ 6 ⎭⎝2 ⎭ ⎝2 ⎭ ⎝23 ⎭2 6 2 ⎝ 24 ⎭π π2π 2 2 3称，它的周期为 π ，所以 φ ＝ ，ω ＝2，所以 f (x )＝2sin(2x ＋ )，因为 f ⎪⎫ ⎝ 12 ⎭1 5π π π 2π 2π4 12 6 4 T π⎝ 6 ⎭⎛ π ⎫ ⎛π ⎫ ⎝ ⎭ ⎝6 ⎭⎝⎝ ⎝5 6⎝⎝观察规律可知 a n 的取值变化以 6 为周期，且每一个周期内的和为 0，又 2014＝6×335＋4，1 1则 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋a 2 014＝1＋2－2－1＝0.1 1 2π4 2 Tπ ，又 f (x )是偶函数， 0<φ <π ，所以 φ ＝ 2 2 ⎝ ⎝3⎭ 2sin ＋ ⎪＝ .A A2 2ππ 24⎛π ⎫π ⎝ 2 ⎭ 2φ ＝ ，f (x )＝－sin x ＋2， 2sin 2ω x － ⎪.＝π ，即 ω ＝1，所以 f (x )＝2sin 2x － ⎪. 令 2k π － ≤2x － ≤2k π ＋ ，其中 k ∈Z ，解得 k π － ≤x ≤k π ＋ ，其中 k ∈Z ， 即 f (x )的单调递增区间为⎢k π － ，k π ＋ ⎥，k ∈Z.(2)g (x )＝f x ＋ ⎪＝2sin ⎢2 ⎝x ＋ ⎪⎭－ ⎥＝2sin 2x ＋⎪，2sin 2x ＋ ⎪＝2，即 sin 2x ＋ ⎪＝1，即 2x ＋ ＝2k π ＋ ，其中 k ∈Z.解得 x ＝k π ＋(k所以当 g (x )取得最大值时 x 的取值集合为⎨x ⎪x ＝k π ＋ ，k ∈Z ⎬.⎩ ⎪⎭⎡⎛ π ⎫ π ⎤ π ⎫3 ⎭π π4 2而 f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8，且周期为 4，所以 f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503×8＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝4 030.]9. 解 (1)f (x )＝2sin 2ω x ＋2 3sin ω x ·cos ω x -1＝1-cos 2ω x ＋ 3sin 2ω x -1＝⎛ π ⎫⎝6 ⎭由题意可知函数的周期 T ＝2ω ⎝ 6 ⎭π π π π π 26 2 63⎡ π π ⎤ ⎣6 3 ⎦⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭⎣ 46 ⎦⎝3 ⎭则 g (x )的最大值为 2，此时有∈Z)，⎧⎪π⎫128。
2017版《三年高考两年模拟》数学(理科)汇编专题：第四章 三角函数、解三角形(非常完整)
第一节 三角函数的概念、同角三角函数 基本关系式及诱导公式A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅲ，5)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825C.1D.16252.(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A.1B.2C.3D.4 3.(2014·大纲全国，3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >bB 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河北唐山模拟)给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9；其中符号为负的有( )A.①B.②C.③D.④2.(2016·山东菏泽模拟)设角α的终边与单位圆相交于点P ⎝⎛⎭⎫35，－45，则sin α-cos α的值是( ) A.－75 B.－15 C.15 D.753.(2015·河北正定模拟)已知角α的终边经过点P (m ，4)，且cos α＝－35，则m ＝( )A.－3B.－92C.92 D.34.(2015·辽宁丹东模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则tan α＝( ) A.43 B.34 C.－34 D.±345.(2015·蚌埠市模拟)设a ＝tan 130°,b ＝cos(cos 0°)，c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋120,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >b >c D.b >c >a6.(2016·太原模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin αcos α＝－1225，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于 . 7.(2016·河北邢台模拟)已知α为第三象限角,且sin α＋cos α＝2m ，sin 2α＝m 2，则m 的值为 . 8.(2016·山东日照模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)若sin θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫5π12－θ.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.A [tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.2.C [cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.]3.C [∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a .又∵c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C.]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.C [sin(-1000°)＝sin 80°>0;cos(-2200°)＝cos(-40°)＝cos40°>0，tan(-10)＝tan(3π-10)<0；sin 7π10·cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，故选C.] 2.A [由题意，sin α＝－45，cos α＝35，sin α－cos α＝－45－35＝－75，故选A.]3.A [cos α＝m 16＋m 2＝－35，∴m ＝－3，故选A.]4.B [因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，故选B.]5. B [a ＝tan 130°<0，b ＝cos(cos 0°)＝cos 1，∴0<b <1；c ＝1，故选B.]6.17 [因为sin αcos α＝－1225，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α－cos α＝75， 所以sin α＝35，cos α＝－45⇒tan α＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11＋34＝17.]7.－33 [ (sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α所以m 2＋1＝4m 2，m 2＝13，又α为第三象限角， 所以sin α<0，cos α<0，m ＝－33.] 8.解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π6＝3sin π3＝332. (2)∵sin θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，f ⎝⎛⎭⎫5π12－θ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫5π12－θ＋π6＝3sin(π－2θ)＝3sin 2θ＝6sin θcos θ＝6×45×35＝7225.第二节 三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关2.(2016·四川，3)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度3.(2016·北京，7)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π34.(2016·全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A.11 B.9 C.7 D.55.(2016·全国Ⅱ，7)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称A.x ＝k π2－π6(k ∈Z )B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C.x ＝k π2－π12(k ∈Z )D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z )6.(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位7.(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π68.(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位10.(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 11.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B.πC.2πD.4π12.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 .13.(2016·全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到.14.(2015·浙江，11)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间15.(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m 25－1.16.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值.17.