广义对数均值的单调性和凹凸性
3.3 单调性与凹凸性
例5、 判断曲线 f (x)
1 9
x2
解： f (x) 在定义域 Df (
2 11 f (x) 9 x 3 3 x2
3 x 的凹凸性及拐点。 , ) 内连续，
2 21 f (x) 9 9 3 x5
2 9
(1
1 )
3 x5
0
x
1
(x 0) (x 0)
以 x 1、x 0 划分定义域得：
例4、 确定函数 f (x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间。 解： f (x) 在定义域 Df ( , ) 内连续，
f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2) 0 x1 1 x2 2 以 x1 1、x2 2划分定义域得：
Df ( ,1) 1 ( 1 ,2 ) 2 (2, ) f (x)
单调区间
定义： 若函数在某区间内单调增，称该区间为函数的单调增区间。
减
减
单调增区间、单调减区间统称为单调区间。
问题： 如何确定函数的单调区间
首要任务是确定函数单调性的分界点。
单调性分界点只可能产生于： 驻点 与不可导点处
方法： 用驻点及不可导点划分函数定义域， 在各个开区间内确定
导数的正负，从而确定单调区间。
(1) 当 f (x0 ) 0 时， x0 为 f (x) 的极小值点； (2) 当 f (x0 ) 0 时， x0 为 f (x) 的极大值点。
例3、 求函数 f (x) 3x x3 的极值。
解： 函数 f (x) 在其定义域 ( , ) 内连续，
f (x) 3 3x2 3(1 x)(1 x) 0 x1 f (x) 6x f ( 1) 6 0 f (1) 6 0
单调性与凹凸性
091082班 班 张骥
关于单调性与凹凸性 对于函数 f（x） 一阶导数F`(x)=0 斜率为0
二阶导数F``(x)=0 斜率0 f ``(x)＞0 f ``(x)＜0
f(x) ↑ f(x) ↓ f`(x)↑ f`(x)↓
这个猜想揭示了函数一阶导数与二阶导数之间的 连续变化中，相互制约的关系。 即当我们知道了函数通过一个驻点，则可以由其 中一个性质推导出另一个性质，因为他们之间必 定相互制约。
推导证明
单调性（增或减）与凹凸性（凹或凸）相互组 合会出现四种情况：凹增 凹减 凸增 凸减
下面就以函数通过驻点后，由凹减推出的结论， 由猜想可知，函数通过驻点后，单调性与凹凸 性有且仅有一个发生变化，那么函数只能是凹 增和凸减两种情况。
增 减 凹 凸
启发（书本一道作业） f（x）= y =x3次方——x2次方——x+1
f `(x)=0 f ``（x）=0 求出三个驻点可 以画出图像。
分析 凸增——凸减
凸减——凹减
凹减——凹增
猜想
对于连续可导函数， 对于连续可导函数，函数每通过 一个驻点， 一个驻点，其图像的单调性和凹 凸性有且仅有一个发生变化。 凸性有且仅有一个发生变化。
谢谢各位老师同学指教！
意义及预期 这个命题是来自教科书中的，并不是当前那些热门的数 这个命题是来自教科书中的， 学问题。但是这却是微积分中最基础的部分引导出来的， 学问题。但是这却是微积分中最基础的部分引导出来的， 所以，它的意义在于， 所以，它的意义在于，把目前认为是相互独立的函数单 调性和凹凸性这两个最重要反映函数变化的性质联系起 并且形成相互制约关系， 来，并且形成相互制约关系，从根本上揭示函数变化的 原因。 原因。 最终得到一条或一系列的命题， 最终得到一条或一系列的命题，通过讲述函数的单调性 与凹凸性之间相互约束关系，并且尽量找到推广的结果， 与凹凸性之间相互约束关系，并且尽量找到推广的结果， 从根本上揭示函数变化的原因，达到一个普遍性的高度。 从根本上揭示函数变化的原因，达到一个普遍性的高度。
函数的单调性与凹凸性
单调性与导数的关系
单调性是导数的一个应用，如果函数在某区间内单调递增或递减，则该函数的导 数在此区间内非负或非正。
导数的符号决定了函数的单调性，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。
02 函数的凹凸性
凹函数与凸函数
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) + f(x_2) > 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称 $f(x)$在区间$I$上为凹函数。
求解方法
通过导数判断函数的单调性，并结合端点值进行比较。
应用
在物理学、化学等领域中，常需要求解函数在开区间 上的最值问题，以解释某些现象或预测结果。
无界区间上的最值问题
定义
在无界区间上，函数可能没有最大值或最小 值。
求解方法
通过导数判断函数的增减性，并考虑无穷远处的情 况。
应用
在数学分析、实变函数等领域中，常需要研 究函数在无界区间上的最值问题，以深入理 解函数的性质和行为。
减函数
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单调性的判断方法
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来确定函数的单调性。
导数法
利用导数来判断函数的单调性，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
在分析力学系统的运动规律时，利用函数的 单调性和凹凸性，可以判断系统的稳定性和 运动状态。
