江西省百所名校2020-2021学年高三第四次联考数学(文)试题
江西省抚州市2020-2021学年高三4月教学质量监测数学(文科)试题及答案解析
2021 年文科数学第 2页（共 8 页）
cos PF1F2
5 9
3.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．e2 2
【解析】由题意可知， x 1，e，
f
x
x2
2ln
a
b
cos ，
2
cos 2 a 2 .0 ， = .
ab 2
4
9. D
【解析】∵ O
的半径为
1， OA OB
1 ，得 cos AOB
1
, AOB
2
，∴圆心到
2
2
3
直线 AB 的距离为 1 ，则
1
1 ，k
3
．
2
1 4k2 2
2
10. C
【解析】由三视图可知，该几何体由一个半圆锥和一个三棱 柱组合而成，如图所示，其中半圆锥的底面半径为 1，三棱柱 的侧面是边长为 2 的正方形，底面是边长为 2 的正三角形， 则该几何体（含表面）内任意两点间的最大距离为 MA，故
y＝x，
有最小值，且 zmin＝3a；当直线过点 B(1，1)时，目标函数 z＝2x＋y 有最大值，且 zmax＝3.
依题意，得 3＝2×3a，则 a＝ 1 ，得 A( 1 ，3)，可行域的面积为
2
22
S ABC
1 2
yA yC
xB xC
1 1 1 1 . 2 24
15. 43 【解析】按照程序框图执行，b 依次为 0，1，3，3，11，11，43，43.当 b＝43 时，i＝7＋1 ＝8，跳出循环，故输出 b＝43. 16.306
2020届江西省百所名校高三下学期第四次联考数学(理)试卷及解析
2020届江西省百所名校高三下学期第四次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,(){}ln 1A x y x ==+,{}220B x x x =--<,则() U B A =（ ）A. ()2,+∞B. (),2-∞C. ∅D. ()1,2- 【答案】B【解析】 根据已知条件先求出集合A 和集合B ,再求出集合A 的补集,再运用集合的并集运算即可. 【详解】因为{}1A x x =>-,{}12B x x =-<<, 所以{} 1U A x x =≤-,故(){} 2U B A x x ⋃=<.故选：B2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家,为数学界作出了巨大贡献,其中就有欧拉公式：cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系,被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式,则复数43i z iπ=的模为（ ）C. D. 2 【答案】B【解析】由题意可得4i e π=,代入43i z i π=+并对其化简,再代入模长计算公式即可.【详解】因为422i e π=+, 所以433112i z e i i i iπ==-++=-,从而5z =.故选：B3.空气质量AQI 指数是反映空气质量状况指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表：AQI 指数值 [)0,50[)50,100 [)100,150 [)150,200 [)200,300 [)300,+∞ 空气质量优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染如图所示的是某市11月1日至20日AQI 指数变化的折线图：下列说法不正确的是（ ）A. 这20天中空气质量为轻度污染的天数占14B. 这20天中空气质量为优和良的天数为10天C. 这20天中AQI 指数值的中位数略低于100D. 总体来说,该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】根据已知条件对每个选项进行判断即可.【详解】对于A ,20天中AQI 指数值高于100,低于150的天数为5,即占总天数的14,故A 正确； 对于B ,20天中AQI 指数值有10天低于100,故B 正确；对于C ,20天中AQI 指数值有10天低于100,10天高于100,根据图可知中位数略高于100,故C 错误；对于D ,由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些,故D 正确.故选：C。
江西省百所名校2019-2020学年高三第四次联考数学(文)试题
江西省百所名校2019-2020学年高三第四次联考数学（文）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 全集，，，则（）A．B．C．D．2. 欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：（为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数的模为（）A．B．C．D．3. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则的离心率为（）A．B．C．D．4. 在递增的等差数列中，是方程的两实数根，则公差（）C．D．A．B．5. 空气质量AQI指数是反映空气质量状况指数，AQI指数值越小，表明空气质AQI指数值空气优良轻度污染中度污染重度污染严重污染质量如图所示的是某市11月1日至20日AQI指数变化的折线图：下列说法不正确的是（）A．这天中空气质量为轻度污染的天数占B．这天中空气质量为优和良的天数为天C．这天中AQI指数值的中位数略低于D．总体来说，该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好6. 函数的部分图像大致为（）A．B．C．D．7. 下图是为了统计某班名学生假期期间平均学习时间而设计的程序框图，其中表示第位学生的学习时间，则判断框中可以填入的条件是（）A．B．C．D．8. 在正方体中，为的中点，为正方形的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9. 已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，需要将函数的图象向右平移个单位长度，则的最小值为（）A．B．C．D．10. 已知函数是定义在上的偶函数，且满足，且当时，，则（）A．B．C．D．11. 定义在上的偶函数，其导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．12. 已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，，且满足，以为中点的线段的两端点分别为，其中在轴上，在上，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题13. 若非零向量，满足，，则与的夹角的余弦值为______.14. 若实数满足约束条件，则的最大值为______.15. 已知高为的正三棱柱的外接球的体积为，则该正三棱柱的底面边长为______.三、双空题16. 在数列中，，前项和满足.令，则______；若数列满足，，则______.四、解答题17. 今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员人，其中岁及以上的共有人.这人中确诊的有名，其中岁以下的人占.确诊患新冠肺炎未确诊患新冠肺炎合计50岁及以上4050岁以下合计10 100（1）试估计岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的概率；（2）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有％的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关；0.10 0.05 0.010 0.005 0.0012.7063.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中.18. 在锐角中，角的对边分别为，为边上一点，（1）求；（2）若，为的三等分点（靠近点），求.19. 如图，在直五棱柱，中，//，，，，，.（1）证明：平面；（2）求四棱锥的体积.20. 如图，设是椭圆的左焦点，分别为左、右顶点，，离心率，过点作直线与椭圆相交于不同的两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值.21. 已知函数的图象在处切线与直线平行.（1）求实数的值，并判断的单调性；（2）若函数有两个零点，且，证明.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线过点，且斜率为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，直线的极坐标方程分别为，. （1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）已知直线与直线的交点为，直线与曲线的交点为，，求的值.23. 已知函数.（1）若有解，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，实数的最小值为，若为正数，且，证明：.。
