毕业设计4“极点配置设计状态反馈控制器的算法”阅读材料-WSC
状态反馈极点配置基本理论与方法
状态反馈极点配置基本理论与方法IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+=由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3）矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4）特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程的得到最佳的状态反馈矩阵。
5.状态反馈控制器的设计
Chapter5 状态反馈控制器设计控制方式有“开环控制”和“闭环控制”。
“开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能。
然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”。
在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。
通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性。
利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。
参见138P 例5.3.3，通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量%5≤p σ，峰值时间（超调时间）s t p 5.0≤，阻尼振荡频率10≤d ω。
5.1 线性反馈控制系统的结构与性质设系统),,(C B A S =为 Bu Ax x+= Cx y = （5-1）经典控制中采用输出(和输出导数)反馈（图5-1）：其控制规律为： v Fy u +-= F 为标量，v 为参考输入 （5-2）Bv x BFC A v Fy B Ax Bu Ax x+-=+-+=+=）（）（ 可见，在经典控制中，通过适当选择F ，可以利用输出反馈改善系统的动态性能。
现代控制中采用状态反馈（图5-2）：其控制规律为： v Kx u +-=，n m K ⨯~ （5-3） （K 的行=u 的行，K 的列=x 的行）称为状态反馈增益矩阵。
状态反馈后的闭环系统),,(C B A S K K =的状态空间表达式为Bv x A Bv x BK A xK +=+-=)( Cx y = （5-4） 式中： BK A A K -≡图5-1 经典控制-输出反馈闭环系统图5-2 现代控制-状态反馈闭环系统若FC K =，“状态反馈”退化成“输出反馈”，表明“输出反馈”只是“状态反馈”的一种特例，因此，在经典控制理论中的“输出反馈”（比例控制P ）和“输出导数反馈”（微分控制D ）能实现的任务，状态反馈必能实现，反之则未必。
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理理论篇
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
x(t)
0 6
1 0 5x(t) 1u(t)
y(t) 2 1x(t)
试求：（1）求状态反馈矩阵F使闭环系统有期望 极点s1,2=-3±2j; (2)绘制带有状态反馈控制器的状态变量图
举例----求解过程
解： 0
B 1
0 1 0 1 AB 6 51 5
rankS
rankB
AB
0 1
1 5
2
系统能控。
举例----求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
(s s1)(s s2 ) (s 3 2 j)(s 3 2 j) s2 6s 13
设： F f1 f2
s sI A BF
6 f1
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
| sI A BF |
0 1
0 0
s 0
0
s
s
0
a0
0 a1
1
0
1
0
f1
f
2
f
n
an1 1
极点配置法设计状态反馈控制器
——《自动控制原理-理论篇》第8.8节
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理理论篇
——《自动控制原理-理论篇》第8.8节
自动化工程学院自动控制原理课程组制 2015年11月
主要内容
状态反馈控制系统 状态反馈控制器设计条件 用极点配置法设计状态反馈控制器 举例
主要内容
状态反馈控制系统 状态反馈控制器设计条件 用极点配置法设计状态反馈控制器 举例
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
| sI A BF |
0 1
0 0
s 0
0
s
s
0
a0
0 a1
1
0
1
0
f1
f
2
f
n
an1 1
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
x(t)
0 6
1 0 5x(t) 1u(t)
rankB
AB
0 1
1 5
2
系统能控。
举例求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
(s s1)(s s2 ) (s 3 2 j)(s 3 2 j) s2 6s 13
设： F f1 f2
s sI A BF
6 f1
1x(t)
F 7 1
反馈控制与极点配置
例 考察下述能控能观的系统
它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为 其闭环特征多项式为s2+h。
上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能 进行任意的极点配置。
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭 环特征多项式f*(s)分别为
f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
在例3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需 先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
证明过程的思路为:
•对状态不 完全能控开 环系统进行 能控分解
•对能控分 解后的系 统进行状 态反馈
•其完全不 能控子系统 不能进行极
点配置
•与假设 矛盾,必
要性得 证