电路分析
在电子和电路工程中，利用函数的单调性和 凹凸性，可以分析电路的工作状态和性能， 优化电路设计。
高考数学冲刺函数的单调性与凹凸性
高考数学冲刺函数的单调性与凹凸性在高考数学的备考中，函数的单调性与凹凸性是极为重要的知识点。
理解并熟练掌握这两个概念，对于解决函数相关的问题有着至关重要的作用。
首先，我们来谈谈函数的单调性。
简单来说，函数的单调性就是指函数值随着自变量的增大或减小而呈现出的上升或下降的趋势。
如果对于定义域内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上是增函数；反之，如果当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＞ f(x₂)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上是减函数。
那怎么判断一个函数的单调性呢？这就需要用到一些方法和技巧。
一种常见的方法是利用定义来判断。
也就是按照单调性的定义，通过比较函数值的大小来确定单调性。
这是最基础也是最根本的方法，但在实际操作中可能会比较繁琐。
另一种常用的方法是利用导数来判断。
如果函数在某个区间内的导数大于零，那么函数在这个区间上单调递增；如果导数小于零，那么函数在这个区间上单调递减。
导数就像是函数单调性的“探测器”，能够快速准确地告诉我们函数的单调性情况。
例如，对于函数 f(x) ＝ x²，其导数 f'（x) ＝ 2x。
当 x ＞ 0 时，f'（x) ＞ 0，所以函数在区间（0, ＋∞）上单调递增；当 x ＜ 0 时，f'（x) ＜0，所以函数在区间（∞， 0) 上单调递减。
再来说说函数的凹凸性。
函数的凹凸性反映的是函数图像弯曲的方向。
如果函数 f(x)在区间 I 上连续，对于区间 I 上的任意两点 x₁、x₂，以及任意实数λ∈（0, 1)，都有f(λx₁＋（1 λ)x₂) ≤ λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂)，那么称函数 f(x)在区间 I 上是凸函数；反之，如果都有f(λx₁＋（1 λ)x₂) ≥ λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂)，那么称函数 f(x)在区间 I 上是凹函数。
函数的单调性与曲线凹凸性
一次函数图像是一条直线，没有凹凸性。
二次函数的单调性与凹凸性
二次函数
单调性
凹凸性
$y = ax^2 + bx + c$
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a})$上单调递 减，在区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上单调递增；当$a < 0$时，函数在区间$(-infty, frac{b}{2a})$上单调递增，在 区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上 单调递减。
凹凸性
正弦函数图像是下凹的。
余弦函数
$y = cos x$
单调性
在每个周期内，函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$上单调递增。
凹凸性
余弦函数图像是上凸的。
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产量之间的关系。
在物理学中，单调性与凹凸 性可用于描述物体的运动轨 迹、速度与加速度之间的关
系等。
在工程领域，单调性与凹凸性 可用于优化设计，例如在桥梁、 建筑和机械设计中考虑结构的
稳定性与安全性。
04 实例分析
一次函数的单调性与凹凸性
一次函数
$y = ax + b$
单调性
当$a > 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递增； 当$a < 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递减。
通过求函数的导数，分析导数的符号变化，判断函数的单 调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0， 函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同点上的函数值来判断函数的单调性。 如果对于任意两点，函数值满足递增或递减关系，则函数 在该区间内单调。
高等数学单调性及凹凸性
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
注 ①若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多
有限个不可导点，而在其余点处均有 f ( x) 0( f ( x) 0) 则由连续性，结论仍成立
②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用
二阶导数 ,若在 (a,b)内
(1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的;
(2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的.