2020届 全国大联考 高三第四次联考数学(文)试题(解析版)
2020届全国大联考高三第四次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|340A x x x =--<，{}|23xB y y ==+，则A B =U （ ） A ．[3,4) B ．(1,)-+∞C ．(3,4)D ．(3,)+∞【答案】B【解析】分别求解集合,A B 再求并集即可. 【详解】因为{}2|340{|14}A x x x x x =--<=-<<,{}|23xB y y ==+{|3}y y =>,所以(1,)A B =-+∞U . 故选：B 【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题. 2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为则m =（ ）A ．1B ．2C D ．3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =. 故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） 3344【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.4．已知三棱柱的高为4，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱柱的体积为（ ）A ．B ．C ．4D ．6【答案】B【解析】根据柱体的体积公式求解即可. 【详解】三棱柱底面的面积为224S =⨯=故体积为V Sh ==故选：B 【点睛】本题考查棱柱的体积公式.属于基础题. 5．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5coscos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.6．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4kC ．4D ．2【答案】D【解析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【解析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF I 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】因为11A P AQ m ==,所以11//PQB D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF I 面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立； 因为BD EF l ////,BD ⊥平面ACC A ,所以l ⊥平面ACC A ,因为MC ⊂平面11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；易知1AC ⊥平面MEF ,1A C ⊥平面MPQ ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.10．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D 【答案】A【解析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMN S OF y y =⋅-=V 故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ） A ．5 B ．C ．4D ．16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc=6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.12．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎦B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022by b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】二、填空题13．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，若123k k =-，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2【解析】由题得21223b k k a=-=-,再根据2221b e a =-求解即可.【详解】双曲线22221x y a b-=的两条渐近线为b y x a =±,可令1k b a =-,2k b a =,则21223b k k a =-=-,所以22213b e a=-=,解得2e =.故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，E 、F 分别为CD 、AB 的中点，则异面直线1B F 与1D E 所成的角为________.【答案】60︒【解析】连接1A F 、EF ,可得11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.再根据三角形中的关系分析即可. 【详解】连接1A F 、EF ,则易证四边形11A D EF 为平行四边形,所以11D E A F ∥,所以11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.因为2AB =,13AA =所以可求得112A F B F AB ===,所以11A FB V 为等边三角形,则1160A FB ︒∠=.故答案为：60︒ 【点睛】本题考查异面直线所成的角.需要根据题意构造三角形进行求解.属于基础题. 15．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________.【答案】39【解析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可.【详解】设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨++++=⎩,解得113a d =-⎧⎨=⎩,所以6116653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点和椭圆22143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足||||8PF MF +=，3MFP π∠=，则直线AB 的方程为________.【答案】3(1)y x =-【解析】根据||||8PF MF +=,3MFP π∠=可得MFP V 为正三角形且边长为4,进而求得直线AB 的倾斜角,再求解方程.由椭圆22143x y +=,可知1c =,12p =,2p =,∴24y x =,在MFP V 中,3MFP π∠=,PF PM =,故MFP V 为正三角形.又||||8PF MF +=,故||||4PF MF ==13||||sin ||||43234MFP S PF MF PF MF π=⋅=⋅=V ∵||4MF =,12F F =,∴16FMF π∠=,13MFF π∠=,∴直线AB 的倾斜角为3π,将直线方程3(1)y x =-. 故答案为：3(1)y x =- 【点睛】本题考查抛物线与椭圆综合运用,同时也考查直线方程的倾斜角与斜率点斜式等.属于中档题.三、解答题17．