江西省百所名校2020届高三第四次联考数学(理)试题数学理科答案
江西省南昌市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷含解析
江西省南昌市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln af x x a x =-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解. 【详解】 ∵()21a f x x x +'== 2x ax +，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C. 【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．2．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x+my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA|=2|PB|，则正实数m 的最小值是( )A ．13B ．3C D【答案】D 【解析】 【分析】设点()1,P my y -，由2PA PB =，得关于y 的方程.由题意，该方程有解，则0∆≥，求出正实数m 的取值范围，即求正实数m 的最小值.【详解】由题意，设点()1,P my y -.222,4PA PB PA PB =∴=Q ，即()()222211414my y my y ⎡⎤--+=--+⎣⎦，整理得()2218120m y my +++=， 则()()22841120m m ∆=-+⨯≥，解得3m ≥或3m ≤-.min 0,3,3m m m >∴≥∴=Q .故选：D . 【点睛】本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.3．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D 【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．4．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40 B ．60C ．80D ．100【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质，根据题意，得到(110)(60)P X P X ≥=≤，求出概率，再由题中数据，即可求出结果. 【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，则正态分布曲线的对称轴为85x =，根据正态分布曲线的对称性，求得(110)(60)0.50.30.2P X P X ≥=≤=-=， 所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为5000.2100⨯=人， 故选:D . 【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.5．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题. 6．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式可得16a d =-，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】 由11a ，31a ，41a 构成等差数列可得 31431111a a a a -=- 即13341413341422a a a a d da a a a a a a a ----=⇒=⇒=又()4111323a a d a a d =+⇒=+ 解得：16a d =- 又[]12(1)(12(1))(13)222n n n nS a n d d n d d n =+-=-+-=- 所以0n S =时，13n =. 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 7．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-r r ，且a b ⊥r r，则λ等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】因为(1,2),(2,2)a b λ==-r r ，且a b ⊥r r ，·22(2)0a b λ=+-=rr ，则1λ=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 8．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．C ．D ．±【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可． 【详解】解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,A ±．则直线AF 的斜率21k ±==±-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．9．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-r r r ，若()a c b -⊥r r r，则n 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】先求出(1,4)a c n -=-r r ，再由()a c b -⊥r r r，利用向量数量积等于0，从而求得n .【详解】由题可知(1,4)a c n -=-r r，因为()a c b -⊥r r r，所以有()12240n -⨯+⨯=，得5n =，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.10．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）． A ．50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦I C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞U【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出集合A ，进而求出集合A B U 和A B I ，分析选项即可得到答案. 【详解】根据题意，{}215|log (31)2|33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目, 11．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A．0x ±= B ．20x y ±= C0y ±= D ．20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程为22112y x -=，其渐近线方程为2212y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】双曲线22:21C x y -=得22112y x -=，则其渐近线方程为22012y x -=，整理得0x =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.12．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ） A ．14种 B ．15种C ．16种D ．18种【答案】D 【解析】 【分析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起 【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种. 综上所述，共有14+4=18种. 故选：D 【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届江西省名校联盟高三第四次调研考试数学(理)试卷