证明 (2)x1, x2 (a,b), x1 x2
记 x0 对f ( x)在[
x1 x1 ,
x2 ,h 2 x0 ],[ x0
二、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号.
(A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f (x) 单调增加 , 及
例3 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内)的拐点.
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x .
令 y 0,
得
04第四节函数的单调性、凹凸性与极值
第四节函数单一性、凹凸性与极值我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单一性和某些简单函数的性质，法使用范围狭窄，而且有些需要借助某些特别的技巧，因此不拥有一般性. 工具，介绍判断函数单一性和凹凸性的简易且拥有一般性的方法. 但这些方本节将以导数为散布图示★ 单一性的鉴别法★例 1★ 单一区间的求法★例 2 ★例 3 ★例4★例5 ★例 6 ★例 7 ★例 8 ★ 曲线凹凸的观点★例 9 ★例10★ 曲线的拐点及其求法★例11 ★例12 ★例13★ 函数极值的定义★函数极值的求法★例14 ★例15 ★例16★第二充足条件下★例17 ★例18 ★例19★ 内容小结★ 讲堂练习★习题 3-4 ★ 返回内容重点一、函数的单一性：设函数y f ( x) 在 [a, b]上连续 , 在 (a, b)内可导 .(1) 若在 (a, b)内 f (x) 0 , 则函数 y f ( x) 在 [a, b] 上单一增添 ;(2) 若在 (a, b)内 f (x) 0 , 则函数 y f ( x) 在 [a, b] 上单一减少 .二、曲线的凹凸性：设 f ( x) 在 [a, b] 上连续 , 在 (a, b)内拥有一阶和二阶导数, 则(1) 若在 (a, b)内， f ( x) 0, 则 f (x) 在 [a, b]上的图形是凹的 ;(2) 若在 (a, b)内， f ( x) 0, 则 f (x) 在 [a, b]上的图形是凸的 .三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点判断曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为：(1)求函数的二阶导数 f ( x) ；(2)令 f ( x) 0 ，解出所有实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；(3) 对步骤 (2)中求出的每一个点，检查其周边左、右双侧 f (x) 的符号，确立曲线的凹凸区间和拐点.四、函数的极值极值的观点；极值的必需条件；第一充足条件与第二充足条件；求函数的极值点和极值的步骤：（ 1）确立函数 f ( x) 的定义域，并求其导数 f ( x) ;（ 2）解方程 f (x) 0 求出 f (x) 的所有驻点与不行导点;（ 3）议论 f ( x) 在驻点和不行导点左、右双侧周边符号变化的状况，确立函数的极值点;（ 4）求出各极值点的函数值，就获得函数 f ( x) 的所有极值 .例题选讲函数单一性的判断例 1 (E01) 议论函数 y e x x 1的单一性 .解y e x 1. 又 D:( , ). 在( ,0) 内， y 0, 函数单一减少；在 (0, ) 内， y 0, 函数单一增添 .注：函数的单一性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判断，而不可以用一点处的导数符号来鉴别一个区间上的单一性.例 2 (E02) 议论函数 y 3 x2的单一区间 .解 D : ( , ). y2( x 0), 当 x 0 时，导数不存在 .33 x当x 0 时， y 0, 在 ( ,0] 上单一减少；当 0 x 时， y 0, 在 0, 上单一增添；单一区间为 ( ,0] ， [0, ) .注意 : 区间内个别点导数为零不影响区间的单一性. 比如，y x3 , y x 0 0, 可是( , ) 上单一增添 .注：从上述两例可见，对函数 y f ( x) 单一性的议论，应先求出使导数等于零的点或使导数不存在的点，并用这些点将函数的定义域区分为若干个子区间，而后逐一判断函数的导数 f ( x) 在各子区间的符号，进而确立出函数y f ( x) 在各子区间上的单一性，每个使得f (x) 的符号保持不变的子区间都是函数y f ( x) 的单一区间 .