在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n =-，2nn b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯【解析】(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3328b ==再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得1(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.【详解】（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =, 故111222n n nn b b q --==⨯=,又由122n a n +=,得1n a n =-.（2）依题意1(1)2n n c n -=-⨯.01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①则12312021222(2)2(1)2n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2nn S n =+-⨯.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题. 18．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5cos ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.求证：（1）直线SA P 平面EFG ； （2）直线AC ⊥平面SDB . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1) 连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,再证明SA GH ∥即可. (2)证明AC BD ⊥与SD AC ⊥即可. 【详解】（1）连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,所以O 为AC 的中点,H 为OC中SA GH ∥,SA ⊄平面EFG ,GH ⊂平面EFG ,所以直线SA P 平面EFG .（2）在ASD V 中,1SD =,2AD =,5cos 5ASD ∠=,由余弦定理得,222AD SA SD =+-2cos SA SD ASD ⋅∠,即222521215SA SA =+-⨯⨯,解得5SA =由勾股定理逆定理可知SD DA ⊥,因为侧面SAD ⊥底面ABCD ,由面面垂直的性质定理可知SD ⊥平面ABCD ,所以SD AC ⊥,因为底面ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,因为SD BD D =I ,所以AC ⊥平面SDB .【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19．设抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2)(0)m m m >.（1）求抛物线C 的方程；（2）F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2BF FA =u u u r u u u r ，求||AB 的值.【答案】（1）24y x =（2）92【解析】(1)代入(,2)m m 计算即可.(2) 设直线AB 的方程为(1)y k x =-,再联立直线与抛物线的方程,消去x 可得y 的一元二次方程,再根据韦达定理与2BF FA =u u u r u u u r求解k ,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2m m ,所以42m pm =,所以2p =,抛物线的方程为24y x =（2）由题意知直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为(1)y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y .因为2BF FA =u u u r u u u r ,所以212y y =-,联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩,化简得2440y y k --=,所以124y y k+=,124y y =-,所以14y k =-,212y =,解得22k =±,所以()212122199||141882AB y y y y k =++-=⨯=. 【点睛】 本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.20．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，AD BC ∥，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .（1）求证：⊥AF PB ；（2）求点D 到平面AEC 的距离.【答案】（1）见解析（2）26 【解析】(1) 连接AE ,证明PB AD ⊥与AE PB ⊥,进而证得PB ⊥面ADE 即可证明⊥AF PB .(2)利用等体积法D AEC E ACD V V --=求解即可.【详解】解：（1）连接AE ,在四边形ABCD 中,DA AB ⊥,PA ⊥平面ABCD ,AB Ì面ABCD ,∴AD PA ⊥,PA AB A =I ,∴AD ⊥面PAB ,又∵PB ⊂面PAB ,∴PB AD ⊥,又∵在直角三角形PAB 中,PA AB =,E 为PB 的中点,∴AE PB ⊥,AD AE A ⋂=, ∴PB ⊥面ADE ,AF ⊂面ADE ,∴⊥AF PB .（2）由22PA AB AD BC ====,∴12AE PB ==AC =EC =,∴222AE EC AC +=,∴12AEC S ==V 设点D 到平面AEC 的距离为d ,∵D AEC E ACD V V --=,∴111122332d =⨯⨯⨯⨯,∴d =【点睛】本题主要考查了证明线面垂直与线线垂直的方法,同时也考查了等体积法求点到面的距离问题,属于中档题.21．已知椭圆22:22:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，离心率12e =过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，且与x 轴不重合，交椭圆E 于M ，N 两点，求||MN 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[3,4) 【解析】(1)代入x c =-求解椭圆E 上的点的坐标,再根据线段长为3以及12e =求解即可.(2)分析直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,联立直线与椭圆的方程,再根据弦长公式与斜率的范围求解即可.【详解】（1）由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=,即2b y a =±,由题意知223b a=,即223a b =,又12c e a ==,所以2a =,b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）当直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,()11,M x y ,()22,N x y . 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=,则2122843k x x k +=+, 212241243k x x k -=+,所以()212221213||34343k MN x k k +=-==+++, 所以||(3,4)MN ∈.当直线l 与x 轴垂直时,||3MN =.综上所述,||MN 的取值范围为[3,4).【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解以及弦长公式的运用等,属于中档题.22．已知函数21()4ln 2f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）讨论()1()2f x g x b x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭零点的个数. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可. (2) 4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,再换元将原方程转化为2ln t b t =,再求导分析2ln ()t h t t =的图像数形结合求解即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,244()x f x x x x-'=-+=,当02x <<时,()0f x '<,所以()y f x =在(0,2)单调递减；当2x >时,()0f x '>,所以()y f x =在(2,)+∞单调递增,所以()y f x =的减区间为(0,2),增区间为(2,)+∞.（2）4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,令2(0)x t t =>则原方程转化为2ln t b t =,令2ln ()t h t t =,22(1ln )()t h t t -'=.令()0h t '=,t e =,∴(0,)t e ∈,()0h t '>,(,)t e ∈+∞,()0h t '<,max 2()()h t h e e ==,当1t e=时,()20h t e =-<,当t e >时,()0h t >. 如图可知①当0b ≤时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点；②当20b e <<时,()h t 有两个零点,即g(x)有两个零点； ③当2e b =时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点； ④2b e>时,()h t 此时无零点,即g(x)此时无零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.。
江西省百所名校2020届高三第四次联考数学(理)试题(word版,有答案)
江西省百所名校2020届高三第四次联考数学（理）试题第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.全集U=R ,A={x|y=ln 2(1),{|20}x B x x x +=--<,则()U B A ⋃=ð A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.∅D.(-1,2)2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家,为数学界作出了巨大贡献,其中就有欧拉公式:e ix =cosx+isinx(i 为虚数单位).它建立了三角函数和指数函数间的关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式,则复数432xi z e i=+的模为.3A.5B.22CD.23.空气质量AQI 指数是反映空气质量状况的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表:如图所示的是某市11月1日~20日AQI 指数变化的折线图：下列说法不正确的是A.这20天中空气质量为轻度污染的天数占14B.这20天中空气质量为优和良的天数为10天C.这20天中AQI 指数值的中位数略低于100D.总体来说,该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4.已知5cos(),57πα-=则7cos 104tan 5παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=5.7A -26.7B -26.7C5.7D 5.已知双曲线C 2222:1(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率k≥2，则C 的离心率的取值范围是5.(1,]2A5.[,)2B +∞.(1,5]C.[5,)D +∞6.右图是为了统计某班35名学生假期期间平均学习时间而设计的程序框图,其中i A 表示第i 位学生的学习时间，则判断框中可以填入的条件是A.i≤37?B.i≤36?C.i≤35?D.i≤34?7.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为AD 的中点,F 为正方形11B C CB 的中心，则异面直线AF 与1A E 所成角的余弦值为30.30A -3030B C.01.2D 8.已知函数()2sin()(0,)f x x ωϕωπϕπ=+>-<<的部分图象如图所示,为了得到函数f(x)的图象,需要将函数,22()2cos2sin 22xxg x ωω=-的图象向右平移m(m>0)个单位长度,则m 的最小值为.12A π.6B π.4C π.3D π9.已知函数y=f(x+1)是定义在R 上的偶函数,且满足f(3-x)=-f(3+x),且当-1≤x≤1时,f(x)=xln(x+2),则f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)=A.ln3B.-1n3C.4ln2-ln3D.4ln2+ln310.中国古典文学四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》和《红楼梦》的作者分别为罗贯中、施耐庵、吴承恩和曹雪芹.某次考试中有一道四大名著与作者的连线题,连对一个得一分,则同学甲随机连线得分为零的概率为1.3A1.4B3.8C1.24D 11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，圆22:(1)1F x y -+=,过F 作直线l,与上述两曲线自上而下依次交于点P,M,N,Q,当196||||PM QN +=时,直线l 的斜率为.3A -.3BC.1.3D 12.已知函数f(x)的定义域为(1,+∞),其导函数为(),(2)[2()()]()f x x f x xf x xf x ''++<对x ∈(1,+∞)恒成立,且14(5)25f =,则不等式2(3)(3)210x f x x ++>+的解集为 A.(1,2)B.(-∞,2)C.(-2,3)D.(-2,2)第II 卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.若非零向量a ,b ,满足|a |=3|b |,(3a -b )⊥b ,则a 与b 的夹角的余弦值为____14.若实数x,y 满足约束条件<220240,34120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩则x+y 的最大值为____15.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若3cos )cos cos ,A A B C a c -=+=6,b=4,则△ABC 的面积为____16.在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,AP=2,点M 是矩形ABCD 内(含边界)的动点,且AB=1,AD=3,直线PM 与平面ABCD 所成的角为.4π记点M 的轨迹长度为α,则tanα=____;当三棱锥P-ABM 的体积最小时,三棱锥P-ABM 的外接球的表面积为_____.(本题第一空2分,第二空3分)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.(12分)已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 满足93,,24n n a S 成等差数列. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设31323log log log n n b a a a =+++L ,数列1{}n b 的前n 项和为,n T 证明:11.9n T <18.(12分)今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多,为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人,其中50岁及以上的共有40人.这100人中确诊的有10名,其中50岁以下的人占3.10(1)请将下面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关;（2）为了研究新型冠状病毒的传染源和传播方式，从10名确诊人员中随机抽出5人继续进行血清的研究，X 表示被抽取的5人中50岁以下的人数，求X 的分布列以及数学期望。
【附15套精选模拟试卷】江西省八所重点中学2020届高三4月联考数学(文)试卷含解析
22．（10 分）如图，已知多面体 ABC A1B1C1 ， A1 A ， B1B ，C1C 均垂直于平面 ABC ，ABC 120 ，
A1A 4 ， C1C 1， AB BC B1B 2 .