➢ 被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
其中状态变量 是完全能控的;状态变量 是完全不能控
➢ 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
➢ 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。
➢ 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状置方法
极点配置算法1（维数较大） 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态 空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期 望的闭环系统特征多项式的系数。
状态反馈极点配置基本理论与方法
第2章 状态反馈极点配置设计基本理论2.1引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+= (2.1)由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+ (2.2)其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++= (2.3)闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
2.2极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ= (2.5a)FX G = (2.5b)（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
极点配置与状态反馈
输出反馈对能控性、能观性的影响
定理：输出至状态微分处的反馈不改变系统 的能观性，但可能改变系统的能控性。
u
B
x x C y
A
x (A HC)x Bv
y Cx
H
示例：Y (s) U (s)
b1s b0 s2 a1s a0
A
0 1
a0 a1
,
b
b1 b2
,
c
0
1
A
hc
0 1
无直接传输系统的状态反馈
原系统
x Ax Bu
y Cx
引入状态反馈 新系统
u v Kx
x (A BK)x Bv
y Cx
v uB
x x C y
A
K
状态反馈增益矩阵K的维数？系统的特征多项式和传 递函数？
输出反馈至参考微分处
新系统
x (A HC)x Bu y Cx
传递函数 C(sI A HC)1B
Ao P1AP, bo P1b, co cP
0 1 0 0 0 0
0
0
1
0
0
1
Ao
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
,
bo
2 3
,
co
1
0
0
0
0
a0 a1 a2 a3 a4 4
第一能观标准型
Review
SISO系统第二能控、能观标准型1
第二能控标准型
0 1 0 0 0
0 0 0 0 a0
b1
1
0
0
0
a1
b2
Ao
0 0
1 0
0 1
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理
这两个多项式的系数相等，可得出：
0 0
1
1
n n1
i中含F阵系数fij
当F阵为1 n时
n个方程可解n个系数 fi
(i 1,2,...,n)
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
设系统期望的闭环极点为s1、s2、sn ,则其
闭环特征式为s s1 s s2 s s3 s sn
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
ห้องสมุดไป่ตู้
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
s
1
0
0
0
0
s
1
0
0
0
0
0
s
1
a0 f1 a1 f2 a2 f3 an2 fn1 an1 fn s
sn (an1 fn )sn1 a1 f2 s a0 f1
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
解：
系统能控。
举例----求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
设： F f1 f2
F 7 1
w
u+
x2 ∫
--
++ -5
x2 x1
∫ x1
-
F 7 1
1
+
2
+
y
-6 1
7
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
试求：（1）求状态反馈矩阵F使闭环系统有期望 极点s1,2=-3±2j; (2)绘制带有状态反馈控制器的状态变量图
极点配置状态反馈控制器的设计
极点配置状态反馈控制器的设计王俊伟于新海(河套学院机电工程系)摘要围绕双级倒立摆案例，对极点配置状态反馈控制器的设计方法展开讨论，对最终的计算结果进行仿真,并通过仿真结果分析了系统的稳定性、动态性能和稳态误差情况。
倒立摆的开环系统状态空间模型状态不稳定且动态性能较差，通过引进极点配置状态反馈控制器，倒立摆的闭环系统状态达到稳定，而且动态性能得到改善。
关键词状态反馈控制器双级倒立摆极点配置能控标准型爱克曼公式动态特性稳态误差中图分类号TH865文献标识码B文章编号1000-3932(2021)01-0015-05极点配置状态反馈控制器设计得好坏直接决定了控制系统动态性能的优劣！配置极点的目的不仅是使系统稳定还要使系统的动态性能满足控制要求[1]!在配置状态反馈控制器时，根据被控制对象的要求，可以采用3种方法实现:极点配置状态反馈控制器的直接法、极点配置状态反馈控制器的变换法和爱克曼公式[2]'这3种方法仅适用于单输入系统，优点是只要系统能控，就可以实现极点配置的状态反馈，缺点是不能用于多输入系统的极点配置状态反馈控制器。
对于单输入系统，如果系统能控可以实现极点的任意配置,改善动态性能，但有可能使闭环控制系统的稳态误差变大[3]!1极点配置状态反馈控制器的直接法线性时不变系统如下:x=Ax+Bu(])'=Cx其中,X是系统的*维状态向量;*是状态向量对时间的导数;u是状态反馈控制律；#、B和C是适当维数的已知常数矩阵;'是系统的输出。
采用的状态反馈控制律是:u=-kx+v(2)其中，-是一维外部输入;k是反馈增益矩阵。
将式(2)代入式(1)得到闭环系统状态方程：*二(.-Bk)x+B-(3)极点配置状态反馈控制器的直接法分5步实现⑷。
第1步,检验系统(1)的能控性,如果系统能控,进行第2步。