求单一区间例 3 (E03) 确立函数 f ( x) 2 x3 9x 2 12x 3 的单一区间 .解 D : ( , ). f ( x) 6 x2 18x 12x 6( x 1)( x 2),解方程 f ( x) 0 得 x1 1, x2 2.当x 1 时， f ( x) 0, f ( x) 在,1 上单一增添；当 1 x 2 时， f ( x) 0, f ( x) 1,2 上单一减少；当 2 x 时， f ( x) 0, f ( x) 在 [ 2, ) 上单一增添；单一区间为 ( ,1], [1,2], [ 2, ).例4求函数y 3 ( 2x a )(a x)2 ( a 0) 的单一区间 .解y 2 2a 3x, 3 3 a )2 (a(2 x x)令 y0, 解得 x2a, 在 x 2a , x 3 a 处 y 不存在 .132在, a内， y 0, 函数单一增添 .在 a, 2 a 内， y0, 函数单一增添 .22 3在 2a, a 内， y0, 函数单一减少 .在 a,内， y0, 函数单一增添 .3例 5 当 x 0 时， 试证 x ln(1 x) 建立 .证 设 f ( x) x ln(1 x), 则 f( x) 1 x .xf ( x) 在 [ 0, ] 上连续，且在 (0,) 内可导， f (x) 0,f (x) 在 [ 0, ] 上单一增添，f ( 0) 0,当 x0 时， x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x). 证毕 .应用单一性证明例 6 (E04) 试证明：当 x0 时 , ln(1 x)x 1 2 .x2证 作协助函数f ( x) ln(1 x)x 1 x 2 ,2由于 f ( x) 在 [ 0, ) 上连续，在 (0,) 内可导，且 f ( x)1x 2 ,1 x1 x1 x当 x 0 时， f (x) 0, 又 f (0) 0.故当 x 0 时， f (x)f (0) 0,所以 ln(1 x)x 1 x 2.2例 7 (E05) 证明方程 x5x 10在区间 ( 1,0) 内有且只有一个实根 .证 令 f ( x)x 5x 1, 因 f ( x) 在闭区间 [ 1,0] 持续，且 f ( 1) 1 0, f (0) 1 0.依据零点定理 f ( x) 在 ( 1,0) 内有一个零点 .另一方面， 关于随意实数 x, 有 f ( x) 5 x 41 0,所以 f ( x) 在 (,) 内单一增添，所以曲线 y f ( x) 与 x 轴至多只有一个交点 .综上所述可知，方程 x5x 1 0在区间 ( 1,0) 内有且只有一个实根 .例 8 证明方程 ln xx 1在区间 (0, ) 内有两个实根 .e证 令 f ( x)ln xx 1, 欲证题设结论等价于证f (x) 在 (0, ) 内有两个零点 .e令 f (x)1 1 0x e. 因 f (e)1, lim f ( x), 故 f (x) 在 (0,e) 内有一零点 .x ex又因在 (0,e) 内 f (x) 0, 故 f ( x) 在 (0, e) 内单一增添，这零点独一 .所以 , f ( x) 在 (0,) 内有且仅有两个零点 , 证毕 .例 9 (E06)判断yx ln(1x) 的凹凸性.解 由于y 1 1 , y 11 (1 x)2x所以，题设函数在其定义域( 1, ) 内是凹的 .例 10 (E07) 判断曲线 y x3的凹凸性.解y 3x2 , y 6x, 当 x 0 时， y 0, 曲线在 ( ,0] 为凸的；当 x 0 时， y 0, 曲线在 [ 0, ) 为凹的；注意到点 (0,0) 是曲线由凸变凹的分界点 .例 11 (E08) 求曲线 y 3 x4 4 x3 1 的拐点及凹、凸区间 .解易见函数的定义域为( , ),y 12x3 12x2 , y2 36x x.3令 y 0, 得 x1 0, x2 2 .3x ( ,0) 0 (0, 2 3) 2/3 (2/3, )f ( x) + 0 －0 +f ( x) 凹的拐点(0,1) 凸的拐点 ( 2/ 3,11/ 27) 凹的所以，曲线的凹区间为( ,0] ,[2 3, ) 凸区间为 [0,2 3] 拐点为(0,1)和(2 / 3,11/ 27) .例 12 求曲线 y sin x cos x( x ( 0,2 )) 的拐点 .解y c o xs si nx, y s i nx c o sx, y c o sx s i nx.