），以坐标原点
O
为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C
的极坐标方程为
2 cos
.若
4
，求直线 l
的普
通方程及曲线 C 的直角坐标方程；若直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点，求 sin 的取值范围.
18．（12 分）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 D 是棱 B1C1 的中点.
x2 y2
C
13．已知双曲线
:
a2
b2
1
a 0,b 0
的实轴长为 16，左焦点为 F , M 是双曲线 C 的一条渐近线上
的点，且 OM MF ， O 为坐标原点，若 SOMF 16 ，则双曲线 C 的离心率为__________．
1
14．先将函数 f x sin x 的图象上的各点向左平移 6 个单位，再将各点的横坐标变为原来的 倍(其中
A．3
B．2
21Βιβλιοθήκη C． 3 D． 28．已知函数
y
2
sin
2x 5 6
0
x
3 4
的图象与一条平行于
x
轴的直线有两个交点，其横坐标
分别为 x1 ， x2 ，则 x1 + x2 （ ）
4
2
A． 3 B． 3 C． 3 D． 6
9．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运
动服的概率为( )
江西省百所名校2020届高三第四次联考语文试题及参考答案
江西省百所名校2020届高三第四次联考语文试题及参考答案江西省百所名校2020届高三第四次联考语文试题语文试题一、现代文阅读（36分）（—）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1~3题。
中国是一个幅员辽阔、民族众多的国家，不同的地域塑造了不同的地域文化。
在中国历史上，文化传播呈现出“东西交流、南北并峙”的格局，不同的地域文化铸就了不同地域的人的性格。
所谓地域文化，某一地域由于地理环境和经济发展而呈现出的一种有别于其他地区文化风貌的一种文化形态。
地域文化是最能体现一个空间范围内人的特点的文化类型。
一般来讲，地域文化是指特定区域源远流长、独具特色、传承至今且仍发挥作用的文化传统，它包括在这一地域所产生的经济体系、社会组织、宗教、民俗传统、价值观念等。
地域文化是在一定的自然环境、特定的历史背景和独有的文化积淀等条件下形成的一种亚文化，具有很强的地域性、传统性和独特性。
它并不单单是指向场景和物体本身，其本质指向主要是景观背后的东西，即景观所固有的内涵、所传送的信息、所隐藏的秘密和所带来的意义。
地域文化，从空间上看，在大范围讲有其独立性；在小范围讲有其主导性。
从时间上看，在历史发展上有其持续性；在当下意义上有其现实性。
地域是一个空间概念，同时也是一个思想、精神概念。
XXX书先生说过:“东学西学，学术未裂；南海北海，心理攸同。
”常言道:一方水土养育一方人。
同样，一方水土也养育一方文。
地域文化的重要性主要是基于“全球化”和“城市化”两种历史背景和现实处境。
目前随着经济一体化的加剧，整个地球正在变成一个“地球村”。
经济可以一体化，但文化必须多元化。
文化最忌讳的就是求同。
文化的价值就在于它的差异性和多样性，人们常说:“五里不同风，十里不同俗。
”这是极言因地域的不同而导致风俗往往存在着一定的差异性。
地域文化的另外一个威胁来自“工业化”和“城市化”。
目前，随着工业化、城市化和城镇化进程的加剧，几千年来老祖宗流传下来的村落、古镇、名胜、遗迹以及风俗传统，正遭遇前所未有的危机。
2024届江西八所重点中学高三4月联考数学卷及答案
数学试卷2024．4注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡-并交回．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．(0,1)B ．10,2C ．10,4D ．10,82．已知集合222,63A x k x k k Z ππππ=+<<+∈，集合,43B x k x k k Z ππππ =+<<+∈，则A B = （ ）A ．2,243k k ππππ++，k Z ∈ B ．,43k k ππππ++，k Z ∈ C ．2,263k k ππππ ++，k Z ∈ D ．,63k k ππππ++，k Z ∈ 3．已知n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，且1582a a +=，2481a a =，则3S =（ ） A ．212B ．168C ．121D ．1634．复数Z 在复平面内对应的点为12Z，O 为坐标原点，将向量OZ 绕点O 逆时针旋转90°后得到向量1OZ ，点1Z 对应复数为1Z ，则51Z =（ ）A ．12−+ B ．1i −+ C ．12−− D ．1344i −+ 5．函数()|2||ln |f x x m x =−−有且只有一个零点，则m 的取值可以是（ ） A ．2B ．1C ．3D ．θ6．已知正四棱锥P ABCD −，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（ ） A ．240B ．420C ．336D ．1207．已知α，0,2πβ ∈，()2sin 22sin sin tan βββα+=，则tan 26παβ ++= （ ）A ．B ．CD 8．我国著名科幻作家刘慈欣的小说（三体II ·黑暗森林）中的“水滴”是三体文明使用新型材料—强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为1θ，2θ，则（ ）A ．12θθ<B ．12θθ=C ．12θθ>D ．1θ和2θ的大小关系无法确定二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题会出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．