2020届江西省名校联盟高三第四次调研考试数学试卷(理科)★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数2(1iz i i =-是虚数单位），则z 的共轭复数z = （ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2．已知集合{}1,2,3,4,5A =，且A B A =，则集合B 可以是 （ ）A ．{}21xxB ．{}21x xC ．{}2log 1x xD ．{}1,2,33．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为 ( )A.(3π-B.1)πC.1)πD.2)π4．设{}n a 是由正数组成的等比数列，且5681a a ＝，那么3132310log a log a log a ⋯＋＋＋的值是 ( ). A ．30B ．20C ．10D ．55．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A-⋅⋅=-⋅⋅，则ABC △的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得图象的一个对称中心为 （ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知定义域为[]4,22a a --的奇函数()32020sin 2f x x x b =-++，则()()f a f b +的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．不能确定8．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为12，约为0.618，这一比值也可以表示为a ＝2cos2︒＝ （ ）A.2B.1C.12D.149．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为90︒，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中, x y R ∈，则35x y +的最大值为 （ ）B.5D.610．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则 ( )A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>11．已知函数()y f x =，对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，其中()f x '是函数()f x 的导函数，则下列不等式成立的是 （ ）A 34f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 34f ππ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知函数()()211e ,ln 2x f x g x x -==+，若()()f m g n =，则m n -的最大值是 （ ）A.ln 212+- B.12C.ln(2e)2-12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知()()321233f x x mx m x =++++在R 上不是．．单调增函数，那么实数m 的取值范围是____．14．若关于x 的不等式112log (42)0x xλ++⋅<在0x >时恒成立，则实数λ的取值范围是___________15．设单调函数()y p x =的定义域为，值域为，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”．已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=__________．16．若关于x 的方程20x ax b ++=（,a b ∈R ）在区间[]13，有实根，则22(2)a b +-最小值是____．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知0a >，设p ：实数x 满足22430x ax a -+<， q ：实数满足31x -<． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知函数()cos sin 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()21R x x +-∈. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值.19. （本小题满分12分）已知函数2'()(4)(),,(1)0.f x x x a a R f =--∈-=且 （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值．20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求2a b -的范围.21．（本小题满分12分）已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=-，（其中实数x 和y 不同时为零），当2x <时，有a b ⊥，当2x ³时，//a b ． （1）求函数式()y f x =；（2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）若对[)(,2]2,x ∀∈-∞-⋃+∞，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．22. （本小题满分12分）已知函数()22ln .f x a x x =-()1讨论函数()f x 的单调性；()2当0a >时，求函数()f x 在区间()21,e 上的零点个数.数学试卷参考答案1-5 DAABD 6-10 BACAB 11-12 CA13.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） 14.3λ≥- 15. 1 16. 92 17【解析】（1）由 得，当时，，即为真时，实数的取值范围是.由，得，即为真时，实数的取值范围是. 因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是；（2）由得， 所以，为真时实数的取值范围是.因为是的必要不充分条件，所以且所以实数的取值范围为：.18【答案】解：（1）()2cos sin 134f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭21cos sin 12x x x x ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭，21sin cos 12x x x =--，11cos2sin2142x x +=-+-，1sin2cos2144x x =--， 1sin 2123x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当236x ππ-=，即4x π=时， ()max 1131224f x =⨯-=-；当232x ππ-=-，即12x π=-时， ()()min 131122f x =⨯--=-.19(1) 函数),.,解得.则.,令，解得.由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，函数与的变化如下表：由表格可知：当时，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值，，又，可知函数的最大值为，最小值为.20解：（1）由题意知()()3a b c a b c ab+++-=，∴222a bc ab+-=，由余弦定理可知，222cos122a b cCab+-==，又∵(0,)Cπ∈，∴3Cπ=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin3a bA Bπ===，即,a Ab B==，∴2a b A B-=2sin()3A Aπ=-2cosA A A=--12cos cos )4sin()26A A A A A π=-=-=-， 又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则62A ππ<<即0A 63ππ<-<，所以，0sin()6A π<-<即04sin(-)6A π<<，综上2a b -的取值范围为(0,.21【解析】（（1）当2x <时，由a b ⊥得2(3)0a b x x y ⋅=--=，33y x x =-；（2x <且0x ≠），当2x ³时，由//a b . 