令 y 0, 得 x1 3, x2 7 .4 432 0, f 72 0,f4 4在 [0,2 ] 内曲线有拐点为3,0 ,7,0 .4 4注：若 f ( x0 ) 不存在，点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能是连续曲线y f (x) 的拐点 .曲线凹凸性判断例 13 (E09) 求函数 y a 2 3 x b 的凹凸区间及拐点 .解y 1 1 , y 2 ,3 3( x b)2 93 (x b )5函数 y 在x b 处不行导，但 x b 时， y 0, 曲线是凸的，x b 时， y 0, 曲线是凹的 . 故点 (b,a 2 ) 为曲线 y a 2 3 x b 的拐点例 14(E10) 求出函数f ( )x3 3x2 9x5的极值 . x解f ( ) 3 2 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,令f (x) 0, 得驻点 x 1 1, x 2 3.x x列表议论以下：x(, 1)1( 1,3)3(3,)f ( x) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x)↑极大值↓极小值↑所以 , 极大值 f ( 1) 10, 极小值 f (3)22.例 15 (E11) 求函数 f ( x) ( x 4) 3 ( x 1) 2的极值 .解 (1) 函数 f ( x) 在 (,) 内连续，除 x1 外到处可导，且 f (x)5(x 1) ;33 x 1( 2) 令 f (x)0, 得驻点 x 1; x1 为 f ( x) 的不行导点 ;(3) 列表议论以下 :x( ,1)1( 1,1)1(1,)f ( x)＋ 不存在 － 0 ＋ f ( x)↑极大值↓极小值↑( 4) 极大值为 f ( 1) 0, 极小值为 f (1)33 4.例 16 求函数 f x x3 x22 / 3的单一增减区间和极值.解 求导数 f ( x) 1 x 1/ 3 , 当 x 1 时 f (0) 0, 而 x 0 时 f ( x) 不存在 ,所以，函数只可能在这两点获得极值. 列表以下 :x(,0)(0, 1)1(1,)f ( x)＋ 不存在 － 0 ＋f ( x)↗极大值 0↘ 极小值1↗2由上表可见：函数 f ( x) 在区间 ( ,0), (1, ) 单一增添 , 在区间 (0,1) 单一减少 .在点x 0 处有极大值 , 在点 x1处有极小值 f (1) 1,如图.2例 17 (E12) 求出函数f ( x ) x 33 224 x 20 的极值 .x解f( ) 3 2 6 x 24 3( x 4)( x 2), 令 f ( x) 0, 得驻点 x4, x 2.x x12又 f (x) 6 x 6, f ( 4) 18 0,故极大值 f ( 4) 60, f (2)18 0,故极小值 f (2)48.注意： 1. f ( x0 ) 0 时, f ( x) 在点x0处不必定取极值, 仍用第一充足条件进行判断.2.函数的不行导点 ,也可能是函数的极值点 .例 18 (E13) 求函数 f ( x) ( x2 1)3 1的极值 .解由f ( ) 6 ( 2 1)2 0, 得驻点x 1, x 0, x 1. f ( x) 6(x 2 1)(5x 2 1).x x x31 2因 f (x) 6 0, 故 f ( x) 在 x 0 处获得极小值，极小值为 f (0) 0.因 f ( 1) f (1) 0, 故用定理 3 没法鉴别 .观察一阶导数 f (x) 在驻点 x1 1 及 x3 1左右周边的符号 :当 x 取 1 左边周边的值时, f (x) 0;当 x 取1右边周边的值时, f ( x) 0;因 f (x) 的符号没有改变，故 f ( x) 在 x 1 处没有极值 . 同理， f (x) 在x 1处也没有极值 . 以下图 .例 19 求出函数 f ( x) 1 (x 2) 2/ 3的极值 .2( x 1解 f ( x) 2) 3 (x 2). x 2 是函数的不行导点 .3当 x 2 时 , f ( x) 0; 当 x 2 时 , f (x) 0.f (2) 1 为 f (x) 的极大值 .讲堂练习1. 若f (0) 0, 能否能判断 f (x) 在原点的充足小的领域内单一递加?2.设函数 f ( x) 在 (a, b) 内二阶可导, 且 f ( x0 ) 0, 此中x0 (a, b) , 则 (x0 , f (x0 )) 能否一定为曲线 f (x) 的拐点 ?举例说明 .。
函数的单调性与凹凸性
函数的单调性与凹凸性在数学中，函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。