(2015·重庆，18)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性.18.(2014·上海，1)函数y ＝1－2cos 2(2x )的最小正周期是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·长沙模拟)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A.1B.2C.4D.82.(2016·郑州检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A.2或0B.－2或2C.0D.－2或03.(2016·衡阳模拟)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ，ω∈(－3，0)，若f (x )的最小正周期为π，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π2，0B.⎝⎛⎭⎫－π6，π3C.⎝⎛⎭⎫π3，5π6D.⎝⎛⎭⎫π2，π 4.(2016·山东师大附中模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π65.(2015·烟台模拟)在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上随机取一个数x ，则使得tan x ∈⎣⎡⎦⎤－33，3的概率为( )A.13B.2πC.12D.236.(2015·广东江门模拟)函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝⎛⎭⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是( )A.0B.π2C.πD.3π27.(2015·朝阳区模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( ) A.函数f (x )的最小正周期是2π B.图象C 关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称C.图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，π2上是增函数 8.(2016·上海静安二模)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.B [因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12， 其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B.]2.D [由题可知,y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6,则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，选D.3.A [点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ， 故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.]4.B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.] 5.B [由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.] 6.B [∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位.] 7.D [易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1， 由①知⎩⎨⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.]8.A [A 选项：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.] 9.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos 3⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，故选C.] 10.B [将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，故选B.] 11.B [∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.]12. 7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.]13.2π3 [y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.]14.π ⎣⎡⎦⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32， ∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .] 15.解 法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z ).(2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5).②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。
新高考高三二轮总复习文科数学习题汇编---三角恒等变换Word版含解析
新高考高三二轮总复习文科数学习题汇编课 时 跟 踪 检 测[基 础 达 标]1．(2017届南宁质量检测)已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( ) A.23 B.64 C.223D.326解析：由3sin2α＝2cos α，得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 答案：C2．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A.118 B.1718 C.89D.29解析：由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718. 答案：B3．(2018届东北四市联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos π6＋α，则cos2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1， ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0.答案：D4．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于( )A ．－2B ．－1C ．－211D.211解析：由题意，可得cos2α＝－45，则tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan (α－β)1＋tan2αtan (α－β)＝－2. 答案：A5．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，在等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α＝( )A.45 B ．－45 C.35D ．－35解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75.① 由cos2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725， 所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725.② 由①②可得cos α＋sin α＝－15.③ 由①③可得sin α＝35. 答案：C7．若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( )A ．－210 B.210 C.5210D.7210解析：∵sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin2α＋22cos2α＝22×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－210.答案：A8．已知cos(α＋β)＝16，且cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________． 解析：因为cos(α＋β)＝16， 所以cos αcos β－sin αsin β＝16.① 因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.② ①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112. 所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13. 答案：139．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a ，tan αtan β＝3a ＋1， ∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴a ，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π4. 答案：－3π410．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan ()α＋β的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝5π4.11．(2017届广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin2θ－cos2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝2425， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin2θ－cos2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250. 12．