得23xy x =--， ∴323,(22,0)(){.(2,2)3x x x x y f x x x x x --<<≠==≥≤--，（2）当2x <且0x ≠时，由2'330y x =-<，解得(1,0)(0,1)x ∈-⋃，，当2x ³时，222222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>--， ∴函数()f x 的单调减区间为()1,0-和()0,1； （3）对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞U ， 都有230mx x m +-≥即2(3)m x x -≥-， 也就是23xm x ≥-， 对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞U 恒成立， 由（2）知当2x ³时，222222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>--∴函数()f x 在(,2]-∞-和[2,+)∞都单调递增，又2(2)234f --==-，2(2)234f ==--， 当2x -≤时2()03xf x x =>-， ∴当(,2]x ∈-∞-时，0()2f x <≤同理可得，当2x ≥时， 有2()0f x -≤<， 综上所述得，对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞U ，()f x 取得最大值2；∴实数m 的取值范围为2m ≥.22【解析】解：（1） ()22ln f x a x x =-，∴ ()()22a x f x x='-，0x >当0a ≤时，()()220a x f x x-'=<，当0a >时，()()(222x x a x f x xx--=='，当0x <<()0f x '>；当x >()0f x '<∴当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()f x在(上单调递增，在)+∞上单调递减.（2）由（1）得()()max ln 1f x fa a ==-，当()ln 10a a -<，即0a e <<时，函数()f x 在()21,e 内有无零点；当()ln 10a a -=，即a e =时，函数()f x 在()0,+∞，又21e <=<，所以函数()f x 在()21,e 内有一个零点；当()ln 10a a ->，即a e >时，由于()110f =-<，()ln 10fa a =->，()()()()2244222ln 4f e a e e a e e e =-=-=，若20e <，即44e e a <<时，()20f e <，由函数单调性知(1x ∃∈使得()10f x =，)22x ∃∈使得()20f x =,故此时函数()f x 在()21,e 内有两个零点；若20e ≥22e ≥>()20f e ≥，且20fa e a e ==->，()110f =-<，由函数的单调性可知()f x 在(内有唯一的零点，在)2e 内没有零点，从而()f x 在()21,e 内只有一个零点综上所述，当()0,a e ∈时，函数()f x 在()21,e 内有无零点；当{}4,4e a e ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 在()21,e 内有一个零点；当4,4e a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 在()21,e 内有两个零点．。
2020届江西省百所名校高三下学期第四次联考数学(理)试卷及解析
2020届江西省百所名校高三下学期第四次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,(){}ln 1A x y x ==+,{}220B x x x =--<,则() U B A =（ ）A. ()2,+∞B. (),2-∞C. ∅D. ()1,2- 【答案】B【解析】 根据已知条件先求出集合A 和集合B ,再求出集合A 的补集,再运用集合的并集运算即可. 【详解】因为{}1A x x =>-,{}12B x x =-<<, 所以{} 1U A x x =≤-,故(){} 2U B A x x ⋃=<.故选：B2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家,为数学界作出了巨大贡献,其中就有欧拉公式：cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系,被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式,则复数43i z iπ=的模为（ ）C. D. 2 【答案】B【解析】由题意可得4i e π=,代入43i z i π=+并对其化简,再代入模长计算公式即可.【详解】因为422i e π=+, 所以433112i z e i i i iπ==-++=-,从而5z =.故选：B3.空气质量AQI 指数是反映空气质量状况指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表：AQI 指数值 [)0,50[)50,100 [)100,150 [)150,200 [)200,300 [)300,+∞ 空气质量优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染如图所示的是某市11月1日至20日AQI 指数变化的折线图：下列说法不正确的是（ ）A. 这20天中空气质量为轻度污染的天数占14B. 这20天中空气质量为优和良的天数为10天C. 这20天中AQI 指数值的中位数略低于100D. 总体来说,该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】根据已知条件对每个选项进行判断即可.【详解】对于A ,20天中AQI 指数值高于100,低于150的天数为5,即占总天数的14,故A 正确； 对于B ,20天中AQI 指数值有10天低于100,故B 正确；对于C ,20天中AQI 指数值有10天低于100,10天高于100,根据图可知中位数略高于100,故C 错误；对于D ,由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些,故D 正确.故选：C。
2020年江西省南昌市高考第四次模拟测试理科数学试题-含答案
2020年江西省南昌市高考第四次模拟测试理科数学试题本试卷共4页，23小题，满分150分。
考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12121,,z z i z z z ===⋅，则||z 等于（ ）A ．2B ．4CD ．2．集合{|},{}A y y x N B x N N =∈=∈，则A B ⋂=（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．2}D ．∅3．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线c ，,a b αβ⊂⊂，则“,a b 相交”是“,a c 相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知1,1()ln ,1x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则不等式()1f x >的解集是（ ）A ．(1,)eB ．(2,)+∞C ．(2, )eD ．(,)e +∞5．已知ABC V 中角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,sin 2cos 2a c A C ==，则角A 等于（ ）A ．6π B ．2π C ．23π D ．56π6．已知,a b r r 为不共线的两个单位向量，且a r 在b r上的投影为12-，则|2|a b -=r r （ ）A ．3B ．5C ．6D ．7 7．函数ln ()xx xf x e=的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．8．直线2sin 0x y θ⋅+=被圆222520x y y +-+=截得最大弦长为（ ）A ．25B ．23C ．3D ．229．函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则(0)f =（ ）A ．