本文将介绍函数的单调性和凹凸性的定义以及它们在解决实际问题中的应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值随自变量的增大或减小而增大或减小的规律。
具体地，一个函数在区间上是单调递增的，即当x1 < x2时，f(x1) ≤ f(x2)，则称函数在该区间上是递增的。
类似地，如果一个函数在区间上是单调递减的，即当x1 < x2时，f(x1) ≥ f(x2)，则称函数在该区间上是递减的。
函数单调性的研究可以帮助我们确定函数的增减区间以及解决一些优化问题。
例如，在生产成本最小化的问题中，我们可以通过研究成本函数的单调性来确定最佳生产量。
二、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在定义域上的弯曲程度。
具体地，如果一个函数在区间上任意两点间的连线位于函数图像的下方，则称函数在该区间上是凹的；如果函数图像上任意两点间的连线位于函数图像的上方，则称函数在该区间上是凸的。
凹凸性常常与函数的极值点相关。
对于一个凸函数，在定义域上任意两点连线的斜率都大于函数图像上相应的切线斜率，而对于一个凹函数，则相反。
因此，研究函数的凹凸性能够帮助我们找到函数的极值点。
三、在实际问题中，函数的单调性与凹凸性常常同时存在，并能够相互影响。
例如，对于一个单调递增的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凸函数的子区间。
同样地，对于一个单调递减的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凹函数的子区间。
函数的单调性和凹凸性的研究除了能够帮助我们解决实际问题外，还能够提供对函数图像性质的深入理解。
通过观察函数图像的单调性和凹凸性，我们能够得到更直观的信息，比如函数的整体趋势、局部极值点等。
总结：函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。
函数的单调性描述了函数值随自变量增减变化的规律，而函数的凹凸性则描述了函数图像的弯曲程度。
函数的单调性和凹凸性不仅能够解决实际问题，还能够提供对函数图像性质的深入理解。
3.3函数的单调性、凹凸性与极值
o
x
o
x
22
2.4 导数的应用(118)
如图中曲线弧AB是单增的曲线. 但从A
B
到 C 的曲线是向上凸的; 从 C 到 B 的
曲线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸 的分界点, 我们称为拐点.
A
• C
显然, 曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸)的分界点 对我们研究函数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凸
x0
2.4 导数的应用(118)
16
当 xk
1 1 ( 2k ) 2
时， f ( x k ) 1
4 1 ( 2k ) 2
0
1 当 xk 时， 2 k
f ( xk ) 1 0
注意 k 可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻 域内，f ( x ) 都不单调递增．
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在(,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
2.4 导数的应用(118)
15
思考题解答
不能断定.
1 2 x 2 x sin , x 0 x 例 f ( x) 0, x0
1 lim f (0) x0(1 2 x sin ) 1 0 x
1 1 但 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x x
小结与思考题1
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立. 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个 数和证明不等式.
§3.4 函数的单调性与凹凸性
为铅直渐近线
导数的应用
又因
即
为斜渐近线.
( x 3) 2 y 4( x 1)
5) 求特殊点
( x 3)( x 1) y 4( x 1) 2 2 y ( x 1)3
导数的应用
6）绘图
(极大)
无 定 义
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
( x 3) 2 y 4( x 1)
的单调区间.