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f 4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017，得sin α＝1517，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，得cos β＝45，又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ 817×45－1517×35＝－1385.[能 力 提 升]1．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116 C.116 D.18 解析：cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80° ＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20° ＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18. 答案：A2．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)＝( )A ．－12 B.12 C ．－13D.2327解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，因为cos α＝13，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin2α＝1－cos 22α＝429.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.故选D. 答案：D3．(2018届合肥质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ， ∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。
2017版《3年高考2年模拟》高考数学(山西专用,理)训练：第4章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数A组基础题组1.给出下列四个命题:①角-是第二象限角;②角是第三象限角;③角-400°是第四象限角;④角-315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A. B. C.- D.-3.已知角α的终边上有一个异于原点的点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( )A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]4.已知α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cos α=x,则x=( )A. B.± C.- D.-5.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是( )A.2B.sin 2C.D.2sin 16.在与2 010°角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为.7.已知点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则角θ是第象限角.8.在直角坐标系中,O是原点,点A的坐标为(,1),将点A绕O逆时针旋转90°到B点,则B点坐标为.9.角α的终边上的点P与点A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与点A关于直线y=x对称,求++的值.10.已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长.B组提升题组11.已知角θ是第四象限角,则sin(sin θ)( )A.大于0B.大于或等于0C.小于0D.小于或等于012.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为( )A.1B.-1C.3D.-313.若三角形的两个内角为α,β,且sin αcos β<0,则该三角形的形状为.14.设角α是第三象限角,且=-sin ,则角是第象限角.15.如图所示,动点P,Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求点P,点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.答案全解全析A组基础题组1.C 角-是第三象限角,故①错误;=π+,从而角是第三象限角,故②正确;-400°=-360°-40°,从而③正确;-315°=-360°+45°,从而④正确.故选C.2.C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.故A、B不正确,又因为拨快10分钟,故转过的角的大小应为圆周的.故所求角的弧度数为-×2π=-.3.A 由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上,所以有-,,即-2<a≤3.4.D 依题意得cos α==x<0,由此解得x=-,选D.5.C 由题设可知,圆弧所在圆的半径r=,∴该圆心角所对的弧长为l=2r=.6.答案-π解析 2 010°=π=12π-,∴与2 010°角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为-.7.答案二解析因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,所以sin θcos θ<0,2cos θ<0,即, ,所以θ为第二象限角.8.答案(-1,)解析依题意知OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°,设点B的坐标为(x,y),则x=2cos 120°=-1,y=2sin 120°=,即B(-1,).9.解析由题意可知点P(a,-b),则sin α=,cos α=,tan α=-,由题意可知点Q(b,a),则sin β=,cos β=,tan β=,∴++=-1-+=0.10.解析设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α.(1)由题意可得, ,解得,或,,∴α==或6.(2)∵2r+l=8,∴S扇形=lr=l·2r≤=×=4,当且仅当2r=l,即α==2时,扇形面积取得最大值4.此时r=2,AB=2sin 1×2=4sin 1.B组提升题组11.C ∵角θ为第四象限角,∴-1<sin θ<0,令α=sin θ,则-1<α<0,∴角α为第四象限角,∴sin α=sin(sin θ)<0.12.B 由α=2kπ-(k∈Z)知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.13.答案钝角三角形解析∵sin αcos β<0,且α,β为三角形的内角,∴sin α>0,cos β<0,∴β为钝角.故三角形为钝角三角形.14.答案四解析由α是第三象限角,知2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),∴kπ+<<kπ+(k∈Z),则是第二或第四象限角,又=-sin ,所以只能是第四象限角.15.解析设P,Q第一次相遇时所用的时间是t,则t·+t·-=2π. 所以t=4(秒),即第一次相遇时所用的时间为4秒.设第一次相遇时,相遇点为C,则∠COx=·4=,则P点走过的弧长为π·4=π,Q点走过的弧长为π·4=π;x C=-cos ·4=-2,y C=-sin ·4=-2.所以C点的坐标为(-2,-2).。
2017版《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：12几何证明选讲
A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·天津，5)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，则线段NE 的长为( )A.83B.3C.103D.522.(2014·天津，6)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·F A :③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( )A.①②B.③④C.①②③D.①②④3.(2016·全国Ⅱ，22)如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.4.(2016·全国Ⅲ，22)如图，⊙O 中AB ︵的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点.(1)若∠PFB ＝2∠PCD ，求∠PCD 的大小；(2)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .5.(2016·全国Ⅰ，22)如图，△OAB 是等腰三角形；∠AOB ＝120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆.(1)证明：直线AB与⊙O相切；(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.6.(2015·广东，15)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC ＝1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.7.(2015·重庆，14)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若P A＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________.8.(2015·江苏，21)如图,在△ABC中,AB＝AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证：△ABD∽△AEB.9.(2015·湖南，16)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.10.(2015·陕西，22)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径.11.