6-B ．3C ．2-D ．6 10．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为（参考数据3sin 375︒=）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米11．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线3y x =交双曲线于A ，B 两点，若23AFB π∠=，则双曲线的离心率为（ ） A 56 C ．1022+．52212．已知函数3()sin cos (0)4f x x x a x a π⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭有且只有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则()32tan x x -属于（ ） A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件||1310y x x y ≥-⎧⎨-+≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为______________．14．已知梯形ABCD 中，//,3,4,60,45AD BC AD AB ABC ACB ︒︒==∠=∠=，则DC =_____________．15．已知6270127(1)(21)x x a a x a x a x --=++++L ，则2a 等于_______________．16．已知正四棱椎P ABCD -中，PAC V 是边长为3的等边三角形，点M 是PAC V 的重心，过点M 作与平面PAC 垂直的平面α，平面α与截面PAC 交线段的长度为2，则平面α与正四棱椎P ABCD -表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________．（请将可能的结果序号．．填到横线上）①2； ②22； ③3； ④23．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江西省宜春市2020届高三上学期第四次月考试题 数学(理) Word版含答案
高三第四次月考数学（理科）试题一、选择题1.已知集合X ＝｛12xx e >｝，Y ＝｛260x x x +-≤｝，则R C X Y I （）＝（ ） A.［－3，－ln 2） B.［－2，－ln 2］ C.［－3，－ln 2］ D.［－ln 2，2］ 2．复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A ．2z z ⋅=B ．22i z =C ．||2z =D ．0z z +=3.平面直角坐标系xOy 中，点在单位圆O 上，设，若，且，则的值为A. B. C. D.4. 设}{n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0<q ”是“对任意的正整数n ，0212<+-n n a a ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5.函数的图象是( )A. B. C. D.6.要得到函数y ＝-2sin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象A.向右平移34π个单位长度B.向右平移2π个单位长度C.向左平移4π个单位长度D.向左平移2π个单位长度7.已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 5－2a 72＋2a 8＝0，数列{b n }是等比数列且b 7＝a 7，则b 2b 12等于（ ）A.49B.32C.94D.238．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ） A ．22B ．32C ．5D ．29．已知变量,x y 满足约束条件6,32,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为2，则13a b+的最小值为( ) A ．2+3B ．5+26C ．8+15D ．2310.设S n 为数列{a n }的前n 项和，11a = ，12n n a S +=，则数列1{}n a 与的前20项和为（ ）A.1931223-⨯B.1971443-⨯C.1831223-⨯D.1871443-⨯11.已知函数2()ln x f x e x x =++与函数2()+2x g x e x ax -=-的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）A.-∞（，-e] B. 1-e ∞（，-] C. -∞（，-1] D. 1-2∞（，-] 12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且对任意的121[0]2x x ∈，，12()x x ≠，都有1212()()f x f x x x π->-．又()sin g x x π=，则关于x 的不等式()()f x g x ≥在区间33[]22-，上的解集为（ ）A ．3[][0]244ππ--U ，，B ．3[]24π--， C ．3[0]2-， D ．3[1][01]2--U ，，13. 已知平面向量满足(cos ,sin )2a b αα==r r ，，且()2a a b +=r r rg ，则向量与夹角的余弦值为__________ 14.设1111()123421f n n =-+-++-L ，则(1)()f k f k +=+ _____．（不用化简） 15.已知函数()x x f x e ae -=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率为83，则该切点的横坐标等于______．16．已知ABC ∆为锐角三角形，满足()222sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-，ABC ∆外接圆的圆心为O ，半径为1，则()A A AC OB ⋅+uu u r uu r uuu r的取值范围是______.三、解答题17．已知函数， ． （Ⅰ）当时，解关于的不等式；（Ⅱ）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．18.已知函数2()sin ()4f x x π=-。
2020届五省优创名校高三(全国Ⅰ卷)第四次联考数学(理)试题(解析版)
2020届五省优创名校高三（全国Ⅰ卷）第四次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( )A ．[12]-， B ．[-C ．(-D ．⎡⎣【答案】C【解析】计算A ⎡=⎣，(]1,2B =-，再计算交集得到答案.【详解】{|A x y ⎡==⎣=，(]2{|},1012x x B x -=-+=≤，故(A B -=. 故选：C . 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2．若202031i i z i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．1【答案】D【解析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi +的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】由题可知()()()()202022131313123211111i i i i i i i z i i i i i i +-+++-=====++++--， 所以z 的虚部是1. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题. 3．cos350sin 70sin170sin 20-=（ ）A ．BC ．12D ．12-【答案】B【解析】化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=-，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】3cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos302-=-==． 