导数的应用
2.函数的极值
定义:
在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
导数的应用
3. 函数极值的判定 定理3.4.2 (极值第一充分条件) 设 f (x) 在 x0 处连续, 在 x0 的某去心 δ 邻域内可导, (1) 如果当 如果当 (2) 如果当 如果当 (3) 如果 在
导数的应用
§3.4 函数的单调性与凹凸性
3.4.1 函数的单调性与极值 3.4.2 函数凹凸性及其判定 内容小结与作业
导数的应用
3.4.1 函数的单调性与极值
1. 函数的单调性判定
y B D
A
O
C
x
对曲线段
、
，其各点处的切线斜率为正，曲
线是上升的；对曲线段 为负，曲线是下降的．
，其各点处的切线斜率
f ( x) 0.
导数的应用 \\5.4.2 函数凹凸性及其判定
例9
求曲线
的凹凸区间和拐点.
例10 求曲线
的凹凸区间和拐点.
导数的应用
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２０ ０ ７年 ９月
渭南师 范学院 学报
Ｊ ｕ ａ ｆＷ ｅｎ ｎＴ ａ ｈ ｒ ｎｖ ｒｉ ｏ ｒ ｌ ｉａ ｅ ｃ ｅｓＵ ｉｅｓｔ ｎ ｏ ｙ
Ｓ ｐｔ ００ ｅ ．２ ７
第２ ２卷 第 ５期
Ｖ １ ２ Ｎｏ ５ ０． ２ ．
，
明 显 地 ｔ０ ， ）关 于 ｔ 递 增 函 数 ． 其 两 边 取 对 数 并 求 导 数 ， 算 得 是 对 计
［ｎ （ １ ，
由 中值 定 理 ， 有 ・ ｎ ｃ 其 中 ０ ＜０ ＜
广义对数均值 的单调性和 凹凸性
赵 教 练
（ 渭南 师范学 院 数学系 ； 陕西 渭南 ７４ ０ ） １００ 摘
凸性．
要： 拓广平 均由 Ｋ Ｂ Ｓｏ ｒ ｙ给出定义并 列出其各种形式 ， ． ．ｔ ａｓ ｌ ｋ 而大部分含有两个变量的平均值都是拓广平均值的某
种特殊情形 ． 文章给出拓 广平均值 的一类情形 ， 并利用有关 中值定 理和导 数工具着重讨 论了此类 平均值 函数 的单 调性 、 凹 关键词 ： 拓广平 均 ； 广义对数平均 ； 单调性 ； 凹凸性
数 ｔ ）的算 术 均 值
：
ｔ 一 ≠・ ， ，０ ，
（ ６ ）
本 文 的 目 的就 是 讨 论 形 如 Ｆ（ ， ｒｒ＋１ ， ）的 均 值 函数 的 单 调 性 和 凹 凸 性 ． ； ， ，
引理 【 设 在 区间 Ｉ ｔ， １ 函数 ）的二 阶导数 存在． 函数 ） ｊ 是递增 （ － 若 在 上 或是 凸 函数 ） 那么 函 ，
墨： ！ ｉ 一 ：（ ： ： ２ ：
Ｏ ｘ
！ ： ！ 二曼 ！兰 ！２ ＝ ： ！ ！！
Ｘｒ － ￣Ｉ ｓ ｕ －ｄｕ ＇＇
’ 而 。
又 有
丁
一 丁
ｃ 丁
ｆｔｕ ｕｄ － ｌ
，
（ Ｏ） １
由 中值 定 理 ， 有
ｓｎ ｇ［
］ ＝ ｓ ｇ
－ｒ ）
因 此 ， （ ， ； ， ／ ｘ ０， 有 Ｅ（ ， ； ，）随 ｘ， ｒｓ ， ） Ｏ ， 则 ｒ３ ， ， ｙ递 增 ．
分 析 Ｅ（ ， ； ， 把 它 当 作 ｒｓ为 白变 量 的 函 数 ， 柯 西 一 施 瓦 茨 不 等 式 得 ｒｓ ， ）， ， ， 由