第2步，计算闭环系统特征多项式：)et[!0—(#—Bk)]二！*+(3*_]+k*_14!*i1--------(3]+k])!+30+,0(4)其中，！是闭环极点。
状态反馈与闭环极点配置极点配置条件
u B
x
x
y
∫
C
A
H
-
B
∫
C
实际系统基于准确模型，且
A
没有考虑扰动
代入 ye C xe
25
附1：存在扰动时的状态误差
u B
x
x
dy
∫
C
A
H
-
B
∫
C
A
代入 ye C xe d
存在扰动时，不能使状态误差→0
26
附2：存在模型失配时的状态误差
u B'
x
x
y
∫
C'
A'
H
-
B
∫
C
A
存在模型失配时，不能使状态误差→0
2
一、状态反馈与输出反馈
1. 状态反馈
u B -
x
xy
∫
C
A
闭环传函？状态
K
方程？
加入状态反馈后的系统结构图
3
综合的手段：改变 K 阵的参数 综合的目的：改变系统矩阵，从而改变系统的特性
注：状态反馈通常只用系数阵即可满足要求， 一般不需要采用动态环节
4
2. 输出反馈
u B -
x
xy
∫
35
闭环传递函数的不变性
闭环传递函数等同于直接状态反馈的情况； 观测器的引入不影响闭环传递函数
注：分离性原理和传函的不变性都基于精确模型 36
仿真例： 系统的状态空间表达式同前面例
（1）要求状态观测器的特征值为 （2）通过状态反馈将系统的闭环极点配置为
（3）仿真验证观测状态对实际状态的跟踪情况，
27
状态观测器的等价结构
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阅读材料： 极点配置设计状态反馈控制器的算法工程实践中，系统的动态特性往往以时域指标给出，比如要求超调量小于等于多少，超调时间不超过多少，阻尼振荡频率不大于多少等。
例1（138P 例5.3.3）如例5-6图被控系统，设计状态反馈控制器，使得闭环系统是渐近稳定的，而且闭环系统的：超调量%5≤p σ，峰值时间（超调时间）s t p 50．≤，阻尼振荡频率10≤d ω。
例1 图1 系统结构图 解：仿照例5-5 )(1)(21s X s s X =，)(211)(32s X s s X +=，)(61)(3s U s s X += （1） ⇒ 状态方程： )()(6)()()(12)()()(3332221t u t x t xt x t x t xt x t x+-=+-== （2） 输出方程：1321)001(x x x x y =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= （3）由例5-6系统结构图，可以得到被控系统的一个状态空间模型。
x y u x x)001(1006001120010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=， （4） 容易检验该系统是能控的，因此，可以通过状态反馈来实现闭环系统的任意极点配置。
先写出开环系统的传递函数 072181)6)(12(1)(23+++=++=s s s s s s s G （5） 本题无开环零点，闭环系统的动态性能完全由闭环极点所决定。
由于所考虑的系统为3阶系统，故有3个闭环极点。
期望的3个闭环极点可以这样安排：一个极点远离虚轴，对闭环系统性能影响极小，于是可将系统近似成只有一对主导极点为22,11ζωζωλ-±-=n n j 的2阶系统。
ζ—2阶系统的阻尼比； n ω—2阶系统无阻尼自振频率。
由关系式： %5e 21/≤=--ξξπσ，s 5.012≤-=ζωπn p t （6）（参见《自动控制技术》，吴舒辞，中国林业出版社，2000年4月，37P 表2.5）当取 10707021≥=≥n ωζ，．，07.7≥n ζω时，满足上述条件。
为简单计，上式取等号10707021===n ωζ，．，07.7=n ζω （7） 经配置后，闭环系统的主导极点为：0770771221．．，j j nn ±-=-±-=ζωζωλ （8） 此时，1021==n ωλ，，取另一“远离虚轴”极点为10010213-=-=，λλ 引入反馈增益矩阵K 后，期望的闭环特征多项式1000015101.114)2)(100()(2322+++=+++=s s s s s s s f n n ωζω期望 （9）采用直接法在“非能控系统”中配置极点,设)(321k k k K =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6112010)(1006001120010321321k k k k k k BK A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-=--321611201det )](det[k s k k s sBK A sI123233)7212()6(k s k k s k s +-++++= （11）比较（9）（11）两式 ⎪⎩⎪⎨⎧==++=+10000151072121.114181233k k k k （12）求解（12）可得反馈增益为 )1.968.28410000(=K （13）所求的状态反馈为 v x x x v kx u +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=321)1.968.28410000(v x x x +---=3211.968.28410000 （14）同理，根据状态方程（2）、输出方程（3）和状态反馈方程（14）可以画出系统状态结构图（略）。
例5-7（140P 例5.3.4）倒立摆系统的线性化状态空间模型（对应0≈θ）为u x Bu Ax x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=10100110010000100001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθ yy x 1)0001(x x Cx y ===其中：y 是小车的位移，y 是小车的速度，θ是摆杆的角位移，θ 是摆杆的角速度，u 是作用在小车上的力。
设计一个状态反馈控制器Kx u -=，使系统的闭环极点是j ±---121 解：开环系统的特征多项式为24211)11)(11()det(s s s s s A sI -=+-=- （1） 对应极点 )111100(-，因此，开环系统是不稳定的。
例5-7图1是倒立摆以初始状态⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11.001.0)0(x 的开环系统状态变量轨迹图。