(2015·新课标全国Ⅱ，22)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC 交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积.12.(2014·湖北，15)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过P A的中点Q作割线交⊙O于C，D两点.若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.13.(2014·湖南，12)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于________.14.(2014·陕西，15B)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝______.15.(2014·广东，15)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________.16.(2014·新课标全国Ⅱ，22)如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B 、C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明： (1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2.17.(2014·新课标全国Ⅰ，22)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE . (1)证明：∠D ＝∠E ；(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·安阳调研)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝35，BD＝4，则线段AF的长为________.2.(2016·合肥检测)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.3.(2016·石家庄模拟)如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和CGE都是⊙O 的割线，AC＝AB.(1)证明：AC2＝AD·AE；(2)证明：FG∥AC.4.(2016·哈师大附中模拟)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，P A是过点A的直线，且∠P AC＝∠ABC.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)如果弦CD交AB于点E，AC＝8，CE∶ED＝6∶5，AE∶EB＝2∶3，求sin∠BCE.5.(2016·长春模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F 为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N.(1)求证：B、E、F、N四点共圆；(2)求证：AC2＋BF·BM＝AB2.6.(2016·豫南九校3月模拟)如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F.(1)证明：A，E，F，M四点共圆；(2)若MF＝4BF＝4，求线段BC的长.7.(2015·昆明调研)如图，直线PC与圆O相切于点C，割线P AB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CE＝________.8.(2015·湖南十三校联考)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ＝2BF ，若CE 与圆相切，且CE ＝72，则BE ＝________.9.(2015·湖北孝感模拟)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC ＝4，则AD ＝________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.A [根据相交弦定理可知，CM ·MD ＝AM ·MB ＝29AB 2＝8，CN ·NE ＝AN ·NB ＝29AB 2＝8，而CN ＝3，所以NE ＝83.选A.]2.D [①∠FBD ＝∠BAD ，∠DBC ＝∠DAC ，故∠FBD ＝∠CBD ，即①正确.由切割线定理知②正确.③△BED ∽△AEC ，故BE DE ＝AE CE，当DE ≠CE 时，③不成立.④△ABF ∽△BDF ，故AB AF ＝BD BF，即AB ·BF ＝AF ·BD ，④正确.故①②④正确，选D.] 3.(1) 证明 因为DF ⊥EC ，则∠EFD ＝∠DFC ＝90°，易得∠DEF ＝∠CDF ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DG CB， 所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF .因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆.(2)解 由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB .连接GB .由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG .因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 的面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝12.4. (1)解 连接PB ，BC ，则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ，∠PCD ＝∠PCB ＋∠BCD .因为AP ︵＝BP ︵，所以∠PBA ＝∠PCB ，又∠BPD ＝∠BCD ，所以∠BFD ＝∠PCD .又∠PFB ＋∠BFD ＝180°，∠PFB ＝2∠PCD ，所以3∠PCD ＝180°，因此∠PCD ＝60°.(2)证明 因为∠PCD ＝∠BFD ，所以∠EFD ＋∠PCD ＝180°，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上.又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD .5.证明 (1)设E 是AB 的中点，连接OE .因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°，在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ,即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切.(2)因为OA ＝2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心.设O ′是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB .同理可证，OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD .6.8 [如图所示,连接OC ,因为OD ∥BC ,又BC ⊥AC ,所以OP ⊥AC .又O 为AB 线段的中点,所以OP ＝12BC ＝12.在Rt △OCD 中,OC ＝12AB ＝2,由直角三角形的射影定理可得OC 2＝OP ·OD ，即OD ＝OC 2OP ＝2212＝8，故应填8.]7.2 [首先由切割线定理得P A 2＝PC ·PD ,因此PD ＝623＝12,CD ＝PD -PC ＝9,又CE ∶ED ＝2∶1，因此CE ＝6,ED ＝3,再有相交弦定理AE ·EB ＝CE ·ED ,所以BE =CE ·ED AE =6×39=2.] 8.证明 因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C .又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ，又∠BAE 为公共角，可知△ABD ∽△AEB . 9.证明 (1)如图所示，因为M ,N 分别是弦AB ,CD 的中点,所以OM ⊥AB ,ON ⊥CD ,即∠OME ＝90°,∠ENO ＝90°,因此∠OME ＋∠ENO ＝180°,又四边形的内角和等于360°,故∠MEN ＋∠NOM ＝180°.(2)由(1)知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE ·FN ＝FM ·FO .10.(1)证明 因为DE 为⊙O 直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°，又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED ，又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)解 由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3，又BC ＝2，从而AB ＝32， 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3，由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 直径为3.11.(1)证明 由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF .从而EF ∥BC .(2)解 由(1)知,AE ＝AF ,AD ⊥EF ,故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 为⊙O 的弦,所以O 在AD 上.连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ,所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形. 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. 12.4 [由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4，∴QA ＝2，∵Q 为P A 的中点，∴P A ＝2QA ＝4.