［ ｔ ：［（ 丁，－ ］ ｇｔ 。） ｇ） ］ ｒ１）ｔ Ｉ ， ｎ ｌ丁 （ｇ（ ， －ｔ ｄ ） ｔ
所 谓 的 拓 广 平 均 值 Ｅ ｒｓ ，） 先 由 Ｋ． ． ｔ ａｓｙ １７ （ ，； ｙ 首 Ｂ Ｓｏ ｒｋ 于 ９ ５年 在 ［ ］ 提 出 ， 且 证 明 Ｅ（ ，； ， 在 ｌ １ 中 并 ｒｓ ，） ，
其 定 义 域 内 是 连 续 的 ， 定 义 为 其
Ｅ （ ， ＝ ÷‘ 专 ， ， ［ ）
ｔ≠ ０ ； ｔ ＝ ０；
（） ２
函数 ｇ ｔ （ ）的 积 分 形 式 为
ｇ ｔ ，） （； ， ， ＝ ｔ ， － Ｉ ｔ∈ Ｒ （） ３
阶
＝
，
？
（ ｒ—ｓ （ 一 ， ≠ ０； ） ， ）
ｒ ＝ ｓ 一 ） ， ，≠ ０．
㈩
（） ５
Ｆ ＝ ｌＥ（ ， ； ） ＝ ｎ ｒ ｓ ，， ）
２０ ０ ７年 第５期
赵教 练 ： 广义对数 均值 的单调性和 凹凸性
・ ９・ ２
证 明 因为
ｍ 一 ， 』 ，＝， ＋ ｌ
由（ ６）式 ， 算 得 计
Ｉ ｌ 鲁
！ ： ！！ 兰２ ＝ 二
ｇ （ ， ， ｒ ， ） ，
（ ７）
生 墨 ！ ：：）一曼 ： ！ （： 璺 ！： ！
Ｏ ｘ —
！！２
（ ８）
．１ ＿眦 ［） （
则 拓 广 平 均 （ ，； ， ｒ ｓ ，， ）随 阳 ， 而 递 增 ． ， 对 于（ ｒ—ｓ （ 一 ， ≠ ０， ） ， ） 有
）ｄ南 ＞ Ｕｕ ｒ］ ｏ － Ｉ ．
： ： ！
ｇ （ ， ，） ｒ ，， （ ９）
’
ｊ Ｉ ．
，， ）
，
ｒ＝ ｓ
在 ，上 关 于 ｒｓ也 是 递 增 （ 是 凸 ）的 ． 。 或
定理 １ 广义 对数 平均 Ｆ（ ， ＋１ ，）在 ［ ， ］区间 内是 ｒ ｒｒ ； ， ， ０Ｉ 的增 函数 ， ， ， ，＞０ ｒＥ Ｒ ， ・
维普资讯
中图分 类号 ： ５ ． ０１６２ 收稿 日期 ：０ ６ ２ ６ ２ ｏ —１ —ｏ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ：０ ９ ５ ２ （０ ７ ０ － ￣ ８－ ２ １０ － １８ ２０ ）５ ４ －－ ０
作者简介 ： 赵教练（ ９９一） 男 ， １７ ， 陕西韩城人 ， 渭南 师范学 院数学系教师．
直接计 算得
（ ２ １）
［ ｔ 一 哄 ）］： ｇ（
假 设
ｇ （） ｔ
＞． ０ 。
（ ３ １）
所 以 ｇ ） ｇ（ ）随 ｔ 递 增 的 ， ｔ ／ ｔ 是 ｔ∈ Ｒ．
舭 ＝［ ）
， ） － ｅｐ （ ｘ［
］， 寺
］， ’
≠ ｏ ，
（ ４） １
其 中 ，，＞ ０且 ｒ ｓ∈ Ｒ． ） ，
（ ｒ—ｓ （ — ｙ ≠ ０； ） ）
（） １
嚣
对 于 ，，＞ ０且 ｔ∈ Ｒ， 以定 义 一 类 函数 ｇ ） 可
ｒ 二 ：
ｇｔ （ ）＝ｇｔ ，）＝｛ ｔ ’ （ ， 【 ；，
ｌ ｙ — ｌ ｘ， ｎ ｎ
本 文 将 对 两 个 自变 量 相 差 为 １的 一 类 均 值 函数 进 行 讨 论 ， 类 平 均 值 称 为 广 义 对 数 平 均 ． 这 由（ ） 得 广义对 数平 均值 可以表 示为 ５ 式
， ， １， ＝ ， １， ＝ｒ （ ＋；， ｌ（ｒ ；， Ｉ ｒ ） ｎ ｒ＋ ， ｒ ， ）