第二章 数学单元测试

第二章 单元测试

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)

1．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 的映射，则满足f (0)>f (1)的映射有

( )

A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．2个

答案 A

解析 当f (0)＝－1时，f (1)能够是0或1，则有2个映射． 当f (0)＝0时，f (1)＝1，则有1个映射． 2．函数f (x )＝

1

1－x

＋lg(1＋x )的定义域是

( )

A ．(－∞，－1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－1,1)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，＋∞)

答案 C

解析 由???

1－x ≠0，

1＋x >0，得x >－1且x ≠1，即函数f (x )的定义域为(－1,1)∪(1，

＋∞)．

3．(2012·天津文)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为

( )

A ．y ＝cos2x ，x ∈R

B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0

C ．y ＝e x －e －x

2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R 答案 B

解析 逐项验证即可．

4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，则不等式

3f (－x )－2f (x )

5x

≤0的解集为

( )

A ．(－∞，－2]∪(0,2]

B ．[－2,0]∪[2，＋∞)

C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D ．[－2,0)∪(0,2]

答案 D

解析 本题主要考查函数的奇偶性、单调性及利用图像解不等式，根据已知条件可画出f (x )的草图如图所示．

不等式3f (－x )－2f (x )5x ≤0?－5f (x )5x ≤0?f (x )

x ≥0???? x >0，f (x )≥0或???

x <0，f (x )≤0.由图可知不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．故选D.

5．函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图像大致是( )

答案 C

解析 f (x )＝1＋log 2x 的图像可由f (x )＝log 2x 的图像上移1个单位得到，且过点(1

2，0)、(1,1)，由指数函数性质可知g (x )＝21－x 为减函数，且过点(0,2)，故选C.

6．函数f (x )＝x 2＋|x －2|－1(x ∈R )的值域是

( )

A ．[3

4，＋∞) B ．(3

4，＋∞) C ．[－13

4，＋∞) D ．[3，＋∞)

答案 A

解析 (1)当x ≥2时，f (x )＝x 2＋x －3，此时对称轴为x ＝－1

2，f (x )∈[3，＋∞)． (2)当x <2时，f (x )＝x 2－x ＋1，

此时对称轴为x ＝12，f (x )∈[3

4，＋∞)． 综上知，f (x )的值域为[3

4，＋∞)．

7．已知函数f (x )＝9x －m ·3x ＋m ＋1对x ∈(0，＋∞)的图像恒在x 轴上方，则m 的取值范围是

( )

A ．2－22

B ．m <2

C ．m <2＋2 2

D ．m ≥2＋2 2

答案 C

解析 令t ＝3x ，即x ＝log 3t ，则问题转化为函数y ＝t 2－mt ＋m ＋1在(1，＋∞)上的图像恒在x 轴的上方，即Δ＝(－m )2

－4(m ＋1)<0或?????

Δ≥0，

m

2<1，

1－m ＋1＋m >0，解

得m <2＋2 2.

8．函数f (x )＝1

x －6＋2x 的零点一定位于区间 ( )

A ．(3,4)

B ．(2,3)

C ．(1,2)

D ．(5,6)

答案 B

解析 f (1)＝－3<0，f (2)＝－32<0，f (3)＝1

3>0，故选B.

9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b －3(x ∈R )图像恒过点(2,0)，则a 2＋b 2的最小值为

( )

A ．5 B.15 C ．4 D.14

答案 B

解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b －3的图像恒过点(2,0)，∴4＋2a ＋b －3＝0，即2a ＋b ＋1＝0，则a 2

＋b 2

＝a 2

＋(1＋2a )2

＝5a 2

＋4a ＋1＝5(a ＋25)2＋1

5，∴a 2＋b 2的最

小值为15.

10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是

( )

A ．0

B ．0或－1

2 C ．－14或－12 D ．0或－1

4

答案 D

解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.

又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一个周期内的图像如图．

显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0,2]内恰有两不同的公共点．

另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个公共点，由题意知y ′＝(x 2)′＝2x ＝1，∴x ＝12.

∴A (12，14)，又A 点在y ＝x ＋a 上，∴a ＝－1

4，∴选D.

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)

11．若函数f (x )＝x

(2x ＋1)(x －a )

为奇函数，则a ＝________.

答案 12 解析 ∵f (x )＝

x

(2x ＋1)(x －a )

是奇函数，利用赋值法，

∴f (－1)＝－f (1)． ∴

－1(－2＋1)(－1－a )＝－1

(2＋1)(1－a )

.

∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12. 12．已知f (x )＝

，f (lg a )＝10，则a 的值为________．

答案

解析＝10，两边取10为底的对数，得(lg a－1

2)lg a＝

1

2，解得lg a＝1

或lg a＝－1

2，故a＝10或.

13．已知偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)

＝3x＋4

9，则f(log135)的值等于________．

答案 1

解析由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x＋2)＝f(x)，函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数．

因为log1

35∈(－2，－1)，log1

3

5＋2＝log1

3

5

9∈(0,1)，

又f(x)为偶函数且x∈[－1,0]，f(x)＝3x＋4 9，

所以当x∈[0,1]时，f(x)＝3－x＋4 9.

所以f(log1

35)＝f(log1

3

5＋2)＝f(log1

3

5

9)＝＋

4

9＝＋

4

9＝

5

9＋

4

9＝1.

14．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相对应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为______级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍．答案6,10 000

解析由lg1 000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9－lg0.001＝9解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．15．如图中的实线部分表示函数y＝f(x)的图像，它是由y＝log2x的图像经过一系列变换而得到的，虚线表示变换过程，则f(x)＝________.