故PB ＝P A ＝4.]13.32[设AO 与BC 交于点M ,∵AO ⊥BC ，BC ＝22,∴BM ＝2，又AB ＝3,∴AM ＝1.设圆的半径为r ，则r 2＝(2)2＋(r －1)2，解得r ＝32.] 14.3 [∵四边形BCFE 内接于圆，∴∠AEF ＝∠ACB ，又∠A 为公共角，∴△AEF ∽△ACB ，∴EF BC ＝AE AC，又∵BC ＝6，AC ＝2AE ，∴EF ＝3.] 15.9 [依题意得△CDF ∽△AEF ，由EB ＝2AE 可知AE ∶CD ＝1∶3.故△CDF 的面积△AEF 的面积＝9.] 16.证明 (1)连接AB ，AC .由题设知P A ＝PD ，故∠P AD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ，∠DCA ＝∠P AB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ︵＝EC ︵.因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB .由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2.17.证明(1)由题设知A ,B ,C ,D 四点共圆,所以∠D =∠CBE .由已知得∠CBE =∠E ,故∠D =∠E .(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上.又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD .所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE .又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E .由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.553[由切割线定理可知,AE 2＝EB ·ED ＝EB (EB ＋BD ),即45＝BE (BE ＋4)，解得EB ＝5， ∵AC ∥BD ，∴AC ∥BE ，∵过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，∴∠BAE ＝∠C ， ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∴∠ABC ＝∠BAE ，∴AE ∥BC ，∴四边形AEBC 是平行四边形， ∴EB ＝AC ，∴AC ＝AB ＝BE ＝5，∴BC ＝AE ＝35，∵△AFC ∽△DFB ，∴AC BD ＝CF BF ，即54＝CF 35－CF ，解得CF ＝553.故答案为：553.] 2.125° [连接BD ,由题意知,∠ADB =∠MAB =35°,∠BDC =90°,故∠ADC =∠ADB +∠BDC =125°.]3.证明 (1)因为AB 是⊙O 的一条切线，AE 为割线，所以AB 2＝AD ·AE ，又因为AB ＝AC ，所以AC 2＝AD ·AE .(2)由(1)得AD AC ＝AC AE.∵∠EAC ＝∠CAD ，∴△ADC ∽△ACE ， ∴∠ADC ＝∠ACE .∵∠ADC ＝∠EGF ，∴∠EGF ＝∠ACE ，∴GF ∥AC .4.(1)证明 ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝π2，∠CAB ＋∠ABC ＝π2， ∵∠P AC ＝∠ABC ，∴∠P AC ＋∠CAB ＝π2，∴P A ⊥AB ，∵AB 为直径，∴P A 为圆的切线. (2)解 CE ＝6k ，ED ＝5k ，AE ＝2m ，EB ＝3m ，∵AE ·EB ＝CE ·ED ，∴m ＝5k ，连接BD ，AD ，∵△AEC ∽△DEB ⇒BD 8＝3m 6k⇒BD ＝45， △CEB ∽△AED ⇒BC 2AD 2＝25m 2－6425m 2－80＝⎝⎛⎭⎫3k m 2⇒m ＝2，k ＝255，∴AB ＝10，BD ＝4 5. 在直角三角形ADB 中，sin ∠BAD ＝BD AB ＝4510＝255，∵∠BCE ＝∠BAD ，∴sin ∠BCE ＝255. 5.证明 (1)连接BN ，∵AB 是⊙O 直径，∴∠BNF ＝90°.又CD ⊥AB ，则∠BEF ＝∠BNF ＝90°，即∠BEF ＋∠BNF ＝180°，则B 、E 、F 、N 四点共圆.(2)由直角三角形的射影定理可知AC 2＝AE ·AB ，由Rt △BEF 与Rt △BMA 相似可知：BF BA ＝BE BM， BF ·BM ＝BA ·BE ＝BA ·(BA －EA )，BF ·BM ＝AB 2－AB ·AE ，则BF ·BM ＝AB 2－AC 2，即AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.6. (1)证明 连接AM .由AB 为直径可知∠AMB ＝90°，又因为CD ⊥AB ，所以∠AEF ＝90°，所以∠AMF ＋∠AEF ＝180°，因此A ，E ，F ，M 四点共圆.(2)解 连接AC ，由A ，E ，F ，M 四点共圆，知BF ·BM ＝BE ·BA .在Rt △ABC 中，BC 2＝BE ·BA .又由MF ＝4BF ＝4知BF ＝1，BM ＝5，所以BC 2＝5，BC ＝ 5.7. 125[如图,∵PC 为圆O 切线，C 为切点P AB 为割线且PC ＝4，PB ＝8，∴PC 2＝P A ·PB ，∴P A ＝2，∴OA ＝12(PB －P A )＝3，∴PO ＝OA ＋AP ＝3＋2＝5，连接OC ，则OC ⊥PC ，在Rt △OCP 中，OC ＝3，PC ＝4，PO ＝5，且CE ⊥OP . ∴OP ·CE ＝OC ·PC ，∴CE ＝3×45＝125.] 8.12 [由AF ·BF ＝DF ·CF 得BF ＝1，又CE 2＝BE ·AE ，得BE ＝12.] 9.83[由题意可知BD 与BC 相等，BD ＝BC ＝4，OB ＝OC 2＋BC 2＝25， ∴sin 12∠B ＝55，cos 12∠B ＝255，∴sin ∠B ＝2sin 12∠B ·cos 12∠B ＝45， ∵AC ⊥BC ，∴sin ∠A ＝cos ∠B ＝35，又∵AB ＝BC sin ∠A ＝203，∴AD ＝AB －BD ＝203－4＝83.]。
2017版高考数学二轮突破：专题三-三角函数、三角恒等变换与解三角形ppt课件
4 [答案] －5
[解析] 根据题意，cos α＝
－4 4 ＝－5. （－4）2＋32
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第8讲 三角函数的图像与性质
核 心 知 识 聚 焦
5 2． [2015· 福建卷改编] 若 sin α ＝－13， 且 α 为第四象限 角，则 tan α 的值等于________． 测试要点：同角三角函数关系
题型：选择、填空 分值：5 分 难度：中等 热点： 利用三角函数定义、 同角三角函数关系 和诱导公式求值
考 点 考 向 探 究
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第8讲 三角函数的图像与性质
(1)已知 α 是第二象限角，其终边上的一点为 P(x， 2 5)，且 cos α＝ 4 x，则 tan α＝( ) 15 15 15 15 A. 5 B. 3 C．－ 5 D．－ 3 (2)已知 12sin α－5cos α＝13，则 tan α＝( ) 5 12 A．－12 B．－ 5 12 7 C．± 5 D．±12 例1
专题三
三角函数、三角恒等变换与解 三角形
第8讲 三角函数的图像与性质
第9讲 三角恒等变换与解三角形
核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究
第8讲
三角函数的图像与性质
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第8讲 三角函数的图像与性质
核 心 知 识 聚 焦
1．[2014· 全国卷改编] 已知角 α 的终边经过点(－4，3)， 则 cos α ＝________． 测试要点：三角函数定义
[答案] π
3 7 π＋kπ， π＋kπ（k∈Z） 8 8
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1－cos 2x 1 π 2 3 [解析] f（x）＝ ＋2sin 2x＋1＝ 2 sin2x－ ＋2， 2 4 π π 则最小正周期是π.单调递减区间： 2kπ＋ 2 ≤2x－ 4 ≤ 3π 3π 7π 2kπ＋ 2 （k∈Z）⇒kπ＋ 8 ≤x≤kπ＋ 8 （k∈Z）.
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第四章 三角函数、解三角形5 理
第五节 解三角形A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·新课标全国Ⅱ，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A.5B. 5C.2D.12.(2016·全国Ⅱ，13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ . 3.(2016·山东，16)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值.4.(2016·北京，15)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.5.(2016·四川，17)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B.6.(2016·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B. (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小.7.(2016·全国Ⅰ，17)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 8.(2015·福建，12)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________. 9.(2015·广东，11)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.10.(2015·北京，12)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.11.