9．已知随机变量X 、Y ，且31,Y X X =+的分布列如下：若()10E Y =，则（ ）A ．310m =B ．15n =C ．()3E X =D ．7()3D Y =10．已知函数*()2cos()06,N ,0,2f x x πωϕωωϕ=+<<∈∈；满足：x ∀∈R ，()03f x f π−≤恒成立，且在0,3π 上有且仅有2个零点，则（ ）A ．()f x 周期为πB ．函数()f x 在区间,63ππ上单调递增 C ．函数()f x 的一条对称轴为3x π=D ．函数()f x 的对称中心为,0(Z)305k k ππ+∈11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B G D −中，点E ，F 分别为棱1DD ，11C D 的中点，过点E 的平面α与平面1BDC 平行，点G 为线段1BC 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A ．11AG B D ⊥B ．若点Q 为平面α内任意一点，则QC QB +的最小值为C ．底面半径为121111ABCD A B G D −内任意转动D ．直线1AG 与平面1BDC 三、填空题：本题共3小题，每小题6分共16分．把答案填在答题卡中的横线上．12．3221x x −−展开式中2x 项系数为___________．13．在三角形ABC 中、4BC =，角A 刚平分能AD 交BC 于点D ，若13BD DC =，则三角形ABC 面积的最大值为___________．14．已知函数122()122x xf x a +−=−−+，存在实数12,,,n x x x 使得()()11n i i n f x f x −==∑成立，若正整数n 的最大值为8，则正实数a 的取值范围是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，15．（13分）数列{}n a 满足16a π=，,22n a ππ∈−，11tan cos n n a a +=，()*N n ∈． （1）证明：数列{}2tan n a 为等差数列，并求数列{}tan n a 的通项公式； （2）求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅= ．16．（15分）三棱柱111ABC A B C −中，AB AC ⊥，2AB AC ==，侧面11A ACC 为矩形，123A AB π∠=，三棱锥1C ABC −（1）求侧棱1AA 的长；（2）侧棱1CC 上是否存在点E ，使得直线AE 与平面1A BC ？若存在，求出线段1C E 的长；若不存在，请说明理由．17．（15分）在平面直角坐标系中，(1,0)F ，直线1:1l x =−，动点M 在直线1l 上，过点M 作直线1l 的垂线，与线段FM 的中垂线交于点P ． （1）求点P 的轨迹1C 的方程（2）经过曲线1C 上一点P 作一条倾斜角为45°的直线2l ，与曲线222:(4)8C x y −+=交于两个不同的点Q ，R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围．18．（17分）一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分．已知某同学连续摸奖n 次，总得分为X ，每次中奖的概率为13，且每次摸奖相互独立． （1）当5n =时，求3X =的概率；（2）当3n =时，求X 的概率分布列和数学期望；（3）当30n =时，判断X 的数学期望与10的大小，并说明理由． 19．（17分）已知函数()ln(1)f x x ax =+−，()0f x ≤恒成立． （1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程1()(3)4f x m x =−在[2,4]上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； （3）数列{}n a 满足：()1ln n n n a a p a +=+−，21124p a p e =+−，若数列{}n a 中有无穷个不同的项，求整数p 的值．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 DAC CBB AAACBCDACD12． 115−13．314．9473a ≤< 15．【详解】：（1）、由已知条件可知，由于cos 0n a >， 故22110,tan 1tan 2n n n a a a π++ ∈=+，221tan tan 1n n a a +−=， 故数列{}2tan n a 是以1为公差的等差数列，221132tan 1tan 133n n a n a n −=−+=−+= 即tan n a =（2）、121122sin sin sin tan cos tan cos tan cos m m m a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅ 12231tan tan tan tan tan tan mm a a a a a a +=⋅⋅⋅11tan tan m a a +=1100=，得3333m =．16．【详解】：（1）过A 在平面11ABB A 内作11AD B A ⊥，垂足为D ，侧面11A ACC 为矩形，1CA AA ∴⊥，又AB AC ⊥，CA ∴⊥平面11ABB A ，CA ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面11ABB A ，AD ⊂平面11ABB A ，AD ∴⊥平面ABC ，三棱锥1C ABC −13ABC S AD ∴××△112232AD ∴××××AD ∴， 123A AB π∠= ，16A AD π∴∠=，12AA ∴=； （2）存在E 满足题意，12C E =．