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2- B ．3 C ．3- D ．2【答案】D【解析】判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin b B C =，则B =（ ）A ．6π或56πB ．4π C ．3π D ．6π或3π 【答案】D【解析】根据正弦定理得到4sin cos sin B B C C =，化简得到答案. 【详解】由4cos sin b B C =，得4sin cos sin B B C C =，∴sin 2B =23B π=或23π，∴6B π=或3π．故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.6．函数()()2cosln1xf xx x=+-的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】判断函数为奇函数排除B，C，计算特殊值排除D，得到答案.【详解】∵()()()()()()222cosln1ln1ln1xf x f xx x x xx x--====-⎡⎤+++--+--⎢⎥⎣⎦，∴()f x为奇函数，排除B，C；又322f fππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()22ln1ln1fπππππ==>+-++，排除D；故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.7．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为（）A ．74B ．5627C ．2D ．16481【答案】C【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力. 8．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=【答案】A【解析】点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A 【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB AC λμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B C ．7D 【答案】D【解析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-计算得到答案. 【详解】由OA OB OC ==可知，点O 为ABC ∆外心， 则2122AB AO AB ⋅==，21122AC AO AC ⋅==，又AO AB AC λμ=+， 所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩①因为42λμ-=，② 联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-，因为BC AC AB =-， 所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=，即7BC =故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.11．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n+-cm ，得到不等式)101100n +-≤，计算得到答案. 【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球． 故选：C 【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a 的取值范围为（ ） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意可将方程转化为ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln xt x x=，()()0,11,x ∈+∞，进而将方程转化为()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论. 【详解】由题意知方程()()f x g x =在()()0,11,+∞上恰有三个不相等的实根，即24ln 22ln ax x ax x x-=-，①.因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x axa x x-=-. 所以方程ln 4220ln x axa x x--+=有三个不等的正实根. 记()ln xt x x=，()()0,11,x ∈+∞，则上述方程转化为()()4220at x a t x --+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =.因为()21ln xt x x-'=，当()()0,11,x e ∈时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →时，()t x →-∞.当(),x e ∈+∞时，()0t x '<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →.所以当x e =时，()t x 取最大值1e，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e<<.故选：B. 【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.二、填空题 13．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 【答案】()0,3【解析】变换得到212x y =，计算焦点得到答案. 【详解】 抛物线2112y x =的标准方程为212x y =，6p ，所以焦点坐标为()0,3．故答案为：()0,3 【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.14．()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 【答案】25-【解析】先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 的项与常数项，进而可得()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项为44262115C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为154025-=-.故答案为：25-.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用，属于基础题.15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______. 【答案】26【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知，1A MNC ，则1A ，,,M CN N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥． 同理可证，DE NC ⊥，NCMC C =，则DE ⊥平面1A MCN ，所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面．因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形， 其对角线123AC =，22MN =，所以其面积12223262S =⨯⨯=． 故答案为：26【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成33⨯小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______. 【答案】1140【解析】分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可. 