(2015·重庆，13)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 12.(2015·天津，13)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________.13.(2015·安徽，16)在△ABC 中，A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长.14.(2015·江苏，15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值.15.(2015·湖南17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角.(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围.16.(2015·新课标全国Ⅱ，17)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin ∠Bsin ∠C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长. 17.(2015·浙江，16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值.18.(2015·陕西，17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行. (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.19.(2014·天津，12)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知b －c ＝14a,2sin B＝3sin C ，则cos A 的值为________.20.(2014·江苏，14)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.21.(2014·新课标全国Ⅰ，16)已知a ，b ，c ，分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________.22.(2014·山东，12)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________.23.(2014·辽宁，17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知B A →·B C →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值.24.(2014·北京，15)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.25.(2014·陕西，16)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值.26.(2014·安徽，16)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山西阳泉一模)在锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则ab的范围是(a ，b 分别为角A ，B 的对边长)( )A.(2，3)B.(3，2)C.(0，2)D.(2，2)2.(2016·天津南开中学模拟)△ABC 中三个内角为A ，B ，C ，若关于x 的方程x 2－x cos A cosB －cos 2C2＝0有一根为1，则△ABC 一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形 3.(2016·大兴区模拟)在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝π3，则A 等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π44.(2015·潍坊模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且c ＝42，B ＝45°，面积S ＝2，则b 等于( ) A.1132B.5C.41D.25 5.(2016·河北邢台模拟)在△ABC 中，|AB →|＝2，|AC →|＝3，AB →·AC →<0，且△ABC 的面积为32，则∠BAC ＝ .6.(2016·山东日照一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝23sin A sin B sin C ，且a ＝2，则△ABC 的外接圆半径R ＝ .7.(2016·长沙模拟)已知向量a ＝(2sin x ，3cos x )，b ＝(－sin x ，2sin x )，函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边且f (c )＝1,c ＝1,ab ＝23，a >b ，求a ，b 的值.8.(2015·广东茂名模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，C ＝120°，△ABC 的面积S ＝1534，则c 为 . 9.(2015·东北四校一模)如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长为 .10.(2015·甘肃模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且b cos C ＝3a cos B －c cos B.(1)求cos B 的值；(2)若BA →·BC →＝2，且b ＝22，求a 和c 的值.11.(2015·安阳模拟)如图，角A 为钝角，且sin A ＝35，点P ，Q 分别是角A 的两边上不同于点A 的动点.(1)若AP ＝5，PQ ＝35，求AQ 的长；(2)设∠APQ ＝α，∠AQP ＝β，且cos α＝1213，求sin(2α＋β)的值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.B [S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.]2.2113 [在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.]3. (1)证明 由题意知2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解 由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.4.解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4∵0＜A ＜3π4，∴π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1.5.(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C . (2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B.故tan B ＝sin Bcos B＝4.6. (1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B)或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因sin B ≠0，得sin C ＝cos B.又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.7.解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知,12ab sin C ＝332,又C ＝π3,所以ab ＝6,由已知及余弦定理得,a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.8.7 [S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7.]9.1 [因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1.]10.1 [由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.]11. 6 [由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin 120°，解得sin ∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°,从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ,所以C ＝180°-120°-30°＝30°,AC ＝2AB cos 30°＝ 6.]12.8 [∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2， ∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.]13.解 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos3π4＝18＋36－(－36)＝90， 所以a ＝310.又由正弦定理，得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010， 由题设知0<B <π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010.在△ABD 中，由正弦定理，得AD ＝AB ·sin B sin （π－2B ）＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.14.解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 15.(1)证明 由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22，因此22＜－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，98. 16.解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.17.