理由如下：如图，以,,AB AC AD 分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(A −，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，1(C −，设11C E C C λ=，[0,1]λ∈，则()E λ−，()AE λ∴=−−，1(3,0,A B =，1(1,2,AC = ． 设平面1A BC 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1100m A B m AC ⋅=⋅=，即3020x x y −= +−=，令z =，则1x y ==，∴平面1A BC的一个法向量为m =， 设直线AE 与平面1A BC 所成角为θ，则||sin ||||AE m AE m θ⋅==⋅解得1λ=，∴存在E 满足题意，12C E ∴=．17．【详解】（1）由图可得||||PM PF =，所以点P 的轨迹C 是以(1,0)F 为焦点的抛物线， 故点P 的轨迹C 的方程为24y x =；（2）设()2,2P t t ，则直线2l 的方程为22y x t t =+−，代入曲线2C 的方程得，()222(4)28x x t t −++−=．化简可得：()()22222224280x t t x t t−−++−+=①， 由于2l 与2C 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式∆为正，计算得，()()()()()()222222222242282821622164t t t t t tt t t t∆=−+−−+=−−−+−−−()()()()22222282228(2)(2)(4)t tt t t t t t t t t t =−−+−=−−−−=−−+−，因此有(2,0)(2,4)t ∈− ，② 设Q ，R 的模坐标分别为1x ，2x ， 由①知，21224x x t t +=−+，()()22121282x x t t =−+，因此，结合2l 的倾斜角为45°可知，))()2224121212||||222PQ PR x t x t x x t x x t ⋅=−−=−++()()2222443243242822424482482t tt t t t t t t t t t t =−+−−++=−++−+−+()24224824t t t =−+=−+，③由②可知，22(2,2)(2,14)t −∈− ，故()222[0,4)(4,196)t −∈ ，从而由③得：()[)()22||||244,88,200PQ PR t⋅=−+∈ ．注1：利用2C 的圆心到2l 的距离小于2C同样可以求得②中t 的范围．注2：更简便的计算||||PQ PR ⋅的方式是利用圆幂定理，事实上，2C 的圆心为(4,0)M ，半径为r =故()22222242||||||4(2)48PQ PR PM r t t t t ⋅=−=−+−=−+．18．【详解】（1）摸奖5次得分为3分，有如下两种情形： 情形一，恰好两次中奖，且两次相邻； 情形二，恰好三次中奖，且任意两次都不相邻．情形一发生的概率为23541122C 333 ×= ．情形二发生概率为325331212C 3383×=，所以4(3)27P X==； （2）X 的可能取值为0，1，2，3，7，其中328(0)327P X=== ，2131212(1)C 3327P X ==××= ，2122(2)3327P X ==×= ，212124(3)C 3327P X ==××=， 311(7)327P X=== 所以X 的概率分布列为所以81224135()01237272727272727E X =×+×+×+×+×=． （3）()10E X >．理由如下：记该同学摸奖30次中奖次数为ξ，则1~30,3B ξ．若每次中奖都得1分，则得分的期望为1()30103E ξ=×=． 由题中比赛规则可知连续中奖时，得分翻倍，故实际总得分的期望()E X 必大于每次都得1分的数学期望． 所以()10E X >． 19．【详解】（1）()11f x a x ′=−+，因为()0f x ≤恒成立，且(0)0f =， 所以0x =是极大值点，即(0)10f a ′=−=．解得1a =． 验证当1a =时符合题意．（2）由（1）知()ln(1)f x x x =+−，所以原方程变形为4ln(1)x x m +−=． 令()4ln(1)g x x x =+−，于是，原方程在[2,4]上有两个不相等的实数根， 等价于直线y m =与曲线()4ln(1)g x x x =+−在[2,4]上有两个交点． 因为()43111x g x x x −′=−=++，所以当(2,3]x ∈时，()0g x ′>， 当(3,4]x ∈时，()0g x ′<，所以，max(3)4ln 438ln 23g g ==−=−．因为(2)4ln32g =−，(4)4ln54g =−，所以，551(4)(2)4ln24ln 332g g−=−=−， 而2525 2.78e 39=≈>，所以51ln 32>，即(4)(2)g g >，所以m 的取值范围为[)4ln 54,4ln 43−−．（3）因为ln(1)x x +≤恒成立，即ln 1x x ≤−恒成立．所以()1ln 11n n n n n a a p a a p a p +=+−≤+−−=−，当且仅当1n a p =−时取等号．若1(2)n a p n <−≥，则()11ln 0n nn n n a a p a a a ++−=−>⇒>， 所以数列{}n a 从第二项起单调递增，故数列有无穷个不同的项，满足题意． 因此只需1a p <且11a p ≠−即可．1a p <且11a p ≠−等价于2124p p e p +−<且2114p p e p +−≠易知()t ϕ′在R 上递增，(0)0ϕ′=，所以()t ϕ在(,0)−∞上递减，在(0,)+∞上递增，又(2)2ϕ−>，(1)2ϕ−<，(0)1ϕ=，(1)2ϕ<，(2)2ϕ>， 综上，1p =或1p =−．。
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【分析】
由题意可得 ，代入 并对其化简，再代入模长计算公式即可.