【详解】首先，第一行队伍的排法有33A 种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有111333C C C 种；第二行的每个位置的人员安排有111222C C C 种；第三行的每个位置的人员安排有111⨯⨯种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率311111133332229921140A C C C C C C P A ⋅⋅⋅==. 故答案为：1140. 【点睛】本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<．【答案】（1）352n n a +=（2）证明见解析 【解析】（1）123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②两式相减即得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，再利用裂项相消法求和证明. 【详解】（1）解：123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当1n =时，14a =．当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=．（2）证明：()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭12231111n n n T a a a a a a +=+++… 4111111381111143538n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 4113838n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭因为1103811n <≤+，所以11226n T ≤<． 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．如图，在三棱柱ADEBCF 中，ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，CDEF是矩形，1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，P 点在线段BC 上移动（P 不与C 重合），H 是AE 的中点.（1）当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时，证明：//HB .平面EDP（2）当四面体EDPC 的体积最大时，求平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）78【解析】（1）由题意，先求得P 为BC 的中点，再证明平面//HMB 平面EDP ，进而可得结论；（2）由题意，当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可. 【详解】（1）证明：当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时. 则其外接球的半径为5. 因为ABCD 时边长为2的菱形，CDEF 是矩形.1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD .则ED ABCD ⊥平面，5EC =.则EC 为四面体EDPC 外接球的直径. 所以90EPC ∠=︒，即CB EP ⊥. 由题意，CB ED ⊥，EPED E =，所以CB DP ⊥.因为60BAD BCD ∠=∠=︒，所以P 为BC 的中点. 记AD 的中点为M ，连接MH ，MB .则MB DP ，MHDE ，DE DP D ⋂=，所以平面//HMB 平面EDP .因为HB ⊂平面HMB ，所以//HB 平面EDP .（2）由题意，ED ⊥平面ABCD ，则三棱锥E DPC -的高不变. 当四面体EDPC 的体积最大时，DPC △的面积最大. 所以当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大.以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则()0,0,0D ，()0,0,1E ，)3,1,0B，311,222H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2,0C .所以()3,1,0DB =，311,,22DH ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()0,2,1EC =-，()3,1,1EB =-.设平面HDB 的法向量为()111,,m x y z =.则1111130,3110,222DB m x y DH m x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令11x =，得()1,3,23=--m .设平面EBC 的一个法向量为()222,,n x y z =.则2222220,30,EC n y z EB n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令23y =，得()3,3,6n =.设平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角是ϕ，则7cos 8ϕ⋅==m n m n. 所以当四面体EDPC 的体积最大时，平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值为78. 【点睛】本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题．19．某芯片公司对今年新开发的一批5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[)[)[)[)[]9101011111212131314，，，，，，，，五个小组（所调查的芯片得分均在[]914，内），得到如图所示的频率分布直方图，其中018a b -=．．（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）． （2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。
2020届全国大联考高三第四次联考数学(理)试题(解析版)
2020届全国大联考高三第四次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|340A x x x =--<，{}|23xB y y ==+，则A B =（ ）A ．[3,4)B ．(1,)-+∞C ．(3,4)D ．(3,)+∞【答案】B【解析】分别求解集合,A B 再求并集即可. 【详解】因为{}2|340{|14}A x x x x x =--<=-<<,{}|23xB y y ==+{|3}y y =>,所以(1,)A B =-+∞.故选：B 【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为则m =（ ）A ．1B ．2C D ．3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =. 故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题. 4．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】 因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5coscos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.5．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.6．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D【解析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.7．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【答案】C【解析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.8．