解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos 2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.18.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332.法二 由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.19.－14 [由已知及正弦定理，得2b ＝3c ，因为b －c ＝14a ，不妨设b ＝3，c ＝2，所以a＝4，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.]20.6－24[由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－14（a ＋2b ）22ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a ＝2b时取等号，所以cos C 的最小值是6－24.] 21. 3 [因为a ＝2，所以(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，故A ＝π3，又cos A ＝12＝b 2＋c 2－42bc≥2bc －42bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号，由三角形面积公式知S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ≤3，故△ABC 面积的最大值为 3.] 22.16 [根据平面向量数量积的概念得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ，当A ＝π6时，根据已知可得|AB →|·|AC →|＝23，故△ABC 的面积为12|AB →|·|AC →|·sin π6＝16.]23.解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（13）2＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.24.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC -∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B -cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos∠B ＝82+52-2×8×5×12＝49.所以AC＝7.25.(1)证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C ). (2)解 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立.∴cos B 的最小值为12.26.解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1. A [∵A ＝2B ，∴根据正弦定理得：a b ＝sin A sin B ＝2sin B cos Bsin B＝2cos B.(sin B ≠0)，∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＋C ＝180°，即C ＝180°－3B ，∵角C 为锐角，∴30°<B <60°，又0°<A ＝2B <90°，∴30°<B <45°， ∴22<cos B <32，即2<2cos B <3，则ab的取值范围是(2，3)，故选A. 2.B [依题意，可得1－cos A cos B －cos 2C2＝0，∵cos 2C 2＝1＋cos C 2＝1－cos （A ＋B ）2＝1－cos A cos B ＋sin A sin B 2 ∴1－cos A cos B －1－cos A cos B ＋sin A sin B 2＝0，整理得：cos(A －B )＝1，又A ，B 为△ABC 内角，∴A ＝B ，∴三角形为等腰三角形，故选B.]3.B [因为b >a ，由正弦定理得到sin A ＝22，∴A ＝π4，故选B.] 4.B [∵c ＝42，B ＝45°，又面积S ＝12ac sin B ＝12×42×22a ＝2，解得a ＝1，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b 2＝1＋32－2×1×42×22＝25，∴b ＝5.] 5.5π6 [在△ABC 中，S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝32，即12×2×3sin∠BAC ＝32，解得sin ∠BAC ＝12，又∵AB →·AC →<0，∴∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴∠BAC ＝5π6.]6.233[由正弦定理可得a 2＋b 2＋c 2＝23ab sin C ，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，代入上式得，2(a 2＋b 2)＝23ab sin C ＋2ab cos C ， ∴2(a 2＋b 2)＝4ab ⎝⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ＝4ab sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6，∴a 2＋b 2＝2ab sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤2ab ，又a 2＋b 2≥2ab ，所以a 2＋b 2＝2ab ，∴(a －b )2＝0，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，∴a ＝b ，且C ＝π3，∴△ABC 为正三角形，∴2R ＝asin A＝2sinπ3＝433，∴R ＝233.] 7. 解 (1)由题意得f (x )＝-2sin 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).(2)由(1)和条件可得f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－1＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1.∵角C 是三角形内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6.∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝32，又c ＝1，ab ＝23，∴a 2＋12a2＝7，解得a 2＝3或a 2＝4，∴a ＝3或2，b ＝2或3，∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.8. 7 [∵a ＝3，C ＝120°，△ABC 的面积S ＝1534，∴1534＝12ab sin C ＝12×3b sin 120°，解得b ＝5.由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49.解得c ＝7.故答案为7.]9.4或2 2 [设∠BCD ＝θ，则在△BCD 中，S △BCD ＝12×25×2sin θ＝4，即sin θ＝255,则cos θ＝±55,BD 2＝20＋4－85×⎝ ⎛⎭⎪⎫±55＝16或32，即BD ＝4或4 2. ①当BD ＝4时，4sin θ＝2sin B， 即sin B ＝55，此时AC sin B ＝BC sin A ，即AC ＝sin B ·BCsin 30°＝4； ②当BD ＝42时，42sin θ＝2sin B ，即sin B ＝1010，此时AC sin B ＝BC sin A， 即AC ＝sin B ·BCsin 30°＝2 2.综上，AC 的长为4或2 2.]10.解 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 则2R sin B cos C ＝6R sin A cos B －2R sin C cos B ， 故sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ， 可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，可得sin A ＝3sin A cos B.又sin A ≠0，因此cos B ＝13.(2)由BA →·BC →＝2，可得ac cos B ＝2，又cos B ＝13，故ac ＝6，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得a 2＋c 2＝12，所以(a －c )2＝0，即a ＝c ，所以a ＝c ＝ 6. 11.解 (1)∵∠A 是钝角，sin A ＝35，∴cos A ＝－45，在△AQP 中，由余弦定理得PQ 2＝AP 2＋AQ 2－2AP ·AQ cos A ，∴AQ 2＋8AQ －20＝0， 解得AQ ＝2或－10(舍去)，∴AQ ＝2.(2)由cos α＝1213，得sin α＝513.在△APQ 中，α＋β＋A ＝π，又sin(α＋β)＝sin(π－A )＝sin A ＝35，cos(α＋β)＝－cos A ＝45，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝513×45＋1213×35＝5665.。