【详解】
因为 ，
所以 ，
从而 .
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的运算及复数的模的求法，属于容易题.
3．A
【分析】
根据渐近线方程求得 关系式，结合离心率公式即可求得.
【详解】
因为 的渐近线方程为 ，所以 ，
故பைடு நூலகம்心率 .
故选：A.
【点睛】
A． B． C． D．
二、填空题
13．若非零向量 ，满足 ， ，则 与 的夹角的余弦值为______.
14．若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为______.
15．已知高为 的正三棱柱的外接球的体积为 ，则该正三棱柱的底面边长为______.
三、双空题
16．在数列 中， ，前 项和 满足 .令 ，则 ______；若数列 满足 ， ，则 ______.
【详解】
因为原函数的定义域为 ，
且 ，知 为奇函数，所以排除A，
又因为 ，
当 时，函数为减函数，且 ，排除B、C.
A． B．
C． D．
7．下图是为了统计某班 名学生假期期间平均学习时间而设计的程序框图，其中 表示第 位学生的学习时间，则判断框中可以填入的条件是（）
A． B． C． D．
8．在正方体 中， 为 的中点， 为正方形 的中心，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
9．已知函数 的部分图象如图所示，为了得到函数 的图象，需要将函数 的图象向右平移 个单位长度，则 的最小值为（）
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
如图所示的是某市11月1日至20日AQI指数变化的折线图：
下列说法不正确的是（）
A．这 天中空气质量为轻度污染的天数占
B．这 天中空气质量为优和良的天数为 天
C．这 天中AQI指数值的中位数略低于
D．总体来说，该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
6．函数 的部分图像大致为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线 的一条渐近线的方程为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．在递增的等差数列 中， 是方程 的两实数根，则公差 （ ）
A． B． C． D．
5．空气质量AQI指数是反映空气质量状况指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
AQI指数值
空气质量
本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.
4．C
【分析】
求解一元二次方程，根据题意解得 ，即可求得数列公差.
【详解】
因为方程 的两实数根为 和 ，且 为递增数列，
所以 ， ，故公差 .
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列基本量的求解，属基础题.
5．C
【分析】
根据已知条件对每个选项进行判断即可.
【详解】
对于A， 天中AQI指数值高于 ，低于 的天数为 ，即占总天数的 ，故A正确；
19．如图，在直五棱柱， 中， // ， ， ， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）求四棱锥 的体积.
20．如图，设 是椭圆 的左焦点， 分别为左、右顶点， ，离心率 ，过点 作直线 与椭圆相交于不同的两点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求 面积的最大值.
21．已知函数 的图象在 处切线与直线 平行.
（1）求实数 的值，并判断 的单调性；
（2）若函数 有两个零点 ，且 ，证明 .
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 过点 ，且斜率为 ，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线 的极坐标方程分别为 ， .
（1）求曲线 和直线 的极坐标方程；
（2）已知直线 与直线 的交点为 ，直线 与曲线 的交点为 ， ，求 的值.
23．已知函数 .
（1）若 有解，求实数 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，实数 的最小值为 ，若 为正数，且 ，证明： .
参考答案
1．D
【分析】
求得对数函数定义域和二次不等式，解得集合 ，再求交集即可.
【详解】
要使得函数 有意义，则 ，故 ；
不等式 ，解得 ，故 ；
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查集合交运算、二次不等式求解、对数函数定义域，属综合基础题.
A． B． C． D．
10．已知函数 是定义在 上的偶函数，且满足 ，且当 时， ，则 （）
A． B． C． D．
11．定义在 上的偶函数 ，其导函数为 ，当 时，恒有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于不同的两点 ， ，且满足 ，以 为中点的线段的两端点分别为 ，其中 在 轴上， 在 上，则 的最小值为（ ）
江西省百所名校2020-2021学年高三第四次联考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．全集 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式： （ 为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数 的模为（）
对于B， 天中AQI指数值有 天低于 ，故B正确；
对于C， 天中AQI指数值有 天低于 ， 天高于 ，根据图可知中位数略高于 ，故C错误；
对于D，由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些，故D正确.
故选：C
【点睛】
本题考查了统计列表中的折线图来解决问题，属于较易题.
6．D
【分析】
由函数奇偶性、结合函数单调性，即可容易判断.
（2）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有 ％的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关；
参考表：
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式： ，其中 .
18．在锐角 中，角 的对边分别为 ， 为边 上一点 ，
（1）求 ；
（2）若 ， 为 的三等分点（靠近 点），求 .
四、解答题
17．今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员 人，其中 岁及以上的共有 人.这 人中确诊的有 名，其中 岁以下的人占 .
确诊患新冠肺炎
未确诊患新冠肺炎
合计
50岁及以上
40
50岁以下
合计
10
100
（1）试估计 岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的概率；