例5-7 图1 倒立摆“开环”系统各状态量随时间变化图小车位移图（左上）：)(1t y x =， 小车速度图（右上）：)(2t yx =； 摆杆角位移图（左下）：)(3t x θ=，摆杆角速度图（右下）：)(4t x θ = 轨迹图进一步验证了这一事实，它们都远离原点，都是不稳定的。
但倒立摆系统是能控的，因此可以进行极点配置，以保证闭环系统是渐近稳定的。
希望有410105]1)1)[(2)(1()(2342++++=++++=s s s s s s s s f （2） 注意，不是能控标准形，不能直接用（5-26）)...()...(111100110------==n n n a b a b a b k k k k直接法：在“非能控标准形”中设 )(4321k k k k K =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-)(101001100100001000010det )](-[det 4321k k k k sI BK A sI⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-------=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=-4321432143214321111001001det 1110010010det k s k k k s k k k s ks k k k k k k k ksI BKA122133244101011)()(k s k s k k s k k s ++--+-+= （3） 比较（2）、（3）两式同次幂的系数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--=-410101010115121324k k k k k k ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4.0121.461234k k k k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=43214321)64.2114.0()(x x x x x k k k k Kx u432164.214.0x x x x ----= （3）闭环系统为 x k kk k k k k kx BK A xBKA -⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-=4321432111100010010)( ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=432164.1014.0100064.2014.00010x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----==+++==4321443432122164.104.064.204.0x x x x x x x x x x x xx x（4）1)0001(x x Cx y === （5） 根据（3）、（4）、（5）可画出闭环系统状态结构图（略）。
编制和执行以下m-文件，再在闭环系统中考察初始状态⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11.001.0)0(x 的响应，可得（参见142P ）例5-7 图2 倒立摆“闭环”系统各状态量随时间变化图倒立摆“闭环”系统轨迹图例5-7图2，进一步验证了这一事实，无论初始条件如何，系统的各个状态最终都会“到达”平衡点原点，系统是稳定的。
5.3.3 Ackermann 公式Ackermann （爱克曼）公式给出了极点配置K 的解析表达式，特别适合于编程计算。
假设系统是状态完全能控的，给定的期望闭环极点为n λλλ，，， 21，线性状态反馈控制器为Kx u -=，得到闭环系统状态方程为BK A A x BK A xK -=-=，)( （5-27） 则极点配置要求K 满足 )())(()det(21n K A I λλλλλλλ---=- 即： 0111)(d d d f n n n +++=--λλλλ 希望 （5-28） 根据Cayley-Hamilton 定理，K A 应满足其自身的特征方程，即0)(0111=+++=--I d A d A d A A f K n K n n KK （5-29） 为简化推导，以3=n 为例，可以方便地推广到任意阶的单输入系统考虑恒等式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=--=-==223322KK KKKKBKA ABKA BK A A A BKA ABK A A BKA A II（5-30） 将上述等式分别1210、、、d d d ⨯并相加得32210KK K A A d A d I d +++ 2232210)()(K K K BKA ABKA BK A A BKA ABK A d BK A d I d ---+--+-+=2222132210KK K BKA ABKA BK A BKA d ABK d BK d A A d A d I d ------+++= 按（5-29），上式即22221)()(K K K K KA B KA AB K B A KA B d K AB d K B d A f A f ------= 应用（5-29） 0)(32210=+++=K KK K A A d A d I d A f 得 BK A KA K d AB KA KA d K d B A f K K K 22221)()()(+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=K KA K d KA KA d K d B A ABB K K K 22212)( （5-31）由于系统完全能控，能控性矩阵可逆，故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-K KA K d KA KA d K d A f B A ABB K K K 222112)()(（5-32）两边左乘)100(，（最后一行的“提取”向量）可得)())(100(12A f B A AB B K -= （5-33） 显然，此结果推广到n 阶单输入系统。
)())(100(11A f B A AB B K n --= （5-34） 式中： I d A d A d A A f n n n 0111)(+++=-- 0111)(d d d f n n n +++=--λλλλ 希望 （5-34）称为Ackermann 公式。