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】因为11A P AQ m ==,所以11//PQB D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立；因为BD EF l ////,BD ⊥平面11ACC A ,所以l ⊥平面11ACC A ,因为MC ⊂平面11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；易知1AC ⊥平面MEF ,1A C ⊥平面MPQ ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.9．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2【答案】A【解析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMNSOF y y =⋅-=故选：A 【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =-,再代入余弦定理求解即可.【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-,∴bc =6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.11．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．0,2⎛ ⎝⎦B．,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭C．0,3⎛ ⎝⎦D．,13⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.12．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ） A． B．C．D．【答案】D【解析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得6R =，此外接球的体积为2463π，三棱锥O EFG -体积为23，得到答案. 【详解】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD .依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ， 在Rt OHD 中，OD R =，343HD BC ==，133R OH OA ==， 由勾股定理：222433R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6R =，此外接球的体积为2463π， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ， 球心O 到平面EFG 的距离为KO ， 则1262333R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==， 所以三棱锥O EFG -体积为2113624343⨯⨯⨯⨯=， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π. 故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、填空题13．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，若123k k =-，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2【解析】由题得21223b k k a=-=-,再根据2221b e a =-求解即可.【详解】双曲线22221x y a b-=的两条渐近线为b y x a =±,可令1k b a =-,2k b a =,则21223b k k a =-=-,所以22213b e a=-=,解得2e =.故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________.【答案】39【解析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可.【详解】设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨++++=⎩,解得113a d =-⎧⎨=⎩,所以6116653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.15．已知抛物线()220y px p =>的焦点和椭圆22143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足8PF MF +=，3MFP π∠=，当MFP 面积最大时，直线AB 的方程为______.【答案】()31y x =-【解析】根据均值不等式得到16PF MF ⋅≤，43MFP S ≤△，根据等号成立条件得到直线AB 的倾斜角为3π，计算得到直线方程. 【详解】由椭圆22143x y +=，可知1c =，12p =，2p =，24y x ∴=，13sin 234MFP S PF MF PF MF π=⋅=⋅△， 82PF MF PF MF =+≥⋅，16PF MF ⋅≤，33164344MFP S PF MF =⋅≤⨯=△（当且仅当4PF MF ==，等号成立）， 4MF =，12F F =，16FMF π∴∠=，13MFF π∠=，∴直线AB 的倾斜角为3π，∴直线AB 的方程为()31y x =-. 故答案为：()31y x =-.【点睛】本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 16．已知三棱锥P ABC -，PA PB PC ==，ABC 是边长为4的正三角形，D ，E 分别是PA 、AB 的中点，F 为棱BC 上一动点（点C 除外），2CDE π∠=，若异面直线AC 与DF 所成的角为θ，且7cos 10θ=，则CF =______.【答案】52【解析】取AC 的中点G ，连接GP ，GB ，取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，DF ，直线AC 与DF 所成的角为MDF ∠，计算2222MF a a =-+，22410DF a a =-+，根据余弦定理计算得到答案。
2020届全国大联考高三第四次联考数学(理)试题(带答案解析)
数学（理)试题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．若直线 与圆 相交所得弦长为 ，则 （）
A．1B．2C． D．3
3．抛物线 的准线方程是 ，则实数 （）
A． B． C． D．
4．已知 ， 则p是q的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．在棱长为a的正方体 中，E、F、M分别是AB、AD、 的中点，又P、Q分别在线段 、 上，且 ，设平面 平面 ，则下列结论中不成立的是（）
A． 平面 B．
C．当 时，平面 D．当m变化时，直线l的位置不变
9．已知抛物线 ，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若 ， ，则 的面积为（）
A． B． C． D．
故选：C
【点睛】
本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.
9．A
【解析】
【分析】
根据 可知 ,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.
16．已知三棱锥 ， ， 是边长为4的正三角形， ， 分别是 、 的中点， 为棱 上一动点（点 除外）， ，若异面直线 与 所成的角为 ，且 ，则 ______.
17．在数列 和等比数列 中， ， ， .
（1）求数列 及 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
18．如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD， ， ，底面ABCD是边长为2的菱形，点E，F分别为棱DC，BC的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点.
故选：D
【点睛】
本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】