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第三节 三角恒等变换A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.452.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6D.73.(2015·重庆，6)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16 C.57 D.564.(2016·浙江，11)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.5.(2016·山东，17)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值. 6.(2016·北京，16)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间. 7.(2015·广东，16)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．8.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值．9.(2015·福建，21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2. ①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.10.(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 11.(2014·浙江,18)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4,△ABC 的面积为6,求边长c 的值．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·江西九校联考)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.7 B.17 C.－17D.－72.(2016·洛阳统考)若α∈[0，2π)，则满足1＋sin 2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2 B.[]0，πC.⎣⎡⎦⎤0，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，3π4∪⎣⎡⎭⎫7π4，2π 3.(2016·河南六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A.a <c <b B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b4.(2015·大庆市质检二)已知sin α＝54，则sin 2α－cos 2α的值为( ) A.－18B.－38C.18D.385.(2015·烟台模拟)已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β等于( )A.－6365B.－3365C.3365D.63656.(2015·河北唐山模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A.43 B.－43C.43或0 D.－43或07.(2015·巴蜀中学一模)已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________.8.(2015·河南洛阳统考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，求sin α的值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.答案 D2.解析 因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112， 所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B3.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝12－131＋12×13＝17.答案 A4.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1 ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)， ∴A ＝2，b ＝1. 答案 2 15.解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12（k ∈Z ）. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象. 再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 6.解 (1)f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2⎝⎛⎭⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4 由ω＞0，f (x )最小正周期为π得2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ). 7.解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2 ＝2×222＋2－2＝1.8.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3. ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3时，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3. 9.(1)解 因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2＝53sin x ＋5cos x ＋5 ＝10sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋5， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)证明 ①将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a(a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象．又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45.由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45. 由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45.因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞45.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0. 10.解 (1)∵f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322， ∴A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝322⇒A sin 3π4＝322⇒A ＝3. (2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∵f (θ)－f (－θ)＝3，∴3sin(θ＋π3)－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3＝3， 展开得3⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ＝3，化简得sin θ＝33. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝63. ∴f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6. 11.解 (1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝32，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，cos α＝－45， ∴sin α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝17. 答案 B2.解析 由1＋sin 2α＝sin α＋cos α得sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≥0， 又因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，3π4∪⎣⎡⎭⎫7π4，2π，故选D. 答案 D3.解析 利用三角公式化简得a ＝12cos 2°－32sin 2°＝cos(60°＋2°)＝cos 62°＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 2 25°＝sin 25°. 因为sin 25°<sin 28°<tan 28°， 所以c <a <b ，故选D. 答案 D4.解析 sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝－38.答案 B5.解析 ∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π， 又cos(α＋β)＝－513＜0，cos α＝35，∴π2＜α＋β＜π， ∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45.又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.答案 C6.解析 因为2sin 2α＝1＋cos 2α，所以2sin 2α＝2cos 2 α， 所以2cos α·(2sin α－cos α)＝0，解得cos α＝0或tan α＝12.若cos α＝0，则α＝k π＋π2，k ∈Z ，2α＝2k π＋π，k ∈Z ，所以tan 2α＝0； 若tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝43.综上所述，故选C. 答案 C7.解析 ∵sin αcos α1－cos 2α＝sin αcos α2sin 2α＝cos α2sin α＝12，∴tan α＝1.∵tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝12，∴tan β＝13.答案 138.解 (1)∵a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， ∴|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2 ＝2－2cos(α－β)， ∴1613＝2－2cos(α－β)， ∴cos(α－β)＝513.(2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，∴cos β＝35且0＜α－β＜π.又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β ＝1213×35＋513×⎝⎛⎭⎫－45 ＝1665.。