答案|log2|x－1||

16．对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，且有如下零点存有定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续持续的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．给出下列命题：

①若函数y＝f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上有且仅有一个零点；

②函数f(x)＝2x3－3x＋1有3个零点；

③函数y＝x2

6和y＝|log2x|的图像的交点有且只有一个；

④设函数f(x)对x∈R都满足f(3＋x)＝f(3－x)，且函数f(x)恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为18；

其中所有准确命题的序号为________．(把所有准确命题的序号都填上)

答案②④

解析易知①错，②对，对于④，由对称性知也对，对于③，在同一坐标系中，分别作出两函数的图像，在直线x＝1左侧的那个交点十分容易发现，在其右侧有无交点呢？

通过图像很难断定，下面我们利用存有零点的条件f(a)·f(b)<0来解决这个问

题，两函数图像的交点的横坐标就是函数f(x)＝x2

6－|log2x|的零点，其中f(1)＝

1

6>0，

f(2)＝－1

3<0，f(4)＝

2

3>0，所以在直线x＝1右侧，函数有两个零点，一个在(1,2)

内，一个在(2,4)内，故函数f(x)＝x2

6－|log2x|共有3个零点，即函数y＝

x2

6和y＝|log2x|

的图像有3个交点．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝???

(x ＋2)2， x <0，

4， x ＝0，

(x －2)2， x >0.

(1)写出f (x )的单调区间； (2)若f (x )＝16，求相对应x 的值．

答案 (1)f (x )的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]．

(2)－6或6

解析 (1)当x <0时，f (x )在(－∞，－2]上递减，在(－2,0)上递增；当x >0时，f (x )在(0,2]上递减，在(2，＋∞)上递增．

综上，f (x )的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]．

(2)当x <0时，f (x )＝16，即(x ＋2)2＝16，解得x ＝－6； 当x >0时，f (x )＝16，即(x －2)2＝16，解得x ＝6. 故所求x 的值为－6或6.

18．(本小题满分12分)(2012·上海改编)已知函数f (x )＝lg(x ＋1)． (1)若0

(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，当x ∈[1,2]时，求函数y ＝g (x )的解析式．

答案 (1)－23

3 (2)y ＝g (3－x ) 解析 (1)由???

2－2x >0，

x ＋1>0，得－1

由0

x ＋1<1，

得1<2－2x x ＋1

<10.

因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23

3. 由?????

－1

3，得－23

3.

(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，所以

y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．

19．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期为5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.

(1)求f (1)＋f (4)的值；

(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]上的解析式；

(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式，并求函数y ＝f (x )的最大值与最小值． 答案 (1)0 (2)f (x )＝???

－3x ， x ∈[－1，1]

2x 2－8x ＋3， x ∈[1，4] (3)最大值为3，最小值为

－5.

解析 (1)∵f (－1)＝－f (1)＝f (－1＋5)＝f (4)， ∴f (1)＋f (4)＝0.

(2)设x ∈[1,4]，f (x )＝a (x －2)2－5，

由(1)得a ＝2，此时f (x )＝2(x －2)2－5，且f (1)＝－3. 设f (1)＝－3，f (0)＝0，可得x ∈[－1,1]，f (x )＝－3x . 故f (x )＝???

－3x ， x ∈[－1，1]，

2x 2－8x ＋3， x ∈[1，4].

(3)f (x )＝???

－3x ＋15， x ∈[4，6]，

2(x －7)2

－5， x ∈[6，9]. 得f (x )max ＝3，f (x )min ＝－5.

20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．

(1)求f (x )；

(2)若不等式(1a )x ＋(1

b )x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．

解析 (1)∵f (x )＝b ·a x 图像过点A (1,6)，B (3,24)， ∴???

b ·a ＝6，b ·

a 3＝24，又a >0且a ≠1，

∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .

(2)由(1)知不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0即为(12)x ＋(1

3)x －m ≥0. ∴问题转化成当x ∈(－∞，1]时m ≤(12)x ＋(1

3)x 恒成立． 令g (x )＝(12)x ＋(1

3)x ，易知g (x )在(－∞，1]上为减函数． ∴g (x )≥g (1)＝12＋13＝5

6. ∴m ≤56.

21．(本小题满分12分)某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位能够全部租出，当床价高于10元时，每提升1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．

(1)把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；

(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？

解析 (1)依题意有y ＝???

100x －575(x ≤10)，

[100－(x －10)×3]x －575(x >10)，

且x ∈N *，因为y >0，x ∈N *，

由???

100x －575>0，x ≤10，

得6≤x ≤10，x ∈N *. 由???

x >10，[100－(x －10)×3]x －575>0，得10

y ＝???

100x －575(x ∈N *，且6≤x ≤10)，－3x 2＋130x －575(x ∈N *

，且10

(2)当x ＝10时，y ＝100x －575(6≤x ≤10，x ∈N *)取得最大值425元．

当x >10时，y ＝－3x 2＋130x －575，当且仅当x ＝－1302×(－3)

＝65

3时，y 取最

大值．

但x ∈N *，所以当x ＝22时，y ＝－3x 2＋130x －575(10

22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2

＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2

x (x >0)．

(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；

(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解析 (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2

x ≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e. 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)．

因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根． 方法二 作出g (x )＝x ＋e 2

x 的图像如图．

可知若使g (x )＝m 有实根，则只需m ≥2e. 方法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0. 此方程有大于零的根，故?????

m 2>0，

Δ＝m 2－4e 2≥0，

等价于???

m >0，

m ≥2e 或m ≤－2e ，

故m ≥2e.

(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图像有两个不同的交点．

作出g (x )＝x ＋e 2

x (x >0)的图像．

∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2. 故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，

g(x)与f(x)有两个交点，

即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．